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Abi 2016
Analysis
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Anwendungsorientierte...
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Wirtschaftliche Anwen...
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Anwendungsorientierte Aufgaben 1

Aufgaben
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1
Die Gesamtkosten eines Unternehmens bei der Herstellung eines Produktes werden durch die Funktion $K$ mit $K(x)=x^{3}-10x^{2}+40x+100\;\,$;   $x\in[0;\;11]$ beschrieben.
Dabei bezeichnen $x$ die Produktionsmenge in Mengeneinheiten (ME) und $K(x)$ die Gesamtkosten in Geldeinheiten (GE). Der Verkaufspreis beträgt 50GE.
Der Erlös ist das Produkt aus Verkaufspreis und Verkaufsmenge.
Das Schaubild der Funktion $K$ ist $SK$.
1.1
Zeichnen Sie das Schaubild $SK$.
Prüfen Sie, ob eine größere Produktionsmenge stets auch mit höheren Gesamtkosten verbunden ist.
(4P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 1  Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Gesamtkosten.
Die Gewinnzone ist der Bereich, in dem die Produktionsmenge liegen muss, damit das Unternehmen keinen Verlust macht.
Berechnen Sie die Gewinnzone und den maximalen Gewinn.
Prüfen Sie, ob der mittlere Gewinn im Bereich der Gewinnzone 50% des maximalen Gewinns übersteigt.
(7P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 1  Aufgabe entfällt ab 2017
1.3
Die sogenannte „langfristige Preisuntergrenze“ entspricht der Steigung der Tangente an $SK$, die durch den Ursprung verläuft.
Zeichnen Sie diese Tangente ein.
Ermitteln Sie rechnerisch die „langfristige Preisuntergrenze“.
(4P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 1  Aufgabe entfällt ab 2017

(15P)
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$ Zeichnen des Schaubildes $\boldsymbol {SK}$
Um das Schaubild $SK$ zu zeichnen, solltest du dir die zugehörige Wertetabelle anschauen. Die Produktionsmenge $x$ kann die Werte von $0$ bis $11$ annehmen. Du kannst dir mit deinem CAS-Rechner eine Wertetabelle anzeigen lassen.
$\blacktriangleright$Prüfen der Behauptung
Damit bei einer größeren Produktionsmenge auch die Gesamtkosten steigen, muss die Funktion $K$ streng monoton steigend sein. Es muss folgendes Kriterium erfüllt sein, dass eine stetige Funktion $f$ monoton ansteigend ist:
$f'(x)\geq 0$
$f'(x)\geq 0$
Um zu überprüfen, ob die Gesamtkosten bei steigender Produktionsmenge ansteigen, kannst du mit dem CAS-Rechner folgendermaßen vorgehen:
  • Definiere die Funktion $K$
  • Bilde die Ableitung der Funktion $K$
  • Prüfe, ob gilt: $K'(x)>0$
1.2
$\blacktriangleright$ Berechnen der Gewinnzone
  • Der Gewinn ist die Differenz aus dem Erlös und den Gesamtkosten. Die Gesamtkosten werden durch die Funktion $K$ beschrieben.
  • Der Erlös ist das Produkt von Verkaufspreis und Verkaufsmenge.
  • Der Verkaufspreis beträgt $50$ GE pro verkaufter Einheit.
Stelle zunächst eine Funktion $E$ auf, die den Erlös beschreibt. Da die Funktion $E$ das Produkt aus Verkaufspreis und Verkaufsmenge ist, lautet die Funktion $E$:
$E(x)=50x$
Um die Gewinnzone zu bestimmen, hast du zwei Möglichkeiten.
Lösungsweg A: Du stellst eine Funktion $G$ auf, die den Gewinn beschreibt. Damit das Unternehmen Gewinn nach dieser Funktion macht, musst du das Intervall der Funktion bestimmen, bei dem die Funktionswerte größer Null sind. Berechne dazu die Nullstellen dieser Funktion.
Bei Lösungsweg B berechnest du die Schnittpunkte der Funktion $K$ und der Funktion $E$, die den Erlös beschreibt. Wenn der Erlös größer ist als die Gesamtkosten, macht das Unternehmen Gewinn.
$\blacktriangleright$ Berechnen des maximalen Gewinns
Den maximalen Gewinn erhältst du, indem du das Maximum der Funktion $G$ bestimmst. Der Funktionsterm von $G$ lautet:
$G(x)=-x^3+10x^2+10x-100$
Die Funktion hast du im ersten Aufgabenteil bei dem Lösungsweg A gebildet.
Falls du die Gewinnzone mit dem Lösungsweg B gebildet hast, kannst du dort nachschauen, wie sich die Funktion $G$ zusammensetzt. Um den maximalen Gewinn zu berechnen, untersuchst du die Funktion auf Extremstellen im Intervall $x \in \left[0;11\right]$. Der maximale Gewinn entspricht der $y$-Koordinate des Hochpunktes des Graphen von $G$. Für eine Extremstelle an der Stelle $x_E$ einer Funktion $f$ gilt folgendes:
  • notwendiges Kriterium $\boldsymbol{f'(x_E)=0}$
  • hinreichendes Kriterium $\boldsymbol{f''(x_E)\neq0}$
Gilt für die Extremstelle $x_E$ $f''(x_E) > 0$ handelt es sich um ein Minimum, gilt $f''(x_E) < 0$ um ein Maximum.
$\blacktriangleright$ Prüfen, ob der mittlere Gewinn $\boldsymbol{50\,\%}$ übersteigt
Den mittleren Gewinn $\overline{G}$ kannst du mit Hilfe des Integrals berechnen. Der gesamte Gewinn entspricht dem Integral mit den Grenzen der Gewinnzone. Den mittleren Gewinn erhältst du, indem du diese Fläche durch die Spanne der Produktionsmenge dividierst. Um zu berechnen, wie viel Prozent der mittlere Gewinn des maximalen Gewinns entspricht, benötigst du die Prozentformel:
$p\,\%=\frac{W}{G}\cdot 100\,\%$
$p\,\%=\frac{W}{G}\cdot 100\,\%$
1.3
$\blacktriangleright$ Zeichnen der Tangenten für die langfristige Preisuntergrenze
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die „langfristige Preisuntergrenze“ der Steigung der Tangenten an $SK$ entspricht, die durch den Ursprung verläuft. Im ersten Schritt sollst du diese Tangente hier Zeichnen.
Willst du diese Tangente hier zeichnen, so ergänzt du das Schaubild aus Aufgabenteil 1.1. Setze mit deinem Geodreieck im Ursprung an und verschiebe dieses so lange, bis es tangential an $SK$ anliegt. Hier kannst du die Tangente für die „langfristige Preisuntergrenze“ einzeichnen.
$\blacktriangleright$ Rechnerisches Bestimmen der langfristigen Preisuntergrenze
Weiterhin sollst du in diesem Aufgabenteil die langfristige Preisuntergrenze rechnerisch bestimmen. Von oben weißt du, dass die langfristige Preisuntergrenze der Steigung der Tangenten an $SK$, die durch den Ursprung verläuft, entspricht. Hier gilt es also diese Tangente zu bestimmen. Die allgemeine Tangentengleichung lautet:
$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$
$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$
Dabei ist $f$ die betrachtete Funktion. Hier entspricht $f$ also $K$. $x_0$ ist hier die Stelle, an welche die Tangente $t$ an den betrachteten Graphen angelegt wird. $f'(x_0)$ entspricht der Steigung der Tangenten. Diese gilt es hier zu berechnen.
Bevor du die hier gesuchte Steigung berechnen kannst, musst du die Stelle $x_0$, an welcher die Tangente an den Graphen von $K$ angelegt wird, bestimmen. Da du weißt, dass die Tangente in jedem Fall durch den Ursprung verläuft, kannst du dessen Koordinaten verwenden, um $x_0$ zu berechnen. Hast du $x_0$ bestimmt, so kannst du die langfristige Preisuntergrenze bestimmen.
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1.1
$\blacktriangleright$ Zeichnen des Schaubildes $\boldsymbol {SK}$
Um das Schaubild $SK$ zu zeichnen, solltest du dir die zugehörige Wertetabelle anschauen. Die Produktionsmenge $x$ kann die Werte von $0$ bis $11$ annehmen. Du kannst dir mit deinem CAS-Rechner eine Wertetabelle anzeigen lassen. Gehe dazu in den Graph-Modus und gib den Funktionsterm $K(x)$ ein. Gehe nun in den Menü-Modus und wähle unter Ansicht den Punkt „Tabelle einblenden“ aus. Nun wird eine Wertetabelle eingeblendet.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Nach der Hilfestellung von oben, sollte dein Schaubild hier so aussehen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
$\blacktriangleright$Prüfen der Behauptung
Damit bei einer größeren Produktionsmenge auch die Gesamtkosten steigen, muss die Funktion $K$ streng monoton steigend sein. Es muss folgendes Kriterium erfüllt sein, dass eine stetige Funktion $f$ monoton ansteigend ist:
$f'(x)\geq 0$
$f'(x)\geq 0$
Um zu überprüfen, ob die Gesamtkosten bei steigender Produktionsmenge ansteigen, kannst du mit dem CAS-Rechner folgendermaßen vorgehen:
  • Definiere die Funktion $K$
  • Bilde die Ableitung der Funktion $K$
  • Prüfe, ob gilt: $K'(x)>0$
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Da solve hier true liefert, ist die Bedingung $K'(x)\geq 0$ erfüllt. Die Funktion $K(x)$ ist streng monoton steigend. Die Gesamtkosten erhöhen sich damit mit einer größeren Produktionsmenge.
1.2
$\blacktriangleright$ Berechnen der Gewinnzone
  • Der Gewinn ist die Differenz aus dem Erlös und den Gesamtkosten. Die Gesamtkosten werden durch die Funktion $K$ beschrieben.
  • Der Erlös ist das Produkt von Verkaufspreis und Verkaufsmenge.
  • Der Verkaufspreis beträgt $50$ GE pro verkaufter Einheit.
Stelle zunächst eine Funktion $E$ auf, die den Erlös beschreibt. Da die Funktion $E$ das Produkt aus Verkaufspreis und Verkaufsmenge ist, lautet die Funktion $E$:
$E(x)=50x$
Um die Gewinnzone zu bestimmen, hast du zwei Möglichkeiten.
Lösungsweg A: Du stellst eine Funktion $G$ auf, die den Gewinn beschreibt. Damit das Unternehmen Gewinn nach dieser Funktion macht, musst du das Intervall der Funktion bestimmen, bei dem die Funktionswerte größer Null sind. Berechne dazu die Nullstellen dieser Funktion.
Bei Lösungsweg B berechnest du die Schnittpunkte der Funktion $K$ und der Funktion $E$, die den Erlös beschreibt. Wenn der Erlös größer ist als die Gesamtkosten, macht das Unternehmen Gewinn.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Nullstellen von $\boldsymbol{G}$
Die Funktion $G$ lässt sich durch die Differenz der Funktionen $E$ und $K$ beschreiben:
$G(x)=E(x)-K(x)$ Wenn du nun die Funktionsgleichungen von $E$ und $K$ einsetzt, erhältst du $G$.
$\begin{array}{rrl} G(x)&=& E(x)-K(x) \\[5pt] &=& 50x-(x^3-10x^2+40x+100) \\[5pt] &=& 50x-x^3+10x^2-40x-100 \\[5pt] &=& -x^3+10x^2+10x-100 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} G(x)&=& E(x)-K(x) \\[5pt] \end{array}$
Die Nullstellen der Funktion $G$ kannst du mit deinem CAS-Rechner bestimmen. Gehe dazu in den Calculator-Modus und gib folgende Gleichung ein:
$-x^3+10x^2+10x-100=0$
Löse diese Gleichung nach $x$ auf.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die Nullstellen liegen bei $x_1=-\sqrt{10}$, $x_2=\sqrt{10}$ und $x_3=10$. Da die Nullstelle bei $x_1=-\sqrt{10}$ nicht in dem vorgegebenen Bereich von $0$ bis $11$ liegt, liegt die Gewinnzone zwischen $x_2 = \sqrt{10}$ und $x_3 = 10$.
Die Gewinnzone liegt zwischen den Produktionsmengen von $\sqrt{10}$ und $10$ Mengeneinheiten.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Schnittpunkt von $\boldsymbol{E}$ und $\boldsymbol{K}$
Den Schnittpunkt der Graphen der Funktionen $K$ und $E$ kannst du mit deinem CAS-Rechner berechnen. Um die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen zu berechnen, setzt du die Funktionsgleichungen von $K(x)$ und $E(x)$ gleich.
$\begin{array}{rrl} E(x)&=& K(x) \\[5pt] 50x&=& x^3-10x^2+40x+100 \end{array}$
Im Calculator-Modus kannst du diese Gleichung lösen.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die Schnittpunkte liegen bei $x_1=-\sqrt{10}$, $x_2=\sqrt{10}$ und $x_3=10$. Der Wert von $x_1$ liegt jedoch nicht in dem vorgegebenen Bereich, denn für $x$ muss $x \in \left[0;11 \right]$ gelten.
Die Gewinnzone liegt zwischen den Produktionsmengen von $\sqrt{10}$ und $10$ Mengeneinheiten.
$\blacktriangleright$ Berechnen des maximalen Gewinns
Den maximalen Gewinn erhältst du, indem du das Maximum der Funktion $G$ bestimmst. Der Funktionsterm von $G$ lautet:
$G(x)=-x^3+10x^2+10x-100$
Die Funktion hast du im ersten Aufgabenteil bei dem Lösungsweg A gebildet.
Falls du die Gewinnzone mit dem Lösungsweg B gebildet hast, kannst du dort nachschauen, wie sich die Funktion $G$ zusammensetzt. Um den maximalen Gewinn zu berechnen, untersuchst du die Funktion auf Extremstellen im Intervall $x \in \left[0;11\right]$. Der maximale Gewinn entspricht der $y$-Koordinate des Hochpunktes des Graphen von $G$. Für eine Extremstelle an der Stelle $x_E$ einer Funktion $f$ gilt folgendes:
  • notwendiges Kriterium $\boldsymbol{f'(x_E)=0}$
  • hinreichendes Kriterium $\boldsymbol{f''(x_E)\neq0}$
Gilt für die Extremstelle $x_E$ $f''(x_E) > 0$ handelt es sich um ein Minimum, gilt $f''(x_E) < 0$ um ein Maximum. Du kannst die Funktion $G$ mit deinem CAS-Rechner auf Extremstellen untersuchen. Definiere dazu zunächst die Funktion $G$. Bilde dann die erste und zweite Ableitung dieser Funktion. Wenn du nun die erste Ableitung gleich null setzt, erhältst du potentielle Extremstellen bei $x_1=\dfrac{-\sqrt{130}+10}{3}$ und $x_2=\dfrac{\sqrt{130}+10}{3}$. Der Wert von $x_1$ liegt nicht in dem vorgegebenen Bereich von $0$ bis $11$. Daher kannst du nur den Wert von $x_2$ in die zweiten Ableitung einsetzen, um das hinreichende Kriterium zu überprüfen. Du erkennst, dass dieser Wert kleiner als Null ist. Es handelt sich daher um ein Maximum. Durch Einsetzen von $x_2$ in die Funktionsgleichung erhältst du die $y$-Koordinate des Hochpunktes des Graphen.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Der Graph hat ein Hochpunkt $H$ mit den Koordinaten $H(7,13\mid117,2)$. Der maximale Gewinn beträgt somit $117$ Geldeinheiten.
$\blacktriangleright$ Prüfen, ob der mittlere Gewinn $\boldsymbol{50\,\%}$ übersteigt
Den mittleren Gewinn $\overline{G}$ kannst du mit Hilfe des Integrals berechnen. Der gesamte Gewinn entspricht dem Integral mit den Grenzen der Gewinnzone. Den mittleren Gewinn erhältst du, indem du diese Fläche durch die Spanne der Produktionsmenge dividierst. Um zu berechnen, wie viel Prozent der mittlere Gewinn des maximalen Gewinns entspricht, benötigst du die Prozentformel:
$p\,\%=\frac{W}{G}\cdot 100\,\%$
$p\,\%=\frac{W}{G}\cdot 100\,\%$
Dabei ist $p$ der Prozentsatz, $W$ der Prozentwert und $G$ der Grundwert. Der mittlere Gewinn ergibt sich nach den obigen Angaben über die folgende Formel:
$\overline{G}=\dfrac{\displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{10}G(x)\mathrm dx}{10-\sqrt{10}}$
$\overline{G}=\dfrac{\displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{10}G(x)\mathrm dx}{10-\sqrt{10}}$
Berechne hier nun wie folgt mit deinem CAS:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Der mittlere Gewinn $\overline{G}$ beträgt $\dfrac{5\cdot(13\sqrt{10}+50)}{6}=75,9$ Geldeinheiten. Um zu prüfen, ob der mittlere Gewinn $50\,\%$ des maximalen Gewinns übersteigt, setzt du die Werte in die Prozentformel ein. Der mittlere Gewinn $\overline{G}$ entspricht dabei dem Prozentwert und der maximale Gewinn dem Grundwert.
$\begin{array}{rrl} p\,\%&=& \dfrac{W}{G}\cdot100\,\% \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{75,9}{117,2}\cdot100\,\% \\[5pt] p\,\%&=& 64,8\,\% \end{array}$
Der mittlere Gewinn übersteigt $50\,\%$ des maximalen Gewinns.
1.3
$\blacktriangleright$ Zeichnen der Tangenten für die langfristige Preisuntergrenze
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die „langfristige Preisuntergrenze“ der Steigung der Tangenten an $SK$ entspricht, die durch den Ursprung verläuft. Im ersten Schritt sollst du diese Tangente hier Zeichnen.
Willst du diese Tangente hier zeichnen, so ergänzt du das Schaubild aus Aufgabenteil 1.1. Setze mit deinem Geodreieck im Ursprung an und verschiebe dieses so lange, bis es tangential an $SK$ anliegt. Hier kannst du die Tangente für die „langfristige Preisuntergrenze“ einzeichnen. Dein Schaubild sollte hier so aussehen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
$\blacktriangleright$ Rechnerisches Bestimmen der langfristigen Preisuntergrenze
Weiterhin sollst du in diesem Aufgabenteil die langfristige Preisuntergrenze rechnerisch bestimmen. Von oben weißt du, dass die langfristige Preisuntergrenze der Steigung der Tangenten an $SK$, die durch den Ursprung verläuft, entspricht. Hier gilt es also diese Tangente zu bestimmen. Die allgemeine Tangentengleichung lautet:
$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$
$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$
Dabei ist $f$ die betrachtete Funktion. Hier entspricht $f$ also $K$. $x_0$ ist hier die Stelle, an welche die Tangente $t$ an den betrachteten Graphen angelegt wird. $f'(x_0)$ entspricht der Steigung der Tangenten. Diese gilt es hier zu berechnen.
Bevor du die hier gesuchte Steigung berechnen kannst, musst du die Stelle $x_0$, an welcher die Tangente an den Graphen von $K$ angelegt wird, bestimmen. Da du weißt, dass die Tangente in jedem Fall durch den Ursprung verläuft, kannst du dessen Koordinaten verwenden, um $x_0$ zu berechnen. Hast du $x_0$ bestimmt, so kannst du die langfristige Preisuntergrenze bestimmen. Setzt du $K$ und $O(0 \mid 0))$ in die Gleichung für $t$ ein, so sollte diese hier wie folgt aussehen:
$t(0)= 0 = K'(x_0) \cdot (0 - x_0) +(x_0)$
$t(0)= 0 = K'(x_0) \cdot (0 - x_0) +(x_0)$
Löse diese Gleichung wie im nachfolgenden Schaubild mit deinem CAS, um $x_0$ zu bestimmen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die Tangente muss also bei $x_0 \approx 6,271$ an den Graphen von $K$ angelegt werden. Die langfristige Preisuntergrenze beträgt 32,56 Geldeinheiten.
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1.1
$\blacktriangleright$ Zeichnen des Schaubildes $\boldsymbol {SK}$
Um das Schaubild $SK$ zu zeichnen, solltest du dir die zugehörige Wertetabelle anschauen. Die Produktionsmenge $x$ kann die Werte von $0$ bis $11$ annehmen. Du kannst dir mit deinem CAS-Rechner eine Wertetabelle anzeigen lassen. Gehe dazu in den Graph-Modus und gib den Funktionsterm $K(x)$ ein und lasse dir die Wertetabelle anzeigen.
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Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Nach der Hilfestellung von oben, sollte dein Schaubild hier so aussehen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
$\blacktriangleright$Prüfen der Behauptung
Damit bei einer größeren Produktionsmenge auch die Gesamtkosten steigen, muss die Funktion $K$ streng monoton steigend sein. Es muss folgendes Kriterium erfüllt sein, dass eine stetige Funktion $f$ monoton ansteigend ist:
$f'(x)\geq 0$
$f'(x)\geq 0$
Um zu überprüfen, ob die Gesamtkosten bei steigender Produktionsmenge ansteigen, kannst du mit dem CAS-Rechner folgendermaßen vorgehen:
  • Definiere die Funktion $K$
  • Bilde die Ableitung der Funktion $K$
  • Prüfe, ob gilt: $K'(x)>0$
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Da solve hier x=x liefert, ist die Bedingung $K'(x)\geq 0$ erfüllt. Die Funktion $K$ ist streng monoton steigend. Die Gesamtkosten erhöhen sich damit mit einer größeren Produktionsmenge.
1.2
$\blacktriangleright$ Berechnen der Gewinnzone
  • Der Gewinn ist die Differenz aus dem Erlös und den Gesamtkosten. Die Gesamtkosten werden durch die Funktion $K$ beschrieben.
  • Der Erlös ist das Produkt von Verkaufspreis und Verkaufsmenge.
  • Der Verkaufspreis beträgt $50$ GE pro verkaufter Einheit.
Stelle zunächst eine Funktion $E$ auf, die den Erlös beschreibt. Da die Funktion $E$ das Produkt aus Verkaufspreis und Verkaufsmenge ist, lautet die Funktion $E$:
$E(x)=50x$
Um die Gewinnzone zu bestimmen, hast du zwei Möglichkeiten.
Lösungsweg A: Du stellst eine Funktion $G$ auf, die den Gewinn beschreibt. Damit das Unternehmen Gewinn nach dieser Funktion macht, musst du das Intervall der Funktion bestimmen, bei dem die Funktionswerte größer Null sind. Berechne dazu die Nullstellen dieser Funktion.
Bei Lösungsweg B berechnest du die Schnittpunkte der Funktion $K$ und der Funktion $E$, die den Erlös beschreibt. Wenn der Erlös größer ist als die Gesamtkosten, macht das Unternehmen Gewinn.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Nullstellen von $\boldsymbol{G}$
Die Funktion $G$ lässt sich durch die Differenz der Funktionen $E$ und $K$ beschreiben:
$G(x)=E(x)-K(x)$ Wenn du nun die Funktionsgleichungen von $E$ und $K$ einsetzt, erhältst du $G$.
$\begin{array}{rrl} G(x)&=& E(x)-K(x) \\[5pt] &=& 50x-(x^3-10x^2+40x+100) \\[5pt] &=& 50x-x^3+10x^2-40x-100 \\[5pt] &=& -x^3+10x^2+10x-100 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} G(x)&=& E(x)-K(x) \end{array}$
Die Nullstellen der Funktion $G$ kannst du mit deinem CAS-Rechner bestimmen. Gehe dazu in den Calculator-Modus und gib folgende Gleichung ein:
$-x^3+10x^2+10x-100=0$
Löse diese Gleichung nach $x$ auf.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die Nullstellen liegen bei $x_1=-\sqrt{10}$, $x_2=\sqrt{10}$ und $x_3=10$. Da die Nullstelle bei $x_1=-\sqrt{10}$ nicht in dem vorgegebenen Bereich von $0$ bis $11$ liegt, liegt die Gewinnzone zwischen $x_2 = \sqrt{10}$ und $x_3 = 10$.
Die Gewinnzone liegt zwischen den Produktionsmengen von $\sqrt{10}$ und $10$ Mengeneinheiten.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Schnittpunkt von $\boldsymbol{E}$ und $\boldsymbol{K}$
Den Schnittpunkt der Graphen der Funktionen $K$ und $E$ kannst du mit deinem CAS-Rechner berechnen. Um die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen zu berechnen, setzt du die Funktionsgleichungen von $K(x)$ und $E(x)$ gleich.
$\begin{array}{rrl} E(x)&=& K(x) \\[5pt] 50x&=& x^3-10x^2+40x+100 \end{array}$
Im Calculator-Modus kannst du diese Gleichung lösen.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die Schnittpunkte liegen bei $x_1=-\sqrt{10}$, $x_2=\sqrt{10}$ und $x_3=10$. Der Wert von $x_1$ liegt jedoch nicht in dem vorgegebenen Bereich, denn für $x$ muss $x \in \left[0;11 \right]$ gelten.
Die Gewinnzone liegt zwischen den Produktionsmengen von $\sqrt{10}$ und $10$ Mengeneinheiten.
$\blacktriangleright$ Berechnen des maximalen Gewinns
Den maximalen Gewinn erhältst du, indem du das Maximum der Funktion $G$ bestimmst. Der Funktionsterm von $G$ lautet:
$G(x)=-x^3+10x^2+10x-100$
Die Funktion hast du im ersten Aufgabenteil bei dem Lösungsweg A gebildet.
Falls du die Gewinnzone mit dem Lösungsweg B gebildet hast, kannst du dort nachschauen, wie sich die Funktion $G$ zusammensetzt. Um den maximalen Gewinn zu berechnen, untersuchst du die Funktion auf Extremstellen im Intervall $x \in \left[0;11\right]$. Der maximale Gewinn entspricht der $y$-Koordinate des Hochpunktes des Graphen von $G$. Für eine Extremstelle an der Stelle $x_E$ einer Funktion $f$ gilt folgendes:
  • notwendiges Kriterium $\boldsymbol{f'(x_E)=0}$
  • hinreichendes Kriterium $\boldsymbol{f''(x_E)\neq0}$
Gilt für die Extremstelle $x_E$ $f''(x_E) > 0$ handelt es sich um ein Minimum, gilt $f''(x_E) < 0$ um ein Maximum. Du kannst die Funktion $G$ mit deinem CAS-Rechner auf Extremstellen untersuchen. Definiere dazu zunächst die Funktion $G$. Bilde dann die erste und zweite Ableitung dieser Funktion. Wenn du nun die erste Ableitung gleich null setzt, erhältst du potentielle Extremstellen bei $x_1=\dfrac{-\sqrt{130}+10}{3}$ und $x_2=\dfrac{\sqrt{130}+10}{3}$. Der Wert von $x_1$ liegt nicht in dem vorgegebenen Bereich von $0$ bis $11$. Daher kannst du nur den Wert von $x_2$ in die zweiten Ableitung einsetzen, um das hinreichende Kriterium zu überprüfen. Du erkennst, dass dieser Wert kleiner als Null ist. Es handelt sich daher um ein Maximum. Durch Einsetzen von $x_2$ in die Funktionsgleichung erhältst du die $y$-Koordinate des Hochpunktes des Graphen.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
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Der Graph hat ein Hochpunkt $H$ mit den Koordinaten $H(7,13\mid117,2)$. Der maximale Gewinn beträgt somit $117$ Geldeinheiten.
$\blacktriangleright$ Prüfen, ob der mittlere Gewinn $\boldsymbol{50\,\%}$ übersteigt
Den mittleren Gewinn $\overline{G}$ kannst du mit Hilfe des Integrals berechnen. Der gesamte Gewinn entspricht dem Integral mit den Grenzen der Gewinnzone. Den mittleren Gewinn erhältst du, indem du diese Fläche durch die Spanne der Produktionsmenge dividierst. Um zu berechnen, wie viel Prozent der mittlere Gewinn des maximalen Gewinns entspricht, benötigst du die Prozentformel:
$p\,\%=\frac{W}{G}\cdot 100\,\%$
$p\,\%=\frac{W}{G}\cdot 100\,\%$
Dabei ist $p$ der Prozentsatz, $W$ der Prozentwert und $G$ der Grundwert. Der mittlere Gewinn ergibt sich nach den obigen Angaben über die folgende Formel:
$\overline{G}=\dfrac{\displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{10}G(x)\mathrm dx}{10-\sqrt{10}}$
$\overline{G}=\dfrac{\displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{10}G(x)\mathrm dx}{10-\sqrt{10}}$
Berechne hier nun wie folgt mit deinem CAS:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
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Der mittlere Gewinn $\overline{G}$ beträgt 75,9 Geldeinheiten. Um zu prüfen, ob der mittlere Gewinn $50\,\%$ des maximalen Gewinns übersteigt, setzt du die Werte in die Prozentformel ein. Der mittlere Gewinn $\overline{G}$ entspricht dabei dem Prozentwert und der maximale Gewinn dem Grundwert.
$\begin{array}{rrl} p\,\%&=& \dfrac{W}{G}\cdot100\,\% \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{75,9}{117,2}\cdot100\,\% \\[5pt] p\,\%&=& 64,8\,\% \end{array}$
Der mittlere Gewinn übersteigt $50\,\%$ des maximalen Gewinns.
1.3
$\blacktriangleright$ Zeichnen der Tangenten für die langfristige Preisuntergrenze
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die „langfristige Preisuntergrenze“ der Steigung der Tangenten an $SK$ entspricht, die durch den Ursprung verläuft. Im ersten Schritt sollst du diese Tangente hier Zeichnen.
Willst du diese Tangente hier zeichnen, so ergänzt du das Schaubild aus Aufgabenteil 1.1. Setze mit deinem Geodreieck im Ursprung an und verschiebe dieses so lange, bis es tangential an $SK$ anliegt. Hier kannst du die Tangente für die „langfristige Preisuntergrenze“ einzeichnen. Dein Schaubild sollte hier so aussehen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
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$\blacktriangleright$ Rechnerisches Bestimmen der langfristigen Preisuntergrenze
Weiterhin sollst du in diesem Aufgabenteil die langfristige Preisuntergrenze rechnerisch bestimmen. Von oben weißt du, dass die langfristige Preisuntergrenze der Steigung der Tangenten an $SK$, die durch den Ursprung verläuft, entspricht. Hier gilt es also diese Tangente zu bestimmen. Die allgemeine Tangentengleichung lautet:
$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$
$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$
Dabei ist $f$ die betrachtete Funktion. Hier entspricht $f$ also $K$. $x_0$ ist hier die Stelle, an welche die Tangente $t$ an den betrachteten Graphen angelegt wird. $f'(x_0)$ entspricht der Steigung der Tangenten. Diese gilt es hier zu berechnen.
Bevor du die hier gesuchte Steigung berechnen kannst, musst du die Stelle $x_0$, an welcher die Tangente an den Graphen von $K$ angelegt wird, bestimmen. Da du weißt, dass die Tangente in jedem Fall durch den Ursprung verläuft, kannst du dessen Koordinaten verwenden, um $x_0$ zu berechnen. Hast du $x_0$ bestimmt, so kannst du die langfristige Preisuntergrenze bestimmen. Setzt du $K$ und $O(0 \mid 0))$ in die Gleichung für $t$ ein, so sollte diese hier wie folgt aussehen:
$t(0)= 0 = K'(x_0) \cdot (0 - x_0) +(x_0)$
$t(0)= 0 = K'(x_0) \cdot (0 - x_0) +(x_0)$
Löse diese Gleichung wie im nachfolgenden Schaubild mit deinem CAS, um $x_0$ zu bestimmen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
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Die Tangente muss also bei $x_0 \approx 6,271$ an den Graphen von $K$ angelegt werden. Die langfristige Preisuntergrenze beträgt 32,56 Geldeinheiten.
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