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2
In einem Labor soll ein neues Antibiotikum gegen bakterielle Entzündungen getestet werden. Das Testobjekt ist eine Bakterienkultur, von der zwei Proben Ⅰ und Ⅱ entnommen werden. Diese Proben weisen zu Beginn der Untersuchung jeweils 10 Millionen Bakterien pro Milliliter (ml) auf.
2.1
Der Probe Ⅰ wird kein Antibiotikum zugeführt. Die Anzahl der Bakterien pro ml in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Stunden wird durch die Funktion $A$ mit
$A(t)=A(0)\cdot\mathrm e^{0,2t}$;   $t\geq0$
$A(t)=A(0)\cdot\mathrm e^{0,2t}\;\,$;   $t\geq0$
beschrieben.
Bestimmen Sie die Anzahl der Bakterien pro ml zum Zeitpunkt $t=8$.
In welcher Zeit verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien?
(3P)
 Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
2.2
Der Probe Ⅱ wird ab dem Zeitpunkt $t=0$ das Antibiotikum kontinuierlich zugeführt. Dadurch entwickelt sich die Anzahl der Bakterien pro ml entsprechend der Funktion $B$ mit
$B(t)=B(0)\cdot\mathrm e^{0,2t-0,75c\cdot t^{2}}$;   $t\geq0$.
$B(t)=B(0)\cdot\mathrm e^{0,2t-0,75c\cdot t^{2}}\;\,$;   $t\geq0$.
Der Parameter $c>0$ spezifiziert hierbei die Wirksamkeit des Antibiotikums.
2.2.1
Nach acht Stunden beträgt die Anzahl der Bakterien pro ml 30 Millionen.
Bestimmen Sie $c$ auf fünf Nachkommastellen gerundet.
(1P)
 Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
2.2.2
Zeichnen Sie das Schaubild von $B$ mit $c=0,0104$ für die ersten 50 Stunden.
Wie groß ist bei Probe Ⅱ die mittlere Änderungsrate der Bakterienanzahl pro ml in den ersten vier Stunden?
(4P)
 Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
2.2.3
Ein Antibiotikum wird als wirksam anerkannt, wenn es folgenden Anforderungen genügt:
  • Innerhalb der ersten 12 Stunden muss es einen Zeitpunkt geben, ab dem sich die Zunahme der Bakterienanzahl pro ml verringert.
  • Nach einem Tag darf es keine Zunahme der Bakterienanzahl pro ml mehr geben.
  • Die Anzahl der Bakterien muss nach 50 Stunden unter 1.000 Bakterien pro ml abgesunken sein.
Prüfen Sie, ob das Antibiotikum mit $c=0,0104$ diesen Anforderungen entspricht.
(5P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.2.4
Vergleichen Sie die Wirksamkeit dieses Antibiotikums mit der eines anderen, das einen größeren Wert von $c$ aufweist.
(2P)
 Aufgabe entfällt ab 2017

(15P)
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