Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Berufl. Gymnasium (BTG)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Fach & Lernbereich
Fach: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (WTR)
Abitur bis 2016 (GTR)
Abitur bis 2016 (CAS)
Abitur bis 20...
Prüfung
wechseln
Abitur (WTR)
Abitur bis 2016 (GTR)
Abitur bis 2016 (CAS)
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur bis 2016 (CAS)
Abi 2016
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2015
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2014
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2013
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Abi 2012
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Abi 2011
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Abi 2010
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Abi 2009
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...

Anwendungsorientierte Aufgaben 2

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord
2
In einem Labor soll ein neues Antibiotikum gegen bakterielle Entzündungen getestet werden. Das Testobjekt ist eine Bakterienkultur, von der zwei Proben Ⅰ und Ⅱ entnommen werden. Diese Proben weisen zu Beginn der Untersuchung jeweils 10 Millionen Bakterien pro Milliliter (ml) auf.
2.1
Der Probe Ⅰ wird kein Antibiotikum zugeführt. Die Anzahl der Bakterien pro ml in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Stunden wird durch die Funktion $A$ mit
$A(t)=A(0)\cdot\mathrm e^{0,2t}$;   $t\geq0$
$A(t)=A(0)\cdot\mathrm e^{0,2t}\;\,$;   $t\geq0$
beschrieben.
Bestimmen Sie die Anzahl der Bakterien pro ml zum Zeitpunkt $t=8$.
In welcher Zeit verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien?
(3P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 2  Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
2.2
Der Probe Ⅱ wird ab dem Zeitpunkt $t=0$ das Antibiotikum kontinuierlich zugeführt. Dadurch entwickelt sich die Anzahl der Bakterien pro ml entsprechend der Funktion $B$ mit
$B(t)=B(0)\cdot\mathrm e^{0,2t-0,75c\cdot t^{2}}$;   $t\geq0$.
$B(t)=B(0)\cdot\mathrm e^{0,2t-0,75c\cdot t^{2}}\;\,$;   $t\geq0$.
Der Parameter $c>0$ spezifiziert hierbei die Wirksamkeit des Antibiotikums.
2.2.1
Nach acht Stunden beträgt die Anzahl der Bakterien pro ml 30 Millionen.
Bestimmen Sie $c$ auf fünf Nachkommastellen gerundet.
(1P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 2  Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
2.2.2
Zeichnen Sie das Schaubild von $B$ mit $c=0,0104$ für die ersten 50 Stunden.
Wie groß ist bei Probe Ⅱ die mittlere Änderungsrate der Bakterienanzahl pro ml in den ersten vier Stunden?
(4P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 2  Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
2.2.3
Ein Antibiotikum wird als wirksam anerkannt, wenn es folgenden Anforderungen genügt:
  • Innerhalb der ersten 12 Stunden muss es einen Zeitpunkt geben, ab dem sich die Zunahme der Bakterienanzahl pro ml verringert.
  • Nach einem Tag darf es keine Zunahme der Bakterienanzahl pro ml mehr geben.
  • Die Anzahl der Bakterien muss nach 50 Stunden unter 1.000 Bakterien pro ml abgesunken sein.
Prüfen Sie, ob das Antibiotikum mit $c=0,0104$ diesen Anforderungen entspricht.
(5P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 2  Aufgabe entfällt ab 2017
2.2.4
Vergleichen Sie die Wirksamkeit dieses Antibiotikums mit der eines anderen, das einen größeren Wert von $c$ aufweist.
(2P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 2  Aufgabe entfällt ab 2017

(15P)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
2.1
$\blacktriangleright$ Bestimme die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt $\boldsymbol {t=8}$
Die Anzahl der Bakterien pro ml in Abhängigkeit von der Zeit wird durch folgende Funktion beschrieben:
$A(t)=A(0)\cdot\mathrm e^{0,2t}\quad t\geq0$
Zu Beginn der Beobachtung gibt es 10 Mio Bakterien pro Milliliter. Dieser Wert entspricht dem Funktionswert $A(0)$. Um die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt $t=8$ zu bestimmen, setzt du diese Werte in die Funktion $A(t)$ ein.
$\blacktriangleright$ Berechnung der Verdopplungszeit
Hier sollst du berechnen, in welcher Zeit sich die Bakterienanzahl verdoppelt hat. Dabei weißt du, dass zum Anfang der Untersuchung insgesamt 10 Mio. Bakterien pro ml in den Proben vorhanden waren. Willst du den Zeitpunkt bestimmen, zu welchem sich die Anzahl der Bakterien verdoppelt hat, so berechnest du den Zeitpunkt, an welchem sich der Anfangsbestand $A(0)$ verdoppelt hat. Setze dazu den Term der Funktion $A$ mit dem Doppelten von $A(0)$ gleich.
2.2
2.2.1
$\blacktriangleright$ Bestimmen des Parameters $\boldsymbol {c}$
In dieser Aufgabe hast du folgenden Funktionsterm gegeben:
$B(t)$$=B(0)\cdot\mathrm e^{0,2t-0,75c\cdot t^2}\quad$ mit $t\geq0$ und $c > 0$
Der Aufgabenstellung kannst du weiterhin entnehmen, dass nach acht Stunden die Anzahl der Bakterien 30 Mio. beträgt. Deine Aufgabe ist es dabei, den zugehörigen Parameterwert von $c$ auf 5 Nachkommastellen genau zu bestimmen.
Da nach 8 Stunden die Anzahl der Bakterien auf 30 Mio gestiegen ist, muss für die Funktion $B$ an dieser Stelle folgendes gelten:
  • $B(8)=30$.
Willst du nun ausgehend davon den Parameterwert von $c$ bestimmen, so setzt du diesen Zusammenhang in den Term der Funktion $B$ ein und löst nach Parameter $c$.
2.2.2
$\blacktriangleright$ Zeichne das Schaubild von $\boldsymbol B$
Nun hast den Parameter $c$ gegeben mit $c=0,0104$. Deine Aufgabe ist es, das Schaubild für die ersten 50 Stunden zu zeichnen. Hier betrachtest du also:
$\begin{array}{rrl} B(t)&=& B(0)\cdot\mathrm e^{0,2t-0,75c\cdot t^2} \\[5pt] B(t)&=& 10\cdot\mathrm e^{0,2t-0,75\cdot0,0104\cdot t^2} \\[5pt] B(t)&=& 10\cdot\mathrm e^{0,2t-0,0078\cdot t^2} \end{array}$
Gib diese Funktion in den Graphs-Modus deines CAS ein. Du sollst das Schaubild für die ersten 50 Stunden zeichnen. Wähle also deine $x$-Achse von 0 bis 50.
$\blacktriangleright$ Berechnung der mittleren Änderungsrate
Die mittlere Änderungsrate in den ersten vier Stunden wird mit Hilfe eines Integrals über die Funktion berechnet. Die untere Grenze ist der Beobachtungsbeginn bei $t = 0$ und die obere Grenze gibt den Zeitpunkt nach vier Stunden an, also $t = 4$. Um die mittlere Änderungsrate zu berechnen, dividiert man hier das Integral durch die Anzahl der Stunden. Es gilt dabei folgende Formel:
$\text{mittlere Änderungsrate} = \dfrac{\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}\;B((t)dt}{t_1 - t_0}$
$\text{mittlere Änderungsrate} $$= \dfrac{\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}\;B((t)dt}{t_1 - t_0}$
$t_0$ und $t_1$ entsprechen dabei den Anfangs- und Endzeitpunkten der Beobachtung.
2.2.3
$\blacktriangleright$ Überprüfen, ob das Antibiotikum den Anforderungen entspricht
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass ein Antibiotikum dann als wirksam angesehen wird, wenn es den folgenden Anforderungen genügt:
  • Innerhalb der ersten 12 Stunden muss es einen Zeitpunkt geben, ab dem sich die Zunahme der Bakterienanzahl pro ml verringert.
  • Nach einem Tag darf es keine Zunahme der Bakterienanzahl pro ml geben.
Deine Aufgabe ist es nun, zu überprüfen, ob das Antibiotikum mit $c = 0,0104$ diese Anforderungen erfüllt. Willst du diese Anforderungen in Bezug zum Antibiotikum untersuchen, so untersuchst du hier die Funktion $B$ mit Parameterwert $c = 0,0104$. Bevor du damit anfängst, die Bedingungen zu untersuchen, solltest du dir zunächst klar gemacht haben, was diese im Bezug zur Funktion $B$ bedeuten.
Die erste Aussage besagt, dass es innerhalb der ersten 12 Stunden einen Zeitpunkt geben muss, ab dem sich die Zunahme der Bakterienanzahl pro ml verringert. Beziehst du dich hier auf die Steigung von $B$, so muss $B$ zwischen $t = 0$ und $t = 12$ eine Wendestelle besitzen. Denke dabei daran, dass eine Wendestelle da vorliegt, wo folgende Bedingungen erfüllt sind:
  • Notwendige Bedingung: $B''(x_W) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $B'''(x_W) \neq 0$
Weiterhin darf es nach einem Tag keine Zunahme der Bakterienanzahl pro ml geben. Hier musst du also erneut die Steigung des Graphen von $B$ betrachten. Diese darf nach einem Tag keine Werte größer Null mehr annehmen:
$B'(t) \leq 0\;\text{für}\;t \geq 24$
$B'(t) \leq 0\;\text{für}\;t \geq 24$
Zuletzt soll die Anzahl der Bakterien nach 50 Stunden unter 1.000 Bakterien pro ml abgesunken sein. Da der Graph von $B$ die Größe des Bakterienbestands beschreibt, betrachtest du hier den Funktionswert von $B$ an der Stelle $t = 50$. Für den Funktionswert muss an dieser Stelle offensichtlich folgendes gelten:
$B(t = 50) \leq 0,001$
$B(t = 50) \leq 0,001$
2.2.4
$\blacktriangleright$Vergleichen der Wirksamkeit mit der eines Antibiotikums mit größerem $\boldsymbol{c}$
Nun sollst du die Wirksamkeit des Antibiotikums mit $c = 0,0104$ mit der Wirksamkeit eines Antibiotikums vergleichen, welches ein größeres $c$ aufweist.
Nimm dazu beispielsweise ein Antibiotikum mit einem $c^*$ von $c^* = 0,02$ an. Zeichne den zugehörigen Graph dann in das Schaubild von 2.2.1 ein und gehe dabei vor wie beim Zeichnen des Schaubilds von $B_{0,0104}$. Hast du die beiden Graphen in ein Schaubild übertragen, so kannst du diese in Bezug zu den Kriterien aus 2.2.3 vergleichen. Das Schaubild sollte hier wie folgt aussehen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF
2.1
$\blacktriangleright$ Bestimme die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt $\boldsymbol {t=8}$
Die Anzahl der Bakterien pro ml in Abhängigkeit von der Zeit wird durch folgende Funktion beschrieben:
$A(t)=A(0)\cdot\mathrm e^{0,2t}\quad t\geq0$
Zu Beginn der Beobachtung gibt es 10 Mio Bakterien pro Milliliter. Dieser Wert entspricht dem Funktionswert $A(0)$. Um die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt $t=8$ zu bestimmen, setzt du diese Werte in die Funktion $A(t)$ ein.
$\begin{array}{rrl} A(t)&=&A(0)\cdot\mathrm e^{0,2t} \\[5pt] A(8)&=&10\cdot\mathrm e^{0,2\cdot8} \\[5pt] A(8)&\approx&49,5 \end{array}$
Zum Zeitpunkt $t=8$ gibt es etwa 49,5 Mio Bakterien pro Milliliter.
$\blacktriangleright$ Berechnung der Verdopplungszeit
Hier sollst du berechnen, in welcher Zeit sich die Bakterienanzahl verdoppelt hat. Dabei weißt du, dass zum Anfang der Untersuchung insgesamt 10 Mio. Bakterien pro ml in den Proben vorhanden waren. Willst du den Zeitpunkt bestimmen, zu welchem sich die Anzahl der Bakterien verdoppelt hat, so berechnest du den Zeitpunkt, an welchem sich der Anfangsbestand $A(0)$ verdoppelt hat. Setze dazu den Term der Funktion $A$ mit dem Doppelten von $A(0)$ gleich. Hier gilt es also folgende Gleichung zu lösen:
$\begin{array}{rrlrl} 2\cdot A(0)&=&A(0)\cdot\mathrm e^{0,2t}&& \mid\; :A(0) \\[5pt] 2&=&\mathrm e^{0,2t}&& \mid\;\ln(\,) \\[5pt] \ln(2)&=&0,2t&& \mid\;:0,2 \\[5pt] t&\approx&3,47 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} 2\cdot A(0)&=&A(0)\cdot\mathrm e^{0,2t} \\[5pt] 2&=&\mathrm e^{0,2t} \\[5pt] \ln(2)&=&0,2t \\[5pt] t&\approx&3,47 \end{array}$
Es gilt also $t\approx3,47$.
Die Anzahl der Bakterien verdoppelt sich nach etwa 3,5 Stunden.
2.2
2.2.1
$\blacktriangleright$ Bestimmen des Parameters $\boldsymbol {c}$
In dieser Aufgabe hast du folgenden Funktionsterm gegeben:
$B(t)=B(0)\cdot\mathrm e^{0,2t-0,75c\cdot t^2}\quad$ mit $t\geq0$ und $c > 0$
Der Aufgabenstellung kannst du weiterhin entnehmen, dass nach acht Stunden die Anzahl der Bakterien 30 Mio. beträgt. Deine Aufgabe ist es dabei, den zugehörigen Parameterwert von $c$ auf 5 Nachkommastellen genau zu bestimmen.
Da nach 8 Stunden die Anzahl der Bakterien auf 30 Mio gestiegen ist, muss für die Funktion $B$ an dieser Stelle folgendes gelten:
  • $B(8)=30$.
Willst du nun ausgehend davon den Parameterwert von $c$ bestimmen, so setzt du diesen Zusammenhang in den Term der Funktion $B$ ein und löst nach Parameter $c$. Hier ergibt sich also folgende Gleichung:
$\begin{array}{rl} B(t)&=&B(0)\cdot\mathrm e^{0,2t-0,75c\cdot t^2} \\[5pt] 30&=&10\cdot\mathrm e^{0,2\cdot8-0,75c\cdot 8^2} \end{array}$
Diese Gleichung gilt es nun nach $c$ zu lösen, wobei du $c$ auf 5 Nachkommstellen genau runden sollst. Löse diese Gleichung mit dem solve-Befehl deines CAS:
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Der gesuchte und auf fünf Nachkommstellen gerundete Parameterwert von $c$ ist also $c=0,01045$.
2.2.2
$\blacktriangleright$ Zeichne das Schaubild von $\boldsymbol B$
Nun hast den Parameter $c$ gegeben mit $c=0,0104$. Deine Aufgabe ist es, das Schaubild für die ersten 50 Stunden zu zeichnen. Hier betrachtest du also:
$\begin{array}{rrl} B(t)&=& B(0)\cdot\mathrm e^{0,2t-0,75c\cdot t^2} \\[5pt] B(t)&=& 10\cdot\mathrm e^{0,2t-0,75\cdot0,0104\cdot t^2} \\[5pt] B(t)&=& 10\cdot\mathrm e^{0,2t-0,0078\cdot t^2} \end{array}$
Gib diese Funktion in den Graphs-Modus deines CAS ein. Du sollst das Schaubild für die ersten 50 Stunden zeichnen. Wähle also deine $x$-Achse von 0 bis 50. Über die folgende Eingabenfolge kannst du dir zusätzlich noch die Wertetabelle der Funktion $B$ ansehen, die dir das Zeichnen ebenfalls erleichtert:
menu $\to$ 7: Tabelle $\to$ 1: Tabelle mit geteiltem Bildschirm
menu $\to$ 7: Tabelle $\to$ 1: Tabelle mit geteiltem Bildschirm
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Ausgehend von der Hilfestellung oben, sollte dein Graph nun wie folgt aussehen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
$\blacktriangleright$ Berechnung der mittleren Änderungsrate
Die mittlere Änderungsrate in den ersten vier Stunden wird mit Hilfe eines Integrals über die Funktion berechnet. Die untere Grenze ist der Beobachtungsbeginn bei $t = 0$ und die obere Grenze gibt den Zeitpunkt nach vier Stunden an, also $t = 4$. Um die mittlere Änderungsrate zu berechnen, dividiert man hier das Integral durch die Anzahl der Stunden. Es gilt dabei folgende Formel:
$\text{mittlere Änderungsrate} = \dfrac{\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}\;B((t)dt}{t_1 - t_0}$
$\text{mittlere Änderungsrate} $$= \dfrac{\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}\;B((t)dt}{t_1 - t_0}$
$t_0$ und $t_1$ entsprechen dabei den Anfangs- und Endzeitpunkten der Beobachtung. Hier gilt also $t_0 = 0$ und $t_1 = 4$. Das Integral kannst du hier mit deinem CAS berechnen. Greife dazu über
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
auf den entsprechenden Befehl zu und berechne wie folgt:
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Die mittlere Änderungsrate der Bakterienanzahl pro ml beträgt ungefähr 14,6 Mio Bakterien/Stunde.
2.2.3
$\blacktriangleright$ Überprüfen, ob das Antibiotikum den Anforderungen entspricht
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass ein Antibiotikum dann als wirksam angesehen wird, wenn es den folgenden Anforderungen genügt:
  • Innerhalb der ersten 12 Stunden muss es einen Zeitpunkt geben, ab dem sich die Zunahme der Bakterienanzahl pro ml verringert.
  • Nach einem Tag darf es keine Zunahme der Bakterienanzahl pro ml geben.
Deine Aufgabe ist es nun, zu überprüfen, ob das Antibiotikum mit $c = 0,0104$ diese Anforderungen erfüllt. Willst du diese Anforderungen in Bezug zum Antibiotikum untersuchen, so untersuchst du hier die Funktion $B$ mit Parameterwert $c = 0,0104$. Bevor du damit anfängst, die Bedingungen zu untersuchen, solltest du dir zunächst klar gemacht haben, was diese im Bezug zur Funktion $B$ bedeuten.
Die erste Aussage besagt, dass es innerhalb der ersten 12 Stunden einen Zeitpunkt geben muss, ab dem sich die Zunahme der Bakterienanzahl pro ml verringert. Beziehst du dich hier auf die Steigung von $B$, so muss $B$ zwischen $t = 0$ und $t = 12$ eine Wendestelle besitzen. Denke dabei daran, dass eine Wendestelle da vorliegt, wo folgende Bedingungen erfüllt sind:
  • Notwendige Bedingung: $B''(x_W) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $B'''(x_W) \neq 0$
Weiterhin darf es nach einem Tag keine Zunahme der Bakterienanzahl pro ml geben. Hier musst du also erneut die Steigung des Graphen von $B$ betrachten. Diese darf nach einem Tag keine Werte größer Null mehr annehmen:
$B'(t) \leq 0\;\text{für}\;t \geq 24$
$B'(t) \leq 0\;\text{für}\;t \geq 24$
Zuletzt soll die Anzahl der Bakterien nach 50 Stunden unter 1.000 Bakterien pro ml abgesunken sein. Da der Graph von $B$ die Größe des Bakterienbestands beschreibt, betrachtest du hier den Funktionswert von $B$ an der Stelle $t = 50$. Für den Funktionswert muss an dieser Stelle offensichtlich folgendes gelten:
$B(t = 50) \leq 0,001$
$B(t = 50) \leq 0,001$
1. Schritt: Überprüfen der ersten Bedingung
Zuerst wird hier überprüft, ob der Graph von $B$ einen Wendepunkt im Intervall $0 \leq t \leq 12$ besitzt. Dazu werden im linken Schaubild unten zunächst die notwendigen Ableitungsfunktionen mit dem CAS bestimmt. Die zweite Ableitung von $B$ wurde hier unter $\texttt{d2b}$ und die dritte Ableitung unter $\texttt{d3b}$ festgelegt. Im unteren Bild siehst du dann, wie mit Hilfe der notwendigen und hinreichenden Bedingung die Wendestellen von $B$ ermittelt werden.
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Wenn man hier von Rundungsfehlern ausgeht, so kann davon ausgegangen werden, dass Funktion $B$ an der Stelle $t = 4,814$ eine Wendestelle besitzt und somit die erste Bedingung erfüllt. Die Stelle $t=20,827$ liegt außerhalb des untersuchten Intervalls.
2. Schritt: Überprüfen der zweiten Bedingung
Nun musst du überprüfen, ob die Funktion $B$ für $t \geq 24$ nur Ableitungswerte kleiner Null besitzt. Betrachte dazu den Term der ersten Ableitungsfunktion von $B$. Da du $B'$ oben schon bestimmt hast, kannst du dir hier den Term von deinem CAS ausgeben lassen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Der Term der ersten Ableitungsfunktion $B'$ von $B$ ist also:
$B'(t) = (2 - 0,156 \cdot t) \cdot \mathrm e^{0,2 \cdot t - 0,0078 \cdot t^2}$
Da die Exponentialfunktion niemals Werte kleiner gleich Null annehmen kann, scheidet diese hier aus der Betrachtung aus. Willst du ermitteln, ab welchen $t$ die Steigung des Graphen von $B$ kleiner Null ist, so betrachtest du den Ausdruck in der Klammer der Ableitungsfunktion (Satz vom Nullprodukt). Dieser ist von $t$ abhängig und es lässt sich wie folgt bestimmen, ab welchem $t$ dieser negativ wird:
$\begin{array}{rrlrl} 0&\leq&(2 - 0,156 \cdot t)&& \mid\; +0,156 \cdot t \\[5pt] 0,156 \cdot t&\leq&2&& \mid\; : 0,156 \\[5pt] t&\approx&12,82 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} 0&\leq&(2 - 0,156 \cdot t) \\[5pt] 0,156 \cdot t&\leq&2 \\[5pt] t&\approx&12,82 \end{array}$
Da Funktion $B$ ab $t = 12,82$ negative Ableitungswerte besitzt, ist auch die zweite Bedingung an das Antibiotikum erfüllt.
3. Schritt: Überprüfen der dritten Bedingung
Damit überprüft werden kann, ob $B$ die dritte Bedingung erfüllt, musst du zunächst den Funktionswert von $B$ an der Stelle $t = 50 $ berechnen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Bei $t = 50$ gilt also $B(50) = 0,000749$. Da $B$ die Anzahl der Bakterien in Millionen beschreibt, befinden sich nach 50 Stunden nur noch 749 Bakterien in der Probe. Da du oben schon gezeigt hast, dass der Graph von $B$ für $t > 12,82$ fällt, erfüllt $B$ auch die letzte Bedingung.
2.2.4
$\blacktriangleright$Vergleichen der Wirksamkeit mit der eines Antibiotikums mit größerem $\boldsymbol{c}$
Nun sollst du die Wirksamkeit des Antibiotikums mit $c = 0,0104$ mit der Wirksamkeit eines Antibiotikums vergleichen, welches ein größeres $c$ aufweist.
Nimm dazu beispielsweise ein Antibiotikum mit einem $c^*$ von $c^* = 0,02$ an. Zeichne den zugehörigen Graph dann in das Schaubild von 2.2.1 ein und gehe dabei vor wie beim Zeichnen des Schaubilds von $B_{0,0104}$. Hast du die beiden Graphen in ein Schaubild übertragen, so kannst du diese in Bezug zu den Kriterien aus 2.2.3 vergleichen. Das Schaubild sollte hier wie folgt aussehen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
1. Bedingung
Vergleichst du die Graphen von $B_{0,0104}$ und $B_{0,02}$ so kannst du erkennen, dass beim Graphen von $B_{0,02}$ schon früher ein Wechsel zwischen Anstieg und Verringerung der Zunahme der Bakterienanzahl innerhalb der ersten 12 Stunden vorliegt.
2. Bedingung
Auch der Zeitpunkt, an dem die Steigung der Graphen von $B_{0,02}$ negativ wird, tritt beim Graphen von $B_{0,02}$ früher ein.
3. Bedingung
Der Graph von $B_{0,02}$ nähert sich bereits ab $t \approx 25$ stark der $t$-Achse an. Daher tritt der Zeitpunkt, an dem die Bakterienanzahl unter 1.000 fällt, beim Graphen von $B_{0,02}$ auch schon früher ein als beim Graphen von $B_{0,0104}$.
Schlussfolgerung
Da die drei in 2.2.3 beschriebenen Zeitpunkte beim Graphen von $B_{0,02}$ schon früher eintreten als beim Graphen von $B_{0,0104}$, kann hier davon ausgegangen werden, dass die Wirksamkeit eines Antibiotikums, dass einen größeren Wert von $c$, größer ist.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF
2.1
$\blacktriangleright$ Bestimme die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt $\boldsymbol {t=8}$
Die Anzahl der Bakterien pro ml in Abhängigkeit von der Zeit wird durch folgende Funktion beschrieben:
$A(t)=A(0)\cdot\mathrm e^{0,2t}\quad t\geq0$
Zu Beginn der Beobachtung gibt es 10 Mio Bakterien pro Milliliter. Dieser Wert entspricht dem Funktionswert $A(0)$. Um die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt $t=8$ zu bestimmen, setzt du diese Werte in die Funktion $A(t)$ ein.
$\begin{array}{rrl} A(t)&=&A(0)\cdot\mathrm e^{0,2t} \\[5pt] A(8)&=&10\cdot\mathrm e^{0,2\cdot8} \\[5pt] A(8)&\approx&49,5 \end{array}$
Zum Zeitpunkt $t=8$ gibt es etwa 49,5 Mio Bakterien pro Milliliter.
$\blacktriangleright$ Berechnung der Verdopplungszeit
Hier sollst du berechnen, in welcher Zeit sich die Bakterienanzahl verdoppelt hat. Dabei weißt du, dass zum Anfang der Untersuchung insgesamt 10 Mio. Bakterien pro ml in den Proben vorhanden waren. Willst du den Zeitpunkt bestimmen, zu welchem sich die Anzahl der Bakterien verdoppelt hat, so berechnest du den Zeitpunkt, an welchem sich der Anfangsbestand $A(0)$ verdoppelt hat. Setze dazu den Term der Funktion $A$ mit dem Doppelten von $A(0)$ gleich. Hier gilt es also folgende Gleichung zu lösen:
$\begin{array}{rrlrl} 2\cdot A(0)&=&A(0)\cdot\mathrm e^{0,2t}&& \mid\; :A(0) \\[5pt] 2&=&\mathrm e^{0,2t}&& \mid\;\ln(\,) \\[5pt] \ln(2)&=&0,2t&& \mid\;:0,2 \\[5pt] t&\approx&3,47 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} 2\cdot A(0)&=&A(0)\cdot\mathrm e^{0,2t} \\[5pt] 2&=&\mathrm e^{0,2t} \\[5pt] \ln(2)&=&0,2t \\[5pt] t&\approx&3,47 \end{array}$
Es gilt also $t\approx3,47$.
Die Anzahl der Bakterien verdoppelt sich nach etwa 3,5 Stunden.
2.2
2.2.1
$\blacktriangleright$ Bestimmen des Parameters $\boldsymbol {c}$
In dieser Aufgabe hast du folgenden Funktionsterm gegeben:
$B(t)=B(0)\cdot\mathrm e^{0,2t-0,75c\cdot t^2}\quad$ mit $t\geq0$ und $c > 0$
Der Aufgabenstellung kannst du weiterhin entnehmen, dass nach acht Stunden die Anzahl der Bakterien 30 Mio. beträgt. Deine Aufgabe ist es dabei, den zugehörigen Parameterwert von $c$ auf 5 Nachkommastellen genau zu bestimmen.
Da nach 8 Stunden die Anzahl der Bakterien auf 30 Mio gestiegen ist, muss für die Funktion $B$ an dieser Stelle folgendes gelten:
  • $B(8)=30$.
Willst du nun ausgehend davon den Parameterwert von $c$ bestimmen, so setzt du diesen Zusammenhang in den Term der Funktion $B$ ein und löst nach Parameter $c$. Hier ergibt sich also folgende Gleichung:
$\begin{array}{rl} B(t)&=&B(0)\cdot\mathrm e^{0,2t-0,75c\cdot t^2} \\[5pt] 30&=&10\cdot\mathrm e^{0,2\cdot8-0,75c\cdot 8^2} \end{array}$
Diese Gleichung gilt es nun nach $c$ zu lösen, wobei du $c$ auf 5 Nachkommstellen genau runden sollst. Löse diese Gleichung mit dem solve-Befehl deines CAS:
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Der gesuchte und auf fünf Nachkommstellen gerundete Parameterwert von $c$ ist also $c=0,01045$.
2.2.2
$\blacktriangleright$ Zeichne das Schaubild von $\boldsymbol B$
Nun hast den Parameter $c$ gegeben mit $c=0,0104$. Deine Aufgabe ist es, das Schaubild für die ersten 50 Stunden zu zeichnen. Hier betrachtest du also:
$\begin{array}{rrl} B(t)&=& B(0)\cdot\mathrm e^{0,2t-0,75c\cdot t^2} \\[5pt] B(t)&=& 10\cdot\mathrm e^{0,2t-0,75\cdot0,0104\cdot t^2} \\[5pt] B(t)&=& 10\cdot\mathrm e^{0,2t-0,0078\cdot t^2} \end{array}$
Gib diese Funktion in den Graphs-Modus deines CAS ein. Du sollst das Schaubild für die ersten 50 Stunden zeichnen. Wähle also deine $x$-Achse von 0 bis 50. Lasse dir zusätzlich noch die Wertetabelle der Funktion $B$ angeben, die dir das Zeichnen ebenfalls erleichtert:
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Ausgehend von der Hilfestellung oben, sollte dein Graph nun wie folgt aussehen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
$\blacktriangleright$ Berechnung der mittleren Änderungsrate
Die mittlere Änderungsrate in den ersten vier Stunden wird mit Hilfe eines Integrals über die Funktion berechnet. Die untere Grenze ist der Beobachtungsbeginn bei $t = 0$ und die obere Grenze gibt den Zeitpunkt nach vier Stunden an, also $t = 4$. Um die mittlere Änderungsrate zu berechnen, dividiert man hier das Integral durch die Anzahl der Stunden. Es gilt dabei folgende Formel:
$\text{mittlere Änderungsrate} = \dfrac{\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}\;B((t)dt}{t_1 - t_0}$
$\text{mittlere Änderungsrate} $$= \dfrac{\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}\;B((t)dt}{t_1 - t_0}$
$t_0$ und $t_1$ entsprechen dabei den Anfangs- und Endzeitpunkten der Beobachtung. Hier gilt also $t_0 = 0$ und $t_1 = 4$. Das Integral kannst du hier mit deinem CAS berechnen. Greife dazu über
keyboard $\to$ 2D $\to$ CALC
keyboard $\to$ 2D $\to$ CALC
auf den entsprechenden Befehl zu und berechne wie folgt:
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Die mittlere Änderungsrate der Bakterienanzahl pro ml beträgt ungefähr 14,6 Mio Bakterien/Stunde.
2.2.3
$\blacktriangleright$ Überprüfen, ob das Antibiotikum den Anforderungen entspricht
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass ein Antibiotikum dann als wirksam angesehen wird, wenn es den folgenden Anforderungen genügt:
  • Innerhalb der ersten 12 Stunden muss es einen Zeitpunkt geben, ab dem sich die Zunahme der Bakterienanzahl pro ml verringert.
  • Nach einem Tag darf es keine Zunahme der Bakterienanzahl pro ml geben.
Deine Aufgabe ist es nun, zu überprüfen, ob das Antibiotikum mit $c = 0,0104$ diese Anforderungen erfüllt. Willst du diese Anforderungen in Bezug zum Antibiotikum untersuchen, so untersuchst du hier die Funktion $B$ mit Parameterwert $c = 0,0104$. Bevor du damit anfängst, die Bedingungen zu untersuchen, solltest du dir zunächst klar gemacht haben, was diese im Bezug zur Funktion $B$ bedeuten.
Die erste Aussage besagt, dass es innerhalb der ersten 12 Stunden einen Zeitpunkt geben muss, ab dem sich die Zunahme der Bakterienanzahl pro ml verringert. Beziehst du dich hier auf die Steigung von $B$, so muss $B$ zwischen $t = 0$ und $t = 12$ eine Wendestelle besitzen. Denke dabei daran, dass eine Wendestelle da vorliegt, wo folgende Bedingungen erfüllt sind:
  • Notwendige Bedingung: $B''(x_W) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $B'''(x_W) \neq 0$
Weiterhin darf es nach einem Tag keine Zunahme der Bakterienanzahl pro ml geben. Hier musst du also erneut die Steigung des Graphen von $B$ betrachten. Diese darf nach einem Tag keine Werte größer Null mehr annehmen:
$B'(t) \leq 0\;\text{für}\;t \geq 24$
$B'(t) \leq 0\;\text{für}\;t \geq 24$
Zuletzt soll die Anzahl der Bakterien nach 50 Stunden unter 1.000 Bakterien pro ml abgesunken sein. Da der Graph von $B$ die Größe des Bakterienbestands beschreibt, betrachtest du hier den Funktionswert von $B$ an der Stelle $t = 50$. Für den Funktionswert muss an dieser Stelle offensichtlich folgendes gelten:
$B(t = 50) \leq 0,001$
$B(t = 50) \leq 0,001$
1. Schritt: Überprüfen der ersten Bedingung
Zuerst wird hier überprüft, ob der Graph von $B$ einen Wendepunkt im Intervall $0 \leq t \leq 12$ besitzt. Dazu werden im linken Schaubild unten zunächst die notwendigen Ableitungsfunktionen mit dem CAS bestimmt. Die zweite Ableitung von $B$ wurde hier unter d2b und die dritte Ableitung unter d3b festgelegt. Im unteren Bild siehst du dann, wie mit Hilfe der notwendigen und hinreichenden Bedingung die Wendestellen von $B$ ermittelt werden.
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Wenn man hier von Rundungsfehlern ausgeht, so kann davon ausgegangen werden, dass Funktion $B$ an der Stelle $t = 4,814$ eine Wendestelle besitzt und somit die erste Bedingung erfüllt. Die Stelle $t=20,827$ liegt außerhalb des untersuchten Intervalls.
2. Schritt: Überprüfen der zweiten Bedingung
Nun musst du überprüfen, ob die Funktion $B$ für $t \geq 24$ nur Ableitungswerte kleiner Null besitzt. Betrachte dazu den Term der ersten Ableitungsfunktion von $B$. Da du $B'$ oben schon bestimmt hast, kannst du dir hier den Term von deinem CAS ausgeben lassen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Der Term der ersten Ableitungsfunktion $B'$ von $B$ ist also:
$B'(t) = (2 - 0,156 \cdot t) \cdot \mathrm e^{0,2 \cdot t - 0,0078 \cdot t^2}$ (Term wurde hier vereinfacht)
Da die Exponentialfunktion niemals Werte kleiner gleich Null annehmen kann, scheidet diese hier aus der Betrachtung aus. Willst du ermitteln, ab welchen $t$ die Steigung des Graphen von $B$ kleiner Null ist, so betrachtest du den Ausdruck in der Klammer der Ableitungsfunktion (Satz vom Nullprodukt). Dieser ist von $t$ abhängig und es lässt sich wie folgt bestimmen, ab welchem $t$ dieser negativ wird:
$\begin{array}{rrlrl} 0&\leq&(2 - 0,156 \cdot t)&& \mid\; +0,156 \cdot t \\[5pt] 0,156 \cdot t&\leq&2&& \mid\; : 0,156 \\[5pt] t&\approx&12,82 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} 0&\leq&(2 - 0,156 \cdot t) \\[5pt] 0,156 \cdot t&\leq&2 \\[5pt] t&\approx&12,82 \end{array}$
Da Funktion $B$ ab $t = 12,82$ negative Ableitungswerte besitzt, ist auch die zweite Bedingung an das Antibiotikum erfüllt.
3. Schritt: Überprüfen der dritten Bedingung
Damit überprüft werden kann, ob $B$ die dritte Bedingung erfüllt, musst du zunächst den Funktionswert von $B$ an der Stelle $t = 50 $ berechnen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Bei $t = 50$ gilt also $B(50) = 0,000749$. Da $B$ die Anzahl der Bakterien in Millionen beschreibt, befinden sich nach 50 Stunden nur noch 749 Bakterien in der Probe. Da du oben schon gezeigt hast, dass der Graph von $B$ für $t > 12,82$ fällt, erfüllt $B$ auch die letzte Bedingung.
2.2.4
$\blacktriangleright$Vergleichen der Wirksamkeit mit der eines Antibiotikums mit größerem $\boldsymbol{c}$
Nun sollst du die Wirksamkeit des Antibiotikums mit $c = 0,0104$ mit der Wirksamkeit eines Antibiotikums vergleichen, welches ein größeres $c$ aufweist.
Nimm dazu beispielsweise ein Antibiotikum mit einem $c^*$ von $c^* = 0,02$ an. Zeichne den zugehörigen Graph dann in das Schaubild von 2.2.1 ein und gehe dabei vor wie beim Zeichnen des Schaubilds von $B_{0,0104}$. Hast du die beiden Graphen in ein Schaubild übertragen, so kannst du diese in Bezug zu den Kriterien aus 2.2.3 vergleichen. Das Schaubild sollte hier wie folgt aussehen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
1. Bedingung
Vergleichst du die Graphen von $B_{0,0104}$ und $B_{0,02}$ so kannst du erkennen, dass beim Graphen von $B_{0,02}$ schon früher ein Wechsel zwischen Anstieg und Verringerung der Zunahme der Bakterienanzahl innerhalb der ersten 12 Stunden vorliegt.
2. Bedingung
Auch der Zeitpunkt, an dem die Steigung der Graphen von $B_{0,02}$ negativ wird, tritt beim Graphen von $B_{0,02}$ früher ein.
3. Bedingung
Der Graph von $B_{0,02}$ nähert sich bereits ab $t \approx 25$ stark der $t$-Achse an. Daher tritt der Zeitpunkt, an dem die Bakterienanzahl unter 1.000 fällt, beim Graphen von $B_{0,02}$ auch schon früher ein als beim Graphen von $B_{0,0104}$.
Schlussfolgerung
Da die drei in 2.2.3 beschriebenen Zeitpunkte beim Graphen von $B_{0,02}$ schon früher eintreten als beim Graphen von $B_{0,0104}$, kann hier davon ausgegangen werden, dass die Wirksamkeit eines Antibiotikums, dass einen größeren Wert von $c$, größer ist.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App