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Lernbereich Abitur bis 2016 (CAS)
Abi 2016
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
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Stochastik 1

Aufgaben
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1
Auf einem Glücksrad sind 40 gleich große Sektoren vorhanden. Jeder Sektor ist mit einer der Zahlen 0, 1, 2, 3 beschriftet. Die Zahlen sind mit folgenden absoluten Häufigkeiten vertreten:
Zahl0123
Absolute Häufigkeit201064
Das Glücksrad wird gedreht und zufällig gestoppt. Ein fest stehender Pfeil zeigt dann auf einen der Sektoren. Die Zahl im Sektor wird abgelesen und notiert.
1.1
Dieser Vorgang wird genau viermal durchgeführt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
  1. Die Zahlen 0, 1, 2, 3 werden in dieser Reihenfolge abgelesen.
  2. Alle vier Zahlen treten je einmal auf.
  3. Die 3 tritt mindestens zweimal auf.
  4. Die Summe der vier Zahlen ist größer als 10.
(8P)
Stochastik 1  Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Ein Veranstalter bietet folgendes Spiel an: Ein Spieler darf das Glücksrad bis zu viermal drehen. Ziel ist es, eine möglichst hohe Zahl zu erreichen. Sobald der Spieler mit der Zahl zufrieden ist, kann er aufhören. Wenn er aber noch einmal dreht, wird die zuvor erreichte Zahl verworfen.
Der Veranstalter beobachtet, dass viele Spieler folgende Strategie anwenden:
„Spiele nur so lange, bis mindestens der Zahlenwert 2 auftritt, und beende dann sofort das Spiel!“
1.2.1
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler mit dieser Strategie seine vier Versuche ausschöpft und nicht vorher aufhört?
(2P)
Stochastik 1  Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
1.2.2
Welchen Zahlenwert erreicht ein Spieler mit dieser Strategie im Durchschnitt?
(5P)
Stochastik 1  Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln

(15P)
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit der Ereignisse berechnen
Du sollst hier die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse berechnen. Dazu benötigst du die relativen Häufigkeiten der einzelnen Zahlen 0, 1, 2 und 3. Gegeben ist dir dabei eine Tabelle mit den absoluten Häufigkeiten der einzelnen Zahlen 0, 1, 2 und 3. Da auf dem Glücksrad insgesamt 40 Sektoren mit Zahlen vorkommen, kannst du die relative Häufigkeit $p_a$ einer Zahl $a$ auf dem Glücksrad wie folgt berechnen:
$p_a=\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}(a)}{40}$
Zudem weißt du, dass insgesamt vier mal gedreht wird.
$\blacktriangleright$ Ereignis A: Die Zahlen 0, 1, 2, 3 werden in dieser Reihenfolge abgelesen
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A kannst du mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen. Du kannst dir zur Hilfe den wesentlichen Teil eines Baumdiagramms aufzeichnen.
Stochastik 1
Stochastik 1
Dann musst du für Ereignis A genau den einen Pfad 0-1-2-3 betrachten und die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades multiplizieren.
$\blacktriangleright$ Ereignis B: Alle vier Zahlen treten je einmal auf
Dir fällt auf, dass Ereignis B Ähnlichkeit mit Ereignis A hat. Ereignis A beschreibt nämlich genau ein Teilereignis von Ereignis B. Ereignis B bezeichnet das Ereignis, dass eine der Kombinationen der 4 Zahlen auftritt, unabhängig davon in welcher Reihenfolge.
Du kannst dir überlegen (auch mit Hilfe eines Baumdiagramms), dass jede der Kombinationen der vier Zahlen die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. Da sich die Wahrscheinlichkeiten nach dem ersten Dreh des Glücksrades nicht ändern, multiplizierst du bei jeder der Möglichkeiten immer die gleichen Wahrscheinlichkeiten miteinander, nur in unterschiedlichen Reihenfolgen. Die Reihenfolge spielt aber bei der Multiplikation keine Rolle.
Daher musst du nur die Anzahl der Möglichkeiten zählen, die es gibt, sodass 0, 1, 2 und 3 in den vier Drehungen vorkommen und mit der Wahrscheinlichkeit P(A) multiplizieren.
Du suchst also nun die Anzahl $N$ der möglichen Vertauschungen bzw. Permutationen von vier verschiedenen Zahlen.
Du weißt, dass sich die Anzahl der möglichen Permutationen von $n$ Zahlen durch $ n!$ berechnet.
$\blacktriangleright$ Ereignis C: Die 3 tritt mindestens zweimal auf
Hierbei kannst du nun nur die beiden Möglichkeiten „Es wird eine drei gedreht“ und „Es wird nicht 3 gedreht“ betrachten, da dich nicht interessiert welche Zahl gedreht wird, wenn es keine 3 ist.
Dann ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten wie folgt:
  • $p_3 = \frac{1}{10}$
  • $p_{nicht 3} = p_0 + p_1+ p_2$$ = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4} + \frac{3}{20} = \frac{9}{10}$
Da die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu drehen, bei jedem Dreh gleich bleibt und nun nur noch zwei unterschiedliche Ausgänge pro Dreh möglich sind, kann nun die Zufallsvariable X, die die Anzahl der Treffer 3 beschreibt, als binomialverteilt mit dem Parametern $n=4$ und $p=\frac{1}{10}$ angenommen werden.
Du suchst nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zweimal die 3 auftritt. Dies entspricht $P(X\geq2)$.
$\blacktriangleright$Ereignis D: Die Summe der vier Zahlen ist größer als 10
Dies tritt genau dann ein, wenn mindestens drei mal die 3 vorkommt und die übrige Zahl mindestens eine 2 ist.
Zerlege dies in die beiden Teilereignisse: $D=D_1+D_2$, wobei wir folgendes festlegen:
$D_1$: „Es tritt dreimal eine 3 und einmal eine 2 auf.“ und
$D_2$: „Es tritt viermal eine 3 auf.“
Dann gilt auch $P(D) = P(D_1)+ P(D_2)$.
Berechne beide Wahrscheinlichkeiten einzeln:
1. Schritt: $\boldsymbol{P(D_1)}$
Hier kannst du wieder ähnlich vorgehen wie bei Ereignis B. Berechne die Wahrscheinlichkeit $ P(3-3-3-2)$ dafür, dass die ersten drei Zahlen 3 und die letzte Zahl eine 2 sind mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel und die Anzahl $N$ der Möglichkeiten, die es gibt, unter vier Zahlen einmal die Zahl 2 zu platzieren.
2. Schritt: $\boldsymbol{P(D_2)}$
Dies lässt sich wieder über die Pfadmultiplikationsregel berechnen. Es gibt nur einen Pfad, der diese Kombination ergibt:
$ P(D) = P(3-3-3-3)$
1.2.1
$ \blacktriangleright $ Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst hier die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E berechnen, dass der Spieler mit der vorgeschlagenen Strategie die vier Versuche ausschöpft, dass also frühestens beim vierten Versuch eine 2 oder 3 auftritt.
Betrachte hier also bei jedem Dreh die beiden möglichen Ergebnisse:
  1. W   „Es wird 0 oder 1 gedreht.“  $\mathrel{\widehat{=}}$  „Der Spieler spielt weiter.“
  2. A   „ Es wird 2 oder 3 gedreht.“  $\mathrel{\widehat{=}}$  „Der Spieler hört auf.“
Du suchst nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst beim vierten Dreh eine 2 oder 3 gedreht wird, oder niemals. Hierbei kannst du wieder mit der Pfadmultiplikationsregel, sowie der Pfadadditionsregel arbeiten:
$P(E) = P(W-W-W-A)+ P(W-W-W-W)$
1.2.2
$\blacktriangleright$ Durchschnittlichen Zahlenwert berechnen
Du sollst nun berechnen, welchen Zahlenwert der Spieler mit der genannten Strategie im Durchschnitt erreicht. Dies ist der Erwartungswert der Zufallsvariable Z, die den zufälligen Zahlenwert beschreibt, den der Spieler am Ende nach höchstens vier Runden erspielt hat, also den Zahlenwert, den der Spieler in seiner letzten Runde gedreht hat.
Dieser ergibt sich auf folgende Weise:
$E(Z)= 0\cdot P(Z=0)+ 1\cdot P(Z=1) + 2\cdot P(Z=2)+ 3\cdot P(Z=3)$
Du kannst dir dazu zunächst einmal die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Möglichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln klarmachen:
  • 0   Der Spieler spielt in den ersten drei Runden jeweils weiter und dreht in der vierten dann eine 2.
  • 1   Der Spieler spielt in den ersten drei Runden jeweils weiter und dreht in der vierten dann eine 1.
  • 2   Der Spieler dreht irgendwann eine 2, aber vorher keine 3, da er dann ja bereits aufhören würde.
  • 3   Der Spieler dreht irgendwann eine 3, aber vorher keine 2, da er dann ja bereits aufhören würde.
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1.1
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit der Ereignisse berechnen
Du sollst hier die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse berechnen. Dazu benötigst du die relativen Häufigkeiten der einzelnen Zahlen 0, 1, 2 und 3. Gegeben ist dir dabei eine Tabelle mit den absoluten Häufigkeiten der einzelnen Zahlen 0, 1, 2 und 3. Da auf dem Glücksrad insgesamt 40 Sektoren mit Zahlen vorkommen, kannst du die relative Häufigkeit $p_a$ einer Zahl $a$ auf dem Glücksrad wie folgt berechnen:
$p_a=\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}(a)}{40}$
Damit kannst du nun die relativen Häufigkeiten von 0, 1, 2 und 3 bestimmen:
  • $p_0 = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$
  • $p_1 = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$
  • $p_2 = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}$
  • $p_3 = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$
Zudem weißt du, dass insgesamt vier mal gedreht wird.
$\blacktriangleright$ Ereignis A: Die Zahlen 0, 1, 2, 3 werden in dieser Reihenfolge abgelesen
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A kannst du mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen. Du kannst dir zur Hilfe den wesentlichen Teil eines Baumdiagramms aufzeichnen.
Stochastik 1
Stochastik 1
Dann musst du für Ereignis A genau den einen Pfad 0-1-2-3 betrachten und die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades multiplizieren.
Damit ergibt sich dann:
$P(A) = P(0-1-2-3) = p_0 \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot p_3= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{20} \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{1.600} = 0,001875 = 0,1875\,\%$
$\begin{array}{rrl} P(A)&=& P(0-1-2-3) \\[5pt] &=& p_0 \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{20} \cdot \frac{1}{10} \\[5pt] &=& \frac{3}{1.600} \\[5pt] &=& 0,001875 \\[5pt] &=& 0,1875\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1875% werden die Zahlen 0, 1, 2, 3 in dieser Reihenfolge abgelesen.
$\blacktriangleright$ Ereignis B: Alle vier Zahlen treten je einmal auf
Dir fällt auf, dass Ereignis B Ähnlichkeit mit Ereignis A hat. Ereignis A beschreibt nämlich genau ein Teilereignis von Ereignis B. Ereignis B bezeichnet das Ereignis, dass eine der Kombinationen der 4 Zahlen auftritt, unabhängig davon in welcher Reihenfolge.
Du kannst dir überlegen (auch mit Hilfe eines Baumdiagramms), dass jede der Kombinationen der vier Zahlen die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. Da sich die Wahrscheinlichkeiten nach dem ersten Dreh des Glücksrades nicht ändern, multiplizierst du bei jeder der Möglichkeiten immer die gleichen Wahrscheinlichkeiten miteinander, nur in unterschiedlichen Reihenfolgen. Die Reihenfolge spielt aber bei der Multiplikation keine Rolle.
Daher musst du nur die Anzahl der Möglichkeiten zählen, die es gibt, sodass 0, 1, 2 und 3 in den vier Drehungen vorkommen und mit der Wahrscheinlichkeit P(A) multiplizieren.
Du suchst also nun die Anzahl $N$ der möglichen Vertauschungen bzw. Permutationen von vier verschiedenen Zahlen.
Du weißt, dass sich die Anzahl der möglichen Permutationen von $n$ Zahlen durch $ n!$ berechnet. Damit ergibt sich nun für unsere Aufgabe:
$P(B) = N \cdot P(A) = \frac{4! \cdot 3}{1.600}= \frac{9}{200} = 0,045 = 4,5\,\%$
$\begin{array}{rrl} P(B)&=& N \cdot P(A) \\ &=& \frac{4! \cdot 3}{1.600} \\ &=& \frac{9}{200} \\ &=& 0,045 \\ &=& 4,5\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 4,5% tritt jede der vier Zahlen einmal auf.
$\blacktriangleright$ Ereignis C: Die 3 tritt mindestens zweimal auf
Hierbei kannst du nun nur die beiden Möglichkeiten „Es wird eine drei gedreht“ und „Es wird nicht 3 gedreht“ betrachten, da dich nicht interessiert welche Zahl gedreht wird, wenn es keine 3 ist.
Dann ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten wie folgt:
  • $p_3 = \frac{1}{10}$
  • $p_{nicht 3} = p_0 + p_1+ p_2$$ = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4} + \frac{3}{20} = \frac{9}{10}$
Da die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu drehen, bei jedem Dreh gleich bleibt und nun nur noch zwei unterschiedliche Ausgänge pro Dreh möglich sind, kann nun die Zufallsvariable X, die die Anzahl der Treffer 3 beschreibt, als binomialverteilt mit dem Parametern $n=4$ und $p=\frac{1}{10}$ angenommen werden.
Du suchst nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zweimal die 3 auftritt. Dies entspricht $P(X\geq2)$.
Dies kannst du mit Hilfe des Befehls für die Binomialverteilung in deinem CAS berechnen. Den Befehl dafür findest du unter:
menu $\to$ 5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilungen $\to$ E: Binomial Cdf
Gibst du dort die entsprechenden Parameter $n=4$, $p=\frac{1}{10}$, obere Schranke$=4$ und untere Schranke$=2$ ein, so erhältst du folgendes Ergebnis:
$P(C) = 0,0523 = 5,23\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $5,23\,\%$ tritt mindestens zweimal die Zahl 3 auf.
Stochastik 1
Stochastik 1
Stochastik 1
Stochastik 1
$\blacktriangleright$Ereignis D: Die Summe der vier Zahlen ist größer als 10
Dies tritt genau dann ein, wenn mindestens drei mal die 3 vorkommt und die übrige Zahl mindestens eine 2 ist.
Zerlege dies in die beiden Teilereignisse: $D=D_1+D_2$, wobei wir folgendes festlegen:
$D_1$: „Es tritt dreimal eine 3 und einmal eine 2 auf.“ und
$D_2$: „Es tritt viermal eine 3 auf.“
Dann gilt auch $P(D) = P(D_1)+ P(D_2)$.
Berechne beide Wahrscheinlichkeiten einzeln:
1. Schritt: $\boldsymbol{P(D_1)}$
Hier kannst du wieder ähnlich vorgehen wie bei Ereignis B. Berechne die Wahrscheinlichkeit $ P(3-3-3-2)$ dafür, dass die ersten drei Zahlen 3 und die letzte Zahl eine 2 sind mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel und die Anzahl $N$ der Möglichkeiten, die es gibt, unter vier Zahlen einmal die Zahl 2 zu platzieren.
Dann ergibt sich:
$P(D_1) = N\cdot P(3-3-3-2)$.
$P(3-3-3-2) = p_3\cdot p_3\cdot p_3\cdot p_2 = \left(\dfrac{1}{10}\right)^3\cdot \dfrac{3}{20} = \dfrac{3}{20.000}$
$\begin{array}{rrl} P(3-3-3-2)&=& p_3\cdot p_3\cdot p_3\cdot p_2 \\[5pt] &=& \left(\dfrac{1}{10}\right)^3\cdot \dfrac{3}{20} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{20.000} \end{array}$
Da die 2 entweder an erster, zweiter, dritter oder vierter Stelle stehen kann, ist $N=4$. $\Rightarrow P(D_1) = 4\cdot \dfrac{3}{20.000} = \dfrac{3}{5.000}$
2. Schritt: $\boldsymbol{P(D_2)}$
Dies lässt sich wieder über die Pfadmultiplikationsregel berechnen. Es gibt nur einen Pfad, der diese Kombination ergibt:
$ P(D_2) = P(3-3-3-3) = p_3\cdot p_3\cdot p_3 \cdot p_3=(\dfrac{1}{10})^4 = \dfrac{1}{10.000}$
$\begin{array}{rrl} P(D_2)&=& P(3-3-3-3) \\[5pt] &=&p_3\cdot p_3\cdot p_3 \cdot p_3 \\[5pt] &=&(\dfrac{1}{10})^4 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{10.000} \end{array}$
Insgesamt ergibt sich dann:
$P(D) = \dfrac{3}{5.000}+ \dfrac{1}{10.000} = \dfrac{7}{10.000} = 0,07\,\%$.
$\begin{array}{rrl} P(D) &=& \dfrac{3}{5.000}+ \dfrac{1}{10.000} \\[5pt] &=& \dfrac{7}{10.000} \\[5pt] &=& 0,07\,\%. \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,07\,\% $ ist die Summe der vier Zahlen größer als 10.
1.2.1
$ \blacktriangleright $ Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst hier die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E berechnen, dass der Spieler mit der vorgeschlagenen Strategie die vier Versuche ausschöpft, dass also frühestens beim vierten Versuch eine 2 oder 3 auftritt.
Betrachte hier also bei jedem Dreh die beiden möglichen Ergebnisse:
  1. W   „Es wird 0 oder 1 gedreht.“  $\mathrel{\widehat{=}}$  „Der Spieler spielt weiter.“
  2. A   „ Es wird 2 oder 3 gedreht.“  $\mathrel{\widehat{=}}$  „Der Spieler hört auf.“
Dann haben diese beiden Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten:
  • $P(W) = p_0 + p_1 = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$
  • $P(A) = p_2 + p_3 = \dfrac{3}{20}+\dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{4}$
Du suchst nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst beim vierten Dreh eine 2 oder 3 gedreht wird, oder niemals. Hierbei kannst du wieder mit der Pfadmultiplikationsregel, sowie der Pfadadditionsregel arbeiten:
$P(E) = P(W-W-W-A)+ P(W-W-W-W)$
$= \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4} \approx 0,4219 = 42,19\,\%$
$P(E) = 42,19\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $42,19\,\%$ schöpft der Spieler seine vier Versuche aus.
1.2.2
$\blacktriangleright$ Durchschnittlichen Zahlenwert berechnen
Du sollst nun berechnen, welchen Zahlenwert der Spieler mit der genannten Strategie im Durchschnitt erreicht. Dies ist der Erwartungswert der Zufallsvariable Z, die den zufälligen Zahlenwert beschreibt, den der Spieler am Ende nach höchstens vier Runden erspielt hat, also den Zahlenwert, den der Spieler in seiner letzten Runde gedreht hat.
Dieser ergibt sich auf folgende Weise:
$E(Z) $=$ 0\cdot P(Z=0)+ 1\cdot P(Z=1) $$+ 2\cdot P(Z=2)+ 3\cdot P(Z=3)$
Du kannst dir dazu zunächst einmal die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Möglichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln klarmachen:
  • 0   Der Spieler spielt in den ersten drei Runden jeweils weiter und dreht in der vierten dann eine 2.
  • 1   Der Spieler spielt in den ersten drei Runden jeweils weiter und dreht in der vierten dann eine 1.
  • 2   Der Spieler dreht irgendwann eine 2, aber vorher keine 3, da er dann ja bereits aufhören würde.
  • 3   Der Spieler dreht irgendwann eine 3, aber vorher keine 2, da er dann ja bereits aufhören würde.
  • $P(Z=0)$ $= P(W-W-W-0) $$= \left(\dfrac{3}{4}\right)^3\cdot\dfrac{1}{2} \approx 0,2110$
  • $P(Z=1)$ $= P(W-W-W-1) $$= \left(\dfrac{3}{4}\right)^3\cdot\dfrac{1}{4} \approx 0,1055$
  • $P(Z=2)$ $= P(2)+P(W-2) $$+ P(W-W-2) $$+ P(W-W-W-2)$
  • $= \dfrac{3}{20} $$+ \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{20}$$+ \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{20}$ $+ \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{20}$ $\approx 0,4102$
  • $P(Z=3) $$= P(3) $$+ P(W-3) $$+ P(W-W-3) $$+ P(W-W-W-3)$
  • $= \dfrac{1}{10}+ \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{10}$$+ \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{10}$ $+ \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{10}$ $\approx 0,2734 $
Der erwartete Zahlenwert ergibt sich dann auf folgende Weise:
$\begin{array}{rrl} E(Z)&=& 0\cdot P(Z=0)+ 1\cdot P(Z=1) + 2\cdot P(Z=2)+ 3\cdot P(Z=3) \\[5pt] &=& 0 + 0,1055 + 2\cdot0,4102+ 3\cdot0,2734 \\[5pt] &=& 1,7461 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} E(Z)&=& 1,7461 \end{array}$
Im Durchschnitt erreicht ein Spieler mit der angegebenen Strategie einen Zahlenwert von 1,7461.
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1.1
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit der Ereignisse berechnen
Du sollst hier die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse berechnen. Dazu benötigst du die relativen Häufigkeiten der einzelnen Zahlen 0, 1, 2 und 3. Gegeben ist dir dabei eine Tabelle mit den absoluten Häufigkeiten der einzelnen Zahlen 0, 1, 2 und 3. Da auf dem Glücksrad insgesamt 40 Sektoren mit Zahlen vorkommen, kannst du die relative Häufigkeit $p_a$ einer Zahl $a$ auf dem Glücksrad wie folgt berechnen:
$p_a=\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}(a)}{40}$
Damit kannst du nun die relativen Häufigkeiten von 0, 1, 2 und 3 bestimmen:
  • $p_0 = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$
  • $p_1 = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$
  • $p_2 = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}$
  • $p_3 = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$
Zudem weißt du, dass insgesamt vier mal gedreht wird.
$\blacktriangleright$ Ereignis A: Die Zahlen 0, 1, 2, 3 werden in dieser Reihenfolge abgelesen
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A kannst du mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen. Du kannst dir zur Hilfe den wesentlichen Teil eines Baumdiagramms aufzeichnen.
Stochastik 1
Stochastik 1
Dann musst du für Ereignis A genau den einen Pfad 0-1-2-3 betrachten und die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades multiplizieren.
Damit ergibt sich dann:
$P(A) = P(0-1-2-3) = p_0 \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot p_3= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{20} \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{1.600} = 0,001875 = 0,1875\,\%$
$\begin{array}{rrl} P(A)&=& P(0-1-2-3) \\[5pt] &=& p_0 \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{20} \cdot \frac{1}{10} \\[5pt] &=& \frac{3}{1.600} \\[5pt] &=& 0,001875 \\[5pt] &=& 0,1875\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1875% werden die Zahlen 0, 1, 2, 3 in dieser Reihenfolge abgelesen.
$\blacktriangleright$ Ereignis B: Alle vier Zahlen treten je einmal auf
Dir fällt auf, dass Ereignis B Ähnlichkeit mit Ereignis A hat. Ereignis A beschreibt nämlich genau ein Teilereignis von Ereignis B. Ereignis B bezeichnet das Ereignis, dass eine der Kombinationen der 4 Zahlen auftritt, unabhängig davon in welcher Reihenfolge.
Du kannst dir überlegen (auch mit Hilfe eines Baumdiagramms), dass jede der Kombinationen der vier Zahlen die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. Da sich die Wahrscheinlichkeiten nach dem ersten Dreh des Glücksrades nicht ändern, multiplizierst du bei jeder der Möglichkeiten immer die gleichen Wahrscheinlichkeiten miteinander, nur in unterschiedlichen Reihenfolgen. Die Reihenfolge spielt aber bei der Multiplikation keine Rolle.
Daher musst du nur die Anzahl der Möglichkeiten zählen, die es gibt, sodass 0, 1, 2 und 3 in den vier Drehungen vorkommen und mit der Wahrscheinlichkeit P(A) multiplizieren.
Du suchst also nun die Anzahl $N$ der möglichen Vertauschungen bzw. Permutationen von vier verschiedenen Zahlen.
Du weißt, dass sich die Anzahl der möglichen Permutationen von $n$ Zahlen durch $ n!$ berechnet. Damit ergibt sich nun für unsere Aufgabe:
$P(B) = N \cdot P(A) = \frac{4! \cdot 3}{1.600}= \frac{9}{200} = 0,045 = 4,5\,\%$
$\begin{array}{rrl} P(B)&=& N \cdot P(A) \\ &=& \frac{4! \cdot 3}{1.600} \\ &=& \frac{9}{200} \\ &=& 0,045 \\ &=& 4,5\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 4,5% tritt jede der vier Zahlen einmal auf.
$\blacktriangleright$ Ereignis C: Die 3 tritt mindestens zweimal auf
Hierbei kannst du nun nur die beiden Möglichkeiten „Es wird eine drei gedreht“ und „Es wird nicht 3 gedreht“ betrachten, da dich nicht interessiert welche Zahl gedreht wird, wenn es keine 3 ist.
Dann ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten wie folgt:
  • $p_3 = \frac{1}{10}$
  • $p_{nicht 3} = p_0 + p_1+ p_2$$ = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4} + \frac{3}{20} = \frac{9}{10}$
Da die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu drehen, bei jedem Dreh gleich bleibt und nun nur noch zwei unterschiedliche Ausgänge pro Dreh möglich sind, kann nun die Zufallsvariable X, die die Anzahl der Treffer 3 beschreibt, als binomialverteilt mit dem Parametern $n=4$ und $p=\frac{1}{10}$ angenommen werden.
Du suchst nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zweimal die 3 auftritt. Dies entspricht $P(X\geq2)$.
Dies kannst du mit Hilfe des Befehls für die Binomialverteilung in deinem CAS berechnen. Den Befehl dafür findest du im Statistik-Menü unter:
Calc $\to$ Verteilung $\to$ Binom. Vert.-fkt.
Gibst du dort die entsprechenden Parameter $n=4$, $p=\frac{1}{10}$, obere Schranke$=4$ und untere Schranke$=2$ ein, so erhältst du folgendes Ergebnis:
$P(C) = 0,0523 = 5,23\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $5,23\,\%$ tritt mindestens zweimal die Zahl 3 auf.
Stochastik 1
Stochastik 1
Stochastik 1
Stochastik 1
Stochastik 1
Stochastik 1
$\blacktriangleright$Ereignis D: Die Summe der vier Zahlen ist größer als 10
Dies tritt genau dann ein, wenn mindestens drei mal die 3 vorkommt und die übrige Zahl mindestens eine 2 ist.
Zerlege dies in die beiden Teilereignisse: $D=D_1+D_2$, wobei wir folgendes festlegen:
$D_1$: „Es tritt dreimal eine 3 und einmal eine 2 auf.“ und
$D_2$: „Es tritt viermal eine 3 auf.“
Dann gilt auch $P(D) = P(D_1)+ P(D_2)$.
Berechne beide Wahrscheinlichkeiten einzeln:
1. Schritt: $\boldsymbol{P(D_1)}$
Hier kannst du wieder ähnlich vorgehen wie bei Ereignis B. Berechne die Wahrscheinlichkeit $ P(3-3-3-2)$ dafür, dass die ersten drei Zahlen 3 und die letzte Zahl eine 2 sind mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel und die Anzahl $N$ der Möglichkeiten, die es gibt, unter vier Zahlen einmal die Zahl 2 zu platzieren.
Dann ergibt sich:
$P(D_1) = N\cdot P(3-3-3-2)$.
$P(3-3-3-2) = p_3\cdot p_3\cdot p_3\cdot p_2 = \left(\dfrac{1}{10}\right)^3\cdot \dfrac{3}{20} = \dfrac{3}{20.000}$
$\begin{array}{rrl} P(3-3-3-2)&=& p_3\cdot p_3\cdot p_3\cdot p_2 \\[5pt] &=& \left(\dfrac{1}{10}\right)^3\cdot \dfrac{3}{20} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{20.000} \end{array}$
Da die 2 entweder an erster, zweiter, dritter oder vierter Stelle stehen kann, ist $N=4$. $\Rightarrow P(D_1) = 4\cdot \dfrac{3}{20.000} = \dfrac{3}{5.000}$
2. Schritt: $\boldsymbol{P(D_2)}$
Dies lässt sich wieder über die Pfadmultiplikationsregel berechnen. Es gibt nur einen Pfad, der diese Kombination ergibt:
$ P(D_2) = P(3-3-3-3) = p_3\cdot p_3\cdot p_3 \cdot p_3=(\dfrac{1}{10})^4 = \dfrac{1}{10.000}$
$\begin{array}{rrl} P(D_2)&=& P(3-3-3-3) \\[5pt] &=&p_3\cdot p_3\cdot p_3 \cdot p_3 \\[5pt] &=&(\dfrac{1}{10})^4 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{10.000} \end{array}$
Insgesamt ergibt sich dann:
$P(D) = \dfrac{3}{5.000}+ \dfrac{1}{10.000} = \dfrac{7}{10.000} = 0,07\,\%$.
$\begin{array}{rrl} P(D) &=& \dfrac{3}{5.000}+ \dfrac{1}{10.000} \\[5pt] &=& \dfrac{7}{10.000} \\[5pt] &=& 0,07\,\%. \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,07\,\% $ ist die Summe der vier Zahlen größer als 10.
1.2.1
$ \blacktriangleright $ Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst hier die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E berechnen, dass der Spieler mit der vorgeschlagenen Strategie die vier Versuche ausschöpft, dass also frühestens beim vierten Versuch eine 2 oder 3 auftritt.
Betrachte hier also bei jedem Dreh die beiden möglichen Ergebnisse:
  1. W   „Es wird 0 oder 1 gedreht.“  $\mathrel{\widehat{=}}$  „Der Spieler spielt weiter.“
  2. A   „ Es wird 2 oder 3 gedreht.“  $\mathrel{\widehat{=}}$  „Der Spieler hört auf.“
Dann haben diese beiden Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten:
  • $P(W) = p_0 + p_1 = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$
  • $P(A) = p_2 + p_3 = \dfrac{3}{20}+\dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{4}$
Du suchst nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst beim vierten Dreh eine 2 oder 3 gedreht wird, oder niemals. Hierbei kannst du wieder mit der Pfadmultiplikationsregel, sowie der Pfadadditionsregel arbeiten:
$P(E) = P(W-W-W-A)+ P(W-W-W-W)$
$= \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4} \approx 0,4219 = 42,19\,\%$
$P(E) = 42,19\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $42,19\,\%$ schöpft der Spieler seine vier Versuche aus.
1.2.2
$\blacktriangleright$ Durchschnittlichen Zahlenwert berechnen
Du sollst nun berechnen, welchen Zahlenwert der Spieler mit der genannten Strategie im Durchschnitt erreicht. Dies ist der Erwartungswert der Zufallsvariable Z, die den zufälligen Zahlenwert beschreibt, den der Spieler am Ende nach höchstens vier Runden erspielt hat, also den Zahlenwert, den der Spieler in seiner letzten Runde gedreht hat.
Dieser ergibt sich auf folgende Weise:
$E(Z) = 0\cdot P(Z=0)+ 1\cdot P(Z=1) + 2\cdot P(Z=2)+ 3\cdot P(Z=3)$
$E(Z) = …$
Du kannst dir dazu zunächst einmal die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Möglichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln klarmachen:
  • 0   Der Spieler spielt in den ersten drei Runden jeweils weiter und dreht in der vierten dann eine 2.
  • 1   Der Spieler spielt in den ersten drei Runden jeweils weiter und dreht in der vierten dann eine 1.
  • 2   Der Spieler dreht irgendwann eine 2, aber vorher keine 3, da er dann ja bereits aufhören würde.
  • 3   Der Spieler dreht irgendwann eine 3, aber vorher keine 2, da er dann ja bereits aufhören würde.
  • $P(Z=0)$ $= P(W-W-W-0) $$= \left(\dfrac{3}{4}\right)^3\cdot\dfrac{1}{2} \approx 0,2110$
  • $P(Z=1)$ $= P(W-W-W-1) $$= \left(\dfrac{3}{4}\right)^3\cdot\dfrac{1}{4} \approx 0,1055$
  • $P(Z=2)$ $= P(2)+P(W-2) $$+ P(W-W-2) $$+ P(W-W-W-2)$
  • $= \dfrac{3}{20} $$+ \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{20}$$+ \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{20}$ $+ \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{20}$ $\approx 0,4102$
  • $P(Z=3) $$= P(3) $$+ P(W-3) $$+ P(W-W-3) $$+ P(W-W-W-3)$
  • $= \dfrac{1}{10} $$+ \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{10}$$+ \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{10}$ $+ \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{10}$ $\approx 0,2734 $
Der erwartete Zahlenwert ergibt sich dann auf folgende Weise:
$\begin{array}{rrl} E(Z)&=& 0\cdot P(Z=0)+ 1\cdot P(Z=1) + 2\cdot P(Z=2)+ 3\cdot P(Z=3) \\[5pt] &=& 0 + 0,1055 + 2\cdot0,4102+ 3\cdot0,2734 \\[5pt] &=& 1,7461 \end{array}$
$\begin{array}{rrl} E(Z)&=& 1,7461 \end{array}$
Im Durchschnitt erreicht ein Spieler mit der angegebenen Strategie einen Zahlenwert von 1,7461.
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