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Analysis
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Analysis

Aufgaben
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1.1
Gegeben ist für jedes $t\in\mathbb{R}$ die Funktion $f_t$ durch
$f_{t}(x)=x^{3}+t\cdot x^{2}+8$; $x\in\mathbb{R}$.
Das Schaubild von $f_t$ ist $K_t$.
1.1.1
Bestimme jeweils die Schnittpunkte von $K_{-2}$ und $K_{2}$ mit den Koordinatenachsen.*
Zeichne $K_2$ und $K_{-2}$ in ein gemeinsames Koordinatensystem.**
(7P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.1.2
$K_2$, $K_{-2}$ und die Gerade mit der Gleichung $x=1$ begrenzen eine Fläche.
Berechne deren Inhalt.
(3P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.1.3
Welchen Punkt haben alle $K_t$ gemeinsam?
Beweise, dass sich alle $K_t$ in diesem Punkt berühren und nicht überkreuzen.
(5P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.1.4
Untersuche $K_t$ auf Hoch- und Tiefpunkte in Abhängigkeit von $t$.
Bestimme den Wert von $t$, für den $K_t$ genau zwei gemeinsame Punkte mit der $x$-Achse hat.
(7P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.1.5
Berechne die Gleichung der Kurve, auf der die Wendepunkte aller $K_t$ liegen.
(5P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.2
Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x)=\cos(x)$; $-\dfrac{\pi}{2}\leq x\leq\dfrac{5}{2}\pi$.
Das Schaubild von $h$ ist $C$.
Gegeben sind die Punkte $A\left(\dfrac{3}{2}\pi\mid 0\right)$ und $P\left(u\mid h(u)\right)$ mit $0\leq u\leq \dfrac{\pi}{2}$.
Die Gerade durch $A$ und $P$ ist die Tangente an $C$ im Punkt $P$.
Bestimme $u$ zeichnerisch und rechnerisch.
Außerdem ist die Gerade durch $B\left(\dfrac{\pi}{2}\mid 0\right)$ und $Q(v\mid h(v))$ mit $\dfrac{3}{2}\pi\leq v \leq 2\pi$ die Tangente an $C$ im Punkt $Q$.
Bestimme den exakten Wert der $x$-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Tangenten. Argumentiere mit Hilfe der Zeichnung.
(8P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.3
Gegeben ist das Schaubild einer Funktion $g$.
Begründe für jede der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch ist.
  1. $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{2}g(x)\;\mathrm dx>0$
  2. Die Steigung der Normale an das Schaubild im Punkt $P(1\mid g(1))$ ist negativ.
  3. $g$ besitzt die Periode $2,5$
  4. Jede Stammfunktion von $g$ ist für $-1\leq x\leq1$ streng monoton wachsend.
  5. Für alle $x$ gilt: $\left|g'(x)\right|\leq3$.
(10P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln

(45P)
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Aufgabe 1.1.1

$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
Gegeben ist eine Funktionenschar $f_t$ mit dem Funktionsterm
$f_t(x)=x^3+t\cdot x^2 +8;\,\,x \in \mathbb{R}$
Deine Aufgabe ist es, die Schnittpunkte der Schaubilder $K_2$ und $K_{-2}$ mit den Koordinatenachsen zu bestimmen. Verwende dazu das CAS. Definiere zunächst die Funktionenschar $f_t$.
  • Schnittpunkte mit der $x$-Achse entsprechen den Nullstellen der Funktion, d.h. es muss $f_t(x)=0$ gelten.
  • Schnittpunkte mit der $y$-Achse kannst du ermitteln, indem du den Funktionswert $f_t(0)$ berechnest.
$\blacktriangleright$ Schaubilder zeichnen
Um die Schaubilder $K_2$ und $K_{-2}$ zu zeichnen, kannst du dir zunächst die Schaubilder im CAS ansehen, um den Verlauf der Graphen zu bestimmen.
Wechsle dazu in den Graph-Modus und lass dir anschließend die Schaubilder für die Parameter $t=2$ und $t=-2$ anzeigen.
Die zuvor ermittelten Nullstellen $N_2(-2,93 \mid 0)$ und $N_{-2}(-1,51 \mid 0)$ sowie den gemeinsamen Schnittpunkt mit der $y$-Achse $S(0 \mid 8)$ kannst du zuerst zur Orientierung für den jeweiligen Graphen einzeichnen.

Aufgabe 1.1.2

$\blacktriangleright$ Eingeschlossener Flächeninhalt berechnen
Betrachte wieder die Schaubilder $K_2$ und $K_{-2}$. Nun wird eine Parallele zur $y$-Achse mit der Gleichung $x=1$ hinzugefügt, sodass die drei Schaubilder eine Fläche begrenzen. Berechne den Inhalt dieser Fläche.
Du kannst dabei folgende Überlegung vornehmen: Die Fläche, die von der $x$-Achse, $K_2$ und $g: x=1$ eingeschlossen wird, sieht wie folgt aus:
Die Fläche, die von der $x$-Achse, $K_{-2}$ und $g: x=1$ eingeschlossen wird, sieht dahingegen so aus:
Die Fläche, die von $K_{2}$, $K_{-2}$ und $g: x=1$ eingeschlossen wird, entspricht dann gerade der Differenz der obigen Flächen, also:
Das heißt, du kannst zunächst den Inhalt der Flächen $A_2$ und $A_{-2}$ berechnen. Diese Flächen kannst du wiederum mittels eines Integrals innerhalb des Intervalls $\left[0;1\right]$ bestimmen:
  • $A_2= \displaystyle \int_0^1 f_2(x)\; dx$
  • $A_{-2}=\displaystyle \int_0^1 f_{-2}(x)\; dx$
Subtrahiere diese Integrale, sodass du den Inhalt der Fläche $A$ erhältst, also $A=A_2 - A_{-2}$ .

Aufgabe 1.1.3

$\blacktriangleright$ Gemeinsame Punkte von $K_t$
Die Schaubilder der Funktionenschar $f_t$ schneiden sich alle in einem gemeinsamen Punkt $P$. Bestimme diesen Punkt.
Da sich alle Schaubilder der Schar in einem Punkt schneiden, kannst du den Funktionsterm von zwei Funktionen der Schar gleichsetzen und so die Schnittstelle berechnen. Hast du die Schnittstelle ermittelt, kannst du durch Einsetzen in den Funktionsterm den $y$-Wert an dieser Stelle ermitteln. Das liefert dir dann die vollständigen Koordinaten des gesuchten Punktes.
$\blacktriangleright$ Beweisen, dass sich die Schaubilder nur berühren
Zuvor hast du gezeigt, dass alle Schaubilder den Punkt $S(0 \mid 8)$ gemeinsam haben. Jetzt sollst du beweisen, dass sich die Schaubilder im Punkt $S$ nur berühren und nicht schneiden.
Berühren sich zwei Graphen in einem Punkt $S$, so müssen die folgenden beiden Bedingungen erfüllt werden:
  • Der Punkt $S$ liegt auf den Schaubildern.
  • Zudem haben die Graphen dieselbe Steigung im Punkt $S$.
Da wir bereits wissen, dass alle Schaubilder den Punkt $S(0 \mid 8)$ gemeinsam haben, müssen wir nur noch nachweisen, dass die Steigung an dieser Stelle ebenfalls übereinstimmt.
Dazu kannst du die erste Ableitung der Funktionenschar $f_t$ bilden und an der Stelle $x_0=0$ untersuchen. Ist diese dort nicht vom Parameter $t$ abhängig , so ist die Steigung bei allen Schaubildern gleich.

Aufgabe 1.1.4

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{K_t}$ auf Hoch- und Tiefpunkte untersuchen
Die Schaubilder sollen in Abhängigkeit vom Parameter $t$ auf Hoch- und Tiefpunkte untersucht werden. D.h. du sollst die Funktionenschar $f_t$ auf Extremstellen untersuchen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktionenschar $f_t$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f_t'(x_0)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_t''(x_0) \neq 0$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktionenschar $f_t$ in Abhängigkeit des Parameters $t$ und untersuche diese auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese potentiellen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $f_t''(x_0) < 0$ so handelt es sich um einen Hochpunkt , gilt $f_t''(x_0) > 0$ , so liegt ein Tiefpunkt vor.
$\blacktriangleright$ Parameter $\boldsymbol{t}$ bestimmen
Für einen bestimmen Wert für $t$ hat das Schaubild $K_t$ genau zwei Punkte mit der $x$-Achse gemeinsam. Ermittle diesen Parameterwert.
Das Schaubild schneidet die $x$-Achse genau dann, wenn der Funktionswert gleich Null wird, d.h. dass $f_t(x)=0$ gilt.
Betrachtest du den Funktionsterm der Funktionenschar mit $f_t(x)=x^3+t\cdot x^2 +8$, so erkennst du, dass für $x \rightarrow +\infty$ die Funktion gegen $+ \infty$ und für $x \rightarrow -\infty$ die Funktion gegen $- \infty$ strebt.
Daraus kannst du folgern, da es sich um eine stetige Funktion handelt, dass das Schaubild die $x$-Achse mindestens einmal schneidet. Soll das Schaubild aber nur zwei Punkte mit der $x$-Achse gemeinsam haben, so darf das Schaubild die Achse in einem weiteren Punkt nur berühren , d.h. für eine weitere Stelle müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:
  • $f_t(x)=0$
  • $f_t'(x)=0$
Stelle mit Hilfe diesen Gleichungen ein Gleichungssystem auf, welches du nach dem gesuchten Parameter $t$ auflöst.

Aufgabe 1.1.5

$\blacktriangleright$ Ortskurve der Wendepunkte bestimmen
Auf der Ortskurve der Wendepunkte liegen alle Wendepunkte der Schaubilder $K_t$. Bestimme diese und gehe dabei folgendermaßen vor:
Bestimme zuerst die noch vom Parameter $t$ abhängigen Wendepunktkoordinaten, um die Koordinaten anschließend als Gleichungen zu interpretieren und nach $t$ umformen zu könnnen.
Für einen Wendepunkt an der Stelle $x_W$ müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f_t''(x_W)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_t'''(x_W) \neq 0$

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Tangente an das Schaubild $C$ bestimmen
Gegeben ist eine Funktion $h$ mit dem Funktionsterm
$h(x)=cos(x);\,\,-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{5\pi}{2}$
Das Schaubild der Funktion $h$ sei C. Weiterhin seien die beiden Punkte $A\left( \frac{3}{2}\cdot \pi \mid 0\right)$ und $P(u \mid h(u))$ mit der Bedingung $0 \leq u \leq \frac{\pi}{2}$ gegeben. Eine Gerade, die durch die beiden Punkte $A$ und $P$ verläuft, entspricht gerade der Tangente des Schaubildes $C$ im Punkt $P$.
Bestimme $u$ zeichnerisch und rechnerisch.
$\blacktriangleright$ $\blacktriangleright$ Graphische Lösung
Um die gesuchte Stelle $u$ zu bestimmen, solltest du zunächst den Graphen der Funktion $h$ in ein passendes Koordinatensystem zeichnen. Im Aufgabentext ist vermerkt, dass sich die Variable $x$ nur im Intervall $\left[ -\frac{\pi}{2}  \frac{5}{2}\cdot \pi\right]$ bewegt und die Funktion $h$ daher nur auf diesem Intervall definiert ist.
Zeichne anschließend den festen Punkt $A\left( \frac{3}{2}\cdot \pi \mid 0\right)$ ein. Diesen Punkt muss die Gerade beinhalten.
Weiterhin soll die Gerade durch den Punkt $P(u \mid h(u))$ verlaufen, der auf dem Graphen von $h$ liegt. Da die Gerade außerdem die Tangente in diesem Punkt sein soll, berührt die Gerade das Schaubild $C$ der Funktion $h$ nur. Dementsprechend kannst du mit dem Geodreieck testen, welche Tangente dafür in Frage kommt.
$\blacktriangleright$ $\blacktriangleright$ Rechnerische Lösung
Um die Stelle $u$, an der die Tangente angelegt werden soll, rechnerisch zu bestimmen, kannst du die Gleichung der Tangente $t$ an das Schaubild $C$ ermitteln, die durch den Punkt $A$ und $P$ verläuft.
Eine Tangente an ein Schaubild im Punkt $P$ zeichnet sich dadurch aus, dass sie das Schaubild berührt und in diesem Punkt dieselbe Steigung wie das Schaubild besitzt. Sie kann durch folgende allgemeine Tangentenform beschrieben werden:
$t(x)=m \cdot x + c$
Hierbei beschreibt $m$ die Steigung und $c$ den $y$-Achsenabschnitt der Tangente.
Gehe also wie folgt vor:
  1. Ermittle alle Bedingungen, die für die Tangente gelten müssen.
  2. Stelle ein lineares Gleichungssystem mittels der Bedingungen auf, um die Stelle $u$ zu bestimmen.
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Koordinate der beiden Tangenten bestimmen
Eine weitere Tangente durch den Punkt $A\left( \frac{\pi}{2} \mid 0\right)$ wird im Punkt $P(v \mid h(v))$ mit $\frac{3}{2}\cdot \pi \leq \pi \leq 2 \cdot \pi$ an das Schaubild der Funktion $h$ angelegt. Du sollst mit Hilfe der Zeichnung den exakten Wert der $x$-Koordinate des Schnittpunktes beider Tangenten bestimmen.
Dazu kannst du wie im Abschnitt zuvor (graphische Lösung) die Tangente hinzufügen und überlegen, wie der Schnittpunkt positioniert ist.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$ Aussagen begründen
Aussage Begründung
$\int_0^2 g(x)\;dx>0$ Wahr Das Integral über die Funktion $g$ im Intervall $\left[ 0;2 \right]$ entspricht gerade dem Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion $g$ mit der $x$-Achse in diesem Intervall einschließt.
Die Steigung der Normale an das Schaubild im Punkt $P(1 \mid g(1))$ ist negativ Falsch Betrachte den Punkt $P(1 \mid g(1))$ auf dem Schaubild. Ist $m$ die Steigung des Schaubildes in diesem Punkt, so ist die Steigung der Normale durch $-\frac{1}{m}$ gegeben.
$g$ bestitzt die Periode 2,5 Falsch Die Periode eines Schaubildes entspricht gerade der Länge des kürzesten Intervalls.
Jede Stammfunktion von $g$ ist für $-1 \leq x \leq 1$ streng monoton wachsend Wahr Eine Funktion $g$ ist auf einem Intervall streng monoton wachsend, wenn für die Steigung der Funktion in diesem Bereich $g'(x)>0$ gilt.
Für alle $x$ gilt: $\mid g'(x) \mid \leq 3$ Falsch Der mathematische Ausdruck besagt, dass der Betrag der Steigung von $g$ den Wert 3 nicht überschreitet.
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Aufgabe 1.1.1

$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
Gegeben ist eine Funktionenschar $f_t$ mit dem Funktionsterm
$f_t(x)=x^3+t\cdot x^2 +8;\,\,x \in \mathbb{R}$
Deine Aufgabe ist es, die Schnittpunkte der Schaubilder $K_2$ und $K_{-2}$ mit den Koordinatenachsen zu bestimmen. Verwende dazu das CAS. Definiere zunächst die Funktionenschar $f_t$.
  • Schnittpunkte mit der $x$-Achse entsprechen den Nullstellen der Funktion, d.h. es muss $f_t(x)=0$ gelten.
  • Schnittpunkte mit der $y$-Achse kannst du ermitteln, indem du den Funktionswert $f_t(0)$ berechnest.
Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$-Koordinatenachsne bestimmen
Da die Schnittpunkte mit der $x$-Koordinatenachse gerade den Nullstellen der Funktionen $f_2$ und $f_{-2}$ entsprechen, kannst du wie folgt vorgehen: Wähle im Calculator-Modus die Option
3: Algebra $\rightarrow$ 1: Löse
3: Algebra $\rightarrow$ 1: Löse
aus und löse so die beiden Gleichungen $f_2(x)=0$ und $f_{-2}(x)=0$ nach der Variable $x$ wie im folgenden Schaubild:
Damit hat das Schaubild $K_2$ den Schnittpunkt $N_2(-2,93 \mid 0)$ und das Schaubild $K_{-2}$ den Schnittpunkt $N_{-2}(-1,51 \mid 0)$ mit der $x$-Achse.
Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{y}$-Koordinatenachsne bestimmen
Für die Schnittpunkte mit der $y$-Achse kannst du jeweils die Funktionswerte $f_2(0)$ und $f_{-2}(0)$ berechnen, indem du im Calculator-Modus die Funktionenschar definierst und für die entsprechenden Parameter $t=2$ und $t=-2$ den Funktionswert an der Stelle $0$ berechnest:
Damit haben beide Schaubilder den Schnittpunkt $S(0 \mid 8)$ mit der $y$-Achse.
$\blacktriangleright$ Schaubilder zeichnen
Um die Schaubilder $K_2$ und $K_{-2}$ zu zeichnen, kannst du dir zunächst die Schaubilder im CAS ansehen, um den Verlauf der Graphen zu bestimmen.
Wechsle dazu in den Graph-Modus und lass dir anschließend die Schaubilder für die Parameter $t=2$ und $t=-2$ anzeigen.
Die Schaubilder $K_2$ und $K_{-2}$ sollten dann folgendermaßen aussehen:
Die zuvor ermittelten Nullstellen $N_2(-2,93 \mid 0)$ und $N_{-2}(-1,51 \mid 0)$ sowie den gemeinsamen Schnittpunkt mit der $y$-Achse $S(0 \mid 8)$ kannst du zuerst zur Orientierung für den jeweiligen Graphen einzeichnen.

Aufgabe 1.1.2

$\blacktriangleright$ Eingeschlossener Flächeninhalt berechnen
Betrachte wieder die Schaubilder $K_2$ und $K_{-2}$. Nun wird eine Parallele zur $y$-Achse mit der Gleichung $x=1$ hinzugefügt, sodass die drei Schaubilder eine Fläche begrenzen. Berechne den Inhalt dieser Fläche.
Du kannst dabei folgende Überlegung vornehmen: Die Fläche, die von der $x$-Achse, $K_2$ und $g: x=1$ eingeschlossen wird, sieht wie folgt aus:
Die Fläche, die von der $x$-Achse, $K_{-2}$ und $g: x=1$ eingeschlossen wird, sieht dahingegen so aus:
Die Fläche, die von $K_{2}$, $K_{-2}$ und $g: x=1$ eingeschlossen wird, entspricht dann gerade der Differenz der obigen Flächen, also:
Das heißt, du kannst zunächst den Inhalt der Flächen $A_2$ und $A_{-2}$ berechnen. Diese Flächen kannst du wiederum mittels eines Integrals innerhalb des Intervalls $\left[0;1\right]$ bestimmen:
  • $A_2= \displaystyle \int_0^1 f_2(x)\; dx$
  • $A_{-2}=\displaystyle \int_0^1 f_{-2}(x)\; dx$
Subtrahiere diese Integrale, sodass du den Inhalt der Fläche $A$ erhältst, also $A=A_2 - A_{-2}$.
Die Integrale kannst du wieder mit Hilfe des CAS berechnen. Wähle dazu unter
4: Analysis $\rightarrow$ 3: Integral
4: Analysis $\rightarrow$ 3: Integral
aus und berechne die beiden Integrale.
Du erhältst dann:
  • $A_2=\displaystyle \int_0^1 f_2(x)\, dx \approx 8,92$
  • $A_{-2}=\displaystyle \int_0^1 f_{-2}(x)\, dx \approx 7,58$
Berechnest du nun die Differenz der Flächeninhalte, so erhältst du den gesuchten Flächeninhalt:
$A=A_2-A_{-2} \approx 1,33$
Der Flächeninhalt beträgt etwa $1,33$ FE.

Aufgabe 1.1.3

$\blacktriangleright$ Gemeinsame Punkte von $K_t$
Die Schaubilder der Funktionenschar $f_t$ schneiden sich alle in einem gemeinsamen Punkt $P$. Bestimme diesen Punkt.
Da sich alle Schaubilder der Schar in einem Punkt schneiden, kannst du den Funktionsterm von zwei Funktionen der Schar gleichsetzen und so die Schnittstelle berechnen. Hast du die Schnittstelle ermittelt, kannst du durch Einsetzen in den Funktionsterm den $y$-Wert an dieser Stelle ermitteln. Das liefert dir dann die vollständigen Koordinaten des gesuchten Punktes.
Im Aufgabenteil 1.1.1 hast du bereits nachgerechnet, dass der Schnittpunkt $S(0 \mid 8)$ mit der $y$-Achse ein gemeinsamer Schnittpunkt der Graphen $K_2$ und $K_{-2}$ ist. Um sicher zu gehen, dass dies der gesuchte Punkt ist, müssen wir noch überprüfen, ob es auch keinen weiteren Schnittpunkt gibt.
Dazu kannst du die Funktionsterme von $f_2$ und $f_{-2}$ gleichsetzen und berechnen:
$\begin{array}{rll} f_2(x)&=&f_{-2}(x)\\ x^3+2\cdot x^2 +8&=& x^3-2\cdot x^2 +8 &\mid \, \scriptsize -8;\;-x^3;\;+2\cdot x^2\\ 0&=&4\cdot x^2 \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} f_2(x)&=&4\cdot x^2 \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} f_2(x)&=&f_{-2}(x)\\ x^3+2\cdot x^2 +8&=& x^3-2\cdot x^2 +8 &\mid \, \scriptsize -8;\;-x^3;\;+2\cdot x^2\\ 0&=&4\cdot x^2 \\ \end{array}$
Diese Gleichung wird nur für $x=0$ gelöst, das heißt, der Punkt $S(0 \mid 8)$ aus der Teilaufgabe zuvor ist tatsächlich der gesuchte Punkt.
$\blacktriangleright$ Beweisen, dass sich die Schaubilder nur berühren und nicht überkreuzen
Zuvor hast du gezeigt, dass alle Schaubilder den Punkt $S(0 \mid 8)$ gemeinsam haben. Jetzt sollst du beweisen, dass sich die Schaubilder im Punkt $S$ nur berühren und nicht überkreuzen.
Berühren sich zwei Graphen in einem Punkt $S$, so müssen die folgenden beiden Bedingungen erfüllt werden:
  • Der Punkt $S$ liegt auf den Schaubildern.
  • Zudem haben die Graphen dieselbe Steigung im Punkt $S$.
Da wir bereits wissen, dass alle Schaubilder den Punkt $S(0 \mid 8)$ gemeinsam haben, müssen wir nur noch nachweisen, dass die Steigung an dieser Stelle ebenfalls übereinstimmt.
Dazu kannst du die erste Ableitung der Funktionenschar $f_t$ bilden und an der Stelle $x_0=0$ untersuchen. Ist diese dort nicht vom Parameter $t$ abhängig, so ist die Steigung bei allen Schaubildern gleich.
Wir bestimmen die erste Ableitung mit Hilfe des CAS. Den entsprechenden Befehl findest du unter
4: Analysis $\rightarrow$ 1: Ableiten
4: Analysis $\rightarrow$ 1: Ableiten
Gib hier an, dass die Funktion $f_t$ nach der Variable $x$ differenziert werden soll und berechne in einem zweiten Schritt die Ableitung an der Stelle $0$.
Das liefert dir, dass alle Schaubilder im Punkt $S(0 \mid 8)$ die Steigung $0$ besitzen und diese somit nicht vom Parameter $t$ abhängig ist. Damit sind die beiden Kriterien erfüllt und du hast gezeigt, dass sich die Graphen im Punkt $S$ berühren.
Sollen sich die Graphen außerdem nicht überkreuzen, so kannst du die Differenzenfunktion zweier beliebiger Scharfunktionen mit $f_{t1}(x)=x^3+t_1\cdot x^2 +8$ und $f_{t2}(x)=x^3+t_2\cdot x^2 +8$ genauer betrachten:
$f_{t1-t2}(x)=(t_1-t_2)\cdot x^2$
Hierbei handelt es sich um eine Parabel, die sich je nach Werten für $t_1$ und $t_2$ überhalb oder unterhalb der $x$-Achse befindet und an der Stelle $x=0$ immer Null ist. Die Differenzenfunktion ist damit entweder immer positiv oder negativ. Daraus kannst du folgern, dass bei zwei verschiedenen Scharfunktionen immer ein Graph oberhalb bzw. unterhalb des anderen verläuft und diese sich somit nicht überkreuzen.

Aufgabe 1.1.4

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{K_t}$ auf Hoch- und Tiefpunkte untersuchen
Die Schaubilder sollen in Abhängigkeit vom Parameter $t$ auf Hoch- und Tiefpunkte untersucht werden. D.h. du sollst die Funktionenschar $f_t$ auf Extremstellen untersuchen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktionenschar $f_t$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f_t'(x_0)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_t''(x_0) \neq 0$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktionenschar $f_t$ in Abhängigkeit des Parameters $t$ und untersuche diese auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese potentiellen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $f_t''(x_0) < 0$ so handelt es sich um einen Hochpunkt, gilt $f_t''(x_0) > 0$, so liegt ein Tiefpunkt vor.
1. Schritt: Ableitungen der Funktionenschar bestimmen
Die erste und zweite Ableitung der Funktionenschar $f_t$ kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen. Definiere dir dazu den Funktionsterm im CAS und wähle unter
4: Analysis $\rightarrow$ 1: Ableiten
4: Analysis $\rightarrow$ 1: Ableiten
den Befehl zur Bestimmung der Ableitung aus und wende diesen zweimal auf den Funktionsterm an. Das liefert dir die folgenden Ableitungsterme:
  • $f_t'(x)=2tx+3x^2$
  • $f_t''(x)=2t+6x$
2. Schritt: Notwendige Bedinung überprüfen
Für eine potentielle Extremstelle muss die notwendige Bedinung $f_t'(x_0)=0$ erfüllt werden. Verwende zum Ermitteln der möglichen Stellen den Solve-Befehl des CAS:
Das liefert dir, dass die Stellen $x_1=0$ und $x_2=\frac{-2t}{3}$ mögliche Extremstellen sind. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Extremstellen sind und von welcher Art diese sind, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen:
3. Schritt: Hinreichende Bedinung überprüfen
Damit eine potentielle Extremstelle tatsächlich Extremstelle ist, muss diese die Ungleichung $f_t''(x_0) \neq 0$ erfüllen. Wir setzen also die ermittelten Stellen $x_1=0$ und $x_2=\frac{-2t}{3}$ in den Term der zweiten Ableitung und berechnen den Funktionswert:
Das liefert dir, dass $f_t''(x_1=0)=2 \cdot t$ und $f_t''(x_2=\frac{-2t}{3})=-2 \cdot t$ gilt. Laut Voraussetzung kann der Parameter $t$ alle Werte aus $\mathbb{R}$ annehmen, das heißt, er kann positiv als auch negativ sein. Daher müssen wir zu Bestimmung der Art der Extrempunkte eine Fallunterscheidung durchführen:
1. Fall: Parameter $\boldsymbol{t}$ positiv: $t>0$
  • Ist der Parameter $t$ positiv, so befindet sich an der Stelle $x_1=0$ ein Tiefpunkt, da $f_{t}''(x_1)=2 \cdot t>0$ gilt.
  • Für die zweite Extremstelle gilt dann folglich $f_t''(x_2)=-2 \cdot t<0$ und es liegt ein Hochpunkt vor.
2. Fall: Parameter $\boldsymbol{t}$ negativ: $t<0$
  • Ist der Parameter $t$ negativ (wir setzen zur Veranschaulichung $t=-t$ ein), so befindet sich an der Stelle $x_1=0$ ein Hochpunkt, da $f_{t}''(x_1)<0$ gilt.
  • Für die zweite Extremstelle gilt dann folglich $f_t''(x_2)>0$ und es liegt ein Tiefpunkt vor.
3. Fall: Parameter $\boldsymbol{t}$ gleich Null: $t=0$
  • Ist der Parameter $t$ gleich Null, so befindet sich an der Stelle $x_1=0$ kein Extrempunkt, da $f_{t}''(x_1)=0$ gilt und die hinreichende Bedingung somit nicht mehr erfüllt wird.
  • Für die zweite Extremstelle gilt dann folglich $f_t''(x_2)=0$ und es liegt ebenfalls kein Extrempunkt vor.
$\blacktriangleright$ Parameter $\boldsymbol{t}$ bestimmen
Für einen bestimmen Wert für $t$ hat das Schaubild $K_t$ genau zwei Punkte mit der $x$-Achse gemeinsam. Ermittle diesen Parameterwert.
Das Schaubild schneidet die $x$-Achse genau dann, wenn der Funktionswert gleich Null wird, d.h. dass $f_t(x)=0$ gilt.
Betrachtest du den Funktionsterm der Funktionenschar mit $f_t(x)=x^3+t\cdot x^2 +8$, so erkennst du, dass für $x \rightarrow +\infty$ die Funktion gegen $+ \infty$ und für $x \rightarrow -\infty$ die Funktion gegen $- \infty$ strebt.
Daraus kannst du folgern, da es sich um eine stetige Funktion handelt, dass das Schaubild die $x$-Achse mindestens einmal schneidet. Soll das Schaubild aber nur zwei Punkte mit der $x$-Achse gemeinsam haben, so darf das Schaubild die Achse in einem weiteren Punkt nur berühren, d.h. für eine weitere Stelle müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:
  • $f_t(x)=0$
  • $f_t'(x)=0$
Stelle mit Hilfe diesen Gleichungen ein Gleichungssystem auf, welches du nach dem gesuchten Parameter $t$ auflöst. Hierbei kannst du das CAS verwenden, den entsprechenden Befehl findest du unter:
3: Algebra $\rightarrow$ 7: $\rightarrow$ 1: Gleichungssystem lösen
3: Algebra $\rightarrow$ 7: $\rightarrow$ 1: Gleichungssystem lösen
Trage beide Gleichungen ein und gib an, dass nach der Variable $t$ aufgelöst werden soll.
Das CAS liefert dir, dass die oben genannten Bedingungen für $t=3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}\approx -3,78$ erfüllt werden. Damit hat das Schaubild $K_{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$ genau zwei Punkte mit der $x$-Achse gemeinsam.

Aufgabe 1.1.5

$\blacktriangleright$ Ortskurve der Wendepunkte bestimmen
Auf der Ortskurve der Wendepunkte liegen alle Wendepunkte der Schaubilder $K_t$. Bestimme diese und gehe dabei folgendermaßen vor:
Bestimme zuerst die noch vom Parameter $t$ abhängigen Wendepunktkoordinaten, um die Koordinaten anschließend als Gleichungen zu interpretieren und nach $t$ umformen zu könnnen.
Für einen Wendepunkt an der Stelle $x_W$ müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f_t''(x_W)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_t'''(x_W) \neq 0$
1. Schritt: Wendepunkt des Schaubildes $K_t$ bestimmen
Die dritte Ableitung der Funktionenschar $f_t$ kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen, die zweite hast du bereits in einem Aufgabenteil zuvor bestimmt. Definiere dir dazu den Funktionsterm im CAS und wähle unter
4: Analysis $\rightarrow$ 1: Ableiten
4: Analysis $\rightarrow$ 1: Ableiten
den Befehl zur Bestimmung der Ableitung aus und wende diesen auf den Funktionsterm der zweiten Ableitung von $f_t$ an. Das liefert dir die folgenden Ableitungsterme:
  • $f_t''(x)=2t+6x$
  • $f_t'''(x)=6$
Notwendige Bedinung überprüfen
Für eine potentielle Wendestelle muss die notwendige Bedinung $f_t''(x_W)=0$ erfüllt werden. Verwende zum Ermitteln der möglichen Stellen den Solve-Befehl des CAS:
Das liefert dir, dass die Stelle $x_W=\frac{-t}{3}$ eine mögliche Wendestelle ist. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Wendestelle ist, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen:
Hinreichende Bedinung überprüfen
Damit eine potentielle Wendestelle tatsächich Wendestelle ist, muss diese die Ungleichung $f_t'''(x_W) \neq 0$ erfüllen. Da die dritte Ableitung eine konstante Funktion ungleich Null ist, ist diese Bedingung für alle Parameterwerte für $t$ erfüllt und $x_W=\frac{-t}{3}$ ist tatsächlich Wendestelle.
Koordinaten des Wendepunktes bestimmen
Um die allgemeinen Koordinaten des Wendepunktes zu bestimmen, kannst du die Wendestelle in den Term der Funktionenschar $f_t$ einsetzen und berechnen:
Das liefert dir, dass der Wendepunkt in Abhängigkeit vom Parameter $t$ die Koordinaten $W\left( \frac{-t}{3} \mid \frac{2t^3}{27} +8\right)$ besitzt.
2. Schritt: Ortskurve der Wendepunkte bestimmen
Anhand der ermittelten Koordinaten des Wendepunktes kannst du folgende Gleichungen ablesen:
  • $x=\frac{-t}{3}$
  • $y=\frac{2t^3}{27} +8$
Wir stellen nun die erste Gleichung nach dem Parameter $t$ um und setzen diesen dann in die zweite Gleichung ein, um die Ortskurve zu erhalten:
$\begin{array}{rll} x&=&\frac{-t}{3}&\mid \; \scriptsize \cdot (-3)\\ -3x&=&t\\ \end{array}$
Setze nun $t=-3x$ in die Gleichung $y=\frac{2t^3}{27} +8$ ein:
$\begin{array}{rll} y&=&\frac{2(-3x)^3}{27} +8\\ &=&\frac{-2\cdot 27x^3}{27} +8\\ &=&-2x^3 +8\\ \end{array}$
Die Gleichung der Ortskurve aller Wendepunkte der Schaubilder $K_t$ lautet damit: $y=-2x^3+8$.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Tangente an das Schaubild $C$ bestimmen
Gegeben ist eine Funktion $h$ mit dem Funktionsterm
$h(x)=cos(x);\,\,-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{5\pi}{2}$
Das Schaubild der Funktion $h$ sei C. Weiterhin seien die beiden Punkte $A\left( \frac{3}{2}\cdot \pi \mid 0\right)$ und $P(u \mid h(u))$ mit der Bedingung $0 \leq u \leq \frac{\pi}{2}$ gegeben. Eine Gerade, die durch die beiden Punkte $A$ und $P$ verläuft, entspricht gerade der Tangente des Schaubildes $C$ im Punkt $P$.
Bestimme $u$ zeichnerisch und rechnerisch.
$\blacktriangleright$ $\blacktriangleright$ Graphische Lösung
Um die gesuchte Stelle $u$ zu bestimmen, solltest du zunächst den Graphen der Funktion $h$ in ein passendes Koordinatensystem zeichnen. Im Aufgabentext ist vermerkt, dass sich die Variable $x$ nur im Intervall $\left[ -\frac{\pi}{2}  \frac{5}{2}\cdot \pi\right]$ bewegt und die Funktion $h$ daher nur auf diesem Intervall definiert ist.
Zeichne anschließend den festen Punkt $A\left( \frac{3}{2}\cdot \pi \mid 0\right)$ ein. Diesen Punkt muss die Gerade beinhalten.
Weiterhin soll die Gerade durch den Punkt $P(u \mid h(u))$ verlaufen, der auf dem Graphen von $h$ liegt. Da die Gerade außerdem die Tangente in diesem Punkt sein soll, berührt die Gerade das Schaubild $C$ der Funktion $h$ nur. Dementsprechend kannst du mit dem Geodreieck testen, welche Tangente dafür in Frage kommt:
Die Stelle ist etwa $u \approx 0,2$.
$\blacktriangleright$ $\blacktriangleright$ Rechnerische Lösung
Um die Stelle $u$, an der die Tangente angelegt werden soll, rechnerisch zu bestimmen, kannst du die Gleichung der Tangente $t$ an das Schaubild $C$ ermitteln, die durch den Punkt $A$ und $P$ verläuft.
Eine Tangente an ein Schaubild im Punkt $P$ zeichnet sich dadurch aus, dass sie das Schaubild berührt und in diesem Punkt dieselbe Steigung wie das Schaubild besitzt. Sie kann durch folgende allgemeine Tangentenform beschrieben werden:
$t(x)=m \cdot x + c$
$t(x)=m \cdot x + c$
Hierbei beschreibt $m$ die Steigung und $c$ den $y$-Achsenabschnitt der Tangente.
Gehe also wie folgt vor:
  1. Ermittle alle Bedingungen, die für die Tangente gelten müssen.
  2. Stelle ein lineares Gleichungssystem mittels der Bedingungen auf, um die Stelle $u$ zu bestimmen.
1. Schritt: Bedingungen herauslesen
Die Steigung einer Tangenten an ein Schaubild $C$ entspricht der Steigung des Schaubildes an diesem Punkt. Wir bestimmen daher die erste Ableitung der Funktion $h$:
$\begin{array}{rll} h(x)&=&cos(x)\\ h'(x)&=&-sin(x)\\ \end{array}$
Damit muss allgemein für die Tangente $t'(x)=m=-sin(x)$ gelten.
Weiterhin verläuft die Tangente durch die Punkte $A\left( \frac{3}{2}\cdot \pi \mid 0\right)$ und $P(u \mid h(u))=(x \mid h(x))=(x \mid cos(x))$. Eingesetzt in die Tangentengleichung liefern diese zwei weitere Bedingungen:
$\begin{array}{rll} t(\frac{3}{2}\cdot \pi)&=&0\\ t(x)&=&cos(x)\\ \end{array}$
2. Schritt: Stelle $\boldsymbol{u}$ bestimmen
Um die gesuchte Stelle $u$ zu bestimmen, kannst du die drei Bedingungen in einem Gleichungssystem im CAS nach $u$ auflösen.
Damit muss $u=0,219$ gelten.
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Koordinate der beiden Tangenten bestimmen
Eine weitere Tangente durch den Punkt $A\left( \frac{\pi}{2} \mid 0\right)$ wird im Punkt $P(v \mid h(v))$ mit $\frac{3}{2}\cdot \pi \leq \pi \leq 2 \cdot \pi$ an das Schaubild der Funktion $h$ angelegt. Du sollst mit Hilfe der Zeichnung den exakten Wert der $x$-Koordinate des Schnittpunktes beider Tangenten bestimmen.
Dazu kannst du wie im Abschnitt zuvor (graphische Lösung) die Tangente hinzufügen und überlegen, wie der Schnittpunkt positioniert ist.
Eine Zeichnung mit der weiteren Tangenten sieht folgendermaßen aus:
Da es sich bei $h$ um eine periodische Funktion handelt, wiederholt sich der Verlauf der Steigung ebenfalls. Die neue Tangente schneidet ebenfalls einen Punkt auf der $x$-Achse und ist so ausgerichtet, dass sie gerade einer Spiegelung im Schnittpunkt an einer parallelen zur $y$-Achse entspricht.
Folglich muss sich der Schnittpunkt in der Mitte des Intervalls $\left[\frac{1}{2} \pi;\frac{3}{2} \pi \right]$ befinden. Damit beträgt die $x$-Koordinate des Schnittpunktes gerade $\pi \approx 3,14$.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$ Aussagen begründen
Aussage Begründung
$\int_0^2 g(x)\;dx>0$ Wahr Das Integral über die Funktion $g$ im Intervall $\left[ 0;2 \right]$ entspricht gerade dem Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion $g$ mit der $x$-Achse in diesem Intervall einschließt.
Im gegebenen Schaubild kannst du erkennnen, dass der Flächeninhalt oberhalb der $x$-Achse größer ist, als der unterhalb der $x$-Achse. Damit muss auch das Integral über dieses Intervall echt größer Null sein.
Die Steigung der Normale an das Schaubild im Punkt $P(1 \mid g(1))$ ist negativ Falsch Betrachte den Punkt $P(1 \mid g(1))$ auf dem Schaubild. Ist $m$ die Steigung des Schaubildes in diesem Punkt, so ist die Steigung der Normale durch $-\frac{1}{m}$ gegeben.
Offensichtlich ist die Steigung des Graphen im Punkt $P$ negativ, das heißt, die Steigung der Normale muss positiv sein.
$g$ bestitzt die Periode 2,5 Falsch Die Periode eines Schaubildes entspricht gerade der Länge des kürzesten Intervalls, bis sich der Verlauf der Funktion wiederholt. Da die Oszillation des Graphen für größere $x$-Werte immer größer zu werden scheint, ist diese Aussage falsch.
Jede Stammfunktion von $g$ ist für $-1 \leq x \leq 1$ streng monoton wachsend Wahr Eine Funktion $g$ ist auf einem Intervall streng monoton wachsend, wenn für die Steigung der Funktion in diesem Bereich $g'(x)>0$ gilt.
Soll die Steigung der Stammfunktion zu $g$ betrachtet werden, so entspricht $g$ gerade der Steigung. Für $-1 \leq x \leq 1$ verläuft der Graph zu $g$ oberhalb der $x$-Achse. Damit ist die Steigung der Stammfunktion echt größer Null und $G$ ist damit streng monoton wachsend.
Diese Aussage gilt außerdem für alle Stammfuktionen von $g$, da diese sich nur um eine Konstante unterscheiden.
Für alle $x$ gilt: $\mid g'(x) \mid \leq 3$ Falsch Der mathematische Ausdruck besagt, dass der Betrag der Steigung von $g$ den Wert 3 nicht überschreitet. Da der Graph aber für größere Werte für $x$ oszilliert, übersteigt die Steigung diesen Wert.
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Aufgabe 1.1.1

$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
Gegeben ist eine Funktionenschar $f_t$ mit dem Funktionsterm
$f_t(x)=x^3+t\cdot x^2 +8;\,\,x \in \mathbb{R}$
Deine Aufgabe ist es, die Schnittpunkte der Schaubilder $K_2$ und $K_{-2}$ mit den Koordinatenachsen zu bestimmen. Verwende dazu das CAS. Definiere zunächst die Funktionenschar $f_t$.
  • Schnittpunkte mit der $x$-Achse entsprechen den Nullstellen der Funktion, d.h. es muss $f_t(x)=0$ gelten.
  • Schnittpunkte mit der $y$-Achse kannst du ermitteln, indem du den Funktionswert $f_t(0)$ berechnest.
Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$-Koordinatenachsne bestimmen
Da die Schnittpunkte mit der $x$-Koordinatenachse gerade den Nullstellen der Funktionen $f_2$ und $f_{-2}$ entsprechen, kannst du wie folgt vorgehen: Wähle im Main-Modus unter Interaktiv die Option
Weiterführend $\rightarrow$ Solve
aus und löse so die beiden Gleichungen $f_2(x)=0$ und $f_{-2}(x)=0$ nach der Variable $x$ wie im folgenden Schaubild:
Damit hat das Schaubild $K_2$ den Schnittpunkt $N_2(-2,93 \mid 0)$ und das Schaubild $K_{-2}$ den Schnittpunkt $N_{-2}(-1,51 \mid 0)$ mit der $x$-Achse.
Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{y}$-Koordinatenachsne bestimmen
Für die Schnittpunkte mit der $y$-Achse kannst du jeweils die Funktionswerte $f_2(0)$ und $f_{-2}(0)$ berechnen, indem du im Main-Modus die Funktionenschar definierst und für die entsprechenden Parameter $t=2$ und $t=-2$ den Funktionswert an der Stelle $0$ berechnest:
Damit haben beide Schaubilder den Schnittpunkt $S(0 \mid 8)$ mit der $y$-Achse.
$\blacktriangleright$ Schaubilder zeichnen
Um die Schaubilder $K_2$ und $K_{-2}$ zu zeichnen, kannst du dir zunächst die Schaubilder im CAS ansehen.
Wechsle dazu in den Grafik-Modus und lass dir anschließend die Schaubilder für die Parameter $t=2$ und $t=-2$ anzeigen.
Die Schaubilder $K_2$ und $K_{-2}$ sollten dann folgendermaßen aussehen:
Die zuvor ermittelten Nullstellen $N_2(-2,93 \mid 0)$ und $N_{-2}(-1,51 \mid 0)$ sowie den gemeinsamen Schnittpunkt mit der $y$-Achse $S(0 \mid 8)$ kannst du zuerst zur Orientierung für den jeweiligen Graphen einzeichnen.

Aufgabe 1.1.2

$\blacktriangleright$ Eingeschlossener Flächeninhalt berechnen
Betrachte wieder die Schaubilder $K_2$ und $K_{-2}$. Nun wird eine Parallele zur $y$-Achse mit der Gleichung $x=1$ hinzugefügt, sodass die drei Schaubilder eine Fläche begrenzen. Berechne den Inhalt dieser Fläche.
Du kannst dabei folgende Überlegung vornehmen: Die Fläche, die von der $x$-Achse, $K_2$ und $g: x=1$ eingeschlossen wird, sieht wie folgt aus:
Die Fläche, die von der $x$-Achse, $K_{-2}$ und $g: x=1$ eingeschlossen wird, sieht dahingegen so aus:
Die Fläche, die von $K_{2}$, $K_{-2}$ und $g: x=1$ eingeschlossen wird, entspricht dann gerade der Differenz der obigen Flächen, also:
Das heißt, du kannst zunächst den Inhalt der Flächen $A_2$ und $A_{-2}$ berechnen. Diese Flächen kannst du wiederum mittels eines Integrals innerhalb des Intervalls $\left[0;1\right]$ bestimmen:
  • $A_2= \displaystyle \int_0^1 f_2(x)\; dx$
  • $A_{-2}=\displaystyle \int_0^1 f_{-2}(x)\; dx$
Subtrahiere diese Integrale, sodass du den Inhalt der Fläche $A$ erhältst, also $A=A_2 - A_{-2}$.
Die Integrale kannst du wieder mit Hilfe des CAS berechnen. Wähle dazu unter
Interaktiv $\rightarrow$ Berechnungen $\rightarrow$ $\int$
aus und berechne die beiden Integrale.
Du erhältst dann:
  • $A_2=\displaystyle \int_0^1 f_2(x)\, dx \approx 8,92$
  • $A_{-2}=\displaystyle \int_0^1 f_{-2}(x)\, dx \approx 7,58$
Berechnest du nun die Differenz der Flächeninhalte, so erhältst du den gesuchten Flächeninhalt:
$A=A_2-A_{-2} \approx 1,33$
Der Flächeninhalt beträgt etwa $1,33$ FE.

Aufgabe 1.1.3

$\blacktriangleright$ Gemeinsame Punkte von $K_t$
Die Schaubilder der Funktionenschar $f_t$ schneiden sich alle in einem gemeinsamen Punkt $P$. Bestimme diesen Punkt.
Da sich alle Schaubilder der Schar in einem Punkt schneiden, kannst du den Funktionsterm von zwei Funktionen der Schar gleichsetzen und so die Schnittstelle berechnen. Hast du die Schnittstelle ermittelt, kannst du durch Einsetzen in den Funktionsterm den $y$-Wert an dieser Stelle ermitteln. Das liefert dir dann die vollständigen Koordinaten des gesuchten Punktes.
Im Aufgabenteil 1.1.1 hast du bereits nachgerechnet, dass der Schnittpunkt $S(0 \mid 8)$ mit der $y$-Achse ein gemeinsamer Schnittpunkt der Graphen $K_2$ und $K_{-2}$ ist. Um sicher zu gehen, dass dies der gesuchte Punkt ist, müssen wir noch überprüfen, ob es auch keinen weiteren Schnittpunkt gibt.
Dazu kannst du die Funktionsterme von $f_2$ und $f_{-2}$ gleichsetzen und berechnen:
$\begin{array}{rll} f_2(x)&=&f_{-2}(x)\\ x^3+2\cdot x^2 +8&=& x^3-2\cdot x^2 +8 &\mid \, \scriptsize -8;\;-x^3;\;+2\cdot x^2\\ 0&=&4\cdot x^2 \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} f_2(x)&=&4\cdot x^2 \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} f_2(x)&=&f_{-2}(x)\\ x^3+2\cdot x^2 +8&=& x^3-2\cdot x^2 +8 &\mid \, \scriptsize -8;\;-x^3;\;+2\cdot x^2\\ 0&=&4\cdot x^2 \\ \end{array}$
Diese Gleichung wird nur für $x=0$ gelöst, das heißt, der Punkt $S(0 \mid 8)$ aus der Teilaufgabe zuvor ist tatsächlich der gesuchte Punkt.
$\blacktriangleright$ Beweisen, dass sich die Schaubilder nur berühren und nicht überkreuzen
Zuvor hast du gezeigt, dass alle Schaubilder den Punkt $S(0 \mid 8)$ gemeinsam haben. Jetzt sollst du beweisen, dass sich die Schaubilder im Punkt $S$ nur berühren und nicht überkreuzen.
Berühren sich zwei Graphen in einem Punkt $S$, so müssen die folgenden beiden Bedingungen erfüllt werden:
  • Der Punkt $S$ liegt auf den Schaubildern.
  • Zudem haben die Graphen dieselbe Steigung im Punkt $S$.
Da wir bereits wissen, dass alle Schaubilder den Punkt $S(0 \mid 8)$ gemeinsam haben, müssen wir nur noch nachweisen, dass die Steigung an dieser Stelle ebenfalls übereinstimmt.
Dazu kannst du die erste Ableitung der Funktionenschar $f_t$ bilden und an der Stelle $x_0=0$ untersuchen. Ist diese dort nicht vom Parameter $t$ abhängig, so ist die Steigung bei allen Schaubildern gleich.
Wir bestimmen die erste Ableitung mit Hilfe des CAS. Den entsprechenden Befehl findest du unter
Interaktiv $\rightarrow$ Berechnungen $\rightarrow$ diff
Gib hier an, dass die Funktion $f_t$ nach der Variable $x$ einmal differenziert werden soll und berechne in einem zweiten Schritt die Ableitung an der Stelle $0$.
Das liefert dir, dass alle Schaubilder im Punkt $S(0 \mid 8)$ die Steigung $0$ besitzen und diese somit nicht vom Parameter $t$ abhängig ist. Damit sind die beiden Kriterien erfüllt und du hast gezeigt, dass sich die Graphen im Punkt $S$ berühren.
Sollen sich die Graphen außerdem nicht überkreuzen, so kannst du die Differenzenfunktion zweier beliebiger Scharfunktionen mit $f_{t1}(x)=x^3+t_1\cdot x^2 +8$ und $f_{t2}(x)=x^3+t_2\cdot x^2 +8$ genauer betrachten:
$f_{t1-t2}(x)=(t_1-t_2)\cdot x^2$
Hierbei handelt es sich um eine Parabel, die sich je nach Werten für $t_1$ und $t_2$ überhalb oder unterhalb der $x$-Achse befindet und an der Stelle $x=0$ immer Null ist. Die Differenzenfunktion ist damit entweder immer positiv oder negativ. Daraus kannst du folgern, dass bei zwei verschiedenen Scharfunktionen immer ein Graph oberhalb bzw. unterhalb des anderen verläuft und diese sich somit nicht überkreuzen.

Aufgabe 1.1.4

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{K_t}$ auf Hoch- und Tiefpunkte untersuchen
Die Schaubilder sollen in Abhängigkeit vom Parameter $t$ auf Hoch- und Tiefpunkte untersucht werden. D.h. du sollst die Funktionenschar $f_t$ auf Extremstellen untersuchen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktionenschar $f_t$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f_t'(x_0)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_t''(x_0) \neq 0$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktionenschar $f_t$ in Abhängigkeit des Parameters $t$ und untersuche diese auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese potentiellen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $f_t''(x_0) < 0$ so handelt es sich um einen Hochpunkt, gilt $f_t''(x_0) > 0$, so liegt ein Tiefpunkt vor.
1. Schritt: Ableitungen der Funktionenschar bestimmen
Die erste und zweite Ableitung der Funktionenschar $f_t$ kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen. Definiere dir dazu den Funktionsterm im CAS und wähle unter
Interaktiv $\rightarrow$ Berechnungen $\rightarrow$ diff
den Befehl zur Bestimmung der Ableitung aus und wende diesen zweimal auf den Funktionsterm an. Das liefert dir die folgenden Ableitungsterme:
  • $f_t'(x)=2tx+3x^2$
  • $f_t''(x)=2t+6x$
2. Schritt: Notwendige Bedinung überprüfen
Für eine potentielle Extremstelle muss die notwendige Bedinung $f_t'(x_0)=0$ erfüllt werden. Verwende zum Ermitteln der möglichen Stellen den Solve-Befehl des CAS:
Das liefert dir, dass die Stellen $x_1=0$ und $x_2=\frac{-2t}{3}$ mögliche Extremstellen sind. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Extremstellen sind und von welcher Art diese sind, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen:
3. Schritt: Hinreichende Bedinung überprüfen
Damit eine potentielle Extremstelle tatsächlich Extremstelle ist, muss diese die Ungleichung $f_t''(x_0) \neq 0$ erfüllen. Wir setzen also die ermittelten Stellen $x_1=0$ und $x_2=\frac{-2t}{3}$ in den Term der zweiten Ableitung und berechnen den Funktionswert:
Das liefert dir, dass $f_t''(x_1=0)=2 \cdot t$ und $f_t''(x_2=\frac{-2t}{3})=-2 \cdot t$ gilt. Laut Voraussetzung kann der Parameter $t$ alle Werte aus $\mathbb{R}$ annehmen, das heißt, er kann positiv als auch negativ sein. Daher müssen wir zu Bestimmung der Art der Extrempunkte eine Fallunterscheidung durchführen:
1. Fall: Parameter $\boldsymbol{t}$ positiv: $t>0$
  • Ist der Parameter $t$ positiv, so befindet sich an der Stelle $x_1=0$ ein Tiefpunkt, da $f_{t}''(x_1)=2 \cdot t>0$ gilt.
  • Für die zweite Extremstelle gilt dann folglich $f_t''(x_2)=-2 \cdot t<0$ und es liegt ein Hochpunkt vor.
2. Fall: Parameter $\boldsymbol{t}$ negativ: $t<0$
  • Ist der Parameter $t$ negativ (wir setzen zur Veranschaulichung $t=-t$ ein), so befindet sich an der Stelle $x_1=0$ ein Hochpunkt, da $f_{t}''(x_1)<0$ gilt.
  • Für die zweite Extremstelle gilt dann folglich $f_t''(x_2)>0$ und es liegt ein Tiefpunkt vor.
3. Fall: Parameter $\boldsymbol{t}$ gleich Null: $t=0$
  • Ist der Parameter $t$ gleich Null, so befindet sich an der Stelle $x_1=0$ kein Extrempunkt, da $f_{t}''(x_1)=0$ gilt und die hinreichende Bedingung somit nicht mehr erfüllt wird.
  • Für die zweite Extremstelle gilt dann folglich $f_t''(x_2)=0$ und es liegt ebenfalls kein Extrempunkt vor.
$\blacktriangleright$ Parameter $\boldsymbol{t}$ bestimmen
Für einen bestimmen Wert für $t$ hat das Schaubild $K_t$ genau zwei Punkte mit der $x$-Achse gemeinsam. Ermittle diesen Parameterwert.
Das Schaubild schneidet die $x$-Achse genau dann, wenn der Funktionswert gleich Null wird, d.h. dass $f_t(x)=0$ gilt.
Betrachtest du den Funktionsterm der Funktionenschar mit $f_t(x)=x^3+t\cdot x^2 +8$, so erkennst du, dass für $x \rightarrow +\infty$ die Funktion gegen $+ \infty$ und für $x \rightarrow -\infty$ die Funktion gegen $- \infty$ strebt.
Daraus kannst du folgern, da es sich um eine stetige Funktion handelt, dass das Schaubild die $x$-Achse mindestens einmal schneidet. Soll das Schaubild aber nur zwei Punkte mit der $x$-Achse gemeinsam haben, so darf das Schaubild die Achse in einem weiteren Punkt nur berühren, d.h. für eine weitere Stelle müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:
  • $f_t(x)=0$
  • $f_t'(x)=0$
Stelle mit Hilfe diesen Gleichungen ein Gleichungssystem auf, welches du nach dem gesuchten Parameter $t$ auflöst. Hierbei kannst du das CAS verwenden, den entsprechenden Befehl findest du unter:
Tastatur $\rightarrow$ $\{$
Trage beide Gleichungen ein und gib an, dass nach der Variable $t$ aufgelöst werden soll.
Das CAS liefert dir, dass die oben genannten Bedingungen für $t=3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}\approx -3,78$ erfüllt werden. Damit hat das Schaubild $K_{3 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$ genau zwei Punkte mit der $x$-Achse gemeinsam.

Aufgabe 1.1.5

$\blacktriangleright$ Ortskurve der Wendepunkte bestimmen
Auf der Ortskurve der Wendepunkte liegen alle Wendepunkte der Schaubilder $K_t$. Bestimme diese und gehe dabei folgendermaßen vor:
Bestimme zuerst die noch vom Parameter $t$ abhängigen Wendepunktkoordinaten, um die Koordinaten anschließend als Gleichungen zu interpretieren und nach $t$ umformen zu könnnen.
Für einen Wendepunkt an der Stelle $x_W$ müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f_t''(x_W)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_t'''(x_W) \neq 0$
1. Schritt: Wendepunkt des Schaubildes $K_t$ bestimmen
Die dritte Ableitung der Funktionenschar $f_t$ kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen, die zweite hast du bereits in einem Aufgabenteil zuvor bestimmt. Definiere dir dazu den Funktionsterm im CAS und wähle unter
Interaktiv $\rightarrow$ Berechnungen $\rightarrow$ diff
den Befehl zur Bestimmung der Ableitung aus und wende diesen auf den Funktionsterm der zweiten Ableitung von $f_t$ an. Das liefert dir die folgenden Ableitungsterme:
  • $f_t''(x)=2t+6x$
  • $f_t'''(x)=6$
Notwendige Bedinung überprüfen
Für eine potentielle Wendestelle muss die notwendige Bedinung $f_t''(x_W)=0$ erfüllt werden. Verwende zum Ermitteln der möglichen Stellen den Solve-Befehl des CAS:
Das liefert dir, dass die Stelle $x_W=\frac{-t}{3}$ eine mögliche Wendestelle ist. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Wendestelle ist, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen:
Hinreichende Bedinung überprüfen
Damit eine potentielle Wendestelle tatsächich Wendestelle ist, muss diese die Ungleichung $f_t'''(x_W) \neq 0$ erfüllen. Da die dritte Ableitung eine konstante Funktion ungleich Null ist, ist diese Bedingung für alle Parameterwerte für $t$ erfüllt und $x_W=\frac{-t}{3}$ ist tatsächlich Wendestelle.
Koordinaten des Wendepunktes bestimmen
Um die allgemeinen Koordinaten des Wendepunktes zu bestimmen, kannst du die Wendestelle in den Term der Funktionenschar $f_t$ einsetzen und berechnen:
Das liefert dir, dass der Wendepunkt in Abhängigkeit vom Parameter $t$ die Koordinaten $W\left( \frac{-t}{3} \mid \frac{2t^3}{27} +8\right)$ besitzt.
2. Schritt: Ortskurve der Wendepunkte bestimmen
Anhand der ermittelten Koordinaten des Wendepunktes kannst du folgende Gleichungen ablesen:
  • $x=\frac{-t}{3}$
  • $y=\frac{2t^3}{27} +8$
Wir stellen nun die erste Gleichung nach dem Parameter $t$ um und setzen diesen dann in die zweite Gleichung ein, um die Ortskurve zu erhalten:
$\begin{array}{rll} x&=&\frac{-t}{3}&\mid \; \scriptsize \cdot (-3)\\ -3x&=&t\\ \end{array}$
Setze nun $t=-3x$ in die Gleichung $y=\frac{2t^3}{27} +8$ ein:
$\begin{array}{rll} y&=&\frac{2(-3x)^3}{27} +8\\ &=&\frac{-2\cdot 27x^3}{27} +8\\ &=&-2x^3 +8\\ \end{array}$
Die Gleichung der Ortskurve aller Wendepunkte der Schaubilder $K_t$ lautet damit: $y=-2x^3+8$.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Tangente an das Schaubild $C$ bestimmen
Gegeben ist eine Funktion $h$ mit dem Funktionsterm
$h(x)=cos(x);\,\,-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{5\pi}{2}$
Das Schaubild der Funktion $h$ sei C. Weiterhin seien die beiden Punkte $A\left( \frac{3}{2}\cdot \pi \mid 0\right)$ und $P(u \mid h(u))$ mit der Bedingung $0 \leq u \leq \frac{\pi}{2}$ gegeben. Eine Gerade, die durch die beiden Punkte $A$ und $P$ verläuft, entspricht gerade der Tangente des Schaubildes $C$ im Punkt $P$.
Bestimme $u$ zeichnerisch und rechnerisch.
$\blacktriangleright$ $\blacktriangleright$ Graphische Lösung
Um die gesuchte Stelle $u$ zu bestimmen, solltest du zunächst den Graphen der Funktion $h$ in ein passendes Koordinatensystem zeichnen. Im Aufgabentext ist vermerkt, dass sich die Variable $x$ nur im Intervall $\left[ -\frac{\pi}{2}  \frac{5}{2}\cdot \pi\right]$ bewegt und die Funktion $h$ daher nur auf diesem Intervall definiert ist.
Zeichne anschließend den festen Punkt $A\left( \frac{3}{2}\cdot \pi \mid 0\right)$ ein. Diesen Punkt muss die Gerade beinhalten.
Weiterhin soll die Gerade durch den Punkt $P(u \mid h(u))$ verlaufen, der auf dem Graphen von $h$ liegt. Da die Gerade außerdem die Tangente in diesem Punkt sein soll, berührt die Gerade das Schaubild $C$ der Funktion $h$ nur. Dementsprechend kannst du mit dem Geodreieck testen, welche Tangente dafür in Frage kommt:
Die Stelle ist etwa $u \approx 0,2$.
$\blacktriangleright$ $\blacktriangleright$ Rechnerische Lösung
Um die Stelle $u$, an der die Tangente angelegt werden soll, rechnerisch zu bestimmen, kannst du die Gleichung der Tangente $t$ an das Schaubild $C$ ermitteln, die durch den Punkt $A$ und $P$ verläuft.
Eine Tangente an ein Schaubild im Punkt $P$ zeichnet sich dadurch aus, dass sie das Schaubild berührt und in diesem Punkt dieselbe Steigung wie das Schaubild besitzt. Sie kann durch folgende allgemeine Tangentenform beschrieben werden:
$t(x)=m \cdot x + c$
Hierbei beschreibt $m$ die Steigung und $c$ den $y$-Achsenabschnitt der Tangente.
Gehe also wie folgt vor:
  1. Ermittle alle Bedingungen, die für die Tangente gelten müssen.
  2. Stelle ein lineares Gleichungssystem mittels der Bedingungen auf, um die Stelle $u$ zu bestimmen.
1. Schritt: Bedingungen herauslesen
Die Steigung einer Tangenten an ein Schaubild $C$ entspricht der Steigung des Schaubildes an diesem Punkt. Wir bestimmen daher die erste Ableitung der Funktion $h$:
$\begin{array}{rll} h(x)&=&cos(x)\\ h'(x)&=&-sin(x)\\ \end{array}$
Damit muss allgemein für die Tangente $t'(x)=m=-sin(x)$ gelten.
Weiterhin verläuft die Tangente durch die Punkte $A\left( \frac{3}{2}\cdot \pi \mid 0\right)$ und $P(u \mid h(u))=(x \mid h(x))=(x \mid cos(x))$. Eingesetzt in die Tangentengleichung liefern diese zwei weitere Bedingungen:
$\begin{array}{rll} t(\frac{3}{2}\cdot \pi)&=&0\\ t(x)&=&cos(x)\\ \end{array}$
2. Schritt: Stelle $\boldsymbol{u}$ bestimmen
Um die gesuchte Stelle $u$ zu bestimmen, kannst du die drei Bedingungen in einem Gleichungssystem im CAS nach $u$ auflösen.
Damit muss $u=0,219$ gelten.
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$-Koordinate der beiden Tangenten bestimmen
Eine weitere Tangente durch den Punkt $A\left( \frac{\pi}{2} \mid 0\right)$ wird im Punkt $P(v \mid h(v))$ mit $\frac{3}{2}\cdot \pi \leq \pi \leq 2 \cdot \pi$ an das Schaubild der Funktion $h$ angelegt. Du sollst mit Hilfe der Zeichnung den exakten Wert der $x$-Koordinate des Schnittpunktes beider Tangenten bestimmen.
Dazu kannst du wie im Abschnitt zuvor (graphische Lösung) die Tangente hinzufügen und überlegen, wie der Schnittpunkt positioniert ist.
Eine Zeichnung mit der weiteren Tangenten sieht folgendermaßen aus:
Da es sich bei $h$ um eine periodische Funktion handelt, wiederholt sich der Verlauf der Steigung ebenfalls. Die neue Tangente schneidet ebenfalls einen Punkt auf der $x$-Achse und ist so ausgerichtet, dass sie gerade einer Spiegelung im Schnittpunkt an einer parallelen zur $y$-Achse entspricht.
Folglich muss sich der Schnittpunkt in der Mitte des Intervalls $\left[\frac{1}{2} \pi;\frac{3}{2} \pi \right]$ befinden. Damit beträgt die $x$-Koordinate des Schnittpunktes gerade $\pi \approx 3,14$.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$ Aussagen begründen
Aussage Begründung
$\int_0^2 g(x)\;dx>0$ Wahr Das Integral über die Funktion $g$ im Intervall $\left[ 0;2 \right]$ entspricht gerade dem Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion $g$ mit der $x$-Achse in diesem Intervall einschließt.
Im gegebenen Schaubild kannst du erkennnen, dass der Flächeninhalt oberhalb der $x$-Achse größer ist, als der unterhalb der $x$-Achse. Damit muss auch das Integral über dieses Intervall echt größer Null sein.
Die Steigung der Normale an das Schaubild im Punkt $P(1 \mid g(1))$ ist negativ Falsch Betrachte den Punkt $P(1 \mid g(1))$ auf dem Schaubild. Ist $m$ die Steigung des Schaubildes in diesem Punkt, so ist die Steigung der Normale durch $-\frac{1}{m}$ gegeben.
Offensichtlich ist die Steigung des Graphen im Punkt $P$ negativ, das heißt, die Steigung der Normale muss positiv sein.
$g$ bestitzt die Periode 2,5 Falsch Die Periode eines Schaubildes entspricht gerade der Länge des kürzesten Intervalls, bis sich der Verlauf der Funktion wiederholt. Da die Oszillation des Graphen für größere $x$-Werte immer größer zu werden scheint, ist diese Aussage falsch.
Jede Stammfunktion von $g$ ist für $-1 \leq x \leq 1$ streng monoton wachsend Wahr Eine Funktion $g$ ist auf einem Intervall streng monoton wachsend, wenn für die Steigung der Funktion in diesem Bereich $g'(x)>0$ gilt.
Soll die Steigung der Stammfunktion zu $g$ betrachtet werden, so entspricht $g$ gerade der Steigung. Für $-1 \leq x \leq 1$ verläuft der Graph zu $g$ oberhalb der $x$-Achse. Damit ist die Steigung der Stammfunktion echt größer Null und $G$ ist damit streng monoton wachsend.
Diese Aussage gilt außerdem für alle Stammfuktionen von $g$, da diese sich nur um eine Konstante unterscheiden.
Für alle $x$ gilt: $\mid g'(x) \mid \leq 3$ Falsch Der mathematische Ausdruck besagt, dass der Betrag der Steigung von $g$ den Wert 3 nicht überschreitet. Da der Graph aber für größere Werte für $x$ oszilliert, übersteigt die Steigung diesen Wert.
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