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Lernbereich Abitur bis 2016 (CAS)
Abi 2016
Analysis
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Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
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Anwendungsorientierte Aufgaben 1

Aufgaben
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1.1
In einem Bootsverleih kann man sich Boote verschiedenen Typs ausleihen.
Die entsprechenden Preise sind in der nachfolgenden Tabelle aufgelistet.
BootstypPreis je Stunde
Motorboot$35\,€$
Elektroboot$25\,€$
Tretboot$10\,€$
1.1.1
An einem heißen Sommertag sind alle verfügbaren 48 Boote gleichzeitig ausgeliehen. Die Einnahmen nach einer Stunde betragen $980\,€$.
Die Anzahl der Tretboote ist doppelt so groß wie die Anzahl der Motorboote.
Wie viele Motor-, Elektro- und Tretboote besitzt der Bootsverleih jeweils?
(4P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 1  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.1.2
In den Abendstunden lässt der Besucherstrom nach.
In der letzten Stunde sind nur noch 25 Boote auf dem See, und die Einnahmen belaufen sich in dieser Stunde auf $525\,€$.
Wie viele Motorboote sind nun mindestens unterwegs?
(4P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 1  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Ben leiht sich ein Motorboot aus und fährt bis zur gegenüberliegenden Insel.
Die Geschwindigkeit seines Motorbootes wird durch die Polynomfunktion $v$ mit
$v(t)=-0,003t^{4}+0,127t^{3}-1,758t^{2}+8,733t$;    $0\leq t\leq21$
$v(t)=…$
modelliert.
(Zeit $t$ in Minuten; Geschwindigkeit $v(t)$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$)
1.2.1
Zeichne und beschreibe den Geschwindigkeitsverlauf der Bootsfahrt.
(4P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 1  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.2.2
Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hatte das Boot, und welche Strecke hat es während dieser 21-minütigen Fahrt zurückgelegt?
(3P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 1  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
(15P)
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Aufgabe 1.1.1

$\blacktriangleright$ Anzahl der Motor-, Elektro- und Tretboote berechnen
Ein Bootsverleih hat $48$ Boote. Sind alle Boote ausgeliehen, betragen die Einnahmen nach einer Stunde $980\,€$. Du sollst nun berechnen, wie viele Motor-, Elektro- und Tretboote der Bootsverleih besitzt.
Du hast folgende Informationen gegeben:
  • Ausleihgebühr für ein Motorboot: $35\,€$ pro Stunde
  • Ausleihgebühr für ein Elektroboot: $25\,€$ pro Stunde
  • Ausleihgebühr für ein Tretboot: $10\,€$ pro Stunde
  • Die Anzahl der Tretboote ist doppelt so groß wie die der Motorboote
Mit diesen Informationen kannst du zwei Gleichungen aufstellen und die Anzahl der jeweiligen Boote berechnen. Dafür führen wir für jeden Boottyp eine Variable ein:
  • Anzahl der Motorboote: $m$
  • Anzahl der Elektorboote: $e$
  • Anzahl der Tretboote: $t$
Da du weißt, dass es doppelt soviele Tretboote wie Motorboote gibt, kannst du die Variable $t$ in $m$ ausdrücken. Es gilt $t=2m$.
Addierst du die Anzahl der jeweiligen Boote zusammen erhältst du die Anzahl aller verfügbaren Boote. Diese beträgt $48$. Du erhältst folgende Gleichung (1):
$\begin{array}[t]{rlll} m+e+t&=&48 \\[5pt] m+e+2m&=&48\\[5pt] e+3m&=&48&\quad \scriptsize \text{Gl.(1)} \end{array}$
Die zweite Gleichung (2) erhältst du, indem du die Einnahmen pro Bootstyp addierst. Die Einnahmen für das Motorboot erhältst du indem du die Anzahl der Motorboote mit dem Stundenpreis multipizierst. Die gesamten Einnahmen in einer Stunde betragen $980\,€$.
$\begin{array}[t]{rlll} 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+10\,€\cdot t&=&980\,€\\[5pt] 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+2\cdot10\,€\cdot m&=&980\,€&\quad \scriptsize \text{Gl.(2)} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll}35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+10\,€\cdot t…\end{array}$
Du kannst das Gleichungssystem mit dem CAS lösen.

Aufgabe 1.1.2

$\blacktriangleright$ Mindestanzahl der Motorboote bestimmen
Bei dieser Teilaufgabe kannst du wie in Aufgabe 1.1.1 vorgehen. Nun sind jedoch nur noch $25$ Boote unterwegs. Die Einnahmen belaufen sich daher nur noch auf $525\;€$. Außerdem sind nicht mehr zwangsläufig doppelt so vele Tretboote wie Motorboote auf dem See. Wähle also eine der Variablen $m$, $t$ oder $e$ als freie Variable und stelle die übrigen in Abhängigkeit dieser da.

Aufgabe 1.2.1

$\blacktriangleright$ Geschwindigkeitsverlauf zeichnen
Der Geschwindigkeitsverlauf wird durch die Funktion $v$ beschrieben:
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=&-0,003t^4+0,127t^3-1,758t^2+8,733t \quad \scriptsize 0\leq t\leq21 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}v(t)&= …\end{array}$
Den Graph dieser Funktion kannst du mit dem CAS zeichnen.
$\blacktriangleright$ Geschwindigkeitsverlauf beschreiben
Um den Geschwindigkeitsverlauf des Motorbootes zu beschreiben, überlegst du dir zunächst was die horizontale und die vertikale Achse darstellen.
Die $t$-Achse gibt die Zeit $t$ in Minuten an. Die $v(t)$-Achse gibt die Geschwindigkeit des Motorbootes in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ an.

Aufgabe 1.2.2

$\blacktriangleright$ Durchschnittsgeschwindigkeit $\boldsymbol{\overline{v}}$ und zurückgelegte Strecke $\boldsymbol{s}$ berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ des Bootes berechnen. Diese berechnest du, indem du die zurückgelegte Strecke $s$ durch die benötigte Zeit $t$ dividierst. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{v}&=& \dfrac{s}{t} \\ \end{array}$ $\begin{array}[t]{rll} \overline{v}&=& \dfrac{s}{t} \\ \end{array}$
Die Bootsfahrt dauert $21$ Minuten. Um die zurückgelegte Strecke zu berechnen, berechnest du das Integral der Funktion $v(t)$ über dem Bereich $0\leq t\leq21$. Diese Fläche entspricht der zurückgelegten Strecke. Das Integral kannst du mit dem CAS berechnen. Beachte dabei, dass die Geschwindigkeit $v$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ angegeben wird und die Zeit $t$ in Minuten.
Du kannst nun so vorgehen:
  1. Berechne die zurückgelegte Strecke $s$
  2. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$
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Aufgabe 1.1.1

$\blacktriangleright$ Anzahl der Motor-, Elektro- und Tretboote berechnen
Ein Bootsverleih hat $48$ Boote. Sind alle Boote ausgeliehen, betragen die Einnahmen nach einer Stunde $980\,€$. Du sollst nun berechnen, wie viele Motor-, Elektro- und Tretboote der Bootsverleih besitzt.
Du hast folgende Informationen gegeben:
  • Ausleihgebühr für ein Motorboot: $35\,€$ pro Stunde
  • Ausleihgebühr für ein Elektroboot: $25\,€$ pro Stunde
  • Ausleihgebühr für ein Tretboot: $10\,€$ pro Stunde
  • Die Anzahl der Tretboote ist doppelt so groß wie die der Motorboote
Mit diesen Informationen kannst du zwei Gleichungen aufstellen und die Anzahl der jeweiligen Boote berechnen. Dafür führen wir für jeden Boottyp eine Variable ein:
  • Anzahl der Motorboote: $m$
  • Anzahl der Elektorboote: $e$
  • Anzahl der Tretboote: $t$
Da du weißt, dass es doppelt soviele Tretboote wie Motorboote gibt, kannst du die Variable $t$ in $m$ ausdrücken. Es gilt $t=2m$.
Addierst du die Anzahl der jeweiligen Boote zusammen erhältst du die Anzahl aller verfügbaren Boote. Diese beträgt $48$. Du erhältst folgende Gleichung (1):
$\begin{array}[t]{rlll} m+e+t&=&48 \\[5pt] m+e+2m&=&48\\[5pt] e+3m&=&48&\quad \scriptsize \text{Gl.(1)} \end{array}$
Die zweite Gleichung (2) erhältst du, indem du die Einnahmen pro Bootstyp addierst. Die Einnahmen für das Motorboot erhältst du indem du die Anzahl der Motorboote mit dem Stundenpreis multipizierst. Die gesamten Einnahmen in einer Stunde betragen $980\,€$. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rlll} 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+10\,€\cdot t&=&980\,€\\[5pt] 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+2\cdot10\,€\cdot m&=&980\,€&\quad \scriptsize \text{Gl.(2)} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll}35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+10\,€\cdot t…\end{array}$
Du kannst das Gleichungssystem mit dem CAS lösen. Den Befehl findest du im Menü des Calc-Modus unter:
3: Algebra $\rightarrow$ 7: Gleichungssystem lösen
3: Algebra $\rightarrow$ 7: Gleichungssystem lösen
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die Anzahl der Motorboote $m$ beträgt demnach $m=11$. Außerdem gibt es $15$ Elektroboote.
Es gibt doppelt soviele Tretboote wie Motorboote. Also:
$\begin{array}[t]{rll} t&=&2m\\[5pt] t&=&2\cdot 11\\[5pt] t&=&22 \end{array}$
Der Bootsverleih besitzt $11$ Motorboote, $15$ Elektroboote und $22$ Tretboote.

Aufgabe 1.1.2

$\blacktriangleright$ Mindestanzahl der Motorboote bestimmen
Bei dieser Teilaufgabe kannst du wie in Aufgabe 1.1.1 vorgehen. Nun sind jedoch nur noch $25$ Boote unterwegs. Die Einnahmen belaufen sich daher nur noch auf $525\;€$.
Du erhältst also folgende zwei Gleichungen:
Gleichung (1):
$\begin{array}[t]{rlll} m+e+t&=&25 & \quad \scriptsize \text{Gl.(1)} \\ \end{array}$
Gleichung (2):
$\begin{array}[t]{rlll} 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+10\,€\cdot t&=&525\,€&\quad \scriptsize \text{Gl.(2)}\\ \end{array}$
Gleichung (1):
$\begin{array}[t]{rlll} m+e+t&=&25 & \quad \scriptsize \text{Gl.(1)} \\ \end{array}$
Da hier nicht mehr gegeben ist, dass sich doppelt so viele Tretboote wie Motorboote auf dem See befinden, liegt hier ein unterbestimmtes Gleichungssystem vor. Da wir bestimmen wollen, wie viele Motorboote sich auf dem See befinden, können wir entweder $t$ oder $e$ als freie Variable wählen. (Wir wählen hierbei $t$.) Du kannst dann das Gleichungssystem wie oben mit dem CAS lösen, aber nur nach den Variablen $m$ und $e$.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die Anzahl der Motorboote $m$ kann durch $m= \dfrac{3t-20}{2}$ dargestellt werden. Da $m$ zusätzlich nicht negativ sein soll, müssen wir die Werte für $t$ finden, für die $m \geq 0$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} m&\geq&0 & \scriptsize \\[5pt] \dfrac{3t-20}{2}&\geq&0 & \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] 3t-20&\geq&0 & \scriptsize \mid\;+20\\[5pt] 3t&\geq&20 & \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] t&\geq&\frac{20}{3} & \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] \end{array}$
Du erhältst, dass $t \geq \frac{20}{3} \approx 6,67$ gelten muss. Da aber $t$ die Anzahl der Tretboote angibt und diese ebenfalls ganzzahlig sein muss, müssen wir für $t$ den nächst größeren ganzzahligen Wert wählen: $t\geq7$.
Jetzt können wir ganzzahlige Werte $t \geq 7$ für $m$ einsetzen, bis wir für $m$ ebenfalls einen ganzzahligen Wert erhalten:
  • $t=7: \quad m=\dfrac{3\cdot 7-20}{2} = 0,5$
  • $t=8: \quad m=\dfrac{3\cdot 8-20}{2} = 2$
Der erste ganzzahlige, nichtnegative Wert ist damit $2$. Folglich sind mindestens $\boldsymbol{2}$ Motorboote unterwegs. Du musst aber noch überprüfen ob die Anzahl der Elektroboote nicht die Anzahl der tatsächlich vorhandenen Elektroboote übersteigt. Setze also $t=8$ noch in $e$ ein:
$\dfrac{-5\cdot( 8-14)}{2} = 15 $
Dies stimmt also. Damit sind mindestens zwei Motorboote auf dem See unterwegs.

Aufgabe 1.2.1

$\blacktriangleright$ Geschwindigkeitsverlauf zeichnen
Der Geschwindigkeitsverlauf wird durch die Funktion $v$ beschrieben:
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=&-0,003t^4+0,127t^3-1,758t^2+8,733t \quad \scriptsize 0\leq t\leq21 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}v(t)&=…\end{array}$
Den Graph dieser Funktion kannst du im Graph-Modus deines CAS im Bereich $0\leq t\leq21$ zeichnen. Du kannst dir den Graphen zusammen mit einer Wertetabelle anzeigen lassen.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
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Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
$\blacktriangleright$ Geschwindigkeitsverlauf beschreiben
Um den Geschwindigkeitsverlauf des Motorbootes zu beschreiben, überlegst du dir zunächst was die horizontale und die vertikale Achse darstellen.
Die $t$-Achse gibt die Zeit $t$ in Minuten an. Die $v(t)$-Achse gibt die Geschwindigkeit des Motorbootes in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ an.
An dem Graph erkennst du, dass das Boot zunächst auf ca. $14\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ beschleunigt. Anschließend wird das Boot wieder langsamer. Ungefähr nach der Hälfte der Zeit erreicht die Geschwindigkeit ein lokales Minimum. Dabei beträgt die Geschwindigkeit etwa $8\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Dann wird das Boot wieder auf ca. $14\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ beschleunigt. Nach $18\;\text{min}$ nimmt die Geschwindigkeit wieder ab, bis das Boot zum Stillstand kommt.

Aufgabe 1.2.2

$\blacktriangleright$ Durchschnittsgeschwindigkeit $\boldsymbol{\overline{v}}$ und zurückgelegte Strecke $\boldsymbol{s}$ berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ des Bootes berechnen. Diese berechnest du, indem du die zurückgelegte Strecke $s$ durch die benötigte Zeit $t$ dividierst. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{v}&=& \dfrac{s}{t} \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{v}&=& \dfrac{s}{t} \\ \end{array}$
Die Bootsfahrt dauert $21$ Minuten. Um die zurückgelegte Strecke zu berechnen, berechnest du das Integral der Funktion $v(t)$ über dem Bereich $0\leq t\leq21$. Diese Fläche entspricht der zurückgelegten Strecke. Das Integral kannst du mit dem CAS berechnen. Beachte dabei, dass die Geschwindigkeit $v$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ angegeben wird und die Zeit $t$ in Minuten.
Du kannst nun so vorgehen:
  1. Berechne die zurückgelegte Strecke $s$
  2. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$
1. Schritt: Zurückgelegte Strecke $\boldsymbol{s}$ berechnen
Da die Geschwindigkeit in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und die Zeit in Minuten angegeben wird, musst du die Fläche durch $60$ teilen, um die Minuten in Stunden umzurechnen.
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} s&=&\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{21} v(t)\;\mathrm dt}{60}\\ \end{array}$
Definiere nun zunächst die Funktion $v(t)$ im CAS. Anschließend kannst du im Menü mit dem folgenden Befehl das Integral berechnen:
4: Analysis $\rightarrow$ 3: Integral
4: Analysis $\rightarrow$ 3: Integral
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die zurückgelegte Strecke beträgt etwa $3,72\;\text{km}$.
2. Schritt: Durchschnittsgeschwindigkeit $\boldsymbol{\overline{v}}$ berechnen
Nun dividierst du die Strecke $s$ durch die benötigt Zeit $t$. Beachte auch hier wieder die Einheiten. Um die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ zu berechnen musst du die Zeit noch von Minuten in Stunden umrechnen.
Die Bootsfahrt dauert $21$ Minuten. Dies entspricht demnach $t=\frac{21\;\text{min}}{60}=0,35\;\text{h}$. Nun kannst du die Werte in die Formel zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{v}&=& \dfrac{s}{t} \\[5pt] &=& \dfrac{3,72\;\text{km}}{0,35\;\text{h}} \\[5pt] &=&10,6\;\frac{\text{km}}{\text{h}} \end{array}$
Das Boot fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von ca. $10,6\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und legt eine Strecke von $3,72\;\text{km}$ zurück.
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Aufgabe 1.1.1

$\blacktriangleright$ Anzahl der Motor-, Elektro- und Tretboote berechnen
Ein Bootsverleih hat $48$ Boote. Sind alle Boote ausgeliehen, betragen die Einnahmen nach einer Stunde $980\,€$. Du sollst nun berechnen, wie viele Motor-, Elektro- und Tretboote der Bootsverleih besitzt.
Du hast folgende Informationen gegeben:
  • Ausleihgebühr für ein Motorboot: $35\,€$ pro Stunde
  • Ausleihgebühr für ein Elektroboot: $25\,€$ pro Stunde
  • Ausleihgebühr für ein Tretboot: $10\,€$ pro Stunde
  • Die Anzahl der Tretboote ist doppelt so groß wie die der Motorboote
Mit diesen Informationen kannst du zwei Gleichungen aufstellen und die Anzahl der jeweiligen Boote berechnen. Dafür führen wir für jeden Boottyp eine Variable ein:
  • Anzahl der Motorboote: $m$
  • Anzahl der Elektorboote: $e$
  • Anzahl der Tretboote: $t$
Da du weißt, dass es doppelt soviele Tretboote wie Motorboote gibt, kannst du die Variable $t$ in $m$ ausdrücken. Es gilt $t=2m$.
Addierst du die Anzahl der jeweiligen Boote zusammen erhältst du die Anzahl aller verfügbaren Boote. Diese beträgt $48$. Du erhältst folgende Gleichung (1):
$\begin{array}[t]{rlll} m+e+t&=&48 \\[5pt] m+e+2m&=&48\\[5pt] e+3m&=&48&\quad \scriptsize \text{Gl.(1)} \end{array}$
Die zweite Gleichung (2) erhältst du, indem du die Einnahmen pro Bootstyp addierst. Die Einnahmen für das Motorboot erhältst du indem du die Anzahl der Motorboote mit dem Stundenpreis multipizierst. Die gesamten Einnahmen in einer Stunde betragen $980\,€$. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rlll} 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+10\,€\cdot t&=&980\,€\\[5pt] 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+2\cdot10\,€\cdot m&=&980\,€&\quad \scriptsize \text{Gl.(2)} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll}35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+10\,€\cdot t=…\end{array}$
Du kannst das Gleichungssystem mit dem CAS lösen. Den Befehl findest du im Menü des Main-Modus unter:
Keyboard $\rightarrow$ Math 1
Keyboard $\rightarrow$ Math 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die Anzahl der Motorboote $m$ beträgt demnach $m=11$. Außerdem gibt es $15$ Elektroboote.
Es gibt doppelt soviele Tretboote wie Motorboote. Also:
$\begin{array}[t]{rll} t&=&2m\\[5pt] t&=&2\cdot 11\\[5pt] t&=&22 \end{array}$
Der Bootsverleih besitzt $11$ Motorboote, $15$ Elektroboote und $22$ Tretboote.

Aufgabe 1.1.2

$\blacktriangleright$ Mindestanzahl der Motorboote bestimmen
Bei dieser Teilaufgabe kannst du wie in Aufgabe 1.1.1 vorgehen. Nun sind jedoch nur noch $25$ Boote unterwegs. Die Einnahmen belaufen sich daher nur noch auf $525\;€$.
Du erhältst also folgende zwei Gleichungen:
Gleichung (1):
$\begin{array}[t]{rlll} m+e+t&=&25 & \quad \scriptsize \text{Gl.(1)} \\ \end{array}$
Gleichung (2):
$\begin{array}[t]{rlll} 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+10\,€\cdot t&=&525\,€&\quad \scriptsize \text{Gl.(2)}\\ \end{array}$
Gleichung (1):
$\begin{array}[t]{rlll}m+e+t&=&25 & \quad \scriptsize \text{Gl.(1)} \\\end{array}$
Da hier nicht mehr gegeben ist, dass sich doppelt so viele Tretboote wie Motorboote auf dem See befinden, liegt hier ein unterbestimmtes Gleichungssystem vor. Da wir bestimmen wollen, wie viele Motorboote sich auf dem See befinden, können wir entweder $t$ oder $e$ als freie Variable wählen. (Wir wählen hierbei $t$.) Du kannst dann das Gleichungssystem wie oben mit dem CAS lösen, aber nur nach den Variablen $m$ und $e$.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die Anzahl der Motorboote $m$ kann durch $m= \dfrac{3t-20}{2}$ dargestellt werden. Da $m$ zusätzlich nicht negativ sein soll, müssen wir die Werte für $t$ finden, für die $m \geq 0$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} m&\geq&0 & \scriptsize \\[5pt] \dfrac{3t-20}{2}&\geq&0 & \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] 3t-20&\geq&0 & \scriptsize \mid\;+20\\[5pt] 3t&\geq&20 & \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] t&\geq&\frac{20}{3} & \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] \end{array}$
Du erhältst, dass $t \geq \frac{20}{3} \approx 6,67$ gelten muss. Da aber $t$ die Anzahl der Tretboote angibt und diese ebenfalls ganzzahlig sein muss, müssen wir für $t$ den nächst größeren ganzzahligen Wert wählen: $t\geq7$.
Jetzt können wir ganzzahlige Werte $t \geq 7$ für $m$ einsetzen, bis wir für $m$ ebenfalls einen ganzzahligen Wert erhalten:
  • $t=7: \quad m=\dfrac{3\cdot 7-20}{2} = 0,5$
  • $t=8: \quad m=\dfrac{3\cdot 8-20}{2} = 2$
Der erste ganzzahlige, nichtnegative Wert ist damit $2$. Folglich sind mindestens $\boldsymbol{2}$ Motorboote unterwegs. Du musst aber noch überprüfen ob die Anzahl der Elektroboote nicht die Anzahl der tatsächlich vorhandenen Elektroboote übersteigt. Setze also $t=8$ noch in $e$ ein:
$\dfrac{-5\cdot( 8-14)}{2} = 15 $
Dies stimmt also. Damit sind mindestens zwei Motorboote auf dem See unterwegs.

Aufgabe 1.2.1

$\blacktriangleright$ Geschwindigkeitsverlauf zeichnen
Der Geschwindigkeitsverlauf wird durch die Funktion $v$ beschrieben:
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=&-0,003t^4+0,127t^3-1,758t^2+8,733t \quad \scriptsize 0\leq t\leq21 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}v(t)&=…\end{array}$
Den Graph dieser Funktion kannst du im Grafik & Tabelle-Modus deines CAS im Bereich $0\leq t\leq21$ zeichnen. Du kannst dir den Graphen zusammen mit einer Wertetabelle anzeigen lassen.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
$\blacktriangleright$ Geschwindigkeitsverlauf beschreiben
Um den Geschwindigkeitsverlauf des Motorbootes zu beschreiben, überlegst du dir zunächst was die horizontale und die vertikale Achse darstellen.
Die $t$-Achse gibt die Zeit $t$ in Minuten an. Die $v(t)$-Achse gibt die Geschwindigkeit des Motorbootes in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ an.
An dem Graph erkennst du, dass das Boot zunächst auf ca. $14\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ beschleunigt. Anschließend wird das Boot wieder langsamer. Ungefähr nach der Hälfte der Zeit erreicht die Geschwindigkeit ein lokales Minimum. Dabei beträgt die Geschwindigkeit etwa $8\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Dann wird das Boot wieder auf ca. $14\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ beschleunigt. Nach $18\;\text{min}$ nimmt die Geschwindigkeit wieder ab, bis das Boot zum Stillstand kommt.

Aufgabe 1.2.2

$\blacktriangleright$ Durchschnittsgeschwindigkeit $\boldsymbol{\overline{v}}$ und zurückgelegte Strecke $\boldsymbol{s}$ berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ des Bootes berechnen. Diese berechnest du, indem du die zurückgelegte Strecke $s$ durch die benötigte Zeit $t$ dividierst. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{v}&=& \dfrac{s}{t} \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{v}&=& \dfrac{s}{t} \\ \end{array}$
Die Bootsfahrt dauert $21$ Minuten. Um die zurückgelegte Strecke zu berechnen, berechnest du das Integral der Funktion $v(t)$ über dem Bereich $0\leq t\leq21$. Diese Fläche entspricht der zurückgelegten Strecke. Das Integral kannst du mit dem CAS berechnen. Beachte dabei, dass die Geschwindigkeit $v$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ angegeben wird und die Zeit $t$ in Minuten.
Du kannst nun so vorgehen:
  1. Berechne die zurückgelegte Strecke $s$
  2. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$
1. Schritt: Zurückgelegte Strecke $\boldsymbol{s}$ berechnen
Da die Geschwindigkeit in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und die Zeit in Minuten angegeben wird, musst du die Fläche durch $60$ teilen, um die Minuten in Stunden umzurechnen.
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} s&=&\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{21} v(t)\;\mathrm dt}{60}\\ \end{array}$
Definiere nun zunächst die Funktion $v(t)$ im CAS. Anschließend kannst du im Main- Menü mit dem folgenden Befehl das Integral berechnen:
Keyboard $\rightarrow$ Math 2
Keyboard $\rightarrow$ Math 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die zurückgelegte Strecke beträgt etwa $3,72\;\text{km}$.
2. Schritt: Durchschnittsgeschwindigkeit $\boldsymbol{\overline{v}}$ berechnen
Nun dividierst du die Strecke $s$ durch die benötigt Zeit $t$. Beachte auch hier wieder die Einheiten. Um die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ zu berechnen musst du die Zeit noch von Minuten in Stunden umrechnen.
Die Bootsfahrt dauert $21$ Minuten. Dies entspricht demnach $t=\frac{21\;\text{min}}{60}=0,35\;\text{h}$. Nun kannst du die Werte in die Formel zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{v}&=& \dfrac{s}{t} \\[5pt] &=& \dfrac{3,72\;\text{km}}{0,35\;\text{h}} \\[5pt] &=&10,6\;\frac{\text{km}}{\text{h}} \end{array}$
Das Boot fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von ca. $10,6\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und legt eine Strecke von $3,72\;\text{km}$ zurück.
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