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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur bis 2016 (CAS)
Abi 2016
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2015
Analysis
Stochastik 1
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Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
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Lineare Optimierung
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Analysis
Stochastik 1
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Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie
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Analysis 1
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Stochastik 1
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Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
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Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie 1
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Wirtschaftliche Anwen...
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Stochastik 1
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Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie 1
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Abi 2010
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
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Abi 2009
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...

Lineare Optimierung

Aufgaben
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Lineare Optimierung  Sämtliche Aufgaben entfallen ab 2017
1.1
Eine Kantine soll aus Gemüse und Fleisch, welche Magnesium, Eisen und die Vitamine $C$ und $\text{B}_{12}$ enthalten, Mahlzeiten herstellen, die möglichst kostengünstig sind. Gleichzeitig müssen Mineralstoffe und Vitamine in bestimmten Mindestmengen in den Mahlzeiten vorhanden sein.
Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die Inhaltsstoffe:
Menge der Mineralstoffe und Vitamine in mg je $100\,\text{g}$ Mindest-menge in den Mahl-zeiten in mg
GemüseFleisch
Magnesium$50$$25$$175$
Eisen$1$$2$$8$
Vitamin C$50$$0$$75$
Vitamin $\text{B}_{12}$$0$$0,001$$0,002$

Die Kosten für $100\,\text{g}$ Gemüse betragen $1\,€$, für $100\,\text{g}$ Fleisch $1,50\,€$.
Ermittle graphisch die kostenminimale Zusammensetzung einer Mahlzeit aus Fleisch und Gemüse, welche die geforderten Mindestmengen erfüllt.
Was kostet dann eine Mahlzeit?
(8P)
1.2
Fleisch und Gemüse sollen auch jeweils einzeln in Packungen zum Mitnehmen angeboten werden. Das Bearbeiten der Lebensmittel erfolgt durch Automaten:
Automat 1:Vorbereiten der Lebensmittel
Automat 2:Zubereiten
Automat 3:Verpacken.
Die folgende Tabelle gibt an, wie lange die Automaten für die Bearbeitung je einer Packung Gemüse bzw. Fleisch benötigen und wie lange die Automaten maximal zur Verfügung stehen:
Bearbeitungszeit in Minuten Maximale Nutzungszeit in Minuten
GemüseFleisch
Automat 1$2$$4$$316$
Automat 2$2,5$3$343$
Automat 3$2,5$$3$$436$
Bearbeitungszeit in Minuten
Gemüse
Automat 1$2$
Automat 2$2,5$
Automat 3$2,5$

Der Gewinn pro Packung beträgt $0,90\,€$ bei Gemüse und $1,50\,€$ bei Fleisch.
1.2.1
Erstelle das Anfangstableau für das Simplexverfahren, mit dem der maximale Gewinn ermittelt werden kann.
(3P)
1.2.2
Bei der Berechnung des maximalen Gewinns erhält der Kantinenleiter folgendes Tableau:
$x$$y$$u$$v$$w$$b_i$
$0,5$$1$$0,25$$0$$0$$79$
$1$$0$$-0,75$$1$$0$$106$
$1$$0$$-0,75$$0$$1$$199$
$0,15$$0$$-0,375$$0$$0$$G-118,5$
$x$
$0,5$
$1$
$1$
$0,15$
$x$ ist in die Anzahl der Gemüsepackungen.
$y$ ist die Anzahl der Fleischpackungen.
Die Schlupfvariablen für die Nichtauslastungszeiten der drei Automaten werden mit $u$, $v$ und $w$ bezeichnet.
Berechne hieraus das Endtableau und gib den maximalen Gewinn an. Wie viele Einzelpackungen Gemüse bzw. Fleisch werden insgesamt hergestellt?
Welcher Automat ist am wenigsten ausgelastet?
(4P)

(15P)
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$ Zusammensetzung der Mahlzeit bestimmen
Aus der Tabelle in der Aufgabe weißt du, wie viel Magnesium, Eisen, Vitamin C und Vitamin B$_{12}$ jeweils in $100\,\text{g}$ Gemüse und Fleisch ist. Außerdem hast du die Mindestmengen der Nährstoffe gegeben, die in den Mahlzeiten vorhanden sein sollen. Die Kosten für $100\,\text{g}$ Gemüse betragen $1\;€$ und die für $100\,\text{g}$ Fleisch $1,50\,€$.
Deine Aufgabe ist es nun, die kostenminimale Zusammensetzung der Mahlzeit graphisch zu bestimmen.
Dazu benötigst du eine Zielfunktion, die die Kosten der Mahlzeit beschreibt und Nebenbedingungen, die die Zusammensetzung der Nahrung beschreiben.
Gehe folgendermaßen vor:
  1. Bestimme die Zielfunktion $z$
  2. Bestimme die Nebenbedingungen
  3. Ermittle graphisch die kostenminimale Zusammensetzung
$\blacktriangleright$  Kosten der Mahlzeit berechnen
Nun sollst du die Kosten der Mahlzeit berechnen. Zuvor hast du berechnet, dass die Mahlzeit aus $200\,\text{g}$ Gemüse und $300\,\text{g}$ Fleisch besteht. Die Zielfunktion $z$ aus dem vorherigen Aufgabenteil beschreibt die Kosten der Mahlzeit. $100\,\text{g}$ Gemüse kosten $1\,€$ und $100\,\text{g}$ Fleisch kosten $1,50\,€$.

Aufgabe 1.2.1

$\blacktriangleright$ Anfangstableau für das Simplexverfahren erstellen
Bei dieser Aufgabe sollst du das Anfangstableau für das Simplexverfahren erstellen, mit dem der maximale Gewinn bestimmt werden kann. Dafür benötigst du eine Zielfunktion und die Nebenbedingungen.
Die Zielfunktion $G$ beschreibt den Gewinn. Pro Packung Gemüse beträgt dieser $0,90\,€$ und bei Fleisch $1,50\,€$.
Die Nebenbedingungen kannst du aus der Tabelle in der Aufgabe bestimmen.
Es werden folgende Variablen eingeführt:
  • x: Anzahl der Gemüse-Packungen
  • y: Anzahl der Fleisch-Packungen
Du kannst so vorgehen:
  1. Bestimme die Zielfunktion $G$
  2. Bestimme die Nebenbedingungen
  3. Führe Schlupfvariablen ein und bestimme das Anfangstableau

Aufgabe 1.2.2

$\blacktriangleright$ Endtableau berechnen und maximalen Gewinn angeben
Du sollst nun das Endtableau aus dem Tableau aus der Aufgabe berechnen und den maximalen Gewinn angeben. Anhand des Endtableaus kannst du auch die Anzahl der Gemüse- bzw. Fleischpackungen bestimmen. Außerdem kannst du daraus erkennen, welche Automat am wenigsten ausgelastet ist.
Führe dazu den Simplex-Algorithmus durch, bis in der Zielfunktionszeile keine positiven Werte mehr stehen.
Es gilt:
  • $x$: Anzahl der Gemüsepackungen
  • $y$: Anzahl der Fleischpackungen
  • $u$, $v$, $w$: Schlupfvariablen für die Nichtauslastung der drei Automaten
$\blacktriangleright$ Automat bestimmen, der am wenigsten ausgelastet ist
Um den am wenigsten ausgelasteten Automaten zu bestimmen, betrachtest du das Endtableau. Aus den ersten beiden Zeilen konntest du ablesen, wie viele Einzelpackungen an Gemüse und Fleisch insgesamt hergestellt werden. In der dritten Zeile siehst du, dass keine Gemüse- oder Fleischpackungen hergestellt werden und es eine freie Kapazität gibt.
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Lösungen
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$ Zusammensetzung der Mahlzeit bestimmen
Aus der Tabelle in der Aufgabe weißt du, wie viel Magnesium, Eisen, Vitamin C und Vitamin B$_{12}$ jeweils in $100\,\text{g}$ Gemüse und Fleisch ist. Außerdem hast du die Mindestmengen der Nährstoffe gegeben, die in den Mahlzeiten vorhanden sein sollen. Die Kosten für $100\,\text{g}$ Gemüse betragen $1\;€$ und die für $100\,\text{g}$ Fleisch $1,50\,€$.
Deine Aufgabe ist es nun, die kostenminimale Zusammensetzung der Mahlzeit graphisch zu bestimmen.
Dazu benötigst du eine Zielfunktion, die die Kosten der Mahlzeit beschreibt und Nebenbedingungen, die die Zusammensetzung der Nahrung beschreiben.
Gehe folgendermaßen vor:
  1. Bestimme die Zielfunktion $z$
  2. Bestimme die Nebenbedingungen
  3. Ermittle graphisch die kostenminimale Zusammensetzung
1. Schritt: Zielfunktion $\boldsymbol{z}$ bestimmen
Mit der Zielfunktion $z$ kannst du die Kosten der Mahlzeit berechnen. Die Kosten der Mahlzeit berechnen sich, indem du die Menge $x$ an Gemüse und die Menge $y$ an Fleisch mit dem jeweiligen Preis pro $100\,\text{g}$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} z&=&1x+1,5y \end{array}$
Damit du die Funktion später in ein Koordinatensystem einzeichnen kannst, löst du die Funktion $z$ nach $y$ auf. Für $z$ kannst du zunächst einen beliebigen Wert annehmen. Wir verwenden hier den Wert Null.
$\begin{array}[t]{rlll} z&=&1x+1,5y \\[5pt] 0&=&1x+1,5y &\quad \scriptsize \mid\;-x \\[5pt] -x&=&1,5y&\quad \scriptsize \mid\; :1,5 \\[5pt] y&=&-\dfrac{x}{1,5} \end{array}$
2. Schritt: Nebenbedingungen bestimmen
Für jeden Nährstoff wird nun eine Nebenbedingung bestimmt. Dafür verwenden wir wieder die Variablen $x$ (Menge an Gemüse) und $y$ (Menge an Fleisch).
In der Tabelle in der Aufgabe hast du die Mindestmengen der Nährstoffe angegeben, d.h. in der Mahlzeit könnte zum Beispiel auch mehr Magnesium vorhanden sein als angegeben. Die Nebenbedingungen sind also Ungleichungen, bei denen die Menge an Mineralstoffen $\geq$ der Mindestmenge an Nährstoffen in der Mahlzeit sein kann.
Du erhältst folgende Nebenbedingungen:
$\begin{array}[t]{rll} (1):&50x+25y&\geq&175 \\[5pt] (2):&1x+2y&\geq&8 \\[5pt] (3):&50x+0y&\geq&75 \\[5pt] (4):&0x+0,001y&\geq&0,002 \\[5pt] \end{array}$
Löst du diese Ungleichungen nach $y$, kannst du diese in ein Koordinatensystem einzeichnen. Die Ungleichung (3) wird nach $x$ aufgelöst, da in dieser Ungleichung kein $y$ vorhanden ist.
Ungleichung (1):
$\begin{array}[t]{rll} 50x+25y&\geq&175 &\quad \scriptsize \mid\; -50x\\[5pt] 25y&\geq&-50x+175 &\quad \scriptsize \mid\; :25\\[5pt] y&\geq&\dfrac{-50x+175}{25}\\[5pt] y&\geq&-2x+7 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 50x+25y&\geq&175 \\[5pt] 25y&\geq&-50x+175 \\[5pt] y&\geq&\dfrac{-50x+175}{25}\\[5pt] y&\geq&-2x+7 \end{array}$
Ungleichung (2):
$\begin{array}[t]{rll} 1x+2y&\geq&8 &\quad \scriptsize \mid\; -x\\[5pt] 2y&\geq&-x+8 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&\geq&-\dfrac{1}{2}x+4\\[5pt] \end{array}$
Ungleichung (3):
$\begin{array}[t]{rll} 50x+0y&\geq&75 &\quad \scriptsize \mid\; :50\\[5pt] x&\geq&1,5 \end{array}$
Ungleichung (4):
$\begin{array}[t]{rll} 0x+0,001y&\geq&0,002 &\quad \scriptsize \mid\; :0,001\\[5pt] y&\geq&2 \end{array}$
3. Schritt: Kostenminimale Zusammensetzung bestimmen
Um die kostenminimale Zusammenstezung der Mahlzeit zu bestimmen, zeichnest du die Zielfunktion $z$ und die Nebenbedingungen in ein Koordinatensystem ein. Verschiebe nun die Zielfunktion $z$ so weit, bis sie alle Nebenbedingungen erfüllt. Die Verschiebung erfolgt parallel zu der Zielfunktion $z$.
Lineare Optimierung
Lineare Optimierung
In dunkelgrün ist die Fläche dargestellt, in der alle Nebenbedingungen erfüllt sind. In dem Punkt $A$ trifft die verschobene Zielfunktion $z'$ erstmals auf diese Fläche. Da die kostenminimale Zusammensetzung der Mahlzeit gesucht ist, entsprechen die Koordinaten des Punktes der Zusammensetzung.
Der Punkt $A$ hat die Koordinaten $A(2\mid3)$.
Die kostenminimale Zusammensetzung der Mahlzeit besteht aus $200\,\text{g}$ Gemüse und $300\;\text{g}$ Fleisch.
$\blacktriangleright$  Kosten der Mahlzeit berechnen
Nun sollst du die Kosten der Mahlzeit berechnen. Zuvor hast du berechnet, dass die Mahlzeit aus $200\,\text{g}$ Gemüse und $300\,\text{g}$ Fleisch besteht. Die Zielfunktion $z$ aus dem vorherigen Aufgabenteil beschreibt die Kosten der Mahlzeit. $100\,\text{g}$ Gemüse kosten $1\,€$ und $100\,\text{g}$ Fleisch kosten $1,50\,€$.
Dementsprechend gilt:
$\begin{array}[t]{rll} z&=&1€\cdot x+1,50€\cdot y \\[5pt] &=&1€\cdot2+1,50€\cdot3\\[5pt] &=&2€+4,50€\\[5pt] &=&6,50€ \end{array}$
Die Mahlzeit kostet $6,50€$.

Aufgabe 1.2.1

$\blacktriangleright$ Anfangstableau für das Simplexverfahren erstellen
Bei dieser Aufgabe sollst du das Anfangstableau für das Simplexverfahren erstellen, mit dem der maximale Gewinn bestimmt werden kann. Dafür benötigst du eine Zielfunktion und die Nebenbedingungen.
Die Zielfunktion $G$ beschreibt den Gewinn. Pro Packung Gemüse beträgt dieser $0,90\,€$ und bei Fleisch $1,50\,€$.
Die Nebenbedingungen kannst du aus der Tabelle in der Aufgabe bestimmen.
Es werden folgende Variablen eingeführt:
  • x: Anzahl der Gemüse-Packungen
  • y: Anzahl der Fleisch-Packungen
Du kannst so vorgehen:
  1. Bestimme die Zielfunktion $G$
  2. Bestimme die Nebenbedingungen
  3. Führe Schlupfvariablen ein und bestimme das Anfangstableau
1. Schritt: Zielfunktion $\boldsymbol{G}$ bestimmen
Den Gewinn erhältst du, indem du die Anzahl der Packungen mit dem jeweiligen Gewinn multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} G&=&0,9x+1,5y \end{array}$
2. Schritt: Nebenbedingungen bestimmen
Die Nebenbedingungen erhältst du, indem du die Anzahl der Packungen mit der Bearbeitungszeit je Packung multiplizierst. Dies ergibt die Nutzungszeit. Da in der Tabelle die maximale Nutzungszeit angegeben wird, kann die Bearbeitungszeit auch $\leq$ der maximalen Nutzungszeit sein. Du erhältst demnach Ungleichungen.
$\begin{array}[t]{rlll} (1):&2x+4y&\leq&316 \\[5pt] (2):&2,5x+3y&\leq&343 \\[5pt] (3):&2,5x+3y&\leq&436 \end{array}$
3. Schritt: Schlupfvariablen einführen und Anfangstableau erstellen
Um Gleichungen aus den Ungleichungen der Nebenbedingungen herzustellen, müssen die Schlupfvariablen $u$, $v$ und $w$ eingeführt werden. Deren Wert ist später nicht von Bedeutung.
$\begin{array}[t]{rlll} (1):&2x&+&4y&+&u&&&&&=&316 \\[5pt] (2):&2,5x&+&3y&&&+&v&&&=&343 \\[5pt] (3):&2,5x&+&3y&&&&&+&w&=&436 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll}(1):2x+4y+u=…\end{array}$
Nun kannst du das Anfangstableau des Simplexverfahrens erstellen. In den ersten drei Zeilen stehen die Gleichungen der Nebenbedingungen. In der vierten Zeile steht die Gewinnfunktion mit dem unbekannten Gewinn $G$.
xyuvw
24100316
2,53010343
2,53001436
0,91,5000G

Aufgabe 1.2.2

$\blacktriangleright$ Endtableau berechnen und maximalen Gewinn angeben
Du sollst nun das Endtableau aus dem Tableau aus der Aufgabe berechnen und den maximalen Gewinn angeben. Anhand des Endtableaus kannst du auch die Anzahl der Gemüse- bzw. Fleischpackungen bestimmen.
Führe dazu den Simplex-Algorithmus durch, bis in der Zielfunktionszeile keine positiven Werte mehr stehen.
Es gilt:
  • $x$: Anzahl der Gemüsepackungen
  • $y$: Anzahl der Fleischpackungen
  • $u$, $v$, $w$: Schlupfvariablen für die Nichtauslastung der drei Automaten
xyuvwb$_i$
0,510,250079
10-0,7510106
10-0,7501199
0,150-0,37500G - 118,5
In der Zielfunktion ist die größte positive Zahl in der Spalte (1) zu finden. Die Spalte (1) wird demnach als Pivot-Spalte gewählt. Das Element der letzten Spalten wird nun zeilenweise durch das Element aus der 1. Spalte der jeweiligen Zeile dividiert.
xyuvwb$_i$Rechnung
(1)0,510,25007979:0,5=158
(2)10-0,7510106106:1=106
(3)10-0,7501199199:1=199
(4)0,150-0,37500G - 118,5
xyu
(1)0,510,25
(2)10-0,75
(3)10-0,75
(4)0,150-0,375
Der kleinste Quotient steht in Zeile (2). Damit ist das Pivot-Element $1$. Forme nun die Zeilen so um, dass Spalte (1) bist auf das Pivot-Element nur Nullen enthält.
xyuvwb$_i$Umformung
(1)0,510,250079 (1) - $\frac{1}{2}\cdot$ (2)
(2)10-0,7510106
(3)10-0,7501199(3) - (2)
(4)0,150-0,37500G - 118,5(4) - 0,15 $\cdot$ (2)
xyu
(1)0,510,25
(2)10-0,75
(3)10-0,75
(4)0,150-0,375
xyuvwb$_i$
(1)010,625-0,5026
(2)10-0,7510106
(3)000-1193
(4)00-0,2625-0,150G - 134,4
xyu
(1)010,625
(2)10-0,75
(3)000
(4)00-0,2625
In der Zielfunktion stehen nur negative Zahlen. Das Tableau lässt sich daher nicht weiter optimieren.
Aus dem Endtableau kannst du den maximalen Gewinn ablesen. Dieser beträgt $134,40\,€$. Außerdem siehst du, dass $26$ Einzelpackungen an Fleisch und $106$ Packungen an Gemüse hergestellt werden.
$\blacktriangleright$ Automat bestimmen, der am wenigsten ausgelastet ist
Um den am wenigsten ausgelasteten Automaten zu bestimmen, betrachtest du das Endtableau. Aus den ersten beiden Zeilen konntest du ablesen, wie viele Einzelpackungen an Gemüse und Fleisch insgesamt hergestellt werden. In der dritten Zeile siehst du, dass keine Gemüse- oder Fleischpackungen hergestellt werden und es eine freie Kapazität von $93\,\text{min}$ gibt.
Automat 1 ist demnach am wenigsten ausgelastet.
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