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1.1
Eine Kantine soll aus Gemüse und Fleisch, welche Magnesium, Eisen und die Vitamine $C$ und $\text{B}_{12}$ enthalten, Mahlzeiten herstellen, die möglichst kostengünstig sind. Gleichzeitig müssen Mineralstoffe und Vitamine in bestimmten Mindestmengen in den Mahlzeiten vorhanden sein.
Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die Inhaltsstoffe:
Menge der Mineralstoffe und Vitamine in mg je $100\,\text{g}$ Mindest-menge in den Mahl-zeiten in mg
GemüseFleisch
Magnesium$50$$25$$175$
Eisen$1$$2$$8$
Vitamin C$50$$0$$75$
Vitamin $\text{B}_{12}$$0$$0,001$$0,002$

Die Kosten für $100\,\text{g}$ Gemüse betragen $1\,€$, für $100\,\text{g}$ Fleisch $1,50\,€$.
Ermittle graphisch die kostenminimale Zusammensetzung einer Mahlzeit aus Fleisch und Gemüse, welche die geforderten Mindestmengen erfüllt.
Was kostet dann eine Mahlzeit?
(8P)
1.2
Fleisch und Gemüse sollen auch jeweils einzeln in Packungen zum Mitnehmen angeboten werden. Das Bearbeiten der Lebensmittel erfolgt durch Automaten:
Automat 1:Vorbereiten der Lebensmittel
Automat 2:Zubereiten
Automat 3:Verpacken.
Die folgende Tabelle gibt an, wie lange die Automaten für die Bearbeitung je einer Packung Gemüse bzw. Fleisch benötigen und wie lange die Automaten maximal zur Verfügung stehen:
Bearbeitungszeit in Minuten Maximale Nutzungszeit in Minuten
GemüseFleisch
Automat 1$2$$4$$316$
Automat 2$2,5$3$343$
Automat 3$2,5$$3$$436$
Bearbeitungszeit in Minuten
Gemüse
Automat 1$2$
Automat 2$2,5$
Automat 3$2,5$

Der Gewinn pro Packung beträgt $0,90\,€$ bei Gemüse und $1,50\,€$ bei Fleisch.
1.2.1
Erstelle das Anfangstableau für das Simplexverfahren, mit dem der maximale Gewinn ermittelt werden kann.
(3P)
1.2.2
Bei der Berechnung des maximalen Gewinns erhält der Kantinenleiter folgendes Tableau:
$x$$y$$u$$v$$w$$b_i$
$0,5$$1$$0,25$$0$$0$$79$
$1$$0$$-0,75$$1$$0$$106$
$1$$0$$-0,75$$0$$1$$199$
$0,15$$0$$-0,375$$0$$0$$G-118,5$
$x$
$0,5$
$1$
$1$
$0,15$
$x$ ist in die Anzahl der Gemüsepackungen.
$y$ ist die Anzahl der Fleischpackungen.
Die Schlupfvariablen für die Nichtauslastungszeiten der drei Automaten werden mit $u$, $v$ und $w$ bezeichnet.
Berechne hieraus das Endtableau und gib den maximalen Gewinn an. Wie viele Einzelpackungen Gemüse bzw. Fleisch werden insgesamt hergestellt?
Welcher Automat ist am wenigsten ausgelastet?
(4P)

(15P)
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