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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur bis 2016 (CAS)
Abi 2016
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
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Analysis
Stochastik 1
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Anwendungsorientierte...
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Analysis 1
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Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
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Abi 2011
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Abi 2010
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Analysis 2
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Abi 2009
Analysis 1
Analysis 2
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Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
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Stochastik 2

Aufgaben
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2
Der Verein „Schönheit der Mathematik e.V.“ bringt ein kostenloses Sammelalbum zu Ehren der 50 bedeutendsten Mathematikerinnen und Mathematiker der Geschichte heraus. In dem 50-seitigen Album wird auf jeder Seite ein Mathematiker vorgestellt. Auf jeder Seite ist zudem Platz für ein Klebebild, auf dem der entsprechende Mathematiker abgebildet ist. Die Klebebilder sind in Tütchen zu je drei Stück im Handel erhältlich. Man kann vor dem Kauf eines Tütchens nicht erkennen, welche Mathematiker auf den Klebebildern abgebildet sind.
Die Auflage ist so hoch, dass in den folgenden Aufgaben dem Bild von jedem Mathematiker dieselbe Wahrscheinlichkeit zugeordnet ist.
2.1
Anna besitzt ein Sammelalbum und hat darin schon 15 verschiedene Bilder von Mathematikern eingeklebt. Sie kauft sich ein neues Tütchen.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
A: In dem Tütchen sind drei Bilder des Mathematikers Pythagoras enthalten.
B: Anna kann alle drei Klebebilder in dem Tütchen für ihr Sammelalbum verwenden.
(4P)
Stochastik 2  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.2
Bruno hat bereits 49 der 50 Mathematikerbilder gesammelt.
Es fehlt ihm nur noch das Bild der Mathematikerin Noether.
2.2.1
Er kauft sich ein Tütchen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sein Album nun voll wird?
(3P)
Stochastik 2  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.2.2
Wie viele Tütchen mindestens muss sich Bruno kaufen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $80\,\%$ das noch fehlende Klebebild erhält?
(3P)
Stochastik 2  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.3
Christoph hat bereits 40 von 50 Klebebildern gesammelt. Er kauft ein Tütchen.
Wie viele für ihn brauchbare Klebebilder kann er darin erwarten?
Zeichne dazu ein Baumdiagramm.
(5P)
Stochastik 2  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln

(15P)
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Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$ berechnen
Anna hat schon 15 verschiedene Bilder in ihr Sammelalbum eingeklebt. Nun kauft sie sich ein neues Tütchen mit 3 Bildern.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{A}:$ In dem Tütchen sind drei Bilder des Mathematikers Pythagoras enthalten.
Jeder Mathematiker hat dieselbe Wahrscheinlichkeit. Überlege dir, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für das Bild von Pythagoras ist.
Es sollen nun alle drei Bilder in dem Tütchen Pythagoras zeigen.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B}$ berechnen
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{B}:$ Anna kann alle drei Klebebilder in dem Tütchen für ihr Sammelalbum verwenden.
Jeder Mathematiker hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, Anna hat bereits 15 Mathematiker in ihrem Sammelalbum. Überlege dir wie viele Möglichkeiten es für das erste, zweite bzw. das dritte Sammelbild gibt, sodass Anna sie alle drei in ihr Sammelalbum einkleben kann.
Für das zweite Bild gibt es eine Möglichkeit weniger, als noch für das erste Bild, da Anna das erste Bild in ihr Album eingeklebt hat. Für das dritte Bild gibt es dementsprechend zwei Möglichkeiten weniger.

Aufgabe 2.2.1

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{C}$ berechnen
Bruno hat bereits 49 der 50 Sammelbilder, ihm fehlt nur noch das Bild des Mathematikers Noether. Er kauft sich ein Tütchen mit drei Sammelbildern. Du sollst die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis bestimmen.
$\boldsymbol{C}:$ Brunos Sammelalbum wird voll.
Das bedeutet, dass mindestens einmal der Mathematikerin Noether in dem Tütchen enthalten sein muss. Die anderen beiden Bilder dürfen einen beliebigen Mathematiker zeigen. Es sollen also drei, zwei oder ein Bild der Mathematikerin Noether in dem Tütchen enthalten sein. Die Wahrscheinlichkeit lässt sich am besten mit dem Gegenereignis berechnen:
$\boldsymbol{\overline{C}}:$ Das Tütchen enthält kein Bild der Mathematikerin Noether.
Überlege dir wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Sammelbild nicht das Gesicht von Noether zeigt.
Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C gilt: $\color{#87c800}{\boldsymbol{P(C) = 1-P(\overline{C})}}$.

Aufgabe 2.2.2

$\blacktriangleright$ Anzahl der Tütchen berechnen
Wie viele Tütchen muss Bruno kaufen, damit die Wahrscheinlichkeit, die Mathematikerin Noether zu erhalten, mehr als $80\,\%$ beträgt?
Zuvor hast du gezeigt, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\left(\dfrac{49}{50}\right)^3=0,941192$ kein Bilder der Mathematikerin Noether in einem Tütchen enthalten ist. Sei $n$ die Anzahl der Tütchen. Es soll also gelten $1-\left(0,941192\right)^n>0,8.$ Berechne $n$.

Aufgabe 2.3

$\blacktriangleright$ Erwartete Anzahl an brauchbaren Sammelbildern bestimmen
Christoph hat 40 der 50 Bilder gesammelt. Berechne die Anzahl der noch fehlenden Sammelbilder. Er kauft sich ein Tütchen. Du soll berechnen, wie viele brauchbare Bilder er erwarten kann.
1. Schritt: Baumdiagramm zeichnen
Zeichne dir ein Baumdiagramm, um anschließend den Erwartungswert berechnen zu können. Beachte dabei, dass sich die Zahl der brauchbaren Bilder um eins verringert und die Anzahl der unbrauchbaren um eins erhöht, sobald ein Bild brauchbar war.
2. Schritt: Erwartungswert berechnen
Du sollst nun den Erwartungswert der brauchbaren Bilder berechnen.
Ein Tütchen enthält 3 Bilder, das heißt es gibt vier Möglichkeiten:
  • kein brauchbares Bild
  • ein brauchbares Bild
  • zwei brauchbare Bilder
  • drei brauchbare Bilder
Den Erwartungswert berechnest du mit folgender Formel:
$E(X)= \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} X_i \cdot P(X_i)$
$E(X)= \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} X_i \cdot P(X_i)$
Dabei beschreibt $X_i$ die Anzahl der brauchbaren Bilder und $P(X_i)$ die Wahrscheinlichkeit. Hier gilt $n=4$, da es vier Möglichkeiten gibt. Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeiten für kein, ein, zwei und drei brauchbare Bilder mit Hilfe des zuvor gezeichneten Baumdiagramms. Multipliziere dabei entlang eines Pfades und addiere die Pfade für die gleiche Anzahl an brauchbaren Bildern.
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Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$ berechnen
Anna hat schon 15 verschiedene Bilder in ihr Sammelalbum eingeklebt. Nun kauft sie sich ein neues Tütchen mit 3 Bildern.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{A}:$ In dem Tütchen sind drei Bilder des Mathematikers Pythagoras enthalten.
Jeder Mathematiker hat dieselbe Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit für Pythagoras beträgt somit:
$P(\text{Pythagoras}) = \dfrac{1}{50}$
Es sollen nun alle drei Bilder in dem Tütchen Pythagoras zeigen. Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A berechnet sich wie folgt:
$P(A) = \dfrac{1}{50} \cdot \dfrac{1}{50} \cdot \dfrac{1}{50} = \left(\dfrac{1}{50}\right)^3 = \dfrac{1}{125.000}$
$P(A) = \left(\dfrac{1}{50}\right)^3 = \dfrac{1}{125.000}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Tütchen drei Bilder des Mathematikers Pythagoras enthalten sind, beträgt $\dfrac{1}{125.000}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B}$ berechnen
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
$\boldsymbol{B}:$ Anna kann alle drei Klebebilder in dem Tütchen für ihr Sammelalbum verwenden.
Jeder Mathematiker hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, Anna hat bereits 15 Mathematiker in ihrem Sammelalbum. Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es für das erste, zweite bzw. das dritte Sammelbild gibt, sodass Anna sie alle drei in ihr Sammelalbum einkleben kann.
Für das erste Bild gilt: $50-15 = 35$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Anna das erste Bild einkleben kann beträgt also $\frac{35}{50}$.
Für das zweite Bild gibt es eine Möglichkeit weniger, da Anna das erste Bild bereits in ihr Album eingeklebt hat. Für das dritte Bild gibt es dementsprechend zwei Möglichkeiten weniger. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit:
$P(B) = \dfrac{35}{50} \cdot \dfrac{34}{50} \cdot \dfrac{33}{50} = \dfrac{39.270}{125.000} = 0,31416$
$P(B) = 0,31416$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Anna alle drei Bilder in ihr Sammelalbum einkleben kann, beträgt 31,416 %.

Aufgabe 2.2.1

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{C}$ berechnen
Bruno hat bereits 49 der 50 Sammelbilder, ihm fehlt nur noch das Bild der Mathematikerin Noether. Er kauft sich ein Tütchen mit drei Sammelbildern. Du sollst die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis bestimmen.
$\boldsymbol{C}:$ Brunos Sammelalbum wird voll.
Das bedeutet, dass mindestens einmal die Mathematikerin Noether in dem Tütchen enthalten sein muss. Die anderen beiden Bilder dürfen einen beliebigen Mathematiker zeigen. Es sollen also drei, zwei oder ein Bild der Mathematikerin Noether in dem Tütchen enthalten sein. Die Wahrscheinlichkeit lässt sich am besten mit dem Gegenereignis berechnen:
$\boldsymbol{\overline{C}}:$ Das Tütchen enthält kein Bild der Mathematikerin Noether.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sammelbild nicht das Gesicht von Noether zeigt, beträgt: $\frac{49}{50}$. Das soll nun für alle drei Bilder gelten:
$P(\overline{C}) =\left(\dfrac{49}{50}\right)^3$
Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C gilt: $\color{#87c800}{\boldsymbol{P(C) = 1-P(\overline{C})}}$
$P(C) =1-\left(\dfrac{49}{50}\right)^3 = 0,058808$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Bruno sein Album vervollständigt, beträgt ungefähr 5,88 %.

Aufgabe 2.2.2

$\blacktriangleright$ Anzahl der Tütchen berechnen
Wie viele Tütchen muss Bruno kaufen, damit die Wahrscheinlichkeit, die Mathematikerin Noether zu erhalten, mehr als $80\,\%$ beträgt?
Zuvor hast du gezeigt, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\left(\dfrac{49}{50}\right)^3=0,941192$ kein Bild der Mathematikerin Noether in einem Tütchen enthalten ist. Sei $n$ die Anzahl der Tütchen. Es soll also gelten:
$\begin{array}{rlll} 1-\left(0,941192\right)^n&>&0,8&\mid \scriptsize -0,8;\ +\left(0,941192\right)^n\\ 0,2&>& \left(0,941192\right)^n&\mid \scriptsize \text{log}\\ log(0,2)&>& n\cdot log(0,941192)&\mid \scriptsize :log(0,941192)\\ n&>& 26,55\\ \end{array}$
$\begin{array}{rlll} n&>& 26,55\\ \end{array}$
Das liefert dir, dass Bruno mindestens 27 Tütchen benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $80\,\%$ sein Sammelalbum zu vervollständigen.

Aufgabe 2.3

$\blacktriangleright$ Erwartete Anzahl an brauchbaren Sammelbildern bestimmen
Christoph hat 40 der 50 Bilder gesammelt. Das bedeutet es fehlen ihm noch $50-40=10$ der Sammelbilder. Er kauft sich ein Tütchen. Du sollst berechnen, wie viele brauchbare Bilder er erwarten kann.
1. Schritt: Baumdiagramm zeichnen
Zeichne dir ein Baumdiagramm, um anschließend den Erwartungswert berechnen zu können. Beachte dabei, dass sich die Zahl der brauchbaren Bilder um eins verringert und die Anzahl der unbrauchbaren um eins erhöht, sobald ein Bild brauchbar war.
Stochastik 2
Stochastik 2
2. Schritt: Erwartungswert berechnen
Du sollst nun den Erwartungswert der brauchbaren Bilder berechnen.
Ein Tütchen enthält 3 Bilder, das heißt es gibt vier Möglichkeiten:
  • kein brauchbares Bild
  • ein brauchbares Bild
  • zwei brauchbare Bilder
  • drei brauchbare Bilder
Den Erwartungswert berechnest du mit folgender Formel:
$E(X)= \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} X_i \cdot P(X_i)$
$E(X) $$= \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} X_i \cdot P(X_i)$
Dabei beschreibt $X_i$ die Anzahl der brauchbaren Bilder und $P(X_i)$ die Wahrscheinlichkeit. Hier gilt $n=4$, da es vier Möglichkeiten gibt. Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeiten für kein, ein, zwei und drei brauchbare Bilder mit Hilfe des zuvor gezeichneten Baumdiagramms. Multipliziere dabei entlang eines Pfades und addiere die Pfade für die gleiche Anzahl an brauchbaren Bildern.
Wahrscheinlichkeit für „kein brauchbares Bild“:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=&\dfrac{40}{50}\cdot \dfrac{40}{50}\cdot \dfrac{40}{50} \\[5pt] &=&\left(\dfrac{40}{50}\right)^3 = 0,512 \end{array}$
Wahrscheinlichkeit für „ein brauchbares Bild“:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=1)&=&\dfrac{10}{50}\cdot \dfrac{41}{50}\cdot \dfrac{41}{50} + \dfrac{40}{50}\cdot \dfrac{10}{50}\cdot \dfrac{41}{50} + \dfrac{40}{50}\cdot \dfrac{40}{50}\cdot \dfrac{10}{50}\\[5pt] &=&0,39368 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=1)&=&0,39368 \end{array}$
Wahrscheinlichkeit für „zwei brauchbare Bilder“:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)&=&\dfrac{10}{50}\cdot \dfrac{41}{50}\cdot \dfrac{9}{50} + \dfrac{10}{50}\cdot \dfrac{9}{50}\cdot \dfrac{42}{50} + \dfrac{40}{50}\cdot \dfrac{10}{50}\cdot \dfrac{9}{50}\\[5pt] &=&0,08856 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)&=&0,08856 \end{array}$
Wahrscheinlichkeit für „drei brauchbare Bilder“:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=3)&=&\dfrac{10}{50}\cdot \dfrac{9}{50}\cdot \dfrac{8}{50} \\[5pt] &=&0,00576 \end{array}$
Jetzt hast du alle Wahrscheinlichkeiten berechnet, um den Erwartungswert mit der oben angegebenen Formel bestimmen zu können.
$E(X)=3 \cdot 0,00576 + 2\cdot 0,08856 + 1 \cdot 0,39368 + 0 \cdot 0,512= 0,58808$
$E(X)= 0,58808$
Die zu erwartende Anzahl an brauchbaren Bildern beträgt 0,58808.
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