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Lernbereich Abitur bis 2016 (CAS)
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Analysis
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Anwendungsorientierte...
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Wirtschaftliche Anwen...
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Wirtschaftliche Anwendungen

Aufgaben
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1
Schokolade besteht aus den Hauptbestandteilen Zucker, Kakaobutter, Kakaomasse und Milchpulver. Eine Schokoladenfirma fertigt aus diesen Rohstoffen Bitterschokolade, Milchschokolade und weiße Schokolade. Aus diesen Zwischenprodukten werden wiederum 3 verschiedene Arten von Schokoladenfiguren gefertigt.
Die quantitativen Zusammenhänge sind durch das Materialflussdiagramm und die nachfolgende Tabelle gegeben. Alle Angaben erfolgen in Gramm.
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
Figur 1Figur 2Figur 2
Zucker303030
Kakao- butter12915
Kakao- masse8175
Milch- pulver10410
1.1
Wie viel Kilogramm Zucker sind nötig, um ein Kilogramm Bitterschokolade herzustellen? Welche Mengen an Kakaomasse und Milchpulver benötigt man, um ein Kilogramm Milchschokolade herzustellen?
(4P)
Wirtschaftliche Anwendungen  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Im Lager befinden sich noch $180\,\text{kg}$ Zucker, $66\,\text{kg}$ Kakaobutter, $72\,\text{kg}$ Kakaomasse und $42\,\text{kg}$ Milchpulver. Wie viele Figuren können daraus gefertigt werden?
(3P)
Wirtschaftliche Anwendungen  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.3
Die variablen Kosten je Figur in Euro sind gegeben durch $\vec{k}^T_V=(1,60\,\,\, 1,50\,\,\, 1,70)$.
Die Fixkosten pro Monat betragen $1.850\,\text{Euro}$. Im kommenden Monat sollen 2.000 Stück der Figur 1, 1.500 Stück der Figur 2 und 1.000 Stück der Figur 3 hergestellt werden. Die Figuren sollen alle zum gleichen Preis verkauft werden.
Wie hoch muss der Verkaufspreis der einzelnen Figuren sein, damit der Gewinn $10\,$% der Gesamtkosten beträgt?
(4P)
Wirtschaftliche Anwendungen  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.4
Zu Ostern will die Firma 5.000 Figuren herstellen. Dabei sollen von Figur 1 doppelt so viele hergestellt werden wie von Figur 2. Es sind noch $60\,\text{kg}$ Kakaobutter auf Lager die vollständig aufgebraucht werden sollen.
Wie viel Stück von Figur 1, Figur 2 und Figur 3 werden hergestellt?
Welche Mengen an Rohstoffen muss die Firma auf Lager haben?
(4P)
Wirtschaftliche Anwendungen  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln

(15P)
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Tipps
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$ Menge an Zucker, Kakaomasse und Milchpulver bestimmen
Bei dieser Aufgabe sollst du berechnen, wie viel Kilogramm Zucker du benötigst, um ein Kilogramm Bitterschokolade herzustellen.
Dazu benötigst du die Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix $A$, die Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix $B$ und die Rohstoff-Endprodukt-Martix $C$. Diese kannst du aus dem Materialflussdiagramm bzw. der Tabelle in der Aufgabe ablesen.
Zwischen den Matrizen besteht folgender Zusammenhang:
$\begin{array}[t]{rll} C&=&A\cdot B\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} C&=&A\cdot B\\ \end{array}$
Setzt du die Matrizen in diese Formel ein kannst du eine Gleichung bestimmen, um die gesuchte Menge $a$ an Zucker zu berechnen. Du kannst analog bei der Berechnung der Menge $b$ an Kakaomasse und der Menge $c$ an Milchpulver vorgehen.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Anzahl der Figuren berechnen
Du sollst nun berechnen, wie viele Figuren aus den vorhandenen Vorräten gefertigt werden können.
Es sind $180\;\text{kg}$ Zucker, $66\;\text{kg}$ Kakaobutter, $72\;\text{kg}$ Kakaomasse und $42\;\text{kg}$ Milchpulver vorhanden. Wie viele Zutaten du pro Figur brauchst, siehst du in der Tabelle des Aufgabenblatts.
Mit Hilfe dieser Informationen kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und die Anzahl der jeweiligen Figuren berechnen. Addierst du die jeweiligen Anzahlen zusammen, weißt du wie viele Figuren aus den Zutaten gefertigt werden können.
Beachte dabei die Einheiten. Die Angaben wie viele Zutaten man für eine Figur brauchst sind in $\text{g}$. Um $\text{g}$ in $\text{kg}$ umzuwandeln multiplizierst du mit $1.000$.
Du kannst so vorgehen:
  1. Stelle ein lineares Gleichungssystem auf
  2. Berechne die Anzahl der Figuren

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$ Verkaufspreis berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du den Verkaufspreis der einzelnen Figuren berechnen. Der Gesamtgewinn soll $10\,\%$ der Gesamtkosten betragen.
Durch den Vektor $\overrightarrow{k_V^T}$ weißt du, dass die Herstellung einer Figur 1 Kosten von $1,60\,€$ verursacht. Eine Figur 2 kostet $1,50\,€$ in der Herstellung und die Figur 3 kostet $1,70\,€$. Außerdem weißt du, wie viel Stück jeweils produziert werden sollen. Zu den Herstellungskosten kommen noch Fixkosten von $1.850\,€\,$.
Alle Figuren sollen zum gleichen Preis verkauft werden.
Gehe folgendermaßen vor:
  1. Berechne die Gesamtkosten
  2. Berechne die Höhe des Gewinns
  3. Berechne den Verkaufspreis
Um die Höhe des Gewinns zu berechnen, benötigst du die Prozentformel.
$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p\,\% \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p\,\% \\[5pt] \end{array}$
Das $p$ entspricht dem Prozentsatz, das $G$ dem Grundwert und das $W$ dem Prozentwert.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$ Anzahl der Figuren berechnen
Es sollen insgesamt $5.000$ Figuren hergestellt werden. Die Figur 1 soll doppelt so oft hergestellt werden wie die Figur 2. Für die Fertigung steht $60\,\text{kg}$ Kakaobutter zur Verfügung. Außerdem weißt du aus der Tabelle wie viel Kakaobutter jeweils benötigt wird.
Mit Hilfe dieser Angaben kannst du zwei Gleichungen aufstellen. Eine Gleichung beschreibt die Anzahl der Figuren und eine wie viel Kakaobutter benötigt wird.
Wir verwenden folgende Variablen:
  • x: Anzahl der Figuren 1
  • y: Anzahl der Figuren 2
  • z: Anzahl der Figuren 3
Da die Figur 1 doppelt so oft gerfertigt wird wie die Figur 2, gilt: $x=2y$
Stellst du die zwei Gleichungen auf, so erhältst du ein lineares Gleichungssystem. Dieses kannst du mit dem GTR lösen.
$\blacktriangleright$  Menge der Rohstoffe berechnen
Du hast zuvor berechnet, wie viel Stück jeweils von den Figuren hergestellt werden. Diese Anzahl kannst du mit den Mengenangaben aus der Tabelle berechnen. Multipliziere dazu die Matrizen.
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Lösungen TI
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$ Menge an Zucker bestimmen
Bei dieser Aufgabe sollst du berechnen, wie viel Kilogramm Zucker du benötigst, um ein Kilogramm Bitterschokolade herzustellen.
Dazu benötigst du die Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix $A$, die Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix $B$ und die Rohstoff-Endprodukt-Martix $C$. Diese kannst du aus dem Materialflussdiagramm bzw. der Tabelle in der Aufgabe ablesen.
Zwischen den Matrizen besteht folgender Zusammenhang:
$\begin{array}[t]{rll} C&=&A\cdot B\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} C&=&A\cdot B\\ \end{array}$
Setzt du die Matrizen in diese Formel ein kannst du eine Gleichung bestimmen, um die gesuchte Menge $a$ an Zucker zu berechnen.
Du hast diese Matrizen gegeben:
Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix $\boldsymbol{A}$:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \begin{pmatrix}a&0,5&0,5\\0,1&0,2&0,3\\0,4&b&0\\0&c&0,2\end{pmatrix} \\ \end{array}$
Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix $\boldsymbol{B}$:
$\begin{array}[t]{rll} B&=& \begin{pmatrix}10&40&10\\40&10&10\\10&10&40\end{pmatrix} \\ \end{array}$
Rohstoff-Endprodukt-Matrix $\boldsymbol{C}$:
$\begin{array}[t]{rll} C&=& \begin{pmatrix}30&30&30\\12&9&15\\8&17&5\\10&4&10\end{pmatrix} \\ \end{array}$
Setzt du die Matrizen in die Gleichung ein, erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} C&=&A\cdot B \\[5pt] \begin{pmatrix}\boldsymbol{30}&30&30\\12&9&15\\8&17&5\\10&4&10\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}\boldsymbol{a}&\boldsymbol{0,5}&\boldsymbol{0,5}\\0,1&0,2&0,3\\0,4&b&0\\0&c&0,2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\boldsymbol{10}&40&10\\\boldsymbol{40}&10&10\\\boldsymbol{10}&10&40\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}C&=&A\cdot B\end{array}$
Nun kannst du die erste Zeile der Matrix $A$ mit einer Spalte der Matrix $B$ multiplizieren. Das Ergebnis der Multiplikation steht dementsprechend in der ersten Zeile und der gewählten Spalte der Matrix $C$. Wir multiplizieren hier die erste Zeile der Matrix $A$ mit der ersten Spalte der Matrix $B$. Dies ist in der Gleichung fett dargestellt.
Du erhältst diese Gleichung, die du nach $a$ auflösen kannst.
$\begin{array}[t]{rlll} 30&=&10a+0,5\cdot40+0,5\cdot10 \\[5pt] 30&=&10a+20+5\\[5pt] 30&=&10a+25 &\quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] 5&=&10a&\quad \scriptsize \mid\;:10\\[5pt] a&=&0,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll}a&=&0,5\end{array}$
Das $a$ hat den Wert $a=0,5$. Da ein Kilogramm Bitterschokolade hergestellt werden soll, werden dementsprechend $0,5\;\text{kg}$ Zucker benötigt.
$\blacktriangleright$  Menge an Kakaomasse und Milchpulver berechnen
Nun sollst du berechnen, wie viel Kilogramm Kakaomasse und Milchpulver nötig sind, um ein Kilogramm Milchschokolade herzustellen.
Du kannst so vorgehen, wie bei der Berechnung der Menge an Zucker.
Berechnung der Menge $\boldsymbol{b}$ an Kakaomasse:
Es wird die dritte Zeile der Matrix $A$ mit der ersten Spalte der Matrix $B$ multipliziert:
$\begin{array}[t]{rll} C&=&A\cdot B \\[5pt] \begin{pmatrix}30&30&30\\12&9&15\\\boldsymbol{8}&17&5\\10&4&10\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}a&0,5&0,5\\0,1&0,2&0,3\\\boldsymbol{0,4}&\boldsymbol{b}&\boldsymbol{0}\\0&c&0,2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\boldsymbol{10}&40&10\\\boldsymbol{40}&10&10\\\boldsymbol{10}&10&40\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}C&=&A\cdot B\end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} 8&=&0,4\cdot 10+b\cdot40+0\cdot10 \\[5pt] 8&=&4+40b& \quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] 4&=&40b& \quad \scriptsize \mid\; :40\\[5pt] b&=&0,1 \end{array}$
$b=0,1$
Für ein Kilogramm Milchschokolade werden $0,1\;\text{kg}$ Kakaomasse benötigt.
Berechnung der Menge $\boldsymbol{c}$ an Milchpulver:
Es wird die vierte Zeile der Matrix $A$ mit der ersten Spalte der Matrix $B$ multipliziert:
$\begin{array}[t]{rll} C&=&A\cdot B \\[5pt] \begin{pmatrix}30&30&30\\12&9&15\\8&17&5\\\boldsymbol{10}&4&10\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}a&0,5&0,5\\0,1&0,2&0,3\\0,4&b&0\\\boldsymbol{0}&\boldsymbol{c}&\boldsymbol{0,2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\boldsymbol{10}&40&10\\\boldsymbol{40}&10&10\\\boldsymbol{10}&10&40\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}C&=&A\cdot B\end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} 10&=&0\cdot 10+c\cdot40+0,2\cdot10 \\[5pt] 10&=&40c+2 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] 8&=&40c &\quad \scriptsize \mid\; :40\\[5pt] b&=&0,2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll}b&=&0,2\end{array}$
Es werden $0,2\;\text{kg}$ Milchpulver für ein Kilogramm Milchschokolade benötigt.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Anzahl der Figuren berechnen
Du sollst nun berechnen, wie viele Figuren aus den vorhandenen Vorräten gefertigt werden können.
Es sind $180\;\text{kg}$ Zucker, $66\;\text{kg}$ Kakaobutter, $72\;\text{kg}$ Kakaomasse und $42\;\text{kg}$ Milchpulver vorhanden. Wie viele Zutaten du pro Figur brauchst, siehst du in der Tabelle des Aufgabenblatts.
Mit Hilfe dieser Informationen kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und die Anzahl der jeweiligen Figuren berechnen. Addierst du die jeweiligen Anzahlen zusammen, weißt du wie viele Figuren aus den Zutaten gefertigt werden können.
Beachte dabei die Einheiten. Die Angaben wie viele Zutaten man für eine Figur brauchst sind in $\text{g}$. Um $\text{g}$ in $\text{kg}$ umzuwandeln multiplizierst du mit $1.000$.
Du kannst so vorgehen:
  1. Stelle ein lineares Gleichungssystem auf
  2. Berechne die Anzahl der Figuren
1. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen
Um ein lineares Gleichungssystem aufzustellen, multiplizierst du die Anzahl der Figuren $x$, $y$ und $z$ mit den jeweiligen Mengenangaben der Tabelle.
Dabei gilt:
  • x: Anzahl der Figuren 1
  • y: Anzahl der Figuren 2
  • z: Anzahl der Figuren 3
Du erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}30&30&30\\12&9&15\\8&17&5\\10&4&10\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}180.000\\66.000\\72.000\\42.000\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}30x&30y&30z\\12x&9y&15z\\8x&17y&5z\\10x&4y&10z\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}180.000\\66.000\\72.000\\42.000\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}30&30&30\\12&9&15\\8&17&5\\10&4&10\end{pmatrix}\end{array} …$
Das Gleichungssystem kannst du mit deinem GTR im Calc-Modus lösen. Wandle dazu zunächst das LGS in eine erweiterte Koeffizientenmatrix um:
$\begin{pmatrix}30&30&30&180.000\\12&9&15&66.000\\8&17&5&72.000\\10&4&10&42.000\end{pmatrix}$
Um das Gleichungssystem zu lösen, benötigst du den rref-Befehl. Den Befehl für die Matrix findest du im Menü unter
7: Matrix und Vektor $\rightarrow$ 1: Erstellen $\rightarrow$ 1:Matrix
7: Matrix und Vektor $\rightarrow$ 1: Erstellen $\rightarrow$ 1:Matrix
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
Du erhältst das Ergebnis $x=2.000$, $y=3.000$ und $z=1.000$. Mit den Zutaten kann man demnach $2.000$ der Figuren 1, $3.000$ der Figuren 2 und $1.000$ der Figuren 3 fertigen.
2. Schritt: Anzahl der Figuren berechnen
Du weißt nun, wie viele Figuren jeweils gefertigt werden können. Addiere nun die Anzahl zusammen, um die gesamte Anzahl der Figuren zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Anzahl der Figuren}&=&x+y+z \\[5pt] \text{Anzahl der Figuren} &=&2.000+3.000+1.000\\[5pt] \text{Anzahl der Figuren}&=&6.000 \end{array}$
$\text{Anzahl der Figuren}=x+y+z$
Mit den Zutaten können $6.000$ Figuren hergestellt werden.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$ Verkaufspreis berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du den Verkaufspreis der einzelnen Figuren berechnen. Der Gesamtgewinn soll $10\,\%$ der Gesamtkosten betragen.
Durch den Vektor $\overrightarrow{k_V^T}$ weißt du, dass die Herstellung einer Figur 1 Kosten von $1,60\,€$ verursacht. Eine Figur 2 kostet $1,50\,€$ in der Herstellung und die Figur 3 kostet $1,70\,€$. Außerdem weißt du, wie viel Stück jeweils produziert werden sollen. Zu den Herstellungskosten kommen noch Fixkosten von $1.850\,€\,$.
Alle Figuren sollen zum gleichen Preis verkauft werden.
Gehe folgendermaßen vor:
  1. Berechne die Gesamtkosten
  2. Berechne die Höhe des Gewinns
  3. Berechne den Verkaufspreis
Um die Höhe des Gewinns zu berechnen, benötigst du die Prozentformel.
$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p\,\% \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p\,\% \\[5pt] \end{array}$
Das $p$ entspricht dem Prozentsatz, das $G$ dem Grundwert und das $W$ dem Prozentwert.
1. Schritt: Gesamtkosten berechnen
Um die Gesamtkosten zu berechnen, multiplizierst du zunächst den jeweiligen Herstellungspreis mit der jeweiligen Stückzahl.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Herstellungskosten}&=& 1,60\,€\,\cdot\text{Anzahl Figur 1}+1,50\,€\cdot\text{Anzahl Figur 2}+1,70\,€\cdot\text{Anzahl Figur 3}\\[5pt] &=&1,60\,€\cdot2.000+1,50\,€\cdot1.500+1,70\,€\cdot1.000\\[5pt] &=&7.150\,€ \end{array}$
Herstellungskosten
Zu den Herstellungskosten werden nun die Fixkosten pro Monat von $1.850\,€$ addiert, um die Gesamtkosten zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Gesamtkosten}&=& \text{Herstellungskosten}+\text{Fixkosten}\\[5pt] &=&7.150\,€+1.850\,€\\[5pt] &=&9.000\,€ \end{array}$
Gesamtkosten
Die Gesamtkosten betragen $9.000\,€$.
2. Schritt: Höhe des Gewinns berechnen
Um die Höhe des Gewinns zu berechnen, benötigst du die Prozentformel. Der Prozentsatz entspricht den $10\,\%$ und der Grundwert den Gesamtkosten von $9.000\,€$. Der Prozentwert entspricht dem Gewinn.
$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p\,\% \\[5pt] W&=&9.000\,€\cdot0,1\\[5pt] W&=&900\,€ \end{array}$
Der Gewinn beträgt $900\,€$.
3. Schritt: Verkaufspreis berechnen
Wenn der Gewinn $900\,€$ beträgt, muss die Firma bei dem Verkauf der Figuren insgesamt $9.900\,€$ einnehmen. Es sollen insgesamt $2.000+1.500+1.000=4.500$ Stück verkauft werden. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Verkaufspreis}&=&\dfrac{9.900\,€}{4.500\,\text{Stück}} \\[5pt] &=&\dfrac{2,20\,€}{\text{Stück}} \end{array}$
Der Verkaufspreis pro Figur muss $2,20\,€$ betragen, damit der Gewinn $10\,\%$ der Gesamtkosten beträgt.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$ Anzahl der Figuren berechnen
Es sollen insgesamt $5.000$ Figuren hergestellt werden. Die Figur 1 soll doppelt so oft hergestellt werden wie die Figur 2. Für die Fertigung steht $60\,\text{kg}$ Kakaobutter zur Verfügung. Außerdem weißt du aus der Tabelle wie viel Kakaobutter jeweils benötigt wird.
Mit Hilfe dieser Angaben kannst du zwei Gleichungen aufstellen. Eine Gleichung beschreibt die Anzahl der Figuren und eine wie viel Kakaobutter benötigt wird.
Wir verwenden folgende Variablen:
  • x: Anzahl der Figuren 1
  • y: Anzahl der Figuren 2
  • z: Anzahl der Figuren 3
Da die Figur 1 doppelt so oft gerfertigt wird wie die Figur 2, gilt: $x=2y$
Stellst du die zwei Gleichungen auf, so erhältst du ein lineares Gleichungssystem. Dieses kannst du mit dem GTR lösen.
Gleichung (1):
$\begin{array}[t]{rll} x+y+z&=&5.000 \\[5pt] 2y+y+z&=&5.000 \\[5pt] 3y+z&=&5.000 \quad \scriptsize (1) \\[5pt] \end{array}$
Gleichung (2):
$\begin{array}[t]{rll} 12x+9y+15z&=&60.000 \\[5pt] 12\cdot2y+9y+15z&=&60.000 \\[5pt] 24y+9y+15z&=&60.000\\[5pt] 33y+15z&=&60.000\quad \scriptsize (2) \\[5pt] \end{array}$
Diese zwei Gleichungen kannst du analog zu Aufgabe 1.2 als erweiterte Koeffizientenmatrix darstellen und mit dem rref-Befehl des GTR lösen.
$\begin{pmatrix}3&1&5.000\\33&15&60.000\end{pmatrix}$
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
Der GTR liefert das Ergebnis $y=1.250$ und $z=1.250$. Es gilt also: $x=2\cdot 1.250=2.500$
Es werden $2.500$ Stück von Figur 1 und jeweils $1.250$ Stück von Figur 2 und Figur 3 hergestellt.
$\blacktriangleright$  Menge der Rohstoffe berechnen
Du hast zuvor berechnet, wie viel Stück jeweils von den Figuren hergestellt werden. Diese Anzahl kannst du mit den Mengenangaben aus der Tabelle berechnen. Multipliziere dazu die Matrizen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Menge der Rohstoffe}&=&\begin{pmatrix}30&30&30\\12&9&15\\8&17&5\\10&4&10\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}30&30&30\\12&9&15\\8&17&5\\10&4&10\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2.500\\1.250\\1.250\end{pmatrix} \end{array}$
Menge der Rohstoffe
Dies kannst du mit dem GTR berechnen.
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
Für die Herstellung werden $150.000\,\text{g}=150\,\text{kg}$ Zucker, $60.000\,\text{g}=60\,\text{kg}$ Kakaobutter, $47.500\,\text{g}=47,5\,\text{kg}$ Kakaomasse und $42.500\,\text{g}=42,5\,\text{kg}$ Milchpulver benötigt.
Die Firma muss $150\,\text{kg}$ Zucker, $60\,\text{kg}$ Kakaobutter, $47,5\,\text{kg}$ Kakaomasse und $42,5\,\text{kg}$ Milchpulver auf Lager haben.
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$ Menge an Zucker bestimmen
Bei dieser Aufgabe sollst du berechnen, wie viel Kilogramm Zucker du benötigst, um ein Kilogramm Bitterschokolade herzustellen.
Dazu benötigst du die Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix $A$, die Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix $B$ und die Rohstoff-Endprodukt-Martix $C$. Diese kannst du aus dem Materialflussdiagramm bzw. der Tabelle in der Aufgabe ablesen.
Zwischen den Matrizen besteht folgender Zusammenhang:
$\begin{array}[t]{rll} C&=&A\cdot B\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} C&=&A\cdot B\\ \end{array}$
Setzt du die Matrizen in diese Formel ein kannst du eine Gleichung bestimmen, um die gesuchte Menge $a$ an Zucker zu berechnen.
Du hast diese Matrizen gegeben:
Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix $\boldsymbol{A}$:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \begin{pmatrix}a&0,5&0,5\\0,1&0,2&0,3\\0,4&b&0\\0&c&0,2\end{pmatrix} \\ \end{array}$
Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix $\boldsymbol{B}$:
$\begin{array}[t]{rll} B&=& \begin{pmatrix}10&40&10\\40&10&10\\10&10&40\end{pmatrix} \\ \end{array}$
Rohstoff-Endprodukt-Matrix $\boldsymbol{C}$:
$\begin{array}[t]{rll} C&=& \begin{pmatrix}30&30&30\\12&9&15\\8&17&5\\10&4&10\end{pmatrix} \\ \end{array}$
Setzt du die Matrizen in die Gleichung ein, erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} C&=&A\cdot B \\[5pt] \begin{pmatrix}\boldsymbol{30}&30&30\\12&9&15\\8&17&5\\10&4&10\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}\boldsymbol{a}&\boldsymbol{0,5}&\boldsymbol{0,5}\\0,1&0,2&0,3\\0,4&b&0\\0&c&0,2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\boldsymbol{10}&40&10\\\boldsymbol{40}&10&10\\\boldsymbol{10}&10&40\end{pmatrix} \end{array}$
$C=A\cdot B$
Nun kannst du die erste Zeile der Matrix $A$ mit einer Spalte der Matrix $B$ multiplizieren. Das Ergebnis der Multiplikation steht dementsprechend in der ersten Zeile und der gewählten Spalte der Matrix $C$. Wir multiplizieren hier die erste Zeile der Matrix $A$ mit der ersten Spalte der Matrix $B$. Dies ist in der Gleichung fett dargestellt.
Du erhältst diese Gleichung, die du nach $a$ auflösen kannst.
$\begin{array}[t]{rlll} 30&=&10a+0,5\cdot40+0,5\cdot10 \\[5pt] 30&=&10a+20+5\\[5pt] 30&=&10a+25 &\quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] 5&=&10a&\quad \scriptsize \mid\;:10\\[5pt] a&=&0,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll}a&=&0,5\end{array}$
Das $a$ hat den Wert $a=0,5$. Da ein Kilogramm Bitterschokolade hergestellt werden soll, werden dementsprechend $0,5\;\text{kg}$ Zucker benötigt.
$\blacktriangleright$  Menge an Kakaomasse und Milchpulver berechnen
Nun sollst du berechnen, wie viel Kilogramm Kakaomasse und Milchpulver nötig sind, um ein Kilogramm Milchschokolade herzustellen.
Du kannst so vorgehen, wie bei der Berechnung der Menge an Zucker.
Berechnung der Menge $\boldsymbol{b}$ an Kakaomasse:
Es wird die dritte Zeile der Matrix $A$ mit der ersten Spalte der Matrix $B$ multipliziert:
$\begin{array}[t]{rll} C&=&A\cdot B \\[5pt] \begin{pmatrix}30&30&30\\12&9&15\\\boldsymbol{8}&17&5\\10&4&10\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}a&0,5&0,5\\0,1&0,2&0,3\\\boldsymbol{0,4}&\boldsymbol{b}&\boldsymbol{0}\\0&c&0,2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\boldsymbol{10}&40&10\\\boldsymbol{40}&10&10\\\boldsymbol{10}&10&40\end{pmatrix} \end{array}$
$C=A\cdot B$
$\begin{array}[t]{rlll} 8&=&0,4\cdot 10+b\cdot40+0\cdot10 \\[5pt] 8&=&4+40b& \quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] 4&=&40b& \quad \scriptsize \mid\; :40\\[5pt] b&=&0,1 \end{array}$
$b=0,1$
Für ein Kilogramm Milchschokolade werden $0,1\;\text{kg}$ Kakaomasse benötigt.
Berechnung der Menge $\boldsymbol{c}$ an Milchpulver:
Es wird die vierte Zeile der Matrix $A$ mit der ersten Spalte der Matrix $B$ multipliziert:
$\begin{array}[t]{rll} C&=&A\cdot B \\[5pt] \begin{pmatrix}30&30&30\\12&9&15\\8&17&5\\\boldsymbol{10}&4&10\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}a&0,5&0,5\\0,1&0,2&0,3\\0,4&b&0\\\boldsymbol{0}&\boldsymbol{c}&\boldsymbol{0,2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\boldsymbol{10}&40&10\\\boldsymbol{40}&10&10\\\boldsymbol{10}&10&40\end{pmatrix} \end{array}$
$C=A\cdot B$
$\begin{array}[t]{rlll} 10&=&0\cdot 10+c\cdot40+0,2\cdot10 \\[5pt] 10&=&40c+2 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] 8&=&40c &\quad \scriptsize \mid\; :40\\[5pt] b&=&0,2 \end{array}$
$b=0,2$
Es werden $0,2\;\text{kg}$ Milchpulver für ein Kilogramm Milchschokolade benötigt.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Anzahl der Figuren berechnen
Du sollst nun berechnen, wie viele Figuren aus den vorhandenen Vorräten gefertigt werden können.
Es sind $180\;\text{kg}$ Zucker, $66\;\text{kg}$ Kakaobutter, $72\;\text{kg}$ Kakaomasse und $42\;\text{kg}$ Milchpulver vorhanden. Wie viele Zutaten du pro Figur brauchst, siehst du in der Tabelle des Aufgabenblatts.
Mit Hilfe dieser Informationen kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und die Anzahl der jeweiligen Figuren berechnen. Addierst du die jeweiligen Anzahlen zusammen, weißt du wie viele Figuren aus den Zutaten gefertigt werden können.
Beachte dabei die Einheiten. Die Angaben wie viele Zutaten man für eine Figur brauchst sind in $\text{g}$. Um $\text{g}$ in $\text{kg}$ umzuwandeln multiplizierst du mit $1.000$.
Du kannst so vorgehen:
  1. Stelle ein lineares Gleichungssystem auf
  2. Berechne die Anzahl der Figuren
1. Schritt: Lineares Gleichungssystem aufstellen
Um ein lineares Gleichungssystem aufzustellen, multiplizierst du die Anzahl der Figuren $x$, $y$ und $z$ mit den jeweiligen Mengenangaben der Tabelle.
Dabei gilt:
  • x: Anzahl der Figuren 1
  • y: Anzahl der Figuren 2
  • z: Anzahl der Figuren 3
Du erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}30&30&30\\12&9&15\\8&17&5\\10&4&10\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}180.000\\66.000\\72.000\\42.000\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}30x&30y&30z\\12x&9y&15z\\8x&17y&5z\\10x&4y&10z\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}180.000\\66.000\\72.000\\42.000\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}30&30&30\\12&9&15\\8&17&5\\10&4&10\end{pmatrix} \end{array}$
Das Gleichungssystem kannst du mit deinem GTR im Equation-Modus unter SIMUL lösen. Betrachte dazu zunächst nur die ersten drei Zeilen der Matrix. Anschließend überprüfst du das Ergebnis, indem du die Werte in die vierte Zeile einsetzt.
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
Du erhältst das Ergebnis $x=2.000$, $y=3.000$ und $z=1.000$. Setze dieses Ergebnis nun zur Überprüfung in die vierte Zeile der Matrix ein.
$\begin{array}[t]{rll} 10\cdot x+4\cdot y+10\cdot z&=&42.000 \\[5pt] 10\cdot 2.000+4\cdot 3.000+10\cdot 1.000&=&42.000 \\[5pt] 20.000+12.000+10.000&=&42.000\\[5pt] 42.000&=&42.000 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 42.000&=&42.000 \end{array}$
Diese Gleichung ist korrekt.
Mit den Zutaten kann man demnach $2.000$ der Figuren 1, $3.000$ der Figuren 2 und $1.000$ der Figuren 3 fertigen.
2. Schritt: Anzahl der Figuren berechnen
Du weißt nun, wie viele Figuren jeweils gefertigt werden können. Addiere nun die Anzahl zusammen, um die gesamte Anzahl der Figuren zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Anzahl der Figuren}&=\end{array}$ $\begin{array}[t]{rll}&x+y+z \\[5pt]\end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}\text{Anzahl der Figuren}=\end{array}$ $\begin{array}[t]{rll} 2.000+3.000+1.000\\[5pt]\end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}\text{Anzahl der Figuren}&=\end{array}$ $\begin{array}[t]{rll}&6.000 \end{array}$
Mit den Zutaten können $6.000$ Figuren hergestellt werden.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$ Verkaufspreis berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du den Verkaufspreis der einzelnen Figuren berechnen. Der Gesamtgewinn soll $10\,\%$ der Gesamtkosten betragen.
Durch den Vektor $\overrightarrow{k_V^T}$ weißt du, dass die Herstellung einer Figur 1 Kosten von $1,60\,€$ verursacht. Eine Figur 2 kostet $1,50\,€$ in der Herstellung und die Figur 3 kostet $1,70\,€$. Außerdem weißt du, wie viel Stück jeweils produziert werden sollen. Zu den Herstellungskosten kommen noch Fixkosten von $1.850\,€\,$.
Alle Figuren sollen zum gleichen Preis verkauft werden.
Gehe folgendermaßen vor:
  1. Berechne die Gesamtkosten
  2. Berechne die Höhe des Gewinns
  3. Berechne den Verkaufspreis
Um die Höhe des Gewinns zu berechnen, benötigst du die Prozentformel.
$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p\,\% \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p\,\% \\[5pt] \end{array}$
Das $p$ entspricht dem Prozentsatz, das $G$ dem Grundwert und das $W$ dem Prozentwert.
1. Schritt: Gesamtkosten berechnen
Um die Gesamtkosten zu berechnen, multiplizierst du zunächst den jeweiligen Herstellungspreis mit der jeweiligen Stückzahl.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Herstellungskosten}&=& 1,60\,€\,\cdot\text{Anzahl Figur 1}+1,50\,€\cdot\text{Anzahl Figur 2}+1,70\,€\cdot\text{Anzahl Figur 3}\\[5pt] &=&1,60\,€\cdot2.000+1,50\,€\cdot1.500+1,70\,€\cdot1.000\\[5pt] &=&7.150\,€ \end{array}$
Herstellungskosten
Zu den Herstellungskosten werden nun die Fixkosten pro Monat von $1.850\,€$ addiert, um die Gesamtkosten zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Gesamtkosten}&=& \text{Herstellungskosten}+\text{Fixkosten}\\[5pt] &=&7.150\,€+1.850\,€\\[5pt] &=&9.000\,€ \end{array}$
Gesamtkosten
Die Gesamtkosten betragen $9.000\,€$.
2. Schritt: Höhe des Gewinns berechnen
Um die Höhe des Gewinns zu berechnen, benötigst du die Prozentformel. Der Prozentsatz entspricht den $10\,\%$ und der Grundwert den Gesamtkosten von $9.000\,€$. Der Prozentwert entspricht dem Gewinn.
$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p\,\% \\[5pt] W&=&9.000\,€\cdot0,1\\[5pt] W&=&900\,€ \end{array}$
Der Gewinn beträgt $900\,€$.
3. Schritt: Verkaufspreis berechnen
Wenn der Gewinn $900\,€$ beträgt, muss die Firma bei dem Verkauf der Figuren insgesamt $9.900\,€$ einnehmen. Es sollen insgesamt $2.000+1.500+1.000=4.500$ Stück verkauft werden. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Verkaufspreis}&=&\dfrac{9.900\,€}{4.500\,\text{Stück}} \\[5pt] &=&\dfrac{2,20\,€}{\text{Stück}} \end{array}$
Der Verkaufspreis pro Figur muss $2,20\,€$ betragen, damit der Gewinn $10\,\%$ der Gesamtkosten beträgt.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$ Anzahl der Figuren berechnen
Es sollen insgesamt $5.000$ Figuren hergestellt werden. Die Figur 1 soll doppelt so oft hergestellt werden wie die Figur 2. Für die Fertigung steht $60\,\text{kg}$ Kakaobutter zur Verfügung. Außerdem weißt du aus der Tabelle wie viel Kakaobutter jeweils benötigt wird.
Mit Hilfe dieser Angaben kannst du zwei Gleichungen aufstellen. Eine Gleichung beschreibt die Anzahl der Figuren und eine wie viel Kakaobutter benötigt wird.
Wir verwenden folgende Variablen:
  • x: Anzahl der Figuren 1
  • y: Anzahl der Figuren 2
  • z: Anzahl der Figuren 3
Da die Figur 1 doppelt so oft gerfertigt wird wie die Figur 2, gilt: $x=2y$
Stellst du die zwei Gleichungen auf, so erhältst du ein lineares Gleichungssystem. Dieses kannst du mit dem GTR lösen.
Gleichung (1):
$\begin{array}[t]{rll} x+y+z&=&5.000 \\[5pt] 2y+y+z&=&5.000 \\[5pt] 3y+z&=&5.000 \quad \scriptsize (1) \\[5pt] \end{array}$
Gleichung (2):
$\begin{array}[t]{rll} 12x+9y+15z&=&60.000 \\[5pt] 12\cdot2y+9y+15z&=&60.000 \\[5pt] 24y+9y+15z&=&60.000\\[5pt] 33y+15z&=&60.000\quad \scriptsize (2) \\[5pt] \end{array}$
Gleichung (1):
Diese zwei Gleichungen kannst du analog zu Aufgabe 1.2 in dem Equation-Modus des GTR lösen.
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
Der GTR liefert das Ergebnis $y=1.250$ und $z=1.250$. Es gilt also: $x=2\cdot 1.250=2.500$
Es werden $2.500$ Stück von Figur 1 und jeweils $1.250$ Stück von Figur 2 und Figur 3 hergestellt.
$\blacktriangleright$  Menge der Rohstoffe berechnen
Du hast zuvor berechnet, wie viel Stück jeweils von den Figuren hergestellt werden. Diese Anzahl kannst du mit den Mengenangaben aus der Tabelle berechnen. Multipliziere dazu die Matrizen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Menge der Rohstoffe}&=&\begin{pmatrix}30&30&30\\12&9&15\\8&17&5\\10&4&10\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}30&30&30\\12&9&15\\8&17&5\\10&4&10\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2.500\\1.250\\1.250\end{pmatrix} \end{array}$
Menge der Rohstoffe
Dies kannst du mit dem GTR berechnen. Den Befehl für eine Matrix findest du im Run-Matrix-Modus:
F4: MATH $\rightarrow$ F1: MAT/VCT
F4: MATH $\rightarrow$ F1: MAT/VCT
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
Für die Herstellung werden $150.000\,\text{g}=150\,\text{kg}$ Zucker, $60.000\,\text{g}=60\,\text{kg}$ Kakaobutter, $47.500\,\text{g}=47,5\,\text{kg}$ Kakaomasse und $42.500\,\text{g}=42,5\,\text{kg}$ Milchpulver benötigt.
Die Firma muss $150\,\text{kg}$ Zucker, $60\,\text{kg}$ Kakaobutter, $47,5\,\text{kg}$ Kakaomasse und $42,5\,\text{kg}$ Milchpulver auf Lager haben.
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