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Analysis 1

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1.1
Das Schaubild $P$ einer Polynomfunktion dritten Grades hat den Wendepunkt $W(-4\mid-4)$ und bei $x=-2$ einen Extrempunkt.
Die Normale von $P$ in $W$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle $x=8$.
Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.
(7P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Für jedes $k\in\mathbb{R}$ ist $G_k$ das Schaubild von $g_k$ mit
$g_{k}(x)=\dfrac{1}{4}x(x-2k)^{2};\quad x\in\mathbb{R}$.
1.2.1
Welche der folgenden Schaubilder könnten zu einer Funktion $g_k$ gehören, welche nicht?
Begründe deine Entscheidung und ermittle gegebenenfalls den zugehörigen Wert von $k$.
Schaubild 2
Schaubild 4
(8P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.2.2
Bestimme die Ortskurve der Tiefpunkte aller $G_k$ mit $k<0$.
(7P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.3
Für jedes $t\in\mathbb{R}$ ist die Funktion $f_t$ gegeben durch
$f_{t}(x)=(t-x^{2})\cdot\mathrm{e}^{-x};\quad x\in\mathbb{R}$.
Das Schaubild von $f_t$ heißt $K_t$.
1.3.1
Zeichne $K_4$. Die Schnittpunkte von $K_4$ mit der $x$-Achse und der Punkt $P(u\mid f_{4}(u))$ mit $-2 < u < 2$ sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimme u so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird.
Um wie viel Prozent weicht der Flächeninhalt dieses größten Dreiecks vom Inhalt der Fläche ab, die von $K_4$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird?
(11P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.3.2
Die Tangente an $K_4$ im Schnittpunkt von $K_4$ mit der $y$-Achse, die $x$-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=c$ begrenzen ein Dreieck.
Berechne einen Wert von $c$ so, dass das Dreieck den Flächeninhalt 8 hat.
(5P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.3.3
Für welche Werte von $t$ hat $K_t$ zwei Punkte mit der $x$-Achse gemeinsam?
Ermittle für diese Werte von $t$ den Abstand dieser beiden Punkte.
Für welche Werte von $t$ hat $K_t$ zwei Extrempunkte?
(7P)
 Aufgabe entfällt ab 2017

(45P)
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