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Analysis 2

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2.1
Für jedes $t>0$ ist die Funktion $f_t$ gegeben durch
$f_{t}(x)=-\dfrac{1}{t}x^{4}+x^{3}-x;\quad x\in\mathbb{R}$.
Das Schaubild von $f_t$ heißt $K_t$.
2.1.1
Zeichne $K_4$.
Berechne den Schnittpunkt der beiden Wendetangenten von $K_4$ exakt.
(9P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.1.2
Die erste und die zweite Winkelhalbierende sowie die Gerade mit der Gleichung $y=3x-4$ begrenzen ein Dreieck.
Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
In welchem Verhältnis teilt $K_4$ diese Dreiecksfläche?
(7P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.1.3
Für welche Werte von $t$ hat $K_t$ einen Wendepunkt mit positiver Steigung?
(6P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.1.4
Prüfe, ob es ein $t$ gibt, so dass die Gerade mit der Gleichung $y=-x$ das Schaubild $K_t$ senkrecht schneidet.
(5P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.2
Eine Polynomfunktion $h$ hat folgende Eigenschaften:
$\begin{array}{p{0.6cm}lp{1cm}l} (1)&h(0)&=\,2\\ (2)&h'(x)&=\,0&\text{für } x=-4 \text{ und für }x=2\\ (3)&h'(x)&\geq\,0&\text{für } x\leq2\\ (4)&h''(x)& > \,0&\text{für } -4 < x < 0 \end{array}$
$\begin{array}{p{0.6cm}lp{1cm}l} (1)&h(0)&=\,2\\ (2)&h'(x)&=\,0&\\ (3)&h'(x)&\geq\,0&\\ (4)&h''(x)& > \,0& \end{array}$
Welche Bedeutung hat jede einzelne Eigenschaft für das Schaubild von $h$?
Skizziere ein mögliches Schaubild von $h$.
(8P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
2.3
Für jedes $k>0$ ist die Funktion $g_k$ gegeben durch
$g_{k}(x)=\cos(kx)+2k;\quad x\in\mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $G_k$.
2.3.1
Bestimme die exakten Koordinaten der Hoch- und Wendepunkte des Schaubildes $G_3$ im Bereich $-0,5\leq x\leq2,5$.
(4P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
2.3.2
Welche Auswirkungen hat eine Vergrößerung von $k$ auf das Schaubild?
Wie muss $k$ gewählt werden, damit die Funktion $g_k$ die Periode 4 hat?
Für welche Werte von $k$ besitzt die Funktion $g_k$ Nullstellen?
(6P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln

(45P)
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