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1
Nach einem Unfall auf einer Autobahn wird die Überholspur gesperrt. Der Verkehr rollt auf der anderen Fahrspur mit verminderter Geschwindigkeit an der Unfallstelle vorbei. Infolge des hohen Verkehrsaufkommens bildet sich ein Stau mit zunächst zunehmender Länge. Nachdem die Unfallstelle geräumt ist, löst sich der Stau allmählich wieder auf.
Die Anzahl der Fahrzeuge, die pro Minute in den Staubereich hineinfahren, ist $q_1$.
Die Anzahl der pro Minute aus dem Staubereich herausfahrenden Fahrzeuge ist $q_2$.
Die folgende Tabelle zeigt den Fahrzeugfluss $q=q_{1}-q_{2}$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$. In einer vereinfachten Betrachtung gibt $q$ die Zahl der Fahrzeuge pro Minute an, um die sich die Staulänge verändert.
$t$ (Minuten) 0 5 10 15 20 30 40 50 60
$q$ (Anzahl der Fahrzeuge pro Minute) 13,5 9,6 5 0 -5 -13,5 -17,5 -14 0
$t$ (Minuten) 0 5
$q$ (Anzahl der Fahrzeuge pro Minute) 13,5 9,6
Zu Beginn der Messung stehen $405$ Fahrzeuge im Stau, $60$ Minuten später hat sich der Stau aufgelöst.
1.1
Stelle $q$ in Abhängigkeit von $t$ grafisch dar.
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge ihr Maximum erreicht, und den Zeitpunkt, zu dem sich der Stau am schnellsten abbaut. Skizziere in einem Koordinatensystem die Anzahl der Fahrzeuge im Stau in Abhängigkeit von der Messzeit. Erläutere deine Vorgehensweise.
(8P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.2
Die zeitliche Entwicklung des Fahrzeugflusses während der Messzeit kann durch folgende Funktion $q$ beschrieben werden:
$q(t)=a\cdot(t+30)(t-b)(t-c)$ mit $t\in[0;60]$.
Bestimme die Konstanten $a$, $b$ und $c$ anhand der obigen Tabelle.
(3P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.3
Die zeitliche Entwicklung des Fahrzeugflusses wird durch die Funktion
$q$ mit $q(t)$=$0,0005t^{3}-0,0225t^{2}-0,675t+13,5;$$\quad t\in[0;60]$ beschrieben.
Wie viele Fahrzeuge stehen 40 Minuten nach Messbeginn im Stau?
(4P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln

(15P)
1
Nach einem Unfall auf einer Autobahn wird die Überholspur gesperrt. Der Verkehr rollt auf der anderen Fahrspur mit verminderter Geschwindigkeit an der Unfallstelle vorbei. Infolge des hohen Verkehrsaufkommens bildet sich ein Stau mit zunächst zunehmender Länge. Nachdem die Unfallstelle geräumt ist, löst sich der Stau allmählich wieder auf.
Die Anzahl der Fahrzeuge, die pro Minute in den Staubereich hineinfahren, ist $q_1$.
Die Anzahl der pro Minute aus dem Staubereich herausfahrenden Fahrzeuge ist $q_2$.
Die folgende Tabelle zeigt den Fahrzeugfluss $q=q_{1}-q_{2}$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$. In einer vereinfachten Betrachtung gibt $q$ die Zahl der Fahrzeuge pro Minute an, um die sich die Staulänge verändert.
$t$ (Minuten) 0 5 10 15 20 30 40 50 60
$q$ (Anzahl der Fahrzeuge pro Minute) 13,5 9,6 5 0 -5 -13,5 -17,5 -14 0
$t$ (Minuten) 0 5
$q$ (Anzahl der Fahrzeuge pro Minute) 13,5 9,6
Zu Beginn der Messung stehen $405$ Fahrzeuge im Stau, $60$ Minuten später hat sich der Stau aufgelöst.
1.1
Stelle $q$ in Abhängigkeit von $t$ grafisch dar.
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge ihr Maximum erreicht, und den Zeitpunkt, zu dem sich der Stau am schnellsten abbaut. Skizziere in einem Koordinatensystem die Anzahl der Fahrzeuge im Stau in Abhängigkeit von der Messzeit. Erläutere deine Vorgehensweise.
(8P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.2
Die zeitliche Entwicklung des Fahrzeugflusses während der Messzeit kann durch folgende Funktion $q$ beschrieben werden:
$q(t)=a\cdot(t+30)(t-b)(t-c)$ mit $t\in[0;60]$.
Bestimme die Konstanten $a$, $b$ und $c$ anhand der obigen Tabelle.
(3P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.3
Die zeitliche Entwicklung des Fahrzeugflusses wird durch die Funktion
$q$ mit $q(t)$=$0,0005t^{3}-0,0225t^{2}-0,675t+13,5;$$\quad t\in[0;60]$ beschrieben.
Wie viele Fahrzeuge stehen 40 Minuten nach Messbeginn im Stau?
(4P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln

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BW, Berufl. Gymnasium (SGG)
Klasse 13
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
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Abi 2011
Abi 2010
Abi 2009