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Lineare Optimierung 2

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 Sämtliche Aufgaben entfallen ab 2017
2.1
Auf den Malediven soll eine neue Hotelanlage entstehen. Die Investoren wollen eine Fläche von $6.400\,\text{m}^2$ mit maximal $90$ Bungalows bebauen. Zur Auswahl stehen folgende Bungalow-Typen:
Bungalow für 2 Personen Bungalow für 4 Personen Bungalow für 6 Personen
Größe $60\,\text{m}^2$ $80\,\text{m}^2$ $90\,\text{m}^2$
Einnahmen pro Tag $45\,$€ $60\,$€ $90\,$€
Bungalow für 2 Personen
Größe $60\,\text{m}^2$
Einnahmen pro Tag $45\,$€
Das geplante hoteleigene Restaurant fasst $300$ Personen, so dass Bungalows für eine Gästezahl von maximal $300$ Personen gebaut werden sollen.
2.1.1
Die Investoren planen in einem ersten Szenario nur Bungalows für $2$ und für $4$ Personen.
Zeichne das Planungsvieleck.
Wie viele Bungalows für $2$ Personen können gebaut werden, wenn die Einnahmen maximiert werden sollen?
(6P)
2.1.2
In einem zweiten Szenario sind neben den $2$- und $4$- Personen-Bungalows noch $6$- Personen-Bungalows zugelassen. Alle anderen Bedingungen bleiben gleich.
Bestimme mittels des Simplexverfahrens, wie viele Bungalows der verschiedenen Größen gebaut werden müssen, um möglichst hohe Einnahmen zu erzielen.
(4P)
2.2
Für $k\in \mathbb{R}$ ist das folgende lineare Gleichungssystem gegeben:
$\begin{array}{rlrl} 4x_{1}&+2x_{2}&+(2k-4)x_{3}&=2\\ 12x_{1}&-6x_{2}&+(3k-3)x_{3}&=3k\\ &&(k^{2}-k-6)x_{3}&=k^{2}-4 \end{array}$
$\begin{array}{rlrl} &&(k^{2}-k-6)x_{3}&=k^{2}-4 \end{array}$
Untersuche, für welche Werte von $k$ das lineare Gleichungssystem unlösbar, mehrdeutig lösbar bzw. eindeutig lösbar ist.
(5P)

(15P)
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