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Analysis 1

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1.1
Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion h mit der Definitionsmenge $[-7\;\;4]$.
Die Funktion $H$ ist eine Stammfunktion von $h$.
Begründe, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.
  1. $H$ hat zwei Wendestellen
  2. $h''(0,5)$ ist größer als $h''(3,5)$
  3. Die Wertemenge von $h'$ enthält nur Zahlen, die größer als -3 sind.
  4. Das Schaubild von $h'$ ist überall rechtsgekrümmt
(8P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Gegeben ist die Funktion $s$ mit$\;\;\;$ $s(x)$=$\dfrac{1}{2}x+1+2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}x\right);\;\;\;x\in\mathbb{R}$
Das Schaubild von $s$ ist $C$.
1.2.1
Zeichne $C$ für $-3\leq x\leq7$.
Untersuche, welche Werte die Steigung von $C$ annehmen kann.
(6P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.2.2
Weise nach, dass die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=0,5x-1$ das Schaubild $C$ an den Stellen $x_{1}=-2$ und $x_{2}=6$ berührt und dass $C$ nie unterhalb von $g$ verläuft.
$C$ und $g$ begrenzen für $-2\leq x\leq6$ eine Fläche, die von der Parallelen zu $g$ durch den Punkt $R(0\mid1)$ in zwei Teilflächen zerlegt wird.
Berechne den Inhalt der größeren Teilfläche.
(12P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.2.3
Berechne die Koordinaten der Wendepunkte von $C$.
Begründe, dass alle Wendepunkte auf einer Geraden liegen.
(6P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.3
Für jedes $a\in\mathbb{R}$ und $a>0$ ist die Funktion $f_a$ gegeben durch
$f_{a}(x)=a\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{x};\;\;\;x\in\mathbb{R}$
Das Schaubild von $f_a$ heißt $K_a$.
1.3.1
Die Tangente und die Normale von $K_2$ im Punkt $S(0\mid1)$ und die $x$-Achse begrenzen ein Dreieck.
Berechne die Länge der Hypotenuse dieses Dreiecks.
(4P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.3.2
Berechne die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von $K_a$.
Für welche Werte von $a$ liegt der Schnittpunkt mit der $x$-Achse rechts von der $y$-Achse?
(4P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.3.3
Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Stammfunktion $F_a$ von $f_a$.
Bestimme den Wert von a sowie den Funktionsterm dieser Stammfunktion.
(5P)
 Aufgabe entfällt ab 2017

(45P)
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