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Analysis 2

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2.1
Gegeben ist für jedes $t<0$ die Funktion $f_t$ mit $f_{t}(x)=\dfrac{t}{4}x^{2}+\dfrac{1+4t}{t};\quad x\in\mathbb{R}$
Das Schaubild von $f_t$ ist $K_t$.
2.1.1
Zeichne $K_{-1}$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=\dfrac{3}{2}x+6$ in ein gemeinsames Koordinatensystem.
Die Orthogonale zur Geraden $g$ durch den Punkt $Q(0\mid6)$ bildet zusammen mit $g$ und der $x$-Achse ein Dreieck.
$K_{-1}$ begrenzt mit der $x$-Achse eine Fläche, die aus dem Dreieck ausgeschnitten wird.
Berechne den Inhalt der verbleibenden Fläche.
(9P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.1.2
Weise nach, dass die Gerade mit der Gleichung $y=x+4$ Tangente an $K_{-0,1}$ ist, und ermittel den zugehörigen Berührpunkt.
Bestimme die Gleichung der Normalen von $K_{-0,1}$ in diesem Punkt.
(4P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.1.3
Zeige, dass es keinen Punkt gibt, der auf allen Schaubildern $K_t$ liegt.
(3P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.1.4
$A$ ist das Schaubild einer Funktion, $B$ das Schaubild ihrer Ableitfunktion und $C$ das einer ihrer Stammfunktionen.
Es gibt einen Wert von $t$, für das $K_t$ eines der Schaubilder $A$, $B$, $C$ ist.
Bestimme diesen Wert von $t$.
Bestimme damit die Funktionsterme der zu $A$, $B$ und $C$ gehörenden Funktionen.
(5P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
2.2
Für jedes $a>0$ ist $C_a$ das Schaubild der Funktion $h_a$ mit $h_{a}(x)=(x-4a)\cdot\mathrm e^{-a\cdot x};\quad x\in\mathbb{R}$.
2.2.1
Bestimme die Achsenschnittpunkte von $C_a$.
(3P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.2.2
Zeichne $C_{\frac{1}{4}}$.
Die Koordinatenachsen und das Schaubild $C_{\frac{1}{4}}$ schließen eine Fläche ein.
Diese Fläche rotiert um die $x$-Achse.
Bestimme das Volumen des dabei entstehenden Rotationskörpers.
(6P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.2.3
Zeige, dass die Gerade mit der Gleichung$\,$ $y=(4a^{2}+1)\cdot x-4a$$\,$ mit $\,$$a>0$$\,$ das Schaubild $C_a$ auf der $y$-Achse berührt.
Berechne den Wert von $a$, für den der Schnittpunkt dieser Geraden mit der $x$-Achse am weitesten rechts liegt.
(7P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.3
Die Funktion $g$ hat folgende Eigenschaften:
$\begin{array}{p{1cm}l} (1)&g(1)=-1\quad \text{ und } g'(1)=0\\ (2)&g'(0)>0\\ (3)&g''(-2)>0\\ (4)&\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{6}g(x)dx=0 \end{array}$
Welche Bedeutung hat jede einzelne Eigenschaft für das Schaubild von $g$?
Skizziere ein mögliches Schaubild von $g$.
(8P)
 Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln

(45P)
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