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Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2

Anwendungsorientierte Aufgaben 1

Aufgaben
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1
Die Gesamtkosten eines Unternehmens bei der Herstellung eines Produktes werden durch die Funktion $K$ mit $K(x)=x^{3}-10x^{2}+40x+100\;\,$;   $x\in[0;\;11]$ beschrieben.
Dabei bezeichnen $x$ die Produktionsmenge in Mengeneinheiten (ME) und $K(x)$ die Gesamtkosten in Geldeinheiten (GE). Der Verkaufspreis beträgt 50GE.
Der Erlös ist das Produkt aus Verkaufspreis und Verkaufsmenge.
Das Schaubild der Funktion $K$ ist $SK$.
1.1
Zeichnen Sie das Schaubild $SK$.
Prüfen Sie, ob eine größere Produktionsmenge stets auch mit höheren Gesamtkosten verbunden ist.
(4P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 1  Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Gesamtkosten.
Die Gewinnzone ist der Bereich, in dem die Produktionsmenge liegen muss, damit das Unternehmen keinen Verlust macht.
Berechnen Sie die Gewinnzone und den maximalen Gewinn.
Prüfen Sie, ob der mittlere Gewinn im Bereich der Gewinnzone 50% des maximalen Gewinns übersteigt.
(7P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 1  Aufgabe entfällt ab 2017
1.3
Die sogenannte „langfristige Preisuntergrenze“ entspricht der Steigung der Tangente an $SK$, die durch den Ursprung verläuft.
Zeichnen Sie diese Tangente ein.
Ermitteln Sie rechnerisch die „langfristige Preisuntergrenze“.
(4P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 1  Aufgabe entfällt ab 2017

(15P)
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1.1
$\blacktriangleright$ Zeichnen des Schaubildes $\boldsymbol{SK}$
Gegeben ist die Funktion $K$, die die Gesamtkosten bei der Herstellung eines Produktes beschreibt. Ihr Funktionsterm lautet:
$\boldsymbol{K(x)=x^3 - 10 \cdot x^2+40\cdot x+10},$${\; x \in \left[0;11\right]}$
Deine Aufgabe ist es, das Schaubild der Funktion $K$ zu skizzieren. Laut Aufgabenstellung ist die betrachtete Funktion $K$ nur für $\boldsymbol{x \in \left[0;11\right]}$ definiert und ist damit auch nur in diesem Intervall zu skizzieren.
Um das Schaubild $SK$ zu zeichnen, kannst du dir die zugehörige Wertetabelle anschauen.
$\blacktriangleright$ Prüfen der Behauptung
Gegeben ist folgende Behauptung:
„Eine größere Produktionsmenge ist stets mit höheren Gesamtkosten verbunden.“
Damit bei einer größeren Produktionsmenge auch die Gesamtkosten steigen, muss die Funktion $K$ streng monoton steigend sein. Damit eine Funktion $f$ streng monoton steigend ist, muss folgende Bedingung erfüllt werden:
$\boldsymbol{0<f'(x)}$
Um zu überprüfen, ob die Gesamtkosten bei zunehmender Produktionsmenge ansteigen, kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Bilde die Ableitung der Funktion $K$.
  • Überprüfe die Bedingung für strenge Monotonie $\boldsymbol{0<K'(x)}$.
1.2
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Gewinnzone
Der Gewinn ist die Differenz aus dem Erlös und den Gesamtkosten. Die Gesamtkosten werden laut Aufgabentext durch die Funktion $K$ beschrieben:
$\boldsymbol{K(x)=x^3 - 10 \cdot x^2+40\cdot x+100},$${\;x \in \left[0;11\right] }$
Der Erlös $E$ entspricht dem Produkt von Verkaufspreis und Verkaufsmenge. Der Verkaufspreis beträgt $50$ GE pro verkaufter Einheit. Damit gilt für die Funktion $E$, die den Erlös beschreibt:
$\boldsymbol{E(x)=50 \cdot x }$
Damit kannst du den Gewinn $G$ folgendermaßen angeben:
$\boldsymbol{G(x)=E(x)-K(x) =50 \cdot x - (x^3 - 10 \cdot x^2+40\cdot x+100)}$$\boldsymbol{=-x^3 + 10 \cdot x^2+10\cdot x-100}$
$\boldsymbol{G(x)=E(x)-K(x)}$
Um die gesuchte Gewinnzone zu bestimmen, hast du zwei Möglichkeiten:
  • Entweder: Betrachte die Funktion $G$, die den Gewinn beschreibt. Damit das Unternehmen Gewinn nach dieser Funktion macht, musst du das Intervall der Funktion bestimmen, bei dem die Funktionswerte über Null liegen. Berechne dazu die Nullstellen der Gewinnfunktion $G$.
  • Oder: Bestimme die Schnittpunkte der Graphen der Funktion $K$ und der Funktion $E$. Wenn der Erlös $E$ größer als die Gesamtkosten ist, macht das Unternehmen Gewinn.
$\blacktriangleright$ Berechnen des maximalen Gewinns
Weiterhin verlangt die Aufgabenstellung den maximalen Gewinn zu ermitteln.
Den maximalen Gewinn erhältst du, indem du das Maximum der Funktion $G$ bestimmst. Der Funktionsterm von $G$ hast du zuvor wie folgt aufgestellt:
$\boldsymbol{{G(x)=E(x)-K(x) =-x^3 + 10 \cdot x^2+10\cdot x-100}}$
$\boldsymbol{{G(x)=E(x)-K(x)}}$
Um den maximalen Gewinn zu berechnen, untersuchst du die Funktion auf Maximalstellen im Intervall $x \in \left[0;11\right]$. Der maximale Gewinn entspricht der $y$–Koordinate des Hochpunktes.
Für eine Maximalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_M)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_M)<0}$
$\blacktriangleright$ Überprüfen, ob der mittlere Gewinn $\boldsymbol{50\,\%}$ übersteigt
Der mittlere Gewinn $\overline{G}$ entspricht gerade dem gesamten Gewinn $\boldsymbol{\displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{10}G(x)\mathrm dx}$ dividiert durch die Länge des Intervalls, in welchem Gewinn gemacht wird, also $\left[\sqrt{10};10\right]$. In mathematischen Symbolen kannst du den mittleren Gewinn wie folgt ausdrücken:
$\overline{G}=\dfrac{1}{10-\sqrt{10}} \cdot \displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{10}G(x)\mathrm dx$
$\overline{G}=\dfrac{1}{10-\sqrt{10}} \cdot \displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{10}G(x)\mathrm dx$
Um zu überprüfen, ob der mittlere Gewinn 50 % des maximalen Gewinns übersteigt, kannst du die Prozentformel verwenden:
$p\,\%=\dfrac{W}{G}\cdot100\,\%$
$p\,\%=\dfrac{W}{G}\cdot100\,\%$
Dabei ist $p$ der Prozentsatz, $W$ der Prozentwert und $G$ der Grundwert.
1.3
$\blacktriangleright$ Zeichnen der Tangenten für die langfristige Preisuntergrenze
Laut Aufgabenstellung entspricht die „langfristige Preisuntergrenze“ der Steigung der Tangenten, die durch den Ursprung verläuft. Im ersten Schritt sollst du diese Tangente einzeichnen.
Willst du diese Tangente hier zeichnen, so ergänzt du das Schaubild aus Aufgabenteil 1.1. Setze mit deinem Geodreieck im Ursprung an und verschiebe dieses so lange, bis es tangential an $SK$ anliegt.
$\blacktriangleright$ Rechnerisches Bestimmen der langfristigen Preisuntergrenze
Weiterhin sollst du in diesem Aufgabenteil die langfristige Preisuntergrenze rechnerisch bestimmen. Von oben weißt du, dass die langfristige Preisuntergrenze der Steigung der Tangenten an $SK$, die durch den Ursprung verläuft, entspricht.
Die allgemeine Tangentengleichung einer Tangenten $t$ an de Graphen einer Funktion $f$ lautet:
$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$
$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$
Dabei entspricht …
  • $x_0$ der Stelle, an der die Tangente $t$ an den Graphen angelegt werden soll.
  • $f'(x_0)$ der Steigung an besagter Stelle.
  • $x$ der Veränderlichen.
Bevor du die hier gesuchte Steigung berechnen kannst, musst du die Stelle $x_0$, bei welcher die Tangente an den Graphen von $K$ angelegt wird, bestimmen. Da du weißt, dass die Tangente in jedem Fall durch den Ursprung verläuft, kannst du dessen Koordinaten verwenden, um $x_0$ zu berechnen. Hast du $x_0$ ermittelt, so kannst du die langfristige Preisuntergrenze bestimmen.
Setzt du $K$ und $O(0 \mid 0)$ in die Gleichung für $t$ ein, so sollte diese hier wie folgt aussehen:
$\boldsymbol{0=t(0)} = {K'(x_0) \cdot (0 - x_0) +K(x_0)}$
Setze weiterhin den Term der Funktion $K$ ein und löse diese Gleichung nach $x_0$ auf, um die Stelle zu bestimmen, an welcher die Tangente angelegt werden soll.
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1.1
$\blacktriangleright$ Zeichnen des Schaubildes $\boldsymbol{SK}$
Gegeben ist die Funktion $K$, die die Gesamtkosten bei der Herstellung eines Produktes beschreibt. Ihr Funktionsterm lautet:
$\boldsymbol{K(x)=x^3 - 10 \cdot x^2+40\cdot x+100},$${\;x \in \left[0;11\right]}$
Deine Aufgabe ist es, das Schaubild der Funktion $K$ zu skizzieren. Laut Aufgabenstellung ist die betrachtete Funktion $K$ nur für $\boldsymbol{x \in \left[0;11\right]}$ definiert und ist damit auch nur in diesem Intervall zu skizzieren.
Um das Schaubild $SK$ zu zeichnen, kannst du dir die zugehörige Wertetabelle anschauen. Gehe dazu in den Graph–Modus und gib den Funktionsterm $K(x)$ ein. Um die zugehörige Wertetabelle anzeigen zu lassen, wähle TABLE aus.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Nach der Hilfestellung von oben sollte dein Schaubild so aussehen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
$\blacktriangleright$ Prüfen der Behauptung
Gegeben ist folgende Behauptung:
„Eine größere Produktionsmenge ist stets mit höheren Gesamtkosten verbunden.“
Damit bei einer größeren Produktionsmenge auch die Gesamtkosten steigen, muss die Funktion $K$ streng monoton steigend sein. Damit eine Funktion $f$ streng monoton steigend ist, muss folgende Bedingung erfüllt werden:
$\boldsymbol{0<f'(x)}$
Um zu überprüfen, ob die Gesamtkosten bei zunehmender Produktionsmenge ansteigen, kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Bilde die Ableitung der Funktion $K$.
  • Überprüfe die Bedingung für strenge Monotonie $\boldsymbol{0<K'(x)}$.
1. Schritt: Ableitung der Funktion $\boldsymbol{K}$ bilden
Damit du die Bedingung für strenge Monotonie überprüfen kannst, musst du zunächst die erste Ableitung der Funktion $K$ bilden:
$\begin{array}{rcll} K(x)&=&x^3 - 10 \cdot x^2+40\cdot x+100\\ K'(x)&=&3 \cdot x^2 - 10 \cdot 2\cdot x^1+40\\ &=&3 \cdot x^2 - 20\cdot x +40\\ \end{array}$
2. Schritt: Bedingung für strenge Monotonie überprüfen
Damit strenge Monotonie vorliegt, muss $\boldsymbol{0<K'(x)}$ gelten. Um das zu überprüfen, kannst du die Funktion $K'$ in deinem GTR zeichnen lassen und auf Nullstellen oder negative Funktionswerte im Intervall $\left[0;11\right]$ untersuchen.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Du kannst erkennen, dass weder negative Funktionswerte noch Nullstellen vorliegen. Damit ist die Bedingung $0<K'(x)$ erfüllt und die Funktion $K$ ist streng monoton steigend.
Die Behauptung „Eine größere Produktionsmenge ist stets mit höheren Gesamtkosten verbunden.“ ist damit wahr.
1.2
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Gewinnzone
Der Gewinn ist die Differenz aus dem Erlös und den Gesamtkosten. Die Gesamtkosten werden laut Aufgabentext durch die Funktion $K$ beschrieben:
$\boldsymbol{K(x)=x^3 - 10 \cdot x^2+40\cdot x+100},$${\;x \in \left[0;11\right] }$
Der Erlös $E$ entspricht dem Produkt von Verkaufspreis und Verkaufsmenge. Der Verkaufspreis beträgt $50$ GE pro verkaufter Einheit. Damit gilt für die Funktion $E$, die den Erlös beschreibt:
$\boldsymbol{E(x)=50 \cdot x }$
Damit kannst du den Gewinn $G$ folgendermaßen angeben:
$\boldsymbol{G(x)=E(x)-K(x) =50 \cdot x - (x^3 - 10 \cdot x^2+40\cdot x+100)}$$\boldsymbol{=-x^3 + 10 \cdot x^2+10\cdot x-100}$
$\boldsymbol{G(x)=E(x)-K(x) =…}$
Um die gesuchte Gewinnzone zu bestimmen, hast du zwei Möglichkeiten:
  • Entweder: Betrachte die Funktion $G$, die den Gewinn beschreibt. Damit das Unternehmen Gewinn nach dieser Funktion macht, musst du das Intervall der Funktion bestimmen, bei dem die Funktionswerte über Null liegen. Berechne dazu die Nullstellen der Gewinnfunktion $G$.
  • Oder: Bestimme die Schnittpunkte der Graphen der Funktion $K$ und der Funktion $E$. Wenn der Erlös $E$ größer als die Gesamtkosten ist, macht das Unternehmen Gewinn.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Nullstellen von $\boldsymbol{G(x)}$ ermitteln
Die Nullstellen der Funktion $G(x)$ kannst du mit deinem GTR bestimmen. Gehe dazu in den Graph–Modus und gib den Term der Funktion $G$ ein. Lass anschließend das zugehörige Schaubild zeichnen und bestimme dann mit Hilfe von
menu $\to$ CALC $\to$ 2: zero
die Nullstellen der Funktion.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die Nullstellen liegen bei $x_1=-\sqrt{10}$, $x_2=\sqrt{10}$ und $x_3=10$. Da die Nullstelle $x_1=-\sqrt{10}$ nicht im Intervall $\left[0;11\right]$ liegt, kannst du diese Lösung vernachlässigen.
Folglich liegt die Gewinnzone zwischen den Produktionsmengen von $\sqrt{10}$ und $10$ Mengeneinheiten.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Schnittpunkt von $\boldsymbol{E(x)}$ und $\boldsymbol{K(x)}$ bestimmen
Den Schnittpunkt der Graphen der Funktionen $K$ und $E$ kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen. Wähle dazu den Befehl
menu $\to$ CALC $\to$ 5: intersect
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die Schnittpunkte liegen bei $x_1=-\sqrt{10}$, $x_2=\sqrt{10}$ und $x_3=10$. Der Wert von $x_1$ liegt jedoch nicht im vorgegebenen Intervall, denn für $x$ muss $x \in \left[0;11 \right]$ gelten.
Folglich liegt die Gewinnzone zwischen den Produktionsmengen von $\sqrt{10}$ und $10$ Mengeneinheiten.
$\blacktriangleright$ Berechnen des maximalen Gewinns
Weiterhin verlangt die Aufgabenstellung den maximalen Gewinn zu ermitteln.
Den maximalen Gewinn erhältst du, indem du das Maximum der Funktion $G$ bestimmst. Der Funktionsterm von $G$ hast du zuvor wie folgt aufgestellt:
$\boldsymbol{{G(x)=E(x)-K(x) =-x^3 + 10 \cdot x^2+10\cdot x-100}}$
$\boldsymbol{{G(x)=E(x)-K(x)}}$
Um den maximalen Gewinn zu berechnen, untersuchst du die Funktion auf Maximalstellen im Intervall $x \in \left[0;11\right]$. Der maximale Gewinn entspricht der $y$–Koordinate des Hochpunktes.
Für eine Maximalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_M)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_M)<0}$
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung $\boldsymbol{f'(x_M)=0}$ zu überprüfen, benötigst du zunächst die erste Ableitung der Funktion $G$:
$\begin{array}{rcll} G(x)&=&-x^3 + 10 \cdot x^2+10\cdot x-100\\ G'(x)&=&-3 \cdot x^2 + 10 \cdot 2 \cdot x +10\\ &=&-3 \cdot x^2 + 20\cdot x +10\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} G'(x)&=&-3 \cdot x^2 + 20\cdot x +10\\ \end{array}$
Überprüfe nun, für welche Stellen $\boldsymbol{f'(x_M)=0}$ gilt, indem du die erste Ableitung in deinem GTR zeichnen lässt und die Nullstelle über menu $\to$ CALC $\to$ 2: zero bestimmst.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Der GTR liefert dir potentielle Maximalstellen an $x_1=\approx -0,467$ und $x_2\approx 7,134$. Der Wert von $x_1$ liegt nicht im Intervall $\left[0;11\right]$, daher kannst du den Wert von $x_1$ vernachlässigen und für $\boldsymbol{x_2\approx 7,134}$ die hinreichende Bedingung überprüfen.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Um die hinreichende Bedingung $\boldsymbol{f''(x_M)<0}$ zu überprüfen, benötigst du die zweite Ableitung der Funktion $G$:
$\begin{array}{rcll} G'(x)&=&-3 \cdot x^2 + 20\cdot x +10\\ G''(x)&=&-3\cdot 2 \cdot x + 20\\ &=&-6 \cdot x + 20\\ \end{array}$
Überprüfen der hinreichenden Bedingung liefert:
$\begin{array}{rcll} G''(x_2\approx 7,134)&=&-6 \cdot 7,134 + 20\\ &\approx&-22,804 <0\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} G&\approx&-22,804 <0\\ \end{array}$
Damit ist auch die hinreichende Bedingung erfüllt und es liegt eine Maximalstelle an $x_2$ vor.
Durch Einsetzen von $x_2$ in die Funktionsgleichung erhältst du den den Hochpunkt des Graphen:
$\begin{array}{rcll} G(x_2=7,134)&=&-7,134^3 + 10 \cdot 7,134^2+10\cdot 7,134-100\\ &\approx& 117,2\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} G(x_2=7,134)&\approx& 117,2\\ \end{array}$
Der Graph hat einen Hochpunkt $H$ mit den Koordinaten $\boldsymbol{H(7,13 \mid 117,2)}$.
Der maximale Gewinn beträgt demnach ungefähr $\boldsymbol{117}$ Geldeinheiten.
$\blacktriangleright$ Überprüfen, ob der mittlere Gewinn $\boldsymbol{50\,\%}$ übersteigt
Der mittlere Gewinn $\overline{G}$ entspricht gerade dem gesamten Gewinn $\boldsymbol{\displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{10}G(x)\mathrm dx}$ dividiert durch die Länge des Intervalls, in welchem Gewinn gemacht wird, also $\left[\sqrt{10};10\right]$. In mathematischen Symbolen kannst du den mittleren Gewinn wie folgt ausdrücken:
$\overline{G}=\dfrac{1}{10-\sqrt{10}} \cdot \displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{10}G(x)\mathrm dx$
Um zu überprüfen, ob der mittlere Gewinn 50 % des maximalen Gewinns übersteigt, kannst du die Prozentformel verwenden:
$p\,\%=\dfrac{W}{G}\cdot100\,\%$
Dabei ist $p$ der Prozentsatz, $W$ der Prozentwert und $G$ der Grundwert.
1. Schritt: Mittlerer Gewinn berechnen
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Den gesamten Gewinn kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen. Wähle dazu den Befehl
menu $\to$ CALC $\to$ 7: $\int\;f(x)dx$
aus und integriere die Funktion $G$ über dem Intervall in dem Gewinn gemacht wird, also $\left[\sqrt{10};10\right]$.
Der GTR liefert dir, dass der gesamte Gewinn 519,15 Geldeinheiten entspricht. Daraus kannst du den mittleren Gewinn $\overline{G}$ berechnen:
$\begin{array}{rcll} \overline{G}&=&\dfrac{1}{10-\sqrt{10}} \cdot \displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{10}G(x)\mathrm dx\\ &=&\dfrac{1}{10-\sqrt{10}} \cdot 519,15\\ &\approx&75,9\\ \end{array}$
Der mittlerer Gewinn $\overline{G}$ beträgt folglich $75,9$ Geldeinheiten.
2. Schritt: Überprüfen, ob der mittlere Gewinn $\boldsymbol{50\,\%}$ übersteigt
Um zu prüfen, ob der mittlere Gewinn $50\,\%$ des maximalen Gewinns übersteigt, setzt du die Werte in die Prozentformel ein. Der mittlere Gewinn $\overline{G}$ entspricht dabei dem Prozentwert und der maximale Gewinn dem Grundwert.
$\begin{array}{rcll} p\,\%&=&\dfrac{W}{G}\cdot100\,\%\\ p\,\%&=&\dfrac{75,9}{117,2}\cdot100\,\%\\ p\,\%&=&64,8\,\% >50\,\%\\ \end{array}$
Der mittlere Gewinn übersteigt $50\,\%$ des maximalen Gewinns.
1.3
$\blacktriangleright$ Zeichnen der Tangenten für die langfristige Preisuntergrenze
Laut Aufgabenstellung entspricht die „langfristige Preisuntergrenze“ der Steigung der Tangenten, die durch den Ursprung verläuft. Im ersten Schritt sollst du diese Tangente einzeichnen.
Willst du diese Tangente hier zeichnen, so ergänzt du das Schaubild aus Aufgabenteil 1.1. Setze mit deinem Geodreieck im Ursprung an und verschiebe dieses so lange, bis es tangential an $SK$ anliegt.
Dein Schaubild sollte hier so aussehen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
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$\blacktriangleright$ Rechnerisches Bestimmen der langfristigen Preisuntergrenze
Weiterhin sollst du in diesem Aufgabenteil die langfristige Preisuntergrenze rechnerisch bestimmen. Von oben weißt du, dass die langfristige Preisuntergrenze der Steigung der Tangenten an $SK$, die durch den Ursprung verläuft, entspricht.
Die allgemeine Tangentengleichung einer Tangenten $t$ an de Graphen einer Funktion $f$ lautet:
$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$
Dabei entspricht …
  • $x_0$ der Stelle, an der die Tangente $t$ an den Graphen angelegt werden soll.
  • $f'(x_0)$ der Steigung an besagter Stelle.
  • $x$ der Veränderlichen.
Bevor du die hier gesuchte Steigung berechnen kannst, musst du die Stelle $x_0$, bei welcher die Tangente an den Graphen von $K$ angelegt wird, bestimmen. Da du weißt, dass die Tangente in jedem Fall durch den Ursprung verläuft, kannst du dessen Koordinaten verwenden, um $x_0$ zu berechnen. Hast du $x_0$ ermittelt, so kannst du die langfristige Preisuntergrenze bestimmen.
Setzt du $K$ und $O(0 \mid 0)$ in die Gleichung für $t$ ein, so sollte diese hier wie folgt aussehen:
$\boldsymbol{0=t(0) = K'(x_0) \cdot (0 - x_0) +K(x_0)}$
Setze weiterhin den Term der Funktion $K$ ein und löse diese Gleichung nach $x_0$ auf, um die Stelle zu bestimmen, an welcher die Tangente angelegt werden soll:
$\begin{array}{rcl} 0&=& K'(x_0) \cdot (0 - x_0) +K(x_0)\\ &=& (3 \cdot x_0^2 - 20\cdot x_0 +40) \cdot (- x_0) + x_0^3 - 10 \cdot x_0^2+40\cdot x_0+100\\ &=& -3 \cdot x_0^3 + 20\cdot x_0^2 -40\cdot x_0 + x_0^3 - 10 \cdot x_0^2+40\cdot x_0+100\\ &=& -2 \cdot x_0^3 + 10\cdot x_0^2 +100\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} 0&=& -2 \cdot x_0^3 + 10\cdot x_0^2 +100\\ \end{array}$
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Ab diesem Punkt kannst du mit dem GTR arbeiten. Interpretiere die rechte Seite der Gleichung als neue Funktion und untersuche diese auf Nullstellen. Denn gerade die Nullstellen sind die Lösungen der oben stehenden Gleichung.
Der GTR liefert dir, dass die Gleichung für $x_0 \approx 6,271$ gelöst wird. Die Tangente muss also bei $\boldsymbol{x_0 \approx 6,271}$ an den Graphen von $K$ angelegt werden.
Da die Steigung an der Stelle $x_0 \approx 6,271$ der gesuchten langfristige Preisuntergrenze entspricht, kannst du diese wie folgt berechnen:
$\begin{array}{rcll} K'(x_0)&=&3 \cdot 6,271^2 - 20\cdot 6,271 +40\\ &\approx&32,56\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} K'(x_0)&\approx&32,56\\ \end{array}$
Die langfristige Preisuntergrenze liegt demnach bei 32,56 Geldeinheiten.
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1.1
$\blacktriangleright$ Zeichnen des Schaubildes $\boldsymbol{SK}$
Gegeben ist die Funktion $K$, die die Gesamtkosten bei der Herstellung eines Produktes beschreibt. Ihr Funktionsterm lautet:
$\boldsymbol{K(x)=x^3 - 10 \cdot x^2+40\cdot x+100},$${\;x \in \left[0;11\right]}$
Deine Aufgabe ist es, das Schaubild der Funktion $K$ zu skizzieren. Laut Aufgabenstellung ist die betrachtete Funktion $K$ nur für $\boldsymbol{x \in \left[0;11\right]}$ definiert und ist damit auch nur in diesem Intervall zu skizzieren.
Um das Schaubild $SK$ zu zeichnen, kannst du dir die zugehörige Wertetabelle anschauen. Gehe dazu in den Graph–Modus und gib den Funktionsterm $K(x)$ ein. Um die zugehörige Wertetabelle anzeigen zu lassen, wähle TABL aus.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Nach der Hilfestellung von oben sollte dein Schaubild so aussehen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
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$\blacktriangleright$ Prüfen der Behauptung
Gegeben ist folgende Behauptung:
„Eine größere Produktionsmenge ist stets mit höheren Gesamtkosten verbunden.“
Damit bei einer größeren Produktionsmenge auch die Gesamtkosten steigen, muss die Funktion $K$ streng monoton steigend sein. Damit eine Funktion $f$ streng monoton steigend ist, muss folgende Bedingung erfüllt werden:
$\boldsymbol{0<f'(x)}$
Um zu überprüfen, ob die Gesamtkosten bei zunehmender Produktionsmenge ansteigen, kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Bilde die Ableitung der Funktion $K$.
  • Überprüfe die Bedingung für strenge Monotonie $\boldsymbol{0<K'(x)}$.
1. Schritt: Ableitung der Funktion $\boldsymbol{K}$ bilden
Damit du die Bedingung für strenge Monotonie überprüfen kannst, musst du zunächst die erste Ableitung der Funktion $K$ bilden:
$\begin{array}{rcll} K(x)&=&x^3 - 10 \cdot x^2+40\cdot x+100\\ K'(x)&=&3 \cdot x^2 - 10 \cdot 2\cdot x^1+40\\ &=&3 \cdot x^2 - 20\cdot x +40\\ \end{array}$
2. Schritt: Bedingung für strenge Monotonie überprüfen
Damit strenge Monotonie vorliegt, muss $\boldsymbol{0<K'(x)}$ gelten. Um das zu überprüfen, kannst du die Funktion $K'$ in deinem GTR zeichnen lassen und auf Nullstellen oder negative Funktionswerte im Intervall $\left[0;11\right]$ untersuchen.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
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Du kannst erkennen, dass weder negative Funktionswerte noch Nullstellen vorliegen. Damit ist die Bedingung $0<K'(x)$ erfüllt und die Funktion $K$ ist streng monoton steigend.
Die Behauptung „Eine größere Produktionsmenge ist stets mit höheren Gesamtkosten verbunden.“ ist damit wahr.
1.2
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Gewinnzone
Der Gewinn ist die Differenz aus dem Erlös und den Gesamtkosten. Die Gesamtkosten werden laut Aufgabentext durch die Funktion $K$ beschrieben:
$\boldsymbol{K(x)=x^3 - 10 \cdot x^2+40\cdot x+100},$${\;x \in \left[0;11\right] }$
Der Erlös $E$ entspricht dem Produkt von Verkaufspreis und Verkaufsmenge. Der Verkaufspreis beträgt $50$ GE pro verkaufter Einheit. Damit gilt für die Funktion $E$, die den Erlös beschreibt:
$\boldsymbol{E(x)=50 \cdot x }$
Damit kannst du den Gewinn $G$ folgendermaßen angeben:
$\boldsymbol{G(x)=E(x)-K(x) =50 \cdot x - (x^3 - 10 \cdot x^2+40\cdot x+100)}$$\boldsymbol{=-x^3 + 10 \cdot x^2+10\cdot x-100}$
$\boldsymbol{G(x)=E(x)-K(x)}$
Um die gesuchte Gewinnzone zu bestimmen, hast du zwei Möglichkeiten:
  • Entweder: Betrachte die Funktion $G$, die den Gewinn beschreibt. Damit das Unternehmen Gewinn nach dieser Funktion macht, musst du das Intervall der Funktion bestimmen, bei dem die Funktionswerte über Null liegen. Berechne dazu die Nullstellen der Gewinnfunktion $G$.
  • Oder: Bestimme die Schnittpunkte der Graphen der Funktion $K$ und der Funktion $E$. Wenn der Erlös $E$ größer als die Gesamtkosten ist, macht das Unternehmen Gewinn.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Nullstellen von $\boldsymbol{G(x)}$ ermitteln
Die Nullstellen der Funktion $G(x)$ kannst du mit deinem GTR bestimmen. Gehe dazu in den Graph–Modus und gib den Term der Funktion $G$ ein. Lass anschließend das zugehörige Schaubild zeichnen und bestimme dann mit Hilfe von
F5: G–Solve $\to$ F1: ROOT
die Nullstellen der Funktion.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
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Die Nullstellen liegen bei $x_1=-\sqrt{10}$, $x_2=\sqrt{10}$ und $x_3=10$. Da die Nullstelle $x_1=-\sqrt{10}$ nicht im Intervall $\left[0;11\right]$ liegt, kannst du diese Lösung vernachlässigen.
Folglich liegt die Gewinnzone zwischen den Produktionsmengen von $\sqrt{10}$ und $10$ Mengeneinheiten.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Schnittpunkt von $\boldsymbol{E(x)}$ und $\boldsymbol{K(x)}$ bestimmen
Den Schnittpunkt der Graphen der Funktionen $K$ und $E$ kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen. Wähle dazu den Befehl
F5: G–Solve $\to$ F5: ISCT
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die Schnittpunkte liegen bei $x_1=-\sqrt{10}$, $x_2=\sqrt{10}$ und $x_3=10$. Der Wert von $x_1$ liegt jedoch nicht im vorgegebenen Intervall, denn für $x$ muss $x \in \left[0;11 \right]$ gelten.
Folglich liegt die Gewinnzone zwischen den Produktionsmengen von $\sqrt{10}$ und $10$ Mengeneinheiten.
$\blacktriangleright$ Berechnen des maximalen Gewinns
Weiterhin verlangt die Aufgabenstellung den maximalen Gewinn zu ermitteln.
Den maximalen Gewinn erhältst du, indem du das Maximum der Funktion $G$ bestimmst. Der Funktionsterm von $G$ hast du zuvor wie folgt aufgestellt:
$\boldsymbol{{G(x)=E(x)-K(x) =-x^3 + 10 \cdot x^2+10\cdot x-100}}$
$\boldsymbol{{G(x)=E(x)-K(x)}}$
Um den maximalen Gewinn zu berechnen, untersuchst du die Funktion auf Maximalstellen im Intervall $x \in \left[0;11\right]$. Der maximale Gewinn entspricht der $y$–Koordinate des Hochpunktes.
Für eine Maximalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_M)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_M)<0}$
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung $\boldsymbol{f'(x_M)=0}$ zu überprüfen, benötigst du zunächst die erste Ableitung der Funktion $G$:
$\begin{array}{rcll} G(x)&=&-x^3 + 10 \cdot x^2+10\cdot x-100\\ G'(x)&=&-3 \cdot x^2 + 10 \cdot 2 \cdot x +10\\ &=&-3 \cdot x^2 + 20\cdot x +10\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} G'(x)&=&-3 \cdot x^2 + 20\cdot x +10\\ \end{array}$
Überprüfe nun, für welche Stellen $\boldsymbol{f'(x_M)=0}$ gilt, indem du die erste Ableitung in deinem GTR zeichnen lässt und die Nullstelle über F5: G-Solve $\to$ F1: ROOT bestimmst.
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
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Der GTR liefert dir potentielle Maximalstellen an $x_1=\approx -0,467$ und $x_2\approx 7,134$. Der Wert von $x_1$ liegt nicht im Intervall $\left[0;11\right]$, daher kannst du den Wert von $x_1$ vernachlässigen und für $\boldsymbol{x_2\approx 7,134}$ die hinreichende Bedingung überprüfen.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Um die hinreichende Bedingung $\boldsymbol{f''(x_M)<0}$ zu überprüfen, benötigst du die zweite Ableitung der Funktion $G$:
$\begin{array}{rcll} G'(x)&=&-3 \cdot x^2 + 20\cdot x +10\\ G''(x)&=&-3\cdot 2 \cdot x + 20\\ &=&-6 \cdot x + 20\\ \end{array}$
Überprüfen der hinreichenden Bedingung liefert:
$\begin{array}{rcll} G''(x_2\approx 7,134)&=&-6 \cdot 7,134 + 20\\ &\approx&-22,804 <0\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} G''(x_2\approx 7,134)&=…\\ \end{array}$
Damit ist auch die hinreichende Bedingung erfüllt und es liegt eine Maximalstelle an $x_2$ vor.
Durch Einsetzen von $x_2$ in die Funktionsgleichung erhältst du den Hochpunkt des Graphen:
$\begin{array}{rcll} G(x_2=7,134)&=&-7,134^3 + 10 \cdot 7,134^2+10\cdot 7,134-100\\ &\approx& 117,2\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} G(x_2=7,134)&\approx& 117,2\\ \end{array}$
Der Graph hat einen Hochpunkt $H$ mit den Koordinaten $\boldsymbol{H(7,13 \mid 117,2)}$.
Der maximale Gewinn beträgt demnach ungefähr $\boldsymbol{117}$ Geldeinheiten.
$\blacktriangleright$ Überprüfen, ob der mittlere Gewinn $\boldsymbol{50\,\%}$ übersteigt
Der mittlere Gewinn $\overline{G}$ entspricht gerade dem gesamten Gewinn $\boldsymbol{\displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{10}G(x)\mathrm dx}$ dividiert durch die Länge des Intervalls, in welchem Gewinn gemacht wird, also $\left[\sqrt{10};10\right]$. In mathematischen Symbolen kannst du den mittleren Gewinn wie folgt ausdrücken:
$\overline{G}=\dfrac{1}{10-\sqrt{10}} \cdot \displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{10}G(x)\mathrm dx$
Um zu überprüfen, ob der mittlere Gewinn 50 % des maximalen Gewinns übersteigt, kannst du die Prozentformel verwenden:
$p\,\%=\dfrac{W}{G}\cdot100\,\%$
Dabei ist $p$ der Prozentsatz, $W$ der Prozentwert und $G$ der Grundwert.
1. Schritt: Mittlerer Gewinn berechnen
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
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Den gesamten Gewinn kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen. Wähle dazu den Befehl
F5: G–Solve $\to$ F6: $\blacktriangleright$ $\to$ F3: $\int\ dx$
aus und integriere die Funktion $G$ über dem Intervall in dem Gewinn gemacht wird, also $\left[\sqrt{10};10\right]$.
Der GTR liefert dir, dass der gesamte Gewinn 519,15 Geldeinheiten entspricht. Daraus kannst du den mittleren Gewinn $\overline{G}$ berechnen:
$\begin{array}{rcll} \overline{G}&=&\dfrac{1}{10-\sqrt{10}} \cdot \displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{10}G(x)\mathrm dx\\ &=&\dfrac{1}{10-\sqrt{10}} \cdot 519,15\\ &\approx&75,9\\ \end{array}$
Der mittlerer Gewinn $\overline{G}$ beträgt folglich $75,9$ Geldeinheiten.
2. Schritt: Überprüfen, ob der mittlere Gewinn $\boldsymbol{50\,\%}$ übersteigt
Um zu prüfen, ob der mittlere Gewinn $50\,\%$ des maximalen Gewinns übersteigt, setzt du die Werte in die Prozentformel ein. Der mittlere Gewinn $\overline{G}$ entspricht dabei dem Prozentwert und der maximale Gewinn dem Grundwert.
$\begin{array}{rcll} p\,\%&=&\dfrac{W}{G}\cdot100\,\%\\ p\,\%&=&\dfrac{75,9}{117,2}\cdot100\,\%\\ p\,\%&=&64,8\,\% >50\,\%\\ \end{array}$
Der mittlere Gewinn übersteigt $50\,\%$ des maximalen Gewinns.
1.3
$\blacktriangleright$ Zeichnen der Tangenten für die langfristige Preisuntergrenze
Laut Aufgabenstellung entspricht die „langfristige Preisuntergrenze“ der Steigung der Tangenten, die durch den Ursprung verläuft. Im ersten Schritt sollst du diese Tangente einzeichnen.
Willst du diese Tangente hier zeichnen, so ergänzt du das Schaubild aus Aufgabenteil 1.1. Setze mit deinem Geodreieck im Ursprung an und verschiebe dieses so lange, bis es tangential an $SK$ anliegt.
Dein Schaubild sollte hier so aussehen:
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$\blacktriangleright$ Rechnerisches Bestimmen der langfristigen Preisuntergrenze
Weiterhin sollst du in diesem Aufgabenteil die langfristige Preisuntergrenze rechnerisch bestimmen. Von oben weißt du, dass die langfristige Preisuntergrenze der Steigung der Tangenten an $SK$, die durch den Ursprung verläuft, entspricht.
Die allgemeine Tangentengleichung einer Tangenten $t$ an de Graphen einer Funktion $f$ lautet:
$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$
Dabei entspricht …
  • $x_0$ der Stelle, an der die Tangente $t$ an den Graphen angelegt werden soll.
  • $f'(x_0)$ der Steigung an besagter Stelle.
  • $x$ der Veränderlichen.
Bevor du die hier gesuchte Steigung berechnen kannst, musst du die Stelle $x_0$, bei welcher die Tangente an den Graphen von $K$ angelegt wird, bestimmen. Da du weißt, dass die Tangente in jedem Fall durch den Ursprung verläuft, kannst du dessen Koordinaten verwenden, um $x_0$ zu berechnen. Hast du $x_0$ ermittelt, so kannst du die langfristige Preisuntergrenze bestimmen.
Setzt du $K$ und $O(0 \mid 0)$ in die Gleichung für $t$ ein, so sollte diese hier wie folgt aussehen:
$\boldsymbol{0=t(0) = K'(x_0) \cdot (0 - x_0) +K(x_0)}$
Setze weiterhin den Term der Funktion $K$ ein und löse diese Gleichung nach $x_0$ auf, um die Stelle zu bestimmen, an welcher die Tangente angelegt werden soll:
$\begin{array}{rcl} 0&=& K'(x_0) \cdot (0 - x_0) +K(x_0)\\ &=& (3 \cdot x_0^2 - 20\cdot x_0 +40) \cdot (- x_0) + x_0^3 - 10 \cdot x_0^2+40\cdot x_0+100\\ &=& -3 \cdot x_0^3 + 20\cdot x_0^2 -40\cdot x_0 + x_0^3 - 10 \cdot x_0^2+40\cdot x_0+100\\ &=& -2 \cdot x_0^3 + 10\cdot x_0^2 +100\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} 0&=& -2 \cdot x_0^3 + 10\cdot x_0^2 +100\\ \end{array}$
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Ab diesem Punkt kannst du mit dem GTR arbeiten. Interpretiere die rechte Seite der Gleichung als neue Funktion und untersuche diese auf Nullstellen. Denn gerade die Nullstellen sind die Lösungen der oben stehenden Gleichung.
Der GTR liefert dir, dass die Gleichung für $x_0 \approx 6,271$ gelöst wird. Die Tangente muss also bei $\boldsymbol{x_0 \approx 6,271}$ an den Graphen von $K$ angelegt werden.
Da die Steigung an der Stelle $x_0 \approx 6,271$ der gesuchten langfristige Preisuntergrenze entspricht, kannst du diese wie folgt berechnen:
$\begin{array}{rcll} K'(x_0)&=&3 \cdot 6,271^2 - 20\cdot 6,271 +40\\ &\approx&32,56\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} K'(x_0)&\approx&32,56\\ \end{array}$
Die langfristige Preisuntergrenze liegt demnach bei 32,56 Geldeinheiten.
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