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1
Die Gesamtkosten eines Unternehmens bei der Herstellung eines Produktes werden durch die Funktion $K$ mit $K(x)=x^{3}-10x^{2}+40x+100\;\,$;   $x\in[0;\;11]$ beschrieben.
Dabei bezeichnen $x$ die Produktionsmenge in Mengeneinheiten (ME) und $K(x)$ die Gesamtkosten in Geldeinheiten (GE). Der Verkaufspreis beträgt 50GE.
Der Erlös ist das Produkt aus Verkaufspreis und Verkaufsmenge.
Das Schaubild der Funktion $K$ ist $SK$.
1.1
Zeichnen Sie das Schaubild $SK$.
Prüfen Sie, ob eine größere Produktionsmenge stets auch mit höheren Gesamtkosten verbunden ist.
(4P)
 Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Gesamtkosten.
Die Gewinnzone ist der Bereich, in dem die Produktionsmenge liegen muss, damit das Unternehmen keinen Verlust macht.
Berechnen Sie die Gewinnzone und den maximalen Gewinn.
Prüfen Sie, ob der mittlere Gewinn im Bereich der Gewinnzone 50% des maximalen Gewinns übersteigt.
(7P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
1.3
Die sogenannte „langfristige Preisuntergrenze“ entspricht der Steigung der Tangente an $SK$, die durch den Ursprung verläuft.
Zeichnen Sie diese Tangente ein.
Ermitteln Sie rechnerisch die „langfristige Preisuntergrenze“.
(4P)
 Aufgabe entfällt ab 2017

(15P)
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