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Lernbereich Abitur bis 2016 (GTR)
Abi 2016
Analysis
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Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
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Wirtschaftliche Anwen...
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Analysis
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Analysis
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Abi 2011
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Abi 2010
Analysis 1
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Lineare Optimierung 1
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Abi 2009
Analysis 1
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Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2

Anwendungsorientierte Aufgaben 2

Aufgaben
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2
In einem chemischen Experiment wird die Reaktionsgeschwindigkeit bei der Reaktion von Zink mit Salzsäure betrachtet. Man gibt Zink in verdünnte Salzsäure. Dabei entstehen unter anderem Zinkionen und Wasserstoff.
2.1
Die Konzentration der Zinkionen in Abhängigkeit von der Zeit wird näherungsweise durch die Funktion $c$ beschrieben:
$c(t)=0,5\cdot (1-\mathrm{e}^{-0,343t})$; $t\geq 0$.
$t$ ist hierbei die Zeit in Minuten, $c(t)$ ist die Konzentration der Zinkionen in Mol pro Liter. Die Reaktionsgeschwindigkeit (gemessen in $\frac{\text{mol}}{l\cdot \text{min}}$) ist die momentane Änderungsrate von $c$.
2.1.1
Zeichnen Sie das Schaubild von $c$ für die ersten 12 Minuten.
Welchem Wert nähert sich die Konzentration im Laufe der Zeit an?
(3P)
 Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
2.1.2
Geben Sie die maximale Reaktionsgeschwindigkeit an.*
Die Messung wird abgebrochen, wenn die Reaktionsgeschwindigkeit unter $0,002 \frac{\text{mol}}{l\cdot \text{min}}$ gefallen ist.
Nach wie vielen Minuten ist dies der Fall?**
(4P)
*
**
 Aufgabe ab 2017 im hilfsmittelfreien Teil oder im Teil mit Hilfsmitteln
 Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
2.2
Bei dem Experiment wird der entstehende Wasserstoff in einem Standzylinder aufgefangen. Bei einer ersten Messung ergeben sich die folgenden Daten für die Zuwachsrate des Wasserstoffvolumens:
Zeit in min123456
Zuwachsrate in $\frac{\text{ml}}{\text{min}}$13106432
Zeit in min123
Zuwachsrate in $\frac{\text{ml}}{\text{min}}$13106
2.2.1
Stellen Sie die Daten in einem Koordinatensystem dar.
Bestimmen Sie eine geeignete Näherungsfunktion für die Zuwachsrate des Wasserstoffvolumens in Abhängigkeit von der Zeit und bewerten Sie deren Güte.
(5P)
 Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
2.2.2
Die momentane Änderungsrate des Wasserstoffvolumens (in $\frac{\text{ml}}{\text{min}})$ wird durch die Funktion $r$ beschrieben:
$r(t)=19\cdot \mathrm{e}^{-0,343\cdot t}$; $t\geq 0$.
Wie viele Minuten dauert es, bis 50 ml Wasserstoff entstanden sind?
(3P)
 Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln

(15P)
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Tipps
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2.1.1
$\blacktriangleright$ Zeichne das Schaubild von $\boldsymbol{c(t)}$
Hier ist es deine Aufgabe, das Schaubild der Funktion $c$ für $0\leq t\leq 12$ Minuten zu zeichnen.
Dafür kannst du den Term der Funktion
$\boldsymbol{c(t) = 0,5\cdot(1-\mathrm{e}^{-0,343t})}$
in den GTR eingeben und dir anschießend die Wertetabelle ausgeben lassen.
Der $x$–Wert in der Tabelle entspricht der Zeit $t$ und der $y$–Wert stellt $c(t)$ dar, also die Konzentration der Zinkionen in Mol pro Liter.
Nun kannst du mit diesen Werten dein Schaubild zeichnen.
$\blacktriangleright$ Bestimme den Näherungswert
In dieser Aufgabe sollst du den Grenzwert der Funktion $c$ bestimmen. Der Näherungswert ist allgemein der Funktionswert, an den sich eine Funktion annähert, sobald man $x \rightarrow \pm \infty$ betrachtet.
Man sagt auch: „Die Funktion konvergiert gegen einen Wert.“
Hierfür musst du eine Grenzwertuntersuchung durchführen.
Betrachte dazu den Term der Funktion $c$ mit:
$\boldsymbol{c(t) = 0,5\cdot(1-\mathrm{e}^{-0,343t})}$
Multipliziere dazu im 1. Schritt die Klammern in $c(t)$ aus. Dadurch teilt sich der Term in einen konstanten Teil (ohne $t$) und in einen exponentiellen Teil auf. Da der exponentielle Teil des Terms in $t$ variabel ist, liegt auf ihm ein besonderes Augenmerk bei der Grenzwertuntersuchung.
Im 2. Schritt lässt du $t$ im Funktionsterm gegen $+\infty$ laufen, d.h. du setzt beliebig große Werte für $t$ ein, und prüfst, wie sich $c(t)$ bei Veränderung von $t$ verhält.
Dadurch kannst du erkennen, gegen welchen Wert $c$ konvergiert, also welchen Wert sie anstrebt.
2.1.2
$\blacktriangleright$ Berechne die maximale Reaktionsgeschwindigkeit
Bei dieser Aufgabe sollst du das Maximum der Reaktionsgeschwindigkeit berechnen.
Die Funktion $c$ beschreibt die Konzentration der Zinkionen in Mol pro Liter.
Die erste Ableitung $\boldsymbol{c'}$ der Funktion entspricht dann folglich der hier zu betrachtenden Reaktionsgeschwindigkeit.
Bilde im 1. Schritt also die benötigten Ableitungen von $\boldsymbol{c(t)}$. Nutze dazu die Kettenregel.
Die maximale Reaktionsgeschwindigkeit stellt das Maximum von $c'$ dar.
Im 2. Schritt wird dann das Maximum von $c'$ bestimmt.
Liegt nun an einer Stelle $x_M$ ein Maximum von $c'$ vor, so müssen dort folgende Bedingungen erfüllt sein:
$ \begin{array}{rll} \text{notwendige Bedingung}:& c''(x_M) = 0 \\ \text{hinreichende Bedingung für Maximum}:& c'''(x_M) < 0 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} c''(x_M) = 0 \\ c'''(x_M) < 0 \end{array} $
Da $c'(t)$ die zu untersuchende Funktion darstellt, musst du nun noch die dritte Ableitung von $c(t)$ bilden.
Bestimme dann mit Hilfe der Bedingungen das Maximum.
Bei dieser Aufgabe hast du eine Intervallgrenze gegeben. Der Graph von $c'$ wird nur für $t\geq0$ betrachtet.
Sobald eine Intervallgrenze gegeben ist, muss untersucht werden, ob an den Intervallsgrenzen ein globales Maximum oder ein globales Minimum vorliegt. Es muss also auf Randextrema untersucht werden.
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen, an dem die Messung abgebrochen wird
Nun sollst du noch den Zeitpunkt bestimmen, an welchem die Messung abgebrochen wird. Dies ist der Zeitpunkt, an dem die Reaktionsgeschwindigkeit unter $0.002\frac{\text{mol}}{\text{l}\cdot\text{min}}$ fällt.
Willst du den Zeitpunkt bestimmen, an welchem die Reaktionsgeschwindigkeit unter $0.002\frac{\text{mol}}{\text{l}\cdot\text{min}}$ fällt, so berechnest du die Stelle, an welcher die Funktion $c'$ diesen Funktionswert annimmt. Verwende dazu deinen GTR.
Hast du die gesuchte Stelle bestimmt, so musst du anschließend zeigen, dass die Reaktionsgeschwindigkeit nach diesem Zeitpunkt noch weiter fällt. Untersuche dazu die Monotonie von $c'$. Da $c''$ die Steigung von $c'$ angibt, musst du diese bei der Untersuchung der Monotonie heranziehen.
2.2.1
$\blacktriangleright$ Wertetabelle im Koordinatensystem darstellen
Bei dieser Aufgabe hast du eine Wertetabelle gegeben, die du in einem Koordinatensystem darstellen sollst.
Die Werte für die Zeit in min stellen die Werte auf $x$–Achse des Koordinatensystems dar. Die Zuwachsrate in $\frac{\text{ml}}{min}$ wird durch die $y$–Achse wiedergegeben.
Zeichne dir so die Punkte in das Koordinatensystem ein.
$\blacktriangleright$ Bestimmen einer Näherungsfunktion
Um eine Näherungsfunktion kannst du mit dem GTR berechnen.
Überprüfe, welche Regression für diese Funktion geeignet ist und welche nicht.
Überlege dir dazu, ob es sich bei der Funktion um eine lineare, quadratische oder exponentielle Funktion handeln könnte.
2.2.2
$\blacktriangleright$ Berechne die Zeit bis $\boldsymbol{50\,\textbf{ml}}$ Wasserstoff entstanden sind
Die Funktion $\boldsymbol{r(t) = 19 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}}$ beschreibt die momentane Änderungsrate des Wasserstoffvolumens in $\frac{ml}{min}$.
Die Stammfunktion $R(T)$ beschreibt somit das Wasserstoffvolumen.
Deine Aufgabe besteht nun darin, zu berechnen, wann $50\,\text{ml}$ Wasserstoff entstanden sind.
Dazu musst du das Integral von $r(t)$ betrachten. Dabei geht es insbesondere darum, die obere Grenze des Integrals so zu bestimmen, dass das Integral den Wert 50 annimmt. Formal muss also gelten:
$50 = \displaystyle\int_{0}^{x_2}\left( r(t) \right) \mathrm dt$
$50 = \displaystyle\int_{0}^{x_2}\left( r(t) \right) \mathrm dt$
Nutze deinen GTR, um diese Gleichung nach der oberen Grenze $x_2$ zu lösen.
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Lösungen TI
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2.1.1
$\blacktriangleright$ Zeichne das Schaubild von $\boldsymbol{c(t)}$
Hier ist es deine Aufgabe, das Schaubild der Funktion $c$ für $0\leq t\leq 12$ Minuten zu zeichnen.
Dafür kannst du den Term der Funktion
$\boldsymbol{c(t) = 0,5\cdot(1-\mathrm{e}^{-0,343t})}$
über Y= in den GTR eingeben und dir anschießend die Wertetabelle ausgeben lassen.
Die Wertetabelle rufst du über 2nd $\to$ GRAPH auf.
Der $x$–Wert in der Tabelle entspricht der Zeit $t$ und der $y$–Wert stellt $c(t)$ dar, also die Konzentration der Zinkionen in Mol pro Liter.
Nun kannst du mit diesen Werten dein Schaubild zeichnen.
Hast du den Graphen gezeichnet sollte er in etwa so aussehen:
$\blacktriangleright$ Bestimme den Näherungswert
In dieser Aufgabe sollst du den Grenzwert der Funktion $c$ bestimmen. Der Näherungswert ist allgemein der Funktionswert, an den sich eine Funktion annähert, sobald man $x \rightarrow \pm \infty$ betrachtet.
Man sagt auch: „Die Funktion konvergiert gegen einen Wert.“
Hierfür musst du eine Grenzwertuntersuchung durchführen.
Betrachte dazu den Term der Funktion $c$ mit:
$\boldsymbol{c(t) = 0,5\cdot(1-\mathrm{e}^{-0,343t})}$
Multipliziere dazu im 1. Schritt die Klammern in $c(t)$ aus. Dadurch teilt sich der Term in einen konstanten Teil (ohne $t$) und in einen exponentiellen Teil auf. Da der exponentielle Teil des Terms in $t$ variabel ist, liegt auf ihm ein besonderes Augenmerk bei der Grenzwertuntersuchung.
Im 2. Schritt lässt du $t$ im Funktionsterm gegen $+\infty$ laufen, d.h. du setzt beliebig große Werte für $t$ ein, und prüfst, wie sich $c(t)$ bei Veränderung von $t$ verhält.
Dadurch kannst du erkennen, gegen welchen Wert $c$ konvergiert, also welchen Wert sie anstrebt.
1. Schritt: Ausmultiplizieren
$\begin{array}{rcl} c(t)&=&0,5\cdot(1-\mathrm{e}^{-0,343t}) \\ &=&0,5-0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t} \end{array}$
Jetzt kannst du nun den linearen Teil ohne $t$ und den exponentiellen Teil mit $t$ ablesen.
Der lineare Teil ist $c_1(t)=0,5$. Dieser bleibt unverändert.
Der exponentielle Teil lautet: $c_2(t)=0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}$. Er verändert sich beim Einsetzen von unterschiedlich großen $t$.
2. Schritt: Grenzwert berechnen
Jetzt kannst du $t \rightarrow \infty$ betrachten. Der lineare und von $t$ unabhängige Teil bleibt dabei unverändert. Da der Exponent der Exponentialfunktion negativ ist und er für $t \to \infty$ unendlich große negative Werte annimmt, strebt der exponentielle Teil der Funktion gegen Null.
Formst du den exponentiellen Teil um, wird dies klarer:
$ 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}\, \mathrel{\widehat{=}} \, 0,5 \cdot \dfrac{1}{\mathrm{e}^{0,343t}} $
Je größer nun $t$ wird, desto kleiner wird der exponentielle Teil, da der Nenner immer Größer wird.
Der exponentielle Teil strebt somit für unendlich große Werte gegen Null.
$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{t\to\infty}c(t)&=&0,5-0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t} \\ &=&0,5-0,5 \cdot 0 \\ &=&0,5-0 \\ &=&0,5 \end{array} $
Der Grenzwert von $c(t)$ beträgt somit $0,5 \,\text{Mol pro Liter}$.
2.1.2
$\blacktriangleright$ Berechne die maximale Reaktionsgeschwindigkeit
Bei dieser Aufgabe sollst du das Maximum der Reaktionsgeschwindigkeit berechnen.
Die Funktion $c$ beschreibt die Konzentration der Zinkionen in Mol pro Liter.
Die erste Ableitung $\boldsymbol{c'}$ der Funktion entspricht dann folglich der hier zu betrachtenden Reaktionsgeschwindigkeit.
Bilde im 1. Schritt also die benötigten Ableitungen von $\boldsymbol{c(t)}$. Nutze dazu die Kettenregel.
Die maximale Reaktionsgeschwindigkeit stellt das Maximum von $c'$ dar.
Im 2. Schritt wird dann das Maximum von $c'$ bestimmt.
Liegt nun an einer Stelle $x_M$ ein Maximum von $c'$ vor, so müssen dort folgende Bedingungen erfüllt sein:
$ \begin{array}{rll} \text{notwendige Bedingung}:& c''(x_M) = 0 \\ \text{hinreichende Bedingung für Maximum}:& c'''(x_M) < 0 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} c''(x_M) = 0 \\ c'''(x_M) < 0 \end{array} $
Da $c'(t)$ die zu untersuchende Funktion darstellt, musst du nun noch die dritte Ableitung von $c(t)$ bilden.
Bestimme dann mit Hilfe der Bedingungen das Maximum.
Bei dieser Aufgabe hast du eine Intervallgrenze gegeben. Der Graph von $c'$ wird nur für $t\geq0$ betrachtet.
Sobald eine Intervallgrenze gegeben ist, muss untersucht werden, ob an den Intervallsgrenzen ein globales Maximum oder ein globales Minimum vorliegt. Es muss also auf Randextrema untersucht werden.
1. Schritt: Ableitungen bestimmen
$\begin{array}{rcll} c(t)&=&0,5-0,5\mathrm{e}^{-0,343t}&\\ c'(t)&=&-0,5 \cdot (-0,343) \mathrm{e}^{-0,343t}&\\ &=&0,1715 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}\\ c''(t)&=&0,1715 \cdot (-0,343) \mathrm{e}^{-0,343t}& \\ &=&-0,0588 \mathrm{e}^{-0,343t}\\ c'''(t)&=&-0,0588245 \cdot (-0,343) \mathrm{e}^{-0,343t}&\\ &=&0,0202 \mathrm{e}^{-0,343t}\\ \end{array} $
$\begin{array}{rcll} c(t)&=&0,5-0,5\mathrm{e}^{-0,343t}&\\ c'(t)&=&0,1715 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}\\ c''(t)&=&-0,0588 \mathrm{e}^{-0,343t}\\ c'''(t) &=&0,0202 \mathrm{e}^{-0,343t}\\ \end{array} $
2. Schritt: Maximum bestimmen
Da du nun die erste und zweite Ableitung von $c'(t)$ bestimmt hast, kannst du nun die notwendige Bedingung und anschließend die hinreichende Bedingung für Maxima anwenden.
$\begin{array}{rcll} c''(t)&=&0&\scriptsize{ \text{Notwendige Bedingung}}\\ -0,0588 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}&=&0& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} c''(t)&=&0\\ -0,0588 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}&=&0& \\ \end{array}$
Laut Satz des Nullprodukts wird ein Term gleich Null, wenn einer der Faktoren Null wird.
Damit der Term Null wird, muss also der Faktor oder der exponentielle Teil Null werden.
Da die Exponentialfunktion für alle Werte von $t$ ungleich Null ist, liegt hier keine Extremstelle vor. Es muss also nach Randmaxima gesucht werden.
Betrachte den Graphen von $c'$ in deinem GTR. Du kannst erkennen, dass das Maximum an der Stelle $t=0$ liegt, da der Graph nur für $t\leq 0$ untersucht wird.
Um das Randmaximum zu erhalten, musst du somit $t=0$ in $c'(t)$ einsetzen, um den Funktionswert an der Stelle $t=0$ zu bestimmen:
$ \begin{array}{rcll} c'(0)&=&0,1715\cdot \mathrm{e}^{-0,343 \cdot 0} \\ &=&0,1715 \cdot 1 \\ &=&0,1715 \\ \end{array} $
Die maximale Reaktionsgeschwindigkeit für $t\leq 0$ beträgt $0,1715 \frac{\text{mol}}{\text{l} \cdot \text{min}}$.
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen, an dem die Messung abgebrochen wird
Nun sollst du noch den Zeitpunkt bestimmen, an welchem die Messung abgebrochen wird. Dies ist der Zeitpunkt, an dem die Reaktionsgeschwindigkeit unter $0.002\frac{\text{mol}}{\text{l}\cdot\text{min}}$ fällt.
Willst du den Zeitpunkt bestimmen, an welchem die Reaktionsgeschwindigkeit unter $0.002\frac{\text{mol}}{\text{l}\cdot\text{min}}$ fällt, so berechnest du die Stelle, an welcher die Funktion $c'$ diesen Funktionswert annimmt. Verwende dazu deinen GTR.
Hast du die gesuchte Stelle bestimmt, so musst du anschließend zeigen, dass die Reaktionsgeschwindigkeit nach diesem Zeitpunkt noch weiter fällt. Untersuche dazu die Monotonie von $c'$. Da $c''$ die Steigung von $c'$ angibt, musst du diese bei der Untersuchung der Monotonie heranziehen.
1. Schritt: Bestimmen des gesuchten Zeitpunktes
Die Grenze, ab welcher die Messung abgebrochen wird, kann durch die Gerade $y=0,002$ dargestellt werden.
Der $x$–Wert des Schnittpunktes dieser Geraden mit $c'$ ist der Zeitpunkt, an dem die Messung abgebrochen wird.
Den Schnittpunkt kannst du mit dem GTR berechnen:
Gib die Funktionsterme beider Graphen über Y= in $Y_2$ bzw $Y_3$ in den GTR ein und lass diese dann über GRAPH zeichnen.
Wähle eine geeignete Einstellung in WINDOW, damit du den Verlauf beider Graphen gut erkennen kannst.
Den Schnittpunkt kannst du über 2nd $\to$ TRACE $\to$ 5:intersect berechnen, indem du den Cursor in die Nähe des Schittpunkts legst.
Der $x$–Wert beträgt ungefähr $12,98$.
Somit wird die Messung nach $\boldsymbol{12,98\,\textbf{min}}$ abgebrochen.
2. Schritt: Untersuchen der Monotonie von $\boldsymbol{c'}$
Die zweite Ableitung $c''$ von $c$ hast du oben bereits bestimmt. Diese war gegeben mit:
$c''(t)=0,0202 \mathrm{e}^{-0,343t}$
Betrachtest du diese für $t\to +\infty$, so kannst du erkennen, dass der exponentielle Teil des Funktionsterms aufgrund des negativen Exponenten immer echt kleiner Null wird. Die Funktion $c'$ ist also streng monoton fallend.
Das heißt, die Messung kann ordnungsgemäß nach $12,98\,\text{min}$ abgebrochen werden.
2.2.1
$\blacktriangleright$ Wertetabelle im Koordinatensystem darstellen
Bei dieser Aufgabe hast du eine Wertetabelle gegeben, die du in einem Koordinatensystem darstellen sollst.
Die Werte für die Zeit in min stellen die Werte auf $x$–Achse des Koordinatensystems dar. Die Zuwachsrate in $\frac{\text{ml}}{min}$ wird durch die $y$–Achse wiedergegeben.
Zeichne dir so die Punkte in das Koordinatensystem ein.
1. Schritt: Daten in Koordinatensystem zeichnen
$\blacktriangleright$ Bestimmen einer Näherungsfunktion
Um eine Näherungsfunktion zu finden, musst du zuerst die Daten in den Taschenrechner eingeben. Dies geht nicht wie gewöhnlich über das Y=–Menü, sondern über das Listen–Menü in STAT $\to$ 1:Edit...
In die erste Spalte $L_1$ gibst du die $x$–Werte aus der Tabelle ein, in $L_2$ die dazugehörigen $y$–Werte.
Nun musst du zu STAT $\to$ CALC. Hier findest du die Kommandos
  • Lineare Regression: 4:LinReg($ax+b$)
  • Quadratische Regression: 5:QuadReg
  • Exponentielle Regression: 0:ExpReg
Überprüfe, welche Regression für diese Funktion geeignet ist und welche nicht.
Überlege dir dazu, ob es sich bei der Funktion um eine lineare, quadratische oder exponentielle Funktion handeln könnte.
Schaust du dir nun an, wie die Punkte liegen, so erkennst du, dass sich diese nicht auf einer Geraden befinden, dementsprechend wäre eine lineare Regression hier eher ungeeignet.
In Frage kommen also nur noch eine quadratische oder exponentielle Regressionskurve.
Also zeichnest du beide jeweils mit dem Unterkommando 5:QuadReg und 0:ExpReg mit einem Klick auf Calculate.
Beachte hier, dass bei XList deine $L_1$ Liste steht, da hier ja deine $x$–Werte gespeichert sind und bei YList deine Liste $L_2$.
Das gibt dir der GTR als Werte für die jeweilige Regressions– bzw. Näherungskurve.
Die Funktionen lauten somit:
Quadratische Funktion: $q(t)=0,39t^2-4,98t+17,8$
Exponentielle Funktion: $e(t)=19,62\cdot0,68^t$
Gib die Funktionen nun in Y= ein und lasse sie über GRAPH zeichnen.
Links: Quadratische Funktion, Rechts: Exponentielle Funktion
Links: Quadratische Funktion, Rechts: Exponentielle Funktion
Hast du dir die Punkte vorhin graphisch eingezeichnet, kannst du jetzt direkt die Abweichungen sehen. Wenn nicht, dann schau in der Wertetabelle nach und vergleiche den Funktionswert der jeweiligen Funktion mit dem Wert, der in der Tabelle in der Aufgabenstellung steht.
Jetzt musst du dich also für eine Regressionskurve entscheiden. Hier solltest du dich für die exponentielle Kurve entscheiden, da diese nicht nur kleinere Abweichungen zu den Punkten besitzt, sondern auch noch realistischer verläuft.
Die quadratische Funktion erreicht am Scheitelpunkt ihren tiefsten Punkt und steigt anschließend wieder stark an. Das heißt, die Zuwachsrate des Wasserstoffvolumens würde nach einer gewissen Zeit vehement zunehmen, was nicht der Realität entspricht.
Die exponentielle Funktion hingegen konvergiert gegen den Wert Null, was ebenfalls in der Praxis beobachtet werden kann.
Der letzte Grund, warum du zur exponentiellen Funktion tendieren solltest, ist, dass die Ausgangsfunktion
$\boldsymbol{c(t) = 0,5\cdot(1-\mathrm{e}^{-0,343t})}$
auch exponentiell abnimmt.
Dementsprechend ist damit zu rechnen, dass eine andere Funktion, die davon abhängt, auch exponentiell verläuft.
2.2.2
$\blacktriangleright$ Berechne die Zeit bis $\boldsymbol{50\,\textbf{ml}}$ Wasserstoff entstanden sind
Die Funktion $\boldsymbol{r(t) = 19 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}}$ beschreibt die momentane Änderungsrate des Wasserstoffvolumens in $\frac{ml}{min}$.
Die Stammfunktion $R(T)$ beschreibt somit das Wasserstoffvolumen.
Deine Aufgabe besteht nun darin, zu berechnen, wann $50\,\text{ml}$ Wasserstoff entstanden sind.
Dazu musst du das Integral von $r(t)$ betrachten. Dabei geht es insbesondere darum, die obere Grenze des Integrals so zu bestimmen, dass das Integral den Wert 50 annimmt. Formal muss also gelten:
$50 = \displaystyle\int_{0}^{x_2}\left( r(t) \right) \mathrm dt$
$50 = \displaystyle\int_{0}^{x_2}\left( r(t) \right) \mathrm dt$
Nutze deinen GTR, um diese Gleichung nach der oberen Grenze $x_2$ zu lösen.
Gib zunächst die Funktion von $r(t)$ in Y= bei $Y_1$ ein. Dabei wird im Folgenden der Parameter $t$ durch $x$ ersetzt. Bei $Y_2$ kannst du mittels des Befehls MATH $\to$ 9:fnInt das Integral, also die Stammfunktion, zeichnen lassen.
Für die untere Grenze gibst du $0$ und für die obere $x$ ein. Als Integranden geben wir $Y_1$ ein.
Zur Erinnerung geht das so:
VARS $\to$ Y–VARS $\to$ 1:Function $\to$ 1:Y_1
Zum Schluss kommt noch ein $x$ hinter das $d$, da unsere Variable $x$ ist, nach der wir integrieren.
Um zu prüfen, wann die Stammfunktion den Wert $y=50$ annimmt, kannst du eine neue Gerade $y=50$ einzeichnen und diese mit dem Graphen der Stammfunktion schneiden lassen.
Den Schnittpunkt berechnest du über 2nd $\to$ TRACE $\to$ 5:intersect. (siehe Aufgabe 2.1.2)
Der $x$–Wert gibt dir den Zeitpunkt an, wann die $50\,\text{ml}$ Wasserstoff entstanden sind, was dann bei ca. $6,8\,\text{min}$ der Fall wäre.
Daraus folgt:
Nach $6,8\,\text{min}$ sind $50\,\text{ml}$ Wasserstoff entstanden.
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Download als Dokument:PDF
2.1.1
$\blacktriangleright$ Zeichne das Schaubild von $\boldsymbol{c(t)}$
Hier ist es deine Aufgabe, das Schaubild der Funktion $c$ für $0\leq t\leq 12$ Minuten zu zeichnen.
Dafür kannst du den Term der Funktion
$\boldsymbol{c(t) = 0,5\cdot(1-\mathrm{e}^{-0,343t})}$
im Table–Menü in den GTR eingeben und dir anschießend die Wertetabelle ausgeben lassen.
Der $x$–Wert in der Tabelle entspricht der Zeit $t$ und der $y$–Wert stellt $c(t)$ dar, also die Konzentration der Zinkionen in Mol pro Liter.
Nun kannst du mit diesen Werten dein Schaubild zeichnen.
Hast du den Graphen gezeichnet sollte er in etwa so aussehen:
$\blacktriangleright$ Bestimme den Näherungswert
In dieser Aufgabe sollst du den Grenzwert der Funktion $c$ bestimmen. Der Näherungswert ist allgemein der Funktionswert, an den sich eine Funktion annähert, sobald man $x \rightarrow \pm \infty$ betrachtet.
Man sagt auch: „Die Funktion konvergiert gegen einen Wert.“
Hierfür musst du eine Grenzwertuntersuchung durchführen.
Betrachte dazu den Term der Funktion $c$ mit:
$\boldsymbol{c(t) = 0,5\cdot(1-\mathrm{e}^{-0,343t})}$
Multipliziere dazu im 1. Schritt die Klammern in $c(t)$ aus. Dadurch teilt sich der Term in einen konstanten Teil (ohne $t$) und in einen exponentiellen Teil auf. Da der exponentielle Teil des Terms in $t$ variabel ist, liegt auf ihm ein besonderes Augenmerk bei der Grenzwertuntersuchung.
Im 2. Schritt lässt du $t$ im Funktionsterm gegen $+\infty$ laufen, d.h. du setzt beliebig große Werte für $t$ ein, und prüfst, wie sich $c(t)$ bei Veränderung von $t$ verhält.
Dadurch kannst du erkennen, gegen welchen Wert $c$ konvergiert, also welchen Wert sie anstrebt.
1. Schritt: Ausmultiplizieren
$\begin{array}{rcl} c(t)&=&0,5\cdot(1-\mathrm{e}^{-0,343t}) \\ &=&0,5-0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t} \end{array}$
Jetzt kannst du nun den linearen Teil ohne $t$ und den exponentiellen Teil mit $t$ ablesen.
Der lineare Teil ist $c_1(t)=0,5$. Dieser bleibt unverändert.
Der exponentielle Teil lautet: $c_2(t)=0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}$. Er verändert sich beim Einsetzen von unterschiedlich großen $t$.
2. Schritt: Grenzwert berechnen
Jetzt kannst du $t \rightarrow \infty$ betrachten. Der lineare und von $t$ unabhängige Teil bleibt dabei unverändert. Da der Exponent der Exponentialfunktion negativ ist und er für $t \to \infty$ unendlich große negative Werte annimmt, strebt der exponentielle Teil der Funktion gegen Null.
Formst du den exponentiellen Teil um, wird dies klarer:
$ 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}\, \mathrel{\widehat{=}} \, 0,5 \cdot \dfrac{1}{\mathrm{e}^{0,343t}} $
Je größer nun $t$ wird, desto kleiner wird der exponentielle Teil, da der Nenner immer Größer wird.
Der exponentielle Teil strebt somit für unendlich große Werte gegen Null.
$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{t\to\infty}c(t)&=&0,5-0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t} \\ &=&0,5-0,5 \cdot 0 \\ &=&0,5-0 \\ &=&0,5 \end{array} $
Der Grenzwert von $c(t)$ beträgt somit $0,5 \,\text{Mol pro Liter}$.
2.1.2
$\blacktriangleright$ Berechne die maximale Reaktionsgeschwindigkeit
Bei dieser Aufgabe sollst du das Maximum der Reaktionsgeschwindigkeit berechnen.
Die Funktion $c$ beschreibt die Konzentration der Zinkionen in Mol pro Liter.
Die erste Ableitung $\boldsymbol{c'}$ der Funktion entspricht dann folglich der hier zu betrachtenden Reaktionsgeschwindigkeit.
Bilde im 1. Schritt also die benötigten Ableitungen von $\boldsymbol{c(t)}$. Nutze dazu die Kettenregel.
Die maximale Reaktionsgeschwindigkeit stellt das Maximum von $c'$ dar.
Im 2. Schritt wird dann das Maximum von $c'$ bestimmt.
Liegt nun an einer Stelle $x_M$ ein Maximum von $c'$ vor, so müssen dort folgende Bedingungen erfüllt sein:
$ \begin{array}{rll} \text{notwendige Bedingung}:& c''(x_M) = 0 \\ \text{hinreichende Bedingung für Maximum}:& c'''(x_M) < 0 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} c''(x_M) = 0 \\ c'''(x_M) < 0 \end{array} $
Da $c'(t)$ die zu untersuchende Funktion darstellt, musst du nun noch die dritte Ableitung von $c(t)$ bilden.
Bestimme dann mit Hilfe der Bedingungen das Maximum.
Bei dieser Aufgabe hast du eine Intervallgrenze gegeben. Der Graph von $c'$ wird nur für $t\geq0$ betrachtet.
Sobald eine Intervallgrenze gegeben ist, muss untersucht werden, ob an den Intervallsgrenzen ein globales Maximum oder ein globales Minimum vorliegt. Es muss also auf Randextrema untersucht werden.
1. Schritt: Ableitungen bestimmen
$\begin{array}{rcll} c(t)&=&0,5-0,5\mathrm{e}^{-0,343t}&\\ c'(t)&=&-0,5 \cdot (-0,343) \mathrm{e}^{-0,343t}&\\ &=&0,1715 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}\\ c''(t)&=&0,1715 \cdot (-0,343) \mathrm{e}^{-0,343t}& \\ &=&-0,0588 \mathrm{e}^{-0,343t}\\ c'''(t)&=&-0,0588245 \cdot (-0,343) \mathrm{e}^{-0,343t}&\\ &=&0,0202 \mathrm{e}^{-0,343t}\\ \end{array} $
$\begin{array}{rcll} c(t)&=&0,5-0,5\mathrm{e}^{-0,343t}&\\ c'(t)&=&0,1715 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}\\ c''(t)&=&-0,0588 \mathrm{e}^{-0,343t}\\ c'''(t)&=&0,0202 \mathrm{e}^{-0,343t}\\ \end{array} $
2. Schritt: Maximum bestimmen
Da du nun die erste und zweite Ableitung von $c'(t)$ bestimmt hast, kannst du nun die notwendige Bedingung und anschließend die hinreichende Bedingung für Maxima anwenden.
$ \begin{array}{rcll} c''(t)&=&0&\scriptsize{ \text{Notwendige Bedingung}}\\ -0,0588 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}&=&0& \\ \end{array} $
$ \begin{array}{rcll} c''(t)&=&0&\\ -0,0588 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}&=&0& \\ \end{array} $
Laut Satz des Nullprodukts wird ein Term gleich Null, wenn einer der Faktoren Null wird.
Damit der Term Null wird, muss also der Faktor oder der exponentielle Teil Null werden.
Da die Exponentialfunktion für alle Werte von $t$ ungleich Null ist, liegt hier keine Extremstelle vor. Es muss also nach Randmaxima gesucht werden.
Betrachte den Graphen von $c'$ in deinem GTR. Du kannst erkennen, dass das Maximum an der Stelle $t=0$ liegt, da der Graph nur für $t\leq 0$ untersucht wird.
Um das Randmaximum zu erhalten, musst du somit $t=0$ in $c'(t)$ einsetzen, um den Funktionswert an der Stelle $t=0$ zu bestimmen:
$ \begin{array}{rcll} c'(0)&=&0,1715\cdot \mathrm{e}^{-0,343 \cdot 0} \\ &=&0,1715 \cdot 1 \\ &=&0,1715 \\ \end{array} $
Die maximale Reaktionsgeschwindigkeit für $t\leq 0$ beträgt $0,1715 \frac{\text{mol}}{\text{l} \cdot \text{min}}$.
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen, an dem die Messung abgebrochen wird
Nun sollst du noch den Zeitpunkt bestimmen, an welchem die Messung abgebrochen wird. Dies ist der Zeitpunkt, an dem die Reaktionsgeschwindigkeit unter $0.002\frac{\text{mol}}{\text{l}\cdot\text{min}}$ fällt.
Willst du den Zeitpunkt bestimmen, an welchem die Reaktionsgeschwindigkeit unter $0.002\frac{\text{mol}}{\text{l}\cdot\text{min}}$ fällt, so berechnest du die Stelle, an welcher die Funktion $c'$ diesen Funktionswert annimmt. Verwende dazu deinen GTR.
Hast du die gesuchte Stelle bestimmt, so musst du anschließend zeigen, dass die Reaktionsgeschwindigkeit nach diesem Zeitpunkt noch weiter fällt. Untersuche dazu die Monotonie von $c'$. Da $c''$ die Steigung von $c'$ angibt, musst du diese bei der Untersuchung der Monotonie heranziehen.
1. Schritt: Bestimmen des gesuchten Zeitpunktes
Die Grenze, ab welcher die Messung abgebrochen wird, entspricht der Stelle mit dem Funktionswert $y=0,002$.
Diese Stelle kannst du mit dem GTR berechnen:
Gib dazu den Funktionsterm von $c'$ in das Graph–Menü ein und lasse dir den Graphen anzeigen. Über folgende Eingabefunktion kannst du dann die gesuchte Stelle berechnen:
Shift $\to$ G–Solv $\to$ X–Cal
Der $x$–Wert beträgt ungefähr $12,98$.
Somit wird die Messung nach $\boldsymbol{12,98\,\textbf{min}}$ abgebrochen.
2. Schritt: Untersuchen der Monotonie von $\boldsymbol{c'}$
Die zweite Ableitung $c''$ von $c$ hast du oben bereits bestimmt. Diese war gegeben mit:
$c''(t)=0,0202 \mathrm{e}^{-0,343t}$
Betrachtest du diese für $t\to +\infty$, so kannst du erkennen, dass der exponentielle Teil des Funktionsterms aufgrund des negativen Exponenten immer echt kleiner Null wird. Die Funktion $c'$ ist also streng monoton fallend.
Das heißt, die Messung kann ordnungsgemäß nach $12,98\,\text{min}$ abgebrochen werden.
2.2.1
$\blacktriangleright$ Wertetabelle im Koordinatensystem darstellen
Bei dieser Aufgabe hast du eine Wertetabelle gegeben, die du in einem Koordinatensystem darstellen sollst.
Die Werte für die Zeit in min stellen die Werte auf $x$–Achse des Koordinatensystems dar. Die Zuwachsrate in $\frac{\text{ml}}{min}$ wird durch die $y$–Achse wiedergegeben.
Zeichne dir so die Punkte in das Koordinatensystem ein.
1. Schritt: Daten in Koordinatensystem zeichnen
$\blacktriangleright$ Bestimmen einer Näherungsfunktion
Um eine Näherungsfunktion zu finden, musst du zuerst die Daten in den Taschenrechner eingeben. Wechsle dazu in das STAT–Menü und betrachte dort die verschiedenen Listen.
In die erste Spalte List 1 gibst du die $x$–Werte aus der Tabelle ein, in List 2 die dazugehörigen $y$–Werte.
Nun musst du zu STAT $\to$ CALC. Hier findest du die Kommandos
  • Lineare Regression: $x$
  • Quadratische Regression: $x^2$
  • Exponentielle Regression: Exp
Überprüfe, welche Regression für diese Funktion geeignet ist und welche nicht.
Überlege dir dazu, ob es sich bei der Funktion um eine lineare, quadratische oder exponentielle Funktion handeln könnte.
Schaust du dir nun an, wie die Punkte liegen, so erkennst du, dass sich diese nicht auf einer Geraden befinden, dementsprechend wäre eine lineare Regression hier eher ungeeignet.
In Frage kommen also nur noch eine quadratische oder exponentielle Regressionskurve.
Bestimme also die quadratische und die exponentielle Näherungsfunktion über $x^2$ und Exp.
Das gibt dir der GTR als Werte für die jeweilige Regressions– bzw. Näherungskurve.
Die Funktionen lauten somit:
Quadratische Funktion: $q(t)=0,39t^2-4,98t+17,8$
Exponentielle Funktion: $e(t)=19,62\cdot0,68^t$
Gib die Funktionen nun in STAT–Menü, um entscheiden zu können, welcher der beiden Näherungsfunktionen die bessere ist. Links wurde die quadratische und rechts die exponentielle Näherungsfunktion gezeichnet.
Links: Quadratische Funktion, Rechts: Exponentielle Funktion
Links: Quadratische Funktion, Rechts: Exponentielle Funktion
Hast du dir die Punkte vorhin graphisch eingezeichnet, kannst du jetzt direkt die Abweichungen sehen. Wenn nicht, dann schau in der Wertetabelle nach und vergleiche den Funktionswert der jeweiligen Funktion mit dem Wert, der in der Tabelle in der Aufgabenstellung steht.
Jetzt musst du dich also für eine Regressionskurve entscheiden. Hier solltest du dich für die exponentielle Kurve entscheiden, da diese nicht nur kleinere Abweichungen zu den Punkten besitzt, sondern auch noch realistischer verläuft.
Die quadratische Funktion erreicht am Scheitelpunkt ihren tiefsten Punkt und steigt anschließend wieder stark an. Das heißt, die Zuwachsrate des Wasserstoffvolumens würde nach einer gewissen Zeit vehement zunehmen, was nicht der Realität entspricht.
Die exponentielle Funktion hingegen konvergiert gegen den Wert Null, was ebenfalls in der Praxis beobachtet werden kann.
Der letzte Grund, warum du zur exponentiellen Funktion tendieren solltest, ist, dass die Ausgangsfunktion
$\boldsymbol{c(t) = 0,5\cdot(1-\mathrm{e}^{-0,343t})}$
auch exponentiell abnimmt.
Dementsprechend ist damit zu rechnen, dass eine andere Funktion, die davon abhängt, auch exponentiell verläuft.
2.2.2
$\blacktriangleright$ Berechne die Zeit bis $\boldsymbol{50\,\textbf{ml}}$ Wasserstoff entstanden sind
Die Funktion $\boldsymbol{r(t) = 19 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}}$ beschreibt die momentane Änderungsrate des Wasserstoffvolumens in $\frac{ml}{min}$.
Die Stammfunktion $R(T)$ beschreibt somit das Wasserstoffvolumen.
Deine Aufgabe besteht nun darin, zu berechnen, wann $50\,\text{ml}$ Wasserstoff entstanden sind.
Dazu musst du das Integral von $r(t)$ betrachten. Dabei geht es insbesondere darum, die obere Grenze des Integrals so zu bestimmen, dass das Integral den Wert 50 annimmt. Formal muss also gelten:
$50 = \displaystyle\int_{0}^{x_2}\left( r(t) \right) \mathrm dt$
$50 = \displaystyle\int_{0}^{x_2}\left( r(t) \right) \mathrm dt$
Bestimme zunächst eine Stammfunktion von $r$ und nutze anschließend deinen GTR, um diese Gleichung nach der oberen Grenze $x_2$ zu lösen.
1. Schritt: Bestimmen einer Stammfunktion $\boldsymbol{R}$ von $\boldsymbol{r}$
Eine Stammfunktion $R$ bestimmst du hier, in dem du das unbestimmte Integral über $r$ bildest:
$R(t) = \displaystyle\int \left(r(t)\right) \mathrm dt $$= \displaystyle\int \left(19 \cdot \mathrm{e}^{-0,343t}\right) \mathrm dt $$= \dfrac{19}{-0,343} \cdot \mathrm{e}^{-0,343t} + c$$= -55,394 \cdot \mathrm e^{-0,343\cdot t} + c$
Da die Betrachtung ab dem Zeitpunkt $t = 0$ startet, musst du hier die Integrationskonstante so bestimmen, dass der Graph von $R$ durch den Ursprung verläuft. Führe also eine Punktprobe mit $O(0\mid 0)$ durch und bestimme $c$ wie folgt:
$\begin{array}{rcll} R(0)&=&0\\ 0&=&-55,394 \cdot \mathrm e^{-0,343\cdot 0} + c = -55,394 \cdot 1 + c \\ c&=&55,394\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} R(0)&=&0\\ c&=&55,394\\ \end{array}$
Die hier betrachtete Stammfunktion von $r$ ist also:
$R(t) = -55,394 \cdot \mathrm e^{-0,343\cdot t} + 55,394$
2. Schritt: Bestimmen des gesuchten Zeitpunktes
Gib zunächst die Funktion $R$ in den GRAPH bei $Y_1$ ein.
Um zu prüfen, wann die Stammfunktion den Wert $y=50$ annimmt, kannst du wie oben über Y–CAL die zugehörige Stelle berechnen.
Der $x$–Wert gibt dir den Zeitpunkt an, wann die $50\,\text{ml}$ Wasserstoff entstanden sind, was dann bei ca. $6,8\,\text{min}$ der Fall wäre.
Daraus folgt:
Nach $6,8\,\text{min}$ sind $50\,\text{ml}$ Wasserstoff entstanden.
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