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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur bis 2016 (GTR)
Abi 2016
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2015
Analysis
Stochastik 1
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Anwendungsorientierte...
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Lineare Optimierung 1
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Abi 2011
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Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
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Abi 2010
Analysis 1
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Stochastik 1
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Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung 1
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Abi 2009
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
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Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
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Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2

Vektorgeometrie

Aufgaben
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1
Gegeben sind die Geraden
$g:\quad\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}$;$\quad r\in\mathbb{R}$
und
$h:\quad\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}$;$\quad s\in\mathbb{R}$
sowie die Punkte $A(1\mid3\mid-5)$, $B(5\mid-5\mid7)$, $C(7\mid-9\mid14)$ und $D(3\mid-1\mid2)$.
1.1
Zeigen Sie, dass die Geraden $g$ und $h$ parallel, aber nicht identisch sind.
Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, die $g$ und $h$ enthält.
(4P)
 Aufgabe ab 2017 im hilfsmittelfreien Teil oder im Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Untersuchen Sie, ob die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ in einer gemeinsamen Ebene liegen.
(2P)
 Aufgabe ab 2017 im hilfsmittelfreien Teil oder im Teil mit Hilfsmitteln
1.3
Zeigen Sie, dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm, aber kein Rechteck ist.
(4P)
 Aufgabe ab 2017 im hilfsmittelfreien Teil oder im Teil mit Hilfsmitteln
1.4
Untersuchen Sie, ob die Gerade
$k:\quad\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\8\\2\end{pmatrix}$;$\quad t\in\mathbb{R}$
die Fläche des Parallelogramms $ABCD$ durchstößt.
(5P)
 Aufgabe ab 2017 im hilfsmittelfreien Teil oder im Teil mit Hilfsmitteln

(15P)
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$ Gegenseitige Lage der Geraden untersuchen
Du hast zwei Geraden $g$ und $h$ gegeben und sollst zeigen, dass sie zwar parallel, jedoch nicht identisch sind. Anschließend soll eine Ebenengleichung aufgestellt werden, die beide Geraden enthält.
Zwei Geraden sind dann parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind. Um zu beweisen, dass die Geraden parallel sind, werden somit im 1. Schritt die Richtungsvektoren betrachtet.
Anschließend wird im 2. Schritt bewiesen, dass die Geraden nicht identisch sind. Dazu wird mit einer Punkteprobe geprüft, ob ein Punkt, der auf $g$ liegt, auch auf $h$ liegt.
$\blacktriangleright$ Ebenengleichung aufstellen
Nun soll eine Ebenengleichung aufgestellt werden, die beide Geraden enthält. Dazu wählst du den Stützvektor einer Geraden als Stützvektor der Ebene sowie ihren Richtungsvektor als ersten Spannvektor. Um den zweiten Spannvektor zu erhalten, wählst du einen Punkt, der auf der zweiten Gerade liegt und subtrahierst ihn vom Stützvektor.
1.2
$\blacktriangleright$ Prüfen, ob $\boldsymbol{A, B, C}$ und $\boldsymbol{D}$ in einer Ebene liegen
Bei dieser Aufgabe hast du die Koordinaten von vier Punkten $A, B, C$ und $D$ geben. Es soll untersucht werden, ob die Punkte in einer gemeinsamen Ebene liegen.
Stelle im 1. Schritt eine Ebene aus drei Punkten auf und prüfe anschließend im 2. Schritt, ob der Ortsvektor des vierten Punktes darin liegt.
Wenn der Punkt darin liegt, wird die Gleichung der Punktprobe aufgehen.
1.3
$\blacktriangleright$ Beweis des Parallelogramms
Ein Viereck ist dann ein Parallelogramm, wenn die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel sind.
Für das Viereck $ABCD$ ergeben sich so die Bedingungen:
  • $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$ und $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|$
  • $\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BC}$
Die Länge $|\vec{v}|$ eines Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$, auch Betrag genannt, berechnest du mit der Formel:
$|\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}$
$|\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}$
Berechne im 1. Schritt die Seitenlängen des Vierecks und vergleiche anschließend die gegenüberliegenden Seitenlängen im Dreieck $ABCD$, um zu prüfen, ob es sich um ein Parallelogramm handelt (Parallelität und gleiche Seitenlängen).
Im 2. Schritt wird dann untersucht, ob es sich zusätzlich noch um ein Rechteck handelt. Ein Rechteck hat einen rechten Winkel, was du mit dem Satz des Pythagoras überprüfen kannst.
Ein alternativer Lösungsweg bietet sich mittels Skalarprodukt der sich berührenden Vektoren. Falls das Skalarprodukt Null ergibt, dann liegen die Vektoren orthogonal zueinander, d.h. es liegt ein rechter Winkel zwischen beiden.
1.4
$\blacktriangleright$ Prüfen, ob die Gerade das Parallelogramm durchstößt
Bei dieser Aufgabe musst du überprüfen, ob die Gerade $k$ das Parallelogramm $ABCD$ durchstößt, also ob ein Schnittpunkt zwischen beiden existiert.
Setze dazu die Geradengleichung mit der Ebene gleich, die die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ aufspannen.
Wenn ein Schnittpunkt existiert, dann musst du noch untersuchen, ob der Schnittpunkt $S$ innerhalb des Parallelogramms liegt, oder ob $k$ die Ebene außerhalb des Parallelogramms durchstößt.
Dazu werden die Parameter $r$ und $s$ betrachtet. Wenn einer größer als 1 ist, dann liegt der Schnittpunkt außerhalb der Fläche und $k$ durchstößt somit nicht das Parallelogramm.
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Lösungen TI
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1.1
$\blacktriangleright$ Gegenseitige Lage der Geraden untersuchen
Du hast zwei Geraden $g$ und $h$ gegeben und sollst zeigen, dass sie zwar parallel, jedoch nicht identisch sind. Anschließend soll eine Ebenengleichung aufgestellt werden, die beide Geraden enthält.
Zwei Geraden sind dann parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind. Um zu beweisen, dass die Geraden parallel sind, werden somit im 1. Schritt die Richtungsvektoren betrachtet.
Anschließend wird im 2. Schritt bewiesen, dass die Geraden nicht identisch sind. Dazu wird mit einer Punkteprobe geprüft, ob ein Punkt, der auf $g$ liegt, auch auf $h$ liegt.
1. Schritt: Beweis der Parallelität
Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind.
D.h.:
$\begin{pmatrix}r_1\\r_2\\r_3\end{pmatrix}\stackrel{!}{=}x\cdot\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}=x\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}=-2\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}$
Der Richtungsvektor von $g$ kann also als ein Vielfaches vom Richtungsvektor von $h$ dargestellt werden. $g$ und $h$ sind also parallel.
2. Schritt: Beweis, dass $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ nicht identisch sind
$g$ und $h$ sind identisch, wenn bzw. wenn$g$ und $h$ parallel sind und ein Punkt existiert, der sowohl auf $g$ als auch auf $h$ liegt.
Aus dem Stützvektor $\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}$ lässt sich ein Punkt ablesen, der auf $g$ liegt.
Setze diesen in einer Punktprobe mit $h$ gleich und prüfe, ob ein Parameter $s$ existiert, damit die Gleichung erfüllt wird.
$\begin{array}{rcll} \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}&\scriptsize{ \mid\;-\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix} }\\ \begin{pmatrix}-2\\4\\-10\end{pmatrix}&\neq&s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}&\\ \begin{pmatrix}-2\\4\\-10\end{pmatrix}&\neq&s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}& \\ \end{array}$
Für die erste Zeile und zweite Zeile existiert ein $s$, welches die Gleichung erfüllt, $s=2$. Allerdings existiert für die dritte Zeile ein anderes $s$, nämlich $s=\frac{10}{3}$.
Es existiert somit kein einheitliches $s$, damit die Gleichung erfüllt wird. D.h., dass $\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}$ nicht auf $h$ liegt.
$g$ und $h$ sind nicht identisch.
$\blacktriangleright$ Ebenengleichung aufstellen
Nun soll eine Ebenengleichung aufgestellt werden, die beide Geraden enthält. Dazu wählst du den Stützvektor einer Geraden als Stützvektor der Ebene sowie ihren Richtungsvektor als ersten Spannvektor. Um den zweiten Spannvektor zu erhalten, wählst du einen Punkt, der auf der zweiten Gerade liegt und subtrahierst ihn vom Stützvektor.
Wähle $\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}$ als Stützvektor und $\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}$ als ersten Spannvektor der Ebene.
Da $g$ und $h$ parallel sind, kannst du nun mit einem Punkt, der auf $h$ liegt, einen zweiten Spannvektor definieren. Dazu musst du noch den Stützvektor der Ebene von ihm subtrahieren. Aus dem Stützvektor von $h$ kannst du einen Punkt ablesen, der auf $h$ liegt.
$E: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}+u\cdot\begin{pmatrix}3-1\\-1-3\\2-(-5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}+u\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}$
$E: \vec{x}=…$
1.2
$\blacktriangleright$ Prüfen, ob $\boldsymbol{A, B, C}$ und $\boldsymbol{D}$ in einer Ebene liegen
Bei dieser Aufgabe hast du die Koordinaten von vier Punkten $A, B, C$ und $D$ geben. Es soll untersucht werden, ob die Punkte in einer gemeinsamen Ebene liegen.
Stelle im 1. Schritt eine Ebene aus drei Punkten auf und prüfe anschließend im 2. Schritt, ob der Ortsvektor des vierten Punktes darin liegt.
Wenn der Punkt darin liegt, wird die Gleichung der Punktprobe aufgehen.
1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
$E: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}$
$E: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}5-1\\-5-3\\7-(-5)\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}7-1\\-9-3\\14-(-5)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6\\-12\\19\end{pmatrix}$
$E: \vec{x}=…$
2. Schritt: Prüfen, ob $\boldsymbol{\overrightarrow{OD}}$ in $\boldsymbol{E}$ liegt
$\begin{array}{rcll} E&\stackrel{!}{=}&\overrightarrow{OD}&\\ \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6\\-12\\19\end{pmatrix}&\stackrel{!}{=}&\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}&\scriptsize{ \mid\; -\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}}\\ r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6\\-12\\19\end{pmatrix}&\stackrel{!}{=}&\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} E&\stackrel{!}{=}&\overrightarrow{OD}&\\ \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrll} (1)&2&=&4r&+&6s&\\ (2)&-4&=&-8r&-&12s&\\ (3)&7&=&12r&+&19s& \end{array}$
Nun hast du ein LGS, welches du mit dem GTR lösen kannst. Gehe dazu in deinem GTR über 2nd $\to$ $x^{-1}$(MATRX) in das Matrixmenü. Gebe dort im Reiter EDIT das LGS in eine $3 × 3$–Matrix ein. Verlasse anschließend das Matrixmenü mit 2nd $\to$ MODE(QUIT), um danach wieder hineinzugehen, diesmal allerdings in den Reiter MATH. Suche den Befehl rref() über ALPHA $\to$ APPS(B). Gib dann über 2nd $\to$ $x^{-1}$ (MATRIX) $\to$ 1 deine Matrix zum Lösen ein.
Beachte dabei, dass du bei der Matrix zuerst die Koeffizienten der zu bestimmenden Unbekannten in gleichbleibender Reihenfolge angibst.
Jetzt hast du $\boldsymbol{r=-1}$ und $\boldsymbol{s=1}$ berechnet.
Der GTR liefert dir, dass eine eindeutige Lösung existiert. Das heißt, es gibt Werte für $r$ und $s$, sodass die Ebene den Punkt $D$ darstellt. Wir setzen diese Werte nun ein und rechnen nach:
$\begin{array}{rcll} 2&\stackrel{!}{=}&4r+6s&\scriptsize{\text{Einsetzen von}\;s=1\;\text{und}\;r=-1}\\ 2&\stackrel{!}{=}&4\cdot(-1)+6\cdot1&\\ 2&=&2&\checkmark\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 2&\stackrel{!}{=}&4r+6s&\\ 2&\stackrel{!}{=}&4\cdot(-1)+6\cdot1&\\ 2&=&2&\checkmark\\ \end{array}$
Daraus folgt:
Die Punkte $A, B, C$ und $D$ liegen in einer Ebene.
1.3
$\blacktriangleright$ Beweis des Parallelogramms
Ein Viereck ist dann ein Parallelogramm, wenn die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel sind.
Für das Viereck $ABCD$ ergeben sich so die Bedingungen:
  • $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$ und $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|$
  • $\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BC}$
Die Länge $|\vec{v}|$ eines Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$, auch Betrag genannt, berechnest du mit der Formel:
$|\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}$
$|\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}$
Berechne im 1. Schritt die Seitenlängen des Vierecks und vergleiche anschließend die gegenüberliegenden Seitenlängen im Dreieck $ABCD$, um zu prüfen, ob es sich um ein Parallelogramm handelt (Parallelität und gleiche Seitenlängen).
Im 2. Schritt wird dann untersucht, ob es sich zusätzlich noch um ein Rechteck handelt. Ein Rechteck hat einen rechten Winkel, was du mit dem Satz des Pythagoras überprüfen kannst.
Ein alternativer Lösungsweg bietet sich mittels Skalarprodukt der sich berührenden Vektoren. Falls das Skalarprodukt Null ergibt, dann liegen die Vektoren orthogonal zueinander, d.h. es liegt ein rechter Winkel zwischen beiden.
1. Schritt: Seitenlängen des Vierecks berechnen und vergleichen
Seitenlänge $|\overrightarrow{AB}|$:
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}5-1\\-5-3\\7-(-5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}$
Nach gleichem Vorgehen ergibt sich für die anderen Seitenlängen:
$\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}$
Du kannst erkennen, dass $\boldsymbol{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}}$ sowie $\boldsymbol{\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}}$ gilt, d.h. die Beträge von $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{DC}$, bzw. $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BC}$ sind ebenfalls identisch.
Gleichzeitig sind $\overrightarrow{AB}$ und $ \overrightarrow{DC}$ bzw. $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BC}$ parallel.
Daraus folgt:
Bei dem Viereck $ABCD$ handelt es sich um ein Parallelogramm.
2. Schritt: Prüfen, ob es sich um ein Rechteck handelt
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Satz des Pythagoras
Teile das Parallelogramm in zwei Dreiecke auf und prüfe, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Wenn man in einem Parallelogramm einen rechten Winkel nachweisen kann, so sind alle anderen Winkel ebenfalls rechte Winkel.
Falls es sich bei dem Dreieck $ABD$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, dann lässt sich der Satz des Pythagoras anwenden.
$\begin{array}{rcll} |\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AD}|^2&\stackrel{!}{=}&|\overrightarrow{BD}|^2&\\ \left(\sqrt{4^2+(-8)^2+12^2}\right)^2+\left(\sqrt{2^2+(-4)^2+7^2}\right)^2&\stackrel{!}{=}&\left(\sqrt{(-2)^2+4^2+(-5)^2}\right)^2&\\ \left(\sqrt{224}\right)^2+\left(\sqrt{69}\right)^2&\stackrel{!}{=}&\left(\sqrt{45}\right)^2&\\ 224+69&\stackrel{!}{=}&45&\\ 293&\neq&45&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} |\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AD}|^2&\stackrel{!}{=}&|\overrightarrow{BD}|^2&\\ 224+69&\stackrel{!}{=}&45&\\ 293&\neq&45&\\ \end{array}$
Hieraus ergibt sich, dass die Gleichung nicht lösbar ist, d.h. es handelt sich um kein rechtwinkliges Dreieck, da der Satz des Pythagoras nicht gilt.
Daraus folgt:
Es handelt sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck, daher hat das Parallelogramm keinen rechten Winkel und ist somit kein Rechteck.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Skalarprodukt
Wenn $\boldsymbol{\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AD}=0}$, dann stehen $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ orthogonal zueinander. Somit liegt ein rechter Winkel zwischen den Vektoren.
$\begin{array}{rcll} \begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}&\stackrel{!}{=}&0&\\ (4\cdot2+(-8)\cdot(-4)+12\cdot7)&\stackrel{!}{=}&0&\\ 124&\neq&0&\\ \end{array}$
Daraus folgt: $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ stehen nicht orthogonal zueinander. Das Parallelogramm ist somit kein Rechteck.
1.4
$\blacktriangleright$ Prüfen, ob die Gerade das Parallelogramm durchstößt
Bei dieser Aufgabe musst du überprüfen, ob die Gerade $k$ das Parallelogramm $ABCD$ durchstößt, also ob ein Schnittpunkt zwischen beiden existiert.
Setze dazu die Geradengleichung mit der Ebene gleich, die die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ aufspannen.
Wenn ein Schnittpunkt existiert, dann musst du noch untersuchen, ob der Schnittpunkt $S$ innerhalb des Parallelogramms liegt, oder ob $k$ die Ebene außerhalb des Parallelogramms durchstößt.
Dazu werden die Parameter $r$ und $s$ betrachtet. Wenn einer größer als 1 ist, dann liegt der Schnittpunkt außerhalb der Fläche und $k$ durchstößt somit nicht das Parallelogramm.
1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
$\begin{array}{rcll} E: \vec{x}&=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AD}& \\ &=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} E: \vec{x}&=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AD}& \\ \end{array}$
2. Schritt: Gerade mit der Ebene gleichsetzen
$\begin{array}{rrll} \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\8\\2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}&\scriptsize{ \mid\;-t\cdot\begin{pmatrix}4\\8\\2\end{pmatrix}}\\ \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-8\\-2\end{pmatrix}&\scriptsize{ \mid\;-\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}}\\ \begin{pmatrix}0\\-4\\2\end{pmatrix}&=&r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-8\\-2\end{pmatrix}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rrll} \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\8\\2\end{pmatrix}&=&… \end{array}$
3. Schritt: Parameterwerte berechnen
Aus der Ebenengleichung ergibt sich folgendes LGS:
$\begin{array}{lrcrcrcrl} (1)&0&=&4r&+&2s&-&4t&\\ (2)&-4&=&-8r&-&4s&-&8t&\\ (3)&2&=&12r&+&7s&-&2t& \end{array}$
Nun hast du ein LGS, welches du mit dem GTR lösen kannst. Gehe dazu in deinem GTR über 2nd $\to$ $x^{-1}$(MATRX) in das Matrixmenü. Gebe dort im Reiter EDIT das LGS in eine $3 × 4$–Matrix ein. Verlasse anschließend das Matrixmenü mit 2nd $\to$ MODE(QUIT), um danach wieder hineinzugehen, diesmal allerdings in den Reiter MATH. Suche den Befehl rref() über ALPHA $\to$ APPS(B). Gib dann über 2nd $\to$ $x^{-1}$ (MATRIX) $\to$ 1 deine Matrix zum Lösen ein.
Beachte dabei, dass du bei der Matrix zuerst die Koeffizienten der zu bestimmenden Unbekannten in gleichbleibender Reihenfolge angibst.
Mit dem GTR ergeben sich so die Werte $\boldsymbol{r=\frac{1}{2}, s=-\frac{1}{2}}$ und $\boldsymbol{t=\frac{1}{4}}$.
Für $0\leq r\leq1$ und $0\leq s\leq1$ werden Punkte innerhalb des Parallelogramms dargestellt..
$r=\dfrac{1}{2}$ bedeutet, dass der Schnittpunkt auf der Hälfte der Länge von $\overrightarrow{AB}$ liegt. $s=-\dfrac{1}{2}$ zeigt, dass der Schnittpunkt weiterhin auf der Hälfte der Länge des Gegenvektors von $\overrightarrow{AD}$ liegt und dadurch außerhalb der Fläche des Parallelogramms.
Somit durchstößt $k$ das Parallelogramm $ABCD$ nicht.
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1.1
$\blacktriangleright$ Gegenseitige Lage der Geraden untersuchen
Du hast zwei Geraden $g$ und $h$ gegeben und sollst zeigen, dass sie zwar parallel, jedoch nicht identisch sind. Anschließend soll eine Ebenengleichung aufgestellt werden, die beide Geraden enthält.
Zwei Geraden sind dann parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind. Um zu beweisen, dass die Geraden parallel sind, werden somit im 1. Schritt die Richtungsvektoren betrachtet.
Anschließend wird im 2. Schritt bewiesen, dass die Geraden nicht identisch sind. Dazu wird mit einer Punkteprobe geprüft, ob ein Punkt, der auf $g$ liegt, auch auf $h$ liegt.
1. Schritt: Beweis der Parallelität
Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind.
D.h.:
$\begin{pmatrix}r_1\\r_2\\r_3\end{pmatrix}\stackrel{!}{=}x\cdot\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}=x\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}=-2\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}$
Der Richtungsvektor von $g$ kann also als ein Vielfaches vom Richtungsvektor von $h$ dargestellt werden. $g$ und $h$ sind also parallel.
2. Schritt: Beweis, dass $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ nicht identisch sind
$g$ und $h$ sind identisch, wenn bzw. wenn$g$ und $h$ parallel sind und ein Punkt existiert, der sowohl auf $g$ als auch auf $h$ liegt.
Aus dem Stützvektor $\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}$ lässt sich ein Punkt ablesen, der auf $g$ liegt.
Setze diesen in einer Punktprobe mit $h$ gleich und prüfe, ob ein Parameter $s$ existiert, damit die Gleichung erfüllt wird.
$\begin{array}{rcll} \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}&\scriptsize{ \mid\;-\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix} }\\ \begin{pmatrix}-2\\4\\-10\end{pmatrix}&\neq&s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}&\\ \begin{pmatrix}-2\\4\\-10\end{pmatrix}&\neq&s\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}& \\ \end{array}$
Für die erste Zeile und zweite Zeile existiert ein $s$, welches die Gleichung erfüllt, $s=2$. Allerdings existiert für die dritte Zeile ein anderes $s$, nämlich $s=\frac{10}{3}$.
Es existiert somit kein einheitliches $s$, damit die Gleichung erfüllt wird. D.h., dass $\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}$ nicht auf $h$ liegt.
$g$ und $h$ sind nicht identisch.
$\blacktriangleright$ Ebenengleichung aufstellen
Nun soll eine Ebenengleichung aufgestellt werden, die beide Geraden enthält. Dazu wählst du den Stützvektor einer Geraden als Stützvektor der Ebene sowie ihren Richtungsvektor als ersten Spannvektor. Um den zweiten Spannvektor zu erhalten, wählst du einen Punkt, der auf der zweiten Gerade liegt und subtrahierst ihn vom Stützvektor.
Wähle $\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}$ als Stützvektor und $\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}$ als ersten Spannvektor der Ebene.
Da $g$ und $h$ parallel sind, kannst du nun mit einem Punkt, der auf $h$ liegt, einen zweiten Spannvektor definieren. Dazu musst du noch den Stützvektor der Ebene von ihm subtrahieren. Aus dem Stützvektor von $h$ kannst du einen Punkt ablesen, der auf $h$ liegt.
$E: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}+u\cdot\begin{pmatrix}3-1\\-1-3\\2-(-5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\6\end{pmatrix}+u\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}$
$E: \vec{x}=…$
1.2
$\blacktriangleright$ Prüfen, ob $\boldsymbol{A, B, C}$ und $\boldsymbol{D}$ in einer Ebene liegen
Bei dieser Aufgabe hast du die Koordinaten von vier Punkten $A, B, C$ und $D$ geben. Es soll untersucht werden, ob die Punkte in einer gemeinsamen Ebene liegen.
Stelle im 1. Schritt eine Ebene aus drei Punkten auf und prüfe anschließend im 2. Schritt, ob der Ortsvektor des vierten Punktes darin liegt.
Wenn der Punkt darin liegt, wird die Gleichung der Punktprobe aufgehen.
1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
$E: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}$
$E: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}5-1\\-5-3\\7-(-5)\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}7-1\\-9-3\\14-(-5)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6\\-12\\19\end{pmatrix}$
$E: \vec{x}=…$
2. Schritt: Prüfen, ob $\boldsymbol{\overrightarrow{OD}}$ in $\boldsymbol{E}$ liegt
$\begin{array}{rcll} E&\stackrel{!}{=}&\overrightarrow{OD}&\\ \begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6\\-12\\19\end{pmatrix}&\stackrel{!}{=}&\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}&\scriptsize{ \mid\; -\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}}\\ r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6\\-12\\19\end{pmatrix}&\stackrel{!}{=}&\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} E&\stackrel{!}{=}&\overrightarrow{OD}&\\ \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrll} (1)&2&=&4r&+&6s&\\ (2)&-4&=&-8r&-&12s&\\ (3)&7&=&12r&+&19s& \end{array}$
Nun hast du ein LGS, welches du mit dem GTR lösen kannst. Löse zunächst das LGS, welches sich aus den letzten beiden Gleichungen ergibt und überprüfe die Lösungen anschließend für die erste Gleichung. Wähle im EQUA–Menü den Menüpunkt Lin Gleichungssys und wähle dort die Anzahl der Unbekannten (2) aus. Dort kannst du anschließend die entsprechenden Parameter eingeben und mit EXE bestätigen.
Jetzt hast du $\boldsymbol{r=-1}$ und $\boldsymbol{s=1}$ berechnet.
Der GTR liefert dir, dass eine eindeutige Lösung existiert. Das heißt, es gibt Werte für $r$ und $s$, sodass die Ebene den Punkt $D$ darstellt. Wir setzen diese Werte nun ein und rechnen nach:
$\begin{array}{rcll} 2&\stackrel{!}{=}&4r+6s&\scriptsize{\text{Einsetzen von}\;s=1\;\text{und}\;r=-1}\\ 2&\stackrel{!}{=}&4\cdot(-1)+6\cdot1&\\ 2&=&2&\checkmark\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 2&\stackrel{!}{=}&4r+6s&\\ 2&\stackrel{!}{=}&4\cdot(-1)+6\cdot1&\\ 2&=&2&\checkmark\\ \end{array}$
Daraus folgt:
Die Punkte $A, B, C$ und $D$ liegen in einer Ebene.
1.3
$\blacktriangleright$ Beweis des Parallelogramms
Ein Viereck ist dann ein Parallelogramm, wenn die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel sind.
Für das Viereck $ABCD$ ergeben sich so die Bedingungen:
  • $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$ und $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|$
  • $\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BC}$
Die Länge $|\vec{v}|$ eines Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$, auch Betrag genannt, berechnest du mit der Formel:
$|\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}$
$|\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}$
Berechne im 1. Schritt die Seitenlängen des Vierecks und vergleiche anschließend die gegenüberliegenden Seitenlängen im Dreieck $ABCD$, um zu prüfen, ob es sich um ein Parallelogramm handelt (Parallelität und gleiche Seitenlängen).
Im 2. Schritt wird dann untersucht, ob es sich zusätzlich noch um ein Rechteck handelt. Ein Rechteck hat einen rechten Winkel, was du mit dem Satz des Pythagoras überprüfen kannst.
Ein alternativer Lösungsweg bietet sich mittels Skalarprodukt der sich berührenden Vektoren. Falls das Skalarprodukt Null ergibt, dann liegen die Vektoren orthogonal zueinander, d.h. es liegt ein rechter Winkel zwischen beiden.
1. Schritt: Seitenlängen des Vierecks berechnen und vergleichen
Seitenlänge $|\overrightarrow{AB}|$:
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}5-1\\-5-3\\7-(-5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}$
Nach gleichem Vorgehen ergibt sich für die anderen Seitenlängen:
$\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}$
Du kannst erkennen, dass $\boldsymbol{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}}$ sowie $\boldsymbol{\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}}$ gilt, d.h. die Beträge von $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{DC}$, bzw. $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BC}$ sind ebenfalls identisch.
Gleichzeitig sind $\overrightarrow{AB}$ und $ \overrightarrow{DC}$ bzw. $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BC}$ parallel.
Daraus folgt:
Bei dem Viereck $ABCD$ handelt es sich um ein Parallelogramm.
2. Schritt: Prüfen, ob es sich um ein Rechteck handelt
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Satz des Pythagoras
Teile das Parallelogramm in zwei Dreiecke auf und prüfe, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Wenn man in einem Parallelogramm einen rechten Winkel nachweisen kann, so sind alle anderen Winkel ebenfalls rechte Winkel.
Falls es sich bei dem Dreieck $ABD$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, dann lässt sich der Satz des Pythagoras anwenden.
$\begin{array}{rcll} |\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AD}|^2&\stackrel{!}{=}&|\overrightarrow{BD}|^2&\\ \left(\sqrt{4^2+(-8)^2+12^2}\right)^2+\left(\sqrt{2^2+(-4)^2+7^2}\right)^2&\stackrel{!}{=}&\left(\sqrt{(-2)^2+4^2+(-5)^2}\right)^2&\\ \left(\sqrt{224}\right)^2+\left(\sqrt{69}\right)^2&\stackrel{!}{=}&\left(\sqrt{45}\right)^2&\\ 224+69&\stackrel{!}{=}&45&\\ 293&\neq&45&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 224+69&\stackrel{!}{=}&45&\\ 293&\neq&45&\\ \end{array}$
Hieraus ergibt sich, dass die Gleichung nicht lösbar ist, d.h. es handelt sich um kein rechtwinkliges Dreieck, da der Satz des Pythagoras nicht gilt.
Daraus folgt:
Es handelt sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck, daher hat das Parallelogramm keinen rechten Winkel und ist somit kein Rechteck.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Skalarprodukt
Wenn $\boldsymbol{\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AD}=0}$, dann stehen $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ orthogonal zueinander. Somit liegt ein rechter Winkel zwischen den Vektoren.
$\begin{array}{rcll} \begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}&\stackrel{!}{=}&0&\\ (4\cdot2+(-8)\cdot(-4)+12\cdot7)&\stackrel{!}{=}&0&\\ 124&\neq&0&\\ \end{array}$
Daraus folgt: $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ stehen nicht orthogonal zueinander. Das Parallelogramm ist somit kein Rechteck.
1.4
$\blacktriangleright$ Prüfen, ob die Gerade das Parallelogramm durchstößt
Bei dieser Aufgabe musst du überprüfen, ob die Gerade $k$ das Parallelogramm $ABCD$ durchstößt, also ob ein Schnittpunkt zwischen beiden existiert.
Setze dazu die Geradengleichung mit der Ebene gleich, die die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ aufspannen.
Wenn ein Schnittpunkt existiert, dann musst du noch untersuchen, ob der Schnittpunkt $S$ innerhalb des Parallelogramms liegt, oder ob $k$ die Ebene außerhalb des Parallelogramms durchstößt.
Dazu werden die Parameter $r$ und $s$ betrachtet. Wenn einer größer als 1 ist, dann liegt der Schnittpunkt außerhalb der Fläche und $k$ durchstößt somit nicht das Parallelogramm.
1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
$\begin{array}{rcll} E: \vec{x}&=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AD}& \\ &=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
2. Schritt: Gerade mit der Ebene gleichsetzen
$\begin{array}{rrll} \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\8\\2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}&\scriptsize{ \mid\;-t\cdot\begin{pmatrix}4\\8\\2\end{pmatrix}}\\ \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-8\\-2\end{pmatrix}&\scriptsize{ \mid\;-\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}}\\ \begin{pmatrix}0\\-4\\2\end{pmatrix}&=&r\cdot\begin{pmatrix}4\\-8\\12\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-8\\-2\end{pmatrix}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rrll} \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\8\\2\end{pmatrix}&=&… \end{array}$
3. Schritt: Parameterwerte berechnen
Aus der Ebenengleichung ergibt sich folgendes LGS:
$\begin{array}{lrcrcrcrl} (1)&0&=&4r&+&2s&-&4t&\\ (2)&-4&=&-8r&-&4s&-&8t&\\ (3)&2&=&12r&+&7s&-&2t& \end{array}$
Nun hast du ein LGS, welches du mit dem GTR lösen kannst. Wähle dazu im EQUA–Menü deines GTR den Menüpunkt Lineares Gleichungssystem und anschließend die Anzahl der Unbekannten (3). Nun kannst du die Koeffizienten des LGS eingeben. Bestätigst du anschließend mit EXE, so erhältst du die Ergebnisse: $r=\dfrac{1}{2},\,s=-\dfrac{1}{2}$ und $t=\dfrac{1}{4}$.
Für $0\leq r\leq1$ und $0\leq s\leq1$ werden Punkte innerhalb des Parallelogramms dargestellt..
$r=\dfrac{1}{2}$ bedeutet, dass der Schnittpunkt auf der Hälfte der Länge von $\overrightarrow{AB}$ liegt. $s=-\dfrac{1}{2}$ zeigt, dass der Schnittpunkt weiterhin auf der Hälfte der Länge des Gegenvektors von $\overrightarrow{AD}$ liegt und dadurch außerhalb der Fläche des Parallelogramms.
Somit durchstößt $k$ das Parallelogramm $ABCD$ nicht.
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