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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur bis 2016 (GTR)
Abi 2016
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2015
Analysis
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Analysis
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Anwendungsorientierte...
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Lineare Optimierung 1
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Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie 1
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Lineare Optimierung 1
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Abi 2011
Analysis 1
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Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
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Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
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Wirtschaftliche Anwen...
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Lineare Optimierung 1
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Abi 2010
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2
Abi 2009
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
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Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2

Wirtschaftliche Anwendungen

Aufgaben
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Wirtschaftliche Anwendungen  Sämtliche Aufgaben entfallen ab 2017
1
Drei Weingärtner U, V und W eines Winzervereins bauen Trauben an. U baut die Sorte $R_1$ an, V die Sorte $R_2$ und W baut die Sorte $R_3$ an. Die Trauben werden zum Teil an den Winzerverein geliefert und zum Teil innerbetrieblich verarbeitet. Die Weingärtner U, V, W sind untereinander und mit dem Winzerverein nach dem Leontief-Modell verflochten. Die Inputmatrix dieser Verflechtung lautet
$A=\begin{pmatrix}0,06&0,02&0,05\\0,04&0,06&0,03\\0,02&0,04&0,06\end{pmatrix}$
1.1
Weingärtner U erntet 8.000 Mengeneinheiten (ME), Weingärtner V 9.000 ME und Weingärtner W 6.000 ME. Wie viele ME geben die Weingärtner davon an den Winzerverein ab? Erstellen Sie die hierzu gehörende Input-Output-Tabelle.
(5P)
1.2
Beschreiben Sie die Bedeutung der Zahlen 0,06 in der Hauptdiagonalen der Inputmatrix $A$.
(2P)
1.3
Aus den Trauben werden im Winzerverein zunächst die drei Zwischenprodukte $Z_1$, $Z_2$ und $Z_3$ und daraus die Endprodukte $E_1$, $E_2$ und $E_3$ hergestellt. Der Traubenbedarf in ME für je eine ME der Zwischenprodukte bzw. der Endprodukte ist den folgenden Tabellen zu entnehmen:
$Z_1$$Z_2$$Z_3$
$R_1$241
$R_2$334
$R_3$446
$E_1$$E_2$$E_3$
$R_1$12911
$R_2$171313
$R_3$241818
$Z_1$$Z_2$$Z_3$
$R_1$241
$R_2$334
$R_3$446
$E_1$$E_2$$E_3$
$R_1$12911
$R_2$171313
$R_3$241818
1.3.1
Berechnen Sie die Matrix für den mengenmäßigen Zusammenhang von Zwischenprodukten und Endprodukten.
(3P)
1.3.2
Vom Endprodukt $E_1$ werden 295 ME, vom Endprodukt $E_2$ 35 ME und vom Endprodukt $E_3$ 80 ME bestellt. Wie viele Mengeneinheiten der Traubensorten $R_1$, $R_2$ und $R_3$ müssen die Weingärtner an den Winzerverein liefern?
Wie groß ist ihre Gesamtproduktion für diese Bestellung?
(5P)

(15P)
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$ Input–Output–Tabelle aufstellen
Die drei Weingärtner $U$, $V$, $W$ und der Winzerverein sind nach dem Leontief–Modell miteinander verflochten. Es werden die Produkte $R_1$ von $U$, $R_2$ von $V$ und $R_3$ von $W$ hergestellt. Weiterhin ist die Input–Matrix $\boldsymbol{A}$ gegeben mit:
$A = \begin{pmatrix} 0,06 & 0,02 & 0,05 \\ 0,04 & 0,06 & 0,03 \\ 0,02 & 0,04 & 0,06 \end{pmatrix} $
Zudem ist angegeben, dass …
  • Weingärtner $U$ 8.000 ME,
  • Weingärtner $V$ 9.000 ME,
  • Weingärtner $W$ 6.000 ME
erntet. Deine Aufgabe ist es hier, die zugehörige Input–Output–Tabelle aufzustellen und anzugeben wieviel ME der Produkte jeweils an den Winzerverein abgegeben werden.
Der Winzerverein entspricht hierbei dem Markt. Der zugehöriger Marktabgabevektor $\boldsymbol{\overrightarrow{y}}$ kann wie folgt bestimmt werden:
$(E-A) \cdot \overrightarrow{x}= \overrightarrow{y} $
$(E-A) \cdot \overrightarrow{x}= \overrightarrow{y} $
Dabei ist $E$ die Einheitsmatrix, $A$ die gegebenen Input–Matrix und $\overrightarrow{x}$ der Produktionsvektor.
Eine Input–Output–Tabelle stellt das Produktionsverhalten verschiedener Sektoren und deren Verflechtung untereinander dar.
Die Zeilen der Input–Output–Tabelle enthalten Informationen darüber, wie die produzierte Ware jedes Sektors verwendet wird. Bei diesem Anteil spricht man vom sogenannten „Output“.
In den Spalten kannst du dahingegen ablesen, welche „Inputs“für die Produktion benötigt werden.
Eine solche Tabelle hat beispielsweise folgende Darstellung:
Input OutputSektor $U$ Sektor $V$ Sektor $W$ Winzerverein Gesamtproduktion
Sektor $U$
Sektor $V$
Sektor $W$
Input OutputSektor $U$
Sektor $U$
Sektor $V$
Sektor $W$
Hierbei wurden die drei gegebenen Sektoren $U$, $V$ und $W$ bereits eingetragen. Beachte, dass die Einträge in der Spalte Gesamtproduktion aus der Zeilensumme über die Werte der Spalten „Sektoren“und „Winzerverein“hervorgehen.
Um die Input–Output–Tabelle zum gegebenen Sachverhalt aufzustellen, kannst du die im Aufgabentext genannten Informationen eintragen und anschließend vervollständigen.
1.2
$\blacktriangleright$ Bedeutung der Elemente auf der Hauptdiagonalen beschreiben
Die Elemente auf der Hauptdiagonalen der Input–Matrix $A$ sind die folgenden grün markierten Elemente:
$A = \begin{pmatrix} \color{#87c800}{0,06}& 0,02 & 0,05 \\ 0,04 & \color{#87c800}{0,06} & 0,03 \\ 0,02 & 0,04 & \color{#87c800}{0,06} \end{pmatrix} $
Sie zeigen den prozentualen Anteil an der Produktion, den ein Sektor an sich selbst liefert bzw. für den Eigenbedarf verwendet. Was ist hier auffällig und was sagen die Elemente bzgl. der Gesamtproduktion aus?
1.3
1.3.1
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Matrix für End– und Zwischenprodukt
In der Aufgabenstellung sind zwei Tabellen gegeben. Die erste Tabelle beschreibt den Zusammenhang zwischen Rohstoffen und Zwischenprodukten und kann als Matrix wie folgt dargestellt werden:
$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & 6 \end{pmatrix} $
Die zweite Tabelle beschreibt dahingegen den Zusammenhang zwischen Rohstoffen und Endprodukten. Sie kann als Matrix so dargestellt werden:
$C = \begin{pmatrix} 12 & 9 & 11 \\ 17 & 13 & 13 \\ 24 & 18 & 18 \end{pmatrix} $
Um die Matrix $B$ für den Zusammenhang zwischen End– und Zwischenprodukt zu bestimmen, kannst du folgenden Zusammenhang verwenden:
$A \cdot B = C \Leftrightarrow A^{-1} \cdot A \cdot B = A^{-1} \cdot C \Leftrightarrow E \cdot B = A^{-1} \cdot C \Leftrightarrow B = A^{-1} \cdot C $
$A \cdot B $=$ C \Leftrightarrow A^{-1} \cdot A \cdot B $=$ A^{-1} \cdot C \Leftrightarrow E \cdot B $=$ A^{-1} \cdot C \Leftrightarrow B $=$ A^{-1} \cdot C $
Wir verwenden hierbei, dass eine Matrix multipliziert mit ihrer Inversen die Einheitsmatrix $E$ ergibt. Beachte aber, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist!
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  • Bestimme die Inverse $A^{-1}$ zur Matrix $A$.
  • Berechne $A^{-1} \cdot C$, um die Matrix $B$ zu erhalten.
1.3.2
$\blacktriangleright$ Mengeneinheiten der Rohstoffe berechnen
Aus den Trauben werden zunächst die drei Zwischenprodukte $Z_1$, $Z_2$ und $Z_3$ hergestellt, die später zu den Endprodukten $E_1$, $E_2$ und $E_3$ verarbeitet werden. Der Bedarf an Rohstoffen (Trauben) für die Herstellung der Endprodukte ist im Aufgabentext bereits durch folgende Tabelle festgelegt:
$Z_1$$Z_2$$Z_3$
$R_1$12911
$R_2$ 17 13 13
$R_3$ 24 18 18
Damit kannst du die Rohstoff–Endprodukt–Matrix $C$ wie folgt angeben:
$C = \begin{pmatrix} 12 & 9 & 11 \\ 17 & 13 & 13 \\ 24 & 18 & 18 \end{pmatrix} $
Es werden nun 295 ME von $E_1$, 35 ME von $E_2$ und 80 ME von $E_3$ vom Winzerverein bestellt. Deine Aufgabe ist es, anzugeben, wie viele ME von den Rohstoffen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ dazu benötigt werden.
Diesen Sachverhalt kannst du in folgender Formel ausdrücken:
$ \overrightarrow{r} = C \cdot \overrightarrow{p} $
$ \overrightarrow{r} = C \cdot \overrightarrow{p} $
Dabei beschreibt $\boldsymbol{\overrightarrow{r}}$ den gesuchten Rohstoffvektor, der die benötigten Rohstoffe in ME angibt. $\boldsymbol{\overrightarrow{p}}$ gibt die bestellten Endprodukte an.
Um zu berechnen, wie viel ME an den jeweiligen Rohstoffen notwendig sind, kannst du alle Angaben in die oben angeführte Formel einsetzen. Auflösen liefert dir die gesuchten Anzahl an ME der Rohstoffe.
$\blacktriangleright$ Größe der Gesamtproduktion ermitteln
Die Weingärtner $U$, $V$ und $W$ sind jeweils für die Produktion der Rohstoffe $R_1$, $R_2$ und $R_3$ verantwortlich. Dazu ist im Aufgabentext die Input–Matrix $\boldsymbol{A}$ gegeben.
Anhand der zuvor ermittelten Bestellung des Winzervereins sollst du die Größe der Gesamtproduktion bestimmen. Da die Bestellung gerade dem Marktabgabevektor $\boldsymbol{\overrightarrow{y}}$ und die gesuchte Gesamtproduktion dem Produktionsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{x}}$ entspricht, kannst du folgenden Zusammenhang verwenden:
$(E-A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y}= \overrightarrow{x} $
$(E-A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y}= \overrightarrow{x} $
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Lösungen TI
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1.1
$\blacktriangleright$ Input–Output–Tabelle aufstellen
Die drei Weingärtner $U$, $V$, $W$ und der Winzerverein sind nach dem Leontief–Modell miteinander verflochten. Es werden die Produkte $R_1$ von $U$, $R_2$ von $V$ und $R_3$ von $W$ hergestellt. Weiterhin ist die Input–Matrix $\boldsymbol{A}$ gegeben mit:
$A = \begin{pmatrix} 0,06 & 0,02 & 0,05 \\ 0,04 & 0,06 & 0,03 \\ 0,02 & 0,04 & 0,06 \end{pmatrix} $
Zudem ist angegeben, dass …
  • Weingärtner $U$ 8.000 ME,
  • Weingärtner $V$ 9.000 ME,
  • Weingärtner $W$ 6.000 ME
erntet. Deine Aufgabe ist es hier, die zugehörige Input–Output–Tabelle aufzustellen und anzugeben wieviel ME der Produkte jeweils an den Winzerverein abgegeben werden.
Der Winzerverein entspricht hierbei dem Markt. Der zugehöriger Marktabgabevektor $\boldsymbol{\overrightarrow{y}}$ kann wie folgt bestimmt werden:
$(E-A) \cdot \overrightarrow{x}= \overrightarrow{y} $
$(E-A) \cdot \overrightarrow{x}= \overrightarrow{y} $
Dabei ist $E$ die Einheitsmatrix, $A$ die gegebenen Input–Matrix und $\overrightarrow{x}$ der Produktionsvektor.
Eine Input–Output–Tabelle stellt das Produktionsverhalten verschiedener Sektoren und deren Verflechtung untereinander dar.
Die Zeilen der Input–Output–Tabelle enthalten Informationen darüber, wie die produzierte Ware jedes Sektors verwendet wird. Bei diesem Anteil spricht man vom sogenannten „Output“.
In den Spalten kannst du dahingegen ablesen, welche „Inputs“für die Produktion benötigt werden.
Eine solche Tabelle hat beispielsweise folgende Darstellung:
Input OutputSektor $U$ Sektor $V$ Sektor $W$ Winzerverein Gesamtproduktion
Sektor $U$
Sektor $V$
Sektor $W$
Input OutputSektor $U$
Sektor $U$
Sektor $V$
Sektor $W$
Hierbei wurden die drei gegebenen Sektoren $U$, $V$ und $W$ bereits eingetragen. Beachte, dass die Einträge in der Spalte Gesamtproduktion aus der Zeilensumme über die Werte der Spalten „Sektoren“und „Winzerverein“hervorgehen.
Um die Input–Output–Tabelle zum gegebenen Sachverhalt aufzustellen, kannst du die im Aufgabentext genannten Informationen eintragen und anschließend vervollständigen.
Im Aufgabentext wird jeweils genannt, wie viel die Weingärtner insgesamt ernten. Damit kannst du die Spalte „Gesamtproduktion“vervollständigen:
Input OutputSektor $U$ Sektor $V$ Sektor $W$ Winzerverein Gesamtproduktion
Sektor $U$ $a_{11}$$a_{12}$$a_{13}$$b_1$8.000
Sektor $V$ $a_{21}$$a_{22}$$a_{23}$$b_2$9.000
Sektor $W$ $a_{31}$$a_{32}$$a_{33}$$b_3$6.000
Input OutputSektor $U$
Sektor $U$ $a_{11}$
Sektor $V$ $a_{21}$
Sektor $W$ $a_{31}$
Für die Einträge $a_{ij}$ für $i,j \in \{1,2,3\}$ kannst du die Input–Matrix $\boldsymbol{A}$ verwenden:
Die Einträge $a_{ij}$ erhältst du, indem du den Produktionsvektor
$\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 8.000 \\ 9.000 \\ 6.000 \end{pmatrix}$
mit der Inputmatrix $A$ multiplizierst. Dadurch ergibt sich:
$\begin{array}{rcll} A \cdot \overrightarrow{x} &=& \begin{pmatrix} 0,06 & 0,02 & 0,05 \\ 0,04 & 0,06 & 0,03 \\ 0,02 & 0,04 & 0,06 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8.000 \\ 9.000 \\ 6.000 \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} 0,06 \cdot 8.000 &+& 0,02 \cdot 9.000 &+& 0,05 \cdot 6.000 \\ 0,04 \cdot 8.000 &+& 0,06 \cdot 9.000 &+& 0,03 \cdot 6.000\\ 0,02 \cdot 8.000 &+& 0,04 \cdot 9.000 &+& 0,06 \cdot 6.000 \end{pmatrix} &\\ &=& \begin{pmatrix} 480 &+& 180 &+& 300 \\ 320 &+& 540 &+& 180\\ 160 &+& 360 &+& 360 \end{pmatrix} & \end{array}$
$ A \cdot \overrightarrow{x} = \text{…}$
Damit hast du alle Einträge $a_{ij}$ bestimmt und kannst diese in die Input–Output–Tabelle eintragen:
Input OutputSektor $U$ Sektor $V$ Sektor $W$ Winzerverein Gesamtproduktion
Sektor $U$ 480180300$\boldsymbol{b_1}$ 8.000
Sektor $V$ 320540180$\boldsymbol{b_2}$9.000
Sektor $W$ 160360360$\boldsymbol{b_3}$6.000
Input OutputSektor $U$
Sektor $U$ 480
Sektor $V$ 320
Sektor $W$ 160
Die übrigen Einträge $\boldsymbol{b_i}$ kannst du bestimmen, indem du verwendest, dass die Einträge in der Spalte „Gesamtproduktion“jeweils aus der Zeilensumme über Sektoren und Winzerverein entstehen:
  • $b_1=8.000-480-180-300=7.040$
  • $b_2=9.000-320-540-180=7.960$
  • $b_3=6.000-160-360-360=5.120$
  • $b_1=7.040$
  • $b_2=7.960$
  • $b_3=5.120$
Alternativ kannst du den Marktabgabevektor $\overrightarrow{y}$ auch mit Hilfe des folgendem Zusammenhangs bestimmen:
$ (E-A) \cdot \overrightarrow{x}= \overrightarrow{y} $
$ (E-A) \cdot \overrightarrow{x}= \overrightarrow{y} $
Dabei entspricht $E$ der Einheitsmatrix, $A$ der gegebenen Input–Matrix und $\overrightarrow{x}$ dem bekannten Produktionsvektor.
Definiere die notwendigen Matrizen E und A sowie den Produktionsvektor $\overrightarrow{x}$ in deinem GTR und kehre zurück ins Hauptmenü. Dort kannst du die oben angeführte Gleichung eingeben, indem du unter MATRIX $\to$ NAMES die entsprechenden Matrizen auswählst.
Bestätigen mit Enter liefert dir den gesuchten Marktabgabevektor $\overrightarrow{y}$.
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
Damit hast du alle Einträge der Input–Output–Tabelle bestimmt:
Input OutputSektor $U$ Sektor $V$ Sektor $W$ Winzerverein Gesamtproduktion
Sektor $U$ 480180300$\boldsymbol{7.040}$ 8.000
Sektor $V$ 320540180$\boldsymbol{7.960}$9.000
Sektor $W$ 160360360$\boldsymbol{5.120}$6.000
Input OutputSektor $U$
Sektor $U$ 480
Sektor $V$ 320
Sektor $W$ 160
Der grün markierte Marktabgabevektor entspricht den ME, die an den Winzerverein abgegeben werden. Das heißt, es werden jeweils
  • 7.040 ME vom Weingärtner $U$,
  • 7.960 ME vom Weingärtner $V$ und
  • 5.120 ME vom Weingärtner $W$
an den Winzerverein abgegeben.
1.2
$\blacktriangleright$ Bedeutung der Elemente auf der Hauptdiagonalen beschreiben
Die Elemente auf der Hauptdiagonalen der Input–Matrix $A$ sind die folgenden grün markierten Elemente:
$A = \begin{pmatrix} \color{#87c800}{0,06}& 0,02 & 0,05 \\ 0,04 & \color{#87c800}{0,06} & 0,03 \\ 0,02 & 0,04 & \color{#87c800}{0,06} \end{pmatrix} $
Sie zeigen den prozentualen Anteil an der Produktion, den ein Sektor an sich selbst liefert bzw. für den Eigenbedarf verwendet. Du kannst anhand der Input–Matrix $A$ erkennen, dass die Elemente auf der Hauptdiagonalen identisch sind. Das heißt, dass jeder Sektor einen gleich großen Anteil der Gesamtproduktion zum Eigenverbrauch verwendet. In diesem Fall sind das $\boldsymbol{6\%}$ die zum Eigenverbrauch verwendet werden.
1.3
1.3.1
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Matrix für End– und Zwischenprodukt
In der Aufgabenstellung sind zwei Tabellen gegeben. Die erste Tabelle beschreibt den Zusammenhang zwischen Rohstoffen und Zwischenprodukten und kann als Matrix wie folgt dargestellt werden:
$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & 6 \end{pmatrix} $
Die zweite Tabelle beschreibt dahingegen den Zusammenhang zwischen Rohstoffen und Endprodukten. Sie kann als Matrix so dargestellt werden:
$C = \begin{pmatrix} 12 & 9 & 11 \\ 17 & 13 & 13 \\ 24 & 18 & 18 \end{pmatrix} $
Um die Matrix $B$ für den Zusammenhang zwischen End– und Zwischenprodukt zu bestimmen, kannst du folgenden Zusammenhang verwenden:
$A \cdot B = C $ $\Leftrightarrow A^{-1} \cdot A \cdot B = A^{-1} \cdot C$ $ \Leftrightarrow E \cdot B = A^{-1} \cdot C $ $\Leftrightarrow B = A^{-1} \cdot C $
$A \cdot B = C $ $\Leftrightarrow A^{-1} \cdot A \cdot B = A^{-1} \cdot C$ $ \Leftrightarrow E \cdot B = A^{-1} \cdot C $ $\Leftrightarrow B = A^{-1} \cdot C $
Wir verwenden hierbei, dass eine Matrix multipliziert mit ihrer Inversen die Einheitsmatrix $E$ ergibt. Beachte aber, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist!
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  • Bestimme die Inverse $A^{-1}$ zur Matrix $A$.
  • Berechne $A^{-1} \cdot C$, um die Matrix $B$ zu erhalten.
1. Schritt: Inverse zur Matrix $\boldsymbol{A}$ bestimmen
Die Inverse zur Matrix $A$ kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen. Definiere die Matrix $A$ in deinem GTR und kehre zurück ins Hauptmenü.
Dort kannst du die Matrix $A$ unter MATRIX $\to$ NAMES$ auswählen. Mit der Taste $^{-1}$ kannst du die Inverse der eingegebenen Matrix bilden.
Bestätigen mit Enter liefert dir die Inverse zur Matrix $A$:
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
$A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 5 & -\frac{13}{4} \\ \frac{1}{2} & -2 & \frac{5}{4} \\ 0 & -2 & \frac{3}{2} \end{pmatrix} $
2. Schritt: Matrix $\boldsymbol{B}$ für End– und Zwischenprodukt ermitteln
Für die gesuchte Matrix $B$ gilt folgender Zusammenhang: $\boldsymbol{B=A^{-1} \cdot C}$. Multipliziere folglich die Matrix $C$ mit der bestimmten Inversen. Wichtig ist hierbei, dass du die Reihenfolge beibehältst.
Wirtschaftliche Anwendungen
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Dadurch erhältst du die gesuchte Matrix $B$, die den Zusammenhang zwischen End– und Zwischenprodukt beschreibt mit:
$B= A^{-1} \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} $
1.3.2
$\blacktriangleright$ Mengeneinheiten der Rohstoffe berechnen
Aus den Trauben werden zunächst die drei Zwischenprodukte $Z_1$, $Z_2$ und $Z_3$ hergestellt, die später zu den Endprodukten $E_1$, $E_2$ und $E_3$ verarbeitet werden. Der Bedarf an Rohstoffen (Trauben) für die Herstellung der Endprodukte ist im Aufgabentext bereits durch folgende Tabelle festgelegt:
$Z_1$$Z_2$$Z_3$
$R_1$12911
$R_2$ 17 13 13
$R_3$ 24 18 18
Damit kannst du die Rohstoff–Endprodukt–Matrix $C$ wie folgt angeben:
$C = \begin{pmatrix} 12 & 9 & 11 \\ 17 & 13 & 13 \\ 24 & 18 & 18 \end{pmatrix} $
Es werden nun 295 ME von $E_1$, 35 ME von $E_2$ und 80 ME von $E_3$ vom Winzerverein bestellt. Deine Aufgabe ist es, anzugeben, wie viele ME von den Rohstoffen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ dazu benötigt werden.
Diesen Sachverhalt kannst du in folgender Formel ausdrücken:
$ \overrightarrow{r} = C \cdot \overrightarrow{p} $
$ \overrightarrow{r} = C \cdot \overrightarrow{p} $
Dabei beschreibt $\boldsymbol{\overrightarrow{r}}$ den gesuchten Rohstoffvektor, der die benötigten Rohstoffe in ME angibt. $\boldsymbol{\overrightarrow{p}}$ gibt die bestellten Endprodukte an.
Um zu berechnen, wie viel ME an den jeweiligen Rohstoffen notwendig sind, kannst du alle Angaben in die oben angeführte Formel einsetzen. Auflösen liefert dir die gesuchten Anzahl an ME der Rohstoffe.
$\begin{array}{rcll} \overrightarrow{r} &=& C \cdot \overrightarrow{p} &\\ \begin{pmatrix} R_1 \\ R_2 \\ R_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 12 & 9 & 11 \\ 17 & 13 & 13 \\ 24 & 18 & 18 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 295 \\ 35 \\ 80 \end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \overrightarrow{r} &=& C \cdot \overrightarrow{p} \end{array}$
Dieses Matrix–Vektor–Produkt kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen.
Definiere die notwendige Matrix $C$ sowie den Endproduktionsvektor $\overrightarrow{p}$ in deinem GTR und kehre zurück ins Hauptmenü. Dort kannst du die oben angeführte Gleichung eingeben, indem du unter MATRIX $\to$ NAMES die entsprechenden Matrizen auswählst.
Bestätigen mit Enter liefert dir das Matrix–Vektor–Produkt $ C \cdot \overrightarrow{p}$. Dadurch kannst du den gesuchten Rohstoffvektor direkt ablesen:
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
$ \begin{pmatrix} R_1 \\ R_2 \\ R_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4.735 \\ 6.510 \\ 9.150 \end{pmatrix} $
Es müssen
  • 4.735 ME von $R_1$,
  • 6.510 ME von $R_2$ und
  • 9.150 ME von $R_3$
produziert werden, damit die bestellte Menge an Endprodukten hergestellt werden kann.
$\blacktriangleright$ Größe der Gesamtproduktion ermitteln
Die Weingärtner $U$, $V$ und $W$ sind jeweils für die Produktion der Rohstoffe $R_1$, $R_2$ und $R_3$ verantwortlich. Dazu ist im Aufgabentext die Input–Matrix $\boldsymbol{A}$ gegeben.
Anhand der zuvor ermittelten Bestellung des Winzervereins sollst du die Größe der Gesamtproduktion bestimmen. Da die Bestellung gerade dem Marktabgabevektor $\boldsymbol{\overrightarrow{y}}$ und die gesuchte Gesamtproduktion dem Produktionsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{x}}$ entspricht, kannst du folgenden Zusammenhang verwenden:
$(E-A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y}= \overrightarrow{x} $
$(E-A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y}= \overrightarrow{x} $
Dabei stellt $E$ die Einheitsmatrix, $A$ die gegebene Input–Matrix dar und mit dem Aufgabenteil zuvor gilt:
$ \overrightarrow{y} = \begin{pmatrix} 4.735 \\ 6.510 \\ 9.150 \end{pmatrix} $
Gib die linke Seite der Gleichung $\boldsymbol{(E-A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y}}$ im GTR ein. Beachte auch hier, dass bei der Multiplikation mit Matrizen keine Kommutativität vorliegt und daher die Reihenfolge beibehalten werden muss.
Bestätigen mit EXE liefert dir den Konsumvektor $\overrightarrow{x}$, der die Größe der Gesamtproduktion in ME angibt mit:
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
$\overrightarrow{x} \approx \begin{pmatrix} 5.737,9 \\ 7.494,4 \\ 10.175 \end{pmatrix} $
Liefern die Weingärtner $U$, $V$ und $W$ 4.735 ME von $R_1$, 6.510 ME von $R_2$ und 9.150 ME von $R_3$ an den Winzerverein, so ergibt sich eine Gesamtproduktion von
  • 5.737,9 an $R_1$,
  • 7.494,4 an $R_2$ und
  • 10.175 an $R_3$.
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1.1
$\blacktriangleright$ Input–Output–Tabelle aufstellen
Die drei Weingärtner $U$, $V$, $W$ und der Winzerverein sind nach dem Leontief–Modell miteinander verflochten. Es werden die Produkte $R_1$ von $U$, $R_2$ von $V$ und $R_3$ von $W$ hergestellt. Weiterhin ist die Input–Matrix $\boldsymbol{A}$ gegeben mit:
$A = \begin{pmatrix} 0,06 & 0,02 & 0,05 \\ 0,04 & 0,06 & 0,03 \\ 0,02 & 0,04 & 0,06 \end{pmatrix} $
Zudem ist angegeben, dass …
  • Weingärtner $U$ 8.000 ME,
  • Weingärtner $V$ 9.000 ME,
  • Weingärtner $W$ 6.000 ME
erntet. Deine Aufgabe ist es hier, die zugehörige Input–Output–Tabelle aufzustellen und anzugeben wieviel ME der Produkte jeweils an den Winzerverein abgegeben werden.
Der Winzerverein entspricht hierbei dem Markt. Der zugehöriger Marktabgabevektor $\boldsymbol{\overrightarrow{y}}$ kann wie folgt bestimmt werden:
$(E-A) \cdot \overrightarrow{x}= \overrightarrow{y} $
$(E-A) \cdot \overrightarrow{x}= \overrightarrow{y} $
Dabei ist $E$ die Einheitsmatrix, $A$ die gegebenen Input–Matrix und $\overrightarrow{x}$ der Produktionsvektor.
Eine Input–Output–Tabelle stellt das Produktionsverhalten verschiedener Sektoren und deren Verflechtung untereinander dar.
Die Zeilen der Input–Output–Tabelle enthalten Informationen darüber, wie die produzierte Ware jedes Sektors verwendet wird. Bei diesem Anteil spricht man vom sogenannten „Output“.
In den Spalten kannst du dahingegen ablesen, welche „Inputs“für die Produktion benötigt werden.
Eine solche Tabelle hat beispielsweise folgende Darstellung:
Input OutputSektor $U$ Sektor $V$ Sektor $W$ Winzerverein Gesamtproduktion
Sektor $U$
Sektor $V$
Sektor $W$
Input OutputSektor $U$
Sektor $U$
Sektor $V$
Sektor $W$
Hierbei wurden die drei gegebenen Sektoren $U$, $V$ und $W$ bereits eingetragen. Beachte, dass die Einträge in der Spalte Gesamtproduktion aus der Zeilensumme über die Werte der Spalten „Sektoren“und „Winzerverein“hervorgehen.
Um die Input–Output–Tabelle zum gegebenen Sachverhalt aufzustellen, kannst du die im Aufgabentext genannten Informationen eintragen und anschließend vervollständigen.
Im Aufgabentext wird jeweils genannt, wie viel die Weingärtner insgesamt ernten. Damit kannst du die Spalte „Gesamtproduktion“vervollständigen:
Input OutputSektor $U$ Sektor $V$ Sektor $W$ Winzerverein Gesamtproduktion
Sektor $U$ $a_{11}$$a_{12}$$a_{13}$$b_1$8.000
Sektor $V$ $a_{21}$$a_{22}$$a_{23}$$b_2$9.000
Sektor $W$ $a_{31}$$a_{32}$$a_{33}$$b_3$6.000
Input OutputSektor $U$
Sektor $U$ $a_{11}$
Sektor $V$ $a_{21}$
Sektor $W$ $a_{31}$
Für die Einträge $a_{ij}$ für $i,j \in \{1,2,3\}$ kannst du die Input–Matrix $\boldsymbol{A}$ verwenden:
Die Einträge $a_{ij}$ erhältst du, indem du den Produktionsvektor
$\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 8.000 \\ 9.000 \\ 6.000 \end{pmatrix}$
mit der Inputmatrix $A$ multiplizierst. Dadurch ergibt sich:
$\begin{array}{rcll} A \cdot \overrightarrow{x} &=& \begin{pmatrix} 0,06 & 0,02 & 0,05 \\ 0,04 & 0,06 & 0,03 \\ 0,02 & 0,04 & 0,06 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8.000 \\ 9.000 \\ 6.000 \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} 0,06 \cdot 8.000 &+& 0,02 \cdot 9.000 &+& 0,05 \cdot 6.000 \\ 0,04 \cdot 8.000 &+& 0,06 \cdot 9.000 &+& 0,03 \cdot 6.000\\ 0,02 \cdot 8.000 &+& 0,04 \cdot 9.000 &+& 0,06 \cdot 6.000 \end{pmatrix} &\\ &=& \begin{pmatrix} 480 &+& 180 &+& 300 \\ 320 &+& 540 &+& 180\\ 160 &+& 360 &+& 360 \end{pmatrix} & \end{array}$
$\begin{array}{rcll} A \cdot \overrightarrow{x} &=& \begin{pmatrix} 0,06 & 0,02 & 0,05 \\ 0,04 & 0,06 & 0,03 \\ 0,02 & 0,04 & 0,06 \end{pmatrix} \end{array}$
Damit hast du alle Einträge $a_{ij}$ bestimmt und kannst diese in die Input–Output–Tabelle eintragen:
Input OutputSektor $U$ Sektor $V$ Sektor $W$ Winzerverein Gesamtproduktion
Sektor $U$ 480180300$\boldsymbol{b_1}$ 8.000
Sektor $V$ 320540180$\boldsymbol{b_2}$9.000
Sektor $W$ 160360360$\boldsymbol{b_3}$6.000
Input OutputSektor $U$
Sektor $U$ 480
Sektor $V$ 320
Sektor $W$ 160
Die übrigen Einträge $\boldsymbol{b_i}$ kannst du bestimmen, indem du verwendest, dass die Einträge in der Spalte „Gesamtproduktion“jeweils aus der Zeilensumme über Sektoren und Winzerverein entstehen:
  • $b_1=8.000-480-180-300=7.040$
  • $b_2=9.000-320-540-180=7.960$
  • $b_3=6.000-160-360-360=5.120$
  • $b_1=7.040$
  • $b_2=7.960$
  • $b_3=5.120$
Alternativ kannst du den Marktabgabevektor $\overrightarrow{y}$ auch mit Hilfe des folgendem Zusammenhangs bestimmen:
$ (E-A) \cdot \overrightarrow{x}= \overrightarrow{y} $
$ (E-A) \cdot \overrightarrow{x}= \overrightarrow{y} $
Dabei entspricht $E$ der Einheitsmatrix, $A$ der gegebenen Input–Matrix und $\overrightarrow{x}$ dem bekannten Produktionsvektor.
Gib die notwendigen Matrizen $E$ und $A$ sowie den Produktionsvektor $\overrightarrow{x}$ in deinem GTR im RUN–MAT–Menü an. Dort kannst du die oben angeführte Gleichung eingeben, indem du unter MATH $\to$ MAT $\to$ m $\times$ n die Dimensionen der Matrizen zunächst angibst und anschließend die Einträge vervollständigst.
Bestätigen mit EXE liefert dir den gesuchten Marktabgabevektor $\overrightarrow{y}$.
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
Damit hast du alle Einträge der Input–Output–Tabelle bestimmt:
Input OutputSektor $U$ Sektor $V$ Sektor $W$ Winzerverein Gesamtproduktion
Sektor $U$ 480180300$\boldsymbol{7.040}$ 8.000
Sektor $V$ 320540180$\boldsymbol{7.960}$9.000
Sektor $W$ 160360360$\boldsymbol{5.120}$6.000
Input OutputSektor $U$ Sektor $V$
Sektor $U$ 480180
Sektor $V$ 320540
Sektor $W$ 160360
Der grün markierte Marktabgabevektor entspricht den ME, die an den Winzerverein abgegeben werden. Das heißt, es werden jeweils
  • 7.040 ME vom Weingärtner $U$,
  • 7.960 ME vom Weingärtner $V$ und
  • 5.120 ME vom Weingärtner $W$
an den Winzerverein abgegeben.
1.2
$\blacktriangleright$ Bedeutung der Elemente auf der Hauptdiagonalen beschreiben
Die Elemente auf der Hauptdiagonalen der Input–Matrix $A$ sind die folgenden grün markierten Elemente:
$A = \begin{pmatrix} \color{#87c800}{0,06}& 0,02 & 0,05 \\ 0,04 & \color{#87c800}{0,06} & 0,03 \\ 0,02 & 0,04 & \color{#87c800}{0,06} \end{pmatrix} $
Sie zeigen den prozentualen Anteil an der Produktion, den ein Sektor an sich selbst liefert bzw. für den Eigenbedarf verwendet. Du kannst anhand der Input–Matrix $A$ erkennen, dass die Elemente auf der Hauptdiagonalen identisch sind. Das heißt, dass jeder Sektor einen gleich großen Anteil der Gesamtproduktion zum Eigenverbrauch verwendet. In diesem Fall sind das $\boldsymbol{6\%}$ die zum Eigenverbrauch verwendet werden.
1.3
1.3.1
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Matrix für End– und Zwischenprodukt
In der Aufgabenstellung sind zwei Tabellen gegeben. Die erste Tabelle beschreibt den Zusammenhang zwischen Rohstoffen und Zwischenprodukten und kann als Matrix wie folgt dargestellt werden:
$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & 6 \end{pmatrix} $
Die zweite Tabelle beschreibt dahingegen den Zusammenhang zwischen Rohstoffen und Endprodukten. Sie kann als Matrix so dargestellt werden:
$C = \begin{pmatrix} 12 & 9 & 11 \\ 17 & 13 & 13 \\ 24 & 18 & 18 \end{pmatrix} $
Um die Matrix $B$ für den Zusammenhang zwischen End– und Zwischenprodukt zu bestimmen, kannst du folgenden Zusammenhang verwenden:
$A \cdot B $$= C \Leftrightarrow A^{-1} \cdot A \cdot B $$= A^{-1} \cdot C \Leftrightarrow E \cdot B $$= A^{-1} \cdot C \Leftrightarrow B $$= A^{-1} \cdot C $
$A \cdot B $$= C \Leftrightarrow A^{-1} \cdot A \cdot B $$= A^{-1} \cdot C \Leftrightarrow E \cdot B $$= A^{-1} \cdot C \Leftrightarrow B $$= A^{-1} \cdot C $
Wir verwenden hierbei, dass eine Matrix multipliziert mit ihrer Inversen die Einheitsmatrix $E$ ergibt. Beachte aber, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist!
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  • Bestimme die Inverse $A^{-1}$ zur Matrix $A$.
  • Berechne $A^{-1} \cdot C$, um die Matrix $B$ zu erhalten.
1. Schritt: Inverse zur Matrix $\boldsymbol{A}$ bestimmen
Die Inverse zur Matrix $A$ kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen. Erstelle die Matrix $A$ in deinem GTR im RUN–MAT–Menü.
Mit $^{-1}$ kannst du die Inverse der eingegebenen Matrix bilden.
Bestätigen mit EXE liefert dir die Inverse zur Matrix $A$:
Wirtschaftliche Anwendungen
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$A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 5 & -\frac{13}{4} \\ \frac{1}{2} & -2 & \frac{5}{4} \\ 0 & -2 & \frac{3}{2} \end{pmatrix} $
2. Schritt: Matrix $\boldsymbol{B}$ für End– und Zwischenprodukt ermitteln
Für die gesuchte Matrix $B$ gilt folgender Zusammenhang: $\boldsymbol{B=A^{-1} \cdot C}$. Multipliziere folglich die Matrix $C$ mit der bestimmten Inversen. Wichtig ist hierbei, dass du die Reihenfolge beibehältst.
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
Dadurch erhältst du die gesuchte Matrix $B$, die den Zusammenhang zwischen End– und Zwischenprodukt beschreibt mit:
$B= A^{-1} \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} $
1.3.2
$\blacktriangleright$ Mengeneinheiten der Rohstoffe berechnen
Aus den Trauben werden zunächst die drei Zwischenprodukte $Z_1$, $Z_2$ und $Z_3$ hergestellt, die später zu den Endprodukten $E_1$, $E_2$ und $E_3$ verarbeitet werden. Der Bedarf an Rohstoffen (Trauben) für die Herstellung der Endprodukte ist im Aufgabentext bereits durch folgende Tabelle festgelegt:
$Z_1$$Z_2$$Z_3$
$R_1$12911
$R_2$ 17 13 13
$R_3$ 24 18 18
Damit kannst du die Rohstoff–Endprodukt–Matrix $C$ wie folgt angeben:
$C = \begin{pmatrix} 12 & 9 & 11 \\ 17 & 13 & 13 \\ 24 & 18 & 18 \end{pmatrix} $
Es werden nun 295 ME von $E_1$, 35 ME von $E_2$ und 80 ME von $E_3$ vom Winzerverein bestellt. Deine Aufgabe ist es, anzugeben, wie viele ME von den Rohstoffen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ dazu benötigt werden.
Diesen Sachverhalt kannst du in folgender Formel ausdrücken:
$ \overrightarrow{r} = C \cdot \overrightarrow{p} $
$ \overrightarrow{r} = C \cdot \overrightarrow{p} $
Dabei beschreibt $\boldsymbol{\overrightarrow{r}}$ den gesuchten Rohstoffvektor, der die benötigten Rohstoffe in ME angibt. $\boldsymbol{\overrightarrow{p}}$ gibt die bestellten Endprodukte an.
Um zu berechnen, wie viel ME an den jeweiligen Rohstoffen notwendig sind, kannst du alle Angaben in die oben angeführte Formel einsetzen. Auflösen liefert dir die gesuchten Anzahl an ME der Rohstoffe.
$\begin{array}{rcll} \overrightarrow{r} &=& C \cdot \overrightarrow{p} &\\ \begin{pmatrix} R_1 \\ R_2 \\ R_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 12 & 9 & 11 \\ 17 & 13 & 13 \\ 24 & 18 & 18 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 295 \\ 35 \\ 80 \end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \overrightarrow{r} &=& C \cdot \overrightarrow{p} &\\
Dieses Matrix–Vektor–Produkt kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen.
Bestätigen mit EXE liefert dir das Matrix–Vektor–Produkt $ C \cdot \overrightarrow{p}$. Dadurch kannst du den gesuchten Rohstoffvektor direkt ablesen:
Erstelle die Matrix $C$ sowie den Endproduktionsvektor $\overrightarrow{p}$ in deinem GTR.
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
$ \begin{pmatrix} R_1 \\ R_2 \\ R_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4.735 \\ 6.510 \\ 9.150 \end{pmatrix} $
Es müssen
  • 4.735 ME von $R_1$,
  • 6.510 ME von $R_2$ und
  • 9.150 ME von $R_3$
produziert werden, damit die bestellte Menge an Endprodukten hergestellt werden kann.
$\blacktriangleright$ Größe der Gesamtproduktion ermitteln
Die Weingärtner $U$, $V$ und $W$ sind jeweils für die Produktion der Rohstoffe $R_1$, $R_2$ und $R_3$ verantwortlich. Dazu ist im Aufgabentext die Input–Matrix $\boldsymbol{A}$ gegeben.
Anhand der zuvor ermittelten Bestellung des Winzervereins sollst du die Größe der Gesamtproduktion bestimmen. Da die Bestellung gerade dem Marktabgabevektor $\boldsymbol{\overrightarrow{y}}$ und die gesuchte Gesamtproduktion dem Produktionsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{x}}$ entspricht, kannst du folgenden Zusammenhang verwenden:
$(E-A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y}= \overrightarrow{x} $
$(E-A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y}= \overrightarrow{x} $
Dabei stellt $E$ die Einheitsmatrix, $A$ die gegebene Input–Matrix dar und mit dem Aufgabenteil zuvor gilt:
$ \overrightarrow{y} = \begin{pmatrix} 4.735 \\ 6.510 \\ 9.150 \end{pmatrix} $
Gib die linke Seite der Gleichung $\boldsymbol{(E-A)^{-1} \cdot \overrightarrow{y}}$ im GTR ein. Beachte auch hier, dass bei der Multiplikation mit Matrizen keine Kommutativität vorliegt und daher die Reihenfolge beibehalten werden muss.
Bestätigen mit EXE liefert dir den Konsumvektor $\overrightarrow{x}$, der die Größe der Gesamtproduktion in ME angibt mit:
Wirtschaftliche Anwendungen
Wirtschaftliche Anwendungen
$\overrightarrow{x} \approx \begin{pmatrix} 5.737,9 \\ 7.494,4 \\ 10.175 \end{pmatrix} $
Liefern die Weingärtner $U$, $V$ und $W$ 4.735 ME von $R_1$, 6.510 ME von $R_2$ und 9.150 ME von $R_3$ an den Winzerverein, so ergibt sich eine Gesamtproduktion von
  • 5.737,9 an $R_1$,
  • 7.494,4 an $R_2$ und
  • 10.175 an $R_3$.
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