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Lernbereich Abitur bis 2016 (GTR)
Abi 2016
Analysis
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Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
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Abi 2011
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Vektorgeometrie 1
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Analysis 1
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Vektorgeometrie 1
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Vektorgeometrie 1
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Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2

Vektorgeometrie

Aufgaben
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1
Gegeben sind die drei Punkte $A(2\mid1\mid1)$, $B(6\mid4\mid1)$ und $C(3\mid8\mid1)$.
1.1
Weise nach, dass das Dreieck $ABC$ in der Ebene
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$ mit $s,t\in\mathbb{R}$ liegt.
Welche besondere Lage hat diese Ebene?
(3P)
Vektorgeometrie  Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Untersuche, ob dieses Dreieck $ABC$ gleichschenklig und rechtwinklig ist.
(4P)
Vektorgeometrie  Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.3
Gib die Koordinaten eines Punktes $D$ an, sodass die Pyramide $ABCD$ ein Volumen von $125$ Volumeneinheiten hat.
(3P)
Vektorgeometrie  Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.4
Eine Gerade verläuft durch den Punkt $Q(7\mid6\mid5)$ in Richtung des Vektors $\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}$.
Bestimme den Punkt, in dem diese Gerade die Ebene $E$ schneidet.
Begründe mit Hilfe einer Zeichnung, dass die Gerade im Innern des Dreiecks $ABC$ auf die Ebene trifft.
(3P)
Vektorgeometrie  Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln

(15P)
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Tipps
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$ Zeige, dass das Dreieck in der Ebene liegt
Gegeben ist eine Ebene $E$ mit
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$ mit $s,t\in\mathbb{R}$
und die Koordinaten eines Dreiecks.
Deine Aufgabe ist es, zu zeigen, dass das Dreieck in der Ebene liegt. Dazu genügt es eine Punktprobe durchzuführen und so zu zeigen, dass die Punkte $A$, $B$ und $C$ in der Ebene liegen.
Setze Ortsvektoren der Punkte $A$, $B$ und $C$ in die Ebenengleichung ein und bringe den Stützvektor auf die Seite der Gleichung mit dem Ortsvektor des Punktes. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem, dass du mit dem GTR lösen kannst. Existieren solche Parameter, so liegt der Punkt in der Ebene.
$\blacktriangleright$ Besondere Lage der Ebene
Betrachte die Richtungsvektoren der Ebene $E$, überlege dir wie die $x_3$–Koordinaten der Punkte in der Ebene lauten und was das für die Lage der Ebene zu bedeuten hat.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Überprüfe, ob das Dreieck gleichschenklig ist
Du sollst überprüfen, ob das Dreieck $ABC$ ein gleichschenkliges Dreieck ist. Dafür müssen zwei der Seiten des Dreiecks gleich lang sein.
Du kannst folgendermaßen vorgehen:
  1. Stelle die Verbindungsvektoren der Eckpunkte auf.
  2. Berechne die Länge der Strecken mit Hilfe des Betrags der zuvor aufgestellten Vektoren.
$\blacktriangleright$  Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist
Damit das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist, müssen zwei der Seiten einen rechten Winkel bilden. Dies ist der Fall, wenn zwei der Vektoren, die durch die Seiten aufgespannt werden, orthogonal zueinander liegen. Berechne die Skalarprodukte. Wenn ein Skalarprodukt $=0$ ist, sind die Vektoren orthogonal.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$ Punkt $\boldsymbol{D}$ bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Koordinaten des Punkts $D(d_1\mid d_2 \mid d_3)$ bestimmen, sodass die Pyramide $ABCD$ ein Volumen von $125$ VE hat.
Das Dreieck $ABC$ ist die Grundfläche $G$ der Pyramide. Das Volumen einer Pyramide berechnest du mit folgender Formel:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Wobei $h$ die Höhe der Pyramide darstellt.
Berechne zunächst die Fläche des Dreiecks $ABC$. Dann kennst du die Größe der Grundfläche und das Volumen, nun kannst du die Höhe $h$ der Pyramide berechnen.
Aus Aufgabenteil 1.1 ist dir bekannt, dass die Ebene, in der das Dreieck liegt, parallel zur $x_1$–$x_2$–Ebene verläuft und die $x_3$-Koordinaten der Eckpunkte der Grundfläche $x_3=1$ ist. Deshalb muss man also zu dieser $x_3$–Koordinate die Höhe addieren oder subtrahieren, um die $x_3$–Koordinate der Spitze zu erhalten. Überlege dir, welche Werte die Koordinaten $d_1$ und $d_2$ haben können.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt bestimmen
Um den Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der Geraden $g$ zu bestimmen, stelle zunächst die Geradengleichung auf und berechne den Schnittpunkt durch Gleichsetzen.
Du hast einen Punkt und die Richtung der Geraden gegeben. Verwende den Vektor $\overrightarrow{OQ}$ als Stützvektor und die Richtung als Richtungsvektor.
Setze nun die Geradengleichung $g$ mit der Ebenengleichung gleich. Bringst du nun alle Richtungsvektoren auf eine Seite der Gleichung und alle Stützvektoren auf die andere, so erhältst du ein lineares Gleichungssystem.
$\blacktriangleright$  Zeichnung
Zur Vereinfachung betrachten wir in der Skizze nur die $x_1$– und die $x_2$–Koordinaten in der Ebene $E$. Die $x_3$–Koordinate ist für alle Punkte der Ebene $x_3=1$ und auch der Punkt $P$ hat $x_3=1$, somit liegt er in der Ebene $E$ und es reicht die $x_1$– und die $x_2$–Koordinaten zu betrachten.
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Lösungen TI
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$ Zeige, dass das Dreieck in der Ebene liegt
Gegeben ist eine Ebene $E$ mit
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$ mit $s,t\in\mathbb{R}$
und die Koordinaten eines Dreiecks.
Deine Aufgabe ist es, zu zeigen, dass das Dreieck in der Ebene liegt. Dazu genügt es, eine Punktprobe durchzuführen und so zu zeigen, dass die Punkte $A$, $B$ und $C$ in der Ebene liegen.
Setze Ortsvektoren der Punkte $A$, $B$ und $C$ in die Ebenengleichung ein und bringe den Stützvektor auf die Seite der Gleichung mit dem Ortsvektor des Punktes. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem, das du als erweiterte Koeffizientenmatrix darstellen kannst. Diese kannst du mit Hilfe des rref-Befehls mit dem GTR lösen.
Existieren Werte für die Parameter $s$ und $t$, so liegt der Punkt in der Ebene.
Punkt $\boldsymbol{A}$:
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \mid\; -\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}&=&s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix} \end{array}$
Hier kannst du schon direkt ablesen, dass die $3$ Gleichungen für $s=0=t$ erfüllt werden, da der Ortsvektor gerade dem Stützvektor der Ebene entspricht.
Punkt $\boldsymbol{B}$:
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \mid\; -\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}&=&s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix} \end{array}$
Die erweiterte Koeffizientenmatrix lautet:
$\begin{pmatrix}4&1&4\\3&7&3\\0&0&0\end{pmatrix}$
Punkt $\boldsymbol{C}$:
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}8\\3\\1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \mid\; -\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}6\\2\\0\end{pmatrix}&=&s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix} \end{array}$
Die erweiterte Koeffizientenmatrix lautet:
$\begin{pmatrix}4&1&6\\3&7&2\\0&0&0\end{pmatrix}$
Der Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ entspricht gerade dem Stützvektor der Ebene, somit liegt der Punkt $A$ in der Ebene und eine Punktprobe ist für $A$ nicht mehr notwendig.
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Die Punktproben liefern Werte für $s$ und $t$ und damit wahre Aussagen. Das Dreieck liegt folglich in der Ebene $E$.
$\blacktriangleright$ Besondere Lage der Ebene
Betrachtest du die Gleichung der Ebene $E$, so fällt auf, dass die $x_3$–Koordinate der beiden Richtungsvektoren Null ist. Das bedeutet, dass die Ebene parallel zur $x_1$–$x_2$–Ebene verläuft.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Überprüfe, ob das Dreieck gleichschenklig ist
Du sollst überprüfen, ob das Dreieck $ABC$ ein gleichschenkliges Dreieck ist. Dafür müssen zwei der Seiten des Dreiecks gleich lang sein.
Du kannst folgendermaßen vorgehen:
  1. Stelle die Verbindungsvektoren der Eckpunkte auf.
  2. Berechne die Länge der Strecken mit Hilfe des Betrags der zuvor aufgestellten Vektoren.
1. Schritt: Vektoren aufstellen
Stelle die Vektoren, die die Seiten des Dreiecks darstellen, auf:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6-2\\4-1\\1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix}3\\8\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3-6\\8-4\\1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\8\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-3\\1-8\\1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\-7\\0\end{pmatrix}$
2. Schritt: Länge berechnen
Berechne nun die Längen der Seiten mit dem Betrag der zuvor aufgestellten Vektoren.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=&\left|\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\sqrt{4^2+3^2+0^2} \\[5pt] &=&\sqrt{16+9+0}\\[5pt] &=&\sqrt{25}\\[5pt] &=&5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{BC}&=&\left|\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\sqrt{(-3)^2+4^2+0^2} \\[5pt] &=&\sqrt{9+16+0}\\[5pt] &=&\sqrt{25}\\[5pt] &=&5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{CA}&=&\left|\begin{pmatrix}-1\\-7\\0\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\sqrt{(-1)^2+(-7)^2+0^2} \\[5pt] &=&\sqrt{1+49+0}\\[5pt] &=&\sqrt{50}\\[5pt] &=&7,07 \end{array}$
Die Strecke $AB$ und die Strecke $BC$ haben beide eine Länge von $5$ LE. Das Dreieck ist somit gleichschenklig.
$\blacktriangleright$  Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist
Damit das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist, müssen zwei der Seiten einen rechten Winkel bilden. Dies ist der Fall, wenn zwei der Vektoren, die durch die Seiten aufgespannt werden, orthogonal zueinander liegen. Berechne also das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{CA}$. Wenn eines dieser Produkte Null ist, sind die Vektoren orthogonal.
$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix} = 4\cdot (-3) + 3 \cdot 4 = 0$
$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-7\\0\end{pmatrix} = 4\cdot (-1) + 3 \cdot (-7) + 0 \cdot 0 =-4-21 = -25 \neq 0$
$\overrightarrow{BC} \circ \overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-7\\0\end{pmatrix} = (-3)\cdot (-1) + 4 \cdot (-7) + 0 \cdot 0 = 3-28 =-25 \neq 0$
Die Vektoren $\over rightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ verlaufen orthogonal. Das Dreieck ist somit rechtwinklig.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$ Punkt $\boldsymbol{D}$ bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Koordinaten des Punkts $D(d_1\mid d_2 \mid d_3)$ bestimmen, sodass die Pyramide $ABCD$ ein Volumen von $125$ VE hat.
Das Dreieck $ABC$ bildet die Grundfläche $G$ der Pyramide. Das Volumen einer Pyramide berechnest du mit folgender Formel:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Wobei $h$ die Höhe der Pyramide darstellt.
Berechne zunächst die Fläche des Dreiecks $ABC$. Hier kannst du verwenden, dass zwischen den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ ein rechter WInkel liegt. Das heißt für uns, dass eine der Seiten als Höhe angenommen werden kann.
$\begin{array}[t]{rll} G&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 5 \cdot 5\\[5pt] &=&12,5 \text{ FE} \end{array}$
Du kennst also die Größe der Grundfläche und das Volumen, nun kannst du die Höhe $h$ der Pyramide berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \quad \scriptsize \mid\; \cdot 3\quad :G\\[5pt] h&=&\dfrac{3\cdot V}{G}\\[5pt] &=&\dfrac{3\cdot 125}{12,5}\\[5pt] &=&30 \text{ LE} \end{array}$
Die Höhe beträgt $h=30$ LE. Aus Aufgabenteil 1.1 ist dir bekannt, dass die Ebene, in der das Dreieck liegt, parallel zur $x_1$–$x_2$–Ebene verläuft und die $x_3$-Koordinate aller Eckpunkte der Grundfläche $x_3=1$ ist. Daher kannst du zu dieser $x_3$–Koordinate 30 addieren oder subtrahieren, um die $x_3$–Koordinate der Spitze zu erhalten. Für $d_3$ erhältst du zwei mögliche Werte $d_3=31$ oder $d_3 = -29$. Die Koordinaten $d_1$ und $d_2$ kannst du frei wählen, da das Volumen eines schiefen Körpers mit einem geraden übereinstimmt.
Der Punkt $D$ kann beispielsweise die Koordinaten $D(6 \mid 4\mid 31)$ besitzen.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt bestimmen
Um den Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der Geraden $g$ zu bestimmen, stelle zunächst die Geradengleichung auf und berechne den Schnittpunkt durch Gleichsetzen.
Du hast einen Punkt und die Richtung der Geraden gegeben. Verwende den Vektor $\overrightarrow{OQ}$ als Stützvektor und den gegebenen Vektor als Richtungsvektor. Die Gerade hat dann folgende Gleichung:
$g: \vec{x} = \begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}$
Setze nun die Geradengleichung $g$ mit der Ebenengleichung gleich. Bringst du alle Richtungsvektoren auf eine Seite der Gleichung und alle Stützvektoren auf die andere, so kannst du eine erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen. Diese kannst du mit dem rref-Befehl des GTR lösen.
$\begin{array}[t]{rlll} \begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \mid\; -\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}-r \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}&=&s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}-r \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}5\\5\\4\end{pmatrix}&=&s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}+r \begin{pmatrix}-3\\-2\\-4\end{pmatrix} \end{array}$
Du erhältst folgende erweiterte Koeffizientenmatrix:
$\begin{pmatrix}4&1&-3&5\\3&7&-2&5\\0&0&-4&4\end{pmatrix}$
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Du erhältst $s=0,44=\dfrac{11}{25}$, $t=0,24=\dfrac{6}{25}$ und $r=-1$
Jetzt kannst du den Wert für den Parameter $r$ in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten des Schnittpunkts $P$ zu berechnen.
$ \begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix} + (-1) \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\4\\1\end{pmatrix}$
Die Gerade $g$ schneidet die Ebene $E$ im Punkt $P(4\mid 4\mid 1)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnung
Zur Vereinfachung betrachten wir in der Skizze nur die $x_1$– und die $x_2$–Koordinaten in der Ebene $E$. Die $x_3$–Koordinate ist für alle Punkte der Ebene $x_3=1$ und auch der Punkt $P$ hat $x_3=1$. Somit liegt er in der Ebene $E$ und es reicht die $x_1$– und die $x_2$–Koordinaten zu betrachten.
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Aus der Zeichnung erkennst du, dass der Punkt $P$ innerhalb des Dreiecks liegt, somit schneidet die Gerade $g$ die Ebene $E$ innerhalb des Dreiecks.
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$ Zeige, dass das Dreieck in der Ebene liegt
Gegeben ist eine Ebene $E$ mit
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$ mit $s,t\in\mathbb{R}$
und die Koordinaten eines Dreiecks.
Deine Aufgabe ist es, zu zeigen, dass das Dreieck in der Ebene liegt. Dazu genügt es, eine Punktprobe durchzuführen und so zu zeigen, dass die Punkte $A$, $B$ und $C$ in der Ebene liegen.
Setze Ortsvektoren der Punkte $A$, $B$ und $C$ in die Ebenengleichung ein und bringe den Stützvektor auf die Seite der Gleichung mit dem Ortsvektor des Punktes. Du erhältst jeweils ein lineares Gleichungssystem, das du im Equation-Modus unter dem Befehl SIMUL mit dem GTR lösen kannst.
Existieren Werte für die Parameter $s$ und $t$, so liegt der Punkt in der Ebene.
Punkt $\boldsymbol{A}$:
Der Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ entspricht gerade dem Stützvektor der Ebene, somit liegt der Punkt $A$ in der Ebene und eine Punktprobe ist für $A$ nicht mehr notwendig.
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \mid\; -\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}&=&s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix} \end{array}$
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Punkt $\boldsymbol{B}$:
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \mid\; -\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}&=&s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix} \end{array}$
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Punkt $\boldsymbol{C}$:
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}8\\3\\1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix} &\quad \scriptsize \mid\; -\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}6\\2\\0\end{pmatrix}&=&s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix} \end{array}$
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Die Punktproben liefern Werte für $s$ und $t$ und damit wahre Aussagen. Das Dreieck liegt folglich in der Ebene $E$.
$\blacktriangleright$ Besondere Lage der Ebene
Betrachtest du die Gleichung der Ebene $E$, so fällt auf, dass die $x_3$–Koordinate der beiden Richtungsvektoren Null ist. Das bedeutet, dass die Ebene parallel zur $x_1$–$x_2$–Ebene verläuft.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Überprüfe, ob das Dreieck gleichschenklig ist
Du sollst überprüfen, ob das Dreieck $ABC$ ein gleichschenkliges Dreieck ist. Dafür müssen zwei der Seiten des Dreiecks gleich lang sein.
Du kannst folgendermaßen vorgehen:
  1. Stelle die Verbindungsvektoren der Eckpunkte auf.
  2. Berechne die Länge der Strecken mit Hilfe des Betrags der zuvor aufgestellten Vektoren.
1. Schritt: Vektoren aufstellen
Stelle die Vektoren, die die Seiten des Dreiecks darstellen, auf:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6-2\\4-1\\1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix}3\\8\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3-6\\8-4\\1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\8\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-3\\1-8\\1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\-7\\0\end{pmatrix}$
2. Schritt: Länge berechnen
Berechne nun die Längen der Seiten mit dem Betrag der zuvor aufgestellten Vektoren.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=&\left|\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\sqrt{4^2+3^2+0^2} \\[5pt] &=&\sqrt{16+9+0}\\[5pt] &=&\sqrt{25}\\[5pt] &=&5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{BC}&=&\left|\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\sqrt{(-3)^2+4^2+0^2} \\[5pt] &=&\sqrt{9+16+0}\\[5pt] &=&\sqrt{25}\\[5pt] &=&5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{CA}&=&\left|\begin{pmatrix}-1\\-7\\0\end{pmatrix}\right|\\[5pt] &=&\sqrt{(-1)^2+(-7)^2+0^2} \\[5pt] &=&\sqrt{1+49+0}\\[5pt] &=&\sqrt{50}\\[5pt] &=&7,07 \end{array}$
Die Strecke $AB$ und die Strecke $BC$ haben beide eine Länge von $5$ LE. Das Dreieck ist somit gleichschenklig.
$\blacktriangleright$  Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist
Damit das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist, müssen zwei der Seiten einen rechten Winkel bilden. Dies ist der Fall, wenn zwei der Vektoren, die durch die Seiten aufgespannt werden, orthogonal zueinander liegen. Berechne also das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{CA}$. Wenn eines dieser Produkte Null ist, sind die Vektoren orthogonal.
$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix} = 4\cdot (-3) + 3 \cdot 4 = 0$
$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-7\\0\end{pmatrix} = 4\cdot (-1) + 3 \cdot (-7) + 0 \cdot 0 =-4-21 = -25 \neq 0$
$\overrightarrow{BC} \circ \overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-1\\-7\\0\end{pmatrix} = (-3)\cdot (-1) + 4 \cdot (-7) + 0 \cdot 0 = 3-28 =-25 \neq 0$
Die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ verlaufen orthogonal. Das Dreieck ist somit rechtwinklig.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$ Punkt $\boldsymbol{D}$ bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Koordinaten des Punkts $D(d_1\mid d_2 \mid d_3)$ bestimmen, sodass die Pyramide $ABCD$ ein Volumen von $125$ VE hat.
Das Dreieck $ABC$ bildet die Grundfläche $G$ der Pyramide. Das Volumen einer Pyramide berechnest du mit folgender Formel:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Wobei $h$ die Höhe der Pyramide darstellt.
Berechne zunächst die Fläche des Dreiecks $ABC$. Hier kannst du verwenden, dass zwischen den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ ein rechter WInkel liegt. Das heißt für uns, dass eine der Seiten als Höhe angenommen werden kann.
$\begin{array}[t]{rll} G&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 5 \cdot 5\\[5pt] &=&12,5 \text{ FE} \end{array}$
Du kennst also die Größe der Grundfläche und das Volumen, nun kannst du die Höhe $h$ der Pyramide berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \quad \scriptsize \mid\; \cdot 3\quad :G\\[5pt] h&=&\dfrac{3\cdot V}{G}\\[5pt] &=&\dfrac{3\cdot 125}{12,5}\\[5pt] &=&30 \text{ LE} \end{array}$
Die Höhe beträgt $h=30$ LE. Aus Aufgabenteil 1.1 ist dir bekannt, dass die Ebene, in der das Dreieck liegt, parallel zur $x_1$–$x_2$–Ebene verläuft und die $x_3$-Koordinate aller Eckpunkte der Grundfläche $x_3=1$ ist. Daher kannst du zu dieser $x_3$–Koordinate 30 addieren oder subtrahieren, um die $x_3$–Koordinate der Spitze zu erhalten. Für $d_3$ erhältst du zwei mögliche Werte $d_3=31$ oder $d_3 = -29$. Die Koordinaten $d_1$ und $d_2$ kannst du frei wählen, da das Volumen eines schiefen Körpers mit einem geraden übereinstimmt.
Der Punkt $D$ kann beispielsweise die Koordinaten $D(6 \mid 4\mid 31)$ besitzen.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt bestimmen
Um den Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der Geraden $g$ zu bestimmen, stelle zunächst die Geradengleichung auf und berechne den Schnittpunkt durch Gleichsetzen.
Du hast einen Punkt und die Richtung der Geraden gegeben. Verwende den Vektor $\overrightarrow{OQ}$ als Stützvektor und den gegebenen Vektor als Richtungsvektor. Die Gerade hat dann folgende Gleichung:
$g: \vec{x} = \begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}$
Setze nun die Geradengleichung $g$ mit der Ebenengleichung gleich. Bringst du alle Richtungsvektoren auf eine Seite der Gleichung und alle Stützvektoren auf die andere, so erhältst du ein lineares Gleichungssystem. Dieses kannst du im Equation-Modus des GTR lösen.
$\begin{array}[t]{rlll} \begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \mid\; -\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}-r \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}&=&s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}-r \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}5\\5\\4\end{pmatrix}&=&s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}+r \begin{pmatrix}-3\\-2\\-4\end{pmatrix} \end{array}$
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Du erhältst $s=\dfrac{11}{25}$, $t=\dfrac{6}{25}$ und $r=-1$
Jetzt kannst du den Wert für den Parameter $r$ in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten des Schnittpunkts $P$ zu berechnen.
$ \begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix} + (-1) \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\4\\1\end{pmatrix}$
Die Gerade $g$ schneidet die Ebene $E$ im Punkt $P(4\mid 4\mid 1)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnung
Zur Vereinfachung betrachten wir in der Skizze nur die $x_1$– und die $x_2$–Koordinaten in der Ebene $E$. Die $x_3$–Koordinate ist für alle Punkte der Ebene $x_3=1$ und auch der Punkt $P$ hat $x_3=1$. Somit liegt er in der Ebene $E$ und es reicht die $x_1$– und die $x_2$–Koordinaten zu betrachten.
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Aus der Zeichnung erkennst du, dass der Punkt $P$ innerhalb des Dreiecks liegt, somit schneidet die Gerade $g$ die Ebene $E$ innerhalb des Dreiecks.
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