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Stochastik 2

Aufgaben
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2 Die Polizei plant für das Spiel der beiden Fußballvereine Rot-Weiß Kuburg (RWK) und TuS Restadt (TuS) einen Einsatz.
Sie geht davon aus, dass 48% der Zuschauer Fans vom RWK und 30% vom TuS sind. Keiner der Fans ist Fan von beiden Vereinen. Die restlichen Zuschauer werden als neutral eingestuft.
Die Polizei weiß aus Erfahrung, dass 15% aller Zuschauer Alkohol bei sich haben, unter den RWK-Fans sind es sogar 20% und unter den TuS-Fans nur 10%.
2.1 Die Polizei kontrolliert vor dem Stadion vier zufällig ausgewählte Personen aus einer Gruppe von RWK-Fans.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse.
  1. Mindestens eine Person hat Alkohol dabei.
  2. Genau zwei Personen haben Alkohol dabei.
  3. Höchstens eine Person hat keinen Alkohol dabei.
(6P)
Stochastik 2  Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
2.2 Wie viel Prozent der neutralen Zuschauer haben Alkohol bei sich?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von allen Personen, die Alkohol dabei haben, eine zufällig ausgewählte Person ein TuS-Fan ist?
(5P)
Stochastik 2  Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
2.3 Der Einsatzleiter möchte wissen, wie viele Personen mindestens in einer Gruppe von TuS-Fans kontrolliert werden müssen, um mit mehr als 60% Wahrscheinlichkeit mindestens zwei Personen mit Alkohol zu erwischen.
Der Sohn des Einsatzleiters meint, dass die kleinste natürliche Zahl $n$, die die Ungleichung
$0,6<1-\left(0,9^{n}+0,9^{n-1}\cdot0,1\right)$
erfüllt, die gesuchte Personenzahl ist.
Begründen Sie, warum dieser Ansatz falsch ist.
(4P)
Stochastik 2  Aufgabe ab 2017 im hilfsmittelfreien Teil oder im Teil mit Hilfsmitteln

(15P)
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2.1 $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Du sollst hier die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse berechnen. Dabei geht es um RWK–Fans. Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten kannst du aus der Aufgabenstellung ablesen:
  • $P_{RWK}(A) = P(\text{„ Die Person ist RWK–Fan und hat Alkohol dabei“}) = 0,20$
  • $P_{RWK}(N) = P(\text{„ Die Person ist RWK–Fan und hat keinen Alkohol dabei“}) = 0,80$
Außerdem kontrolliert die Polizei in allen folgenden Ereignissen genau $n =4$ Personen. Da die Wahrscheinlichkeit, Alkohol dabei zu haben, bei jedem RWK–Fan gleich ist, kann hier die Zufallsvariable R, die die zufällige Anzahl an RWK–Fans mit Alkohol bezeichnet, als binomialverteilt mit den Parametern $p=0,2$ und $n = 4$ angenommen werden.
$\blacktriangleright$ Ereignis A: Mindestens eine Person hat Alkohol dabei
Du suchst $P(R \geq1)$. Das „$\geq$“–Zeichen zeigt dir, dass du hier mit dem Bcd–Befehl/Binom Cdf–Befehl in deinem GTR arbeiten solltest.
$\blacktriangleright$ Ereignis B: Genau zwei Personen haben Alkohol dabei
Hier kannst du wieder ähnlich vorgehen, wie beim vorherigen Ereignis. Allerdings solltest du hierbei den Bpd–Befehl/Binom Pdf–Befehl deines GTR wählen, das zeigt dir das „$=$“ an.
$\blacktriangleright$ Ereignis C: Höchstens eine Person hat keinen Alkohol dabei
Dies entspricht genau dem Ereignis, dass mindestens drei Personen Alkohol dabei haben. Dazu kannst du wieder den Befehl für die Binomialverteilung deines GTR verwenden, den du für Ereignis A bereits benötigt hast.
2.2 $\blacktriangleright$ Prozentsatz der neutralen Zuschauer mit Alkohol berechnen
Hierbei geht es um bedingte Wahrscheinlichkeiten, da die Wahrscheinlichkeit, dass ein RWK–Fan Alkohol dabei hat, größer ist, als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein TuS–Fan Alkohol dabei hat. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zuschauer Alkohol dabei hat, ist also abhängig davon, welche Mannschaft er favorisiert.
Du weißt bereits:
  • $P_{RWK}(A) = 0,2$
  • $P_{TuS}(A) = P(\text{„ Die Person ist TuS–Fan und hat Alkohol dabei.“}) = 0,1$
  • $P(A) = 0,15$
  • $P(RWK) = P(\text{„ Die Person ist RWK–Fan.“}) = 0,48$
  • $P(TuS) = P(\text{„ Die Person ist TuS–Fan.“}) = 0,3$
  • $P(Neutral) = P(\text{„ Die Person ist ein neutraler Zuschauer.“})= 0,22$
Du suchst nun $P_{Neutral}(A)$.
Du kannst mit folgender Formel arbeiten:
$P(A) = P_{Neutral}(A)\cdot P(Neutral)+ P_{RWK}(A)\cdot P(RWK)+P_{TuS}(A)\cdot P(TuS)$
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst nun berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine zufällig ausgesuchte Person aus denjenigen mit Alkohol ein TuS–Fan ist. Du suchst also $P_{A}(TuS)$.
Hier kannst du nun mit der Formel von Bayes arbeiten:
$P_{B}(A)= \dfrac{P_{A}(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
2.3 $\blacktriangleright$ Zeigen, dass der Ansatz falsch ist
Dazu kannst du zuerst den richtigen Ansatz für die gegebene Problemstellung angeben und anschließend anhand dessen die Fehler des gegebenen Ansatzes aufzeigen.
Du weißt, dass die Zufallsvariable Z, die die zufällige Anzahl an Personen mit Alkohol unter einer Gruppe von TuS–Fans als binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p = 0,1$ angenommen werden kann. Dies gilt aus den gleichen Gründen, aus denen wir im vorigen Aufgabenteil die Anzahl der Personen mit Alkohol unter den RWK–Fans als binomialverteilt annehmen konnten.
Wir suchen nun das kleinste $n$, für das die folgende Ungleichung erfüllt ist:
$P(Z\geq2)>0,6$
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2.1 $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Du sollst hier die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse berechnen. Dabei geht es um RWK–Fans. Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten kannst du aus der Aufgabenstellung ablesen:
  • $P_{RWK}(A) = P(\text{„ Die Person ist RWK–Fan und hat Alkohol dabei“}) = 0,20$
  • $P_{RWK}(N) = P(\text{„ Die Person ist RWK–Fan und hat keinen Alkohol dabei“}) = 0,80$
Außerdem kontrolliert die Polizei in allen folgenden Ereignissen genau $n =4$ Personen. Da die Wahrscheinlichkeit, Alkohol dabei zu haben, bei jedem RWK–Fan gleich ist, kann hier die Zufallsvariable R, die die zufällige Anzahl an RWK–Fans mit Alkohol bezeichnet, als
binomialverteilt mit den Parametern $p=0,2$ und $n = 4$ angenommen werden.
$\blacktriangleright$ Ereignis A: Mindestens eine Person hat Alkohol dabei
Du suchst $P(R \geq1)$. Das „$\geq$“–Zeichen zeigt dir, dass du hier mit dem BinomCdf–Befehl in deinem GTR arbeiten solltest. Da dieser aber nur Wahrscheinlichkeiten der Gestalt $P(X \leq k)$ berechnen kann, musst du hier zunächst das Gegenereignis des betrachteten Ereignisses bilden:
$P(R \geq1) = 1-P(R < 1) = 1 - P(X \leq 0)$
Den Befehl findest du anschließend unter:
2nd $\rightarrow$ VARS (DISTR) $\rightarrow$ B: binomcdf(
Dort kannst du die entsprechenden Parameter
$n=4$ , $p=0,2$, und $k = 0$ (siehe unten links)
eingeben und mit OK bestätigen. Du erhältst das Ergebnis:
$P(A) = P(R \geq1) \approx 0,5904 = 59,04\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 59,04 % ist unter den vier ausgewählten RWK–Fans mindestens eine Person mit Alkohol.
Stochastik 2
Stochastik 2
$\blacktriangleright$ Ereignis B: Genau zwei Personen haben Alkohol dabei
Hier kannst du wieder ähnlich vorgehen, wie beim vorherigen Ereignis. Allerdings solltest du hierbei den BinomPdf–Befehl deines GTR wählen, das zeigt dir das „$=$“ an. Diesen findest du im STAT–Menü unter:
2nd $\rightarrow$ VARS (DISTR) $\rightarrow$ A: binompdf
Gibst du hier die Parameter $n=4$ , $p=0,2$, und $k = 2$ (siehe unten links) ein, so ergibt sich:
$P(B)= P(R = 2) \approx 0,1536 = 15,36\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 15,36 % befinden sich unter den vier RWK–Fans genau zwei mit Alkohol.
Stochastik 2
Stochastik 2
$\blacktriangleright$ Ereignis C: Höchstens eine Person hat keinen Alkohol dabei
Dies entspricht genau dem Ereignis, dass mindestens drei Personen Alkohol dabei haben. Dazu kannst du wieder den Befehl für die Binomialverteilung deines GTR verwenden, den du für Ereignis A bereits benötigt hast.
Damit ergibt sich dann:
$P(C) = P(R\geq3) \approx 0,0272 = 2,72\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,72 % hat höchstens eine Person keinen Alkohol dabei.
2.2 $\blacktriangleright$ Prozentsatz der neutralen Zuschauer mit Alkohol berechnen
Hierbei geht es um bedingte Wahrscheinlichkeiten, da die Wahrscheinlichkeit, dass ein RWK–Fan Alkohol dabei hat, größer ist, als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein TuS–Fan Alkohol dabei hat. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zuschauer Alkohol dabei hat, ist also abhängig davon, welche Mannschaft er favorisiert.
Du weißt bereits:
  • $P_{RWK}(A) = 0,2$
  • $P_{TuS}(A) = P(\text{„ Die Person ist TuS–Fan und hat Alkohol dabei.“}) = 0,1$
  • $P(A) = 0,15$
  • $P(RWK) = P(\text{„ Die Person ist RWK–Fan.“}) = 0,48$
  • $P(TuS) = P(\text{„ Die Person ist TuS–Fan.“}) = 0,3$
  • $P(Neutral) = P(\text{„ Die Person ist ein neutraler Zuschauer.“})= 0,22$
Du suchst nun $P_{Neutral}(A)$.
Du kannst mit folgender Formel arbeiten:
$P(A) = P_{Neutral}(A)\cdot P(Neutral)+ P_{RWK}(A)\cdot P(RWK)+P_{TuS}(A)\cdot P(TuS)$
Du kannst erkennen, dass du alle Werte aus der Gleichung kennst bis auf den gesuchten $P_{Neutral}(A)$. Setze also ein und löse wie folgt:
$\begin{array}{rcll} P(A)&=&P_{Neutral}(A)\cdot P(Neutral)+ P_{RWK}(A)\cdot P(RWK)+P_{TuS}(A)\cdot P(TuS)&\\ 0,15&=&P_{Neutral}(A)\cdot0,22+0,2\cdot0,48+0,1\cdot0,3\\ 0,15&=&P_{Neutral}(A)\cdot0,22+0,126&\scriptsize{ \mid - 0,126}\\ 0,024&=&P_{Neutral}(A)\cdot0,22&\scriptsize{ \mid : 0,22}\\ P_{Neutral}(A)&=&0,1091&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} P(A)&=&P_{Neutral}(A)\cdot P(Neutral)+ P_{RWK}(A)\cdot P(RWK)+P_{TuS}(A)\cdot P(TuS)&\\ 0,15&=&P_{Neutral}(A)\cdot0,22+0,2\cdot0,48+0,1\cdot0,3\\ 0,15&=&P_{Neutral}(A)\cdot0,22+0,126&\\ 0,024&=&P_{Neutral}(A)\cdot0,22&\\ P_{Neutral}(A)&=&0,1091&\\ \end{array}$
Ungefähr 10,91 % der neutralen Zuschauer haben Alkohol bei sich.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst nun berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine zufällig ausgesuchte Person aus denjenigen mit Alkohol ein TuS–Fan ist. Du suchst also $P_{A}(TuS)$.
Hier kannst du nun mit der Formel von Bayes arbeiten:
$P_{B}(A)= \dfrac{P_{A}(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
Übertragen auf die Aufgabenstellung bedeutet das:
$\begin{array}{rcll} P_{A}(TuS)&=&\dfrac{P_{TuS}(A)\cdot P(TuS)}{P(A)}&\\ &=&\dfrac{0,1\cdot0,3}{0,15}&\\ &=&0,2&\\ \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 20 % ist ein zufällig ausgewählter Zuschauer mit Alkohol ein TuS–Fan.
2.3 $\blacktriangleright$ Zeigen, dass der Ansatz falsch ist
Dazu kannst du zuerst den richtigen Ansatz für die gegebene Problemstellung angeben und anschließend anhand dessen die Fehler des gegebenen Ansatzes aufzeigen.
Du weißt, dass die Zufallsvariable Z, die die zufällige Anzahl an Personen mit Alkohol unter einer Gruppe von TuS–Fans als binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p = 0,1$ angenommen werden kann. Dies gilt aus den gleichen Gründen, aus denen wir im vorigen Aufgabenteil die Anzahl der Personen mit Alkohol unter den RWK–Fans als binomialverteilt annehmen konnten.
Wir suchen nun das kleinste $n$, für das die folgende Ungleichung erfüllt ist:
$P(Z\geq2)>0,6$
Es gilt: $P(Z\geq2) = 1- P(Z<2) = 1-P(Z\leq1)$.
Damit kannst du die Ungleichung umformen:
$\begin{array}{rcll} P(Z\geq2)&>&0,6& \\ 1-P(Z\leq1)&>&0,6&\\ 1-(P(Z=0)+P(Z=1))&>&0,6&\\ \end{array}$
Außerdem kennst du die Formel für die Binomialverteilung:
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^{k}\cdot(1-p)^{n-k}$
Diese kannst du nun in der Ungleichung anwenden und erhältst dann:
$\begin{array}{rcll} 1-(P(Z=0)+P(Z=1))\,&>&0,6&\scriptsize{ \text{Binomialverteilung}} \\ 1-\left(\binom{n}{0}\cdot0,1^0\cdot0,9^n + \binom{n}{1}\cdot0,1^1\cdot0,9^{n-1}\right)\,&>&0,6& \\ 1-\left(0,9^n + n\cdot0,1\cdot0,9^{n-1}\right)\,&>&0,6&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 1-(P(Z=0)+P(Z=1))\,&>&0,6& \\ 1-\left(\binom{n}{0}\cdot0,1^0\cdot0,9^n + \binom{n}{1}\cdot0,1^1\cdot0,9^{n-1}\right)\,&>&0,6& \\ 1-\left(0,9^n + n\cdot0,1\cdot0,9^{n-1}\right)\,&>&0,6&\\ \end{array}$
Nun sollte dir der Unterschied zwischen deiner Ungleichung und der gegebenen auffallen:
$0,6< 1-(0,9^n+0,9^{n-1}\cdot0,1)$
$0,6< 1-\left(0,9^n + n\cdot0,1\cdot0,9^{n-1}\right)$
Der Unterschied besteht genau in dem Faktor $n$.
Du kannst also annehmen, dass der Sohn des Einsatzleiters entweder den Faktor $\binom{n}{1}$
vergessen oder diesen falsch berechnet hat. Möglich ist auch, dass er nicht mit der Binomialverteilung gearbeitet und so vergessen hat, dass es $n$ verschiedene Möglichkeiten dafür gibt, dass eine der Personen Alkohol dabei hat.
Insgesamt ist der Ansatz also falsch, weil dort nicht die Anzahl der Möglichkeiten eingeht, die es gibt, dass unter $n$ Personen eine Person Alkohol dabei hat.
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2.1 $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen
Du sollst hier die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse berechnen. Dabei geht es um RWK–Fans. Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten kannst du aus der Aufgabenstellung ablesen:
  • $P_{RWK}(A) = P(\text{„ Die Person ist RWK–Fan und hat Alkohol dabei“}) = 0,20$
  • $P_{RWK}(N) = P(\text{„ Die Person ist RWK–Fan und hat keinen Alkohol dabei“}) = 0,80$
Außerdem kontrolliert die Polizei in allen folgenden Ereignissen genau $n =4$ Personen. Da die Wahrscheinlichkeit, Alkohol dabei zu haben, bei jedem RWK–Fan gleich ist, kann hier die Zufallsvariable R, die die zufällige Anzahl an RWK–Fans mit Alkohol bezeichnet, als
binomialverteilt mit den Parametern $p=0,2$ und $n = 4$ angenommen werden.
$\blacktriangleright$ Ereignis A: Mindestens eine Person hat Alkohol dabei
Du suchst $P(R \geq1)$. Das „$\geq$“–Zeichen zeigt dir, dass du hier mit dem BinomCdf–Befehl in deinem GTR arbeiten solltest. Da dieser aber nur Wahrscheinlichkeiten der Gestalt $P(X \leq k)$ berechnen kann, musst du hier zunächst das Gegenereignis des betrachteten Ereignisses bilden:
$P(R \geq1) = 1-P(R < 1) = 1 - P(X \leq 0)$
Den Befehl findest du anschließend unter:
2nd $\rightarrow$ VARS (DISTR) $\rightarrow$ B: binomcdf(
Dort kannst du die entsprechenden Parameter
$n=4$ , $p=0,2$, und $k = 0$ (siehe unten links)
eingeben und mit OK bestätigen. Du erhältst das Ergebnis:
$P(A) = P(R \geq1) \approx 0,5904 = 59,04\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 59,04 % ist unter den vier ausgewählten RWK–Fans mindestens eine Person mit Alkohol.
Stochastik 2
Stochastik 2
$\blacktriangleright$ Ereignis B: Genau zwei Personen haben Alkohol dabei
Hier kannst du wieder ähnlich vorgehen, wie beim vorherigen Ereignis. Allerdings solltest du hierbei den BinomPdf–Befehl deines GTR wählen, das zeigt dir das „$=$“ an. Diesen findest du im STAT–Menü unter:
2nd $\rightarrow$ VARS (DISTR) $\rightarrow$ A: binompdf
Gibst du hier die Parameter $n=4$ , $p=0,2$, und $k = 2$ (siehe unten links) ein, so ergibt sich:
$P(B)= P(R = 2) \approx 0,1536 = 15,36\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 15,36 % befinden sich unter den vier RWK–Fans genau zwei mit Alkohol.
Stochastik 2
Stochastik 2
$\blacktriangleright$ Ereignis C: Höchstens eine Person hat keinen Alkohol dabei
Dies entspricht genau dem Ereignis, dass mindestens drei Personen Alkohol dabei haben. Dazu kannst du wieder den Befehl für die Binomialverteilung deines GTR verwenden, den du für Ereignis A bereits benötigt hast.
Damit ergibt sich dann:
$P(C) = P(R\geq3) \approx 0,0272 = 2,72\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,72 % hat höchstens eine Person keinen Alkohol dabei.
2.2 $\blacktriangleright$ Prozentsatz der neutralen Zuschauer mit Alkohol berechnen
Hierbei geht es um bedingte Wahrscheinlichkeiten, da die Wahrscheinlichkeit, dass ein RWK–Fan Alkohol dabei hat, größer ist, als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein TuS–Fan Alkohol dabei hat. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zuschauer Alkohol dabei hat, ist also abhängig davon, welche Mannschaft er favorisiert.
Du weißt bereits:
  • $P_{RWK}(A) = 0,2$
  • $P_{TuS}(A) = P(\text{„ Die Person ist TuS–Fan und hat Alkohol dabei.“}) = 0,1$
  • $P(A) = 0,15$
  • $P(RWK) = P(\text{„ Die Person ist RWK–Fan.“}) = 0,48$
  • $P(TuS) = P(\text{„ Die Person ist TuS–Fan.“}) = 0,3$
  • $P(Neutral) = P(\text{„ Die Person ist ein neutraler Zuschauer.“})= 0,22$
Du suchst nun $P_{Neutral}(A)$.
Du kannst mit folgender Formel arbeiten:
$P(A) = P_{Neutral}(A)\cdot P(Neutral)+ P_{RWK}(A)\cdot P(RWK)+P_{TuS}(A)\cdot P(TuS)$
Du kannst erkennen, dass du alle Werte aus der Gleichung kennst bis auf den gesuchten $P_{Neutral}(A)$. Setze also ein und löse wie folgt:
$\begin{array}{rcll} P(A)&=&P_{Neutral}(A)\cdot P(Neutral)+ P_{RWK}(A)\cdot P(RWK)+P_{TuS}(A)\cdot P(TuS)&\\ 0,15&=&P_{Neutral}(A)\cdot0,22+0,2\cdot0,48+0,1\cdot0,3\\ 0,15&=&P_{Neutral}(A)\cdot0,22+0,126&\scriptsize{ \mid - 0,126}\\ 0,024&=&P_{Neutral}(A)\cdot0,22&\scriptsize{ \mid : 0,22}\\ P_{Neutral}(A)&=&0,1091&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} P(A)&=&P_{Neutral}(A)\cdot P(Neutral)+ P_{RWK}(A)\cdot P(RWK)+P_{TuS}(A)\cdot P(TuS)&\\ 0,15&=&P_{Neutral}(A)\cdot0,22+0,2\cdot0,48+0,1\cdot0,3\\ 0,15&=&P_{Neutral}(A)\cdot0,22+0,126&\\ 0,024&=&P_{Neutral}(A)\cdot0,22&\\ P_{Neutral}(A)&=&0,1091&\\ \end{array}$
Ungefähr 10,91 % der neutralen Zuschauer haben Alkohol bei sich.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst nun berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine zufällig ausgesuchte Person aus denjenigen mit Alkohol ein TuS–Fan ist. Du suchst also $P_{A}(TuS)$.
Hier kannst du nun mit der Formel von Bayes arbeiten:
$P_{B}(A)= \dfrac{P_{A}(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
Übertragen auf die Aufgabenstellung bedeutet das:
$\begin{array}{rcll} P_{A}(TuS)&=&\dfrac{P_{TuS}(A)\cdot P(TuS)}{P(A)}&\\ &=&\dfrac{0,1\cdot0,3}{0,15}&\\ &=&0,2&\\ \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 20 % ist ein zufällig ausgewählter Zuschauer mit Alkohol ein TuS–Fan.
2.3 $\blacktriangleright$ Zeigen, dass der Ansatz falsch ist
Dazu kannst du zuerst den richtigen Ansatz für die gegebene Problemstellung angeben und anschließend anhand dessen die Fehler des gegebenen Ansatzes aufzeigen.
Du weißt, dass die Zufallsvariable Z, die die zufällige Anzahl an Personen mit Alkohol unter einer Gruppe von TuS–Fans als binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p = 0,1$ angenommen werden kann. Dies gilt aus den gleichen Gründen, aus denen wir im vorigen Aufgabenteil die Anzahl der Personen mit Alkohol unter den RWK–Fans als binomialverteilt annehmen konnten.
Wir suchen nun das kleinste $n$, für das die folgende Ungleichung erfüllt ist:
$P(Z\geq2)>0,6$
Es gilt: $P(Z\geq2) = 1- P(Z<2) = 1-P(Z\leq1)$.
Damit kannst du die Ungleichung umformen:
$\begin{array}{rcll} P(Z\geq2)&>&0,6& \\ 1-P(Z\leq1)&>&0,6&\\ 1-(P(Z=0)+P(Z=1))&>&0,6&\\ \end{array}$
Außerdem kennst du die Formel für die Binomialverteilung:
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^{k}\cdot(1-p)^{n-k}$
Diese kannst du nun in der Ungleichung anwenden und erhältst dann:
$\begin{array}{rcll} 1-(P(Z=0)+P(Z=1))\,&>&0,6&\scriptsize{ \text{Binomialverteilung}} \\ 1-\left(\binom{n}{0}\cdot0,1^0\cdot0,9^n + \binom{n}{1}\cdot0,1^1\cdot0,9^{n-1}\right)\,&>&0,6& \\ 1-\left(0,9^n + n\cdot0,1\cdot0,9^{n-1}\right)\,&>&0,6&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 1-(P(Z=0)+P(Z=1))\,&>&0,6& \\ 1-\left(\binom{n}{0}\cdot0,1^0\cdot0,9^n + \binom{n}{1}\cdot0,1^1\cdot0,9^{n-1}\right)\,&>&0,6& \\ 1-\left(0,9^n + n\cdot0,1\cdot0,9^{n-1}\right)\,&>&0,6&\\ \end{array}$
Nun sollte dir der Unterschied zwischen deiner Ungleichung und der gegebenen auffallen:
$0,6< 1-(0,9^n+0,9^{n-1}\cdot0,1)$
$0,6< 1-\left(0,9^n + n\cdot0,1\cdot0,9^{n-1}\right)$
Der Unterschied besteht genau in dem Faktor $n$.
Du kannst also annehmen, dass der Sohn des Einsatzleiters entweder den Faktor $\binom{n}{1}$
vergessen oder diesen falsch berechnet hat. Möglich ist auch, dass er nicht mit der Binomialverteilung gearbeitet und so vergessen hat, dass es $n$ verschiedene Möglichkeiten dafür gibt, dass eine der Personen Alkohol dabei hat.
Insgesamt ist der Ansatz also falsch, weil dort nicht die Anzahl der Möglichkeiten eingeht, die es gibt, dass unter $n$ Personen eine Person Alkohol dabei hat.
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