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Analysis

Aufgaben
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1.1
Für jedes $t\neq 0$ ist die Funktion $f_t$ gegeben durch
$f_t(x)=x^3-3t\cdot x^2+\left(\dfrac{9}{4}t^2+1\right)\cdot x$     mit     $x\in\mathbb{R}$.
Das Schaubild von $f_t$ ist $K_t.$
1.1.1
Zeige, dass $K_1$ keine Extrempunkte besitzt.
Untersuche das Krümmungsverhalten von $K_1$.
Zeichne $K_1$ für $0\leq x\leq 3$.
(8P)
Analysis  Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.1.2
Die Tangente an $K_1$ im Ursprung begrenze mit $K_1$ eine Fläche.
Zeichne diese Tangente in das Koordinatensystem von 1.1.1 ein.
Berechne den Inhalt der Fläche mit Hilfe einer Stammfunktion.
(8P)
Analysis  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.1.3
Zeige, dass jedes Schaubild $K_t$ die erste Winkelhalbierende berührt.
(4P)
Analysis  Aufgabe entfällt ab 2017
1.1.4
Berechne die Steigung $m_t$ von $K_t$ an der Stelle $x=1$.
Zeige, dass $m_t\geq 0$ für alle $t\neq 0$.
(4P)
Analysis  Aufgabe entfällt ab 2017
1.2
Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Schaubilds der Funktion $h$.
Analysis
Analysis
Begründe, warum folgendev Aussagen wahr sind.
  1. Das Schaubild von $h$ besitzt eine Wendetangente, deren Steigung größer als eins ist.
  2. $h'(1)\cdot h'(3)< 0$
  3. $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{1}^{3}h(x)\;\mathrm dx<10$
  4. Jede Stammfunktion von $h$ ist im Intervall $[0;4]$ streng monoton steigend.
(8P)
Analysis  Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.3
Für jedes $a>0$ ist die Funktion $g_a$ gegeben durch
$g_a(x)= a\cdot \sin(a\cdot x)+a$ mit $x\in \mathbb{R}$.
Das Schaubild von $g_a$ ist $C_a$.
1.3.1
Beschreibe, wie $C_2$ aus der Kurve mit der Gleichung $y=\sin(x)$ entsteht.
Zeichne $C_2$.
(6P)
Analysis  Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.3.2
Jeder Extrempunkt von $C_a$ und seine beiden benachbarten Wendepunkte sind die Eckpunkte eines Dreiecks.
Zeige, dass der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks nicht von $a$ abhängt.
Für welchen Wert von $a$ ist ein solches Dreieck rechtwinklig?
(7P)
Analysis  Aufgabe entfällt ab 2017

(45P)
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Aufgabe 1.1.1

$\blacktriangleright$ Extrempunkte bestimmen
Du hast folgenden Funktionsterm einer Funktionenschar gegeben:
$\begin{array}[t]{rlll} f_t(x)&=&x^3-3t\cdot x^2+\left(\frac{9}{4}t^2+1\right)\cdot \end{array}$ $\begin{array}[t]{rlll} x& \quad \scriptsize x\in\mathbb{R} \end{array}$
Du sollst nun zeigen, dass der Graph $K_1$ keine Extrempunkte besitzt.
Den Funktionsterm des Graphen $K_1$ erhältst du, indem du für $t=1$ einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=&x^3-3\cdot1\cdot x^2+\left(\frac{9}{4}\cdot1^2+1\right)\cdot x\\[5pt] f_1(x)&=&x^3-3 x^2+\left(\frac{9}{4}+1\right)\cdot x\\[5pt] f_1(x)&=&x^3-3 x^2+\frac{13}{4} x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}f_1(x)&=&x^3-3 x^2+\frac{13}{4} x\end{array}$
Für eine Extremstelle $x_E$ der Funktion $f_1$ gelten folgende Bedingungen:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f_1'(x_E)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f_1''(x_E)\neq0}$
Um zu zeigen, dass der Graph $K_1$ keine Extrempunkte besitzt gehst du so vor:
  1. Ableitungen $f_1'$ und $f_1''$ bilden
  2. Notwendige Bedingung überprüfen
  3. Hinreichende Bedingung überprüfen (falls nötig)
Ist eine der Bedingungen nicht erfüllt, so hat $K_1$ keinen Extrempunkt.
$\blacktriangleright$  Krümmungsverhalten untersuchen
Nun sollst du das Krümmungsverhalten des Graphen $K_1$ beschreiben. Dafür brauchst du die zweite Ableitung $f_1''$.
Der Graph einer Funktion $f$ ist rechtsgekrümmt, wenn gilt:
$f''(x)<0$
Ist der Graph linksgekrümmt, gilt dementsprechend:
$f''(x)>0$
Untersuche nun an welcher Stelle $x_0$ die zweite Ableitung $f_1''$ gleich Null wird. Anschließend kannst du das Verhalten von $f_1''$ links und rechts dieser Stelle $x_0$ bestimmen.
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{K_1}$ zeichnen
Hier sollst du den Graphen $K_1$ für $0\leq x\leq3$ zeichnen. Den Graph kannst du mit Hilfe deines GTR zeichnen und dir eine Wertetabelle anzeigen lassen.

Aufgabe 1.1.2

$\blacktriangleright$ Tangente $\boldsymbol{t}$ zeichnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Tangente am Ursprung in das Schaubild von der Teilaufgabe 1.1.1 einzeichnen. Eine Tangente hat die allgemeine Gleichung:
$t(x)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)$
Dabei ist $x_0$ die Stelle an der die Tangente am Graphen angelegt wird.
In diesem Fall wird die Tangente $t$ am Ursprung angelegt. Dieser hat die Koordinaten $O(0\mid0)$. Es gilt also $x_0=0$ und $f_1(0)=0$. Du benötigst nur noch den Ableitungswert $f_1'(x_0)$. Die erste Ableitung $f_1'$ der Funktion $f_1$ hast du in der vorherigen Teilaufgabe gebildet. Setze nun $x_0=0$ in die erste Ableitung ein. Dann kannst du die Werte $x_0$, $f_1(x_0)$ und $f_1'(x_0)$ in die Tangentengleichung einsetzen.
Gehe folgendermaßen vor:
  1. Berechne $f_1'(0)$
  2. Setze die Werte in die allg. Tangentengleichung ein
  3. Zeichne die Tangente $t$ in das Koordinatensystem
$\blacktriangleright$  Inhalt der Fläche berechnen
Die Tangente und der Graph der Funktion $f_1$ schließt eine Fläche ein. Den Inhalt dieser Fläche kannst du berechnen, indem du von der Fläche $A_1$ zwischen der Tangente und der $x$-Achse die Fläche $A_2$ zwischen dem Graphen $K_1$ und der $x$-Achse subtrahierst. Es gilt:
$A=A_1-A_2$
Die Fläche wird von den Schnittpunkten der Tangente $t$ und der Funktion $f_1$ begrenzt. Dies kannst du dir anhand einer Skizze verdeutlichen.
Analysis
Analysis
Die Fläche $A_1$ zwischen der Tangente $t$ und der $x$-Achse bildet ein rechtwinkliges Dreieck. Somit kannst du die Fläche mit der Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks berechnen:
$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c$
Dabei entspricht das $c$ dem $x$-Wert des Schnittpunktes $S_2$ und die Höhe $h_c$ dem $y$-Wert des Schnittpunktes $S_2$.
Um den Flächeinhalt $A_2$ zwischen dem Graphen $K_1$ und der $x$-Achse zu berechnen, benötigst du ein Integral mit einer Stammfunktion der zu untersuchenden Funktion $f_1$.
$\begin{array}[t]{rlll} A&=&\displaystyle\int_{a}^{b}\;f_1(x)\mathrm dx &=&\left[F_1(x)\right]_a^b \end{array}$
Du kannst nun folgendermaßen vorgehen, um den Inhalt der Fläche $A$ zu berechnen:
  1. Berechne die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ der Funktionen $t$ und $f_1$
  2. Berechne den Inhalt der Fläche $A_1$
  3. Bilde eine Stammfunktion $F_1$
  4. Berechne den Flächeninhalt von $\boldsymbol{A_2}$
  5. Berechne den Inhalt der Fläche $A$

Aufgabe 1.1.3

$\blacktriangleright$ Berührpunkt $\boldsymbol{B}$ bestimmen
Du sollst zeigen, dass jedes Schaubild $K_t$ die erste Winkelhalbierende berührt. Die erste Winkelhalbierende hat die Gleichung $y=x$.
Damit sich zwei Graphen berühren, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Die Graphen müssen sich in einem Punkt $S$ schneiden
  • Die Graphen müssen in dem Punkt $S$ die selbe Steigung haben
Die Steigung $m$ entspricht der ersten Ableitung der Funktion. Es gilt:
$\begin{array}[t]{rlll} m&=&f'(x) \end{array}$
Gehe folgendermaßen vor:
  1. Bestimme die Stelle $x_0$, an der sich der Graphen $K_t$ mit der ersten Winkelhalbierenden schneidet
  2. Bestimme die Steigung der Funktionen an der Stelle $x_0$

Aufgabe 1.1.4

$\blacktriangleright$ Steigung $\boldsymbol{m_t}$ berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Steigung von $K_t$ an der Stelle $x=1$ berechnen. Hier kannst du wie im 2. Schritt der Teilaufgabe 1.1.3 vorgehen. Die Steigung $m_t$ an der Stelle $x=1$ entspricht dem Wert der ersten Ableitung $f_t'(1)$.
$\blacktriangleright$ Zeige, dass gilt $\boldsymbol{m_t\geq0}$
Um zu zeigen, dass $m_t\geq0$ für alle $t\neq0$ gilt, betrachtest du die erste Ableitung $f_t'$ an der Stelle $x=1$. Die Steigung beträgt an dieser Stelle $4-6t+\frac{9}{4}t^2$.
An dem Term $4+\frac{9}{4}t^2$ erkennst du, dass der Wert von $t$ im Quadrat eingeht. Dieser Term ist demnach immer größer als der Term $-6t$. Du kannst dir dies mit dem GTR verdeutlichen, indem du dir die Steigung an der Stelle $x=1$ zeichnen lässt.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Aussagen begründen
Du hast in der Aufgabe einen Graphen der Funktion $h$ abgebildet. Du sollst nun begründen, dass die Aussagen wahr sind. Betrachte den Graphen, um die Aussagen zu begründen.
1. Aussage:
Du sollst begründen, dass das Schaubild von $h$ eine Wendetangente mit einer Steigung größer als $1$ hat. Eine Wendetangente ist eine Tangente, die an einem Wendepunkt anliegt.
Das Schaubild hat mehrere Wendepunkte. Es gibt jedoch nur einen mit einer positiven Steigung. Die Wendestelle liegt etwa bei einem Wert von $x=0,5$. Um zu begründen, dass die Steigung der Wendetangente größer als $1$ ist, betrachtest du die Steigung der Funktion $h$.
2. Aussage:
Begründe, dass gilt: $h'(1)\cdot h'(3)<0$
Hier betrachtest du die Steigung der Funktion $h$ an den Stellen $x=1$ und $x=3$.
3. Aussage:
Die Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der $x$-Achse soll im Intervall $[1;3]$ kleiner als $10$ sein.
Hier kannst du die Anzahl der Kästchen im Koordinatensystem zählen, die der Graph im Intervall $[1;3]$ einschließt. Ein Kästchen hat eine Fläche von $1$.
4. Aussage:
Nun sollst du begründen, dass jede Stammfunktion im Intervall $[0;4]$ streng monoton steigend ist.
Damit eine Funktion $f$ streng monoton steigend ist, muss gelten:
$\begin{array}[t]{rlll} f'(x)&>&0 \end{array}$
In diesem Fall ist die abgebildete Funktion $h$ die Ableitungsfunktion von jeder Stammfunktion der Funktion $h$.

Aufgabe 1.3.1

$\blacktriangleright$ Beschreibe die Entstehung der Gleichung
Du hast folgende Funktion gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} g_a(x)&=&a\cdot \sin(a\cdot x)+a \quad \scriptsize x\in\mathbb{R} \end{array}$
Der Graph sei $C_a$.
Du sollst nun beschreiben wie der Graph $C_2$ aus der Gleichung $y=\sin(x)$ entsteht.
Um die Funktionsgleichung von $C_2$ zu erhalten, setzt du für den Parameter $a$ den Wert $2$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} g_a(x)&=&a\cdot \sin(a\cdot x)+a \quad \scriptsize x\in\mathbb{R}\\[5pt] g_2(x)&=&2\cdot \sin(2 x)+2 \end{array}$
Eine allgemeine Sinusfunktion hat folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rlll} y&=&a\cdot\sin(bx+c)+d \end{array}$
Das $a$ streckt die Amplitude der Funktion. Die Streckung erfolgt demnach in $y$-Richtung. Das $b$ streckt oder staucht die Funktion in $x$-Richtung. Durch das $c$ wird die Funktion in $x$-Richtung und durch das $d$ in $y$-Richtung verschoben.
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{C_2}$ zeichnen
Um den Graphen $C_2$ zeichnen zu können, kannst du die mit dem GTR eine Wertetabelle anzeigen lassen. Mit Hilfe der Wertetabelle kannst du den Graphen $C_2$ zeichnen.

Aufgabe 1.3.2

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt $\boldsymbol{A_{\Delta}}$ berechnen
Nun sollst du zeigen, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks nicht von dem Parameter $a$ abhängt. Die Eckpunkte des Dreiecks sind ein Extrempunkt von $C_a$ und seinen benachbarten Wendepunkte.
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du folgendermaßen:
$\begin{array}[t]{rlll} A_{\Delta}&=&\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c \end{array}$
Dabei entspricht das $c$ der Länge einer Seite und $h_c$ die der entsprechenden Höhe.
In diesem Fall ist die Höhe $h_c$ der Amplitude der Funktion. Das $c$ entspricht demnach der Strecke zwischen den zwei Wendepunkten $W_1$ und $W_2$. Diese Strecke ist so lang wie eine halbe Periode.
Dies kannst du dir mit einer Skizze verdeutlichen:
Analysis
Analysis
Die Periode $T$ einer allg. Sinus-Funktion $y=a\cdot \sin(bx+c) $ berechnest du mit dieser Formel:
$\begin{array}[t]{rlll} T&=&\dfrac{2\pi}{b} \end{array}$
Bei der gegebenen Funktion $g_a(x)=a\cdot\sin(ax)+a$ hat das $b$ dementsprechend den Wert $a$. Die Funktion hat die Periode $\dfrac{2\pi}{a}$. Die Seite $c$ ist demnach $\dfrac{\pi}{a}$ LE lang.
$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Du sollst einen Wert bestimmen, für den das Dreieck rechtwinklig ist. Dazu muss das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{W_1E}$ und $\overrightarrow{W_2E}$ gleich Null sein.
Die Koordinaten der Punkte $E$, $W_1$ und $W_2$ erhältst du durch überlegen.
Eine Sinus-Funktion schneidet die $y$-Achse in einem Wendepunkt. Da die Funktion $g_a$ um einen Wert $a$ in positive $y$-Richtung verschoben ist, hat der Wendepunkt $W_1$ die Koordinaten $W_1(0\mid a)$. Aus deiner vorherigen Berechnung weißt du, dass ein zweiter Wendepunkt einen Abstand von $\dfrac{\pi}{a}$ zu einem weiteren Wendepunkt hat. Der Wendepunkt $W_2$ hat demnach die Koordinaten $W_2\left(\dfrac{\pi}{a}\mid a\right)$.
Der Extrempunkt liegt in der Mitte zwischen zwischen zwei Wendepunkten. Der Extrempunkt hat die Koordinaten $E\left(\dfrac{\pi}{2a}\mid 2a\right)$.
Nun kannst du folgendermaßen vorgehen:
  1. Bilde die Vektoren $\overrightarrow{W_1E}$ und $\overrightarrow{W_2E}$
  2. Bilde das Skalarprodukt
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Aufgabe 1.1.1

$\blacktriangleright$ Extrempunkte bestimmen
Du hast folgenden Funktionsterm einer Funktionenschar gegeben:
$\begin{array}[t]{rlll} f_t(x)&=&x^3-3t\cdot x^2+\left(\frac{9}{4}t^2+1\right)\cdot x& \end{array}$ $\begin{array}[t]{rlll} \quad \scriptsize x\in\mathbb{R} \end{array}$
Du sollst nun zeigen, dass der Graph $K_1$ keine Extrempunkte besitzt.
Den Funktionsterm des Graphen $K_1$ erhältst du, indem du für $t=1$ einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=&x^3-3\cdot1\cdot x^2+\left(\frac{9}{4}\cdot1^2+1\right)\cdot x\\[5pt] f_1(x)&=&x^3-3 x^2+\left(\frac{9}{4}+1\right)\cdot x\\[5pt] f_1(x)&=&x^3-3 x^2+\frac{13}{4} x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}f_1(x)&=&x^3-3 x^2+\frac{13}{4} x\end{array}$
Für eine Extremstelle $x_E$ der Funktion $f_1$ gelten folgende Bedingungen:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f_1'(x_E)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f_1''(x_E)\neq0}$
Um zu zeigen, dass der Graph $K_1$ keine Extrempunkte besitzt, gehst du so vor:
  1. Ableitungen $f_1'$ und $f_1''$ bilden
  2. Notwendige Bedingung überprüfen
  3. Hinreichende Bedingung überprüfen
Ist eine der Bedingungen nicht erfüllt, so hat $K_1$ keinen Extrempunkt.
1. Schritt: Ableitungen $\boldsymbol{f_1'}$ und $\boldsymbol{f_1''}$ bilden
Hier benötigst du die Summenregel .
1. Ableitung:
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=&x^3-3 x^2+\dfrac{13}{4} x\\[5pt] f_1'(x)&=&3x^2-3\cdot2x+\dfrac{13}{4}\\[5pt] f_1'(x)&=&3x^2-6x+\dfrac{13}{4} \end{array}$
2. Ableitung:
$\begin{array}[t]{rll} f_1'(x)&=&3x^2-6x+\dfrac{13}{4}\\[5pt] f_1''(x)&=&3\cdot2x-6\\[5pt] f_1''(x)&=&6x-6 \end{array}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen
Um die notwendige Bedingung zu überprüfen, setzt du den Funktionsterm der ersten Ableitung gleich Null und löst nach $x$ auf. Dafür benötigst du die Mitternachtsformel.
Die Mitternachtsformel kannst du bei Gleichungen der Form $ax^2+bx+c=0$ anwenden. Die Formel lautet:
$x_{1,2} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}}$
$\begin{array}[t]{rlll} f_1'(x)&=&0 \\[5pt] 3x^2-6x+\dfrac{13}{4}&=&0&\quad \scriptsize \text{Mitternachtsformel} \\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{{ - (-6) \pm \sqrt {(-6)^2 - 4\cdot3\cdot\dfrac{13}{4}} }}{{2\cdot3}}\\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{{ 6 \pm \sqrt {36 - 39} }}{{6}}\\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{{ 6 \pm \sqrt {-3} }}{{6}}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll}x_{1,2}&=&\dfrac{{ 6 \pm \sqrt {-3} }}{{6}}\\[5pt]\end{array}$
Der Wert unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Die Gleichung hat damit keine Lösung.
Die notwendige Bedingung wird nicht erfüllt. Damit hat der Graph $K_1$ keinen Extrempunkt.
$\blacktriangleright$  Krümmungsverhalten untersuchen
Nun sollst du das Krümmungsverhalten des Graphen $K_1$ untersuchen. Dafür kannst du die zweite Ableitung $f_1''$ betrachten.
Der Graph einer Funktion $f$ ist rechtsgekrümmt, wenn gilt:
$f''(x)<0$
Ist der Graph linksgekrümmt, gilt dementsprechend:
$f''(x)>0$
Untersuche nun, an welcher Stelle $x_0$ die zweite Ableitung $f_1''$ gleich Null wird. Anschließend kannst du das Verhalten von $f_1''$ links und rechts dieser Stelle $x_0$ bestimmen. Die zweite Ableitung $f_1''$ hast du gebildet.
$\begin{array}[t]{rlll} f_1''(x)&=&0 \\[5pt] 6x-6&=&0&\quad \scriptsize \mid\; +6 \\[5pt] 6x&=&6&\quad \scriptsize \mid\; :1 \\[5pt] x_0&=&1 \end{array}$
Setzt du nun einen Wert kleiner als $1$ in den Funktionsterm der 2. Ableitung $f_1''$ ein, so wird der Funktionswert kleiner als Null. Dies siehst du, wenn du beispielhaft für $x$ den Wert $\frac{1}{2}$ in $f_1''(x)$ einsetzt.
$\begin{array}[t]{rlll} f_1''(x)&=&6x-6 \\[5pt] f_1''(\frac{1}{2})&=&6\cdot\frac{1}{2}-6\\[5pt] f_1''(\frac{1}{2})&=&3-6\\[5pt] f_1''(\frac{1}{2})&=&-3&\quad \scriptsize <0 \end{array}$
Für $x<1$ ist der Graph $K_1$ demnach rechtsgekrümmt.
Genauso kannst du einen Wert für $x>1$ in $f_1''(x)$ einsetzen. In diesem Beispiel setzen wir den Wert $x=2$ ein.
$\begin{array}[t]{rlll} f_1''(x)&=&6x-6 \\[5pt] f_1''(2)&=&6\cdot2-6\\[5pt] f_1''(2)&=&12-6\\[5pt] f_1''(2)&=&6&\quad \scriptsize >0 \end{array}$
Der Graph $K_1$ ist für $x>1$ linksgekrümmt.
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{K_1}$ zeichnen
Hier sollst du den Graphen $K_1$ für $0\leq x\leq3$ zeichnen. Den Graph kannst du mit Hilfe deines GTR zeichnen. Im Graph-Modus kannst du die Funktion eingeben.
Zusätzlich kannst du dir unter
(2ND+GRAPH) TABLE
eine Wertetabelle anzeigen lassen.
Analysis
Analysis
Du erhältst folgenden Graphen $K_1$:
Analysis
Analysis

Aufgabe 1.1.2

$\blacktriangleright$ Tangente $\boldsymbol{t}$ zeichnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Tangente am Ursprung in das Schaubild der Teilaufgabe 1.1.1 einzeichnen. Eine Tangente hat die allgemeine Gleichung:
$t(x)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)$
Dabei ist $x_0$ die Stelle, an der die Tangente am Graphen angelegt wird.
In diesem Fall wird die Tangente $t$ am Ursprung angelegt. Dieser hat die Koordinaten $O(0\mid0)$. Es gilt also $x_0=0$ und $f_1(0)=0$. Du benötigst nur noch den Ableitungswert $f_1'(0)$. Die erste Ableitung $f_1'$ der Funktion $f_1$ hast du in der vorherigen Teilaufgabe gebildet. Setze nun $x_0=0$ in die erste Ableitung ein. Dann kannst du die Werte $x_0$, $f_1(x_0)$ und $f_1'(x_0)$ in die Tangentengleichung einsetzen.
Gehe folgendermaßen vor:
  1. Berechne $f_1'(0)$
  2. Setze die Werte in die allg. Tangentengleichung ein
  3. Zeichne die Tangente $t$ in das Koordinatensystem
1. Schritt: Berechnung von $\boldsymbol{f_1'(0)}$
$\begin{array}[t]{rll} f_1'(x)&=&3x^2-6x+\frac{13}{4}\\[5pt] f_1'(0)&=&3\cdot0^2-6\cdot0+\frac{13}{4}\\[5pt] f_1'(0)&=&\frac{13}{4} \end{array}$
2. Schritt: Einsetzen in die allg. Tangentengleichung
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=&f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0) \\[5pt] t(x)&=&\frac{13}{4}\cdot(x-0)+0\\[5pt] t(x)&=&\frac{13}{4}x \end{array}$
Die Tangente an $K_1$ im Ursprung hat die Gleichung $t(x)=\dfrac{13}{4}x$.
3. Schritt: Zeichnen der Tangente $\boldsymbol{t}$
Diese kannst du nun mit Hilfe eines Steigungsdreiecks oder mit einer Wertetabelle einzeichnen.
Analysis
Analysis
$\blacktriangleright$  Inhalt der Fläche berechnen
Die Tangente und der Graph der Funktion $f_1$ schließen eine Fläche ein. Den Inhalt dieser Fläche kannst du berechnen, indem du von der Fläche $A_1$ zwischen der Tangente und der $x$-Achse die Fläche $A_2$ zwischen dem Graphen $K_1$ und der $x$-Achse subtrahierst. Es gilt:
$A=A_1-A_2$
Die Fläche wird von den Schnittstellen der Tangente $t$ und der Funktion $f_1$ begrenzt. Dies kannst du dir anhand einer Skizze verdeutlichen.
Analysis
Analysis
Die Fläche $A_1$ zwischen der Tangente $t$ und der $x$-Achse bildet ein rechtwinkliges Dreieck. Somit kannst du die Fläche mit der Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks bestimmen:
$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c$
Dabei entspricht das $c$ dem $x$-Wert des Schnittpunktes $S_2$ und die Höhe $h_c$ dem $y$-Wert des Schnittpunktes $S_2$.
Um den Flächeinhalt $A_2$ zwischen dem Graphen $K_1$ und der $x$-Achse zu berechnen, benötigst du ein Integral mit einer Stammfunktion der zu untersuchenden Funktion $f_1$.
$\begin{array}[t]{rlll} A&=&\displaystyle\int_{a}^{b}\;f_1(x)\mathrm dx &=&\left[F_1(x)\right]_a^b \end{array}$
Du kannst nun folgendermaßen vorgehen, um den Inhalt der Fläche $A$ zu berechnen:
  1. Berechne die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ der Schaubilder der Funktionen $t$ und $f_1$
  2. Berechne den Inhalt der Fläche $A_1$
  3. Bilde eine Stammfunktion $F_1$
  4. Berechne den Flächeninhalt von $A_2$
  5. Berechne den Inhalt der Fläche $A$
1. Schritt: Schnittpunkte $\boldsymbol{S_1}$ und $\boldsymbol{S_2}$ berechnen
Um die Schnittstelle zweier Funktionen zu berechnen, setzt du die Funktionsterme gleich und löst nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rlll} f_1(x)&=&t(x) \\[5pt] x^3-3 x^2+\frac{13}{4} x &=&\frac{13}{4} x&\quad \scriptsize \mid\; -\frac{13}{4} x\\[5pt] x^3-3 x^2&=&0\\[5pt] x^2(x-3)&=&0 \end{array}$
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist das Produkt genau dann Null, wenn einer der Faktoren gleich Null wird. Der Term vor der Klammer wird gleich Null, wenn gilt: $x_{1,2}=0$. Betrachte nun den Term in der Klammer und prüfe, für welchen Wert von $x$ dieser Null wird.
$\begin{array}[t]{rlll} x -3&=&0&\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] x_3&=&3 \end{array}$
Du weißt, dass die Graphen der Funktionen durch den Ursprung verlaufen. Der Schnittpunkt $S_1$ hat somit die Koordinaten $S_1(0\mid0)$.
Um die Koordinaten des zweiten Schnittpunktes zu berechnen, setzt du den Wert $x=3$ in den Funktionsterm von $f_1$ oder von $t$ ein. Hier setzen wir den Wert in $t$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} t(x) &=&\frac{13}{4}x \\[5pt] t(3)&=&\frac{13}{4}\cdot 3 \\[5pt] t(3)&=&\frac{39}{4}\\[5pt] t(3)&=&9,75 \end{array}$
Der Schnittpunkt $S_2$ hat die Koordinaten $S_2(3\mid9,75)$.
2. Schritt: Flächeninhalt von $\boldsymbol{A_1}$ berechnen
Nun kannst du mit der Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks den Flächeninhalt $A_1$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=&\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c \\[5pt] A_1&=&\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 9,75\\[5pt] A_1&=&14,625 \end{array}$
Die Fläche $A_1$ hat einen Flächeninhalt von $14,625$ FE.
3. Schritt: Stammfunktion $\boldsymbol{F_1}$ bilden
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=&x^3-3 x^2+\frac{13}{4} x \\[5pt] F_1(x)&=&\frac{1}{4}x^4-3\cdot\frac{1}{3}x^3+\frac{13}{4}\cdot\frac{1}{2}x^2\\[5pt] F_1(x)&=&\frac{1}{4}x^4-x^3+\frac{13}{8}x^2 \end{array}$
4. Schritt: Flächeninhalt von $\boldsymbol{A_2}$ berechnen
Berechne nun das Integral der Funktion $f_1$ im Intervall $[0;3]$.
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=&\displaystyle\int_{0}^{3}\;f_1(x)\mathrm dx \\[5pt] &=&\left[\dfrac{1}{4}x^4-x^3+\dfrac{13}{8}x^2\right]_0^3\\[5pt] &=&\dfrac{1}{4}\cdot3^4-3^3+\dfrac{13}{8}\cdot3^2-\left(\dfrac{1}{4}\cdot0^4-0^3+\dfrac{13}{8}\cdot0^2\right)\\[5pt] &=&\dfrac{1}{4}\cdot81-27+\dfrac{13}{8}\cdot9-0\\[5pt] &=&\dfrac{81}{4}-27+\dfrac{117}{8}\\[5pt] &=&\dfrac{63}{8}\\[5pt] &=&7,875 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}A_2&=&7,875\end{array}$
Die Fläche $A_2$ hat einen Flächeninhalt von $7,875$ FE.
5. Schritt: Flächeninhalt von $\boldsymbol{A}$ berechnen
Nun kannst du den Flächeninhalt der Fläche $A$ berechnen, indem du vom Flächeninhalt von $A_1$ den Flächeninhalt von $A_2$ subtrahierst.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&A_1-A_2 \\[5pt] A&=&14,625-7,875\\[5pt] A&=&6,75 \end{array}$
Die von der Tangente $t$ und $K_1$ eingeschlossene Fläche hat einen Flächeninhalt von $6,75$ FE.

Aufgabe 1.1.3

$\blacktriangleright$ Berührpunkt $\boldsymbol{B}$ bestimmen
Du sollst zeigen, dass jedes Schaubild $K_t$ die erste Winkelhalbierende berührt. Die erste Winkelhalbierende hat die Gleichung $y=x$.
Damit sich zwei Graphen berühren, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Die Graphen müssen sich in einem Punkt $S$ schneiden
  • Die Graphen müssen in dem Punkt $S$ die selbe Steigung haben
Die Steigung $m$ entspricht der ersten Ableitung der Funktion. Es gilt:
$\begin{array}[t]{rlll} m&=&f'(x) \end{array}$
Gehe folgendermaßen vor:
  1. Bestimme die Stelle $x_0$, an der sich der Graph $K_t$ mit der ersten Winkelhalbierenden schneidet
  2. Bestimme die Steigung der Funktionen an der Stelle $x_0$
1. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
Um die Schnittstelle zweier Funktionen zu bestimmen, setzt du deren Funktionsterme gleich.
$\begin{array}[t]{rlll} f_t(x)&=&x\\[5pt] x^3-3tx^2+\left(\frac{9}{4}t^2+1\right)x &=&x& \quad \scriptsize \mid\; -x \\[5pt] x^3-3tx^2+\left(\frac{9}{4}t^2+1\right)x -x&=&0& \quad \scriptsize \; x \text{ ausklammern} \\[5pt] x \left(x^2-3tx+\left(\frac{9}{4}t^2+1\right) -1\right) &=&0& \quad \scriptsize \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll}x \left(x^2-3tx+\left(\frac{9}{4}t^2+1\right) -1\right) =0 \quad \scriptsize \\ \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass entweder der Term in der Klammer oder $x$ gleich Null sein muss, damit das gesamte Produkt Null ergibt. Du erhältst damit die erste Lösung: $x_1=0$. Im Folgenden genügt es, nur noch den Term in der Klammer zu betrachten:
$\begin{array}[t]{rlll} x^2-3tx+\frac{9}{4}t^2+1 -1&=&0& \quad \scriptsize \\[5pt] x^2-3tx+\frac{9}{4}t^2&=&0& \quad \scriptsize \text{Mitternachtsformel} \\[5pt] x_{2,3}&=& \dfrac{{ - (-3t) \pm \sqrt {(-3t)^2 - 4\cdot1\cdot\frac{9}{4}t^2} }}{{2\cdot1}} \\[5pt] x_{2,3}&=& \dfrac{{ 3t \pm \sqrt {9t^2 - 9t^2} }}{{2}} \\[5pt] x_{2,3}&=& \dfrac{ 3t }{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll}x_{2,3}&=& \dfrac{ 3t }{2} \end{array}$
Die Graphen schneiden sich an den Stellen $x_1=0$ und $x_{2,3}=\dfrac{3t}{2}$.
2. Schritt: Steigung bestimmen
Bilde nun jeweils die erste Ableitung und setzt die gefundenen Stellen $x_{1,2,3}$ ein.
Erste Winkelhalbierende:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&x \\[5pt] f'(x)&=&1 \end{array}$
Die erste Ableitung $f'$ der ersten Winkelhalbierende hat an jedem Punkt die Steigung $m=1$. Wir überprüfen im Folgenden, an welchen der gefundenen Stellen der Graph die gleiche Steigung besitzt.
$\boldsymbol{K_t}$:
$\begin{array}[t]{rlll} f_t(x)&=&x^3-3tx^2+\left(\dfrac{9}{4}t^2+1\right)x \\[5pt] f_t'(x)&=&3x^2-3tx\cdot2+\dfrac{9}{4}t^2+1\\[5pt] f_t'(x)&=&3x^2-6tx+\dfrac{9}{4}t^2+1& \quad \scriptsize \text{Einsetzen von}\; x_1 \\[5pt] f_t'\left(0\right)&=&3\cdot\left(0\right)^2-6t\cdot 0+\dfrac{9}{4}t^2+1\\[5pt] f_t'\left(0\right)&=&\dfrac{9}{4}t^2+1\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} f_t'\left(0\right)&=&\dfrac{9}{4}t^2+1\\ \end{array}$
Da für den Parameter $t$ laut Aufgabenstellung $t \neq 0$ gilt, kann die Steigung niemals gleich $1$ sein. An der Stelle $x_1=0$ berührt das Schaubild die erste Winkelhalbierende folglich nicht. Wir überprüfen die Stelle $x_{2,3}$:
$\begin{array}[t]{rlll} f_t'(x)&=&3x^2-6tx+\dfrac{9}{4}t^2+1& \quad \scriptsize \text{Einsetzen von}\; x_{2,3} \\[5pt] f_t'\left(\dfrac{3t}{2}\right)&=&3\cdot\left(\dfrac{3t}{2}\right)^2-6t\cdot\dfrac{3t}{2}+\dfrac{9}{4}t^2+1\\[5pt] f_t'\left(\dfrac{3t}{2}\right)&=&3\cdot\dfrac{9t^2}{4}-\dfrac{18t^2}{2}+\dfrac{9}{4}t^2+1\\[5pt] f_t'\left(\dfrac{3t}{2}\right)&=&\dfrac{27t^2}{4}-\dfrac{18t^2}{2}+\dfrac{9}{4}t^2+1\\[5pt] f_t'\left(\dfrac{3t}{2}\right)&=&1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} f_t'\left(\dfrac{3t}{2}\right)&=&1 \end{array}$
Die Funktion $f_t$ hat an der Stelle $x_{2,3}$ ebenfalls die Steigung $m=1$.
Jedes Schaubild $K_t$ berührt daher die erste Winkelhalbierende.

Aufgabe 1.1.4

$\blacktriangleright$ Steigung $\boldsymbol{m_t}$ berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Steigung von $K_t$ an der Stelle $x=1$ berechnen. Hier kannst du wie im 2. Schritt der Teilaufgabe 1.1.3 vorgehen. Die Steigung $m_t$ an der Stelle $x=1$ entspricht dem Wert der ersten Ableitung $f_t'(1)$. Die erste Ableitung $f_t'$ hast du zuvor schon gebildet.
$\begin{array}[t]{rll} f_t'(x) &=&3x^2-6tx+\frac{9}{4}t^2+1 \\[5pt] f_t'(1) &=&3\cdot1^2-6t\cdot1+\frac{9}{4}t^2+1 \\[5pt] f_t'(1) &=&3-6t+\frac{9}{4}t^2+1 \\[5pt] f_t'(1) &=&4-6t+\frac{9}{4}t^2 \end{array}$
Die Steigung $m_t$ an der Stelle $x=1$ beträgt $4-6t+\frac{9}{4}t^2 $.
$\blacktriangleright$ Zeige, dass gilt $\boldsymbol{m_t\geq0}$
Um zu zeigen, dass $m_t\geq0$ für alle $t\neq0$ gilt, betrachtest du die erste Ableitung $f_t'$ an der Stelle $x=1$. Die Steigung beträgt an dieser Stelle $4-6t+\frac{9}{4}t^2$.
An dem Term $4 +\frac{9}{4}t^2$ erkennst du, dass der Wert von $t$ im Quadrat eingeht. Dieser Term ist demnach immer größer als der Term $-6t$. Das heißt, für alle $t \neq 0$ ist die Steigung größer gleich Null, was zu zeigen war. Du kannst dir dies mit dem GTR verdeutlichen, indem du dir die Steigung an der Stelle $x=1$ im Graph- Modus zeichnen lässt.
Analysis
Analysis
Die Steigung ist für $t\neq0$ immer $\geq0$.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Aussagen begründen
Du hast in der Aufgabe den Graphen einer Funktion $h$ abgebildet. Du sollst nun begründen, dass die Aussagen wahr sind. Betrachte den Graphen, um die Aussagen zu begründen.
1. Aussage:
Du sollst begründen, dass das Schaubild von $h$ eine Wendetangente mit einer Steigung größer als $1$ hat. Eine Wendetangente ist eine Tangente, die an einem Wendepunkt anliegt.
Das Schaubild hat mehrere Wendepunkte. Es gibt jedoch nur einen mit einer positiven Steigung. Die Wendestelle liegt etwa bei einem Wert von $x=0,5$. Um zu begründen, dass die Steigung der Wendetangente größer als $1$ ist, betrachtest du die Steigung der Funktion $h$ an dieser Stelle. Da die Funktion $h$ in dem Bereich des Wendepunktes in etwa linear verläuft, kannst du die Steigung mit einem Steigungsdreieck bestimmen. Die Steigung der Funktion an der Wendestelle entspricht der Steigung der Wendetangente. Die Funktion $h$ hat in dem Bereich der Wendestelle eine Steigung von ca. $2,5$.
Analysis
Analysis
Das Schaubild $h$ hat demnach eine Wendetangente, deren Steigung größer als eins ist.
2. Aussage:
Begründe, dass gilt: $h'(1)\cdot h'(3)<0$
Hier betrachtest du die Steigung der Funktion $h$ an den Stellen $x=1$ und $x=3$.
An der Stelle $x=1$ hat die Funktion $h$ eine positive Steigung. An der Stelle $x=3$ ist diese negativ. Wird ein positiver Wert mit einem negativen multipliziert, so ist das Ergebnis ebenfalls negativ.
Die Aussage ist wahr.
3. Aussage:
Die Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der $x$-Achse soll im Intervall $[1;3]$ kleiner als $10$ sein.
Hier kannst du die Anzahl der Kästchen im Koordinatensystem zählen, die der Graph im Intervall $[1;3]$ einschließt. Ein Kästchen hat eine Fläche von $1$.
Es werden etwa $9$ Kästchen eingeschlossen. Die Aussage ist also wahr.
4. Aussage:
Nun sollst du begründen, dass jede Stammfunktion im Intervall $[0;4]$ streng monoton steigend ist.
Damit eine Funktion $f$ streng monoton steigend ist, muss gelten:
$\begin{array}[t]{rlll} f'(x)&>&0 \end{array}$
In diesem Fall ist die abgebildete Funktion $h$ die Ableitungsfunktion von jeder Stammfunktion der Funktion $h$.
Die Funktion $h$ muss demnach im Intervall $[0;4]$ immer größer als Null sein, damit die Aussage wahr ist. Dies ist der Fall. Somit ist die Aussage wahr.

Aufgabe 1.3.1

$\blacktriangleright$ Beschreibe die Entstehung der Gleichung
Du hast folgende Funktion gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} g_a(x)&=&a\cdot \sin(a\cdot x)+a \quad \scriptsize x\in\mathbb{R} \end{array}$
Der Graph sei $C_a$.
Du sollst nun beschreiben wie der Graph $C_2$ aus der Gleichung $y=\sin(x)$ entsteht.
Um die Funktionsgleichung von $C_2$ zu erhalten, setzt du für den Parameter $a$ den Wert $2$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} g_a(x)&=&a\cdot \sin(a\cdot x)+a \quad \scriptsize x\in\mathbb{R}\\[5pt] g_2(x)&=&2\cdot \sin(2 x)+2 \end{array}$
Eine allgemeine Sinusfunktion hat folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rlll} y&=&a\cdot\sin(bx+c)+d \end{array}$
Das $a$ streckt die Amplitude der Funktion. Die Streckung erfolgt demnach in $y$-Richtung. Das $b$ streckt oder staucht die Funktion in $x$-Richtung. Durch das $c$ wird die Funktion in $x$-Richtung um den Faktor $\frac{1}{b}$ gestreckt oder gestaucht und durch das $d$ in $y$-Richtung verschoben.
Der Graph $C_2$ entsteht also, indem man die Funktion $y=\sin(x)$ um einen Wert $2$ in $y$- Richtung streckt. Außerdem wird die Funktion um den Faktor $2$ in positive $y$-Richtung verschoben und um $\frac{1}{2}$ in $x$-Richtung gestaucht.
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{C_2}$ zeichnen
Um den Graphen $C_2$ zeichnen zu können, kannst du dir mit dem GTR eine Wertetabelle anzeigen lassen. Mit Hilfe der Wertetabelle kannst du den Graphen $C_2$ zeichnen.
Analysis
Analysis
Analysis
Analysis

Aufgabe 1.3.2

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt $\boldsymbol{A_{\Delta}}$ berechnen
Nun sollst du zeigen, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks nicht von dem Parameter $a$ abhängt. Die Eckpunkte des Dreiecks sind ein Extrempunkt von $C_a$ und seine benachbarten Wendepunkte.
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du folgendermaßen:
$\begin{array}[t]{rlll} A_{\Delta}&=&\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c \end{array}$
Dabei entspricht das $c$ der Länge einer Seite und $h_c$ der Länge der entsprechenden Höhe.
In diesem Fall ist die Höhe $h_c$ die Amplitude der Funktion. Das $c$ entspricht demnach der Strecke zwischen den zwei Wendepunkten $W_1$ und $W_2$. Diese Strecke ist so lang wie eine halbe Periode.
Dies kannst du dir mit einer Skizze verdeutlichen:
Analysis
Analysis
Die Periode $T$ einer allg. Sinus-Funktion $y=a\cdot \sin(bx+c) +d$ berechnest du mit dieser Formel:
$\begin{array}[t]{rlll} T&=&\dfrac{2\pi}{b} \end{array}$
Bei der gegebenen Funktion $g_a(x)=a\cdot\sin(ax)+a$ hat das $b$ dementsprechend den Wert $a$. Die Funktion hat die Periode $\dfrac{2\pi}{a}$. Die Seite $c$ ist demnach $\dfrac{\pi}{a}$ LE lang.
Setze nun die Werte von $c$ und $h_c$ in die Formel zur Flächenberechnung ein.
$\begin{array}[t]{rll} A_{\Delta}&=&\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_c \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{a}\cdot a\\[5pt] &=&\dfrac{\pi}{2} \end{array}$
Die Dreiecke haben jeweils einen Flächeninhalt von $\frac{\pi}{2}$ und dieser ist somit unabhängig von $a$.
$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Du sollst einen Wert bestimmen, für den das Dreieck rechtwinklig ist. Dazu muss das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{W_1E}$ und $\overrightarrow{W_2E}$ gleich Null sein.
Die Koordinaten der Punkte $E$, $W_1$ und $W_2$ erhältst du durch Überlegen.
Die betrachtete Sinus-Funktion schneidet die $y$-Achse in einem Wendepunkt. Da die Funktion $g_a$ um einen Wert $a$ in positive $y$-Richtung verschoben ist, hat der Wendepunkt $W_1$ die Koordinaten $W_1(0\mid a)$. Aus deiner vorherigen Berechnung weißt du, dass ein zweiter Wendepunkt einen Abstand von einer halben Periode $\dfrac{\pi}{a}$ zu einem benachbarten Wendepunkt hat. Der Wendepunkt $W_2$ hat demnach die Koordinaten $W_2\left(\dfrac{\pi}{a}\mid a\right)$.
Der Extrempunkt liegt in der Mitte zwischen zwei Wendepunkten. Der Extrempunkt hat die Koordinaten $E\left(\dfrac{\pi}{2a}\mid 2a\right)$.
Nun kannst du folgendermaßen vorgehen:
  1. Bilde die Vektoren $\overrightarrow{W_1E}$ und $\overrightarrow{W_2E}$
  2. Bilde das Skalarprodukt
1. Schritt: Vektoren $\boldsymbol{\overrightarrow{W_1E}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{W_2E}}$ bilden
$\boldsymbol{\overrightarrow{W_1E}}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{W_1E}&=&\begin{pmatrix}\dfrac{\pi}{2a}\\2a\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\a\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}\dfrac{\pi}{2a}\\a\end{pmatrix} \end{array}$
$\boldsymbol{\overrightarrow{W_2E}}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{W_2E}&=&\begin{pmatrix}\dfrac{\pi}{2a}\\2a\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}\dfrac{\pi}{a}\\a\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-\dfrac{\pi}{2a}\\a\end{pmatrix} \end{array}$
2. Schritt: Skalarprodukt bilden
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{W_1E}\circ\overrightarrow{W_2E}&=& 0\\[5pt] \begin{pmatrix}\dfrac{\pi}{2a}\\a\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-\dfrac{\pi}{2a}\\a\end{pmatrix}&=&0\\[5pt] \dfrac{\pi}{2a}\cdot\left(-\dfrac{\pi}{2a}\right)+a\cdot a&=&0\\[5pt] \dfrac{\pi^2}{4a^2}+a^2&=&0 \end{array}$
Du kannst nun die Funktion $y=\dfrac{\pi^2}{4a^2}+a^2$ in dem Graph-Modus deines GTR zeichnen lassen und unter folgendem Befehl die Nullstelle bestimmen:
(2ND + TRACE) CALC \rightarrow 2: Zero
Analysis
Analysis
Da das $a>0$ ist, gilt $a \approx \pm 1,25$. Laut Aufgabenstellung muss aber $a>0$ gelten, hier ist nur nach der positiven Lösung gefragt.
Ein solches Dreieck ist für $a=1,25$ rechtwinklig.
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Aufgabe 1.1.1

$\blacktriangleright$ Extrempunkte bestimmen
Du hast folgenden Funktionsterm einer Funktionenschar gegeben:
$\begin{array}[t]{rlll} f_t(x)&=&x^3-3t\cdot x^2+\left(\frac{9}{4}t^2+1\right)\cdot x& \quad \scriptsize x\in\mathbb{R} \end{array}$
Du sollst nun zeigen, dass der Graph $K_1$ keine Extrempunkte besitzt.
Den Funktionsterm des Graphen $K_1$ erhältst du, indem du für $t=1$ einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=&x^3-3\cdot1\cdot x^2+\left(\frac{9}{4}\cdot1^2+1\right)\cdot x\\[5pt] f_1(x)&=&x^3-3 x^2+\left(\frac{9}{4}+1\right)\cdot x\\[5pt] f_1(x)&=&x^3-3 x^2+\frac{13}{4} x \end{array}$
Für eine Extremstelle $x_E$ der Funktion $f_1$ gelten folgende Bedingungen:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f_1'(x_E)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{f_1''(x_E)\neq0}$
Um zu zeigen, dass der Graph $K_1$ keine Extrempunkte besitzt, gehst du so vor:
  1. Ableitungen $f_1'$ und $f_1''$ bilden
  2. Notwendige Bedingung überprüfen
  3. Hinreichende Bedingung überprüfen (falls nötig)
Ist eine der Bedingungen nicht erfüllt, so hat $K_1$ keinen Extrempunkt.
1. Schritt: Ableitungen $\boldsymbol{f_1'}$ und $\boldsymbol{f_1''}$ bilden
Hier benötigst du die Summenregel .
1. Ableitung:
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=&x^3-3 x^2+\dfrac{13}{4} x\\[5pt] f_1'(x)&=&3x^2-3\cdot2x+\dfrac{13}{4}\\[5pt] f_1'(x)&=&3x^2-6x+\dfrac{13}{4} \end{array}$
2. Ableitung:
$\begin{array}[t]{rll} f_1'(x)&=&3x^2-6x+\dfrac{13}{4}\\[5pt] f_1''(x)&=&3\cdot2x-6\\[5pt] f_1''(x)&=&6x-6 \end{array}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen
Um die notwendige Bedingung zu überprüfen, setzt du den Funktionsterm der ersten Ableitung gleich Null und löst nach $x$ auf. Dafür benötigst du die Mitternachtsformel.
Die Mitternachtsformel kannst du bei Gleichungen der Form $ax^2+bx+c=0$ anwenden. Die Formel lautet:
$x_{1,2} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}}$
$\begin{array}[t]{rlll} f_1'(x)&=&0 \\[5pt] 3x^2-6x+\dfrac{13}{4}&=&0&\quad \scriptsize \text{Mitternachtsformel} \\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{{ - (-6) \pm \sqrt {(-6)^2 - 4\cdot3\cdot\dfrac{13}{4}} }}{{2\cdot3}}\\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{{ 6 \pm \sqrt {36 - 39} }}{{6}}\\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{{ 6 \pm \sqrt {-3} }}{{6}}\\[5pt] \end{array}$
Der Wert unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Die Gleichung hat damit keine Lösung.
Die notwendige Bedingung wird nicht erfüllt. Damit hat der Graph $K_1$ keinen Extrempunkt.
$\blacktriangleright$  Krümmungsverhalten untersuchen
Nun sollst du das Krümmungsverhalten des Graphen $K_1$ untersuchen. Dafür kannst du die zweite Ableitung $f_1''$ betrachten.
Der Graph einer Funktion $f$ ist rechtsgekrümmt, wenn gilt:
$f''(x)<0$
Ist der Graph linksgekrümmt, gilt dementsprechend:
$f''(x)>0$
Untersuche nun, an welcher Stelle $x_0$ die zweite Ableitung $f_1''$ gleich Null wird. Anschließend kannst du das Verhalten von $f_1''$ links und rechts dieser Stelle $x_0$ bestimmen. Die zweite Ableitung $f_1''$ hast du gebildet.
$\begin{array}[t]{rlll} f_1''(x)&=&0 \\[5pt] 6x-6&=&0&\quad \scriptsize \mid\; +6 \\[5pt] 6x&=&6&\quad \scriptsize \mid\; :1 \\[5pt] x_0&=&1 \end{array}$
Setzt du nun einen Wert kleiner als $1$ in den Funktionsterm der 2. Ableitung $f_1''$ ein, so wird der Funktionswert kleiner als Null. Dies siehst du, wenn du beispielhaft für $x$ den Wert $\frac{1}{2}$ in $f_1''(x)$ einsetzt.
$\begin{array}[t]{rlll} f_1''(x)&=&6x-6 \\[5pt] f_1''(\frac{1}{2})&=&6\cdot\frac{1}{2}-6\\[5pt] f_1''(\frac{1}{2})&=&3-6\\[5pt] f_1''(\frac{1}{2})&=&-3&\quad \scriptsize <0 \end{array}$
Für $x<1$ ist der Graph $K_1$ demnach rechtsgekrümmt.
Genauso kannst du einen Wert für $x>1$ in $f_1''(x)$ einsetzen. In diesem Beispiel setzen wir den Wert $x=2$ ein.
$\begin{array}[t]{rlll} f_1''(x)&=&6x-6 \\[5pt] f_1''(2)&=&6\cdot2-6\\[5pt] f_1''(2)&=&12-6\\[5pt] f_1''(2)&=&6&\quad \scriptsize >0 \end{array}$
Der Graph $K_1$ ist für $x>1$ linksgekrümmt.
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{K_1}$ zeichnen
Hier sollst du den Graphen $K_1$ für $0\leq x\leq3$ zeichnen. Den Graph kannst du mit Hilfe deines GTR zeichnen. Im Graph-Modus kannst du die Funktion eingeben.
Zusätzlich kannst du dir im Table-Modus eine Wertetabelle anzeigen lassen.
Analysis
Analysis
Analysis
Analysis
Du erhältst folgenden Graphen $K_1$:
Analysis
Analysis

Aufgabe 1.1.2

$\blacktriangleright$ Tangente $\boldsymbol{t}$ zeichnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Tangente am Ursprung in das Schaubild der Teilaufgabe 1.1.1 einzeichnen. Eine Tangente hat die allgemeine Gleichung:
$t(x)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)$
Dabei ist $x_0$ die Stelle, an der die Tangente am Graphen angelegt wird.
In diesem Fall wird die Tangente $t$ am Ursprung angelegt. Dieser hat die Koordinaten $O(0\mid0)$. Es gilt also $x_0=0$ und $f_1(0)=0$. Du benötigst nur noch den Ableitungswert $f_1'(0)$. Die erste Ableitung $f_1'$ der Funktion $f_1$ hast du in der vorherigen Teilaufgabe gebildet. Setze nun $x_0=0$ in die erste Ableitung ein. Dann kannst du die Werte $x_0$, $f_1(x_0)$ und $f_1'(x_0)$ in die Tangentengleichung einsetzen.
Gehe folgendermaßen vor:
  1. Berechne $f_1'(0)$
  2. Setze die Werte in die allg. Tangentengleichung ein
  3. Zeichne die Tangente $t$ in das Koordinatensystem
1. Schritt: Berechnung von $\boldsymbol{f_1'(0)}$
$\begin{array}[t]{rll} f_1'(x)&=&3x^2-6x+\frac{13}{4}\\[5pt] f_1'(0)&=&3\cdot0^2-6\cdot0+\frac{13}{4}\\[5pt] f_1'(0)&=&\frac{13}{4} \end{array}$
2. Schritt: Einsetzen in die allg. Tangentengleichung
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=&f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0) \\[5pt] t(x)&=&\frac{13}{4}\cdot(x-0)+0\\[5pt] t(x)&=&\frac{13}{4}x \end{array}$
Die Tangente an $K_1$ im Ursprung hat die Gleichung $t(x)=\dfrac{13}{4}x$.
3. Schritt: Zeichnen der Tangente $\boldsymbol{t}$
Diese kannst du nun mit Hilfe eines Steigungsdreiecks oder mit einer Wertetabelle einzeichnen.
Analysis
Analysis
$\blacktriangleright$  Inhalt der Fläche berechnen
Die Tangente und der Graph der Funktion $f_1$ schließen eine Fläche ein. Den Inhalt dieser Fläche kannst du berechnen, indem du von der Fläche $A_1$ zwischen der Tangente und der $x$-Achse die Fläche $A_2$ zwischen dem Graphen $K_1$ und der $x$-Achse subtrahierst. Es gilt:
$A=A_1-A_2$
Die Fläche wird von den Schnittstellen der Tangente $t$ und der Funktion $f_1$ begrenzt. Dies kannst du dir anhand einer Skizze verdeutlichen.
Analysis
Analysis
Die Fläche $A_1$ zwischen der Tangente $t$ und der $x$-Achse bildet ein rechtwinkliges Dreieck. Somit kannst du die Fläche mit der Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks bestimmen:
$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c$
Dabei entspricht das $c$ dem $x$-Wert des Schnittpunktes $S_2$ und die Höhe $h_c$ dem $y$-Wert des Schnittpunktes $S_2$.
Um den Flächeinhalt $A_2$ zwischen dem Graphen $K_1$ und der $x$-Achse zu berechnen, benötigst du ein Integral mit einer Stammfunktion der zu untersuchenden Funktion $f_1$.
$\begin{array}[t]{rlll} A&=&\displaystyle\int_{a}^{b}\;f_1(x)\mathrm dx &=&\left[F_1(x)\right]_a^b \end{array}$
Du kannst nun folgendermaßen vorgehen, um den Inhalt der Fläche $A$ zu berechnen:
  1. Berechne die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ der Schaubilder der Funktionen $t$ und $f_1$
  2. Berechne den Inhalt der Fläche $A_1$
  3. Bilde eine Stammfunktion $F_1$
  4. Berechne den Flächeninhalt von $A_2$
  5. Berechne den Inhalt der Fläche $A$
1. Schritt: Schnittpunkte $\boldsymbol{S_1}$ und $\boldsymbol{S_2}$ berechnen
Um die Schnittstelle zweier Funktionen zu berechnen, setzt du die Funktionsterme gleich und löst nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rlll} f_1(x)&=&t(x) \\[5pt] x^3-3 x^2+\frac{13}{4} x &=&\frac{13}{4} x&\quad \scriptsize \mid\; -\frac{13}{4} x\\[5pt] x^3-3 x^2&=&0\\[5pt] x^2(x-3)&=&0 \end{array}$
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist das Produkt genau dann Null, wenn einer der Faktoren gleich Null wird. Der Term vor der Klammer wird gleich Null, wenn gilt: $x_{1,2}=0$. Betrachte nun den Term in der Klammer und prüfe, für welchen Wert von $x$ dieser Null wird.
$\begin{array}[t]{rlll} x -3&=&0&\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] x_3&=&3 \end{array}$
Du weißt, dass die Graphen der Funktionen durch den Ursprung verlaufen. Der Schnittpunkt $S_1$ hat somit die Koordinaten $S_1(0\mid0)$.
Um die Koordinaten des zweiten Schnittpunktes zu berechnen, setzt du den Wert $x=3$ in den Funktionsterm von $f_1$ oder von $t$ ein. Hier setzen wir den Wert in $t$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} t(x) &=&\frac{13}{4}x \\[5pt] t(3)&=&\frac{13}{4}\cdot 3 \\[5pt] t(3)&=&\frac{39}{4}\\[5pt] t(3)&=&9,75 \end{array}$
Der Schnittpunkt $S_2$ hat die Koordinaten $S_2(3\mid9,75)$.
2. Schritt: Flächeninhalt von $\boldsymbol{A_1}$ berechnen
Nun kannst du mit der Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks den Flächeninhalt $A_1$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=&\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c \\[5pt] A_1&=&\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 9,75\\[5pt] A_1&=&14,625 \end{array}$
Die Fläche $A_1$ hat einen Flächeninhalt von $14,625$ FE.
3. Schritt: Stammfunktion $\boldsymbol{F_1}$ bilden
$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=&x^3-3 x^2+\frac{13}{4} x \\[5pt] F_1(x)&=&\frac{1}{4}x^4-3\cdot\frac{1}{3}x^3+\frac{13}{4}\cdot\frac{1}{2}x^2\\[5pt] F_1(x)&=&\frac{1}{4}x^4-x^3+\frac{13}{8}x^2 \end{array}$
4. Schritt: Flächeninhalt von $\boldsymbol{A_2}$ berechnen
Berechne nun das Integral der Funktion $f_1$ im Intervall $[0;3]$.
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=&\displaystyle\int_{0}^{3}\;f_1(x)\mathrm dx \\[5pt] &=&\left[\dfrac{1}{4}x^4-x^3+\dfrac{13}{8}x^2\right]_0^3\\[5pt] &=&\dfrac{1}{4}\cdot3^4-3^3+\dfrac{13}{8}\cdot3^2-\left(\dfrac{1}{4}\cdot0^4-0^3+\dfrac{13}{8}\cdot0^2\right)\\[5pt] &=&\dfrac{1}{4}\cdot81-27+\dfrac{13}{8}\cdot9-0\\[5pt] &=&\dfrac{81}{4}-27+\dfrac{117}{8}\\[5pt] &=&\dfrac{63}{8}\\[5pt] &=&7,875 \end{array}$
Die Fläche $A_2$ hat einen Flächeninhalt von $7,875$ FE.
4. Schritt: Flächeninhalt von $\boldsymbol{A}$ berechnen
Nun kannst du den Flächeninhalt der Fläche $A$ berechnen, indem du vom Flächeninhalt von $A_1$ den Flächeninhalt von $A_2$ subtrahierst.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&A_1-A_2 \\[5pt] A&=&14,625-7,875\\[5pt] A&=&6,75 \end{array}$
Die von der Tangente $t$ und $K_1$ eingeschlossene Fläche hat einen Flächeninhalt von $6,75$ FE.

Aufgabe 1.1.3

$\blacktriangleright$ Berührpunkt $\boldsymbol{B}$ bestimmen
Du sollst zeigen, dass jedes Schaubild $K_t$ die erste Winkelhalbierende berührt. Die erste Winkelhalbierende hat die Gleichung $y=x$.
Damit sich zwei Graphen berühren, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Die Graphen müssen sich in einem Punkt $S$ schneiden
  • Die Graphen müssen in dem Punkt $S$ die selbe Steigung haben
Die Steigung $m$ entspricht der ersten Ableitung der Funktion. Es gilt:
$\begin{array}[t]{rlll} m&=&f'(x) \end{array}$
Gehe folgendermaßen vor:
  1. Bestimme die Stelle $x_0$, an der sich der Graph $K_t$ mit der ersten Winkelhalbierenden schneidet
  2. Bestimme die Steigung der Funktionen an der Stelle $x_0$
1. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
Um die Schnittstelle zweier Funktionen zu bestimmen, setzt du deren Funktionsterme gleich.
$\begin{array}[t]{rlll} f_t(x)&=&x\\[5pt] x^3-3tx^2+\left(\frac{9}{4}t^2+1\right)x &=&x& \quad \scriptsize \mid\; -x \\[5pt] x^3-3tx^2+\left(\frac{9}{4}t^2+1\right)x -x&=&0& \quad \scriptsize \; x \text{ ausklammern} \\[5pt] x \left(x^2-3tx+\left(\frac{9}{4}t^2+1\right) -1\right) &=&0& \quad \scriptsize \\ \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass entweder der Term in der Klammer oder $x$ gleich Null sein muss, damit das gesamte Produkt Null ergibt. Du erhältst damit die erste Lösung: $x_1=0$. Im Folgenden genügt es, nur noch den Term in der Klammer zu betrachten:
$\begin{array}[t]{rlll} x^2-3tx+\frac{9}{4}t^2+1 -1&=&0& \quad \scriptsize \\[5pt] x^2-3tx+\frac{9}{4}t^2&=&0& \quad \scriptsize \text{Mitternachtsformel} \\[5pt] x_{2,3}&=& \dfrac{{ - (-3t) \pm \sqrt {(-3t)^2 - 4\cdot1\cdot\frac{9}{4}t^2} }}{{2\cdot1}} \\[5pt] x_{2,3}&=& \dfrac{{ 3t \pm \sqrt {9t^2 - 9t^2} }}{{2}} \\[5pt] x_{2,3}&=& \dfrac{ 3t }{2} \end{array}$
Die Graphen schneiden sich an den Stellen $x_1=0$ und $x_{2,3}=\dfrac{3t}{2}$.
2. Schritt: Steigung bestimmen
Bilde nun jeweils die erste Ableitung und setzt die gefundenen Stellen $x_{1,2,3}$ ein.
Erste Winkelhalbierende:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&x \\[5pt] f'(x)&=&1 \end{array}$
Die erste Ableitung $f'$ der ersten Winkelhalbierende hat an jedem Punkt die Steigung $m=1$. Wir überprüfen im Folgenden, an welchen der gefundenen Stellen der Graph die gleiche Steigung besitzt.
$\boldsymbol{K_t}$:
$\begin{array}[t]{rlll} f_t(x)&=&x^3-3tx^2+\left(\dfrac{9}{4}t^2+1\right)x \\[5pt] f_t'(x)&=&3x^2-3tx\cdot2+\dfrac{9}{4}t^2+1\\[5pt] f_t'(x)&=&3x^2-6tx+\dfrac{9}{4}t^2+1& \quad \scriptsize \text{Einsetzen von}\; x_1 \\[5pt] f_t'\left(0\right)&=&3\cdot\left(0\right)^2-6t\cdot 0+\dfrac{9}{4}t^2+1\\[5pt] f_t'\left(0\right)&=&\dfrac{9}{4}t^2+1\\ \end{array}$
Da für den Parameter $t$ laut Aufgabenstellung $t \neq 0$ gilt, kann die Steigung niemals gleich $1$ sein. An der Stelle $x_1=0$ berührt das Schaubild die erste Winkelhalbierende folglich nicht. Wir überprüfen die Stelle $x_{2,3}$:
$\begin{array}[t]{rlll} f_t'(x)&=&3x^2-6tx+\dfrac{9}{4}t^2+1& \quad \scriptsize \text{Einsetzen von}\; x_{2,3} \\[5pt] f_t'\left(\dfrac{3t}{2}\right)&=&3\cdot\left(\dfrac{3t}{2}\right)^2-6t\cdot\dfrac{3t}{2}+\dfrac{9}{4}t^2+1\\[5pt] f_t'\left(\dfrac{3t}{2}\right)&=&3\cdot\dfrac{9t^2}{4}-\dfrac{18t^2}{2}+\dfrac{9}{4}t^2+1\\[5pt] f_t'\left(\dfrac{3t}{2}\right)&=&\dfrac{27t^2}{4}-\dfrac{18t^2}{2}+\dfrac{9}{4}t^2+1\\[5pt] f_t'\left(\dfrac{3t}{2}\right)&=&1 \end{array}$
Die Funktion $f_t$ hat an der Stelle $x_{2,3}$ ebenfalls die Steigung $m=1$.
Jedes Schaubild $K_t$ berührt daher die erste Winkelhalbierende.

Aufgabe 1.1.4

$\blacktriangleright$ Steigung $\boldsymbol{m_t}$ berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Steigung von $K_t$ an der Stelle $x=1$ berechnen. Hier kannst du wie im 2. Schritt der Teilaufgabe 1.1.3 vorgehen. Die Steigung $m_t$ an der Stelle $x=1$ entspricht dem Wert der ersten Ableitung $f_t'(1)$. Die erste Ableitung $f_t'$ hast du zuvor schon gebildet.
$\begin{array}[t]{rll} f_t'(x) &=&3x^2-6tx+\frac{9}{4}t^2+1 \\[5pt] f_t'(1) &=&3\cdot1^2-6t\cdot1+\frac{9}{4}t^2+1 \\[5pt] f_t'(1) &=&3-6t+\frac{9}{4}t^2+1 \\[5pt] f_t'(1) &=&4-6t+\frac{9}{4}t^2 \end{array}$
Die Steigung $m_t$ an der Stelle $x=1$ beträgt $4-6t+\frac{9}{4}t^2 $.
$\blacktriangleright$ Zeige, dass gilt $\boldsymbol{m_t\geq0}$
Um zu zeigen, dass $m_t\geq0$ für alle $t\neq0$ gilt, betrachtest du die erste Ableitung $f_t'$ an der Stelle $x=1$. Die Steigung beträgt an dieser Stelle $4-6t+\frac{9}{4}t^2$.
An dem Term $4 +\frac{9}{4}t^2$ erkennst du, dass der Wert von $t$ im Quadrat eingeht. Dieser Term ist demnach immer größer als der Term $-6t$. Das heißt, für alle $t \neq 0$ ist die Steigung größer gleich Null, was zu zeigen war. Du kannst dir dies mit dem GTR verdeutlichen, indem du dir die Steigung an der Stelle $x=1$ im Graph- Modus zeichnen lässt.
Analysis
Analysis
Die Steigung ist für $t\neq0$ immer $\geq0$.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Aussagen begründen
Du hast in der Aufgabe den Graphen einer Funktion $h$ abgebildet. Du sollst nun begründen, dass die Aussagen wahr sind. Betrachte den Graphen, um die Aussagen zu begründen.
1. Aussage:
Du sollst begründen, dass das Schaubild von $h$ eine Wendetangente mit einer Steigung größer als $1$ hat. Eine Wendetangente ist eine Tangente, die an einem Wendepunkt anliegt.
Das Schaubild hat mehrere Wendepunkte. Es gibt jedoch nur einen mit einer positiven Steigung. Die Wendestelle liegt etwa bei einem Wert von $x=0,5$. Um zu begründen, dass die Steigung der Wendetangente größer als $1$ ist, betrachtest du die Steigung der Funktion $h$ an dieser Stelle. Da die Funktion $h$ in dem Bereich des Wendepunktes in etwa linear verläuft, kannst du die Steigung mit einem Steigungsdreieck bestimmen. Die Steigung der Funktion an der Wendestelle entspricht der Steigung der Wendetangente. Die Funktion $h$ hat in dem Bereich der Wendestelle eine Steigung von ca. $2,5$.
Analysis
Analysis
Das Schaubild $h$ hat demnach eine Wendetangente, deren Steigung größer als eins ist.
2. Aussage:
Begründe, dass gilt: $h'(1)\cdot h'(3)<0$
Hier betrachtest du die Steigung der Funktion $h$ an den Stellen $x=1$ und $x=3$.
An der Stelle $x=1$ hat die Funktion $h$ eine positive Steigung. An der Stelle $x=3$ ist diese negativ. Wird ein positiver Wert mit einem negativen multipliziert, so ist das Ergebnis ebenfalls negativ.
Die Aussage ist wahr.
3. Aussage:
Die Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der $x$-Achse soll im Intervall $[1;3]$ kleiner als $10$ sein.
Hier kannst du die Anzahl der Kästchen im Koordinatensystem zählen, die der Graph im Intervall $[1;3]$ einschließt. Ein Kästchen hat eine Fläche von $1$.
Es werden etwa $9$ Kästchen eingeschlossen. Die Aussage ist also wahr.
4. Aussage:
Nun sollst du begründen, dass jede Stammfunktion im Intervall $[0;4]$ streng monoton steigend ist.
Damit eine Funktion $f$ streng monoton steigend ist, muss gelten:
$\begin{array}[t]{rlll} f'(x)&>&0 \end{array}$
In diesem Fall ist die abgebildete Funktion $h$ die Ableitungsfunktion von jeder Stammfunktion der Funktion $h$.
Die Funktion $h$ muss demnach im Intervall $[0;4]$ immer größer als Null sein, damit die Aussage wahr ist. Dies ist der Fall. Somit ist die Aussage wahr.

Aufgabe 1.3.1

$\blacktriangleright$ Beschreibe die Entstehung der Gleichung
Du hast folgende Funktion gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} g_a(x)&=&a\cdot \sin(a\cdot x)+a \quad \scriptsize x\in\mathbb{R} \end{array}$
Der Graph sei $C_a$.
Du sollst nun beschreiben wie der Graph $C_2$ aus der Gleichung $y=\sin(x)$ entsteht.
Um die Funktionsgleichung von $C_2$ zu erhalten, setzt du für den Parameter $a$ den Wert $2$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} g_a(x)&=&a\cdot \sin(a\cdot x)+a \quad \scriptsize x\in\mathbb{R}\\[5pt] g_2(x)&=&2\cdot \sin(2 x)+2 \end{array}$
Eine allgemeine Sinusfunktion hat folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rlll} y&=&a\cdot\sin(bx+c)+d \end{array}$
Das $a$ streckt die Amplitude der Funktion. Die Streckung erfolgt demnach in $y$-Richtung. Das $b$ streckt oder staucht die Funktion in $x$-Richtung. Durch das $c$ wird die Funktion in $x$-Richtung und durch das $d$ in $y$-Richtung verschoben.
Der Graph $C_2$ entsteht also, indem man die Funktion $y=\sin(x)$ um einen Wert $2$ in $y$- Richtung streckt. Außerdem wird die Funktion um den Faktor $2$ in positive $y$-Richtung verschoben und um $2$ in $x$-Richtung gestaucht.
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{C_2}$ zeichnen
Um den Graphen $C_2$ zeichnen zu können, kannst du dir mit dem GTR eine Wertetabelle anzeigen lassen. Mit Hilfe der Wertetabelle kannst du den Graphen $C_2$ zeichnen.
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Aufgabe 1.3.2

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt $\boldsymbol{A_{\Delta}}$ berechnen
Nun sollst du zeigen, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks nicht von dem Parameter $a$ abhängt. Die Eckpunkte des Dreiecks sind ein Extrempunkt von $C_a$ und seine benachbarten Wendepunkte.
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du folgendermaßen:
$\begin{array}[t]{rlll} A_{\Delta}&=&\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c \end{array}$
Dabei entspricht das $c$ der Länge einer Seite und $h_c$ der Länge der entsprechenden Höhe.
In diesem Fall ist die Höhe $h_c$ die Amplitude der Funktion. Das $c$ entspricht demnach der Strecke zwischen den zwei Wendepunkten $W_1$ und $W_2$. Diese Strecke ist so lang wie eine halbe Periode.
Dies kannst du dir mit einer Skizze verdeutlichen:
Analysis
Analysis
Die Periode $T$ einer allg. Sinus-Funktion $y=a\cdot \sin(bx+c) +d$ berechnest du mit dieser Formel:
$\begin{array}[t]{rlll} T&=&\dfrac{2\pi}{b} \end{array}$
Bei der gegebenen Funktion $g_a(x)=a\cdot\sin(ax)+a$ hat das $b$ dementsprechend den Wert $a$. Die Funktion hat die Periode $\dfrac{2\pi}{a}$. Die Seite $c$ ist demnach $\dfrac{\pi}{a}$ LE lang.
Setze nun die Werte von $c$ und $h_c$ in die Formel zur Flächenberechnung ein.
$\begin{array}[t]{rll} A_{\Delta}&=&\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_c \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{a}\cdot a\\[5pt] &=&\dfrac{\pi}{2} \end{array}$
Die Dreiecke haben jeweils einen Flächeninhalt von $\frac{\pi}{2}$ und dieser ist somit unabhängig von $a$.
$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Du sollst einen Wert bestimmen, für den das Dreieck rechtwinklig ist. Dazu muss das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{W_1E}$ und $\overrightarrow{W_2E}$ gleich Null sein.
Die Koordinaten der Punkte $E$, $W_1$ und $W_2$ erhältst du durch Überlegen.
Die betrachtete Sinus-Funktion schneidet die $y$-Achse in einem Wendepunkt. Da die Funktion $g_a$ um einen Wert $a$ in positive $y$-Richtung verschoben ist, hat der Wendepunkt $W_1$ die Koordinaten $W_1(0\mid a)$. Aus deiner vorherigen Berechnung weißt du, dass ein zweiter Wendepunkt einen Abstand von einer halben Periode $\dfrac{\pi}{a}$ zu einem benachbarten Wendepunkt hat. Der Wendepunkt $W_2$ hat demnach die Koordinaten $W_2\left(\dfrac{\pi}{a}\mid a\right)$.
Der Extrempunkt liegt in der Mitte zwischen zwei Wendepunkten. Der Extrempunkt hat die Koordinaten $E\left(\dfrac{\pi}{2a}\mid 2a\right)$.
Nun kannst du folgendermaßen vorgehen:
  1. Bilde die Vektoren $\overrightarrow{W_1E}$ und $\overrightarrow{W_2E}$
  2. Bilde das Skalarprodukt
1. Schritt: Vektoren $\boldsymbol{\overrightarrow{W_1E}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{W_2E}}$ bilden
$\boldsymbol{\overrightarrow{W_1E}}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{W_1E}&=&\begin{pmatrix}\dfrac{\pi}{2a}\\2a\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\a\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}\dfrac{\pi}{2a}\\a\end{pmatrix} \end{array}$
$\boldsymbol{\overrightarrow{W_2E}}$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{W_2E}&=&\begin{pmatrix}\dfrac{\pi}{2a}\\2a\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}\dfrac{\pi}{a}\\a\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}-\dfrac{\pi}{2a}\\a\end{pmatrix} \end{array}$
2. Schritt: Skalarprodukt bilden
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{W_1E}\circ\overrightarrow{W_2E}&=& 0\\[5pt] \begin{pmatrix}\dfrac{\pi}{2a}\\a\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-\dfrac{\pi}{2a}\\a\end{pmatrix}&=&0\\[5pt] \dfrac{\pi}{2a}\cdot\left(-\dfrac{\pi}{2a}\right)+a\cdot a&=&0\\[5pt] \dfrac{\pi^2}{4a^2}+a^2&=&0 \end{array}$
Du kannst nun die Funktion $y=\dfrac{\pi^2}{4a^2}+a^2$ in dem Graph-Modus deines GTR zeichnen lassen und im Menü unter folgendem Befehl die Nullstelle bestimmen:
F5: G-solve $\rightarrow$ F1: Root
Analysis
Analysis
Da das $a>0$ ist, gilt $a \approx \pm 1,25$. Laut Aufgabenstellung muss aber $a>0$ gelten, hier ist nur nach der positiven Lösung gefragt.
Ein solches Dreieck ist für $a=1,25$ rechtwinklig.
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