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Analysis

Aufgaben
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1.1  Gegeben ist das Schaubild $K_f$ einer Funktion $f$
sowie $4$ weitere Schaubilder, von denen eines zur ersten Ableitung und eines zu einer Stammfunktion von $f$ gehört.
Ordne diese Schaubilder entsprechend zu und begründe deine Wahl.
Analysis
Analysis
$\;\,\;$ 
Analysis
Analysis
(4P)
1.2  Das nebenstehende Schaubild gehört zu einer
Funktion $f$ mit
$f(x)=a\cdot(x-b)^k(x-c)^l(x-d)^m$.
Gib mögliche Werte für $a$, $b$, $c$, $d$, $k$, $l$ und $m$ an.
Analysis
Analysis
(3P)
1.3  Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=2\cdot\mathrm{e}^{-x}-3$.
1.3.1  Durch welche Transformationen geht $K_f$ aus dem Schaubild der natürlichen Exponentialfunktion
hervor?
(3P)
1.3.2  Skizziere das Schaubild von $f$.
(2P)
1.4  Berechne das Integral $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}3\cdot\sin(2x)\;\mathrm dx$.
(3P)

(15P)
#hilfsmittelfreieaufgaben
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$   Schaubilder zuordnen
Begründe, welche der gegebenen Schaubilder das Schaubild der Ableitung von $f$ und das Schaubild einer Stammfunktion von $f$ ist.
1. Schritt: Ein Schaubild der Ableitung von $f$ zuordnen
Mit Hilfe der Eigenschaften des Schaubildes $K_f$ kannst du Aussagen über das Schaubild der Ableitung von $f$ treffen. Die erste Ableitung einer Funktion beschreibt die Steigung des Schaubilds. Betrachte also insbesondere die Steigung des Schaubilds $K_f$ und markante Punkte wie Extrem- oder Wendepunkte.
  • Für $x\in(-\infty, 0)$ hat das Schaubild $K_f$ eine positive Steigung.
    Das Schaubild der Ableitung verläuft also für $x\in(-\infty, 0)$ oberhalb der $x$-Achse.
  • Für $x\in(0,\infty)$ hat das Schaubild $K_f$ eine negative Steigung.
    Das Schaubild der Ableitung verläuft für $x\in(0,\infty)$ unterhalb der $x$-Achse.
Mit diesen beiden Aussagen kannst du die Schaubilder $A$, $B$ und $D$ ausschließen.
Das Schaubild $C$ gehört somit zur Ableitung von $f$.
2. Schritt: Ein Schaubild einer Stammfunktion von $f$ zuordnen
Mit Hilfe der Eigenschaften des Schaubildes $K_f$ kannst du Aussagen über das Schaubild einer Stammfunktion von $f$ treffen. Nutze hier wie oben, die Eigenschaft, dass $f$ die erste Ableitung seiner Stammfunktionen ist.
  • Das Schaubild der Funktion $f$ hat keine Nullstellen.
    Wegen des notwendigen Kriteriums für Extremstellen, kann eine Stammfunktion von $f$ also keine Extremstellen besitzen.
Mit dieser Aussage kannst du die Schaubilder $B$, $C$ und $D$ ausschließen.
Das Schaubild $A$ gehört somit einer Stammfunktion von $f$.
1.2
$\blacktriangleright$   Mögliche Werte für $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$, $\boldsymbol{d}$, $\boldsymbol{k}$, $\boldsymbol{l}$ und $\boldsymbol{m}$ angeben
Gib mit Hilfe des Schaubildes $K_f$ mögliche Werte für die Variablen an. Betrachte dazu den Funktionsterm genauer, dieser ist ein Produkt aus vier verschiedenen Faktoren. Wenn einer dieser Faktoren Null wird, ist auch $f(x)=0$. Die letzten Faktoren sind beispielsweise Null, wenn $x=b$, $x=c$ oder $c=d$ ist. An diesen Stellen muss $f$ also Nullstellen besitzen. Lies also aus dem Schaubild die Nullstellen von $f$ ab. Die Exponenten $k$, $l$ und $m$ kannst du dann anhand der Vielfachheit der jeweiligen Nullstelle bestimmen. Beachte dabei, dass in einer Extremstelle, die gleichzeitig eine Nullstelle ist, beispielsweise eine doppelte Nullstelle vorliegt.
1. Schritt: Werte für $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$, $\boldsymbol{d}$ bestimmen
Aus dem Schaubild kannst du folgende Nullstellen ablesen:
  • $x_1 = -1$
  • $x_2 = 1$
  • $x_3 = 2$
Diese kannst du für $b$, $c$ und $d$ einsetzen:
$f(x) = a\cdot (x+1)^k\cdot (x-1)^l\cdot (x-2)^m$
2. Schritt: Werte für $\boldsymbol{k}$, $\boldsymbol{l}$ und $\boldsymbol{m}$ bestimmen
$k$ beschreibt die Vielfachheit der Nullstelle $x_1 =-1$. An dieser Stelle besitzt der Graph einen Extrempunkt. Wegen des hinreichenden Kriteriums für Extrempunkte, besitzt $f'$ an dieser Stelle also ebenfalls eine Nullstelle, wodurch hier eine doppelte Nullstelle vorliegt, wegen des hinreichenden Kriteriums für eine Extremstelle aber keine dreifach Nullstelle. Also ist $k=2$.
An der Stelle $x_2 =1$ befindet sich ein Sattelpunkt. Dadurch ist dies eine dreifache Nullstelle. Also ist $l =3$. An der Stelle $x_3 =2$ befindet sich keine Extrem-,Wende- oder Sattelstelle. Dies ist also eine einfache Nullstelle: $m =1$.
Diese Werte kannst du nun in $f(x)$ einsetzen:
$f(x)= a\cdot (x+1)^2\cdot (x-1)^3\cdot (x-2)^1$
3. Schritt: Wert für $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Um einen Wert für $a$ zu bestimmen, setzt du in den Funktionsterm von $f$ die Koordinaten eines Punkts ein, den du im Schaubild von $f$ genau ablesen kannst, beispielsweise $P(0\mid -3)$:
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&\stackrel{!}{=}& -3 \\[5pt] a\cdot (0+1)^2(0-1)^3(0-2)&=&-3 \\[5pt] a\cdot 1\cdot (-1)\cdot (-2)&=& -3 \\[5pt] 2a &=& -3 \quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] a &=& -1,5 \end{array}$
Für $a$ kannst du $-1,5$ in die Funktionsgleichung einsetzen.
$f(x)=-1,5(x+1)^2(x-1)^3(x-2)$.
1.3
1.3.1
$\blacktriangleright$   Transformation von $K_f$ beschreiben
In dieser Aufgabe sollst du beschreiben, wie das Schaubild $K_f$ aus dem Schaubild der natürlichen Exponentialfunktion hervorgeht.
Betrachte dazu den Funktionsterm von $f$ genauer und vergleiche mit dem der natürlichen Exponentialfunktion.
  • Vor dem $x$ im Exponenten befindet sich ein negatives Vorzeichen. Der Graph der natürlichen Exponentialfunktion wird also an der $y$-Achse gespiegelt.
  • Der Koeffizient $2$ gibt eine Streckung des Schaubilds entlang der $y$-Achse an. Das Schaubild $K_f$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $P(0 \mid 2)$.
  • Der Summand $-3$ gibt an, dass das Schaubild der natürlichen Exponentialfunktion um drei Einheiten entlang der $y$-Achse nach unten verschoben wird. Es schneidet die $y$-Achse nun im Punkt $P(0\mid -1)$.
1.3.2
$\blacktriangleright$   Schaubild von $f$ skizzieren
In dieser Aufgabe sollst du das Schaubild von $f(x)=2\cdot \mathrm e^{-x}-3$ skizzieren. Nutze dazu die Informationen aus dem vorherigen Aufgabenteil.
Analysis
Analysis
1.4
$\blacktriangleright$   Integral berechnen
In dieser Aufgabe sollst du das Integral $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}3\cdot \sin(2x) \;\mathrm dx $ berechnen. Hier kannst du die bekannten Integrationsregeln anwenden.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}3\cdot \sin(2x) \;\mathrm dx &=&\left[-\frac{3}{2}\cdot\cos(2x)\right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\\[5pt] &=&\left(-\frac{3}{2}\cdot \cos\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right)\right)-\left(-\frac{3}{2}\cdot\cos\left(2\cdot\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right) \\[5pt] &=&\left(-\frac{3}{2}\cdot (-1)\right)-\left(-\frac{3}{2}\cdot 0\right) \\[5pt] &=&\frac{3}{2} = 1,5 \end{array}$
Das Integral ergibt $1,5$.
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