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Matrizen

Aufgaben
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4.1  Beim Spiel Schnick-Schnack-Schnuck symbolisieren zwei Spieler gleichzeitig mit ihrer Hand einen der
Gegenstände Schere, Stein oder Papier. Das Spiel wird sehr oft wiederholt und ein Beobachter stellt fest, dass einer der Spieler nie zweimal nacheinander den selben Gegenstand wählt, der Wechsel zu einem der beiden anderen aber gleich häufig auftritt.
4.1.1  Stelle dieses Verhalten in einer Übergangsmatrix dar.
(2P)
4.1.2  Zeige, dass dieser Spieler in der Hälfte der Fälle nach zwei Durchgängen wieder den selben Gegenstand
symbolisiert.
(3P)
4.2  Gegeben ist die Matrix $A=\begin{pmatrix}1&0,5\\0&0,5\end{pmatrix}$.
Löse die Matrixgleichung $\vec{A}\cdot\vec{x}=\vec{x}$.
(3P)

(8P)
#hilfsmittelfreieaufgaben
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4.1
4.1.1
$\blacktriangleright$   Übergangsmatrix bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du eine Übergangsmatrix bestimmen, welche den Sachverhalt beim Schnick-Schnack-Schnuck-Spiel wiedergibt.
Bei diesem Spiel gibt es drei verschiedene Gegenstände, die symbolisiert werden können. Du musst daher eine $3$x$3$-Matrix aufstellen.
Ein Beobachter hat festgestellt, dass ein Spieler nie zwei mal nacheinander den selben Gegenstand symbolisiert. Auf der Diagonalen der Matrix müssen somit Nullen stehen, denn ein Wechsel zum gleichen Gegenstand findet nicht statt.
Die Übergänge zu den anderen Gegenstände sind gleich wahrscheinlich. Da die Summe einer Spalte immer $1$ sein muss, füllen wir die leeren Stellen der Matrix mit $0,5$.
$M= \begin{pmatrix}0&0,5&0,5\\0,5&0&0,5\\0,5&0,5&0\end{pmatrix}$
4.1.2
$\blacktriangleright$   Zwei Spieldurchgänge simulieren
Jetzt sollst du zeigen, dass ein Spieler in der Hälfte der Fälle nach zwei Durchgängen wieder den selben Gegenstand symbolisiert. Dazu musst du die Übergangsmatrix $M$ quadrieren.
$\begin{array}[t]{rll} M^2&=&\begin{pmatrix}0&0,5&0,5\\0,5&0&0,5\\0,5&0,5&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&0,5&0,5\\0,5&0&0,5\\0,5&0,5&0\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0,5&0,25&0,25\\0,25&0,5&0,25\\0,25&0,25&0,5\end{pmatrix} \end{array}$
Auf der Diagonalen der neuen Matrix steht jetzt $0,5$. Das bedeutet also, dass nach dem zweiten Durchgang mit einer Wahrscheinlichkeit von $50\%$ ein Spieler den gleichen Gegenstand symbolisiert wie im ersten Durchgang.
4.2
$\blacktriangleright$   Matrixgleichung lösen
In dieser Aufgabe hast du die Matrix $A=\begin{pmatrix}1&0,5\\0&0,5\end{pmatrix}$ gegeben und du sollst die Matrixgleichung $\vec{A}\cdot \vec{x}=\vec{x}$ lösen.
Diese Gleichung kannst du so lösen, indem du jede Zeile als eigenständige Gleichung betrachtest.
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}1&0,5\\0&0,5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}x_1+0,5x_2\\0+0,5x_2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung in der zweiten Zeile ist nur erfüllt, wenn $x_2=0$ ist. Wenn du den Wert für $x_2$ in die Gleichung der ersten Zeile einsetzt, erhältst du:
$x_1=x_1$. Du kannst für $x_1$ somit alle reellen Zahlen einsetzen.
Die Lösung der Matrixgleichung lautet:
$\vec{x}=\begin{pmatrix}t\\0\end{pmatrix}$, $t \in \mathbb{R}$.
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