Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Berufl. Gymnasium (SGG)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (WTR)
Abitur bis 2016 (GTR)
Abitur bis 2016 (CAS)
Abitur (WTR)
Prüfung
wechseln
Abitur (WTR)
Abitur bis 2016 (GTR)
Abitur bis 2016 (CAS)
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Analysis

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord
1.1  Gegeben ist das Schaubild $K_f$ einer
Exponentialfunktion $f$ der Form $f(x)=a\cdot\mathrm{e}^{b\cdot x}+c$.
Weiter ist die Funktion $g$ gegeben durch $g(x)=2\cdot\sin(\pi x)-2$.
1.1.1  Bestimme bzw. berechne aus dem Schaubild die
Werte für $a$, $b$ und $c$.
(4P)
Analysis
Analysis
1.1.2  Durch welche Transformationen geht $K_f$ aus dem Schaubild der natürlichen
Exponentialfunktion hervor?
(2P)
1.1.3  Bestimme die Periode von $g$ und skizziere das Schaubild $K_g$ von $g$ in ein Koordinatensystem.
(3P)
1.1.4  Zeige, dass sich $K_f$ und $K_g$ im Punkt $P(1\mid-2)$ schneiden, aber nicht berühren.
Bestimme eine Gleichung der Tangente an $K_g$ in diesem Punkt.
(4P)
1.1.5  Begründe, warum $K_f$ und $K_g$ unendlich viele Schnittpunkte haben, die alle rechts von der $y$-Achse
liegen.
(2P)

(15P)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.1.1
$\blacktriangleright$   Parameter $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$ berechnen
In dieser Aufgabe sollst du mit Hilfe des Schaubildes $K_f$ die Gleichung der Exponentialfunktion $f(x)=a \cdot \mathrm e ^{b\cdot x}+c $ bestimmen.
1. Schritt: Parameter $c$ bestimmen
Das Schaubild der Funktion $f$ nähert sich der Asymptote $y=-3$ an. Du kannst also für den Parameter $c$ $-3$ einsetzen:
$f(x)= a\cdot \mathrm e ^{b\cdot x}-3 $
2. Schritt: Parameter $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ berechnen
Die beiden Parameter $a$ und $b$ kannst du berechnen, indem du in die Funktionsgleichung von $f$ die Koordinaten zweier Punkte einsetzt, die du aus dem Schaubild ablesen kannst.
Setze die Koordinaten von $P(0\mid 0)$ in die Funktionsgleichung ein:
$f(0)= a\cdot \mathrm e^{b\cdot 0} -3 =0 $
Löse diese Gleichung nach $a$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} a\cdot \mathrm e^0 -3&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] a\cdot 1&=3& \end{array}$
$f(x)= 3 \cdot \mathrm e^{b\cdot x} -3$
Setze die Koordinaten von $P(1\mid -2)$ in die Funktionsgleichung ein und löse die Gleichung nach $b$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot \mathrm e ^{b \cdot 1}-3&=& -2 &\quad \scriptsize \mid +3\; \mid :3\; \\[5pt] \mathrm e^{b}&=&\frac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid \ln\; \\[5pt] b &=& -1,1 \end{array}$
Insgesamt ergibt sich folgende Funktionsgleichung:
$f(x)=3\cdot \mathrm e^{-1,1x} -3 $
1.1.2
$\blacktriangleright$   Transformationen beschreiben
In dieser Aufgabe sollst du beschreiben, wie die natürliche Exponentialfunktion durch die in der Aufgabe zuvor berechneten Parameter transformiert wurde.
  • Parameter $a =3$ : Das Schaubild der natürlichen Exponentialfunktion wird entlang der $y$-Achse um den Faktor $3$ gestreckt.
  • Parameter $b =1,1$ : Das Schaubild der natürlichen Exponentialfunktion wird an der $y$-Achse gespiegelt (negatives Vorzeichen im Exponenten) und entlang der $x$-Achse etwas gestaucht, da $b>1$
  • Parameter $c = -3 $ : Das Schaubild der natürlichen Exponentialfunktion wird entlang der $y$-Achse um $3$ LE in negative Richtung verschoben, da $c=-3$
1.1.3
$\blacktriangleright$   Periode von $\boldsymbol{g}$ berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Periode der Funktion $g(x)=2\cdot \sin(\pi x)-2 $ berechnen. Die Periode einer trigonometrischen Funktion kannst du mit folgender Formel berechnen:
$p=\dfrac{2\pi}{b}$
Dabei ist $b$ der Faktor direkt vor dem $x$. In dieser Aufgabe ist $b=\pi$. Setze $b$ in die Formel ein:
$p=\dfrac{2\pi}{\pi}= 2$
Die Periode der Funktion $g$ ist $2$.
$\blacktriangleright$   Schaubild $\boldsymbol{K_g}$ von $\boldsymbol{g}$ skizzieren
Das Schaubild der Funktion $g$ kannst du mit Hilfe der Periode $p$ und der Amplitude berechnen. De Amplitude wird durch den Faktor vor dem $\sin$ beschrieben. Zur weiteren Orientierung, kannst du die Koordinaten einiger Punkte des Graphen berechnen.
Analysis
Analysis
1.1.4
$\blacktriangleright$   Zeigen, dass sich die Schaubilder $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_g}$ im Punkt $\boldsymbol{P(1\mid -2)}$ schneiden, aber nicht berühren
Um zu zeigen, dass sich zwei Kurven schneiden, aber nicht berühren musst du als erstes den Schnittpunkt berechnen und anschließend zeigen, dass die beiden Schaubilder im Schnittpunkt nicht die gleiche Steigung haben.
1. Schritt: Zeige, dass sich die Schaubilder im Punkt $P(1\mid -2)$ schneiden
Du weißt bereits aus den vorherigen Aufgabenteilen, dass das Schaubild der Funktion $f$ durch den Punkt $P(1\mid -2)$ verläuft. Du musst also noch zeigen, dass das Schaubild von $g$ auch durch diesen Punkt verläuft, denn genau dann schneiden sich die Schaubilder der beiden Kurven im Punkt $P(1\mid -2)$. Dies kannst du mit der Punktprobe zeigen:
$g(1)=2\cdot \sin(\pi\cdot 1)-2= -2$
Das Schaubild $K_g$ verläuft durch den Punkt $P(1\mid -2)$.
2. Schritt: Zeige, dass die Schaubilder sich schneiden aber nicht berühren
Die beiden Schaubilder schneiden sich, berühren sich aber nicht, wenn sie im Punkt $P(1\mid -2)$ unterschiedliche Steigungen haben. Die Steigung eines Schaubilds wird durch die erste Ableitung der zugehörigen Funktion beschrieben. Berechne also die Steigungen der beiden Graphen im Punkt $P$, indem du zunächst die ersten Ableitungsfunktionen bestimmst.
$f'(x)= (-1,1)\cdot 3\cdot \mathrm e^{-1,1x}=-3,3\cdot \mathrm e^{-1,1x}$
$f'(1) =-3,3\cdot \mathrm e^{-1,1\cdot 1} =-3,3\cdot \mathrm e^{-1,1} \approx-1,10$
$g'(x)= 2\pi\cdot\cos(\pi x)$
$g'(1)= 2\pi\cdot\cos(\pi\cdot 1) = -2\pi \approx -6,28$
Im Punkt $P(1\mid -2)$ haben die beiden Schaubilder $K_f$ und $K_g$ unterschiedliche Steigungen.
Die beiden Schaubilder schneiden sich also im Punkt $P(1\mid -2),$ aber berühren sich nicht.
$\blacktriangleright$  Gleichung der Tangente bestimmen
Für eine Tangente $t: \, y = mx+b$ an den Graphen $G$ einer Funktion $f$ im Punkt $P(x_P\mid y_P)$ gelten folgende Eigenschaften:
  • Sie besitzt die gleiche Steigung wie $G$ im Punkt $P$: $m = f'(x_P)$
  • Sie verläuft durch den Punkt $P$: $f(x_P)=m\cdot x_P +b$
Die Steigung von $K_g$ im Punkt $P$ hast du oben bereits berechnet: $m = g'(1) = -2\cdot \pi$. Setze nun die Koordinaten von $P$ in die Tangentengleichung ein, um $b$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} t:\, y&=& mx+b &\quad \scriptsize \mid\; m = -2\cdot \pi \\[5pt] y&=& -2\cdot \pi \cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; P(1\mid -2)\\[5pt] -2&=&-2\cdot \pi \cdot 1 +b &\quad \scriptsize \mid\;+2\cdot \pi \\[5pt] -2+2\cdot \pi&=& b\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Tangente im Punkt $P$ an $K_g$ lautet also $t: \, y =-2\pi\cdot x -2+2\pi$.
1.1.5
$\blacktriangleright$   Begründe, dass $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_g}$ rechts von der $\boldsymbol{y}$-Achse unendlich viele Schnittpunkte haben
Das Schaubild der Funktion $K_f$ verläuft für $x\rightarrow \infty$ gegen $-3$
Das Schaubild der Funktion $K_g$ verläuft periodisch zwischen den Werten $y=-4$ und $y =0$ und nimmt daher unendlich oft alle Werte um den Bereich $y=-3$ an.
Somit haben die beiden Schaubilder unendlich viele Schnittpunkte.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App