Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Berufl. Gymnasium (WG)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (WTR)
Abitur bis 2016 (GTR)
Abitur bis 2016 (CAS)
Abitur (WTR)
Prüfung
wechseln
Abitur (WTR)
Abitur bis 2016 (GTR)
Abitur bis 2016 (CAS)
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Anwendungsorientierte Analysis 1

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord
2.1  Beim Download einer Datei aus dem Internet beträgt die anfängliche Übertragungsrate $500\,\text{kB/s}$.
Sie fällt anschließend exponentiell ab und nähert sich asymptotisch der Mindestübertragungsrate von $200\,\text{kB/s}$. Nach $20$ Sekunden beträgt die Übertragungsrate noch $300\,\text{kB/s}$.
2.1.1  Bestimme einen Funktionsterm für die Übertragungsrate in Abhängigkeit von der Zeit.
(3P)
2.1.2  Wie groß ist die Übertragungsrate nach $10$ Sekunden?
(1P)
2.2  Beim Download einer weiteren Datei der Größe $16\,\text{MB}=16.000\,\text{kB}$ aus dem Internet wird die
Übertragungsrate (in $\text{kB/s}$) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in $\text{s}$) beschrieben durch die Funktion $f$ mit $f(t)=200+300\cdot\mathrm{e}^{-0,05\cdot t}$.
2.2.1  Wie viel Prozent der Datei ist nach $30$ Sekunden herunter geladen?
(4P)
2.2.2  Während des Downloads wird ständig die Restdauer des Downloads berechnet und angezeigt.
Bei dieser Berechnung wird die momentane Übertragungsrate als konstant für die gesamte Restzeit des Downloads angenommen.
Welche Restdauer wird zu Beginn des Downloads bzw. nach $30$ Sekunden angezeigt?
(5P)
2.2.3  Begründe, warum die Gesamtdauer des Downloads zwischen $32$ und $80$ Sekunden liegen muss.
(2P)

(15P)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
2.1.1
$\blacktriangleright$   Funktionsterm bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du einen Funktionsterm für die Übertragungsrate in Abhängigkeit von der Zeit bestimmen. Es handelt sich dabei um ein exponentielles Wachstum. Der Ansatz für den Funktionsterm lautet somit:
$f(t)=a\cdot\mathrm e^{b\cdot t}+c$
1. Schritt: Asymptote $\boldsymbol{c}$ bestimmen
Den Parameter $c$ kannst du direkt aus der Aufgabe ableiten. Die Übertragungsrate nähert sich asymptotisch der Mindestübertragungsrate von $200\;\text{kB/s}.$ Für den Parameter $c$ kannst du $200$ einsetzen:
$f(t)=a\cdot \mathrm e^{b\cdot x}+200 $
2. Schritt: Parameter $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ berechnen
Um die Parameter $b$ und $c$ zu berechnen, setzt du in die allgemeine Form der Funktionsgleichung die Koordinaten zweier Punkte ein, die in der Aufgabe gegeben sind und löst die Gleichungen anschließend nach den Parametern auf. Die anfängliche Übertragungsrate beträgt $500\;\text{kB/s}$, also ist $P_1(0 \mid 500)$:
$f(0)= a\cdot \mathrm e^{b\cdot 0} + 200 = 500$
$\begin{array}[t]{rll} a + 200&=&500 &\quad \scriptsize \mid\; -200 \\[5pt] a&=&300 \end{array}$
$f(t)= 300\cdot \mathrm e^{b\cdot t} +200$
Nach $20s$ beträgt die Übertragungsrate noch $300 \text{kB/s}$, also ist $ P_2(20 \mid 300)$:
$f(20)= 300\cdot \mathrm e^{b\cdot 20}+200 = 300$
$\begin{array}[t]{rll} 300\cdot \mathrm e^{b\cdot 20}+200&=&300 &\quad \scriptsize \mid\;-200 \;\mid\; :300 \\[5pt] \mathrm e^{20\cdot b}&=&\frac{100}{300} &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] 20\cdot b&=& \ln\left(\frac{100}{300}\right) &\quad \scriptsize \mid\; :20 \\[5pt] b&\approx&-0,05 \end{array}$
$f(t)=300 \cdot \mathrm e^{-0,05\cdot t}+200 $
Der Funktionsterm für die Datenübertragung in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in $s$ lautet:
$\boldsymbol{f(t)=300\cdot \mathrm e^{-0,05\cdot t}+200}$.
2.1.2
$\blacktriangleright$   Übertragungsrate nach $10s$ berechnen
Um die Übertragungsrate nach $10$ Sekunden zu berechnen, musst du in den Funktionsterm $t=10$ einsetzen.
$f(10)= 300\cdot \mathrm e^{-0,05\cdot 10}+200 = 382$
Nach $10$ Sekunden beträgt die Übertragungsrate $\boldsymbol{382}$ kB/s.
2.2.1
$\blacktriangleright$   Prozentualen Anteil der bereits heruntergeladenen Datei berechnen
Die Übertragungsrate in Abhängigkeit der Zeit eines weiteren Downloads wird durch die Funktion $f$ mit $f(t)=200+300\cdot \mathrm e^{-0,05\cdot t}$ beschrieben.
In dieser Aufgabe sollst du berechnen, wie viel Prozent der Datei (Größe: $16$MB = $16.000$kB) nach $30$ Sekunden herunter geladen sind.
1. Schritt: Übertragene Datenmenge nach $\boldsymbol{30}$ s berechnen
Wie viel kB der Datei nach $30s$ herunter geladen sind, kannst du über ein Integral der Funktion berechnen. Dabei berechnest du den Inhalt der Fläche, die durch den Graphen der Funktion $f$ und die $x$-Achse eingeschlossen wird. Die Grenzen sind somit $0$ und $30$.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{30} f(t) \;\mathrm dt &=&\displaystyle\int_{0}^{30}\left(200+300\cdot \mathrm e^{-0,05\cdot t}\right) \;\mathrm dx \\[5pt] &=&\left[200t-6.000\cdot \mathrm e^{-0,05\cdot t}\right]_{0}^{30} \\[5pt] &=&(200\cdot 30-6.000\cdot \mathrm e^{-0,05\cdot 30})-(200\cdot 0-6.000\cdot \mathrm e^{-0,05\cdot 0}) \\[5pt] &=& 6.000-1.339 -(-6.000) \\[5pt] &=& 10.661 \end{array}$
Nach $30$ Sekunden sind ca. $\boldsymbol{10.661}$kB der Datei heruntergeladen.
2. Schritt: Prozentsatz berechnen
Wie viel Prozent der Datei nach $30$ Sekunden heruntergeladen sind kannst du berechnen, indem du die bereits heruntergeladene Datenmenge durch die Datenmenge zum Zeitpunkt $t=0$ dividierst.
$\dfrac{10.661}{16.000}= 0,68 \mathrel{\widehat{=}} 66,6\,\%$
Nach $30$ Sekunden sind ca. $\boldsymbol{66,6\,\%}$ der Datei heruntergeladen.
2.2.2
$\blacktriangleright$   Restdauer zu Beginn des Downloads berechnen
Um die Restdauer des Downloades zu berechnen, musst du die übrige Datenmenge durch die Übertargunsrate dividieren.
Zu Beginn des Downloads müssen noch $16.000$ kB heruntergeladen werden. Die Übertragungsrate nach $0$ Sekunden kannst du berechnen, indem du für $t$ in die Funktionsgleichung $0$ einsetzt.
$f(0)=200 + 300\mathrm e^{-0,05\cdot 0} = 500 $
Dividiere nun die übrige Datenmenge durch die Übertragungsrate.
$\frac{16.000}{500} = 32$
Es wird zu Beginn eine Restdauer von $\boldsymbol{32s}$ angezeigt.
$\blacktriangleright$   Restdauer nach $30s$ des Downloads berechnen
Hier kannst du ähnlich vorgehen. Als erstes berechnest du die Datenmenge, die noch herunter geladen werden muss. Nach $30s$ sind $10.861$ kB heruntergeladen. Die Datenmenge, die noch herunter geladen werden muss berechnest du, indem du von der ursprünglichen Datenmenge die Datenmenge subtrahierst, die nach $30s$ herunter geladen ist.
$16.000-10.861=5.139$
Es müssen nach $30s$ noch $5.139$ kB herunter geladen werden.
Zur Berechnung der Übertragungsrate setzt du $t=30$ in die Funktionsgleichung ein.
$f(30)= 200+ 300\cdot \mathrm e^{-0,05\cdot 30} = 267$
$\frac{5.139}{267}\approx 19,25 $
Nach $30s$ wird eine Restdauer von ca. $\boldsymbol{19s}$ angezeigt.
2.2.3
$\blacktriangleright$   Begründen, warum die Gesamtdauer des Downloads zwischen $\boldsymbol{32}$ und $\boldsymbol{80}$ s liegt
Die größte Übertragungsrate, die pro Sekunde heruntergeladen werden kann ist $500$ kB/s. Wenn mit dieser Übertagrungsrate von Beginn an heruntergeladen wird, dauert der Download $32$ s (in Aufgabe 2.2.3 berechnet).
Die kleinste Übertraungsrate, die pro Sekunde heruntergeladen werden kann ist $200$ kB/s. Wenn die Datei von Anfang an mit dieser Übertragungsrate herunter geladen wird, kannst du die Restdauer wie oben berechnen:
$16.000 : 200 = 80$
Somit wird der Download einer Datei mit der Größe $16.000$kB nicht länger als $80$ Sekunden und nicht kürzer als $32$ Sekunden dauern.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App