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Anwendungsorientierte Analysis 3

Aufgaben
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4  Zum Druckausgleich beim Öffnen und Schließen der Schieber in einem Pumpspeicherkraftwerk wird ein
zylindrisches Becken, ein so genanntes Wasserschloss, mit einem Durchmesser von $10$ Metern und einer Höhe von $80$ Metern an die Druckrohre angeschlossen.
4.1  Beim Schließen des Schiebers steigt der Wasserspiegel im Becken zunächst auf $70$ Meter an und
pendelt dann zunächst näherungsweise sinusförmig. $25$ Sekunden später hat der Wasserspiegel zum ersten Mal seinen tiefsten Punkt in einer Höhe von $30$ Metern erreicht.
Beschreibe den zeitlichen Verlauf der Höhe des Wasserspiegels durch eine trigonometrische Funktion. Dabei soll zum Zeitpunkt $t=0$ der höchste Wasserstand erreicht sein.
(4P)
4.2  Beim Öffnen des Schiebers wird die Zuflussmenge in das Becken gemessen. Der zeitliche Verlauf wird
beschrieben durch die Funktion $f$ mit $f(t)=-250\cdot\cos(0,05\pi\cdot t)$.
Dabei gibt $t$ die Zeit in Sekunden nach Öffnen des Schiebers und $f(t)$ die Zuflussmenge in $\text{m}^3/\text{s}$ an. Bei einem negativen Zufluss fließt Wasser aus dem Becken heraus.
4.2.1  Um wie viel $\text{m}^3/\text{s}$ ändert sich der Beckeninhalt zu Beginn der Beobachtung?
Um wie viel $\text{m}/\text{s}$ steigt oder sinkt der Wasserspiegel im Becken zu diesem Zeitpunkt?
(2P)
4.2.2  Wann hat der Wasserspiegel zum ersten Mal seinen tiefsten Stand erreicht?
(2P)
4.2.3  Bestimme den ersten Zeitpunkt, an dem sich der Beckeninhalt um $100\,\text{m}^3/\text{s}$ erhöht.
(3P)
4.2.4  Wie viel $\text{m}^3$ Wasser fließt ins Becken vom tiefsten bis zum höchsten Stand des Wasserspiegels?
Um wie viele Meter steigt dabei der Wasserspiegel?
(4P)

(15P)
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4.1
$\blacktriangleright$   Zeitlichen Verlauf der Wasserhöhe durch Funktion beschreiben
In dieser Aufgabe sollst du den zeitlichen Verlauf der Höhe des Wasserspiegels durch eine trigonometrische Funktion beschreiben.
Es ist gegeben, dass sich der Wasserspiegel sinusförmig einpendelt. Du kannst als Ansatz die allgemeine Sinusfunktion verwenden.
$f(t)= a\cdot \sin(b\cdot(t-c))+d$
Bestimme nun mit den Angaben aus dem Text die Parameter.
1. Schritt: $\boldsymbol{b}$ bestimmen
Den Parameter $b$ kannst du mit Hilfe der Periode bestimmen. Das Schaubild der Funktion startet mit einem Hochpunkt und hat nach $25s$ seinen ersten Tiefpunkt. Das bedeutet, dass das Schaubild nach $50s$ wieder den gleichen $y$-Wert hat wie zum Zeitpunkt $t=0$.
Die Periode $p$ ist also $50$. Dies kannst du in die Formel $\color{#87c800}{p=\frac{2\cdot\pi}{b}}$ einsetzen und anschließend nach $b$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} 50&=&\frac{2\pi}{b} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot b \mid\; :50 \\[5pt] b&=&\frac{2\cdot\pi}{50}=\frac{1}{25}\pi \end{array}$
$ f(t)= a\cdot \sin\left(\frac{1}{25}\pi\cdot(t-c)\right)+d$
2. Schritt: $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Parameter $a$ ist die Größe der Amplitude. Das Schaubild der Funktion wird nie einen Funktionswert größer als $70$ und kleiner als $30$ annehmen. Die Amplitude ist somit die Hälfte der Differenz des größten und kleinsten Funktionswerts.
$\frac{70-30}{20}=20$
$f(t)=20\cdot \sin\left(\frac{1}{25}\pi\cdot(t-c)\right)+d$
3. Schritt: $\boldsymbol{d}$ bestimmen
Der Parameter $d$ gibt die Verschiebung in $y$-Richtung an. Dazu addierst du zum kleinsten $y$-Wert, den die Funktion annehmen kann, die Größe der Amplitude.
$d=30+a=30+20=50$
$ f(t)=20\cdot \sin\left(\frac{1}{25}\pi\cdot(t-c)\right)+50$
4. Schritt: $\boldsymbol{c}$ bestimmen
Den Parametr $c$ kannst du nun berechnen, indem du die Koordinaten von $P(0 \mid 70)$ in die Funktionsgleichung einsetzt und die Gleichung nach $c$ auflöst.
$f(0)= 20\cdot \sin\left(\frac{1}{25\pi}\cdot(0-c)\right)+50 = 70$
$\begin{array}[t]{rll} 20\cdot \sin\left(\frac{-1}{25}\pi\cdot c\right)+50 &=& 70 &\quad \scriptsize \mid\;-50 \mid\; :20 \\[5pt] \sin\left(\frac{-1}{25}\pi\cdot c\right)&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;\arcsin \\[5pt] \frac{-1}{25}\pi\cdot c&=& \arcsin(1) &\quad \scriptsize \mid\;:\left(\frac{-1}{25}\pi\right)\\[5pt] c&=& -12,5 \end{array}$
$f(t)=20\cdot \sin\left(\frac{1}{25}\pi\cdot(t+12,5)\right)+50$
Der zeitliche Verlauf der Höhe des Wasserspiegels kann mit der Funktion $\boldsymbol{f(t)=20\cdot \sin\left(\frac{1}{25}\pi\cdot(t+12,5)\right)+50}$ beschrieben werden.
4.2.1
$\blacktriangleright$   Änderung des Beckeninhaltes in $\boldsymbol{m^3}$ pro $\boldsymbol{s}$
Der zeitliche Verlauf der Zuflussmenge wird durch die Funktion $f$ mit $f(t)=-250\cdot \cos(0,05\pi \cdot t)$ beschrieben.Um zu berechnen um wie viel $m^3$ pro $s$ sich der Beckeninhalt zu Beginn der Beobachtung verändert, musst du in die Funktionsgleichung $f$ für $t=0$ einsetzen.
$f(0)=-250\cdot \cos(0,05\pi \cdot 0)= -250\cdot 1=-250$
Zu Beginn der Beobachtung fließen pro Sekunde $\boldsymbol{250 \;m^3}$ aus dem Becken.
$\blacktriangleright$   Berechne, um wie viel $\boldsymbol{m}$ der Wasserspiegel sinkt
Wie viel $m^3$ Wasser pro $s$ aus dem Becken abfließt hast du oben bereits berechnet. Das bedeutet, dass du das Volumen des zylinderförmigen Beckens gegeben hast und gesucht ist die Höhe des Zylinders, denn die Höhe gibt an, um wie viel Meter der Wasserspiegel im Becken sinkt. Der Durchmesser des Zylinders ist in der Aufgabe gegeben. Das Volumen eines Zylinders berechnest du mit der Formel:
$V_{\text{Zylinder}}= r^2\cdot \pi\cdot h$
Setze das Volumen und den Durchmesser des Zylinders in die Formel ein und löse die Gleichung nach $h$ auf.
$d=10\;m$ also ist $ r=5\;m$
$V=250\;m^3$
$\begin{array}[t]{rll} 250&=& 5^2\cdot \pi \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; : 25\pi \\[5pt] h&=&\frac{250}{25\pi}\approx 3,18 \end{array}$
Der Wasserspiegel im Becken sinkt um ca. $\boldsymbol{3,18\;m}$.
4.2.2
$\blacktriangleright$   Berechne, wann der Wasserspiegel zum ersten mal seinen tiefsten Stand erreicht
In dieser Aufgabe sollst du berechnen, wann der Wasserspiegel zum ersten mal seinen tiefsten Stand erreicht. Da es sich bei der Funktion $f$ um eine Ableitungsfunktion handelt, kannst du die Nullstellen berechnen und mit der zweiten Ableitung prüfen, ob es sich bei der Nullstelle um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.
1. Schritt: Nullstellen von $\boldsymbol{f}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-250\cdot \cos(0,05\pi\cdot t)&\quad \scriptsize \mid\;:(-250) \\[5pt] 0&=&\cos(0,05\pi\cdot t) &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \cos^{-1}(0)&=&0,05\pi\cdot t \\[5pt] \frac{\pi}{2}&=&0,05\pi\cdot t &\quad \scriptsize \mid\;:0,05\pi \\[5pt] t&=&10 \end{array}$
Die Funktion $f$ hat bei $x=10$ eine mögliche Extremstelle.
2. Schritt: Zweite Ableitung bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&-250\cdot \cos(0,05\pi\cdot t) \\[10pt] f'(t)&=&-250\cdot \left(-\sin(0,05\pi\cdot t)\right)\cdot 0,05\pi \\[5pt] &=& 12,5\pi \cdot \sin(0,05\pi\cdot t) \\[10pt] \end{array}$
3. Schritt: $\boldsymbol{t=10}$ in die zweite Ableitung einsetzen
$f'(10)=12,5\pi \cdot \sin(0,05\pi\cdot 10)= \frac{25}{2}\pi>0$
Eine Stammfunktion der Funktion $f$ hat bei $t=10$ einen Tiefpunkt.
Nach $10$ s hat der Wasserstand zum ersten Mal seinen tiefsten Stand erreicht.
4.2.3
$\blacktriangleright$   Zeitpunkt bestimmen, an dem sich der Beckeninhalt um $\boldsymbol{100\;\frac{m^3}{s}}$ erhöht
Um den ersten Zeitpunkt zu bestimmen, an dem sich der Beckeninhalt um $100\;\frac{m^3}{s}$ erhöht, kannst du die Funktion $f$ mit $100$ gleichsetzen und anschließend die Gleichung nach $t$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} 100&=&-250\cdot \cos(0,05\pi \cdot t) &\quad \scriptsize \mid\;:(-250) \\[5pt] \frac{100}{-250}&=&\cos(0,05\pi\cdot t)&\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \cos^{-1}(\frac{-2}{5})&=&0,05\pi\cdot t&\quad \scriptsize \mid\;:0,05\pi \\[5pt] \frac{1,98}{0,05\pi}&\approx&t \\[5pt] t&\approx&12,6 \end{array}$
Zum Zeitpunkt $\boldsymbol{t\approx12,62}$, also nach $\boldsymbol{12,62s}$ erhöht sich der Beckeninhalt zum ersten mal um $100\frac{m^3}{s}$.
4.2.4
$\blacktriangleright$   Zufluss berechnen
Um zu berechnen, wie viel Wasser vom tiefsten bis zum höchsten Stand in das Becken fließt, berechnest du die Differenz des tiefsten und des höchsten Stands. Diese sind jeweils Minimum und Maximum einer Stammfunktion von $f$.
Bilde also eine Stammfunktion $F$ von $f$. Ob diese den genauen Wasserstand beschreibt ist in diesem Fall egal, da es um die Differenz des höchsten und des tiefsten Funktionswertes geht, diese ist bei allen Stammfunktionen von $f$ gleich.
Du hast oben berechnet, dass der tiefste Stand zum ersten mal bei $t=10$ eintritt. Anhand der Funktionsgleichung von $F$ kannst du die Periode ablesen und damit den Zeitpunkt bestimmen, zu dem zum ersten mal der höchste Stand eintritt. Berechne anschließend die Differenz der beiden Funktionswerte von $F$ an den beiden Stellen.
Eine Stammfunktion von $f$ ist beispielsweise:
$F(x)= -250\cdot \sin(0,05\pi\cdot t): (0,05\pi) $$= \frac{-5.000}{\pi}\cdot \sin(0,05\pi\cdot t)$
Die Periode $p$ kannst du nun mit folgender Formel bestimmen:
$p =\dfrac{2\pi}{b}$
$p =\dfrac{2\pi}{b}$
$b$ ist dabei der Faktor vor dem $x$, also hier $b= 0,05\pi$:
$p = \dfrac{2\pi}{0,05\pi} = 40$
Nach $40$ Sekunden ist also wieder der gleiche Wasserstand erreicht. Ausgehend vom Minimum, ist also nach $40$ Sekunden das nächste Minimum erreicht, entsprechend nach der Hälfte der Zeit, also nach $20$ Sekunden das nächste Maximum.
Da das erste Minimum nach $10$ Sekunden eintritt, tritt also das erste darauffolgende Maximum nach $10 +\frac{40}{2} = 30$ Sekunden ein.
Gesucht ist also die Differenz der beiden Funktionswerte von $F$ an den Stellen $t=10$ und $t=30$:
$\begin{array}[t]{rll} F(30) - F(10)&=&\frac{-5.000}{\pi}\cdot \sin(0,05\pi\cdot 30)- \frac{-5.000}{\pi}\cdot \sin(0,05\pi\cdot 10) \\[5pt] &=& \frac{5.000}{\pi}+ \frac{5.000}{\pi} \\[5pt] &=& \frac{10.000}{\pi} \\[5pt] &\approx& 3.183 \end{array}$
Vom tiefsten bis zum höchsten Stand fließen ca. $\boldsymbol{3.183m^3}$ Wasser in das Becken.
$\blacktriangleright$   Berechne, um wie viel Meter der Wasserspiegel dabei steigt
Um welchen Wert der Wasserspiegel steigt kannst du wie in der Aufgabe 4.2.1 berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 3.183&\approx& 5^2\cdot \pi \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; : 25\pi \\[5pt] h&\approx&\frac{3.183}{25\pi}\approx 40,5 \end{array}$
Der Wasserspiegel im Becken steigt um ca. $\boldsymbol{40,5\;m}$.
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