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Stochastik 1

Aufgaben
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1  Die Verteilung der Blutgruppen in Deutschland ist durch folgende Tabelle gegeben:
$0$ABAB
$41\,\%$$43\,\%$$11\,\%$$5\,\%$
$\;$  An einer Blutspendeaktion in der Schule nehmen $200$ Schüler teil.
1.1  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden ersten Spender
  1. die Blutgruppe A haben
  2. die selbe Blutgruppe haben
  3. unterschiedliche Blutgruppen haben
(3P)
1.2  Wie groß muss die Gruppe der Blutspender
mindestens sein, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens einen Spender mit Blutgruppe AB zu haben?
(3P)
1.3  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten $20$ Spendern genau $4$ die Blutgruppe B haben.
(2P)
1.4  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten $20$ Spendern mindestens die Hälfte die Blutgruppe A haben.
(2P)
1.5  Es beteiligten sich $120$ weibliche und $80$ männliche Spender an der Aktion. Darunter waren $42$ weibliche und $39$ männliche Spender mit der Blutgruppe $0$. Tim aus der Eingangsklasse vermutet sofort, dass die Wahrscheinlichkeit für die Blutgruppe $0$ bei Frauen geringer ist als bei Männern.
Wie kommt Tim zu dieser Aussage?
Prüfe, ob man diese Aussage mit einem Vertrauensniveau von $95\,\%$ unterstützen kann, wenn man die tatsächliche Verteilung der Blutgruppen nicht kennt und nur die erhobenen Daten zur Verfügung hat.
(5P)

(15P)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeit von Ereignis A berechnen
A: Die beiden ersten Spender haben die Blutgruppe A
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A kannst du mit Hilfe eines Baumdiagramms und der Pfadmultiplikationsregel berechnen
Stochastik 1
Stochastik 1
$P(A)= 0,43\cdot 0,43=0,185$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $A$ eintritt beträgt $18,5\%$.
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeit von Ereignis B berechnen
B: Die beiden ersten Spender haben die selbe Blutgruppe
Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Spender die gleiche Blutgruppe haben, also (0,0), (A,A), (B,B), (AB,AB) kannst du wie in der Aufgabe zuvor mit Hilfe des Baumdiagramms berechnen und anschließend die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B mit der Pfadadditionsregel berechnen.
$P(B)=0,41\cdot0,41+0,43\cdot0,43+0,11\cdot0,11+0,05\cdot0,05=0,368$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $36,8\%$ tritt das Ereignis $B$ ein.
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeit von Ereignis C berechnen
C: Die beiden ersten Spender haben unterschiedliche Blutgruppen
Dies ist gerade das Gegenereignis zu $B$:
$P(C)=1-P(B)=1-0,368= 0,632 $
Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $C$ eintritt, beträgt $63,2\%$.
1.2
$\blacktriangleright$   Größe der Gruppe der Blutspender berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Anzahl der Spender berechnen, die mindestens spenden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\%$ mindestens ein Spender die Blutgruppe $AB$ hat.
Da es bei diesem Zufallsexperiment nur zwei Ausgänge, Blutgruppe $AB$ oder nicht Blutgruppe $AB$, gibt und die Wahrscheinlichkeiten für ein Ereignis gleich verteilt sind, ist $X$ binomialverteilt. Du kannst also die Formel der Binomialverteilung verwenden.
$P(X= k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$
Die Werte für $k$ und $p$ sind gegeben und du sollst den Wert für $n$, also die Größe der Gruppe berechnen.
Da $k\geq1$ sein soll, gilt:
$P(X\geq 1)\stackrel{!}{\geq}0,99$
Bilde als erstes das Gegenereignis, setze anschließend für $p=0,05$ in die Ungleichung ein und löse die Ungleichung nach $n$ auf.
$P(X\geq1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)\stackrel{!}{\geq}0,99$
$\begin{array}[t]{rll} 1-\left(\binom{n}{0}\cdot 0,05^0 \cdot (1-0,05)^{n-0}\right) &\geq& 0,99&\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] - 0,95^n&\geq& -0,01 &\quad \scriptsize \mid\;.(-1)\\[5pt] 0,95^n&\leq&0,01 &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \ln(0,95^n)&\leq& \ln\left(0,01\right) \\[5pt] n\cdot \ln(0,95)&\leq& \ln\left(0,01\right) &\quad \scriptsize \mid\;:\ln\left(0,95\right) \\[5pt] n&\geq&89,78 \end{array}$
Es müssen mindestens $\boldsymbol{90}$ Schüler bei der Blutspendeaktion teilnehmen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von $99\%$ mindesten ein Spender die Blutgruppe $AB$ hat.
1.3
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass unter den ersten 20 Spendern genau vier die Blutgruppe $B$ haben. Auch hier kannst du die Formel der Binomialverteilung verwenden.
Es sind 20 Spender, also ist $n=20$, $p=0,11$ und es sollen genau vier die Blutgruppe $B$ haben, also $k=4$. Setze diese Werte in die Formel ein.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=4)&=&\binom{20}{4}\cdot 0,11^4\cdot (1-0,11)^{20-4} \\[5pt] &=&4.845\cdot 0,11^4\cdot 0,89^{16} \\[5pt] &\approx&0,11 \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $11\%$ sind unter den ersten $20$ Spendern genau $4$ Spender mit der Blutgruppe $B$.
1.4
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeit berechnen, dass von den 20 Spendern die Hälfte die Blutgruppe $A$ hat
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass unter den 20 Spendern mindestens die Hälfte, also 10 Spender, die Blutgruppe $A$ hat.
Es handelt sich dabei um eine kumulierte Binomialverteilung. Diese kannst du allgemein berechnen mit:
$P(X\leq k)= \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}\binom{n}{i} p^i\cdot (1-p)^{n-i}$
Da mindestens 10 Spender die Blutgruppe $A$ haben sollen, ist $P(X\geq 10)$ gesucht.
Bilde hier zuerst das Gegenereignis, um die Formel anwenden zu können.
$P(X\geq10)=1-P(X\leq9)$
Jetzt kannst du in die Formel für $p=0,43$ und für $n=20$ einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq10)&=&1-\left(\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{9}\binom{20}{i} 0,43^i\cdot (1-0,43)^{20-i}\right) \\[5pt] &=&1-0,661 \approx 0,339 \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{33,9\%}$ hat von den 20 Spendern mindestens die Hälfte der Spender die Blutgruppe $A$.
1.5
$\blacktriangleright$   Erkläre Tims Aussage
Tim vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit für die Blutgruppe 0 bei Frauen geringer ist als bei Männern. Du sollst jetzt erklären, wie Tim zu dieser Aussage kommen konnte.
Du kannst mit den Angaben aus dem Text die relativen Häufigkeiten berechnen.
relative Häufigkeit, Frauen mit Blutgruppe 0: $r=\frac{42}{120}=0,35$
relative Häufigkeit, Männer mit Blutgruppe 0: $r=\frac{39}{80}=0,49$
Die relative Häufigkeit, dass ein Mann die Blutgruppe 0 hat ist größer als die relative Häufigkeit, dass eine Frau die Blutgruppe 0 hat. So kommt Tim auf die Vermutung, dass die Blutgruppe 0 bei Männern häufiger ist als bei Frauen.
$\blacktriangleright$   Aussage von Tim prüfen
Du sollst überprüfen, ob bei einem Vertrauensniveau von $95\,\%$ davon ausgegangen werden kann, dass der Anteil der Blutgruppe 0 bei Frauen geringer als bei Männern ist.
Es wurden zwei Stichproben betrachtet. Stelle für beide Stichproben je ein Vertrauensintervall auf dem Vertrauensniveau $95\,\%$ für die Wahrscheinlichkeit der Blutgruppe 0 auf. Überprüfe anschließend, ob es mögliche Werte gibt, die in beiden Intervallen liegen. Ist dies der Fall, kann Tims Aussage mit dem angegebenen Vertrauensniveau nicht unterstützt werden. Gesucht ist jeweils ein Intervall folgender Form:
$\left[h -c\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}}\, ; \, h +c\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}}\right]$
$\left[h -c\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}}\, ; \, h +c\cdot \sqrt{\dfrac{h\cdot (1-h)}{n}}\right]$
Dabei ist $h = \dfrac{X}{n}$, also die Anzahl der jeweiligen Personen mit Blutgruppe 0 geteilt durch den Stichprobenumfang. Der Faktor $c$ hängt vom Vertrauensniveau ab.
$\mu = n\cdot p$ $\quad$ $\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$
1. Schritt: Vertrauensintervalle bestimmen
Bei einem Vertrauensniveau von $95\,\%$ gilt $c = 1,96$.
Für die Stichprobe der weiblichen Personen ergibt sich dann folgendes Vertrauensintervall für die Wahrshceinlichkeit $p$:
$\begin{array}[t]{rll} I_w&=&\left[h_w -1,96\cdot \sqrt{\dfrac{h_w\cdot (1-h_w)}{n_w}}\, ; \, h_w +1,96\cdot \sqrt{\dfrac{h_w\cdot (1-h_w)}{n_w}}\right] \\[5pt] &=& \left[\dfrac{42}{120} -1,96\cdot \sqrt{\dfrac{\dfrac{42}{120}\cdot \dfrac{78}{120}}{120}}\, ; \, \dfrac{42}{120} +1,96\cdot \sqrt{\dfrac{\dfrac{42}{120}\cdot \dfrac{78}{120}}{120}}\right] \\[5pt] &\approx& [0,2647;0,4353 ]\\[5pt] \end{array}$
Für die männlichen Spender ergibt sich entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} I_m&=& \left[h_m -1,96\cdot \sqrt{\dfrac{h_m\cdot (1-h_m)}{n_m}}\, ; \, h_m +1,96\cdot \sqrt{\dfrac{h_m\cdot (1-h_m)}{n_m}}\right] \\[5pt] &=& \left[\dfrac{39}{80} -1,96\cdot \sqrt{\dfrac{\dfrac{39}{80}\cdot \dfrac{41}{80}}{80}}\, ; \, \dfrac{39}{80} +1,96\cdot \sqrt{\dfrac{\dfrac{39}{80}\cdot \dfrac{41}{80}}{80}}\right] \\[5pt] &\approx& [0,3780; 0,5970]\\[5pt] \end{array}$
Aus der Stichprobe der weiblichen Spender lässt sich mit einem Vertrauensniveau von $95\,\%$ darauf schließen, dass die Wahrscheinlichkeit für Blutgruppe 0 im Intervall $[0,2647;0,4353 ]$ liegt.
Die Stichprobe der männlichen Spender schließt auf eine Wahrscheinlichkeit im Intervall $[0,3780; 0,5970]$.
Es gibt also mögliche Werte für den Anteil der Blutgruppe 0, die bei einem Vertrauensniveau von $95\,\%$ bei beiden Stichproben das erhaltene Ergebnis liefern könnten.
Es kann also nicht darauf geschlossen werden, dass unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten zugrunde liegen. Somit kann Tims Aussage mit dem gegebenen Vertrauensniveau nicht unterstützt werden.
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