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Matrizen

Aufgaben
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1  Von den $2.000$ Einwohnern einer Gemeinde sind zu Beginn einer Grippewelle $400$ Personen immun,
weil sie geimpft sind oder diese Grippe bereits hinter sich haben. $200$ sind erkrankt und $1.400$ Personen sind noch gesund, aber nicht immun.
Von Woche zu Woche ergibt sich folgender Übergang der einzelnen Krankheitszustände:
Matrizen
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1.1  Stelle diesen Sachverhalt in einer Übergangsmatrix dar.
(2P)
1.2  Wie viele gesunde (nicht immune), kranke bzw. immune Personen gibt es in der Gemeinde nach einer
Woche?
(2P)
1.3  Deute die Zahl $1$ im Übergangsdiagramm bei den immunen Personen.
Begründe, warum die Anzahl der immunen Personen immer zunimmt.
(2P)
1.4  Zeige, dass die Anzahl der gesunden, aber nicht immunen Personen exponentiell abnimmt.
Wann gibt es weniger als $200$ gesunde, aber nicht immune Personen in der Gemeinde?
(2P)
1.5  Begründe, warum die Anzahl der kranken Personen nach der ersten Woche abnimmt.
(2P)
1.6  Jede Woche lassen sich $20\,\%$ der gesunden Bürger impfen. Wie wirkt sich dies auf das
Übergangsdiagramm und die Übergangsmatrix aus, wenn man vereinfacht davon ausgeht, dass die Immunität sofort nach der Impfung eintritt?
(2P)
1.7  Wie viel Prozent der gesunden Personen müssen sich jede Woche mindestens impfen lassen, damit die Zahl der erkrankten Personen von Anfang an sinkt?
(3P)

(15P)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$   Übergangsmatrix aufstellen
In dieser Aufgabe sollst du mit Hilfe des Übergangsdiagramms eine Übergangsmatrix bestimmen. Die allgemeine Form einer Übergangsmatrix lautet:
von:$A$$B$$C$
$A$$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\[2pt] a_{21}&a_{22}&a_{23}\\[2pt]a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$
nach:$B$$M=$
$C$
$\begin{array}[t]{rll} a_{11}+a_{21}+a_{31}&=& 1 \\[5pt] a_{12}+a_{22}+a_{32}&=& 1 \\[5pt] a_{13}+a_{23}+a_{33}&=& 1 \end{array}$
Setze nun die entsprechenden Werte aus dem Diagramm in die Matrix ein.
von:$g$$k$$i$
$g$$\begin{pmatrix}0,8&0&0\\[2pt] 0,2&0,1&0\\[2pt]0&0,9&1\end{pmatrix}$
nach:$k$$M=$
$i$
1.2
$\blacktriangleright$   Anzahl gesunder und kranker Menschen nach einer Woche berechnen
Um die Anzahl der gesunden und kranken Menschen nach einer Woche zu berechnen, musst du die Matrix $M$ mit dem Anfangsvektor $v_0$ multiplzieren. Dieser Vektor gibt die Anzahl der gesunden, kranken und immunen zu Beobachtungsbeginn an. Den Vektor kannst du mit Hilfe der Aufgabe bestimmen. In dem Dorf sind zu Beginn 1400 Personen gesund, 200 sind bereits erkrankt und 400 Personen sind immun.
$\Longrightarrow \vec{v_0}=\begin{pmatrix}\text{gesunde Personen }\\\text{kranke Personen}\\\text{immune Personen}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1400\\200\\400\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}0,8&0&0\\[2pt]0,2&0,1&0\\[2pt]0&0,9&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1400\\200\\400\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1120\\300\\580\end{pmatrix} $
Nach einer Woche sind $\boldsymbol{1120}$ Personen krank, $\boldsymbol{300 }$ Personen sind krank und $\boldsymbol{580}$ sind immun.
1.3
$\blacktriangleright$   Zahl 1 im Übergangsgraphen deuten
Die Zahle 1 im Übergangsgraphen bedeutet, dass wenn eine Person den Zustand „immun“ erreicht hat, diesen nicht mehr verlassen wird. Das bedeutet in dieser Aufgabe, dass wenn eine Person immun ist, sie nicht wieder krank werden kann und auch nicht gesund (aber nicht immun) werden können.
$\blacktriangleright$   Begründen, warum Anzahl der Immunen immer zunimmt
Bei der Matrixmultiplikation multiplzierst du immer die Zeile mit der Spalte. In der letzten Zeile der Matrix multiplzierst du immer zuerst eine zahl mit $0,9$ und anschließend eine Zahl mit 1, dass bedeutet das zu einer Zahl immer ein bisschen mehr dazu kommt. Die Anzahl der immunen Personen nimmt somit immer zu.
1.4
$\blacktriangleright$   Zeige, dass die Anzahl der gesunden Personen exponentiell abnimmt
Es handelt sich um exponentielles Wachstum, wenn $\dfrac{N(1+t)}{N(t)}=konst.$ ist.
Berechne dazu als erstes die Anzahl der kranken Personen nach 0,1,2 und 3 Wochen.
  • $t=0: N(0)= 1400$
  • $t=1: N(1)=1400\cdot 0,8=1120$
  • $t=2: N(2)=1120\cdot 0,8=896$
  • $t=3: N(3)=896\cdot 0,8=716,8$
Berechne als nächstes die Quotienten.
  • $\dfrac{N(1)}{N(0)}=\dfrac{1120}{1400}=0,8$
  • $\dfrac{N(2)}{N(1)}=\dfrac{896}{1120}=0,8$
  • $\dfrac{N(3)}{N(2)}=\dfrac{716,8}{896}=0,8$
Der Quotient ist konstant und somit nimmt die Anzahl der gesunden, aber nicht immunen Personen exponentiell abnimmt.
$\blacktriangleright$   Berechne, wann zum ersten mal weniger als 200 Personen gesund sind
Um zu berechnen, wann zum ersten mal weniger als 200 Personen gesund sind, kannst du am besten durch ausprobieren berechnen.
Nach 3 Wochen sind 716,8 Personen gesund. multipliziere diese Zahl mit 0,8. Multipliziere dann das Ergebnis wieder mit 0,8 und so weiter, bis das Ergebnis kleiner als 200 ist.
Anzahl der gesunden Personen nach 9 Wochen: 187,9.
Nach 9 Wochen gibt es weniger als 200 gesunde, aber nicht immune Personen in der Gemeinde.
1.5
$\blacktriangleright$   Begründe, warum die Anzahl der kranken Personen nach der ersten Woche abnimmt
In dieser Aufgabe sollst du begründen, warum nach einer Woche die Anzahl der kranken Personen zunimmt und nach der ersten Woche die Anzahl der kranken Personen abnimmt.
Zum Zeitpunkt der Beobachtung sind 1400 Personen gesund, aber nicht immun. $20\%$ von diesen gesunden Personen werden krank, also 280 Personen. Nach der ersten Woche sind nur noch 1120 Personen gesund und von diesen Personen werden wieder $20\%$ krank, also nur noch 224 Personen. Das bedeutet, dass immer weniger Personen krank werden, von den kranken werden aber trotzdem $90\%$ immun und $10\%$ bleiben krank.
Somit sinkt nach der ersten Woche die Anzahl der kranken Personen.
1.6
$\blacktriangleright$   Übergangsdiagramm und Übergangsmatrix bestimmen
Wenn sich jede Woche $20\%$ der gesunden, aber nicht immunen Personen impfen lassen, werden entsprechend weniger Personen krank und es bleiben $20\,%$ weniger Personen gesund aber nicht immun.
Von den $80\,\%$ der gesunden aber nicht immunen Personen, die in der nächsten Woche gesund und immun bleiben, bleiben nun also $20\,\%$ weniger gesund aber nicht immun. Also ergibt sich für den neuen Prozentsatz:
$0,8 \cdot (1-0,2) = 0,64$
Gleiches gilt für die gesunden aber nicht immunen Personen, die in der nächsten Woche krank werden würden. Von den $20\,\%$ werden $20\,\%$ weniger Personen krank, also:
$0,2\cdot (1-0,2) = 0,16$
Der Übergangsgraph sieht dann so aus:
Matrizen
Matrizen
Die Übergangsmatrix sieht dann entsprechend so aus:
$M_{0,2} = \pmatrix{0,64 & 0 & 0 \\0,16 & 0,1&0\\ 0,2&0,9&1}$
1.7
$\blacktriangleright$  Prozentsatz der zu impfenden Personen bestimmen
Die Anzahl der erkrankten Personen soll sich bereits in der ersten Woche reduzieren. Dazu soll ein Prozentsatz $p$ der gesunden aber nicht immunen Personen geimpft werden. Du hast oben bereits die Üergangsmatrix für den Fall $p = 0,2$ aufgestellt. Stellst du diese nun noch für ein allgemeines $p$ auf, kannst du einen Term für die Anzahl der erkrankten Personen nach der ersten Woche aufstellen. Diese kannst du ins Verhältnis zur ursprünglichen Anzahl erkrankter Personen, $200$, setzen und diese Ungleichung nach $p$ auflösen.
Die Übergangsmatrix in Abhängigkeit von $p$ ergibt sich wie folgt:
$M_p = \pmatrix{0,8\cdot(1-p) & 0 & 0 \\ 0,2\cdot (1-p) & 0,1 & 0 \\ p & 0,9 & 1}$
Für die Verteilung der Personengruppen nach einer Woche ergibt sich damit folgende Gleichung:
$\pmatrix{0,8\cdot(1-p) & 0 & 0 \\ 0,2\cdot (1-p) & 0,1 & 0 \\ p & 0,9 & 1} \cdot \pmatrix{1.400\\ 200 \\400} = \pmatrix{g\\k\\i}$
Dabei soll $k$, die Anzahl der erkrankten Personen, geringer als in der vorherigen Woche sein, also $k < 200$. Betrachte also die Zeile der Gleichung zur Berechnung von $k$:
$\begin{array}[t]{rll} k&=&0,2\cdot (1-p)\cdot 1.400 + 0,1\cdot 200 + 0\cdot 400 \\[5pt] k&=& 300 - 280p &\quad \scriptsize \mid\; k< 200 \\[5pt] 200& > & 300-280p &\quad \scriptsize \mid\;-300 \\[5pt] -100& > & -280p&\quad \scriptsize \mid\;:(-280)< 0 \\[5pt] \frac{10}{28}& < & p \end{array}$
Damit die Anzahl der erkrankten Personen direkt von Beginn an sinkt, müssen jede Woche mindestens $p = \frac{10}{28} \approx 36\,\% $ der gesunden aber nicht immunen Personen geimpft werden.
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