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Analysis

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1.1
  Nullstellen bestimmen
Mit f(x)=0 folgen für die Koordinaten der Nullstellen:
f(x)=03x327x=03x(x29)=0
Mit dem Satz des Nullprodukts folgt:
x1=0
x29=0+9x2=9x2=3x3=3
x2,3=
Die Funktion f besitzt die Nullstellen x1=0, x2=3 und x3=3.
#satzvomnullprodukt
1.2
  Schaubild beschreiben
Durch die Bedingung g(3)=2 ist gegeben, dass das Schaubild der Funktion g an der Stelle x=3 die Steigung 2 besitzt.
Durch die Bedingungen g(3)=0 und g(3)0 ist das notwendige und hinreichende Kriterium für eine Wendestelle erfüllt. Somit besitzt das Schaubild an der Stelle x=3 eine Wendestelle.
#wendepunkt
1.3.1
  Koordinaten eines Punktes bestimmen
Das Schaubild von h besitzt eine waagerechte Tangente an der Stelle xP, falls h(xP)=0 gilt. Für die Ableitung der Funktion h folgt mit der Kettenregel:
h(x)=e2x4xh(x)=2e2x4
Für die Stelle xP folgt:
h(xP)=02e2xP4=0+42e2xP=4:2e2xP=2ln?()2xP=ln?(2):2xP=12ln?(2)
xP=12ln?(2)
Für die y-Koordinate des Punktes P folgt:
h(xP)=e2xP4xPh(12ln?(2))=e212ln?(2)412ln?(2)=22ln?(2)=2(1ln?(2))
h(12ln?(2))=
Somit folgt P(ln?(2)2|2(1ln?(2))).
#ableitung