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Aufgabe 1

Aufgaben
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Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+4$, für $x\in\mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
1.1
Zeichne $K_f$.
Untersuche $K_f$ auf Symmetrie.
Gib die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte von $K_f$ an.
(8P)
1.2
Ermittle die Gleichung der Tangente $t$ an $K_f$ im Punkt $P(1\mid f(1))$.
Die Tangente $t$, die $y$-Achse und $K_f$ schließen im $1$. Quadranten eine Fläche ein.
Zeichne in dein Koordinatensystem aus 1.1 die Tangente $t$, markiere diese Fläche und berechne deren Flächeninhalt.
(5P)
1.3
Gegeben sind für $0\leq u\leq2$ der Punkt $B(u\mid f(u))$ und der Punkt $D(-u \mid0)$. Diese beiden Punkte sind Eckpunkte eines zur $y$-Achse symmetrischen Rechtecks $ABCD$.
Berechne den maximalen Umfang, den ein solches Rechteck haben kann.
(6P)
In einem Gehege wird der Kaninchenbestand über einen längeren Zeitraum beobachtet.
Die Auswertung dieser Beobachtung hat modellhaft folgende Bestandsfunktion ergeben:
$k(t)=1.000\cdot\left(1-0,85\cdot\mathrm{e}^{-0,0513\cdot t}\right)$; $t\geq0$.
Die Zeit $t$ wird in Monaten gemessen und $k(t)$ gibt den Bestand der Kaninchen zum Zeitpunkt $t$ an.
1.4
Wie groß ist der Kaninchenbestand im Gehege zu Beginn der Beobachtung?
Wie wird im Funktionsterm berücksichtigt, dass der Bestand nicht beliebig groß wird?
Nach welcher Zeit ist ein Kaninchenbestand von $250$ erreicht?
(5P)
1.5
Bestimme die momentane Änderungsrate des Kaninchenbestandes in Abhängigkeit von der Zeit $t$.
Wann ist diese Änderungsrate am größten?
Berechne die durchschnittliche Änderungsrate in den ersten $5$ Monaten.
(6P)

(30P)
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -3 \leq x \leq 3 $ und $ -1 \leq y \leq 6 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ auf Symmetrie untersuchen
Die Aufgabe verlangt von dir, das Schaubild daraufhin zu untersuchen, ob es achsensymmetrisch zur $y$–Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung ist oder keine dieser beiden Symmetriearten aufweist. Du kannst folgendermaßen argumentieren:
1. Möglichkeit:
Die in dem Funktionsterm $f(x)$ ausschließlich vorkommenden Exponenten (Hochzahlen) geben Auskunft über die Symmetrieart. Stelle eine Aussage über den Funktionsterm auf und beachte dabei, dass $ 4 = 4 \cdot x^0$ ist. Wenn ausschließlich gerade/ungerade Exponenten auftreten, ist das Schaubild achsensymmetrisch zur $y$–Achse/punktsymmetrisch zum Ursprung. Andernfalls liegt keine dieser Symmetriearten vor.
2. Möglichkeit:
$K_f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn
$ f(-x) = f(x) $ $ f(-x) = f(x) $
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ gilt.
$K_f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn
$ f(-x) = -f(x) $ $ f(-x) = -f(x) $
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ gilt.
Vereinfache nun den Term $ f(-x).$
$\blacktriangleright$   Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte von $K_f$ angeben
$\boldsymbol{K_f}$ auf Extrempunkte untersuchen
Die Extrempunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden: Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben, dir das Schaubild anzeigen und dir die Extrempunkte ausgeben lassen.
2. Möglichkeit: Lösung durch schrifliche Rechnung
Das Schaubild $K_f$ soll auf Hoch- und Tiefpunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f$ auf Extremstellen untersuchen. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Verwende für die Nullstellenberechnung den Satz vom Nullprodukt: Er besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt, gilt $\boldsymbol{f''(x_0) > 0}$, so liegt ein Tiefpunkt vor.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Extremstelle muss die erste Bedingung $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$ erfüllt sein.
Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Extremstellen sind und von welcher Art diese sind, kannst du die zweite Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Extremstelle tatsächlich Extremstelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1=0$ und $x_2=-2$ sowie $x_3=2$ in den Term der zweiten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Extrempunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
$K_f$ auf Wendepunkte untersuchen
Auch Wendepunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden: Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f'$ eingeben, ohne die Ableitung ausrechnen zu müssen, wobei du bei Y1 den Funktionsterm von $f$ schon eingegeben hast. Das zugehörige Schaubild $K_f$ blendest du aus und lässt dir nur das Schaubild von $K_{f'}$ anzeigen. Bestimme mit dem GTR alle Extremstellen der Ableitungsfunktion, denn jede Extremstelle von $K_{f'}$ ist eine Wendestelle von $K_f.$
Um alle Wendepunkte von $K_f$ anzugeben, lässt du dir die jeweils zugehörigen Funktionswerte z. B. im Table–Menü ausgeben.
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Das Schaubild soll auf Wendepunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f'$ auf Extremstellen untersuchen. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $f$ bestimmen
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Wendestelle muss die notwendige Bedingung $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$ erfüllt sein.
Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Wendestellen sind, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Wendestelle tatsächlich Wendestelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Wenn ein Wendepunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$   Gleichung der Tangente $\boldsymbol{t}$ an $\boldsymbol{K_f}$ im Punkt $\boldsymbol{P(1 \mid f(1))}$ ermitteln
Du kannst die Tangente im Punkt $P(1 \mid f(1))$ des Schaubildes mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermitteln:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Wenn du einen GTR von CASIO verwendest, prüfe zunächst, ob die Funktion DERIVATE in den Systemeinstellungen aktiviert ist (Schalter auf ON). Die Systemeinstellungen rufst du mit SHIFT–MENU auf.
Aufgabe 1
Abb. 1: Automatische Ableitung aktivieren
Aufgabe 1
Abb. 1: Automatische Ableitung aktivieren
Wenn du einen GTR von TI verwendest, brauchst du keine Einstellungen zu prüfen.
Im Graph–Menü hast du schon den Funktionsterm von $f$ eingeben. Lass dir das Schaubild und die Tangente anzeigen und die Tangentengleichung ausgeben.
Gib dazu beim CASIO-GTR die Tastenfolge
Sketch $\to$ Tangent $\to$ Eingabe 1 $\to$ EXE $\to$ EXE Sketch $\to$ Tangent $\to$ Eingabe 1 $\to$ EXE $\to$ EXE
bzw. beim TI-GTR die Tastenfolge
Draw $\to$ 5: Tangent $\to$ Eingabe 1 $\to$ ENTER Draw $\to$ 5: Tangent $\to$ Eingabe 1 $\to$ ENTER
ein.
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Du sollst die Gleichung der Tangente im Punkt $(1 \mid f(1)) $ des Schaubildes $K_f$ berechnen. Hierfür benötigst du die Formel für Gleichung der Tangente in einem Punkt $(x_0 \mid f(x_0)) $ des Schaubildes einer Funktion $f:$
$ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0). $ $ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0). $
In dieser Aufgabe ist $x_0 =1,$ d. h. du musst noch die Werte $ f(1)$ und $f'(1)$ berechnen und sie anschließend in die Formel einsetzen. Löse abschließend die Klammern auf, um die Tangentengleichung in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{t}$ zeichnen
Wie jede Gerade ist auch die Tangente durch zwei Punkte festgelegt.
$\blacktriangleright$   Fläche markieren, die von der Tangente $\boldsymbol{t,}$ der $\boldsymbol{y}$–Achse und $\boldsymbol{K_f}$ eingeschlossen wird
Umrande zunächst das beschriebene Flächenstück, bevor du das Innere der Umrandung markierst.
$\blacktriangleright$   Flächeninhalt berechnen
Deine Aufgabe ist es, den Flächeninhalt der markierten Fläche zu berechnen. Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte zwischen zwei Schaubildern
$ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion}$ - $\text{untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $ $ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion}$ - $\text{untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind und welche Funktion die obere und welche die untere ist. Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass $ a = 0 $ ist und $b = 1$ die Schnittstellen der Schaubilder $K_t$ und $K_f$. Außerdem erkennst du, dass das Schaubild der Tangente oberhalb des Schaubildes der Funktion $f$ liegt.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Du sollst also den Flächeninhalts $A = \mathop {\int}\limits_{0}^1 (t(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x$ berechnen.
Im Graph–Menü des GTR von CASIO hast du bereits bei Y1 den Funktionsterm von $f$ eingegeben. Trage bei Y2 die Gleichung der Tangente ein. Beide Schaubildern werden ausgeblendet, sollen also nicht gezeichnet werden (SEL). Durch Eingabe bei Y3: Y2–Y1 wird die Differenz der beiden Funktion $t$ und $f$ ausgedrückt. Zeichne das Schaubild und ermittle den Flächeninhalt zwischen dem Schaubild und der $x$–Achse in den Grenzen $0$ und $1.$
Mit dem GTR von TI gibst du bei Y1 die Differenz der beiden Funktionsterme ein. Beachte, dass der Funktionsterm von $f(x)$ eine Summe ist und du bei der Eingabe Klammern setzen musst.
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Du kannst den Flächeninhalts $A = \mathop {\int}\limits_{0}^1 (t(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x$ auch schriftlich mithilfe einer Stammfunktion berechnen. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $ $ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $
Durch die Betrachtung der Differenzfunktion $ d(x) = t(x) - f(x) $ lässt sich der Aufwand für die Berechnung vermindern, weil Terme zusammengefasst werden können:

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$   Rechteck $\boldsymbol{ABCD}$ mit maximalen Umfang berechnen
Deine Aufgabe ist es, ein zur $y$–Achse symmetrisches Rechteck mit den gegebenen Eckpunkten $B(u \mid f(u))$ und $D(-u \mid 0)$ für $ 0 \leq u \leq 2 $ zu finden, das den größten Umfang besitzt.
1. Schritt:
Um eine Vorstellung von solch einem Rechteck zu erhalten, fertige dir zunächst eine Skizze des Schaubildes $K_f$ an und wähle als festen Wert für $u$ z. B. $u=1.$ Zeichne die Punkte $B(1 \mid f(1))$ und $D(-1 \mid 0)$ ein und vervollständige das Rechteck. Schreibe Dir die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte $A$ und $C$ auf. Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe aller Seitenlängen. Berechne den Umfang dieses speziellen Rechteckes.
2. Schritt:
Bestimme die Koordinaten der fehlenden Punkte $A$ und $C$ in Abhängigkeit von $u$ und berechne anschließend den Umfang in Abhängigkeit von $u.$ Verwende dabei die folgenden Formeln:
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $x$–Achse verläuft mit $x_G < x_H$ ($G$ liegt links von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G. $ Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G. $
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $y$–Achse verläuft mit $y_G < y_H$ ($G$ liegt unterhalb von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G. $ Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G. $
Die Koordinaten der Punkte des Rechtecks $ABCD$ sind $ A(u \mid |0), \, B(u \mid f(u)), \, C(-u \mid f(-u)) $ und $ D(-u \mid 0). $ Bestimme jeweils einen Term für die Streckenlängen und für den Umfang in Abhängigkeit von $u.$
Um das Rechteck mit dem maximalen Umfang zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Verwende die Maximierungs–Funktion.
Sie wird beim CASIO-GTR durch die Tastenfolge
OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax(Funktionsterm,Untergrenze, Obergrenze) OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax(Funktionsterm,Untergrenze, Obergrenze)
aufgerufen. Beim TI-GTR benutzt du die Tastenfolge
Math 7: fMax(Funktion,Variable,Untergrenze, Obergrenze). Math 7: fMax(Funktion,Variable,Untergrenze, Obergrenze).
Beide Aufrufe verlangen die Eingabe der zu maxmierenden Funktion $U$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze $0$ sowie die obere Grenze $2$. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern für $u=0$ und $u=2$.
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Für die Zielfunktion $U$ werden die Extrempunkte bestimmt. Bilde dazu die erste Ableitung $U'$ der Funktion $U.$ Um die Extremstellen von $U$ zu finden, betrachtest du die Gleichung $ U'(x) = 0.$ Du wirst erkennen, dass du die Nullstellen mit deinen bekannten Methoden schriftlich nicht bestimmen kannst. Verwende deshalb deinen GTR, um den Hochpunkt von $U$ zu bestimmen. Berechne aber auch die Funktionswerte von $U$ für die Randwerte $u=0$ und $u=2,$ um den maximalen Wert des Flächeninhaltes zu bestimmen.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$   Bestand zu Beginn der Beobachtung bestimmen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass der Kaninchenbestand im Gehege modellhaft durch die Funktion $k$ beschrieben werden kann:
$ {k(t) = 1.000 \cdot \left( 1 - 0,85 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \right)}$ ${\text{für} \, \, t \geq 0} $
Die Zeit $t$ wird in Monaten gemessen und $k(t)$ gibt den Bestand der Kaninchen zum Zeitpunkt $t$ an. Wenn du bestimmen willst, wie groß der Bestand zu Beginn der Beobachtung ist, so ist $t=0$ der richtige Zeitpunkt. Berechne nun $k(0),$ um den Anfangsbestand zu ermitteln.
$\blacktriangleright$ Mithilfe des Funktionsterms begründen, dass der Bestand nicht beliebig groß werden kann
Hier ist eine Begründung verlangt, warum der Bestand nicht beliebig groß werden kann. Dazu sollst du dir den Funktionsterm genauer anschauen.
Vereinfache den Term, indem du die Klammer ausmultiplizierst und dir anschließend den Minuend (1. Teil der Differenz) und den Subtrahend (2. Teil der Differenz) betrachtest. Versuche eine Aussage darüber zu machen, welches Vorzeichen der Subtrahend stets hat und wie sich seine Werte entwickeln, wenn $t$ beliebig groß wird ($ t \to +\infty).$
$\blacktriangleright$   Zeitpunkt ermitteln, an dem der Bestand 250 erreicht
Wenn du den Zeitpunkt bestimmen willst, zu dem der Bestand 250 Kaninchen beträgt, muss du eine Lösung $t$ der Gleichung $k(t)=250$ suchen.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Im Graph-Menü lässt sich sowohl die Bestandsfunktion $k(t)$ (linke Seite der Gleichung) als auch die Funktion $y = 250$ (rechte Seite der Gleichung) darstellen. Du findest eine Lösung der Gleichung, wenn die beiden Graphen sich schneiden. Achte darauf, das Berachtungsfenster geeignet einzustellen.
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Du löst die Gleichung $k(t)=250$ schriftlich nach $t$ auf. Forme die Gleichung soweit um, dass der Exponentialterm allein für sich auf einer Seite der Gleichung steht. Wende dann die Logarithmusfunktion auf beiden Seiten der Gleichung an, um nach $t$ auflösen zu können.

Aufgabe 1.5

$\blacktriangleright$   Momentane Änderungsrate bestimmen
Die momentane Änderungsrate einer Funktion ist die erste Ableitungsfunktion. Willst du die momentane Änderungsrate der Funktion $k$ in Abhängigkeit von $t$ bestimmen, so solltest du $k'(t)$ berechnen. Dazu benötigst du die Formel
$ \left( \mathrm{e}^{a \cdot t} \right)' = a \cdot \mathrm{e}^{a \cdot t}.$ $ \left( \mathrm{e}^{a \cdot t} \right)' = a \cdot \mathrm{e}^{a \cdot t}.$
$\blacktriangleright$   Zeitpunkt mit der größten momentanen Änderungsrate bestimmen
Die momentane Änderungsrate hast du schon berechnet. Um ihren größten Wert zu ermitteln, ist es nun deine Aufgabe, das Schaubild von $k'$ zu untersuchen. Wie in Teilaufgabe 1.1 ist dazu notwendig, die Ableitungsfunktion von $k'$ zu berechnen. Verwende für die Berechnung von $k''(t)$ wieder die vorherige Formel.
Indem du das Vorzeichen von $k''(t)$ bestimmst, kannst du eine Aussage darüber machen, welches Monotonverhalten das Schaubild $k'$ besitzt: Wenn es streng monoton fallend ist, ist $ t=0 $ der gesuchte Zeitpunkt mit der größten momentanen Änderungsrate und $k'(0)$ ihr größter Wert.
$\blacktriangleright$   Durchschnittliche Änderungsrate in den ersten fünf Monaten berechnen
Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$ in einem Intervall $[a;b]$ ist durch die Formel
$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
festgelegt. Deine Aufgabe ist es, die durchschnittliche Änderungsrate der Bestandsfunktion $k$ in den ersten fünf Monaten, d. h. im Zeitintervall $ [0;5] $ zu berechnen. Setze also $a=0$ und $b=5$ in die Formel ein und berechne den Wert des Bruches.
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Um ein Schaubild zu zeichnen, kannst du eine Wertetabelle anlegen. Dies kannst du entweder in deinem GTR tun oder handschirftlich verschiedene Werte berechnen. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -3 \leq x \leq 3 $ und $ -1 \leq y \leq 6 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm. Du erhältst beispielsweise folgende Wertetabelle:
$x$-3-2-10123
$y$6,2502,2542,2506,25
$x$$y$
-36,25
-20
-12,25
04
12,25
2 0
36,25
Aufgabe 1
Abb. 1: Schaubild der Funktion $f$
Aufgabe 1
Abb. 1: Schaubild der Funktion $f$
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ auf Symmetrie untersuchen
Die Aufgabe verlangt von dir, das Schaubild daraufhin zu untersuchen, ob es achsensymmetrisch zur $y$–Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung ist oder keine dieser beiden Symmetriearten aufweist. Du kannst folgendermaßen argumentieren:
Lösungsweg A:
Die in dem Funktionsterm $f(x)$ ausschließlich vorkommenden Exponenten (Hochzahlen) geben Auskunft über die Symmetrieart. Stelle eine Aussage über den Funktionsterm auf und beachte dabei, dass $ 4 = 4 \cdot x^0$ ist. Wenn ausschließlich gerade/ungerade Exponenten auftreten, ist das Schaubild achsensymmetrisch zur $y$–Achse/punktsymmetrisch zum Ursprung. Andernfalls liegt keine dieser Sysmmetriearten vor.
Der Funktionsterm $f(x)$ enthält ausschließlich gerade Exponenten (Hochzahlen), so dass $K_f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
2. Möglichkeit:
$K_f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn
$ f(-x) = f(x) $
$ f(-x) = f(x) $
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ gilt.
$K_f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn
$ f(-x) = -f(x) $
$ f(-x) = -f(x) $
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ gilt.
Vereinfache nun den Term $ f(-x).$
\[ f(-x) = \dfrac{1}{4} \cdot (-x)^4 - 2 \cdot (-x)^2 + 4 = \dfrac{1}{4} \cdot x^4 - 2 \cdot x^2 + 4 = f(x) \]
$ f(-x) = f(x) $
Das Schaubild $K_f$ ist achsensymmetrisch zur $y$–Achse.
$\blacktriangleright$   Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte von $\boldsymbol{K_f}$ angeben
$\boldsymbol{K_f}$ auf Extrempunkte untersuchen
Die Extrempunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden: Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben und anhand des Schaubildes vermuten, wo die Minimalstelle liegen könnte. Mithilfe des CALCULATE–Menüs und durch die Eingabe der Grenzen $-3$ und $3$ für den Suchbereich erhältst du durch die Tastenfolge
CALC $\to$ 3: $\to$ minimum $\to -3 \to 3 \to$ ENTER CALC $\to$ 3: $\to$ minimum $\to -3 \to 3 \to$ ENTER
den Tiefpunkt bzw. durch
CALC $\to$ 4: maximum $\to -3 \to 3 \to$ ENTER CALC $\to$ 4: maximum $\to -3 \to 3 \to$ ENTER
den Hochpunkt ausgegeben.
Aufgabe 1
Abb. 3: Berechnung des Hochpunktes
Aufgabe 1
Abb. 3: Berechnung des Hochpunktes
Die Koordinaten der Extrempunkte sind $ H(0 \mid 4), \, T(2 \mid 0) $ und wegen der Symmetrie zur $y$–Achse auch $ T(-2 \mid 0).$
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Das Schaubild $K_f$ soll auf Hoch- und Tiefpunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f$ auf Extremstellen untersuchen. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Verwende für die Nullstellenberechnung den Satz vom Nullprodukt: Er besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt, gilt $\boldsymbol{f''(x_0) > 0}$, so liegt ein Tiefpunkt vor.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{align*} f'(x) &= \dfrac{1}{4} \cdot 4 \cdot x^3 - 2 \cdot 2 \cdot x^1 + 0 = x^3 - 4x \\[5pt] f''(x) &= 3 \cdot x^2 - 4 \cdot 1 = 3x^2 - 4 \end{align*}
$ \begin{align*} f'(x) &= x^3 - 4x \\[5pt] f''(x) &= 3x^2 - 4 \end{align*} $
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Extremstelle muss die erste Bedingung $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$ erfüllt sein.
\begin{array}{rcll} f'(x) &=& 0 \\ x^3 - 4x &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Ausklammern} \\[5pt] x \cdot (x^2 - 4) &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] x^2 - 4 &=& 0 & \mid \; \scriptsize + 4 \\[5pt] x^2 &=& 4 & \mid \; \scriptsize \sqrt{\;} \\[5pt] x &=& \pm 2 \end{array}
$ \begin{array}{rcll} f'(x) &=& 0 \\ x &=& \pm 2 \end{array} $
Die Anwendung des Satzes vom Nullprodukt zeigt dir, dass $x_1=0$ (1. Faktor) eine Lösung der Gleichung ist, während das Nullsetzen zweiten Faktors $x^2 - 4$ und die folgenden Umformungen auf die zwei weiteren Nullstellen führen.
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=0}$ und $\boldsymbol{x_2=-2}$ und $\boldsymbol{x_3=2}$ sind mögliche Extremstellen. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Extremstellen sind und von welcher Art diese sind, kannst du die zweite Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Extremstelle tatsächlich Extremstelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1=0$ und $x_2=-2$ sowie $x_3=2$ in den Term der zweiten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Extrempunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
Wegen $ f''(0) = 3 \cdot 0^2 - 4 = -4 < 0 $ liegt in $x_1=0$ eine Maximalstelle vor. Das Einsetzen in den Funktionsterm von $f$ liefert die vollständigen Koordinaten des Hochpunktes: \[ f(0) = \dfrac{1}{4} \cdot 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 4 = 4 \] Der Hochpunkt hat somit die Koordinaten $ H(0 \mid 4).$ Die Berechnung für die zwei weiteren möglichen Extremstellen ergibt
\[ f''(\pm 2) = 3 \cdot (\pm 2)^2 - 4 = 3 \cdot 4 - 4 = 8 > 0 \]
$ f''(\pm 2) = 8 > 0 $
Also liegen in $x_2=-2$ sowie $x_3=2$ Minimalstellen vor. Wegen
\[ f(\pm 2) = \dfrac{1}{4} \cdot (\pm 2)^4 - 2 \cdot (\pm 2)^2 + 4 = \dfrac{1}{4} \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 4 = 0 \]
$ f(\pm 2) = 0 $
haben die Tiefpunkte die Koordinaten $ T_1(-2 \mid 0) $ und $ T_2(2 \mid 0). $
Die Koordinaten aller Extrempunkte von $K_f$ sind $ H(0 \mid 4), \, T_1(-2 \mid 0) $ und $ T_2(2 \mid 0). $
$K_f$ auf Wendepunkte untersuchen
Auch Wendepunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f'$ eingeben. Bestimme mit dem CALCULATE–Menü wie oben alle Extremstellen der Ableitungsfunktion, denn jede Extremstelle von $K_{f'}$ ist eine Wendestelle von $K_f.$
Aufgabe 1
Abb. 5: Berechnung der 2. Wendestelle
Aufgabe 1
Abb. 5: Berechnung der 2. Wendestelle
Die Stellen $\boldsymbol{x_1\approx-1,15}$ und $\boldsymbol{x_2 \approx 1,15}$ sind die Extremstellen von $K_{f'}$. Um alle Wendepunkte von $K_f$ anzugeben, lässt du dir die jeweils zugehörigen Funktionswerte z. B. im Table–Menü ausgeben.
Aufgabe 1
Abb. 6: Koordinaten des zweiten Wendepunktes
Aufgabe 1
Abb. 6: Koordinaten des zweiten Wendepunktes
Die Koordinaten der Wendepunkte sind $ W_1(-1,15 \mid 1,79) $ und $ W_2(1,15 \mid 1,79). $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Das Schaubild soll auf Wendepunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f'$ auf Extremstellen untersuchen. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
1. Schritt: 3. Ableitung der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{align*} f'''(x) &= 3 \cdot 2 \cdot x^1 - 0 = 6x \end{align*}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Wendestelle muss die notwendige Bedingung $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$ erfüllt sein.
\begin{array}{rcll} f''(x) &=& 0 \\ 3x^2 - 4 &=& 0 & \mid \; \scriptsize + 4 \\[5pt] 3x^2 &=& 4 & \mid \; \scriptsize : 3 \\[5pt] x^2 &=& \dfrac{4}{3} & \mid \; \scriptsize \sqrt{\;} \\[5pt] x &=& \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{array}
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=-\sqrt{\frac{4}{3}}}$ und $\boldsymbol{x_2=\sqrt{\frac{4}{3}}}$ sind mögliche Wendestellen. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Wendestellen sind, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Wendestelle tatsächlich Wendestelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1=-\sqrt{\frac{4}{3}}$ und $x_2=\sqrt{\frac{4}{3}}$ in den Term der dritten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Wendepunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
\begin{align*} f'''(\pm \sqrt{\frac{4}{3}}) &= 6 \cdot \left( \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \right) \neq 0 \\[5pt] f(\sqrt{\frac{4}{3}}) &= \dfrac{1}{4} \cdot \left( \sqrt{\frac{4}{3}} \right)^4 - 2 \cdot \left( \sqrt{\frac{4}{3}} \right)^2 + 4 \\[5pt] &= \dfrac{1}{4} \cdot \frac{16}{9} - 2 \cdot \frac{4}{3} + 4 \\[5pt] &= \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 4 \\[5pt] &= \frac{16}{9} \end{align*}
\begin{align*} f'''(\pm \sqrt{\frac{4}{3}}) &= 6 \cdot \left( \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \right) \neq 0 \\[5pt] f(\sqrt{\frac{4}{3}}) &= \frac{16}{9} \end{align*} $
Die Koordinaten der Wendepunkte von $K_f$ sind $ W_1 \left( -\sqrt{\frac{4}{3}} \mid \frac{16}{9} \right) $ und $ W_2 \left( \sqrt{\frac{4}{3}} \mid \frac{16}{9} \right) $ bzw. $ W_1(-1,15 \mid 1,79) $ und $ W_2(1,15 \mid 1,79). $

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$   Gleichung der Tangente $\boldsymbol{t}$ an $\boldsymbol{K_f}$ im Punkt $\boldsymbol{P(1 \mid f(1))}$ ermitteln
Du kannst die Tangente im Punkt $P(1 \mid f(1))$ des Schaubildes mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermitteln:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü hast du schon den Funktionsterm von $f$ eingeben. Lass dir das Schaubild und die Tangente anzeigen und die Tangentengleichung ausgeben.
Gib dazu die Tastenfolge
Draw $\to$ 5: Tangent $\to$ Eingabe 1 $\to$ ENTER Draw $\to$ 5: Tangent $\to$ Eingabe 1 $\to$ ENTER
ein.
Aufgabe 1
Abb. 7: Berechnung der Tangentengleichung
Aufgabe 1
Abb. 7: Berechnung der Tangentengleichung
Ergebnis: $t: y = -3x + 5,25$
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Du sollst die Gleichung der Tangente im Punkt $(1 \mid f(1)) $ des Schaubildes $K_f$ berechnen. Hierfür benötigst du die Formel für die Gleichung der Tangenten in einem Punkt $(x_0 \mid f(x_0)) $ des Schaubildes einer Funktion $f:$
$ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0). $ $ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0). $
In dieser Aufgabe ist $x_0 =1,$ d. h. du musst noch die Werte $ f(1)$ und $f'(1)$ berechnen und sie anschließend in die Formel einsetzen. Löse abschließend die Klammern auf, um die Tangentengleichung in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten.
\begin{align*} f(1) &= \dfrac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 4 = \dfrac{1}{4} - 2 + 4 = \dfrac{9}{4} \\[5pt] f'(1) &= 1^3 - 4 \cdot 1 = -3 \\[5pt] t(x) &= f'(1) \cdot (x - 1) + f(1) \\[5pt] &= -3 \cdot (x - 1) + \dfrac{9}{4} \\[5pt] &= -3x + 3 + \dfrac{9}{4} \\[5pt] &= -3x + \dfrac{21}{4} \end{align*}
$ \begin{align*} f(1) &= -3x + \dfrac{21}{4} \end{align*} $
Die Gleichung der Tangente $t$ an $K_f$ im Punkt $P \left( 1 \mid \frac{9}{4} \right) $ ist $t: y = -3x + \frac{21}{4} = -3x + 5,25$.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{t}$ zeichnen
Wie jede Gerade ist auch die Tangente durch zwei Punkte festgelegt. Den Punkt $P \left( 1 \mid \frac{9}{4} \right)$ hast du berechnet oder liest du im GTR im Table-Menü ab. Den zweiten Punkt $ \left( 0 \mid \frac{21}{4} \right)$ entnimmst du der Tangentengleichung, so dass du die beiden Punkte in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 1.1 einzeichnen und verbinden kannst.
Aufgabe 1
Abb. 8: Tangente mit Fläche
Aufgabe 1
Abb. 8: Tangente mit Fläche
$\blacktriangleright$   Fläche markieren, die von der Tangente $\boldsymbol{t,}$ der $\boldsymbol{y}$–Achse und $\boldsymbol{K_f}$ eingeschlossen wird
Die Fläche ist in der obigen Zeichnung bereits markiert.
$\blacktriangleright$   Flächeninhalt berechnen
Deine Aufgabe ist es, den Flächeninhalt der markierten Fläche zu berechnen. Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte zwischen zwei Schaubildern
$ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion}$ - $\text{untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $ $ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion}$ - $\text{untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind und welche Funktion die obere und welche die untere ist. Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass $ a = 0 $ ist und $b = 1$ die Schnittstelle der Schaubilder $K_t$ und $K_f$. Außerdem erkennst du, dass das Schaubild der Tangente oberhalb des Schaubildes der Funktion $f$ liegt.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Du sollst also den Flächeninhalts $A = \mathop {\int}\limits_{0}^1 (t(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x$ berechnen. Im Graph–Menü hast du bereits bei Y1 den Funktionsterm von $f$ eingegeben. Trage bei Y2 die Gleichung der Tangente ein. Beide Schaubildern werden ausgeblendet, sollen also nicht gezeichnet werden (Select). Durch Eingabe bei Y3: Y2–Y1 wird die Differenz der beiden Funktion $t$ und $f$ ausgedrückt. Zeichne das Schaubild und ermittle den Flächeninhalt zwischen dem Schaubild und der $x$–Achse in den Grenzen $0$ und $1.$ Gib die Tastenfolge
CALC $\to$ 7: $ \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe 0 $\to$ Eingabe 1 $\to$ ENTER CALC $\to$ 7: $ \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe 0 $\to$ Eingabe 1 $\to$ ENTER
ein.
Aufgabe 1
Abb. 9: Berechnung des Flächeninhalts
Aufgabe 1
Abb. 9: Berechnung des Flächeninhalts
Ergebnis: $ A = \mathop {\int}\limits_{0}^1 (t(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x = \frac{11}{30} $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Du kannst den Flächeninhalts $A = \mathop {\int}\limits_{0}^1 (t(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x$ auch schriftlich mithilfe einer Stammfunktion berechnen. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $ $ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $
Durch die Betrachtung der Differenzfunktion $ d(x) = t(x) - f(x) $ lässt sich der Aufwand für die Berechnung vermindern, weil Terme zusammengefasst werden können:
\begin{align*} d(x) & = t(x) - f(x) \\ &= \left( -3x + \dfrac{21}{4} \right) - \left( \dfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4 \right) \\ &= -3x + \dfrac{21}{4} - \dfrac{1}{4}x^4 + 2x^2 - 4 \\ &= -\dfrac{1}{4}x^4 + 2x^2 - 3x + \dfrac{5}{4} \\[5pt] D(x) &= -\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot x^5 + 2 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot x^3 - 3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^2 + \dfrac{5}{4}x \\ &= -\dfrac{1}{20}x^5 + \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 + \dfrac{5}{4}x \\[5pt] D(1) &= -\dfrac{1}{20} \cdot 1^5 + \dfrac{2}{3} \cdot 1^3 - \dfrac{3}{2} \cdot 1^2 + \dfrac{5}{4} \cdot 1 \\ &= -\dfrac{1}{20} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{4} \\[5pt] &= \dfrac{11}{30} \\[5pt] D(0) &= -\dfrac{1}{20} \cdot 0^5 + \dfrac{2}{3} \cdot 0^3 - \dfrac{3}{2} \cdot 0^2 + \dfrac{5}{4} \cdot 0 \\ &= 0 \end{align*}
\begin{align*} d(x) & = t(x) - f(x) \\ &= -\dfrac{1}{4}x^4 + 2x^2 - 3x + \dfrac{5}{4} \\[5pt] D(x) &= -\dfrac{1}{20}x^5 + \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 + \dfrac{5}{4}x \\[5pt] D(1) &= \dfrac{11}{30} \\[5pt] D(0) &= 0 \end{align*}
\begin{align*} d(x) & = t(x) - f(x) \\
D(x) &= -\dfrac{1}{20}x^5 + \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 + \dfrac{5}{4}x \\[5pt]
D(1) &= \dfrac{11}{30} \\[5pt]
D(0) &= 0 \end{align*}
Somit ergibt sich für den Flächeninhalt:
\[ A = \mathop {\int}\limits_{0}^1 (t(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x = \mathop {\int}\limits_{0}^1 d(x) \, \mathrm{d}x = \left[ D(x) \right]_0^1 = D(1) - D(0) = \dfrac{11}{30} \]
$ A = \dfrac{11}{30} $
Der Inhalt $A$ der Fläche, die $t,$ die $y$–Achse und $K_f$ im 1. Quadranten einschließen, beträgt $ A = \frac{11}{30} .$

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$   Rechteck $\boldsymbol{ABCD}$ mit maximalen Umfang berechnen
Deine Aufgabe ist es, ein zur $y$–Achse symmetrisches Rechteck mit den gegebenen Eckpunkten $B(u \mid f(u))$ und $D(-u \mid 0)$ für $ 0 \leq u \leq 2 $ zu finden, das den größten Umfang besitzt.
1. Schritt:
Um eine Vorstellung von solch einem Rechteck zu erhalten, fertige dir zunächst eine Skizze des Schaubildes $K_f$ an und wähle als festen Wert für $u$ z. B. $u=1.$ Zeichne die Punkte $B(1 \mid f(1))$ und $D(-1 \mid 0)$ ein und vervollständige das Rechteck. Schreibe dir die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte $A$ und $C$ auf. Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe aller Seitenlängen. Berechne den Umfang dieses speziellen Rechteckes.
Aufgabe 1
Abb. 10: Skizze mit Rechtecksfläche
Aufgabe 1
Abb. 10: Skizze mit Rechtecksfläche
Wegen $ f(1) = \frac{9}{4} $ sind die Koordinaten der fehlenden Punkte $C \left( -1 \mid \frac{9}{4} \right)$ und $A(1 \mid 0)$ und sein Umfang ist
\[ U = \overline{AB} + \overline{CB} + \overline{DC} + \overline{DA} = 2 \cdot \overline{AB} + 2 \cdot \overline{AD} = 2 \cdot 2 + 2 \cdot f(1) = 4 + \dfrac{9}{2} = \dfrac{17}{2} = 8,5. \]
U = 8,5
2. Schritt:
Bestimme die Koordinaten der fehlenden Punkte $A$ und $C$ in Abhängigkeit von $u$ und berechne anschließend den Umfang in Abhängigkeit von $u.$ Verwende dabei die folgenden Formeln:
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $x$–Achse verläuft mit $x_G < x_H$ ($G$ liegt links von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $ Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $y$–Achse verläuft mit $y_G < y_H$ ($G$ liegt unterhalb von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $ Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $
Die Koordinaten der Punkte des Rechtecks $ABCD$ sind $ A(u \mid 0), \, B(u \mid f(u)), \, C(-u \mid f(-u)) $ und $ D(-u \mid 0). $ Für die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ gilt:
$ \overline{CB(u)} = \overline{DA(u)} = x_A - x_D = u - (-u) = 2u $
$ \overline{CB(u)} = 2u $
$ \overline{AB(u)} = \overline{DC(u)} = y_B - y_A = f(u) - 0 = f(u)$
$ \overline{AB(u)} = f(u)$
Der Umfang $ U(u) $ in Abhängigkeit von $u$ ist folglich
\begin{align*} U(u) &= \overline{AB(u)} + \overline{CB(u)} + \overline{DC(u)} + \overline{DA(u)} \\[5pt] &= 2 \cdot \overline{CB(u)} + 2 \cdot \overline{AB(u)} \\[5pt] &= 4 \cdot u + 2 \cdot f(u) \\ &= 4u + 2 \cdot (\dfrac{1}{4}u^4 - 2u^2 + 4) \\ &= 4u + \dfrac{1}{2}u^4 - 4u^2 + 8 \\ &= \dfrac{1}{2}u^4 - 4u^2 + 4u + 8. \end{align*}
\begin{align*} U(u) &= \dfrac{1}{2}u^4 - 4u^2 + 4u + 8. \end{align*}
Um das Rechteck mit dem maximalen Umfang zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Möglichkeit:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Verwende die Maximierungs–Funktion: Sie wird durch die Tastenfolge
MATH 7: fmax(Funktionsterm,Variable,Untergrenze, Obergrenze) MATH 7: fmax(Funktionsterm,Variable,Untergrenze, Obergrenze)
aufrufen kannst. Sie verlangt die Eingabe der zu maxmierenden Funktion $U$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze $0$ sowie die obere Grenze $2$. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern für $u=0$ und $u=2$.
Aufruf der Funktion und Eingaben:
Aufgabe 1
Abb. 11: Aufruf der Maximum–Funktion
Aufgabe 1
Abb. 11: Aufruf der Maximum–Funktion
Auswertung der Funktion:
Aufgabe 1
Abb. 12: Auswertung
Aufgabe 1
Abb. 12: Auswertung
Der erste Wert entspricht $ u_{max} \approx 0,54. $ Der zweite Wert gibt den gesuchten maximalen Umfang an; er beträgt $9,04$ Längeneinheiten.
2. Möglichkeit:
Für die Zielfunktion $U$ mit $ U(u) = 2u + 2f(u) $ und $ 0 \leq u \leq 2 $ werden die Extrempunkte bestimmt.
\begin{align*} U(u) &= \dfrac{1}{2}u^4 - 4u^2 + 4u + 8 \\[5pt] U'(u) &= \dfrac{1}{2} \cdot 4u^3 - 4 \cdot 2u^1 + 4 \cdot 1 + 0 \\ &= 2u^3 - 8u + 2 \end{align*}
Weil du die Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion von $U$ nicht mit den dir bekannten Methoden bestimmen kannst, hilft auch hier der GTR weiter.
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018; die Nullstellen der Ableitungsfunktion sind dann schritflich berechenbar.
Das Maximum kannst du im Graph-Menü bestimmen, indem du dir den Hochpunkt im Bereich $ 0 \leq u \leq 2 $ ausgeben lässt. Für die Randwerte $ u = 0 $ und $ u = 2$ entsteht kein Rechteck. Außerdem gilt $ U(0) = U(2) = 8 < 9,04 $ und $ u_{max} \approx 0,54 $ ist die einzige Maxmialstelle. $ U(u_{max}) \approx 9,04 $ ist der maximale Wert im Intervall $ [0;2].$
Der maximale Umfang des Rechtecks $ABCD$ für $ u_{max} \approx 0,54 $ beträgt $9,04$ Längeneinheiten.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$   Bestand zu Beginn der Beobachtung bestimmen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass der Kaninchenbestand im Gehege modellhaft durch die Funktion $k$ beschrieben werden kann:
$ {k(t) = 1000 \cdot \left( 1 - 0,85 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \right)}$${ \, \, \text{für} \, \, t \geq 0} $
Die Zeit $t$ wird in Monaten gemessen und $k(t)$ gibt den Bestand der Kaninchen zum Zeitpunkt $t$ an. Wenn du bestimmen willst, wie groß der Bestand zu Beginn der Beobachtung ist, so ist $t=0$ der richtige Zeitpunkt. Berechne nun $k(0),$ um den Anfangsbestand zu ermitteln.
\[ k(0) = 1000 \cdot \left( 1 - 0,85 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot 0} \right) = 1000 \cdot (1 - 0,85 \cdot 1) = 1000 \cdot (1 - 0,85) = 1000 \cdot 0,15 = 150 \]
$ k(0) = 150 $
Der Bestand zu Beginn beträgt 150 Kaninchen.
$\blacktriangleright$   Mithilfe des Funktionsterms begründen, dass der Bestand nicht beliebig groß werden kann
Hier ist eine Begründung verlangt, warum der Bestand nicht beliebig groß werden kann. Dazu sollst du dir den Funktionsterm genauer anschauen.
Vereinfache den Term, indem du die Klammer ausmultiplizierst und dir anschließend den Minuend (1. Teil der Differenz) und den Subtrahend (2. Teil der Differenz) betrachtest. Versuche eine Aussage darüber zu machen, welches Vorzeichen der Subtrahend stets hat und wie sich seine Werte entwickeln, wenn $t$ beliebig groß wird ($ t \to +\infty).$
Wegen
\[ k(t) = 1000 \cdot \left( 1 - 0,85 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \right) = 1000 - \underbrace{850 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t}}_{\longrightarrow \, 0 \, \text{für} \, t \to +\infty} \]
$ k(t) = 1000 - \underbrace{850 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t}}_{\longrightarrow \, 0 \, \text{für} \, t \to +\infty}$
ist $ y = 1000 $ eine waagerechte Asymptote an das Schaubild der Funktion $ k. $
Langfristig wird ein Bestand von 1000 Kaninchen nicht überschritten.
$\blacktriangleright$   Zeitpunkt ermitteln, an dem der Bestand 250 erreicht
Wenn du den Zeitpunkt bestimmen willst, zu dem der Bestand 250 Kaninchen beträgt, muss du eine Lösung $t$ der Gleichung $k(t)=250$ suchen.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Im Graph-Menü lässt sich sowohl die Bestandsfunktion $k(t)$ (linke Seite der Gleichung) als auch die Funktion $y = 250$ (rechte Seite der Gleichung) darstellen. Du findest eine Lösung der Gleichung, wenn die beiden Graphen sich schneiden. Achte darauf, das Berachtungsfenster geeignet einzustellen. Einen Schnittpunkt findest du im Graph-Menü durch den Befehl
CALC $\to$ 5: intersect $\to$ ENTER CALC $\to$ 5: intersect $\to$ ENTER
und Bestätigung der Auswahl der Schaubilder.
Eingabe der Funktionsterme im Graph-Menü:
Aufgabe 1
Abb. 13: Eingabe der Funktionsterme
Aufgabe 1
Abb. 13: Eingabe der Funktionsterme
Beispiel für die Einstellung des Betrachtungsfensters:
Aufgabe 1
Abb. 14: Eingabe des Betrachtungsfensters
Aufgabe 1
Abb. 14: Eingabe des Betrachtungsfensters
Zeichnen der Schaubilder mit Berechnung des Schnittpunktes:
Aufgabe 1
Abb. 15: Ausgabe des Schnittpunktes
Aufgabe 1
Abb. 15: Ausgabe des Schnittpunktes
div>2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Du löst die Gleichung $k(t)=250$ schriftlich nach $t$ auf. Forme die Gleichung soweit um, dass der Exponentialterm allein für sich auf einer Seite der Gleichung steht. Wende dann die Logarithmusfunktion auf beiden Seiten der Gleichung an, um nach $t$ auflösen zu können.
\begin{array}{rcll} k(t) &=& 250 \\[5pt] 1000 \cdot \left( 1 - 0,85 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \right) &=& 250 & \mid \; \scriptsize : 1000 \\[5pt] 1 - 0,85 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} &=& \dfrac{1}{4} & \mid \; \scriptsize - 1 \\[5pt] - 0,85 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} &=& -\dfrac{3}{4} & \mid \; \scriptsize : (-0,85) \\[5pt] \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} &=& \dfrac{15}{17} & \mid \; \scriptsize \ln() \\[5pt] \ln \left( \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \right) &=& \ln \left( \dfrac{15}{17} \right) \\[5pt] -0,0513 \cdot t &=& \ln \left( \dfrac{15}{17} \right) & \mid \; \scriptsize : (-0,0513) \\[5pt] t &\approx& 2,44 \end{array}
\begin{array}{rcll} k(t) &=& 250 \\[5pt] t &\approx& 2,44 \end{array}
Nach etwa 2,44 Monaten erreicht der Bestand 250 Kaninchen.

Aufgabe 1.5

$\blacktriangleright$   Momentane Änderungsrate bestimmen
Die momentane Änderungsrate einer Funktion ist die erste Ableitungsfunktion. Willst du die momentane Änderungsrate der Funktion $k$ in Abhängigkeit von $t$ bestimmen, so solltest du $k'(t)$ berechnen. Dazu benötigst du die Formel
$ (\mathrm{e}^{a \cdot t})' = a \cdot \mathrm{e}^{a \cdot t}.$ $ (\mathrm{e}^{a \cdot t})' = a \cdot \mathrm{e}^{a \cdot t}.$
\begin{array}{rcl} k'(t) &=& \left( 1000 - 850 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \right)' \\ &=& 0 - 850 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \cdot (-0,0513 \cdot 1) \\ &=& 43,605 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \end{array}
\begin{array}{rcl} k'(t) &=& 43,605 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \end{array}
Die momentane Änderungsrate ist die Funktion $ k'(t) = 43,605 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t}.$
$\blacktriangleright$   Zeitpunkt mit der größten momentanen Änderungsrate bestimmen
Die momentane Änderungsrate hast du schon berechnet. Um ihren größten Wert zu ermitteln, ist es nun deine Aufgabe, das Schaubild von $k'$ zu untersuchen. Wie in Teilaufgabe 1.1 ist dazu notwendig, die Ableitungsfunktion von $k'$ zu berechnen. Verwende für die Berechnung von $k''(t)$ wieder die vorherige Formel.
Indem du das Vorzeichen von $k''(t)$ bestimmst, kannst du eine Aussage darüber machen, welches Monotonieverhalten das Schaubild $k'$ besitzt: Wenn es streng monoton fallend ist, ist $ t=0 $ der gesuchte Zeitpunkt mit der größten momentanen Änderungsrate und $k'(0)$ ihr größter Wert.
Wegen \begin{align*} k''(t) &= 43,605 \cdot (-0,0513) \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \\[5pt] &= -2,2369365 \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t}}_{> 0} < 0 \qquad \end{align*} \begin{align*}\text{für jedes $t$} \end{align*}
ist das Schaubild von $ k'$ streng monoton fallend. Der maximale Wert von $k'(t)$ wird folglich an der Stelle $ t = 0 $ angenommen:
\[ k'(0) = 43,605 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot 0} = 43,605 \cdot \mathrm{e}^{0} = 43,605 \cdot 1 = 43,605. \]
$ k'(0) = 43,605 $
Zum Beobachtungszeitpunkt $ t = 0 $ ist die momentane Änderungsrate am größten.
$\blacktriangleright$   Durchschnittliche Änderungsrate in den ersten fünf Monaten berechnen
Die duchschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$ in einem Intervall $[a;b]$ ist durch die Formel
$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
festgelegt. Deine Aufgabe ist es, die durchschnittliche Änderungsrate der Bestandsfunktion $k$ in den ersten fünf Monaten, d. h. im Zeitintervall [0;5] zu berechnen. Setze also $a=0$ und $b=5$ in die Formel ein und berechne den Wert des Bruches.
\begin{align*} m_s &= \dfrac{k(5) - k(0)}{5 - 0} = \dfrac{1000 - 850 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot 5} - 150}{5} = \dfrac{850 - 850 \cdot \mathrm{e}^{-0,2565}}{5} \approx 38 \end{align*}
\begin{align*} m_s &= \dfrac{850 - 850 \cdot \mathrm{e}^{-0,2565}}{5} \approx 38 \end{align*}
Der Bestand ändert sich in den ersten fünf Monaten durchschnittlich um etwa 38 Kaninchen pro Monat.
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -3 \leq x \leq 3 $ und $ -1 \leq y \leq 6 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
Aufgabe 1
Abb. 1: Schaubild der Funktion $f$
Aufgabe 1
Abb. 1: Schaubild der Funktion $f$
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ auf Symmetrie untersuchen
Die Aufgabe verlangt von dir, das Schaubild daraufhin zu untersuchen, ob es achsensymmetrisch zur $y$–Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung ist oder keine dieser beiden Symmetriearten aufweist. Du kannst folgendermaßen argumentieren:
1. Möglichkeit:
Die in dem Funktionsterm $f(x)$ ausschließlich vorkommenden Exponenten (Hochzahlen) geben Auskunft über die Symmetrieart. Stelle eine Aussage über den Funktionsterm auf und beachte dabei, dass $ 4 = 4 \cdot x^0$ ist. Wenn ausschließlich gerade/ungerade Exponenten auftreten, ist das Schaubild achsensymmetrisch zur $y$–Achse/punktsymmetrisch zum Ursprung. Andernfalls liegt keine dieser Sysmmetriearten vor.
Der Funktionsterm $f(x)$ enthält ausschließlich gerade Exponenten (Hochzahlen), so dass $K_f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
2. Möglichkeit:
$K_f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn
$ f(-x) = f(x) $ $ f(-x) = f(x) $
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ gilt.
$K_f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn
$ f(-x) = -f(x) $ $ f(-x) = -f(x) $
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ gilt.
Vereinfache nun den Term $ f(-x).$
\[ f(-x) = \dfrac{1}{4} \cdot (-x)^4 - 2 \cdot (-x)^2 + 4 = \dfrac{1}{4} \cdot x^4 - 2 \cdot x^2 + 4 = f(x) \]
$ f(-x) = f(x) $
Das Schaubild $K_f$ ist achsensysmmetrisch zur $y$–Achse.
$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte von $\boldsymbol{K_f}$ angeben
$\boldsymbol{K_f}$ auf Extrempunkte untersuchen
Die Extrempunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben, dir das Schaubild anzeigen und dir mit
G–SOLV–MAX bzw. G–SOLV–MIN G–SOLV–MAX bzw. G–SOLV–MIN
die Extrempunkte ausgeben lassen.
Aufgabe 1
Abb. 2: Berechnung des Hochpunktes
Aufgabe 1
Abb. 2: Berechnung des Hochpunktes
Die Koordinaten der Extrempunkte sind $ H(0 \mid 4), \, T(2 \mid 0) $ und wegen der Symmetrie zur $y$–Achse auch $ T(-2 \mid 0).$
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Das Schaubild $K_f$ soll auf Hoch- und Tiefpunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f$ auf Extremstellen untersuchen. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Verwende für die Nullstellenberechnung den Satz vom Nullprodukt: Er besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt, gilt $\boldsymbol{f''(x_0) > 0}$, so liegt ein Tiefpunkt vor.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{align*} f'(x) &= \dfrac{1}{4} \cdot 4 \cdot x^3 - 2 \cdot 2 \cdot x^1 + 0 = x^3 - 4x \\[5pt] f''(x) &= 3 \cdot x^2 - 4 \cdot 1 = 3x^2 - 4 \end{align*}
$ \begin{align*} f'(x) &= 3x^2 - 4 \end{align*} $
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Extremstelle muss die erste Bedingung $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$ erfüllt sein.
\begin{array}{rcll} f'(x) &=& 0 \\ x^3 - 4x &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Ausklammern} \\[5pt] x \cdot (x^2 - 4) &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] x^2 - 4 &=& 0 & \mid \; \scriptsize + 4 \\[5pt] x^2 &=& 4 & \mid \; \scriptsize \sqrt{\;} \\[5pt] x &=& \pm 2 \end{array}
$ \begin{array}{rcll} f'(x) &=& 0 \\ x &=& \pm 2 \end{array} $
Die Anwendung des Satzes vom Nullprodukt zeigt dir, dass $x_1=0$ (1. Faktor) eine Lösung der Gleichung ist, während das Nullsetzen zweiten Faktors $x^2 - 4$ und die folgenden Umformungen auf die zwei weiteren Nullstellen führen.
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=0}$ und $\boldsymbol{x_2=-2}$ und $\boldsymbol{x_3=2}$ sind mögliche Extremstellen. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Extremstellen sind und von welcher Art diese sind, kannst du die zweite Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Extremstelle tatsächlich Extremstelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1=0$ und $x_2=-2$ sowie $x_3=2$ in den Term der zweiten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Extrempunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
Wegen $ f''(0) = 3 \cdot 0^2 - 4 = -4 < 0 $ liegt in $x_1=0$ eine Maximalstelle vor. Das Einsetzen in den Funktionsterm von $f$ liefert die vollständigen Koordinaten des Hochpunktes: \[ f(0) = \dfrac{1}{4} \cdot 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 4 = 4 \] Der Hochpunkt hat somit die Koordinaten $ H(0 \mid 4).$
Die Berechnung für die zwei weiteren möglichen Extremstellen ergibt
\[ f''(\pm 2) = 3 \cdot (\pm 2)^2 - 4 = 3 \cdot 4 - 4 = 8 > 0 \]
$ f''(\pm 2) = 8 > 0 $
Also liegen in $x_2=-2$ sowie $x_3=2$ Minimalstellen vor. Wegen
\[ f(\pm 2) = \dfrac{1}{4} \cdot (\pm 2)^4 - 2 \cdot (\pm 2)^2 + 4 = \dfrac{1}{4} \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 4 = 0 \]
$ f(\pm 2) = \dfrac{1}{4} \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 4 = 0 $
haben die Tiefpunkte die Koordinaten $ T_1(-2 \mid 0) $ und $ T_2(2 \mid 0). $
Die Koordinaten aller Extrempunkte von $K_f$ sind $ H(0 \mid 4), \, T_1(-2 \mid 0) $ und $ T_2(2 \mid 0). $
$K_f$ auf Wendepunkte untersuchen
Auch Wendepunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f'$ eingeben, ohne die Ableitung ausrechnen zu müssen. Verwende dazu die Eingabe
Y2: OPT $\to$ CALC $\to$ d/dx $\to$ Y1), Y2: OPT $\to$ CALC $\to$ d/dx $\to$ Y1),
wobei du bei Y1 den Funktionsterm von $f$ schon eingegeben hast. Das zugehörige Schaubild $K_f$ blendest du aus und lässt dir nur das Schaubild von $K_{f'}$ anzeigen. Bestimme mit dem GTR alle Extremstellen der Ableitungsfunktion, denn jede Extremstelle von $K_{f'}$ ist eine Wendestelle von $K_f.$
Aufgabe 1
Abb. 4: Berechnung der 2. Wendestelle
Aufgabe 1
Abb. 4: Berechnung der 2. Wendestelle
Die Stellen $\boldsymbol{x_1\approx-1,15}$ und $\boldsymbol{x_2 \approx 1,15}$ sind die Extremstellen von $K_{f'}$. Um alle Wendepunkte von $K_f$ anzugeben, lässt du dir die jeweils zugehörigen Funktionswerte z. B. im Table–Menü ausgeben.
Aufgabe 1
Abb. 5: Koordinaten des zweiten Wendepunktes
Aufgabe 1
Abb. 5: Koordinaten des zweiten Wendepunktes
Die Koordinaten der Wendepunkte sind $ W_1(-1,15 \mid 1,79) $ und $ W_2(1,15 \mid 1,79). $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Das Schaubild soll auf Wendepunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f'$ auf Extremstellen untersuchen. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
1. Schritt: 3. Ableitung der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{align*} f'''(x) &= 3 \cdot 2 \cdot x^1 - 0 = 6x \end{align*}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Wendestelle muss die notwendige Bedingung $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$ erfüllt sein.
\begin{array}{rcll} f''(x) &=& 0 \\ 3x^2 - 4 &=& 0 & \mid \; \scriptsize + 4 \\[5pt] 3x^2 &=& 4 & \mid \; \scriptsize : 3 \\[5pt] x^2 &=& \dfrac{4}{3} & \mid \; \scriptsize \sqrt{\;} \\[5pt] x &=& \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{array}
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=-\sqrt{\frac{4}{3}}}$ und $\boldsymbol{x_2=\sqrt{\frac{4}{3}}}$ sind mögliche Wendestellen. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Wendestellen sind, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Wendestelle tatsächlich Wendestelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1=-\sqrt{\frac{4}{3}}$ und $x_2=\sqrt{\frac{4}{3}}$ in den Term der dritten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Wendepunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
\begin{align*} f'''(\pm \sqrt{\frac{4}{3}}) &= 6 \cdot \left( \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \right) \neq 0 \\[5pt] f(\sqrt{\frac{4}{3}}) &= \dfrac{1}{4} \cdot \left( \sqrt{\frac{4}{3}} \right)^4 - 2 \cdot \left( \sqrt{\frac{4}{3}} \right)^2 + 4 \\[5pt] &= \dfrac{1}{4} \cdot \frac{16}{9} - 2 \cdot \frac{4}{3} + 4 \\[5pt] &= \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 4 \\[5pt] &= \frac{16}{9} \end{align*}
$ \begin{align*} f'''(\pm \sqrt{\frac{4}{3}}) &= \frac{16}{9} \end{align*} $
Die Koordinaten der Wendepunkte von $K_f$ sind $ W_1 \left( -\sqrt{\frac{4}{3}} \mid \frac{16}{9} \right) $ und $ W_2 \left( \sqrt{\frac{4}{3}} \mid \frac{16}{9} \right) $ bzw. $ W_1(-1,15 \mid 1,79) $ und $ W_2(1,15 \mid 1,79). $

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$   Gleichung der Tangente $\boldsymbol{t}$ an $\boldsymbol{K_f}$ im Punkt $\boldsymbol{P(1 \mid f(1))}$ ermitteln
Du kannst die Tangente im Punkt $P(1 \mid f(1))$ des Schaubildes mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermitteln:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Prüfe bei deinem GTR zunächst, ob die Funktion DERIVATE in den Systemeinstellungen aktiviert ist (Schalter auf ON). Die Systemeinstellungen rufst du mit SHIFT–MENU auf.
Aufgabe 1
Abb. 6: Automatische Ableitung aktivieren
Aufgabe 1
Abb. 6: Automatische Ableitung aktivieren
Im Graph–Menü hast du schon den Funktionsterm von $f$ eingeben. Lass dir das Schaubild und die Tangente anzeigen und die Tangentengleichung ausgeben. Gib dazu die Tastenfolge
Sketch $\to$ Tangent $\to$ Eingabe 1 $\to$ EXE $\to$ EXE Sketch $\to$ Tangent $\to$ Eingabe 1 $\to$ EXE $\to$ EXE
ein.
Aufgabe 1
Abb. 7: Berechnung der Tangentengleichung
Aufgabe 1
Abb. 7: Berechnung der Tangentengleichung
Ergebnis: $t: y = -3x + 5,25$
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Du sollst die Gleichung der Tangente im Punkt $(1 \mid f(1)) $ des Schaubildes $K_f$ berechnen. Hierfür benötigst du die Formel für die Gleichung der Tangenten in einem Punkt $(x_0 \mid f(x_0)) $ des Schaubildes einer Funktion $f:$
$ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0). $ $ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0). $
In dieser Aufgabe ist $x_0 =1,$ d. h. du musst noch die Werte $ f(1)$ und $f'(1)$ berechnen und sie anschließend in die Formel einsetzen. Löse abschließend die Klammern auf, um die Tangentengleichung in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten.
\begin{align*} f(1) &= \dfrac{1}{4} \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 4 = \dfrac{1}{4} - 2 + 4 = \dfrac{9}{4} \\[5pt] f'(1) &= 1^3 - 4 \cdot 1 = -3 \\[5pt] t(x) &= f'(1) \cdot (x - 1) + f(1) \\[5pt] &= -3 \cdot (x - 1) + \dfrac{9}{4} \\[5pt] &= -3x + 3 + \dfrac{9}{4} \\[5pt] &= -3x + \dfrac{21}{4} \end{align*}
$ \begin{align*} f(1) &= -3x + \dfrac{21}{4} \end{align*} $
Die Gleichung der Tangente $t$ an $K_f$ im Punkt $P \left( 1 \mid \frac{9}{4} \right) $ ist $t: y = -3x + \frac{21}{4} = -3x + 5,25$.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{t}$ zeichnen
Wie jede Gerade ist auch die Tangente durch zwei Punkte festgelegt. Den Punkt $P \left( 1 \mid \frac{9}{4} \right)$ hast du berechnet oder liest du im GTR im Table-Menü ab. Den zweiten Punkt $ \left( 0 \mid \frac{21}{4} \right)$ entnimmst du der Tangentengleichung, so dass du die beiden Punkte in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 1.1 einzeichnen und verbinden kannst.
Aufgabe 1
Abb. 8: Tangente mit Fläche
Aufgabe 1
Abb. 8: Tangente mit Fläche
$\blacktriangleright$   Fläche markieren, die von der Tangente $\boldsymbol{t,}$ der $\boldsymbol{y}$--Achse und $\boldsymbol{K_f}$ eingeschlossen wird
Die Fläche ist in der obigen Zeichnung bereits markiert.
$\blacktriangleright$   Flächeninhalt berechnen
Deine Aufgabe ist es, den Flächeninhalt der markierten Fläche zu berechnen. Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte zwischen zwei Schaubildern
$ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion}$ - $\text{untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $ $ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion}$ - $\text{untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind und welche Funktion die obere und welche die untere ist. Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass $ a = 0 $ ist und $b = 1$ die Schnittstelle der Schaubilder $K_t$ und $K_f$. Außerdem erkennst du, dass das Schaubild der Tangente oberhalb des Schaubildes der Funktion $f$ liegt.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Du sollst also den Flächeninhalts $A = \mathop {\int}\limits_{0}^1 (t(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x$ berechnen. Im Graph–Menü hast du bereits bei Y1 den Funktionsterm von $f$ eingegeben. Trage bei Y2 die Gleichung der Tangente ein. Beide Schaubildern werden ausgeblendet, sollen also nicht gezeichnet werden (Select). Durch Eingabe bei Y3: Y2–Y1 wird die Differenz der beiden Funktion $t$ und $f$ ausgedrückt. Zeichne das Schaubild und ermittle den Flächeninhalt zwischen dem Schaubild und der $x$–Achse in den Grenzen $0$ und $1.$ Gib die Tastenfolge
G–SOLV $\to$ F6 $\to \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe 0 $\to$ Eingabe 1 $\to$ EXE
Aufgabe 1
Abb. 9: Berechnung des Flächeninhalts
Aufgabe 1
Abb. 9: Berechnung des Flächeninhalts
Ergebnis: $ A = \mathop {\int}\limits_{0}^1 (t(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x = \frac{11}{30} $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Du kannst den Flächeninhalts $A = \mathop {\int}\limits_{0}^1 (t(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x$ auch schriftlich mithilfe einer Stammfunktion berechnen. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $ $ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $
Durch die Betrachtung der Differenzfunktion $ d(x) = t(x) - f(x) $ lässt sich der Aufwand für die Berechnung vermindern, weil Terme zusammengefasst werden können:
\begin{align*} d(x) & = t(x) - f(x) \\ &= \left( -3x + \dfrac{21}{4} \right) - \left( \dfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4 \right) \\ &= -3x + \dfrac{21}{4} - \dfrac{1}{4}x^4 + 2x^2 - 4 \\ &= -\dfrac{1}{4}x^4 + 2x^2 - 3x + \dfrac{5}{4} \\[5pt] D(x) &= -\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot x^5 + 2 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot x^3 - 3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^2 + \dfrac{5}{4}x \\ &= -\dfrac{1}{20}x^5 + \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 + \dfrac{5}{4}x \\[5pt] D(1) &= -\dfrac{1}{20} \cdot 1^5 + \dfrac{2}{3} \cdot 1^3 - \dfrac{3}{2} \cdot 1^2 + \dfrac{5}{4} \cdot 1 \\ &= -\dfrac{1}{20} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{4} \\[5pt] &= \dfrac{11}{30} \\[5pt] D(0) &= -\dfrac{1}{20} \cdot 0^5 + \dfrac{2}{3} \cdot 0^3 - \dfrac{3}{2} \cdot 0^2 + \dfrac{5}{4} \cdot 0 \\ &= 0 \end{align*}
\begin{align*} d(x) & = t(x) - f(x) \\ &= -\dfrac{1}{4}x^4 + 2x^2 - 3x + \dfrac{5}{4} \\[5pt] D(x) &= -\dfrac{1}{20}x^5 + \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 + \dfrac{5}{4}x \\[5pt] D(1) &= \dfrac{11}{30} \\[5pt] D(0) &= 0 \end{align*}
\begin{align*} d(x) & = t(x) - f(x) \\
D(x) &= -\dfrac{1}{20}x^5 + \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 + \dfrac{5}{4}x \\[5pt]
D(1) &= \dfrac{11}{30} \\[5pt]
D(0) &= 0 \end{align*}
Somit ergibt sich für den Flächeninhalt:
\[ A = \mathop {\int}\limits_{0}^1 (t(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x = \mathop {\int}\limits_{0}^1 d(x) \, \mathrm{d}x = \left[ D(x) \right]_0^1 = D(1) - D(0) = \dfrac{11}{30} \]
$ A = \dfrac{11}{30} $
Der Inhalt $A$ der Fläche, die $t,$ die $y$–Achse und $K_f$ im 1. Quadranten einschließen, beträgt $ A = \frac{11}{30} .$

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$   Rechteck $\boldsymbol{ABCD}$ mit maximalen Umfang berechnen
Deine Aufgabe ist es, ein zur $y$–Achse symmetrisches Rechteck mit den gegebenen Eckpunkten $B(u \mid f(u))$ und $D(-u \mid 0)$ für $ 0 \leq u \leq 2 $ zu finden, das den größten Umfang besitzt.
1. Schritt:
Um eine Vorstellung von solch einem Rechteck zu erhalten, fertige dir zunächst eine Skizze des Schaubildes $K_f$ an und wähle als festen Wert für $u$ z. B. $u=1.$ Zeichne die Punkte $B(1 \mid f(1))$ und $D(-1 \mid 0)$ ein und vervollständige das Rechteck. Schreibe dir die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte $A$ und $C$ auf. Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe aller Seitenlängen. Berechne den Umfang dieses speziellen Rechteckes.
Aufgabe 1
Abb. 10: Skizze mit Rechtecksfläche
Aufgabe 1
Abb. 10: Skizze mit Rechtecksfläche
Wegen $ f(1) = \frac{9}{4} $ sind die Koordinaten der fehlenden Punkte $C \left( -1 \mid \frac{9}{4} \right)$ und $A(1 \mid 0)$ und sein Umfang ist
\[ U = \overline{AB} + \overline{CB} + \overline{DC} + \overline{DA} = 2 \cdot \overline{AB} + 2 \cdot \overline{AD} = 2 \cdot 2 + 2 \cdot f(1) = 4 + \dfrac{9}{2} = \dfrac{17}{2} = 8,5. \]
U = 8,5
2. Schritt:
Bestimme die Koordinaten der fehlenden Punkte $A$ und $C$ in Abhängigkeit von $u$ und berechne anschließend den Umfang in Abhängigkeit von $u.$ Verwende dabei die folgenden Formeln:
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $x$–Achse verläuft mit $x_G < x_H$ ($G$ liegt links von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $ Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $y$–Achse verläuft mit $y_G < y_H$ ($G$ liegt unterhalb von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $ Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $
Die Koordinaten der Punkte des Rechtecks $ABCD$ sind $ A(u \mid 0), \, B(u \mid f(u)), \, C(-u \mid f(-u)) $ und $ D(-u \mid 0). $ Für die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ gilt:
$ \overline{CB(u)} = \overline{DA(u)} = x_A - x_D = u - (-u) = 2u $
$ \overline{CB(u)} = 2u $
$ \overline{AB(u)} = \overline{DC(u)} = y_B - y_A = f(u) - 0 = f(u)$
$ \overline{AB(u)} = f(u)$
Der Umfang $ U(u) $ in Abhängigkeit von $u$ ist folglich
\begin{align*} U(u) &= \overline{AB(u)} + \overline{CB(u)} + \overline{DC(u)} + \overline{DA(u)} \\[5pt] &= 2 \cdot \overline{CB(u)} + 2 \cdot \overline{AB(u)} \\[5pt] &= 4 \cdot u + 2 \cdot f(u) \\ &= 4u + 2 \cdot (\dfrac{1}{4}u^4 - 2u^2 + 4) \\ &= 4u + \dfrac{1}{2}u^4 - 4u^2 + 8 \\ &= \dfrac{1}{2}u^4 - 4u^2 + 4u + 8. \end{align*}
\begin{align*} U(u) &= \dfrac{1}{2}u^4 - 4u^2 + 4u + 8. \end{align*}
Um das Rechteck mit dem maximalen Umfang zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Möglichkeit:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Verwende die Maximierungs–Funktion: Sie wird durch die Tastenfolge
OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax (Funktionsterm, Untergrenze, Obergrenze) OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax (Funktionsterm, Untergrenze, Obergrenze)
aufrufen kannst. Sie verlangt die Eingabe der zu maxmierenden Funktion $U$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze $0$ sowie die obere Grenze $2$. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern für $u=0$ und $u=2$.
Aufruf der Funktion und Eingaben im Run–Menü:
Aufgabe 1
Abb. 11: Aufruf der Maximum–Funktion
Aufgabe 1
Abb. 11: Aufruf der Maximum–Funktion
Auswertung der Funktion:
Aufgabe 1
Abb. 12: Auswertung
Aufgabe 1
Abb. 12: Auswertung
Der erste Wert entspricht $ u_{max} \approx 0,54. $ Der zweite Wert gibt den gesuchten maximalen Umfang an; er beträgt $9,04$ Längeneinheiten.
2. Möglichkeit:
Für die Zielfunktion $U$ mit $ U(u) = 2u + 2f(u) $ und $ 0 \leq u \leq 2 $ werden die Extrempunkte bestimmt.
\begin{align*} U(u) &= \dfrac{1}{2}u^4 - 4u^2 + 4u + 8 \\[5pt] U'(u) &= \dfrac{1}{2} \cdot 4u^3 - 4 \cdot 2u^1 + 4 \cdot 1 + 0 \\ &= 2u^3 - 8u + 2 \end{align*}
Weil du die Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion von $U$ nicht mit den dir bekannten Methoden bestimmen kannst, hilft auch hier der GTR weiter.
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018; die Nullstellen der Ableitungsfunktion sind dann schritflich berechenbar.
Das Maximum kannst du im Graph-Menü bestimmen, indem du dir den Hochpunkt im Bereich $ 0 \leq u \leq 2 $ ausgeben lässt. Für die Randwerte $ u = 0 $ und $ u = 2$ entsteht kein Rechteck. Außerdem gilt $ U(0) = U(2) = 8 < 9,04 $ und $ u_{max} \approx 0,54 $ ist die einzige Maxmialstelle. $ U(u_{max}) \approx 9,04 $ ist der maximale Wert im Intervall $ [0;2].$
Der maximale Umfang des Rechtecks $ABCD$ für $ u_{max} \approx 0,54 $ beträgt $9,04$ Längeneinheiten.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$   Bestand zu Beginn der Beobachtung bestimmen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass der Kaninchenbestand im Gehege modellhaft durch die Funktion $k$ beschrieben werden kann:
$ {k(t) = 1000 \cdot \left( 1 - 0,85 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \right)}$${ \, \, \text{für} \, \, t \geq 0} $
Die Zeit $t$ wird in Monaten gemessen und $k(t)$ gibt den Bestand der Kaninchen zum Zeitpunkt $t$ an. Wenn du bestimmen willst, wie groß der Bestand zu Beginn der Beobachtung ist, so ist $t=0$ der richtige Zeitpunkt. Berechne nun $k(0),$ um den Anfangsbestand zu ermitteln.
\[ k(0) = 1000 \cdot \left( 1 - 0,85 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot 0} \right) = 1000 \cdot (1 - 0,85 \cdot 1) = 1000 \cdot (1 - 0,85) = 1000 \cdot 0,15 = 150 \]
$ k(0) = 150 $
Der Bestand zu Beginn beträgt 150 Kaninchen.
$\blacktriangleright$   Mithilfe des Funktionsterms begründen, dass der Bestand nicht beliebig groß werden kann
Hier ist eine Begründung verlangt, warum der Bestand nicht beliebig groß werden kann. Dazu sollst du dir den Funktionsterm genauer anschauen.
Vereinfache den Term, indem du die Klammer ausmultiplizierst und dir anschließend den Minuend (1. Teil der Differenz) und den Subtrahend (2. Teil der Differenz) betrachtest. Versuche eine Aussage darüber zu machen, welches Vorzeichen der Subtrahend stets hat und wie sich seine Werte entwickeln, wenn $t$ beliebig groß wird ($ t \to +\infty).$
Wegen
\[ k(t) = 1000 \cdot \left( 1 - 0,85 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \right) = 1000 - \underbrace{850 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t}}_{\longrightarrow \, 0 \, \text{für} \, t \to +\infty} \]
$ k(t) = 1000 - \underbrace{850 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t}}_{\longrightarrow \, 0 \, \text{für} \, t \to +\infty}$
ist $ y = 1000 $ eine waagerechte Asymptote an das Schaubild der Funktion $ k. $
Langfristig wird ein Bestand von 1000 Kaninchen nicht überschritten.
$\blacktriangleright$   Zeitpunkt ermitteln, an dem der Bestand 250 erreicht
Wenn du den Zeitpunkt bestimmen willst, zu dem der Bestand 250 Kaninchen beträgt, muss du eine Lösung $t$ der Gleichung $k(t)=250$ suchen.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Im Graph-Menü lässt sich sowohl die Bestandsfunktion $k(t)$ (linke Seite der Gleichung) als auch die Funktion $y = 250$ (rechte Seite der Gleichung) darstellen. Du findest eine Lösung der Gleichung, wenn die beiden Graphen sich schneiden. Achte darauf, das Berachtungsfenster geeignet einzustellen. Einen Schnittpunkt findest du im Graph-Menü durch den Befehl
G–SOLV $\to$ ISCT G–SOLV $\to$ ISCT
Eingabe der Funktionsterme im Graph-Menü:
Aufgabe 1
Abb. 13: Eingabe der Funktionsterme
Aufgabe 1
Abb. 13: Eingabe der Funktionsterme
Beispiel für die Einstellung des Betrachtungsfensters:
Aufgabe 1
Abb. 14: Eingabe des Betrachtungsfensters
Aufgabe 1
Abb. 14: Eingabe des Betrachtungsfensters
Zeichnen der Graphen mit Berechnung des Schnittpunktes:
Aufgabe 1
Abb. 15: Ausgabe des Schnittpunktes
Aufgabe 1
Abb. 15: Ausgabe des Schnittpunktes
div>2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Du löst die Gleichung $k(t)=250$ schriftlich nach $t$ auf. Forme die Gleichung soweit um, dass der Exponentialterm allein für sich auf einer Seite der Gleichung steht. Wende dann die Logarithmusfunktion auf beiden Seiten der Gleichung an, um nach $t$ auflösen zu können.
\begin{array}{rcll} k(t) &=& 250 \\[5pt] 1000 \cdot \left( 1 - 0,85 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \right) &=& 250 & \mid \; \scriptsize : 1000 \\[5pt] 1 - 0,85 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} &=& \dfrac{1}{4} & \mid \; \scriptsize - 1 \\[5pt] - 0,85 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} &=& -\dfrac{3}{4} & \mid \; \scriptsize : (-0,85) \\[5pt] \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} &=& \dfrac{15}{17} & \mid \; \scriptsize \ln() \\[5pt] \ln \left( \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \right) &=& \ln \left( \dfrac{15}{17} \right) \\[5pt] -0,0513 \cdot t &=& \ln \left( \dfrac{15}{17} \right) & \mid \; \scriptsize : (-0,0513) \\[5pt] t &\approx& 2,44 \end{array}
\begin{array}{rcll} k(t) &=& 250 \\[5pt] t &\approx& 2,44 \end{array}
Nach etwa 2,44 Monaten erreicht der Bestand 250 Kaninchen.

Aufgabe 1.5

$\blacktriangleright$   Momentane Änderungsrate bestimmen
Die momentane Änderungsrate einer Funktion ist die erste Ableitungsfunktion. Willst du die momentane Änderungsrate der Funktion $k$ in Abhängigkeit von $t$ bestimmen, so solltest du $k'(t)$ berechnen. Dazu benötigst du die Formel
$ (\mathrm{e}^{a \cdot t})' = a \cdot \mathrm{e}^{a \cdot t}.$ $ (\mathrm{e}^{a \cdot t})' = a \cdot \mathrm{e}^{a \cdot t}.$
\begin{array}{rcl} k'(t) &=& \left( 1000 - 850 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \right)' \\ &=& 0 - 850 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \cdot (-0,0513 \cdot 1) \\ &=& 43,605 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \end{array}
\begin{array}{rcl} k'(t) &=& 43,605 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \end{array}
Die momentane Änderungsrate ist die Funktion $ k'(t) = 43,605 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t}.$
$\blacktriangleright$   Zeitpunkt mit der größten momentanen Änderungsrate bestimmen
Die momentane Änderungsrate hast du schon berechnet. Um ihren größten Wert zu ermitteln, ist es nun deine Aufgabe, das Schaubild von $k'$ zu untersuchen. Wie in Teilaufgabe 1.1 ist dazu notwendig, die Ableitungsfunktion von $k'$ zu berechnen. Verwende für die Berechnung von $k''(t)$ wieder die vorherige Formel.
Indem du das Vorzeichen von $k''(t)$ bestimmst, kannst du eine Aussage darüber machen, welches Monotonieverhalten das Schaubild $k'$ besitzt: Wenn es streng monoton fallend ist, ist $ t=0 $ der gesuchte Zeitpunkt mit der größten momentanen Änderungsrate und $k'(0)$ ihr größter Wert.
Wegen \begin{align*} k''(t) &= 43,605 \cdot (-0,0513) \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t} \\[5pt] &= -2,2369365 \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{-0,0513 \cdot t}}_{> 0} < 0 \qquad \end{align*} \begin{align*}\text{für jedes $t$} \end{align*}
ist das Schaubild von $ k'$ streng monoton fallend. Der maximale Wert von $k'(t)$ wird folglich an der Stelle $ t = 0 $ angenommen:
\[ k'(0) = 43,605 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot 0} = 43,605 \cdot \mathrm{e}^{0} = 43,605 \cdot 1 = 43,605. \]
$ k'(0) = 43,605 $
Zum Beobachtungszeitpunkt $ t = 0 $ ist die momentane Änderungsrate am größten.
$\blacktriangleright$   Durchschnittliche Änderungsrate in den ersten fünf Monaten berechnen
Die duchschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$ in einem Intervall $[a;b]$ ist durch die Formel
$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
festgelegt. Deine Aufgabe ist es, die durchschnittliche Änderungsrate der Bestandsfunktion $k$ in den ersten fünf Monaten, d. h. im Zeitintervall [0;5] zu berechnen. Setze also $a=0$ und $b=5$ in die Formel ein und berechne den Wert des Bruches.
\begin{align*} m_s &= \dfrac{k(5) - k(0)}{5 - 0} = \dfrac{1000 - 850 \cdot \mathrm{e}^{-0,0513 \cdot 5} - 150}{5} = \dfrac{850 - 850 \cdot \mathrm{e}^{-0,2565}}{5} \approx 38 \end{align*}
\begin{align*} m_s &= \dfrac{850 - 850 \cdot \mathrm{e}^{-0,2565}}{5} \approx 38 \end{align*}
Der Bestand ändert sich in den ersten fünf Monaten durchschnittlich um etwa 38 Kaninchen pro Monat.
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