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Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+4$, für $x\in\mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
1.1
Zeichne $K_f$.
Untersuche $K_f$ auf Symmetrie.
Gib die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte von $K_f$ an.
(8P)
1.2
Ermittle die Gleichung der Tangente $t$ an $K_f$ im Punkt $P(1\mid f(1))$.
Die Tangente $t$, die $y$-Achse und $K_f$ schließen im $1$. Quadranten eine Fläche ein.
Zeichne in dein Koordinatensystem aus 1.1 die Tangente $t$, markiere diese Fläche und berechne deren Flächeninhalt.
(5P)
1.3
Gegeben sind für $0\leq u\leq2$ der Punkt $B(u\mid f(u))$ und der Punkt $D(-u \mid0)$. Diese beiden Punkte sind Eckpunkte eines zur $y$-Achse symmetrischen Rechtecks $ABCD$.
Berechne den maximalen Umfang, den ein solches Rechteck haben kann.
(6P)
In einem Gehege wird der Kaninchenbestand über einen längeren Zeitraum beobachtet.
Die Auswertung dieser Beobachtung hat modellhaft folgende Bestandsfunktion ergeben:
$k(t)=1.000\cdot\left(1-0,85\cdot\mathrm{e}^{-0,0513\cdot t}\right)$; $t\geq0$.
Die Zeit $t$ wird in Monaten gemessen und $k(t)$ gibt den Bestand der Kaninchen zum Zeitpunkt $t$ an.
1.4
Wie groß ist der Kaninchenbestand im Gehege zu Beginn der Beobachtung?
Wie wird im Funktionsterm berücksichtigt, dass der Bestand nicht beliebig groß wird?
Nach welcher Zeit ist ein Kaninchenbestand von $250$ erreicht?
(5P)
1.5
Bestimme die momentane Änderungsrate des Kaninchenbestandes in Abhängigkeit von der Zeit $t$.
Wann ist diese Änderungsrate am größten?
Berechne die durchschnittliche Änderungsrate in den ersten $5$ Monaten.
(6P)

(30P)
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