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Aufgabe 3

Aufgaben
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Aufgabe 3

Gegeben sind die folgenden Abbildungen mit Schaubildern zweier Funktionen:
3.1
Eine der beiden Abbildungen stellt das Schaubild mit der Gleichung $y=a\cos(kx)+b$ dar.
Begründe, welche das ist und bestimme $a$, $b$ und $k$.
(5P)
3.2
Untersuche für jede der beiden Abbildungen, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
  1. Der Wert der ersten Ableitung an der Stelle $x=0$ ist negativ.
  2. Der Funktionswert an der Stelle $x=-2$ ist positiv.
  3. Der Wert der ersten Ableitung an der Stelle $x=-3$ ist null.
  4. Der Wert der zweiten Ableitung an der Stelle $x=3$ ist positiv.
(8P)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-1,5\cos(2x)+1$; $x\in[-1;3]$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
3.3
Zeichne $K_f$.
Zeige, dass die Gerade mit der Gleichung $y=3x+1-\dfrac{3}{4}\pi$ eine Wendetangente an $K_f$ ist.
Gib die Koordinaten des dazugehörigen Wendepunktes an.
Bestimme die Gleichung der Normalen in diesem Punkt.
(9P)
3.4
Gib die exakten Koordinaten des Hochpunktes von $K_f$ an.
Zeichne in das Koordinatensystem von 3.3 das Schaubild $K_g$ der Funktion $g$ mit $g(x)=\dfrac{24}{\pi^3}x^3-\dfrac{1}{2}$, $x\in\mathbb{R}$.
Weise nach, dass sich $K_f$ und $K_g$ im Hochpunkt von $K_f$ schneiden.
Berechne den exakten Inhalt der Fläche, die von $K_f$ und $K_g$ eingeschlossen wird.
(8P)

(30P)
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Aufgabe 3.1

$\blacktriangleright$   Begründen, welches Schaubild zu der Gleichung $\boldsymbol{y = a \cdot \cos(k \cdot x)+b}$ gehört
Aufgabe 3
Abb. 1: Schaubild einer trigonometrischen Funktion $g$
Aufgabe 3
Abb. 2: Schaubild einer trigonometrischen Funktion $h$
Aufgabe 3
Abb. 2 : Schaubild einer trigonometrischen Funktion $h$
Du sollst eines der beiden Schaubilder einer Cosinus–Funktion mit der Gleichung $\boldsymbol{y = a \cdot \cos(k \cdot x)+b}$ zuordnen.
1. Überlegung: Symmetrieeigenschaft der Cosinus–Funktion
Erinnere dich daran, welche Symmetrieeigenschaft das Schaubild der Cosinus–Funktion aufweist, und dass
  • eine Streckung in $y$–Richtung durch den Einflussfaktor $a$ bzw.
  • eine Streckung in $x$–Richtung durch den Einflussfaktor $k$ bzw.
  • eine Verschiebung in $y$–Richtung durch den Summanden $b$
keinen Einfluss auf seine Symmetrieeigenschaft haben.
2. Überlegung: Schnittpunkt der Cosinus–Funktion mit der $\boldsymbol{y}$–Achse
Alternativ kannst du dir überlegen, welchen besonderen Punkt das Schaubild einer Cosinus–Funktion im Schnittpunkt mit der $y$–Achse hat. Auch daran kannst du das richtige Schaubild erkennen und die passende Begründung geben.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{a, \; b}$ und $\boldsymbol{c}$ in der Gleichung $\boldsymbol{y = a \cdot \cos(k \cdot x)+b}$ bestimmen
Deine Aufgabe ist es, die unbekannten Größen in der Gleichung $y = a \cdot \cos(k \cdot x) + b$ zu ermitteln. Du kannst sie mithilfe von Formeln berechnen oder die Werte mithilfe einer Hilfslinie aus der Zeichnung ablesen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  1. Lösung durch Rechnung
Notiere dir zunächst die Koordinaten eines Tiefpunktes $ T(x_T \mid y_T) $ und des nächsten rechts oder links vom Tiefpunkt liegendes Hochpunktes $ H(x_H \mid y_H).$ Mithilfe der folgenden Formeln kannst du die Werte berechnen:
$ b = \dfrac{y_H + y_T}{2} $ $ b = \dfrac{y_H + y_T}{2} $
$b$ gibt die Verschiebung des Schaubildes $y = \cos(x)$ in Richtung der $y$–Achse an.
Amplitude = $ \dfrac{y_H - y_T}{2} $ Amplitude = $ \dfrac{y_H - y_T}{2} $
Die Amplitude $b$ bzw. Schwingungstiefe ist der senkrechte Abstand zwischen der Mittellinie $y=b$ und einem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt. Sie gibt die Streckung des Schaubildes $y = \cos(x)$ in Richtung der $y$–Achse an. Beachte, dass der Abstand bzw. die Amplitude stets positiv ist, der Wert von $a$ aber negativ sein kann: Wenn es zusätzlich an der Gerade $ y = b$ gespiegelt ist, gilt $ a = -$Amplitude; andernfalls stimmen Amplitude und der Wert von a überein. Bestimme nun seinen Wert.
$P$ gibt die Periodenlänge einer trigonometrischen Funktion an und wird mithilfe der Formel
$ P = 2 \cdot \left( x_H - x_T \right)$ $ P = 2 \cdot \left( x_H - x_T \right)$
berechnet, wenn der Hochpunkt rechts vom Tiefpunkt liegt, bzw.
$ P = 2 \cdot \left( x_T - x_H \right),$ $ P = 2 \cdot \left( x_T - x_H \right),$
wenn der Hochpunkt links vom Tiefpunkt liegt.
Den Wert von $k$ kannst du dann mithilfe der Gleichung
$ k \cdot P = 2 \cdot \pi$ $ k \cdot P = 2 \cdot \pi$
berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  2. Lösung mithilfe einer Hilfslinie in der Zeichnung
Zeichne in Abbildung 1 die Mittelinie ein: Sie verläuft parallel zur $x$–Achse und hat zu jedem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt denselben senkrechten Abstand.
Aufgabe 3
Abb. 3: Abbildung 1 mit Mittellinie
Aufgabe 3
Abb. 3: Abbildung 1 mit Mittellinie
Bestimme die Gleichung dieser Mittellinie. Sie liefert dir den Wert für $b$ und stellt die Verschiebung des Schaubildes in Richtung der $y$–Achse dar.
Der senkrechte Abstand zwischen der Mittellinie und einem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt gibt die Amplitude bzw. Schwingungstiefe und beschreibt die Streckung des Schaubildes in $y$–Richtung. Beachte, dass der Abstand stets positiv ist, der Wert von $a$ aber negativ sein kann: Eine Spiegelung des ursprünglichen Schaubildes $y = \cos(x)$ an der Mittelinie $y = b$ bewirkt ein negatives Vorzeichen von $a.$ Bestimme nun seinen Wert.
Der horizontale Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten (oder Tiefpunkten oder Wendepunkten) gibt die Periodenlänge $P$ an. Wenn du $P$ aus der Zeichnung abgelesen hast, kannst du den Wert von $k$ aus der Formel
$ k \cdot P = 2 \cdot \pi $ $ k \cdot P = 2 \cdot \pi $
bestimmen.

Aufgabe 3.2

$\blacktriangleright$   Aussagen über jede der Abbildungen mit wahr oder falsch beurteilen
Anhand der Abbildungen 1 und 2 sollst du für jedes Schaubild vier Aussagen untersuchen, ob sie wahr oder falsch sind. Eine kurze Begründung wird jeweils von dir verlangt. Sie kann aufgrund der Eigenschaften des Schaubildes oder aber durch schriftliche Rechnung erfolgen.
Um die richtige Entscheidung zu treffen, solltest du über das Schaubild einer Funktion folgendes wissen:
  1. An einer Extremstelle ist die Steigung der Tangente waagerecht.
  2. Eine waagerechte Tangente hat die Steigung Null.
  3. Der Wert der ersten Ableitungsfunktion an einer Stelle gibt die Steigung der Tangente an.
  4. Verläuft das Schaubild oberhalb/unterhalb der $x$–Achse, so sind die zugehörigen Funktionswerte positiv/negativ.
  5. Die zweite Ableitungsfunktion an einer Stelle gibt die Krümmung an.
  6. Wenn das Schaubild an einer Stelle linksgekrümmt/rechtsgekrümmt ist, ist der Wert der zweiten Ableitungsfunktion positiv/negativ.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  1. Beurteilung mithilfe des Schaubildes
Vergleiche für jedes Schaubild die Aussagen mit den obigen Kenntnissen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  2. Beurteilung mithilfe einer Rechnung
Mithilfe der Funktion und der ersten und zweiten Ableitungsfunktionen kannst du jede Aussage prüfen.
Abbildung 1: Schaubild $K_g$
Berechne zunächst $g'(x)$ und $g''(x)$ und prüfe dann die Aussagen durch Einsetzen der angebenen Stellen in die passende Funktion. Du benötigst dabei die Ableitungsformeln
$ (\sin (k \cdot x)' = k \cdot \cos(k \cdot x) $ und $ (\cos (k \cdot x))' = -k \cdot \sin(k \cdot x) $ $ (\sin (k \cdot x)' = k \cdot \cos(k \cdot x) $ und $ (\cos (k \cdot x))' = -k \cdot \sin(k \cdot x) $
für jede beliebige feste Zahl $ k \in \mathbb{R}.$
Abbildung 2: Schaubild $K_h$
Bestimme zunächst wie in Teilaufgabe 3.1 die Gleichung des Schaubildes aus Abbildung 2. Hier ist das Kontrollergebnis: $ h(x) = -2 \cdot \sin \left( \frac{1}{2} \pi \cdot x \right) + \frac{1}{2} $
Berechne anschließend $h'(x)$ und $h''(x)$ und prüfe die Aussagen durch Einsetzen der angebenen Stellen in die passende Funktion.

Aufgabe 3.3

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen sollst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung im Intervall $ [-1; \; 3] $ fest vorgegeben. Das Schaubild darf nicht darüber hinaus gezeichnet werden.
Für den Bereich der $y$–Achse ist z. B. $ -1 \leq y \leq 3 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass $\boldsymbol{y = 3x + 1 - \frac{3}{4}\pi}$ Wendetangente an $\boldsymbol{K_f}$ ist
Eine Wendetangente ist eine Tangente im Wendepunkt. Wenn du zeigen sollst, dass $y = 3x + 1 - \frac{3}{4}\pi$ eine Wendetangente an $K_f$ ist, so darfst du nicht den GTR für die Lösung heranziehen. Die Tangentengleichung ist in exakter Schreibweise angegeben, also wird von dir eine schrifliche Rechnung verlangt. Das gilt für die Tangentengleichung ebenso wie für den Wendepunkt, den du noch nicht kennst.
1. Schritt: Den Wendepunkt schriftlich bestimmen
Das Schaubild auf Wendepunkte zu untersuchen bedeutet, für die Funktion $f'$ die Extremstellen zu ermitteln. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die Ableitungen der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
Berechnung der Ableitungen:
In Teilaufgabe 3.2 hast du die Ableitungsregeln bereits kennengelernt. Berechnung der Nullstellen der zweiten Ableitung:
Berücksichtige dabei, dass im Intervall $ [-1; \; 3] $ die Cosinus–Funktion nur die Nullstelle $ x = \frac{1}{2} \pi $ besitzt.
2. Schritt: Die Wendetangente an $K_f$ schriftlich berechnen
Eine Gleichung für die Tangente $t$ an der Stelle $ x_0 $ lautet
$ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0).$ $ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0).$
Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt $ W \left( \frac{1}{4}\pi \mid 1 \right). $ Um sie exakt zu berechnen, wird noch die Steigung der Tangente an der Wendestelle $ x_0 = \frac{1}{4} $ benötigt:
Die Gleichung der Tangente lässt sich durch Einsetzen der Werte berechnen.
Nachweis für die Richtigkeit der Gleichung der Wendetangente ist folglich erbracht.
$\blacktriangleright$   Koordinaten des Wendepunktes angeben
Kontrollergebnis: Der Wendepunkt besitzt die Koordinaten $ W \left( \frac{1}{4}\pi \mid 1 \right). $
$\blacktriangleright$   Gleichung der Normalen im Wendepunkt bestimmen
Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht auf der Tangente steht und durch denselben Punkt von $K_f$ geht. Du sollst die Gleichung der Normalen im Wendepunkt bestimmen, d. h. du kannst sie mit dem GTR von CASIO oder durch schriftliche Rechnung ermitteln. Eine Berechnung mit dem GTR von TI ist nicht möglich.
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR von CASIO
Wenn du einen GTR von CASIO verwendest, prüfe zunächst, ob die Funktion DERIVATE in den Systemeinstellungen aktiviert ist (Schalter auf ON). Die Systemeinstellungen rufst du mit SHIFT–MENU auf.
Aufgabe 3
Abb. 4: Automatische Berechnung der Ableitung aktivieren
Aufgabe 3
Abb. 4: Automatische Berechnung der Ableitung aktivieren
Im Graph–Menü hast du schon den Funktionsterm von $f$ eingeben. Lass dir das Schaubild und die Normale anzeigen und die Gleichung der Normalen ausgeben.
Gib dazu im CASIO-GTR die Tastenfolge
Sketch $\to$ Norm $\to$ Eingabe $ \dfrac{1}{4}\pi $ $\to$ EXE $\to$ EXE Sketch $\to$ Norm $\to$ Eingabe $ \dfrac{1}{4}\pi $ $\to$ EXE $\to$ EXE
ein.
Kontrollergebnis: $n: y = -0,333x + 1,2617.$
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Eine Gleichung für die Normale $t$ an der Stelle $ x_0, $ wenn $ f'(x_0) \neq 0 $ lautet
$ n(x) = - \dfrac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0).$ $ n(x) = - \dfrac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0).$
Es ist $x_0 = \frac{1}{4}\pi.$ Du hast schon alle benötigten Werte berechnet, so dass du nur noch in die Gleichung einsetzen musst. Löse abschließend die Klammern auf, um die Gleichung Normalen in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten.

Aufgabe 3.4

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Hochpunktes von $\boldsymbol{K_f}$ exakt angeben
Weil du die exakten Koordinaten des Hochpunktes angeben sollst, darfst du hier nicht den GTR verwenden - außer zur Kontrolle natürlich. Eine ausführliche schriftliche Herleitung ist nicht verlangt, da du die Koordinaten nur angeben sollst.
Überlege dir anhand des Funktionsterms von $f,$ welche Periodenlänge $P$ das Schaubild haben muss. In Teilaufgabe 3.1 hast du eine Formel für den Zusammenhang zwischen Periodenlänge und Vorzahl $k$ vor dem $x$ verwendet: $ k \cdot P = 2\pi. $
Innerhalb einer Peridoenlänge, d. h. im Intervall $ [0; \; P] $ nimmt eine Cosinus–Funktion seine Hochpunkte und Tiefpunkte an den Rändern des Intervalls und in der Intervallmitte an: $ x = 0 $ oder $ x = \frac{1}{2} \cdot P $ und $ x = P. $ Bestimme nun mithilfe von Abbildung 5 die richtige Stelle des Hochpunktes.
Kontrollergebnis: Die exakten Koordinaten des Hochpunktes sind $ H \left( \frac{1}{2}\pi \mid 2,5 \right). $
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_g}$ in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 3.3 zeichnen
Das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 3.3 ist ausreichend groß für das Zeichnen des Schaubildes $K_g.$
$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass sich $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_g}$ im Hochpunkt schneiden
Du kennst die Koordinaten des Hochpunktes von $K_f.$ Die beiden Schaubilder schneiden sich in diesem Punkt, wenn $ g \left( \frac{1}{2}\pi \right) = f \left( \frac{1}{2}\pi \right) = 2,5 $ gilt. Du sollst für den Nachweis also $ g \left( \frac{1}{2}\pi \right) $ berechnen.
$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche exakt berechnen, die von $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_g}$ eingeschlossen wird
Weil du den Inhalt der Fläche, der von den Schaubildern eingeschlossen wird, exakt berechnet sollst, darfst du den GTR nur zur Kontrolle des Ergebnises benutzen. Die Abbildung 7 zeigt dir, um welche Fläche es sich handelt.
Aufgabe 3
Abb. 5: Fläche zwischen den Schaubildern $K_f$ und $K_g$
Aufgabe 3
Abb. 5: Fläche zwischen den Schaubildern $K_f$ und $K_g$
Deine Aufgabe ist es, den Flächeninhalt der markierten Fläche zu berechnen. Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte zwischen zwei Schaubildern
$ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion –}$ $\text{untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $ $ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion –}$ $\text{untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind und welche Funktion die obere und welche die untere ist.
Aus der Zeichnung kannst du vermuten, dass $ a = 0 $ und $ b = \frac{1}{2}\pi $ die Schnittstellen der Schaubilder $K_f$ und $K_g$ sind. Den gemeinsamen Schnittpunkt an der Stelle $ b = \frac{1}{2}\pi $ hast du schon in der Aufgabe 3.3 nachgewiesen. Weise durch schriftliche Rechnung nach, dass $ a = 0 $ die linke Schnittstelle ist.
Der zweite Schnittpunkt der Schaubilder $K_f$ und $K_g$ liegt auf der $y$–Achse und hat die Koordinaten $ (0 \mid -0,5). $ Berechne zum Nachweis $ f(0) $ und $ g(0).$
Außerdem erkennst du, dass das Schaubild von $K_f$ im Bereich $ [0; \; \frac{1}{2}\pi] $ oberhalb des Schaubildes von $K_g$ verläuft. Deshalb gibt \[ A = \int_0^{\frac{1}{2}\pi} (f(x) - g(x)) \; \mathrm{d}x \] den Inhalt der Fläche zwischen beiden Schaubildern an. Weil das Ergebnis exakt berechnet werden soll, ist eine schriftliche Berechnung mithilfe von Stammfunktionen erforderlich.
Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formeln für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r, \, (r \neq-1), $ und die Stammfunktion $H$ einer Funktion $h$ mit $ h(x) = \cos(a \cdot x), \, a\neq 0, $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $ und $ H(x) = -\dfrac{1}{a} \cdot \sin ( a \cdot x). $ $ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $ und $ H(x) = -\dfrac{1}{a} \cdot \sin ( a \cdot x). $
Durch die Betrachtung der Differenzfunktion $ d(x) = f(x) - g(x) $ lässt sich der Aufwand für die Berechnung vermindern, weil Terme zusammengefasst werden können.
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Aufgabe 3.1

$\blacktriangleright$   Begründen, welches Schaubild zu der Gleichung $\boldsymbol{y = a \cdot \cos(k \cdot x)+b}$ gehört
Aufgabe 3
Abb. 1: Schaubild einer trigonometrischen Funktion $g$
Aufgabe 3
Abb. 2: Schaubild einer trigonometrischen Funktion $h$
Aufgabe 3
Abb. 2 : Schaubild einer trigonometrischen Funktion $h$
Du sollst eines der beiden Schaubilder einer Cosinus–Funktion mit der Gleichung $\boldsymbol{y = a \cdot \cos(k \cdot x)+b}$ zuordnen.
1. Überlegung: Symmetrieeigenschaft der Cosinus–Funktion
Erinnere dich daran, welche Symmetrieeigenschaft das Schaubild der Cosinus–Funktion aufweist, und dass
  • eine Streckung in $y$–Richtung durch den Einflussfaktor $a$ bzw.
  • eine Streckung in $x$–Richtung durch den Einflussfaktor $k$ bzw.
  • eine Verschiebung in $y$–Richtung durch den Summanden $b$
keinen Einfluss auf seine Symmetrieeigenschaft haben.
2. Überlegung: Schnittpunkt der Cosinus–Funktion mit der $\boldsymbol{y}$–Achse
Alternativ kannst du dir überlegen, welchen besonderen Punkt das Schaubild einer Cosinus–Funktion im Schnittpunkt mit der $y$–Achse hat. Auch daran kannst du das richtige Schaubild erkennen und die passende Begründung geben.
Nur die Abbildung 1 zeigt das Schaubild einer Funktion mit der Gleichung $\boldsymbol{y = a \cdot \cos(kx) + b}.$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  1. Mögliche Begründung
Das Schaubild der Funktion $\boldsymbol{y = \cos(x)}$ ist symmetrisch zur $y$–Achse, wobei die Größen $a, \; b$ und $c$ keinen Einfluss auf die Symmetrieeigenschaft haben. Das linke Schaubild ist symmetrisch zur $y$–Achse, das rechte Schaubild nicht. Folglich ist Abbildung 1 die richtige Entscheidung.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  2. Mögliche Begründung
Das Schaubild der Funktion $\boldsymbol{y = \cos(x)}$ weist im Schnittpunkt mit der $y$–Achse eine Extrempunkt auf. Für $ a >0 $ liegt eine Hochpunkt, für $ a < 0 $ ein Tiefpunkt vor. Die Größen $b$ und $c$ haben keinen Einfluss auf die Art des Extrempunktes. Das linke Schaubild zeigt einen Hochpunkt auf der $y$–Achse, das rechte Schaubild nicht. Also ist Abbildung 1 die richtige Entscheidung.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{a, \; b}$ und $\boldsymbol{c}$ in der Gleichung $\boldsymbol{y = a \cdot \cos(k \cdot x)+b}$ bestimmen
Deine Aufgabe ist es, die unbekannten Größen in der Gleichung $y = a \cdot \cos(k \cdot x) + b$ zu ermitteln. Du kannst sie mithilfe von Formeln berechnen oder die Werte mithilfe einer Hilfslinie aus der Zeichnung ablesen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  1. Lösung durch Rechnung
Notiere dir zunächst die Koordinaten eines Tiefpunktes $ T(x_T \mid y_T) $ und des nächsten rechts oder links vom Tiefpunkt liegendes Hochpunktes $ H(x_H \mid y_H).$ Mithilfe der folgenden Formeln kannst du die Werte berechnen:
$ b = \dfrac{y_H + y_T}{2} $ $ b = \dfrac{y_H + y_T}{2} $
$b$ gibt die Verschiebung des Schaubildes $y = \cos(x)$ in Richtung der $y$–Achse an.
Amplitude = $ \dfrac{y_H - y_T}{2} $ Amplitude = $ \dfrac{y_H - y_T}{2} $
Die Amplitude $b$ bzw. Schwingungstiefe ist der senkrechte Abstand zwischen der Mittellinie $y=b$ und einem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt. Sie gibt die Streckung des Schaubildes $y = \cos(x)$ in Richtung der $y$–Achse an. Beachte, dass der Abstand bzw. die Amplitude stets positiv ist, der Wert von $a$ aber negativ sein kann: Wenn es zusätzlich an der Gerade $ y = b$ gespiegelt ist, gilt $ a = -$Amplitude; andernfalls stimmen Amplitude und der Wert von a überein. Bestimme nun seinen Wert.
$P$ gibt die Periodenlänge einer trigonometrischen Funktion an und wird mithilfe der Formel
$ P = 2 \cdot \left( x_H - x_T \right)$ $ P = 2 \cdot \left( x_H - x_T \right)$
berechnet, wenn der Hochpunkt rechts vom Tiefpunkt liegt, bzw.
$ P = 2 \cdot \left( x_T - x_H \right),$ $ P = 2 \cdot \left( x_T - x_H \right),$
wenn der Hochpunkt links vom Tiefpunkt liegt.
Den Wert von $k$ kannst du dann mithilfe der Gleichung
$ k \cdot P = 2 \cdot \pi$ $ k \cdot P = 2 \cdot \pi$
berechnen.
Das Schaubild besitzt z. B. den Tiefpunkt $ T(1,5 \mid -2) $ und links von ihm den nächstliegenden Hochpunkt $ H(0 \mid 1).$
Die Gleichung der Mittellinie ist $ y = b =\frac{y_H + y_T}{2} = \frac{1 + (-2)}{2} = -\frac{1}{2}.$
Die Amplitude oder Schwingungstiefe ist $ \frac{y_H - y_T}{2} = \frac{1 - (-2)}{2} = \frac{3}{2}. $ Weil auf der $y$–Achse ein der Hochpunkt liegt, liegt keine Spiegelung der ursprünglichen Cosinus–Funktion vor. Also ist $ a = \frac{3}{2}. $
Die Periodenlänge ist
$ P = 2 \cdot (x_T - x_H) = 2 \cdot (1,5 - 0) = 2 \cdot 1,5 = 3, $
$ P = 3 $
d. h. die Vorzahl $k$ vor der Variablen $x$ ist $ k = \frac{2\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi. $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  2. Lösung mithilfe einer Hilfslinie in der Zeichnung
Zeichne in Abbildung 1 die Mittelinie ein: Sie verläuft parallel zur $x$–Achse und hat zu jedem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt denselben senkrechten Abstand.
Aufgabe 3
Abb. 3: Abbildung 1 mit Mittellinie
Aufgabe 3
Abb. 3: Abbildung 1 mit Mittellinie
Bestimme die Gleichung dieser Mittellinie. Sie liefert dir den Wert für $b$ und stellt die Verschiebung des Schaubildes in Richtung der $y$–Achse dar.
Der senkrechte Abstand zwischen der Mittellinie und einem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt gibt die Amplitude bzw. Schwingungstiefe und beschreibt die Streckung des Schaubildes in $y$–Richtung. Beachte, dass der Abstand stets positiv ist, der Wert von $a$ aber negativ sein kann: Eine Spiegelung des ursprünglichen Schaubildes $y = \cos(x)$ an der Mittelinie $y = b$ bewirkt ein negatives Vorzeichen von $a.$ Bestimme nun seinen Wert.
Der horizontale Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten (oder Tiefpunkten oder Wendepunkten) gibt die Periodenlänge $P$ an. Wenn du $P$ aus der Zeichnung abgelesen hast, kannst du den Wert von $k$ aus der Formel
$ k \cdot P = 2 \cdot \pi $ $ k \cdot P = 2 \cdot \pi $
bestimmen.
Jetzt kannst du die vollständige Gleichung angeben.
Aufgabe 3
Abb. 4: Abbildung 1 mit Mittellinie, Amplitude und Periodenlänge
Aufgabe 3
Abb. 4: Abbildung 1 mit Mittellinie, Amplitude und Periodenlänge
Die gesuchte Funktion ist $ g(x) = \frac{3}{2} \cdot \cos \left( \frac{2}{3}\pi \cdot x \right) - \frac{1}{2}. $

Aufgabe 3.2

$\blacktriangleright$   Aussagen über jede der Abbildungen mit wahr oder falsch beurteilen
Anhand der Abbildungen 1 und 2 sollst du für jedes Schaubild vier Aussagen untersuchen, ob sie wahr oder falsch sind. Eine kurze Begründung wird jeweils von dir verlangt. Sie kann aufgrund der Eigenschaften des Schaubildes oder aber durch schriftliche Rechnung erfolgen.
Um die richtige Entscheidung zu treffen, solltest du über das Schaubild einer Funktion folgendes wissen:
  1. An einer Extremstelle ist die Steigung der Tangente waagerecht.
  2. Eine waagerechte Tangente hat die Steigung Null.
  3. Der Wert der ersten Ableitungsfunktion an einer Stelle gibt die Steigung der Tangente an.
  4. Verläuft das Schaubild oberhalb/unterhalb der $x$–Achse, so sind die zugehörigen Funktionswerte positiv/negativ.
  5. Die zweite Ableitungsfunktion an einer Stelle gibt die Krümmung an.
  6. Wenn das Schaubild an einer Stelle linksgekrümmt/rechtsgekrümmt ist, ist der Wert der zweiten Ableitungsfunktion positiv/negativ.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  1. Beurteilung mithilfe des Schaubildes
Abbildung 1: Schaubild $K_g$
Die Aussage ist
  1. a) falsch: Bei $x=0$ liegt ein Hochpunkt vor, d. h der Wert der ersten Ableitung an der Stelle ist Null.
  2. b) falsch: $K_g$ verläuft an der Stelle $x=-2$ unterhalb der $x$–Achse, d. h. der Funktionswert ist negativ.
  3. c) richtig: An der Stelle $x=-3$ liegt ein Hochpunkt vor, d. h. der Wert der ersten Ableitung dort ist Null.
  4. d) falsch: $K_g$ ist an der Stelle $x=3$ rechtsgekrümmt, d. h. die zweite Ableitung dort ist kleiner Null.
Abbildung 2: Schaubild $K_h$
Die Aussage ist
  1. a) richtig: $K_h$ fällt an der Stelle $x=0,$ d. h der Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle ist negativ.
  2. b) richtig: $K_h$ verläuft an der Stelle $x=-2$ oberhalb der $x$–Achse, d. h. der Funktionswert ist positiv.
  3. c) richtig: An der Stelle $x=-3$ liegt ein Tiefpunkt vor, d. h. der Wert der ersten Ableitung dort ist Null.
  4. d) falsch: $K_h$ ist an der Stelle $x=3$ rechtsgekrümmt, d. h. die zweite Ableitung dort ist kleiner Null.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  2. Beurteilung mithilfe einer Rechnung
Mithilfe der Funktion und der ersten und zweiten Ableitungsfunktionen kannst du jede Aussage prüfen.
Abbildung 1: Schaubild $K_g$
Berechne zunächst $g'(x)$ und $g''(x)$ und prüfe dann die Aussagen durch Einsetzen der angebenen Stellen in die passende Funktion. Du benötigst dabei die Ableitungsformeln
$ (\sin (k \cdot x)' = k \cdot \cos(k \cdot x) $ und $ (\cos (k \cdot x))' = -k \cdot \sin(k \cdot x) $ $ (\sin (k \cdot x)' = k \cdot \cos(k \cdot x) $ und $ (\cos (k \cdot x))' = -k \cdot \sin(k \cdot x) $
für jede beliebige feste Zahl $ k \in \mathbb{R}.$
\begin{array}{rcl} g(x) &=& \dfrac{3}{2} \cdot \cos \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot x \right) - \dfrac{1}{2} \\[5pt] g'(x) &=& \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \pi \cdot \left( -\sin \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot x \right) \right) + 0 \\[5pt] &=& -\pi \cdot \sin \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot x \right) \\[5pt] g''(x) &=& -\pi \cdot \dfrac{2}{3} \pi \cdot \cos \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot x \right) \\[5pt] &=& -\dfrac{2}{3} \pi^2 \cdot \cos \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot x \right) \end{array}
\begin{array}{rcl} g(x) = \dfrac{3}{2} \cdot \cos \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot x \right) - \dfrac{1}{2} \\[5pt] g'(x) = -\pi \cdot \sin \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot x \right) \\[5pt] g''(x) =-\dfrac{2}{3} \pi^2 \cdot \cos \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot x \right) \end{array}
Die Aussage ist
  1. a) falsch:
    $ g'(0) = -\pi \cdot \sin \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot 0 \right) = -\pi \cdot \sin(0) = -\pi \cdot 0 = 0. $
    $ g'(0) = 0 $
  2. b) falsch:
    \[ g(-2) = \dfrac{3}{2} \cdot \cos \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot (-2) \right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \cdot \cos \left( -\dfrac{4}{3} \pi \right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \cdot (-\dfrac{1}{2} ) - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{5}{2} < 0. \]
    $ g(-2) = -\dfrac{5}{2} < 0 $
  3. c) richtig:
    $ g'(-3) = -\pi \cdot \sin \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot (-3) \right) = -\pi \cdot \sin(-2\pi) = -\pi \cdot 0 = 0. $
    $ g'(-3) = 0 $
  4. d) falsch:
    $ g''(3) = -\dfrac{2}{3} \pi^2 \cdot \cos \left(\dfrac{2}{3} \pi \cdot 3 \right) = -\dfrac{2}{3} \pi^2 \cdot \cos(2\pi) = -\dfrac{2}{3} \pi^2 \cdot 1 = -\dfrac{2}{3} \pi^2 < 0. $
    $ g''(3) = -\dfrac{2}{3} \pi^2 < 0 $
Abbildung 2: Schaubild $K_h$
Bestimme zunächst wie in Teilaufgabe 3.1 die Gleichung des Schaubildes aus Abbildung 2. Hier ist das Kontrollergebnis: $ h(x) = -2 \cdot \sin \left( \frac{1}{2} \pi \cdot x \right) + \frac{1}{2} $
Berechne anschließend $h'(x)$ und $h''(x)$ und prüfe die Aussagen durch Einsetzen der angebenen Stellen in die passende Funktion.
\begin{array}{rcl} h(x) &=& -2 \cdot \sin \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot x \right) + \dfrac{1}{2} \\[5pt] h'(x) &=& -2 \cdot \dfrac{1}{2} \pi \cos \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot x \right) + 0 \\[5pt] &=& -\pi \cdot \cos \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot x \right) \\[5pt] h''(x) &=& -\pi \cdot \dfrac{1}{2} \pi \cdot \left( -\sin \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot x \right) \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \pi^2 \cdot \sin \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot x \right) \end{array}
\begin{array}{rcl} h(x) =-2 \cdot \sin \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot x \right) + \dfrac{1}{2} \\[5pt] h'(x)= -\pi \cdot \cos \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot x \right) \\[5pt] h''(x) = \dfrac{1}{2} \pi^2 \cdot \sin \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot x \right) \end{array}
Die Aussage ist
  1. a) richtig:
    $ h'(0) = -\pi \cdot \cos \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot 0 \right) = -\pi \cdot \cos(0) = -\pi \cdot 1 = -\pi < 0. $
    $ h'(0) = -\pi < 0 $
  2. b) richtig:
    $ h(-2) = -2 \cdot \sin \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot (-2) \right) + \dfrac{1}{2} = -2 \cdot \sin(-\pi) + \dfrac{1}{2} = -2 \cdot 0 + \dfrac{1}{2} = \frac{1}{2} > 0. $
    $ h(-2) = \frac{1}{2} > 0 $
  3. c) richtig:
    $ h'(-3) = -\pi \cdot \cos \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot (-3) \right) = -\pi \cdot \cos \left( -\dfrac{3}{2} \pi \right) = -\pi \cdot 0 = 0. $
    $ h'(-3) = 0 $
  4. d) falsch:
    $ h''(3) = \dfrac{1}{2} \pi^2 \cdot \sin \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot 3 \right) = \dfrac{1}{2} \pi^2 \cdot \sin \left( \dfrac{3}{2} \pi \right) = \dfrac{1}{2} \pi^2 \cdot (-1) = -\frac{1}{2} \pi^2 < 0. $
    $ h''(3) = -\frac{1}{2} \pi^2 < 0 $

Aufgabe 3.3

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen sollst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung im Intervall $ [-1; \; 3] $ fest vorgegeben. Das Schaubild darf nicht darüber hinaus gezeichnet werden.
Für den Bereich der $y$–Achse ist z. B. $ -1 \leq y \leq 3 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
Aufgabe 3
Abb. 5: Schaubild der Funktion $f$
Aufgabe 3
Abb. 5: Schaubild der Funktion $f$
$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass $\boldsymbol{y = 3x + 1 - \frac{3}{4}\pi}$ Wendetangente an $\boldsymbol{K_f}$ ist
Eine Wendetangente ist eine Tangente im Wendepunkt. Wenn du zeigen sollst, dass $y = 3x + 1 - \frac{3}{4}\pi$ eine Wendetangente an $K_f$ ist, so darfst du nicht den GTR für die Lösung heranziehen. Die Tangentengleichung ist in exakter Schreibweise angegeben, also wird von dir eine schrifliche Rechnung verlangt. Das gilt für die Tangentengleichung ebenso wie für den Wendepunkt, den du noch nicht kennst.
1. Schritt: Den Wendepunkt schriftlich bestimmen
Das Schaubild auf Wendepunkte zu untersuchen bedeutet, für die Funktion $f'$ die Extremstellen zu ermitteln. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die Ableitungen der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
Berechnung der Ableitungen:
In Teilaufgabe 3.2 hast du die Ableitungsregeln bereits kennengelernt. \begin{array}{rcl} f(x) &=& -1,5 \cdot \cos(2x) + 1 \\ f'(x) &=& -1,5 \cdot 2 \cdot (-\sin(2x)) + 0 \\ &=& 3 \cdot \sin(2x) \\ f''(x) &=& 3 \cdot 2 \cdot \cos(2x) \\ &=& 6 \cdot \cos(2x) \\ f'''(x) &=& 6 \cdot 2 \cdot (-\sin(2x)) \\ &=& -12 \cdot \sin(2x) \end{array} Berechnung der Nullstellen der zweiten Ableitung:
Berücksichtige dabei, dass im Intervall $ [-1; \; 3] $ die Cosinus–Funktion nur die Nullstelle $ x = \frac{1}{2} \pi $ besitzt.
\begin{array}{rcll} f''(x) &=& 0 \\ 6 \cdot \cos(2x) &=& 0 & & \scriptsize \mid \; : 6 \\ \cos(2x) &=& 0 & & \scriptsize \mid \; z = 2x \; \text{Substitution} \\ \cos(z) &=& 0 & & \\ z &=& \dfrac{1}{2} \pi & & \scriptsize \mid \; \text{Resubstitution} \\ 2x &=& \dfrac{1}{2} \pi & & \scriptsize \mid \; : 2 \\ x &=& \dfrac{1}{4}\pi \end{array}
\begin{array}{rcll} f''(x) &=& 0 \\ x &=& \dfrac{1}{4}\pi \end{array}
Wegen
$f''' \left( \frac{1}{4}\pi \right) = -12\sin \left( 2 \cdot \frac{1}{4}\pi \right) = -12\sin \left( \frac{1}{2}\pi \right) = -12 \ne 0 $
$f''' \left( \frac{1}{4}\pi \right) = -12 \ne 0 $
liegt an der Stelle $ x = \frac{1}{4}\pi $ eine Wendestelle vor. Der Wendepunkt hat die $y$–Koordinate
\[ f \left( \frac{1}{4}\pi \right) = -1,5 \cdot \cos(2 \cdot \frac{1}{4}\pi) + 1 = -1,5 \cdot \cos(\frac{1}{2}\pi) + 1 = -1,5 \cdot 0 + 1 = 1. \]
$ f \left( \frac{1}{4}\pi \right) = 1 $
Der Wendepunkt hat die Koordinaten $ W \left( \frac{1}{4}\pi \mid 1 \right). $
2. Schritt: Die Wendetangente an $K_f$ schriftlich berechnen
Eine Gleichung für die Tangente $t$ an der Stelle $ x_0 $ lautet
$ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0).$ $ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0).$
Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt $ W \left( \frac{1}{4}\pi \mid 1 \right). $ Um sie exakt zu berechnen, wird noch die Steigung der Tangente an der Wendestelle $ x_0 = \frac{1}{4} $ benötigt:
\[ f'\left( \frac{1}{4}\pi \right) = 3 \cdot \sin \left( 2 \cdot \frac{1}{4}\pi \right) = 3 \cdot \sin \left( \frac{1}{2}\pi \right) = 3 \cdot 1 = 3. \]
$ f'\left( \frac{1}{4}\pi \right) = 3 $
Die Gleichung der Tangente ist folglich
\begin{array}{rcl} t: t(x) &=& f'\left( \dfrac{1}{4}\pi \right) \cdot \left( x - \dfrac{1}{4}\pi \right) + f \left( \dfrac{1}{4}\pi \right) \\[5pt] &=& 3 \cdot \left( x - \dfrac{1}{4}\pi \right) + 1 \\[5pt] &=& 3x - \dfrac{3}{4}\pi + 1 \\[5pt] &=& 3x + 1 - \dfrac{3}{4}\pi. \end{array}
\begin{array}{rcl} t: t(x) &=& 3x + 1 - \dfrac{3}{4}\pi. \end{array}
Der Nachweis für die Richtigkeit der Gleichung der Wendetangente ist folglich erbracht.
$\blacktriangleright$   Koordinaten des Wendepunktes angeben
Der Wendepunkt besitzt die Koordinaten $ W \left( \frac{1}{4}\pi \mid 1 \right). $
$\blacktriangleright$   Gleichung der Normalen im Wendepunkt bestimmen
Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht auf der Tangente steht und durch denselben Punkt von $K_f$ geht. Du sollst die Gleichung der Normalen im Wendepunkt bestimmen. Eine Berechnung mit dem GTR von TI ist nicht möglich, weshalb du sie durch schriftliche Rechnung ermitteln.
Eine Gleichung für die Normale $t$ an der Stelle $ x_0, $ wenn $ f'(x_0) \neq 0 $ lautet
$ n(x) = - \dfrac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0).$ $ n(x) = - \dfrac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0).$
Es ist $x_0 = \frac{1}{4}\pi.$ Du hast schon alle benötigten Werte berechnet, so dass du nur noch in die Gleichung einsetzen musst. Löse abschließend die Klammern auf, um die Gleichung Normalen in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten.
\begin{array}{rcl} n: n(x) &= -\dfrac{1}{3} \cdot \left( x - \dfrac{1}{4}\pi \right) + f \left( \dfrac{1}{4}\pi \right) \\[5pt] & = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}\pi + 1 \\[5pt] & = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{12}\pi + 1 \\[5pt] &= -\dfrac{1}{3}x + 1 + \dfrac{1}{12}\pi. \end{array} Die Gleichung der Normalen in dem Wendepunkt $ W \left( \frac{1}{4}\pi \mid 1 \right) $ ist $ n(x) = -\frac{1}{3}x + 1 + \frac{1}{12}\pi. $

Aufgabe 3.4

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Hochpunktes von $\boldsymbol{K_f}$ exakt angeben
Weil du die exakten Koordinaten des Hochpunktes angeben sollst, darfst du hier nicht den GTR verwenden - außer zur Kontrolle natürlich. Eine ausführliche schriftliche Herleitung ist nicht verlangt, da du die Koordinaten nur angeben sollst.
Überlege dir anhand des Funktionsterms von $f,$ welche Periodenlänge $P$ das Schaubild haben muss. In Teilaufgabe 3.1 hast du eine Formel für den Zusammenhang zwischen Periodenlänge und Vorzahl $k$ vor dem $x$ verwendet: $ k \cdot P = 2\pi. $
Innerhalb einer Peridoenlänge, d. h. im Intervall $ [0; \; P] $ nimmt eine Cosinus–Funktion seine Hochpunkte und Tiefpunkte an den Rändern des Intervalls und in der Intervallmitte an: $ x = 0 $ oder $ x = \frac{1}{2} \cdot P $ und $ x = P. $ Bestimme nun mithilfe von Abbildung 5 die richtige Stelle des Hochpunktes.
Die Periodenlänge ist $ P = \pi, $ so dass bei $ x = \frac{1}{2} \cdot \pi $ die Hochstelle liegen muss.
Um die $y$–Koordinate angeben zu können, muss du noch $ y = f\left( \frac{1}{2}\pi \right) $ schriftlich berechnen.
c
$ f \left( \frac{1}{2}\pi \right) = 2,5 $
Die exakten Koordinaten des Hochpunktes sind $ H \left( \frac{1}{2}\pi \mid 2,5 \right). $
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_g}$ in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 3.3 zeichnen
Aufgabe 3
Abb. 6: Schaubild der Funktionen $f$ und $g$
Aufgabe 3
Abb. 6: Schaubild der Funktion $f$ und $g$
$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass sich $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_g}$ im Hochpunkt schneiden
Du kennst die Koordinaten des Hochpunktes von $K_f.$ Die beiden Schaubilder schneiden sich in diesem Punkt, wenn $ g \left( \frac{1}{2}\pi \right) = f \left( \frac{1}{2}\pi \right) = 2,5 $ gilt. Du sollst für den Nachweis also $ g \left( \frac{1}{2}\pi \right) $ berechnen.
\begin{array}{rcl} g \left( \dfrac{1}{2}\pi \right) &=& \dfrac{24}{\pi^3} \cdot \left( \dfrac{1}{2}\pi \right)^3 - \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& 24 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^3 \cdot (\pi)^3 - \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& 24 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot \left( \dfrac{1}{8} \right) \cdot \pi^3 - \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& 24 \cdot \left( \dfrac{1}{8} \right) \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot \pi^3 - \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& 3 \cdot 1 - \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& 2,5. \end{array}
\begin{array}{rcl} g \left( \dfrac{1}{2}\pi \right) &=& 2,5. \end{array}
Folglich schneiden sich beide Schaubilder in dem Hochpunkt von $K_f.$
$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche exakt berechnen, die von $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_g}$ eingeschlossen wird
Weil du den Inhalt der Fläche, der von den Schaubildern eingeschlossen wird, exakt berechnet sollst, darfst du den GTR nur zur Kontrolle des Ergebnises benutzen. Die Abbildung 9 zeigt dir, um welche Fläche es sich handelt.
Aufgabe 3
Abb. 7: Fläche zwischen den Schaubildern $K_f$ und $K_g$
Aufgabe 3
Abb. 7: Fläche zwischen den Schaubildern $K_f$ und $K_g$
Deine Aufgabe ist es, den Flächeninhalt der markierten Fläche zu berechnen. Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte zwischen zwei Schaubildern
$ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion –}$ $\text{untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $ $ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion –}$ $\text{untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind und welche Funktion die obere und welche die untere ist.
Aus der Zeichnung kannst du vermuten, dass $ a = 0 $ und $ b = \frac{1}{2}\pi $ die Schnittstellen der Schaubilder $K_f$ und $K_g$ sind. Den gemeinsamen Schnittpunkt an der Stelle $ b = \frac{1}{2}\pi $ hast du schon in der Aufgabe 3.3 nachgewiesen. Weise durch schriftliche Rechnung nach, dass $ a = 0 $ die linke Schnittstelle ist.
Der zweite Schnittpunkt der Schaubilder $K_f$ und $K_g$ liegt auf der $y$–Achse und hat die Koordinaten $ (0 \mid -0,5): $
\begin{align*} f(0) &= -1,5 \cdot \cos(2 \cdot 0) + 1 = -1,5 \cdot \cos(0) + 1 = -1,5 \cdot 1 + 1 = -1,5 + 1 = -0,5 \\[5pt] g(0) &= \frac{24}{\pi^3} \cdot 0^3 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} = -0,5 \end{align*}
\begin{align*} f(0) &= -0,5 \\[5pt] g(0) & = -0,5 \end{align*}
Außerdem erkennst du, dass das Schaubild von $K_f$ im Bereich $ [0; \; \frac{1}{2}\pi] $ oberhalb des Schaubildes von $K_g$ verläuft. Deshalb gibt \[ A = \int_0^{\frac{1}{2}\pi} (f(x) - g(x)) \; \mathrm{d}x \] den Inhalt der Fläche zwischen beiden Schaubildern an. Weil das Ergebnis exakt berechnet werden soll, ist eine schriftliche Berechnung mithilfe von Stammfunktionen erforderlich.
Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formeln für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r, \, (r \neq-1), $ und die Stammfunktion $H$ einer Funktion $h$ mit $ h(x) = \cos(a \cdot x), \, a\neq 0, $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $ und $ H(x) = -\dfrac{1}{a} \cdot \sin ( a \cdot x). $ $ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $ und $ H(x) = -\dfrac{1}{a} \cdot \sin ( a \cdot x). $
Durch die Betrachtung der Differenzfunktion $ d(x) = f(x) - g(x) $ lässt sich der Aufwand für die Berechnung vermindern, weil Terme zusammengefasst werden können:
\begin{array}{rcl} d(x) &=& f(x) - g(x) \\ &=& (-1,5 \cdot \cos(2x) + 1) - \left( \dfrac{24}{\pi^3} \cdot x^3 - \dfrac{1}{2} \right) \\[5pt] &=& -1,5 \cdot \cos(2x) + 1 - \dfrac{24}{\pi^3} \cdot x^3 + d\frac{1}{2} \\[5pt] &=& -1,5 \cdot \cos(2x) - 24 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot x^3 + \dfrac{3}{2} \\[5pt] D(x) &=& -\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \sin(2x) - 24 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot x^4 + \dfrac{3}{2} \cdot x \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{4} \cdot \sin(2x) - 24 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot x^4 + \dfrac{3}{2} \cdot x \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{4} \cdot \sin(2x) - 6 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot x^4 + \dfrac{3}{2} \cdot x \\[5pt] D(\frac{1}{2}\pi) &=& -\dfrac{3}{4} \cdot \sin(2 \cdot \dfrac{1}{2}\pi) - 6 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot (\dfrac{1}{2}\pi)^4 + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\pi \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{4} \cdot \sin(\pi) - 6 \cdot d\frac{1}{\pi^3} \cdot (\dfrac{1}{2})^4 \cdot (\pi)^4 + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \pi \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{4} \cdot 0 - 6 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot \dfrac{1}{16} \cdot \pi^4 + \dfrac{3}{4} \cdot \pi \\[5pt] &=& -\dfrac{6}{16} \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot \pi^4 + \dfrac{3}{4} \cdot \pi \\[5pt] &=& - \dfrac{3}{8} \cdot \pi + d\frac{3}{4} \cdot \pi \\[5pt] &=& \dfrac{3}{8} \cdot \pi \\[5pt] D(0) &=& -\dfrac{3}{4} \cdot \sin(2 \cdot 0) - 6 \cdot d\frac{1}{\pi^3} \cdot 0^4 + \dfrac{3}{2} \cdot 0 \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{4} \cdot \sin(0) - 6 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot 0 + 0 \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{4} \cdot 0 - 0 \\[5pt] &=& 0 \\ D(\dfrac{1}{2}\pi) - D(0) &=& \dfrac{3}{8} \cdot \pi - 0 \\[5pt] &=& \dfrac{3}{8}\pi \end{array}
\begin{array}{rcl} d(x) &=& …\\ D(x) &=& …\\ D(\frac{1}{2}\pi) &=& …\\ D(0) &=& … \\ D(\dfrac{1}{2}\pi) - D(0) &=&… \end{array}
Der exakte Inhalt der Fläche, die von $K_f$ und $K_g$ eingeschlossen wird, beträgt $ A = \frac{3}{8}\pi. $ Der Wert ist näherungsweise $ A \approx 1,18.$
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Aufgabe 3.1

$\blacktriangleright$   Begründen, welches Schaubild zu der Gleichung $\boldsymbol{y = a \cdot \cos(k \cdot x)+b}$ gehört
Aufgabe 3
Abb. 1: Schaubild einer trigonometrischen Funktion $g$
Aufgabe 3
Abb. 2: Schaubild einer trigonometrischen Funktion $h$
Aufgabe 3
Abb. 2 : Schaubild einer trigonometrischen Funktion $h$
Du sollst eines der beiden Schaubilder einer Cosinus–Funktion mit der Gleichung $\boldsymbol{y = a \cdot \cos(k \cdot x)+b}$ zuordnen.
1. Überlegung: Symmetrieeigenschaft der Cosinus–Funktion
Erinnere dich daran, welche Symmetrieeigenschaft das Schaubild der Cosinus–Funktion aufweist, und dass
  • eine Streckung in $y$–Richtung durch den Einflussfaktor $a$ bzw.
  • eine Streckung in $x$–Richtung durch den Einflussfaktor $k$ bzw.
  • eine Verschiebung in $y$–Richtung durch den Summanden $b$
keinen Einfluss auf seine Symmetrieeigenschaft haben.
2. Überlegung: Schnittpunkt der Cosinus–Funktion mit der $\boldsymbol{y}$–Achse
Alternativ kannst du dir überlegen, welchen besonderen Punkt das Schaubild einer Cosinus–Funktion im Schnittpunkt mit der $y$–Achse hat. Auch daran kannst du das richtige Schaubild erkennen und die passende Begründung geben.
Nur die Abbildung 1 zeigt das Schaubild einer Funktion mit der Gleichung $\boldsymbol{y = a \cdot \cos(kx) + b}.$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  1. Mögliche Begründung
Das Schaubild der Funktion $\boldsymbol{y = \cos(x)}$ ist symmetrisch zur $y$–Achse, wobei die Größen $a, \; b$ und $c$ keinen Einfluss auf die Symmetrieeigenschaft haben. Das linke Schaubild ist symmetrisch zur $y$–Achse, das rechte Schaubild nicht. Folglich ist Abbildung 1 die richtige Entscheidung.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  2. Mögliche Begründung
Das Schaubild der Funktion $\boldsymbol{y = \cos(x)}$ weist im Schnittpunkt mit der $y$–Achse eine Extrempunkt auf. Für $ a >0 $ liegt eine Hochpunkt, für $ a < 0 $ ein Tiefpunkt vor. Die Größen $b$ und $c$ haben keinen Einfluss auf die Art des Extrempunktes. Das linke Schaubild zeigt einen Hochpunkt auf der $y$–Achse, das rechte Schaubild nicht. Also ist Abbildung 1 die richtige Entscheidung.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{a, \; b}$ und $\boldsymbol{c}$ in der Gleichung $\boldsymbol{y = a \cdot \cos(k \cdot x)+b}$ bestimmen
Deine Aufgabe ist es, die unbekannten Größen in der Gleichung $y = a \cdot \cos(k \cdot x) + b$ zu ermitteln. Du kannst sie mithilfe von Formeln berechnen oder die Werte mithilfe einer Hilfslinie aus der Zeichnung ablesen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  1. Lösung durch Rechnung
Notiere dir zunächst die Koordinaten eines Tiefpunktes $ T(x_T \mid y_T) $ und des nächsten rechts oder links vom Tiefpunkt liegendes Hochpunktes $ H(x_H \mid y_H).$ Mithilfe der folgenden Formeln kannst du die Werte berechnen:
$ b = \dfrac{y_H + y_T}{2} $ $ b = \dfrac{y_H + y_T}{2} $
$b$ gibt die Verschiebung des Schaubildes $y = \cos(x)$ in Richtung der $y$–Achse an.
Amplitude = $ \dfrac{y_H - y_T}{2} $ Amplitude = $ \dfrac{y_H - y_T}{2} $
Die Amplitude $b$ bzw. Schwingungstiefe ist der senkrechte Abstand zwischen der Mittellinie $y=b$ und einem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt. Sie gibt die Streckung des Schaubildes $y = \cos(x)$ in Richtung der $y$–Achse an. Beachte, dass der Abstand bzw. die Amplitude stets positiv ist, der Wert von $a$ aber negativ sein kann: Wenn es zusätzlich an der Gerade $ y = b$ gespiegelt ist, gilt $ a = -$Amplitude; andernfalls stimmen Amplitude und der Wert von a überein. Bestimme nun seinen Wert.
$P$ gibt die Periodenlänge einer trigonometrischen Funktion an und wird mithilfe der Formel
$ P = 2 \cdot \left( x_H - x_T \right)$ $ P = 2 \cdot \left( x_H - x_T \right)$
berechnet, wenn der Hochpunkt rechts vom Tiefpunkt liegt, bzw.
$ P = 2 \cdot \left( x_T - x_H \right),$ $ P = 2 \cdot \left( x_T - x_H \right),$
wenn der Hochpunkt links vom Tiefpunkt liegt.
Den Wert von $k$ kannst du dann mithilfe der Gleichung
$ k \cdot P = 2 \cdot \pi$ $ k \cdot P = 2 \cdot \pi$
berechnen.
Das Schaubild besitzt z. B. den Tiefpunkt $ T(1,5 \mid -2) $ und links von ihm den nächstliegenden Hochpunkt $ H(0 \mid 1).$
Die Gleichung der Mittellinie ist $ y = b =\frac{y_H + y_T}{2} = \frac{1 + (-2)}{2} = -\frac{1}{2}.$
Die Amplitude oder Schwingungstiefe ist $ \frac{y_H - y_T}{2} = \frac{1 - (-2)}{2} = \frac{3}{2}. $ Weil auf der $y$–Achse ein der Hochpunkt liegt, liegt keine Spiegelung der ursprünglichen Cosinus–Funktion vor. Also ist $ a = \frac{3}{2}. $
Die Periodenlänge ist $ P = 2 \cdot (x_T - x_H) = 2 \cdot (1,5 - 0) = 2 \cdot 1,5 = 3, $ d. h. die Vorzahl $k$ vor der Variablen $x$ ist $ k = \frac{2\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi. $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  2. Lösung mithilfe einer Hilfslinie in der Zeichnung
Zeichne in Abbildung 1 die Mittelinie ein: Sie verläuft parallel zur $x$–Achse und hat zu jedem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt denselben senkrechten Abstand.
Aufgabe 3
Abb. 3: Abbildung 1 mit Mittellinie
Aufgabe 3
Abb. 3: Abbildung 1 mit Mittellinie
Bestimme die Gleichung dieser Mittellinie. Sie liefert dir den Wert für $b$ und stellt die Verschiebung des Schaubildes in Richtung der $y$–Achse dar.
Der senkrechte Abstand zwischen der Mittellinie und einem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt gibt die Amplitude bzw. Schwingungstiefe und beschreibt die Streckung des Schaubildes in $y$–Richtung. Beachte, dass der Abstand stets positiv ist, der Wert von $a$ aber negativ sein kann: Eine Spiegelung des ursprünglichen Schaubildes $y = \cos(x)$ an der Mittelinie $y = b$ bewirkt ein negatives Vorzeichen von $a.$ Bestimme nun seinen Wert.
Der horizontale Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten (oder Tiefpunkten oder Wendepunkten) gibt die Periodenlänge $P$ an. Wenn du $P$ aus der Zeichnung abgelesen hast, kannst du den Wert von $k$ aus der Formel
$ k \cdot P = 2 \cdot \pi $ $ k \cdot P = 2 \cdot \pi $
bestimmen.
Jetzt kannst du die vollständige Gleichung angeben.
Aufgabe 3
Abb. 4: Abbildung 1 mit Mittellinie, Amplitude und Periodenlänge
Aufgabe 3
Abb. 4: Abbildung 1 mit Mittellinie, Amplitude und Periodenlänge
Die gesuchte Funktion ist $ g(x) = \frac{3}{2} \cdot \cos \left( \frac{2}{3}\pi \cdot x \right) - \frac{1}{2}. $

Aufgabe 3.2

$\blacktriangleright$   Aussagen über jede der Abbildungen mit wahr oder falsch beurteilen
Anhand der Abbildungen 1 und 2 sollst du für jedes Schaubild vier Aussagen untersuchen, ob sie wahr oder falsch sind. Eine kurze Begründung wird jeweils von dir verlangt. Sie kann aufgrund der Eigenschaften des Schaubildes oder aber durch schriftliche Rechnung erfolgen.
Um die richtige Entscheidung zu treffen, solltest du über das Schaubild einer Funktion folgendes wissen:
  1. An einer Extremstelle ist die Steigung der Tangente waagerecht.
  2. Eine waagerechte Tangente hat die Steigung Null.
  3. Der Wert der ersten Ableitungsfunktion an einer Stelle gibt die Steigung der Tangente an.
  4. Verläuft das Schaubild oberhalb/unterhalb der $x$–Achse, so sind die zugehörigen Funktionswerte positiv/negativ.
  5. Die zweite Ableitungsfunktion an einer Stelle gibt die Krümmung an.
  6. Wenn das Schaubild an einer Stelle linksgekrümmt/rechtsgekrümmt ist, ist der Wert der zweiten Ableitungsfunktion positiv/negativ.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  1. Beurteilung mithilfe des Schaubildes
Abbildung 1: Schaubild $K_g$
Die Aussage ist
  1. a) falsch: Bei $x=0$ liegt ein Hochpunkt vor, d. h der Wert der ersten Ableitung an der Stelle ist Null.
  2. b) falsch: $K_g$ verläuft an der Stelle $x=-2$ unterhalb der $x$–Achse, d. h. der Funktionswert ist negativ.
  3. c) richtig: An der Stelle $x=-3$ liegt ein Hochpunkt vor, d. h. der Wert der ersten Ableitung dort ist Null.
  4. d) falsch: $K_g$ ist an der Stelle $x=3$ rechtsgekrümmt, d. h. die zweite Ableitung dort ist kleiner Null.
Abbildung 2: Schaubild $K_h$
Die Aussage ist
  1. a) richtig: $K_h$ fällt an der Stelle $x=0,$ d. h der Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle ist negativ.
  2. b) richtig: $K_h$ verläuft an der Stelle $x=-2$ oberhalb der $x$–Achse, d. h. der Funktionswert ist positiv.
  3. c) richtig: An der Stelle $x=-3$ liegt ein Tiefpunkt vor, d. h. der Wert der ersten Ableitung dort ist Null.
  4. d) falsch: $K_h$ ist an der Stelle $x=3$ rechtsgekrümmt, d. h. die zweite Ableitung dort ist kleiner Null.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  2. Beurteilung mithilfe einer Rechnung
Mithilfe der Funktion und der ersten und zweiten Ableitungsfunktionen kannst du jede Aussage prüfen.
Abbildung 1: Schaubild $K_g$
Berechne zunächst $g'(x)$ und $g''(x)$ und prüfe dann die Aussagen durch Einsetzen der angebenen Stellen in die passende Funktion. Du benötigst dabei die Ableitungsformeln
$ (\sin (k \cdot x)' = k \cdot \cos(k \cdot x) $ und $ (\cos (k \cdot x))' = -k \cdot \sin(k \cdot x) $ $ (\sin (k \cdot x)' = k \cdot \cos(k \cdot x) $ und $ (\cos (k \cdot x))' = -k \cdot \sin(k \cdot x) $
für jede beliebige feste Zahl $ k \in \mathbb{R}.$ \begin{array}{rcl} g(x) &=& \dfrac{3}{2} \cdot \cos \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot x \right) - \dfrac{1}{2} \\[5pt] g'(x) &=& \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \pi \cdot \left( -\sin \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot x \right) \right) + 0 \\[5pt] &=& -\pi \cdot \sin \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot x \right) \\[5pt] g''(x) &=& -\pi \cdot \dfrac{2}{3} \pi \cdot \cos \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot x \right) \\[5pt] &=& -\dfrac{2}{3} \pi^2 \cdot \cos \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot x \right) \end{array}
Die Aussage ist
  1. a) falsch: $ g'(0) = -\pi \cdot \sin \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot 0 \right) = -\pi \cdot \sin(0) = -\pi \cdot 0 = 0. $
  2. b) falsch: \[ g(-2) = \dfrac{3}{2} \cdot \cos \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot (-2) \right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \cdot \cos \left( -\dfrac{4}{3} \pi \right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \cdot (-\dfrac{1}{2} ) - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{5}{2} < 0. \]
  3. c) richtig: $ g'(-3) = -\pi \cdot \sin \left( \dfrac{2}{3} \pi \cdot (-3) \right) = -\pi \cdot \sin(-2\pi) = -\pi \cdot 0 = 0. $
  4. d) falsch: $ g''(3) = -\dfrac{2}{3} \pi^2 \cdot \cos \left(\dfrac{2}{3} \pi \cdot 3 \right) = -\dfrac{2}{3} \pi^2 \cdot \cos(2\pi) = -\dfrac{2}{3} \pi^2 \cdot 1 = -\dfrac{2}{3} \pi^2 < 0. $
Abbildung 2: Schaubild $K_h$
Bestimme zunächst wie in Teilaufgabe 3.1 die Gleichung des Schaubildes aus Abbildung 2. Hier ist das Kontrollergebnis: $ h(x) = -2 \cdot \sin \left( \frac{1}{2} \pi \cdot x \right) + \frac{1}{2} $
Berechne anschließend $h'(x)$ und $h''(x)$ und prüfe die Aussagen durch Einsetzen der angebenen Stellen in die passende Funktion. \begin{array}{rcl} h(x) &=& -2 \cdot \sin \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot x \right) + \dfrac{1}{2} \\[5pt] h'(x) &=& -2 \cdot \dfrac{1}{2} \pi \cos \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot x \right) + 0 \\[5pt] &=& -\pi \cdot \cos \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot x \right) \\[5pt] h''(x) &=& -\pi \cdot \dfrac{1}{2} \pi \cdot \left( -\sin \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot x \right) \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \pi^2 \cdot \sin \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot x \right) \end{array} Die Aussage ist
  1. a) richtig: $ h'(0) = -\pi \cdot \cos \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot 0 \right) = -\pi \cdot \cos(0) = -\pi \cdot 1 = -\pi < 0. $
  2. b) richtig: $ h(-2) = -2 \cdot \sin \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot (-2) \right) + \dfrac{1}{2} = -2 \cdot \sin(-\pi) + \dfrac{1}{2} = -2 \cdot 0 + \dfrac{1}{2} = \frac{1}{2} > 0. $
  3. c) richtig: $ h'(-3) = -\pi \cdot \cos \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot (-3) \right) = -\pi \cdot \cos \left( -\dfrac{3}{2} \pi \right) = -\pi \cdot 0 = 0. $
  4. d) falsch: $ h''(3) = \dfrac{1}{2} \pi^2 \cdot \sin \left( \dfrac{1}{2} \pi \cdot 3 \right) = \dfrac{1}{2} \pi^2 \cdot \sin \left( \dfrac{3}{2} \pi \right) = \dfrac{1}{2} \pi^2 \cdot (-1) = -\frac{1}{2} \pi^2 < 0. $

Aufgabe 3.3

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen sollst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung im Intervall $ [-1; \; 3] $ fest vorgegeben. Das Schaubild darf nicht darüber hinaus gezeichnet werden.
Für den Bereich der $y$–Achse ist z. B. $ -1 \leq y \leq 3 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
Aufgabe 3
Abb. 5: Schaubild der Funktion $f$
Aufgabe 3
Abb. 5: Schaubild der Funktion $f$
$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass $\boldsymbol{y = 3x + 1 - \frac{3}{4}\pi}$ Wendetangente an $\boldsymbol{K_f}$ ist
Eine Wendetangente ist eine Tangente im Wendepunkt. Wenn du zeigen sollst, dass $y = 3x + 1 - \frac{3}{4}\pi$ eine Wendetangente an $K_f$ ist, so darfst du nicht den GTR für die Lösung heranziehen. Die Tangentengleichung ist in exakter Schreibweise angegeben, also wird von dir eine schrifliche Rechnung verlangt. Das gilt für die Tangentengleichung ebenso wie für den Wendepunkt, den du noch nicht kennst.
1. Schritt: Den Wendepunkt schriftlich bestimmen
Das Schaubild auf Wendepunkte zu untersuchen bedeutet, für die Funktion $f'$ die Extremstellen zu ermitteln. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die Ableitungen der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
Berechnung der Ableitungen:
In Teilaufgabe 3.2 hast du die Ableitungsregeln bereits kennengelernt. \begin{array}{rcl} f(x) &=& -1,5 \cdot \cos(2x) + 1 \\ f'(x) &=& -1,5 \cdot 2 \cdot (-\sin(2x)) + 0 \\ &=& 3 \cdot \sin(2x) \\ f''(x) &=& 3 \cdot 2 \cdot \cos(2x) \\ &=& 6 \cdot \cos(2x) \\ f'''(x) &=& 6 \cdot 2 \cdot (-\sin(2x)) \\ &=& -12 \cdot \sin(2x) \end{array} Berechnung der Nullstellen der zweiten Ableitung:
Berücksichtige dabei, dass im Intervall $ [-1; \; 3] $ die Cosinus–Funktion nur die Nullstelle $ x = \frac{1}{2} \pi $ besitzt. \begin{array}{rcll} f''(x) &=& 0 \\ 6 \cdot \cos(2x) &=& 0 & & \scriptsize \mid \; : 6 \\ \cos(2x) &=& 0 & & \scriptsize \mid \; z = 2x \; \text{Substitution} \\ \cos(z) &=& 0 & & \\ z &=& \dfrac{1}{2} \pi & & \scriptsize \mid \; \text{Resubstitution} \\ 2x &=& \dfrac{1}{2} \pi & & \scriptsize \mid \; : 2 \\ x &=& \dfrac{1}{4}\pi \end{array} Wegen $ f''' \left( \frac{1}{4}\pi \right) = -12\sin \left( 2 \cdot \frac{1}{4}\pi \right) = -12\sin \left( \frac{1}{2}\pi \right) = -12 \ne 0 $ liegt an der Stelle $ x = \frac{1}{4}\pi $ eine Wendestelle vor. Der Wendepunkt hat die $y$–Koordinate \[ f \left( \frac{1}{4}\pi \right) = -1,5 \cdot \cos(2 \cdot \frac{1}{4}\pi) + 1 = -1,5 \cdot \cos(\frac{1}{2}\pi) + 1 = -1,5 \cdot 0 + 1 = 1. \] Der Wendepunkt hat die Koordinaten $ W \left( \frac{1}{4}\pi \mid 1 \right). $
2. Schritt: Die Wendetangente an $K_f$ schriftlich berechnen
Eine Gleichung für die Tangente $t$ an der Stelle $ x_0 $ lautet
$ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0).$ $ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0).$
Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt $ W \left( \frac{1}{4}\pi \mid 1 \right). $ Um sie exakt zu berechnen, wird noch die Steigung der Tangente an der Wendestelle $ x_0 = \frac{1}{4} $ benötigt: \[ f'\left( \frac{1}{4}\pi \right) = 3 \cdot \sin \left( 2 \cdot \frac{1}{4}\pi \right) = 3 \cdot \sin \left( \frac{1}{2}\pi \right) = 3 \cdot 1 = 3. \] Die Gleichung der Tangente ist folglich \[ \begin{array}{rcl} t: t(x) &=& f'\left( \dfrac{1}{4}\pi \right) \cdot \left( x - \dfrac{1}{4}\pi \right) + f \left( \dfrac{1}{4}\pi \right) \\[5pt] &=& 3 \cdot \left( x - \dfrac{1}{4}\pi \right) + 1 \\[5pt] &=& 3x - \dfrac{3}{4}\pi + 1 \\[5pt] &=& 3x + 1 - \dfrac{3}{4}\pi. \end{array} \] Der Nachweis für die Richtigkeit der Gleichung der Wendetangente ist folglich erbracht.
$\blacktriangleright$   Koordinaten des Wendepunktes angeben
Der Wendepunkt besitzt die Koordinaten $ W \left( \frac{1}{4}\pi \mid 1 \right). $
$\blacktriangleright$   Gleichung der Normalen im Wendepunkt bestimmen
Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht auf der Tangente steht und durch denselben Punkt von $K_f$ geht. Du sollst die Gleichung der Normalen im Wendepunkt bestimmen, d. h. du kannst sie mit dem GTR von CASIO oder durch schriftliche Rechnung ermitteln. Eine Berechnung mit dem GTR von TI ist nicht möglich.
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR von CASIO
Wenn du einen GTR von CASIO verwendest, prüfe zunächst, ob die Funktion DERIVATE in den Systemeinstellungen aktiviert ist (Schalter auf ON). Die Systemeinstellungen rufst du mit SHIFT–MENU auf.
Aufgabe 3
Abb. 6: Automatische Berechnung der Ableitung aktivieren
Aufgabe 3
Abb. 6: Automatische Berechnung der Ableitung aktivieren
Im Graph–Menü hast du schon den Funktionsterm von $f$ eingeben. Lass dir das Schaubild und die Normale anzeigen und die Gleichung der Normalen ausgeben.
Gib dazu im CASIO-GTR die Tastenfolge
Sketch $\to$ Norm $\to$ Eingabe $ \dfrac{1}{4}\pi $ $\to$ EXE $\to$ EXE Sketch $\to$ Norm $\to$ Eingabe $ \dfrac{1}{4}\pi $ $\to$ EXE $\to$ EXE
ein.
Aufgabe 3
Abb. 7: Berechnung der Normalengleichung
Aufgabe 3
Abb. 7: Berechnung der Normalengleichung
Ergebnis: $n: y = -0,333x + 1,2617.$
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Eine Gleichung für die Normale $t$ an der Stelle $ x_0, $ wenn $ f'(x_0) \neq 0 $ lautet
$ n(x) = - \dfrac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0).$ $ n(x) = - \dfrac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0).$
Es ist $x_0 = \frac{1}{4}\pi.$ Du hast schon alle benötigten Werte berechnet, so dass du nur noch in die Gleichung einsetzen musst. Löse abschließend die Klammern auf, um die Gleichung Normalen in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten.
\begin{array}{rcl} n: n(x) &= -\dfrac{1}{3} \cdot \left( x - \dfrac{1}{4}\pi \right) + f \left( \dfrac{1}{4}\pi \right) \\[5pt] & = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}\pi + 1 \\[5pt] & = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{12}\pi + 1 \\[5pt] &= -\dfrac{1}{3}x + 1 + \dfrac{1}{12}\pi. \end{array} Die Gleichung der Normalen in dem Wendepunkt $ W \left( \frac{1}{4}\pi \mid 1 \right) $ ist $ n(x) = -\frac{1}{3}x + 1 + \frac{1}{12}\pi. $

Aufgabe 3.4

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Hochpunktes von $\boldsymbol{K_f}$ exakt angeben
Weil du die exakten Koordinaten des Hochpunktes angeben sollst, darfst du hier nicht den GTR verwenden - außer zur Kontrolle natürlich. Eine ausführliche schriftliche Herleitung ist nicht verlangt, da du die Koordinaten nur angeben sollst.
Überlege dir anhand des Funktionsterms von $f,$ welche Periodenlänge $P$ das Schaubild haben muss. In Teilaufgabe 3.1 hast du eine Formel für den Zusammenhang zwischen Periodenlänge und Vorzahl $k$ vor dem $x$ verwendet: $ k \cdot P = 2\pi. $
Innerhalb einer Peridoenlänge, d. h. im Intervall $ [0; \; P] $ nimmt eine Cosinus–Funktion seine Hochpunkte und Tiefpunkte an den Rändern des Intervalls und in der Intervallmitte an: $ x = 0 $ oder $ x = \frac{1}{2} \cdot P $ und $ x = P. $ Bestimme nun mithilfe von Abbildung 5 die richtige Stelle des Hochpunktes.
Die Periodenlänge ist $ P = \pi, $ so dass bei $ x = \frac{1}{2} \cdot \pi $ die Hochstelle liegen muss.
Um die $y$–Koordinate angeben zu können, muss du noch $ y = f\left( \frac{1}{2}\pi \right) $ schriftlich berechnen.
\[ f \left( \frac{1}{2}\pi \right) = -1,5 \cdot \cos \left( 2 \cdot \frac{1}{2}\pi \right) + 1 = -1,5 \cdot \cos(\pi) + 1 = -1,5 \cdot (-1) + 1 = 1,5 + 1 = 2,5. \]
Die exakten Koordinaten des Hochpunktes sind $ H \left( \frac{1}{2}\pi \mid 2,5 \right). $
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_g}$ in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 3.3 zeichnen
Aufgabe 3
Abb. 8: Schaubild der Funktionen $f$ und $g$
Aufgabe 3
Abb. 8: Schaubild der Funktion $f$ und $g$
$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass sich $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_g}$ im Hochpunkt schneiden
Du kennst die Koordinaten des Hochpunktes von $K_f.$ Die beiden Schaubilder schneiden sich in diesem Punkt, wenn $ g \left( \frac{1}{2}\pi \right) = f \left( \frac{1}{2}\pi \right) = 2,5 $ gilt. Du sollst für den Nachweis also $ g \left( \frac{1}{2}\pi \right) $ berechnen. \begin{array}{rcl} g \left( \dfrac{1}{2}\pi \right) &=& \dfrac{24}{\pi^3} \cdot \left( \dfrac{1}{2}\pi \right)^3 - \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& 24 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^3 \cdot (\pi)^3 - \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& 24 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot \left( \dfrac{1}{8} \right) \cdot \pi^3 - \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& 24 \cdot \left( \dfrac{1}{8} \right) \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot \pi^3 - \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& 3 \cdot 1 - \dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& 2,5. \end{array} Folglich schneiden sich beide Schaubilder in dem Hochpunkt von $K_f.$
$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche exakt berechnen, die von $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_g}$ eingeschlossen wird
Weil du den Inhalt der Fläche, der von den Schaubildern eingeschlossen wird, exakt berechnet sollst, darfst du den GTR nur zur Kontrolle des Ergebnises benutzen. Die Abbildung 9 zeigt dir, um welche Fläche es sich handelt.
Aufgabe 3
Abb. 9: Fläche zwischen den Schaubildern $K_f$ und $K_g$
Aufgabe 3
Abb. 9: Fläche zwischen den Schaubildern $K_f$ und $K_g$
Deine Aufgabe ist es, den Flächeninhalt der markierten Fläche zu berechnen. Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte zwischen zwei Schaubildern
$ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion – untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $ $ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion – untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind und welche Funktion die obere und welche die untere ist.
Aus der Zeichnung kannst du vermuten, dass $ a = 0 $ und $ b = \frac{1}{2}\pi $ die Schnittstellen der Schaubilder $K_f$ und $K_g$ sind. Den gemeinsamen Schnittpunkt an der Stelle $ b = \frac{1}{2}\pi $ hast du schon in der Aufgabe 3.3 nachgewiesen. Weise durch schriftliche Rechnung nach, dass $ a = 0 $ die linke Schnittstelle ist.
Der zweite Schnittpunkt der Schaubilder $K_f$ und $K_g$ liegt auf der $y$–Achse und hat die Koordinaten $ (0 \mid -0,5): $ \begin{align*} f(0) &= -1,5 \cdot \cos(2 \cdot 0) + 1 = -1,5 \cdot \cos(0) + 1 = -1,5 \cdot 1 + 1 = -1,5 + 1 = -0,5 \\[5pt] g(0) &= \frac{24}{\pi^3} \cdot 0^3 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} = -0,5 \end{align*}
Außerdem erkennst du, dass das Schaubild von $K_f$ im Bereich $ [0; \; \frac{1}{2}\pi] $ oberhalb des Schaubildes von $K_g$ verläuft. Deshalb gibt \[ A = \int_0^{\frac{1}{2}\pi} (f(x) - g(x)) \; \mathrm{d}x \] den Inhalt der Fläche zwischen beiden Schaubildern an. Weil das Ergebnis exakt berechnet werden soll, ist eine schriftliche Berechnung mithilfe von Stammfunktionen erforderlich.
Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formeln für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r, \, (r \neq-1), $ und die Stammfunktion $H$ einer Funktion $h$ mit $ h(x) = \cos(a \cdot x), \, a\neq 0, $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $ und $ H(x) = -\dfrac{1}{a} \cdot \sin ( a \cdot x). $ $ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1} $ und $ H(x) = -\dfrac{1}{a} \cdot \sin ( a \cdot x). $
Durch die Betrachtung der Differenzfunktion $ d(x) = f(x) - g(x) $ lässt sich der Aufwand für die Berechnung vermindern, weil Terme zusammengefasst werden können: \begin{array}{rcl} d(x) &=& f(x) - g(x) \\ &=& (-1,5 \cdot \cos(2x) + 1) - \left( \dfrac{24}{\pi^3} \cdot x^3 - \dfrac{1}{2} \right) \\[5pt] &=& -1,5 \cdot \cos(2x) + 1 - \dfrac{24}{\pi^3} \cdot x^3 + d\frac{1}{2} \\[5pt] &=& -1,5 \cdot \cos(2x) - 24 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot x^3 + \dfrac{3}{2} \\[5pt] D(x) &=& -\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \sin(2x) - 24 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot x^4 + \dfrac{3}{2} \cdot x \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{4} \cdot \sin(2x) - 24 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot x^4 + \dfrac{3}{2} \cdot x \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{4} \cdot \sin(2x) - 6 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot x^4 + \dfrac{3}{2} \cdot x \\[5pt] D(\frac{1}{2}\pi) &=& -\dfrac{3}{4} \cdot \sin(2 \cdot \dfrac{1}{2}\pi) - 6 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot (\dfrac{1}{2}\pi)^4 + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\pi \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{4} \cdot \sin(\pi) - 6 \cdot d\frac{1}{\pi^3} \cdot (\dfrac{1}{2})^4 \cdot (\pi)^4 + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \pi \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{4} \cdot 0 - 6 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot \dfrac{1}{16} \cdot \pi^4 + \dfrac{3}{4} \cdot \pi \\[5pt] &=& -\dfrac{6}{16} \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot \pi^4 + \dfrac{3}{4} \cdot \pi \\[5pt] &=& - \dfrac{3}{8} \cdot \pi + d\frac{3}{4} \cdot \pi \\[5pt] &=& \dfrac{3}{8} \cdot \pi \\[5pt] D(0) &=& -\dfrac{3}{4} \cdot \sin(2 \cdot 0) - 6 \cdot d\frac{1}{\pi^3} \cdot 0^4 + \dfrac{3}{2} \cdot 0 \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{4} \cdot \sin(0) - 6 \cdot \dfrac{1}{\pi^3} \cdot 0 + 0 \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{4} \cdot 0 - 0 \\[5pt] &=& 0 \\ D(\dfrac{1}{2}\pi) - D(0) &=& \dfrac{3}{8} \cdot \pi - 0 \\[5pt] &=& \dfrac{3}{8}\pi \end{array} Der exakte Inhalt der Fläche, die von $K_f$ und $K_g$ eingeschlossen wird, beträgt $ A = \frac{3}{8}\pi. $ Der Wert ist näherungsweise $ A \approx 1,18.$
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