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Aufgabe 3

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Aufgabe 3

Gegeben sind die folgenden Abbildungen mit Schaubildern zweier Funktionen:
3.1
Eine der beiden Abbildungen stellt das Schaubild mit der Gleichung $y=a\cos(kx)+b$ dar.
Begründe, welche das ist und bestimme $a$, $b$ und $k$.
(5P)
3.2
Untersuche für jede der beiden Abbildungen, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
  1. Der Wert der ersten Ableitung an der Stelle $x=0$ ist negativ.
  2. Der Funktionswert an der Stelle $x=-2$ ist positiv.
  3. Der Wert der ersten Ableitung an der Stelle $x=-3$ ist null.
  4. Der Wert der zweiten Ableitung an der Stelle $x=3$ ist positiv.
(8P)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-1,5\cos(2x)+1$; $x\in[-1;3]$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
3.3
Zeichne $K_f$.
Zeige, dass die Gerade mit der Gleichung $y=3x+1-\dfrac{3}{4}\pi$ eine Wendetangente an $K_f$ ist.
Gib die Koordinaten des dazugehörigen Wendepunktes an.
Bestimme die Gleichung der Normalen in diesem Punkt.
(9P)
3.4
Gib die exakten Koordinaten des Hochpunktes von $K_f$ an.
Zeichne in das Koordinatensystem von 3.3 das Schaubild $K_g$ der Funktion $g$ mit $g(x)=\dfrac{24}{\pi^3}x^3-\dfrac{1}{2}$, $x\in\mathbb{R}$.
Weise nach, dass sich $K_f$ und $K_g$ im Hochpunkt von $K_f$ schneiden.
Berechne den exakten Inhalt der Fläche, die von $K_f$ und $K_g$ eingeschlossen wird.
(8P)

(30P)
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