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Aufgabe 5

Aufgaben
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Aufgabe 5

Ein Pharmakonzern stellt aus fünf Wirkstoffen $W_1$, $W_2$, $W_3$, $W_4$ und $W_5$ drei verschiedene Tabletten $T_1$, $T_2$ und $T_3$ her. Diese Tabletten werden in drei unterschiedlichen Packungen $P_1$, $P_2$ und $P_3$ an Apotheken ausgeliefert.
Die Tabelle links gibt an, wie viele Mengeneinheiten ($\text{ME}$) der einzelnen Wirkstoffe für je eine Tablette benötigt werden. Das Verflechtungsdiagramm rechts zeigt, wie viele Tabletten in je einer Packung sind.
Aufgabe 5
Aufgabe 5
Die folgende Tabelle zeigt die Kosten für die Wirkstoffe und die Fertigungskosten für die Tabletten in Geldeinheiten pro Mengeneinheit ($\text{GE}$/$\text{ME}$):
$W_1$ $W_2$ $W_3$ $W_4$ $W_5$ $T_1$ $T_2$ $T_3$
Kosten$0,01$ $0,05$ $0,20$ $0,02$ $0,05$$0,05$ $0,15$ $0,20$
Kosten
$W_1$$0,01$
$W_2$$0,05$
$W_3$$0,20$
$W_4$$0,02$
$W_5$$0,05$
$T_1$ $0,05$
$T_2$ $0,15$
$T_3$$0,20$
Beim Verpacken der Tabletten in die Packungen ($P_1$, $P_2$ und $P_3$) fallen je Packung Kosten von $0,40\,\text{GE}$ an.
Dem Pharmakonzern entstehen fixe Kosten von $300\,\text{GE}$.
Eine Apotheke bestellt $100\;P_1$, $80\;P_2$ und $50\;P_3$.
5.1
Frau Maier reagiert allergisch auf den Wirkstoff $W_4$. Bei der Einnahme welcher Tabletten muss Frau Maier mit einer allergischen Reaktion rechnen?
(2P)
5.2
Erstelle eine Tabelle, die den Bedarf an Wirkstoffen je Packung zeigt.
Welche Mengen an Wirkstoffen werden für den Auftrag der Apotheke benötigt?
(6P)

Berechne die Gesamtkosten für diesen Auftrag.
(5P)
5.3
Für einen anderen Auftrag werden doppelt so viele Verpackungen $P_1$ wie $P_3$ bestellt. Dafür benötigt man $21.500\,\text{ME}$ des Wirkstoffs $W_3$. Von Wirkstoff $W_2$ braucht man $2.750\,\text{ME}$ weniger als von Wirkstoff $W_1$.
Wie viele Packungen $P_1$, $P_2$ und $P_3$ werden bestellt?
Wie viele Mengeneinheiten der Wirkstoffe werden dazu benötigt?
(7P)
5.4
Gegeben sind die folgenden Matrizen:
$\begin{pmatrix}-4&2\\11&13\end{pmatrix}$,   $\begin{pmatrix}a&-a\\2b&c\\c&b\end{pmatrix}$   und    $\begin{pmatrix}0,5&1&-1,5\\0&2&0,5\end{pmatrix}$.
Bezeichne die Matrizen mit $A$, $B$ und $C$ so, dass gilt:
$2\cdot A\cdot B=C$.
Berechne die Werte für $a$, $b$ und $c$.
(6P)
5.5
Gegeben ist die Matrix $A=\begin{pmatrix}-1&4&1\\3&5&7\\1&-3&0\end{pmatrix}$. Die Matrix $E$ ist die Einheitsmatrix.
Löse die Matrizengleichung $AX+2E=A+X$ nach $X$ auf.
Berechne $X$.
(4P)

(30P)
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Aufgabe 5 entfällt ab 2018.
Schriftliche Lösungen von Gleichungssystemen sind jedoch Bestandteil der Prüfungen ab 2018.

Aufgabe 5.1

$\blacktriangleright$   Angabe der Tabletten, die bei Frau Maier eine allergische Reaktion auslösen
Die Tabelle links in der Aufgabenstellung gibt an, wie viele Mengeneinheiten $\text{(ME)}$ der einzelnen Wirkstoffe für je eine Tablette benötigt werden. Du sollst nun prüfen, welche Tabletten den Wirkstoff $W_4$ enthalten, auf den Frau Maier allergisch reagiert. Suche dazu die entsprechende Zeile der Tabelle auf.

Aufgabe 5.2

$\blacktriangleright$   Aufstellen der Tabelle für den Bedarf an Wirkstoffen je Packung
Deine Aufgabe ist es, eine Tabelle zu erstellen, die den Bedarf an Wirkstoffen je Packung zeigt. Nimm dazu die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Wirtschaftliche Anwendungen" zur Hand. Du kannst mit ihrer Hilfe feststellen, dass es sich bei dem Produktionsprozess des Pharmakonzerns um einen Prozess mit linearer Verflechtung handelt:
  • Aus fünf Rohstoffen (Wirkstoffen) werden drei Zwischenprodukte (Tabletten) produziert, aus den drei Endprodukte (Packungen) erzeugt werden.
  • Die Tabelle links in der Aufgabenstellung stellt als $(5,3)$–Matrix $\boldsymbol{A}$ den Bedarf an Rohstoffen (Wirkstoffen) für die Zwischenprodukte (Tabletten) dar, aus den drei Endprodukte (Packungen) erzeugt werden.
  • Aus dem Verpflechtungsdiagramm lässt sich die $(3,3)$–Matrix $\boldsymbol{B}$ für den Bedarf an Zwischenprodukten (Tabletten) für die Endprodukte (Packungen) herleiten.
  • Das Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ beschreibt den Bedarf an Rohstoffen (Wirkstoffen) für die Endprodukte (Packungen) und ist die $(3,3)$–Matrix $\boldsymbol{C}.$
Die Formelsammlung benutzt bestimmte Bezeichnungen für die Matrizen, Vektoren und Kosten. Diese Bezeichnungen werden für die Lösungen der Teilaufgaben verwendet.
Stelle nun die Matrizen auf $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ auf. Beachte, dass in der $i$–ten Zeile der Matrix $\boldsymbol{B}$ steht, wie viele Tabletten $\mathrm{T}_i$ in den Verpackungen $ \mathrm{P}_1, \; \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3 $ enthalten sind. Die $j$–te Spalte der Matrix $\boldsymbol{B}$ zeigt demnach an, wie viele Tabletten $ \mathrm{T}_1, \; \mathrm{T}_2, \mathrm{T}_3 $ in der Verpackung $\mathrm{P}_j$ enthalten sind.
Berechne anschließend das Matrizenprodukt
$ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}. $ $ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}. $
Das Kontrollergebnis ist angegeben.
\begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{A} &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr 2 & 3 & 0 \cr 2 & 0 & 3 \cr 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \\ \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} 5 & 10 & 10 \cr 10 & 20 & 5 \cr 5 & 20 & 10 \end{pmatrix} \\ \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} 10 & 30 & 20 \cr 10 & 20 & 5 \cr 40 & 80 & 35 \cr 25 & 80 & 50 \cr 10 & 40 & 20 \end{pmatrix} \\ \end{array} $\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Im RUN–Menü des GTR von CASIO kannst du die Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ abspeichern, indem du die Taste MAT betätigst. Für jede Matrix muss du die Anzahl der Zeilen $m$ und die Anzahl Spalten $n$ angeben.
Aufgabe 5
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
Aufgabe 5
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
Durch Ausführung der Taste EXE gelangst du in die Eingabemaske für die jeweilige Matrix. Gib dort die Zahlen ein, wie sie in der Matrix aufgeführt sind.
Aufgabe 5
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{B}$
Aufgabe 5
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{B}$
Das Ergebnis der Multiplikation $ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} $ rufst du mit folgender Tastenkombination im Im RUN–Menü auf:
OPTN $\to$ MAT $\to$ MAT $\to$ Eingabe ALPHA A $\to$ $\times$ $\to$ Eingabe ALPHA B $\to$ EXE OPTN $\to$ MAT $\to$ MAT $\to$ Eingabe ALPHA A $\to$ $\times$ $\to$ Eingabe ALPHA B $\to$ EXE
Aufgabe 5
[Abb. 5]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$
Aufgabe 5
[Abb. 5]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$
Im GTR von TI kannst du die Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ abspeichern, indem du das Menü MATRIX aufrufst und zu dem EDIT–Modus wechselst. Durch Ausführung der Taste ENTER gelangst du in die Eingabemaske für die jeweilige Matrix. Für jede Matrix muss du zuerst die Anzahl der Zeilen $m$ und die Anzahl Spalten $n$ angeben.
Aufgabe 5
[Abb. 7]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
Aufgabe 5
[Abb. 7]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
Gib dort die Zahlen ein, wie sie in der Matrix aufgeführt sind.
Aufgabe 5
[Abb. 9]: Eingabe Matrix $\boldsymbol{B}$
Aufgabe 5
[Abb. 9]: Eingabe Matrix $\boldsymbol{B}$
Das Ergebnis der Multiplikation $ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} $ rufst du mit folgender Tastenkombination auf:
MATRIX $\to$ Auswahl A $\to$ $\times$ $\to$ MATRIX $\to$ Auswahl B $\to$ ENTER MATRIX $\to$ Auswahl A $\to$ $\times$ $\to$ MATRIX $\to$ Auswahl B $\to$ ENTER
Aufgabe 5
[Abb. 10]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$
Aufgabe 5
[Abb. 10]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$
Speichere das Ergebnis als $ \boldsymbol{C}_{(5,3)} $ Matrix ab, um es in weiteren Teilaufgaben verwenden zu können.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Jedes Matrizenprodukt $ \boldsymbol{C}_{(m,n)} = \boldsymbol{A}_{(m,p)} \cdot \boldsymbol{B}_{(p,n)} $ berechnet sich mithilfe der Formel
$ c_{ik} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk}. $ $ c_{ik} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk}. $
Das Ergebnis schreibst du nun noch in Form einer Tabelle auf, um diese Teilaufgabe vollständig gelöst zu haben.
Anhand der Matrix $\boldsymbol{C}$ lässt sich die Tabelle für den Bedarf an Wirkstoffen ablesen.
$\blacktriangleright$   Berechnung der Menge an Wirkstoffen für den Auftrag der Apotheke
Deine Aufgabe besteht darin zu berechnen, wie viele Wirkstoffe für den Auftrag der Apotheke benötigt werden. Sie bestellt 100 Packungen von $\mathrm{P}_1, $ 80 Packungen $ \mathrm{P}_2 $ und 50 Packungen $ \mathrm{P}_3. $ Die Auftragszahlen bestimmen den Produktionsvektor $ \overrightarrow{p}: $ \begin{array}{rclcl} \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} p_1 \cr p_2 \cr p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 100 \cr 80 \cr 50 \end{pmatrix} \end{array} Gesucht ist der Rohstoffvektor $ \overrightarrow{r}, $ der dir die Menge der benötigten Wirkstoffe angibt. Du berechnest ihn mit der Formel
$ \boldsymbol{C} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r}. $ $ \boldsymbol{C} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r}. $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Speichere den Produktionsvektor $ \overrightarrow{p} $ im GTR von CASIO als Matrix $\boldsymbol{P}_{(3,1)}$ und im GTR von TI als $\boldsymbol{G}_{(3,1)}$ ab. Berechne mit dem GTR $ \boldsymbol{C} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r}. $
Aufgabe 5
[Abb. 12]: Eingabe $\boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{p}$ für den GTR von TI
Aufgabe 5
[Abb. 12]: Eingabe $\boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{p}$ für den GTR von TI
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Berechne das Produkt mithilfe der Formel aus Teilaufgabe 5.2.
Es werden $ 4.400 \; \text{ME} \; W_1,$ $\; 2.850 \; \text{ME} \; W_2,$ $\; 12.150 \; \text{ME} \; W_3,$ $\; 11.400 \; \text{ME} \; W_4 $ und $ 5.200 \; \text{ME} \; W_5 $ für den Auftrag der Apotheke benötigt.
$\blacktriangleright$   Berechnung der Gesamtkosten für den Auftrag
Für den von der Apotheke erteilten Auftrag sollst du die Gesamtkosten ermitteln. Die Gesamtkosten $K$ setzen sich aus den fixen Kosten $K_f$ und variablen Gesamtkosten $K_v$ zusammen:
$ K = K_f + K_v. $ $ K $=$ K_f + K_v. $
Die fixen Kosten sind mit $ K_f = 300 \; \text{GE} \; $ in der Aufgabenstellung angegeben. Die variablen Gesamtkosten ergeben sich aus den variablen Herstellungskosten $k_v$ und dem Produktionsvektor $ \overrightarrow{p}. $
$ K_v = k_v \cdot \overrightarrow{p}. $ $ K_v $=$ k_v \cdot \overrightarrow{p}. $
Die von den Produktionsmengen abhängigen variablen Herstellungskosten $k_v$ hängen von den die Kosten für die Wirkstoffe
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_W} &=& \begin{pmatrix} 0,01 & 0,05 & 0,20 & 0,02 & 0,05 \end{pmatrix}, \end{array}
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k_W} &= … \end{array}
von den Fertigungskosten für die Tabletten \begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_T} &= \begin{pmatrix} 0,05 & 0,15 & 0,20 \end{pmatrix} \end{array} und von den Kosten für die Verpackung der Tabletten \begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_P} &= \begin{pmatrix} 0,40 & 0,40 & 0,40 \end{pmatrix} \end{array} ab und sind in Geldeinheiten pro Mengeneinheit $ \; \text{GE/ME} \; $ angegeben.
Der Formelsammlung kannst du die Formel der variablen Gesamtkosten $K_v$ für den Auftrag entnehmen:
$ K_v = k_v \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{k_W} \cdot \boldsymbol{C} \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_T} \cdot \boldsymbol{B} \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_P} \cdot \overrightarrow{p}. $ $ K_v $=$ k_v \cdot \overrightarrow{p} $=$ \overrightarrow{k_W} \cdot \boldsymbol{C} \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_T} \cdot \boldsymbol{B} \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_P} \cdot \overrightarrow{p}. $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Speichere im GTR von CASIO den Kostenvektor $ \overrightarrow{k_W} $ als Matrix $\boldsymbol{W}_{(5,1)},$ den Kostenvektor $ \overrightarrow{k_T} $ als Matrix $\boldsymbol{T}_{(5,1)}$ und den Kostenvektor $ \overrightarrow{k_P} $ als Matrix $\boldsymbol{K}_{(3,1)}$ ab.
Speichere im GTR von TI den Kostenvektor $ \overrightarrow{k_W} $ als Matrix $\boldsymbol{D}_{(5,1)},$ den Kostenvektor $ \overrightarrow{k_T} $ als Matrix $\boldsymbol{E}_{(5,1)}$ und den Kostenvektor $ \overrightarrow{k_P} $ als Matrix $\boldsymbol{F}_{(3,1)}$ ab.
Berechne mit dem GTR nun Summand für Summand die jeweiligen Kosten und abschließend die Gesamtkosten.
Aufgabe 5
[Abb. 14]: Eingabe TI
Aufgabe 5
[Abb. 14]: Eingabe TI
Kontrollergebnis: Die variablen Kosten für die Wirkstoffe betragen $ 3.104,50 \; \text{GE}.$
Aufgabe 5
[Abb. 16]: Eingabe TI
Aufgabe 5
[Abb. 16]: Eingabe TI
Kontrollergebnis: Die variablen Kosten für die Tabletten betragen $ 1.037,50 \; \text{GE}.$
Aufgabe 5
[Abb. 18]: Eingabe TI
Aufgabe 5
[Abb. 18]: Eingabe TI
Kontrollergebnis: Die variablen Kosten für die Packungen betragen $ 92,00 \; \text{GE}.$
Die variablen Kosten betragen folglich
\begin{array}{rcl} K_v &=& \overrightarrow{k_W} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_T} \cdot B \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_P} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} \end{array} $ \text{GE}.$
\begin{array}{rcl}K_v &= …\end{array}
Die Gesamtkosten für den Auftrag betragen $ K = K_f + K_v \; \text{GE}.$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Die Kosten für die laut Auftrag benötigen Wirkstoffe sind in $ \text{GE} $
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_W} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 0,01 & 0,05 & 0,20 & 0,02 & 0,05 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4.400 \cr 2.850 \cr 12.150 \cr 11.400 \cr 5.200 \end{pmatrix}. \end{array}
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k_W} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} &= …\end{array}
Die Fertigungskosten für die laut Auftrag hergestellten Tabletten sind in $ \text{GE} $
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k_T} \cdot B \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 0,05 & 0,15 & 0,20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 10 & 10 \cr 10 & 20 & 5 \cr 5 & 20 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 100 \cr 80 \cr 50 \end{pmatrix}. \end{array}
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k_W} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} &= …\end{array}
Die Verpackungskosten für die laut Auftrag hergestellten Tabletten sind in $ \text{GE} $
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_P} \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 0,40 & 0,40 & 0,40 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 100 \cr 80 \cr 50 \end{pmatrix}. \end{array}
$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k_P} \cdot \overrightarrow{p} &=…\end{array}$
Die variablen Kosten betragen folglich in $ \text{GE} $
\begin{array}{rcl} K_v &=& \overrightarrow{k_W} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_T} \cdot B \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_P} \cdot C \cdot \overrightarrow{p}. \end{array}
\begin{array}{rcl}K_v &= …\end{array}
Die Gesamtkosten sind \[ K = K_f + K_v \] $ \text{GE}. $

Aufgabe 5.3

$\blacktriangleright$   Berechnung der Anzahl der Packungen $\mathrm{P}_1, \, \mathrm{P}_2 $ und $ \mathrm{P}_3 $ für den neuen Auftrag
Für einen neuen Auftrag sollst du die Bestellmengen der Packungen ermitteln. Die Gleichung $ C \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r} $ aus Teilaufgabe 5.1 wird entsprechend dem neuen Auftrag und den Voraussetzungen angepasst:
\begin{array}{rcl} C \cdot \overrightarrow{p}_{neu} &=& \overrightarrow{r}_{neu} \\ \begin{pmatrix} 10 & 30 & 20 \cr 10 & 20 & 5 \cr 40 & 80 & 35 \cr 25 & 80 & 50 \cr 10 & 40 & 20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2p_3 \cr p_2 \cr p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} r_1 \cr r_1 - 2.750 \cr 21.500 \cr r_4 \cr r_5 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 10 \cdot 2p_3 + 30 \cdot p_2 + 20 \cdot p_3 \cr 10 \cdot 2p_3 + 20 \cdot p_2 + 5 \cdot p_3 \cr 40 \cdot 2p_3 + 80 \cdot p_2 + 35 \cdot p_3 \cr 25 \cdot 2p_3 + 80 \cdot p_2 + 50 \cdot p_3 \cr 10 \cdot 2p_3 + 40 \cdot p_2 + 20 \cdot p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} r_1 \cr r_1 - 2.750 \cr 21.500 \cr r_4 \cr r_5 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 30 \cdot p_2 + 40 \cdot p_3 \cr 20 \cdot p_2 + 25 \cdot p_3 \cr 80 \cdot p_2 + 115 \cdot p_3 \cr 80 \cdot p_2 + 100 \cdot p_3 \cr 40 \cdot p_2 + 40 \cdot p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} r_1 \cr r_1 - 2.750 \cr 21.500 \cr r_4 \cr r_5 \end{pmatrix} \\ \end{array}
\begin{array}{rcl}C \cdot \overrightarrow{p}_{neu} &=& \overrightarrow{r}_{neu} \end{array}
Die letzte Gleichung führt auf ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen:
\begin{array}{rcrcc} 30 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 &=& r_1 \\ 20 \cdot p_2 &+& 25 \cdot p_3 &=& r_1 -2.750 \\ 80 \cdot p_2 &+& 115 \cdot p_3 &=& 21.500 \end{array}
\begin{array}{rcrcc}30 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 &=& r_1 \end{array}
bzw.
\begin{array}{lrcrcrcc} \text{I} & 30 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 &-& r_1 &=& 0 \\ \text{II} & 20 \cdot p_2 &+& 25 \cdot p_3 &-& r_1 &=& -2.750 \\ \text{III} & 80 \cdot p_2 &+& 115 \cdot p_3 & & &=& 21.500 \end{array}
\begin{array}{lrcrcrcc}\text{I} & 30 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 …\end{array}
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen der ersten drei Gleichungen kannst du mit dem GTR von CASIO im EQUA–Menü berechnen. Rufe das Untermenü
Lineares Gleichungssystem $\to$ 3 Unbekannte $\to$ EXE Lineares Gleichungssystem $\to$ 3 Unbekannte $\to$ EXE
auf und gib die Zahlen des Gleichungssystem mit Vorzeichen ein. Führe die Berechnung aus und notiere dir die Zwischenergebnis.
Aufgabe 5
[Abb. 19]: Eingabe des LGS
Aufgabe 5
[Abb. 19]: Eingabe des LGS
Die Lösungen der ersten drei Gleichungen kannst du mit dem GTR von TI durch Eingabe des Gleichungssystems als Matrix $A$ und Umformung dieser Matrix auf Diagonalgestalt ermitteln. Der zugehörige Tastaturaufruf ist
MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER
auf und gib die Zahlen des Gleichungssystem mit Vorzeichen ein. Führe die Berechnung aus und notiere dir die Zwischenergebnis.
Aufgabe 5
[Abb. 20]: Eingabe des LGS
Aufgabe 5
[Abb. 20]: Eingabe des LGS
Berechne mit ihrer Hilfe die fehlenden Größen $ p_1 $ und $ r_4 $ sowie $r_5.$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Wende z.B. das Additionsverfahren an, um das Gleichungssystem zu lösen.
\begin{array}{lrcrcrccl} \text{I} & 30 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 &-& r_1 &=& 0 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{IV} = \text{I}+ (-1) \cdot \text{II}\\ \text{II} & 20 \cdot p_2 &+& 25 \cdot p_3 &-& r_1 &=& -2.750 \\ \text{III} & 80 \cdot p_2 &+& 115 \cdot p_3 & & &=& 21.500 \\ \end{array}
\begin{array}{lrcrcrccl}\text{I} & 30 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 …\end{array}
Kontrollergebnis: Folglich ist $ p_2 = 125 $ und $ p_3 = 100. $
Berechne nun noch $ p_1. $
$\blacktriangleright$   Berechnung der Mengeneinheiten der Wirkstoffe für den neuen Auftrag
Eingesetzt in die Gleichung $\text{I}$ ergibt sich $ 3750 + 4.000 - r_1 = 0. $ Berechne $ r_1 $ sowie $ r_2 $ und mithilfe der Gleichungen \begin{array}{rcrcrcc} 80 \cdot p_2 &+& 100 \cdot p_3 &=& r_4 \\ 40 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 &=& r_5 \\ \end{array} schließlich $ r_4 $ und $ r_5.$

Aufgabe 5.4

$\blacktriangleright$   Bezeichnung der Matrizen $ \boldsymbol{A}, \; \boldsymbol{B} $ und $ \boldsymbol{C} $
Die Multiplikation einer $ k \times l $ Matrix $\boldsymbol{A}$ mit einer $ m \times n $ Matrix $\boldsymbol{A}$ ist nur möglich, wenn die Anzahl der Spalten $l$ der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen $m$ der zweiten Matrix übereinstimmt. Das Ergebnis der Multiplikation einer $ k \times m $ Matrix $\boldsymbol{A}$ mit einer $ m \times n $ Matrix $\boldsymbol{A}$ ist eine $ k \times n $ Matrix $\boldsymbol{C}$: \[ \boldsymbol{A}_{(k,m)} \cdot \boldsymbol{B}_{(m,n)} = \boldsymbol{C}_{(k,n)} \] Folglich ist $ \boldsymbol{C}_{(2,2)} $ und $ \boldsymbol{A}_{(2,3)} $ sowie $ \boldsymbol{B}_{(3,2)} $ mit $ 2 \cdot \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}, $ denn $ \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{A} $ würde eine $ 3 \times 3 $ Matrix und somit nicht $\boldsymbol{C}$ ergeben.
Kontrollergebnis: \begin{array}{rcl} \boldsymbol{A} &=& \begin{pmatrix} 0,5 & 1 & -1,5 \cr 0 & 2 & 0,5 \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} a & -a \cr 2b & c \cr c & b \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} -4 & 2 \cr 11 & 13 \end{pmatrix} \\ \end{array}
$\blacktriangleright$   Berechnung der Werte für $ \boldsymbol{a}, \; \boldsymbol{b} $ und $ \boldsymbol{c} $
Für die Matrix $\boldsymbol{B}$ sollst du die fehlenden Größen $ \boldsymbol{a}, \; \boldsymbol{b} $ und $ \boldsymbol{c} $ ermitteln. Stelle dazu ein Gleichungssystem auf, indem du das Ergebnis der Matrizenmultiplikation $ 2 \cdot \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} $ schriftlich berechnest und dann mit der Matrix gleichsetzt. Löse das Gleichungssystem mit dem GTR oder schriftlich.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Du kannst die Lösungen der ersten drei Gleichungen wie in Teilaufgabe 5.3 mit dem GTR von CASIO oder TI berechnen. Prüfe mit den Lösungen abschließend , ob auch die vierte Gleichung eine wahre Aussage ergibt. Wenn dies nicht der Fall ist, gibt es keine Lösung.
Kontrollergebnisse: Die Lösungen sind $ a = 1, \; b= 1 $ und $ c = 3.$ Prüfe durch Einsetzen der Werte in die vierte Gleichung, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Löse das Gleichungssystem z. B. mit dem Additionsverfahren.

Aufgabe 5.5

$\blacktriangleright$   Auflösen der Matrizengleichung nach $ \boldsymbol{X} $
Du sollst die Matrizengleichung nach der Matrix $\boldsymbol{X}$ auflösen. Dabei kannst du ähnlich wie bei der Lösung einer linearen Gleichung in der Algebra vorgehen und das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) $\boldsymbol{M}$ + $\boldsymbol{N}$ = $\boldsymbol{N}$ + $\boldsymbol{M}$ für beliebige Matrizen $\boldsymbol{M}$ und $\boldsymbol{N}$ anwenden. Wie in der Algebra gilt auch $\boldsymbol{M}$ - $\boldsymbol{M}$ = $\boldsymbol{O}$ und $\boldsymbol{M}$ + $\boldsymbol{O}$ = $\boldsymbol{M}$ für die Nullmatrix $\boldsymbol{O}$ sowie $\boldsymbol{M}$ = $\boldsymbol{E}$ $\cdot$ $\boldsymbol{M}.$ Beachte beim Ausklammern von $\boldsymbol{X}$ jedoch, dass die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ (vertauschbar) ist.
Kontrollergebnis: \[ \begin{array}{rcll} \boldsymbol{X} &=& \left( \boldsymbol{A} -\boldsymbol{E} \right)^{-1} \cdot \left( \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} \right) \end{array} \]
$\blacktriangleright$   Berechnung der Lösung $ \boldsymbol{X} $
Deine Aufgabe ist es, die Matrix $\boldsymbol{X}$ mithilfe der vorherigen Gleichung zu berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Speichere die Matrix $ \boldsymbol{A} $ und Einheitsmatrix $ \boldsymbol{E} $ wie in Teilaufgabe 5.3 in deinen GTR von CASIO oder TI ab. Du rufst den Befehl für die Berechnung des Ergebnisses wie folgt auf:
Aufgabe 5
[Abb. 22]: Eingabe der Gleichung TI
Aufgabe 5
[Abb. 22]: Eingabe der Gleichung TI
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Berechne zunächst $ \boldsymbol{A} - \boldsymbol{E} $ und $ \boldsymbol{A} - \boldsymbol{2E}. $
Anschließend bestimmst du die inverse Matrix $ (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E})^{-1}, $ indem du die Matrix von $ \boldsymbol{A} - \boldsymbol{2E} $ auf Einheitsmatrixgestalt bringst und alle dabei verwendeten Matrixumformungen jeweils auch auf die Einheitsmatrix $ \boldsymbol{E} $ anwendest.
Kontrollergebnis der inversen Matrix: $ \left( \boldsymbol{A} - \boldsymbol{E} \right)^{-1} $=$ \begin{pmatrix} -2 & 4 & 1 \cr 3 & 4 & 7 \cr 1 & -4 & 0 \end{pmatrix}^{-1}$ =$ \dfrac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} -17 & -1 & -24 \cr -10 & -1 & -17 \cr 13 & 2 & 20 \end{pmatrix} $ Berechne dann $\boldsymbol{X}$ wie in der Gleichung der vorherigen Teilaufgabe angegeben.
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Lösungen TI
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Aufgabe 5 entfällt ab 2018.
Schriftliche Lösungen von Gleichungssystemen sind jedoch Bestandteil der Prüfungen ab 2018.

Aufgabe 5.1

$\blacktriangleright$   Angabe der Tabletten, die bei Frau Maier eine allergische Reaktion auslösen
Die Tabelle links in der Aufgabenstellung gibt an, wie viele Mengeneinheiten $\text{(ME)}$ der einzelnen Wirkstoffe für je eine Tablette benötigt werden. Du sollst nun prüfen, welche Tabletten den Wirkstoff $W_4$ enthalten, auf den Frau Maier allergisch reagiert. Suche dazu die entsprechende Zeile der Tabelle auf.
Der Wirkstoff $W_4$ ist laut Tabelle in den Tabletten $T_1$ und $T_3$ enthalten. Frau Maier muss bei der Einnahme der Tabletten $T_1$ und $T_3$ mit allergischen Reaktionen rechnen.

Aufgabe 5.2

$\blacktriangleright$   Aufstellen der Tabelle für den Bedarf an Wirkstoffen je Packung
Deine Aufgabe ist es, eine Tabelle zu erstellen, die den Bedarf an Wirkstoffen je Packung zeigt. Nimm dazu die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Wirtschaftliche Anwendungen" zur Hand. Du kannst mit ihrer Hilfe feststellen, dass es sich bei dem Produktionsprozess des Pharmakonzerns um einen Prozess mit linearer Verflechtung handelt:
  • Aus fünf Rohstoffen (Wirkstoffen) werden drei Zwischenprodukte (Tabletten) produziert, aus den drei Endprodukte (Packungen) erzeugt werden.
  • Die Tabelle links in der Aufgabenstellung stellt als $(5,3)$–Matrix $\boldsymbol{A}$ den Bedarf an Rohstoffen (Wirkstoffen) für die Zwischenprodukte (Tabletten) dar, aus den drei Endprodukte (Packungen) erzeugt werden.
  • Aus dem Verpflechtungsdiagramm lässt sich die $(3,3)$–Matrix $\boldsymbol{B}$ für den Bedarf an Zwischenprodukten (Tabletten) für die Endprodukte (Packungen) herleiten.
  • Das Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ beschreibt den Bedarf an Rohstoffen (Wirkstoffen) für die Endprodukte (Packungen) und ist die $(3,3)$–Matrix $\boldsymbol{C}.$
Die Formelsammlung benutzt bestimmte Bezeichnungen für die Matrizen, Vektoren und Kosten. Diese Bezeichnungen werden für die Lösungen der Teilaufgaben verwendet.
Stelle nun die Matrizen auf $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ auf. Beachte, dass in der $i$–ten Zeile der Matrix $\boldsymbol{B}$ steht, wie viele Tabletten $\mathrm{T}_i$ in den Verpackungen $ \mathrm{P}_1, \; \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3 $ enthalten sind. Die $j$–te Spalte der Matrix $\boldsymbol{B}$ zeigt demnach an, wie viele Tabletten $ \mathrm{T}_1, \; \mathrm{T}_2, \mathrm{T}_3 $ in der Verpackung $\mathrm{P}_j$ enthalten sind.
Berechne anschließend das Matrizenprodukt
$ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}. $ $ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}. $
Das Kontrollergebnis ist angegeben.
\begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{A} &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr 2 & 3 & 0 \cr 2 & 0 & 3 \cr 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} & & & \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} 5 & 10 & 10 \cr 10 & 20 & 5 \cr 5 & 20 & 10 \end{pmatrix} & & & \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} 10 & 30 & 20 \cr 10 & 20 & 5 \cr 40 & 80 & 35 \cr 25 & 80 & 50 \cr 10 & 40 & 20 \end{pmatrix} \\ \end{array}
\begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{A} &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr 2 & 3 & 0 \cr 2 & 0 & 3 \cr 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} & & & \end{array} \begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} 5 & 10 & 10 \cr 10 & 20 & 5 \cr 5 & 20 & 10 \end{pmatrix} & & & \end{array} \begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} 10 & 30 & 20 \cr 10 & 20 & 5 \cr 40 & 80 & 35 \cr 25 & 80 & 50 \cr 10 & 40 & 20 \end{pmatrix} \\ \end{array}
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Im GTR von TI kannst du die Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ abspeichern, indem du das Menü MATRIX aufrufst und zu dem EDIT–Modus wechselst. Durch Ausführung der Taste ENTER gelangst du in die Eingabemaske für die jeweilige Matrix. Für jede Matrix muss du zuerst die Anzahl der Zeilen $m$ und die Anzahl Spalten $n$ angeben.
Aufgabe 5
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
Aufgabe 5
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
Gib dort die Zahlen ein, wie sie in der Matrix aufgeführt sind.
Aufgabe 5
[Abb. 4]: Eingabe Matrix $\boldsymbol{B}$
Aufgabe 5
[Abb. 4]: Eingabe Matrix $\boldsymbol{B}$
Das Ergebnis der Multiplikation $ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} $ rufst du mit folgender Tastenkombination auf:
MATRIX $\to$ Auswahl A $\to$ $\times$ $\to$ MATRIX $\to$ Auswahl B $\to$ ENTER MATRIX $\to$ Auswahl A $\to$ $\times$ $\to$ MATRIX $\to$ Auswahl B $\to$ ENTER
Aufgabe 5
[Abb. 6]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{C}$
Aufgabe 5
[Abb. 6]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{C}$
Speichere das Ergebnis als $ \boldsymbol{C}_{(5,3)} $ Matrix ab, um es in weiteren Teilaufgaben verwenden zu können.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Jedes Matrizenprodukt $ \boldsymbol{C}_{(m,n)} = \boldsymbol{A}_{(m,p)} \cdot \boldsymbol{B}_{(p,n)} $ berechnet sich mithilfe der Formel
$ c_{ik} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk}. $ $ c_{ik} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk}. $
\begin{array}{rcl} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr 2 & 3 & 0 \cr 2 & 0 & 3 \cr 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 10 & 10 \cr 10 & 20 & 5 \cr 5 & 20 & 10 \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 0 \cdot 10 + 1 \cdot 5 & \quad 1 \cdot 10 + 0 \cdot 20 + 1 \cdot 20 & \quad 1 \cdot 10 + 0 \cdot 5 + 1 \cdot 10 \cr 0 \cdot 5 + 1 \cdot 10 + 0 \cdot 5 & \quad 0 \cdot 10 + 1 \cdot 20 + 0 \cdot 20 & \quad 0 \cdot 10 + 1 \cdot 5 + 0 \cdot 10 \cr 2 \cdot 5 + 3 \cdot 10 + 0 \cdot 5 & \quad 2 \cdot 10 + 3 \cdot 20 + 0 \cdot 20 & \quad 2 \cdot 10 + 3 \cdot 5 + 0 \cdot 10 \cr 2 \cdot 5 + 0 \cdot 10 + 3 \cdot 5 & \quad 2 \cdot 10 + 0 \cdot 20 + 3 \cdot 20 & \quad 2 \cdot 10 + 0 \cdot 5 + 3 \cdot 10 \cr 0 \cdot 5 + 0 \cdot 10 + 2 \cdot 5 & \quad 0 \cdot 10 + 0 \cdot 20 + 2 \cdot 20 & \quad 0 \cdot 10 + 0 \cdot 5 + 3 \cdot 10 \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 10 & 30 & 20 \cr 10 & 20 & 5 \cr 40 & 80 & 35 \cr 25 & 80 & 50 \cr 10 & 40 & 20 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \boldsymbol{C} \end{array}
\begin{array}{rcl}\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} &=& \boldsymbol{C}\end{array}
Das Ergebnis schreibst du nun noch in Form einer Tabelle auf, um diese Teilaufgabe vollständig gelöst zu haben.
Anhand der Matrix $\boldsymbol{C}$ lässt sich die Tabelle für den Bedarf an Wirkstoffen ablesen: \begin{array}{r|ccc} & P_1 & P_2 & P_3 \\ \hline W_1 & 10 & 30 & 20 \\ W_2 & 10 & 20 & 5 \\ W_3 & 40 & 80 & 35 \\ W_4 & 25 & 80 & 50 \\ W_5 & 10 & 40 & 20 \\ \end{array}
$\blacktriangleright$   Berechnung der Menge an Wirkstoffen für den Auftrag der Apotheke
Deine Aufgabe besteht darin zu berechnen, wie viele Wirkstoffe für den Auftrag der Apotheke benötigt werden. Sie bestellt 100 Packungen von $\mathrm{P}_1, $ 80 Packungen $ \mathrm{P}_2 $ und 50 Packungen $ \mathrm{P}_3. $ Die Auftragszahlen bestimmen den Produktionsvektor $ \overrightarrow{p}: $ \begin{array}{rclcl} \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} p_1 \cr p_2 \cr p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 100 \cr 80 \cr 50 \end{pmatrix} \end{array} Gesucht ist der Rohstoffvektor $ \overrightarrow{r}, $ der dir die Menge der benötigten Wirkstoffe angibt. Du berechnest ihn mit der Formel
$ \boldsymbol{C} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r}. $ $ \boldsymbol{C} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r}. $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Speichere den Produktionsvektor $ \overrightarrow{p} $ als Matrix $\boldsymbol{G}_{(3,1)}$ und berechne mit dem GTR $ \boldsymbol{C} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r}. $
Aufgabe 5
[Abb. 8]: Ergebnis
Aufgabe 5
[Abb. 8]: Ergebnis
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
\begin{array}{rclclcl} C \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 10 & 30 & 20 \cr 10 & 20 & 5 \cr 40 & 80 & 35 \cr 25 & 80 & 50 \cr 10 & 40 & 20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 100 \cr 80 \cr 50 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 10 \cdot 100 + 30 \cdot 80 + 20 \cdot 50 \cr 10 \cdot 100 + 20 \cdot 80 + 5 \cdot 50 \cr 40 \cdot 100 + 80 \cdot 80 + 35 \cdot 50 \cr 25 \cdot 100 + 80 \cdot 80 + 50 \cdot 50 \cr 10 \cdot 100 + 40 \cdot 80 + 20 \cdot 50 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1.000 + 2.400 + 1.000 \cr 1.000 + 1.600 + 250 \cr 4.000 + 6.400 + 1.750 \cr 2.500 + 6.400 + 2.500 \cr 1.000 + 3.200 + 1.000 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 4.400 \cr 2.850 \cr 12.150 \cr 11.400 \cr 5.200 \end{pmatrix} \end{array}
\begin{array}{rclclcl}C \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 4.400 \cr 2.850 \cr 12.150 \cr 11.400 \cr 5.200 \end{pmatrix}\end{array}
Es werden $ 4.400 \; \text{ME} \; W_1, \;$ $2.850 \; \text{ME} \; W_2, \;$ $12.150 \; \text{ME} \; W_3, \;$ $11.400 \; \text{ME} \; W_4 $ und $ 5.200 \; \text{ME} \; W_5 $ für den Auftrag der Apotheke benötigt.
$\blacktriangleright$   Berechnung der Gesamtkosten für den Auftrag
Für den von der Apotheke erteilten Auftrag sollst du die Gesamtkosten ermitteln. Die Gesamtkosten $K$ setzen sich aus den fixen Kosten $K_f$ und variablen Gesamtkosten $K_v$ zusammen:
$ K = K_f + K_v. $ $ K = K_f + K_v. $
Die fixen Kosten sind mit $ K_f = 300 \; \text{GE} \; $ in der Aufgabenstellung angegeben. Die variablen Gesamtkosten ergeben sich aus den variablen Herstellungskosten $k_v$ und dem Produktionsvektor $ \overrightarrow{p}. $
$ K_v = k_v \cdot \overrightarrow{p}. $ $ K_v = k_v \cdot \overrightarrow{p}. $
Die von den Produktionsmengen abhängigen variablen Herstellungskosten $k_v$ hängen von den die Kosten für die Wirkstoffe
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_W} &=& \begin{pmatrix} 0,01 & 0,05 & 0,20 & 0,02 & 0,05 \end{pmatrix}, \end{array}
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k_W} &= …\end{array}
von den Fertigungskosten für die Tabletten \begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_T} &= \begin{pmatrix} 0,05 & 0,15 & 0,20 \end{pmatrix} \end{array} und von den Kosten für die Verpackung der Tabletten \begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_P} &= \begin{pmatrix} 0,40 & 0,40 & 0,40 \end{pmatrix} \end{array} ab und sind in Geldeinheiten pro Mengeneinheit $ \; \text{GE/ME} \; $ angegeben.
Der Formelsammlung kannst du die Formel der variablen Gesamtkosten $K_v$ für den Auftrag entnehmen:
$ K_v = k_v \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{k_W} \cdot \boldsymbol{C} \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_T} \cdot \boldsymbol{B} \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_P} \cdot \overrightarrow{p}. $ $ K_v $=$ k_v \cdot \overrightarrow{p} $=$ \overrightarrow{k_W} \cdot \boldsymbol{C} \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_T} \cdot \boldsymbol{B} \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_P} \cdot \overrightarrow{p}. $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Speichere den Kostenvektor $ \overrightarrow{k_W} $ als Matrix $\boldsymbol{D}_{(5,1)},$ den Kostenvektor $ \overrightarrow{k_T} $ als Matrix $\boldsymbol{E}_{(5,1)},$ und den Kostenvektor $ \overrightarrow{k_P} $ als Matrix $\boldsymbol{F}_{(3,1)}$ ab. Berechne mit dem GTR nun Summand für Summand die jeweiligen Kosten und abschließend die Gesamtkosten.
Aufgabe 5
[Abb. 10]: Ergebnis
Aufgabe 5
[Abb. 10]: Ergebnis
Die variablen Kosten für die Wirkstoffe betragen $ 3.104,50 \; \text{GE}.$
Aufgabe 5
[Abb. 12]: Ergebnis
Aufgabe 5
[Abb. 12]: Ergebnis
Die variablen Kosten für die Tabletten betragen $ 1.037,50 \; \text{GE}.$
Aufgabe 5
[Abb. 14]: Ergebnis
Aufgabe 5
[Abb. 14]: Ergebnis
Die variablen Kosten für die Packungen betragen $ 92,00 \; \text{GE}.$
Die variablen Kosten betragen folglich
\begin{array}{rcl} K_v &=& \overrightarrow{k_W} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_T} \cdot B \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_P} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} \\[5pt] &=& 3.104,50 + 1.037,50 + 92,00 \\[5pt] &=& 4.234 \end{array} $ \text{GE}.$
\begin{array}{rcl}K_v &=& 4.234\end{array} $ \text{GE}.$
Die Gesamtkosten für den Auftrag betragen $ 4.534 \; \text{GE}.$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Die Kosten für die laut Auftrag benötigen Wirkstoffe sind in $ \text{GE} $
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_W} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 0,01 & 0,05 & 0,20 & 0,02 & 0,05 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4.400 \cr 2.850 \cr 12.150 \cr 11.400 \cr 5.200 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& 0,01 \cdot 4.400 + 0,05 \cdot 2.850 + 0,20 \cdot 12.150 + 0,02 \cdot 11.400 + 0,05 \cdot 5.200 \\[5pt] &=& 44 + 142,50 + 2.430 + 228 + 260 \\[5pt] &=& 3.104,50. \end{array}
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k_W} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} &=& 3.104,50.\end{array}
Die Fertigungskosten für die laut Auftrag hergestellten Tabletten sind in $ \text{GE} $
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_T} \cdot B \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 0,05 & 0,15 & 0,20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 10 & 10 \cr 10 & 20 & 5 \cr 5 & 20 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 100 \cr 80 \cr 50 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0,05 & 0,15 & 0,20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \cdot 100 + 10 \cdot 80 + 10 \cdot 50 \cr 10 \cdot 100 + 20 \cdot 80 + 5 \cdot 50 \cr 5 \cdot 100 + 20 \cdot 80 + 10 \cdot 50 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0,05 & 0,15 & 0,20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1.800 \cr 2.850 \cr 2.600 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& 0,05 \cdot 1.800 + 0,15 \dot 2.850 + 0,20 \cdot 2.600 \\[5pt] &=& 90 + 427,50 + 520 \\[5pt] &=& 1.037,50. \end{array}
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k_T} \cdot B \cdot \overrightarrow{p} &=& 1.037,50.\end{array}
Die Verpackungskosten für die laut Auftrag hergestellten Tabletten sind in $ \text{GE} $
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_P} \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 0,40 & 0,40 & 0,40 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 100 \cr 80 \cr 50 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& 0,40 \cdot 100 + 0,40 \cdot 80 + 0,40 \cdot 50 = 40 + 32 + 20 \\[5pt] &=& 92. \end{array}
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k_P} \cdot \overrightarrow{p} &=& 92.\end{array}
Die variablen Kosten betragen folglich
\begin{array}{rcl} K_v &=& \overrightarrow{k_W} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_T} \cdot B \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_P} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} \\[5pt] &=& 3.104,50 + 1.037,50 + 92,00 \\[5pt] &=& 4.234. \end{array}
\begin{array}{rcl}K_v &=& 4.234.\end{array}
Die Gesamtkosten sind \[ K = K_f + K_v = 300 + 4.234 = 4.534 \] $ \text{GE}. $ Die Gesamtkosten für den Auftrag betragen $ 4.534 \; \text{GE}. $

Aufgabe 5.3

$\blacktriangleright$   Berechnung der Anzahl der Packungen $\mathrm{P}_1, \, \mathrm{P}_2 $ und $ \mathrm{P}_3 $ für den neuen Auftrag
Für einen neuen Auftrag sollst du die Bestellmengen der Packungen ermitteln. Die Gleichung $ C \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r} $ aus Teilaufgabe 5.1 wird entsprechend dem neuen Auftrag und den Voraussetzungen angepasst:
\begin{array}{rcl} C \cdot \overrightarrow{p}_{neu} &=& \overrightarrow{r}_{neu} \\ \begin{pmatrix} 10 & 30 & 20 \cr 10 & 20 & 5 \cr 40 & 80 & 35 \cr 25 & 80 & 50 \cr 10 & 40 & 20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2p_3 \cr p_2 \cr p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} r_1 \cr r_1 - 2.750 \cr 21.500 \cr r_4 \cr r_5 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 10 \cdot 2p_3 + 30 \cdot p_2 + 20 \cdot p_3 \cr 10 \cdot 2p_3 + 20 \cdot p_2 + 5 \cdot p_3 \cr 40 \cdot 2p_3 + 80 \cdot p_2 + 35 \cdot p_3 \cr 25 \cdot 2p_3 + 80 \cdot p_2 + 50 \cdot p_3 \cr 10 \cdot 2p_3 + 40 \cdot p_2 + 20 \cdot p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} r_1 \cr r_1 - 2.750 \cr 21.500 \cr r_4 \cr r_5 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 30 \cdot p_2 + 40 \cdot p_3 \cr 20 \cdot p_2 + 25 \cdot p_3 \cr 80 \cdot p_2 + 115 \cdot p_3 \cr 80 \cdot p_2 + 100 \cdot p_3 \cr 40 \cdot p_2 + 40 \cdot p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} r_1 \cr r_1 - 2.750 \cr 21.500 \cr r_4 \cr r_5 \end{pmatrix} \\ \end{array}
\begin{array}{rcl}C \cdot \overrightarrow{p}_{neu} &=& \overrightarrow{r}_{neu} \\\end{array}
Die letzte Gleichung führt auf ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen: \begin{array}{rcrcc} 30 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 &=& r_1 \\ 20 \cdot p_2 &+& 25 \cdot p_3 &=& r_1 -2.750 \\ 80 \cdot p_2 &+& 115 \cdot p_3 &=& 21.500 \end{array} bzw.
\begin{array}{lrcrcrcc} \text{I} & 30 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 &-& r_1 &=& 0 \\ \text{II} & 20 \cdot p_2 &+& 25 \cdot p_3 &-& r_1 &=& -2.750 \\ \text{III} & 80 \cdot p_2 &+& 115 \cdot p_3 & & &=& 21.500 \end{array}
\begin{array}{lrcrcrcc}\text{I} & 30 \cdot p_2 &+ …\end{array}
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen der ersten drei Gleichungen kannst du mit dem GTR von TI durch Eingabe des Gleichungssystems als Matrix $A$ und Umformung dieser Matrix auf Diagonalgestalt ermitteln. Der zugehörige Tastaturaufruf ist
MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER
auf und gib die Zahlen des Gleichungssystem mit Vorzeichen ein. Führe die Berechnung aus und notiere dir die Zwischenergebnis.
Aufgabe 5
[Abb. 16]: Ergebnis des LGS
Aufgabe 5
[Abb. 16]: Ergebnis des LGS
Sie lauten $ p_2 = 125, \; p_3 = 100 $ und $ r_1 = 7.750. $ Berechne mit ihrer Hilfe die fehlenden Größen $ p_1 $ und $ r_4 $ sowie $r_5.$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Wende z.B. das Additionsverfahren an, um das Gleichungssystem zu lösen.
\begin{array}{lrcrcrccl} \text{I} & 30 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 &-& r_1 &=& 0 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{IV} = \text{I}+ (-1) \cdot \text{II}\\ \text{II} & 20 \cdot p_2 &+& 25 \cdot p_3 &-& r_1 &=& -2.750 \\ \text{III} & 80 \cdot p_2 &+& 115 \cdot p_3 & & &=& 21.500 \\ \hline \text{IV} & 10 \cdot p_2 &+& 15 \cdot p_3 & & &=& 2.750 & \quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: } \text{V} = (-8) \cdot \text{IV} + \text{III}\\ \text{V} & & & -5 \cdot p_3 & & &=& -500 & \quad \scriptsize\mid\; (-5) \\ \text{V} & & & p_3 & & &=& 100 \\ \end{array}
\begin{array}{lrcrcrccl}\text{I} & 30 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 &- …\end{array}
Folglich ist $ p_1$ =$ 2 \cdot p_3$ = $2 \cdot 100$ =$ 200. $
Eingesetzt in Gleichung $\text{IV}$ führt dies auf $ 10 \cdot p_2 + 1.500 = 2.750 $ bzw. $ 10 \cdot p_2 = 1.250 $ und $ p_2 = 125. $
Die Lösungen sind $ p_1 = 200, \;$ $p_2 = 125, \;$ $p_3 = 100 \; \text{ME} $ für die Anzahl der Packungen.
$\blacktriangleright$   Berechnung der Mengeneinheiten der Wirkstoffe für den neuen Auftrag
Eingesetzt in die Gleichung $\text{I}$ ergibt sich $ 3750 + 4.000 - r_1$ =$ 0 $ und somit $ r_1 $ =$ 7.750 \; \text{ME} $ sowie $ r_2$ =$ r_1 - 2.750$ = $7.750 - 2.750$ = $5.000 \; \text{ME}. $
Eingesetzt in die Gleichungen \begin{array}{rcrcrcc} 80 \cdot p_2 &+& 100 \cdot p_3 &=& r_4 \\ 40 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 &=& r_5 \\ \end{array} ergibt sich $ r_4$ = $80 \cdot 125 + 100 \cdot 100$ = $10.000 + 10.000$ = $20.000$ $\text{ME} $ und $ r_5$ = $40 \cdot 125 + 40 \cdot 100$ = $5.000 + 4.000$ = $9.000$ $ \text{ME}. $ Die Lösungen sind $ r_1 = 7.750, \;$ $r_2 = 5.000, \; r_3 = 21.500, \;$ $r_4 = 20.000, \;$ $r_5 = 9.000 \; \text{ME} $ für die Mengen der Wirkstoffe.
Es werden $ 200 \; \text{ME} \; \mathrm{P}_1, \;$ $125 \; \text{ME} \; \mathrm{P}_2$ und $ 100 \; \text{ME} \; \mathrm{P}_3$ bestellt.
Hierfür werden $ 7.750 \; \text{ME} \; \mathrm{W}_1, \;$ $5.000 \; \text{ME} \; \mathrm{W}_2, \;$ $21.500 \; \text{ME} \; \mathrm{W}_3, \;$ $20.000 \; \text{ME} \; \mathrm{W}_4 $ und $ 9.000 \; \text{ME} \; \mathrm{W}_5 $ benötigt.

Aufgabe 5.4

$\blacktriangleright$   Bezeichnung der Matrizen $ \boldsymbol{A}, \; \boldsymbol{B} $ und $ \boldsymbol{C} $
Die Multiplikation einer $ k \times l $ Matrix $\boldsymbol{A}$ mit einer $ m \times n $ Matrix $\boldsymbol{A}$ ist nur möglich, wenn die Anzahl der Spalten $l$ der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen $m$ der zweiten Matrix übereinstimmt. Das Ergebnis der Multiplikation einer $ k \times m $ Matrix $\boldsymbol{A}$ mit einer $ m \times n $ Matrix $\boldsymbol{A}$ ist eine $ k \times n $ Matrix $\boldsymbol{C}$: \[ \boldsymbol{A}_{(k,m)} \cdot \boldsymbol{B}_{(m,n)} = \boldsymbol{C}_{(k,n)} \] Folglich ist $ \boldsymbol{C}_{(2,2)} $ und $ \boldsymbol{A}_{(2,3)} $ sowie $ \boldsymbol{B}_{(3,2)} $ mit $ 2 \cdot \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}, $ denn $ \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{A} $ würde eine $ 3 \times 3 $ Matrix und somit nicht $\boldsymbol{C}$ ergeben. \begin{array}{rcl} \boldsymbol{A} &=& \begin{pmatrix} 0,5 & 1 & -1,5 \cr 0 & 2 & 0,5 \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} a & -a \cr 2b & c \cr c & b \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} -4 & 2 \cr 11 & 13 \end{pmatrix} \\ \end{array}
$\blacktriangleright$   Berechnung der Werte für $ \boldsymbol{a}, \; \boldsymbol{b} $ und $ \boldsymbol{c} $
Für die Matrix $\boldsymbol{B}$ sollst du die fehlenden Größen $ \boldsymbol{a}, \; \boldsymbol{b} $ und $ \boldsymbol{c} $ ermitteln. Stelle dazu ein Gleichungssystem auf, indem du das Ergebnis der Matrizenmultiplikation $ 2 \cdot \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} $ schriftlich berechnest und dann mit der Matrix gleichsetzt. Löse das Gleichungssystem mit dem GTR oder schriftlich.
Das Ergebnis der Multiplikation der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ ist
\begin{array}{rcl} 2 \cdot \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} &=& (2 \cdot \boldsymbol{A}) \cdot \boldsymbol{B} \\[5pt] &=& \left( 2 \cdot \begin{pmatrix} 0,5 & 1 & -1,5 \cr 0 & 2 & 0,5 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} a & -a \cr 2b & c \cr c & b \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \cr 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & -a \cr 2b & c \cr c & b \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} a + 4b - 3c & -a + 2c - 3b \cr 8b + c & 4c + b \end{pmatrix}. \end{array}
\begin{array}{rcl}2 \cdot \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} &= …\end{array}
Die Gleichung $ 2 \cdot \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C} $ führt also auf das lineare Gleichungssystem \[ \begin{array}{rcrcrcr} a &+& 4b &-& 3c &=& -4 \\ -a &+& 2c &-& 3b &=& 2 \\ & & 8b &+& c &=& 11 \\ & & 4c &+& b &=& 13 \end{array} \] und nach Sortierung auf \[ \begin{array}{rcrcrcr} a &+& 4b &-& 3c &=& -4 \\ -a &-& 3b &+& 2c &=& 2 \\ & & 8b &+& c &=& 11 \\ & & b &+& 4c &=& 13 \end{array} \]
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Du kannst die Lösungen der ersten drei Gleichungen wie in Teilaufgabe 5.3 mit dem GTR von CASIO oder TI berechnen. Prüfe mit den Lösungen abschließend , ob auch die vierte Gleichung eine wahre Aussage ergibt. Wenn dies nicht der Fall ist, gibt es keine Lösung.
Aufgabe 5
[Abb. 18]: Lösung des LGS
Aufgabe 5
[Abb. 18]: Lösung des LGS
Die Lösungen sind $ a = 1, \; b= 1 $ und $ c = 3.$ Das Einsetzen der Werte in die vierte Gleichung führt auf $ b + 4c = 1 + 4 \cdot 3 = 1 + 12 = 13 $ unf folglich auf eine wahre Aussage.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Löse das Gleichungssystem z. B. mit dem Additionsverfahren:
\[ \begin{array}{lrcrcrcrl} \text{I} & a &+& 4b &-& 3c &=& -4 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II} & -a &-& 3b &+& 2c &=& 2 \\ \text{III} & & & 8b &+& 5c &=& 11 \\ \hline \text{V} & & & b &-& c &=& -2 \\ \text{III} & & & 8b &+& 5c &=& 11 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{V}+\text{III}\\ \hline \text{VI} & & & 9b && &=& 9 & \scriptsize \mid\  : 9 \\ \text{VI} & & & b && &=& 1 \end{array} \]
\[\begin{array}{lrcrcrcrl}\text{I} & a &+& 4b &-& 3c &= …\end{array} \]
Einsetzen von $b$ z. B. in die Gleichung $\text{V}$ ergibt $ 1 - c = -2 $ oder $ -c = -3 $ und somit $ c = 3. $ Nun kann durch Einsetzen der Werte von $ b $ und $c$ z. B. in Gleichung $\text{I}$ der Wert von $a$ berechnet werden: $ a + 4 \cdot 1 - 3 \cdot 3 = -4 $ oder $ a + 4 - 9 = -4 $ und schließlich $ a = - 4 + 5 = 1.$
Die Werte für $a, \; b $ und $c$ sind $ a = 1, \; b= 1 $ und $ c = 3.$

Aufgabe 5.5

$\blacktriangleright$   Auflösen der Matrizengleichung nach $ \boldsymbol{X} $
Du sollst die Matrizengleichung nach der Matrix $\boldsymbol{X}$ auflösen. Dabei kannst du ähnlich wie bei der Lösung einer linearen Gleichung in der Algebra vorgehen und das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) $\boldsymbol{M}$ + $\boldsymbol{N}$ = $\boldsymbol{N}$ + $\boldsymbol{M}$ für beliebige Matrizen $\boldsymbol{M}$ und $\boldsymbol{N}$ anwenden. Wie in der Algebra gilt auch $\boldsymbol{M}$ - $\boldsymbol{M}$ = $\boldsymbol{O}$ und $\boldsymbol{M}$ + $\boldsymbol{O}$ = $\boldsymbol{M}$ für die Nullmatrix $\boldsymbol{O}$ sowie $\boldsymbol{M}$ = $\boldsymbol{E}$ $\cdot$ $\boldsymbol{M}.$ Beachte beim Ausklammern von $\boldsymbol{X}$ jedoch, dass die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ (vertauschbar) ist.
\[ \begin{array}{rcll} \boldsymbol{AX} + 2\boldsymbol{E} &=& \boldsymbol{A} + \boldsymbol{X} & \scriptsize\mid\; -2\boldsymbol{E} \\[5pt] \boldsymbol{AX} + 2\boldsymbol{E} - 2\boldsymbol{E} &=& \boldsymbol{A} + \boldsymbol{X} -2\boldsymbol{E} & \scriptsize\mid\; \text{Zusammenfassen und Vertauschen} \\[5pt] \boldsymbol{AX} + \boldsymbol{O} &=& \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} + \boldsymbol{X} & \scriptsize\mid\; \text{Vertauschen} \\[5pt] \boldsymbol{AX} &=& \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} + \boldsymbol{X} & \scriptsize\mid\; -\boldsymbol{X} \\[5pt] \boldsymbol{AX} -\boldsymbol{X} &=& \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} + \boldsymbol{X} -\boldsymbol{X} & \scriptsize\mid\; \text{Zusammenfassen} \\[5pt] \boldsymbol{AX} -\boldsymbol{X} &=& \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} + \boldsymbol{O} & \\[5pt] \boldsymbol{AX} -\boldsymbol{X} &=& \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} & \scriptsize\mid\; \text{Ausklammern von $\boldsymbol{X}$} \\[5pt] \left( \boldsymbol{A} -\boldsymbol{E} \right) \boldsymbol{X} &=& \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} & \scriptsize\mid\; \cdot \; (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E})^{-1} \; \text{von links} \\[5pt] \boldsymbol{X} &=& \left( \boldsymbol{A} -\boldsymbol{E} \right)^{-1} \cdot \left( \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} \right) \end{array} \]
\[\begin{array}{rcll}\boldsymbol{X} &=& \left( \boldsymbol{A} -\boldsymbol{E} \right)^{-1} \cdot \left( \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} \right) \end{array} \]
$\blacktriangleright$   Berechnung der Lösung $ \boldsymbol{X} $
Deine Aufgabe ist es, die Matrix $\boldsymbol{X}$ mithilfe der vorherigen Gleichung zu berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Speichere die Matrix $ \boldsymbol{A} $ und Einheitsmatrix $ \boldsymbol{E} $ wie in Teilaufgabe 5.3 in deinen GTR von CASIO oder TI ab. Du rufst den Befehl für die Berechnung des Ergebnisses wie folgt auf:
Aufgabe 5
[Abb. 20]: Lösung für $\boldsymbol{X}$
Aufgabe 5
[Abb. 20]: Lösung für $\boldsymbol{X}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Berechne zunächst $ \boldsymbol{A} - \boldsymbol{E} $ und $ \boldsymbol{A} - \boldsymbol{2E}. $
\[ \begin{array}{rcl} \boldsymbol{A} - \boldsymbol{E} &=& \begin{pmatrix} -1 & 4 & 1 \cr 3 & 5 & 7 \cr 1 & -3 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -2 & 4 & 1 \cr 3 & 4 & 7 \cr 1 & -3 & -1 \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} &=& \begin{pmatrix} -1 & 4 & 1 \cr 3 & 5 & 7 \cr 1 & -3 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \cr 0 & 2 & 0 \cr 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -3 & 4 & 1 \cr 3 & 3 & 7 \cr 1 & -3 & -2 \end{pmatrix} \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl} \boldsymbol{A} - \boldsymbol{E} &=& \begin{pmatrix} -2 & 4 & 1 \cr 3 & 4 & 7 \cr 1 & -3 & -1 \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} &=& \begin{pmatrix} -3 & 4 & 1 \cr 3 & 3 & 7 \cr 1 & -3 & -2 \end{pmatrix} \end{array} \]
Anschließend bestimmst du die inverse Matrix $ (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E})^{-1}, $ indem du die Matrix von $ \boldsymbol{A} - \boldsymbol{2E} $ auf Einheitsmatrixgestalt bringst und alle dabei verwendeten Matrixumformungen jeweils auch auf die Einheitsmatrix $ \boldsymbol{E} $ anwendest.
\[ \begin{array}{cc|c|l} \boldsymbol{A} -\boldsymbol{E} & & \boldsymbol{E} & \\ \hline \begin{pmatrix} -2 & 4 & 1 \cr 3 & 4 & 7 \cr 1 & -3 & -1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \scriptsize \text{Zeilentausch: Zeile III wird Zeile I} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \cr 3 & 4 & 7 \cr -2 & 4 & 1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \scriptsize 2 \cdot \text{I} + \text{III} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \cr 3 & 4 & 7 \cr 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} & \scriptsize (-3) \cdot \text{I} + \text{II} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \cr 0 & 13 & 10 \cr 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & -3 \cr 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} & \scriptsize \frac{1}{13} \cdot \text{III} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \cr 0 & 1 & \frac{10}{13} \cr 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & \frac{1}{13} & -\frac{3}{13} \cr 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} & \scriptsize 3 \cdot \text{II} + \text{I} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{17}{13} \cr 0 & 1 & \frac{10}{13} \cr 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{13} & \frac{4}{13} \cr 0 & \frac{1}{13} & -\frac{3}{13} \cr 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} & \scriptsize 2 \cdot \text{II} + \text{III} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{17}{13} \cr 0 & 1 & \frac{10}{13} \cr 0 & 0 & \frac{7}{13} \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{13} & \frac{4}{13} \cr 0 & \frac{1}{13} & -\frac{3}{13} \cr 1 & \frac{2}{13} & \frac{20}{13} \end{pmatrix} & \scriptsize \frac{13}{7} \cdot \text{III} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{17}{13} \cr 0 & 1 & \frac{10}{13} \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{13} & \frac{4}{13} \cr 0 & \frac{1}{13} & -\frac{3}{13} \cr \frac{13}{7} & \frac{2}{7} & \frac{20}{7} \end{pmatrix} & \scriptsize -\frac{10}{13} \cdot \text{III} + \text{II} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{17}{13} \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{13} & \frac{4}{13} \cr -\frac{10}{7} & -\frac{1}{7} & -\frac{17}{7} \cr \frac{13}{7} & \frac{2}{7} & \frac{20}{7} \end{pmatrix} & \scriptsize -\frac{17}{13} \cdot \text{III} + \text{I} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} -\frac{17}{7} & -\frac{1}{7} & -\frac{24}{7} \cr -\frac{10}{7} & -\frac{1}{7} & -\frac{17}{7} \cr \frac{13}{7} & \frac{2}{7} & \frac{20}{7} \end{pmatrix} & \\[5pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & & \dfrac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} -17 & -1 & -24 \cr -10 & -1 & -17 \cr 13 & 2 & 20\end{pmatrix} & \end{array} \]
Einheitsmatrix E
Ergebnis der inversen Matrix:
\[ \left( \boldsymbol{A} - \boldsymbol{E} \right)^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 4 & 1 \cr 3 & 4 & 7 \cr 1 & -4 & 0 \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} -17 & -1 & -24 \cr -10 & -1 & -17 \cr 13 & 2 & 20 \end{pmatrix} \]
\[ \left( \boldsymbol{A} - \boldsymbol{E} \right)^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 4 & 1 \cr 3 & 4 & 7 \cr 1 & -4 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \]
Berechne dann $\boldsymbol{X}$ wie in der Gleichung der vorherigen Teilaufgabe angegeben.
\[ \begin{array}{rcl} \boldsymbol{X} &=& \left( \boldsymbol{A} -\boldsymbol{E} \right)^{-1} \cdot \left( \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} \right) & \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -2 & 4 & 1 \cr 3 & 4 & 7 \cr 1 & -3 & -1 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} -3 & 4 & 1 \cr 3 & 3 & 7 \cr 1 & -3f & -2 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} -17 & -1 & -24 \cr -10 & -1 & -17 \cr 13 & 2 & 20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 & 4 & 1 \cr 3 & 3 & 7 \cr 1 & -3 & -2 \end{pmatrix} \end{array} \]
\[\begin{array}{rcl}\boldsymbol{X} &=& \left( \boldsymbol{A} -\boldsymbol{E} \right)^{-1} \cdot \left( \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} \right) \end{array} \]
$\scriptsize{ \begin{array}{rcl} \boldsymbol{X} &=& \dfrac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} (-17) \cdot (-3) + (-1) \cdot 3 + (-24) \cdot 1 & (-17) \cdot 4 + (-1) \cdot 3 + (-24) \cdot (-3) & (-17) \cdot 1 + (-1) \cdot 7 + (-24) \cdot (-2) \cr (-10) \cdot (-3) + (-1) \cdot 3 + (-17) \cdot 1 & (-10) \cdot 4 + (-1) \cdot 3 + (-17) \cdot (-3) & (-10) \cdot 1 + (-1) \cdot 7 + (-17) \cdot (-2) \cr 13 \cdot (-3) + 2 \cdot 3 + 20 \cdot 1 & 13 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 20 \cdot (-3) & 13 \cdot 1 + 2 \cdot 7 + 20 \cdot (-2) \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} 24 & 1 & 24 \cr 10 & 8 & 17 \cr -13 & -2 & -13 \end{pmatrix}. \end{array} }$
\begin{array}{rcl}\boldsymbol{X} &=& \dfrac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} 24 & 1 & 24 \cr 10 & 8 & 17 \cr -13 & -2 & -13 \end{pmatrix}.\end{array}
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Aufgabe 5 entfällt ab 2018.
Schriftliche Lösungen von Gleichungssystemen sind jedoch Bestandteil der Prüfungen ab 2018.

Aufgabe 5.1

$\blacktriangleright$   Angabe der Tabletten, die bei Frau Maier eine allergische Reaktion auslösen
Die Tabelle links in der Aufgabenstellung gibt an, wie viele Mengeneinheiten $\text{(ME)}$ der einzelnen Wirkstoffe für je eine Tablette benötigt werden. Du sollst nun prüfen, welche Tabletten den Wirkstoff $W_4$ enthalten, auf den Frau Maier allergisch reagiert. Suche dazu die entsprechende Zeile der Tabelle auf.
Der Wirkstoff $W_4$ ist laut Tabelle in den Tabletten $T_1$ und $T_3$ enthalten. Frau Maier muss bei der Einnahme der Tabletten $T_1$ und $T_3$ mit allergischen Reaktionen rechnen.

Aufgabe 5.2

$\blacktriangleright$   Aufstellen der Tabelle für den Bedarf an Wirkstoffen je Packung
Deine Aufgabe ist es, eine Tabelle zu erstellen, die den Bedarf an Wirkstoffen je Packung zeigt. Nimm dazu die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Wirtschaftliche Anwendungen" zur Hand. Du kannst mit ihrer Hilfe feststellen, dass es sich bei dem Produktionsprozess des Pharmakonzerns um einen Prozess mit linearer Verflechtung handelt:
  • Aus fünf Rohstoffen (Wirkstoffen) werden drei Zwischenprodukte (Tabletten) produziert, aus den drei Endprodukte (Packungen) erzeugt werden.
  • Die Tabelle links in der Aufgabenstellung stellt als $(5,3)$–Matrix $\boldsymbol{A}$ den Bedarf an Rohstoffen (Wirkstoffen) für die Zwischenprodukte (Tabletten) dar, aus den drei Endprodukte (Packungen) erzeugt werden.
  • Aus dem Verpflechtungsdiagramm lässt sich die $(3,3)$–Matrix $\boldsymbol{B}$ für den Bedarf an Zwischenprodukten (Tabletten) für die Endprodukte (Packungen) herleiten.
  • Das Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ beschreibt den Bedarf an Rohstoffen (Wirkstoffen) für die Endprodukte (Packungen) und ist die $(3,3)$–Matrix $\boldsymbol{C}.$
Die Formelsammlung benutzt bestimmte Bezeichnungen für die Matrizen, Vektoren und Kosten. Diese Bezeichnungen werden für die Lösungen der Teilaufgaben verwendet.
Stelle nun die Matrizen auf $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ auf. Beachte, dass in der $i$–ten Zeile der Matrix $\boldsymbol{B}$ steht, wie viele Tabletten $\mathrm{T}_i$ in den Verpackungen $ \mathrm{P}_1, \; \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3 $ enthalten sind. Die $j$–te Spalte der Matrix $\boldsymbol{B}$ zeigt demnach an, wie viele Tabletten $ \mathrm{T}_1, \; \mathrm{T}_2, \mathrm{T}_3 $ in der Verpackung $\mathrm{P}_j$ enthalten sind.
Berechne anschließend das Matrizenprodukt
$ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}. $ $ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}. $
Das Kontrollergebnis ist angegeben.
\begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{A} &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr 2 & 3 & 0 \cr 2 & 0 & 3 \cr 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} & & & \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} 5 & 10 & 10 \cr 10 & 20 & 5 \cr 5 & 20 & 10 \end{pmatrix} & & & \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} 10 & 30 & 20 \cr 10 & 20 & 5 \cr 40 & 80 & 35 \cr 25 & 80 & 50 \cr 10 & 40 & 20 \end{pmatrix} \\ \end{array}
\begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{A} &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr 2 & 3 & 0 \cr 2 & 0 & 3 \cr 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} & & & \end{array} \begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} 5 & 10 & 10 \cr 10 & 20 & 5 \cr 5 & 20 & 10 \end{pmatrix} & & & \end{array} \begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} 10 & 30 & 20 \cr 10 & 20 & 5 \cr 40 & 80 & 35 \cr 25 & 80 & 50 \cr 10 & 40 & 20 \end{pmatrix} \\ \end{array}
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Im RUN–Menü des GTR von CASIO kannst du die Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ abspeichern, indem du die Taste MAT betätigst. Für jede Matrix muss du die Anzahl der Zeilen $m$ und die Anzahl Spalten $n$ angeben.
Aufgabe 5
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
Aufgabe 5
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl
Durch Ausführung der Taste EXE gelangst du in die Eingabemaske für die jeweilige Matrix. Gib dort die Zahlen ein, wie sie in der Matrix aufgeführt sind.
Aufgabe 5
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{B}$
Aufgabe 5
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{B}$
Das Ergebnis der Multiplikation $ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} $ rufst du mit folgender Tastenkombination im Im RUN–Menü auf:
OPTN $\to$ MAT $\to$ MAT $\to$ Eingabe ALPHA A $\to$ $\times$ $\to$ Eingabe ALPHA B $\to$ EXE OPTN $\to$ MAT $\to$ MAT $\to$ Eingabe ALPHA A $\to$ $\times$ $\to$ Eingabe ALPHA B $\to$ EXE
Aufgabe 5
[Abb. 5]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$
Aufgabe 5
[Abb. 6]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{C}$
Aufgabe 5
[Abb. 6]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{C}$
Speichere das Ergebnis als $ \boldsymbol{C}_{(5,3)} $ Matrix ab, um es in weiteren Teilaufgaben verwenden zu können.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Jedes Matrizenprodukt $ \boldsymbol{C}_{(m,n)} = \boldsymbol{A}_{(m,p)} \cdot \boldsymbol{B}_{(p,n)} $ berechnet sich mithilfe der Formel
$ c_{ik} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk}. $ $ c_{ik} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk}. $
\begin{array}{rcl} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr 2 & 3 & 0 \cr 2 & 0 & 3 \cr 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 10 & 10 \cr 10 & 20 & 5 \cr 5 & 20 & 10 \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 0 \cdot 10 + 1 \cdot 5 & \quad 1 \cdot 10 + 0 \cdot 20 + 1 \cdot 20 & \quad 1 \cdot 10 + 0 \cdot 5 + 1 \cdot 10 \cr 0 \cdot 5 + 1 \cdot 10 + 0 \cdot 5 & \quad 0 \cdot 10 + 1 \cdot 20 + 0 \cdot 20 & \quad 0 \cdot 10 + 1 \cdot 5 + 0 \cdot 10 \cr 2 \cdot 5 + 3 \cdot 10 + 0 \cdot 5 & \quad 2 \cdot 10 + 3 \cdot 20 + 0 \cdot 20 & \quad 2 \cdot 10 + 3 \cdot 5 + 0 \cdot 10 \cr 2 \cdot 5 + 0 \cdot 10 + 3 \cdot 5 & \quad 2 \cdot 10 + 0 \cdot 20 + 3 \cdot 20 & \quad 2 \cdot 10 + 0 \cdot 5 + 3 \cdot 10 \cr 0 \cdot 5 + 0 \cdot 10 + 2 \cdot 5 & \quad 0 \cdot 10 + 0 \cdot 20 + 2 \cdot 20 & \quad 0 \cdot 10 + 0 \cdot 5 + 3 \cdot 10 \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 10 & 30 & 20 \cr 10 & 20 & 5 \cr 40 & 80 & 35 \cr 25 & 80 & 50 \cr 10 & 40 & 20 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \boldsymbol{C} \end{array}
\begin{array}{rcl}\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} &=& \boldsymbol{C}\end{array}
\end{array} Das Ergebnis schreibst du nun noch in Form einer Tabelle auf, um diese Teilaufgabe vollständig gelöst zu haben.
Anhand der Matrix $\boldsymbol{C}$ lässt sich die Tabelle für den Bedarf an Wirkstoffen ablesen: \begin{array}{r|ccc} & P_1 & P_2 & P_3 \\ \hline W_1 & 10 & 30 & 20 \\ W_2 & 10 & 20 & 5 \\ W_3 & 40 & 80 & 35 \\ W_4 & 25 & 80 & 50 \\ W_5 & 10 & 40 & 20 \\ \end{array}
$\blacktriangleright$   Berechnung der Menge an Wirkstoffen für den Auftrag der Apotheke
Deine Aufgabe besteht darin zu berechnen, wie viele Wirkstoffe für den Auftrag der Apotheke benötigt werden. Sie bestellt 100 Packungen von $\mathrm{P}_1, $ 80 Packungen $ \mathrm{P}_2 $ und 50 Packungen $ \mathrm{P}_3. $ Die Auftragszahlen bestimmen den Produktionsvektor $ \overrightarrow{p}: $ \begin{array}{rclcl} \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} p_1 \cr p_2 \cr p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 100 \cr 80 \cr 50 \end{pmatrix} \end{array} Gesucht ist der Rohstoffvektor $ \overrightarrow{r}, $ der dir die Menge der benötigten Wirkstoffe angibt. Du berechnest ihn mit der Formel
$ \boldsymbol{C} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r}. $ $ \boldsymbol{C} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r}. $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Speichere den Produktionsvektor $ \overrightarrow{p} $ als Matrix $\boldsymbol{P}_{(3,1)}$ und berechne mit dem GTR $ \boldsymbol{C} \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r}. $
Aufgabe 5
[Abb. 8]: Ergebnis
Aufgabe 5
[Abb. 8]: Ergebnis
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
\begin{array}{rclclcl} C \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 10 & 30 & 20 \cr 10 & 20 & 5 \cr 40 & 80 & 35 \cr 25 & 80 & 50 \cr 10 & 40 & 20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 100 \cr 80 \cr 50 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 10 \cdot 100 + 30 \cdot 80 + 20 \cdot 50 \cr 10 \cdot 100 + 20 \cdot 80 + 5 \cdot 50 \cr 40 \cdot 100 + 80 \cdot 80 + 35 \cdot 50 \cr 25 \cdot 100 + 80 \cdot 80 + 50 \cdot 50 \cr 10 \cdot 100 + 40 \cdot 80 + 20 \cdot 50 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1.000 + 2.400 + 1.000 \cr 1.000 + 1.600 + 250 \cr 4.000 + 6.400 + 1.750 \cr 2.500 + 6.400 + 2.500 \cr 1.000 + 3.200 + 1.000 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 4.400 \cr 2.850 \cr 12.150 \cr 11.400 \cr 5.200 \end{pmatrix} \end{array}
\begin{array}{rclclcl}C \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 4.400 \cr 2.850 \cr 12.150 \cr 11.400 \cr 5.200 \end{pmatrix} \end{array}
Es werden $ 4.400 \; \text{ME} \; W_1, \;$ $2.850 \; \text{ME} \; W_2, \;$ $12.150 \; \text{ME} \; W_3, \;$ $11.400 \; \text{ME} \; W_4 $ und $ 5.200 \; \text{ME} \; W_5 $ für den Auftrag der Apotheke benötigt.
$\blacktriangleright$   Berechnung der Gesamtkosten für den Auftrag
Für den von der Apotheke erteilten Auftrag sollst du die Gesamtkosten ermitteln. Die Gesamtkosten $K$ setzen sich aus den fixen Kosten $K_f$ und variablen Gesamtkosten $K_v$ zusammen:
$ K = K_f + K_v. $ $ K = K_f + K_v. $
Die fixen Kosten sind mit $ K_f = 300 \; \text{GE} \; $ in der Aufgabenstellung angegeben. Die variablen Gesamtkosten ergeben sich aus den variablen Herstellungskosten $k_v$ und dem Produktionsvektor $ \overrightarrow{p}. $
$ K_v = k_v \cdot \overrightarrow{p}. $ $ K_v = k_v \cdot \overrightarrow{p}. $
Die von den Produktionsmengen abhängigen variablen Herstellungskosten $k_v$ hängen von den die Kosten für die Wirkstoffe
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_W} &=& \begin{pmatrix} 0,01 & 0,05 & 0,20 & 0,02 & 0,05 \end{pmatrix}, \end{array}
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k_W} &= … end{array}
von den Fertigungskosten für die Tabletten \begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_T} &= \begin{pmatrix} 0,05 & 0,15 & 0,20 \end{pmatrix} \end{array} und von den Kosten für die Verpackung der Tabletten \begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_P} &= \begin{pmatrix} 0,40 & 0,40 & 0,40 \end{pmatrix}. \end{array} ab und sind in Geldeinheiten pro Mengeneinheit $ \; \text{GE/ME} \; $ angegeben.
Der Formelsammlung kannst du die Formel der variablen Gesamtkosten $K_v$ für den Auftrag entnehmen:
$ K_v = k_v \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{k_W} \cdot \boldsymbol{C} \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_T} \cdot \boldsymbol{B} \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_P} \cdot \overrightarrow{p}. $ $ K_v = k_v \cdot \overrightarrow{p}$ = $\overrightarrow{k_W} \cdot \boldsymbol{C} \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_T} \cdot \boldsymbol{B} \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_P} \cdot \overrightarrow{p}. $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Speichere den Kostenvektor $ \overrightarrow{k_W} $ als Matrix $\boldsymbol{W}_{(5,1)},$ den Kostenvektor $ \overrightarrow{k_T} $ als Matrix $\boldsymbol{T}_{(5,1)},$ und den Kostenvektor $ \overrightarrow{k_P} $ als Matrix $\boldsymbol{K}_{(3,1)}$ ab. Berechne mit dem GTR nun Summand für Summand die jeweiligen Kosten und abschließend die Gesamtkosten.
Aufgabe 5
[Abb. 10]: Ergebnis
Aufgabe 5
[Abb. 10]: Ergebnis
Die variablen Kosten für die Wirkstoffe betragen $ 3.104,50 \; \text{GE}.$
Aufgabe 5
[Abb. 12]: Ergebnis
Aufgabe 5
[Abb. 12]: Ergebnis
Die variablen Kosten für die Tabletten betragen $ 1.037,50 \; \text{GE}.$
Aufgabe 5
[Abb. 14]: Ergebnis
Aufgabe 5
[Abb. 14]: Ergebnis
Die variablen Kosten für die Packungen betragen $ 92,00 \; \text{GE}.$
Die variablen Kosten betragen folglich
\begin{array}{rcl} K_v &=& \overrightarrow{k_W} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_T} \cdot B \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_P} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} \\[5pt] &=& 3.104,50 + 1.037,50 + 92,00 \\[5pt] &=& 4.234 \end{array}
\begin{array}{rcl}K_v &=& 4.234\end{array}
$ \text{GE}.$
Die Gesamtkosten für den Auftrag betragen $ 4.534 \; \text{GE}.$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Die Kosten für die laut Auftrag benötigen Wirkstoffe sind in $ \text{GE} $
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_W} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 0,01 & 0,05 & 0,20 & 0,02 & 0,05 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4.400 \cr 2.850 \cr 12.150 \cr 11.400 \cr 5.200 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& 0,01 \cdot 4.400 + 0,05 \cdot 2.850 + 0,20 \cdot 12.150 + 0,02 \cdot 11.400 + 0,05 \cdot 5.200 \\[5pt] &=& 44 + 142,50 + 2.430 + 228 + 260 \\[5pt] &=& 3.104,50. \end{array}
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k_W} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} &=& 3.104,50.\end{array}
Die Fertigungskosten für die laut Auftrag hergestellten Tabletten sind in $ \text{GE} $
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_T} \cdot B \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 0,05 & 0,15 & 0,20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 10 & 10 \cr 10 & 20 & 5 \cr 5 & 20 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 100 \cr 80 \cr 50 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0,05 & 0,15 & 0,20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \cdot 100 + 10 \cdot 80 + 10 \cdot 50 \cr 10 \cdot 100 + 20 \cdot 80 + 5 \cdot 50 \cr 5 \cdot 100 + 20 \cdot 80 + 10 \cdot 50 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0,05 & 0,15 & 0,20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1.800 \cr 2.850 \cr 2.600 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& 0,05 \cdot 1.800 + 0,15 \dot 2.850 + 0,20 \cdot 2.600 \\[5pt] &=& 90 + 427,50 + 520 \\[5pt] &=& 1.037,50. \end{array}
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k_T} \cdot B \cdot \overrightarrow{p} &=& 1.037,50\end{array}
Die Verpackungskosten für die laut Auftrag hergestellten Tabletten sind in $ \text{GE} $
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{k_P} \cdot \overrightarrow{p} &=& \begin{pmatrix} 0,40 & 0,40 & 0,40 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 100 \cr 80 \cr 50 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& 0,40 \cdot 100 + 0,40 \cdot 80 + 0,40 \cdot 50 = 40 + 32 + 20 \\[5pt] &=& 92. \end{array} Die variablen Kosten betragen folglich \begin{array}{rcl} K_v &=& \overrightarrow{k_W} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_T} \cdot B \cdot \overrightarrow{p} + \overrightarrow{k_P} \cdot C \cdot \overrightarrow{p} \\[5pt] &=& 3.104,50 + 1.037,50 + 92,00 \\[5pt] &=& 4.234. \end{array}
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k_P} \cdot \overrightarrow{p} &=& 4.234\end{array}
Die Gesamtkosten sind \[ K = K_f + K_v = 300 + 4.234 = 4.534 \] $ \text{GE}. $ Die Gesamtkosten für den Auftrag betragen $ 4.534 \; \text{GE}. $

Aufgabe 5.3

$\blacktriangleright$   Berechnung der Anzahl der Packungen $\mathrm{P}_1, \, \mathrm{P}_2 $ und $ \mathrm{P}_3 $ für den neuen Auftrag
Für einen neuen Auftrag sollst du die Bestellmengen der Packungen ermitteln. Die Gleichung $ C \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r} $ aus Teilaufgabe 5.1 wird entsprechend dem neuen Auftrag und den Voraussetzungen angepasst:
\begin{array}{rcl} C \cdot \overrightarrow{p}_{neu} &=& \overrightarrow{r}_{neu} \\ \begin{pmatrix} 10 & 30 & 20 \cr 10 & 20 & 5 \cr 40 & 80 & 35 \cr 25 & 80 & 50 \cr 10 & 40 & 20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2p_3 \cr p_2 \cr p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} r_1 \cr r_1 - 2.750 \cr 21.500 \cr r_4 \cr r_5 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 10 \cdot 2p_3 + 30 \cdot p_2 + 20 \cdot p_3 \cr 10 \cdot 2p_3 + 20 \cdot p_2 + 5 \cdot p_3 \cr 40 \cdot 2p_3 + 80 \cdot p_2 + 35 \cdot p_3 \cr 25 \cdot 2p_3 + 80 \cdot p_2 + 50 \cdot p_3 \cr 10 \cdot 2p_3 + 40 \cdot p_2 + 20 \cdot p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} r_1 \cr r_1 - 2.750 \cr 21.500 \cr r_4 \cr r_5 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} 30 \cdot p_2 + 40 \cdot p_3 \cr 20 \cdot p_2 + 25 \cdot p_3 \cr 80 \cdot p_2 + 115 \cdot p_3 \cr 80 \cdot p_2 + 100 \cdot p_3 \cr 40 \cdot p_2 + 40 \cdot p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} r_1 \cr r_1 - 2.750 \cr 21.500 \cr r_4 \cr r_5 \end{pmatrix} \\ \end{array}
\begin{array}{rcl}C \cdot \overrightarrow{p}_{neu} &=& \overrightarrow{r}_{neu} \end{array}
Die letzte Gleichung führt auf ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen: \begin{array}{rcrcc} 30 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 &=& r_1 \\ 20 \cdot p_2 &+& 25 \cdot p_3 &=& r_1 -2.750 \\ 80 \cdot p_2 &+& 115 \cdot p_3 &=& 21.500 \end{array} bzw.
\begin{array}{lrcrcrcc} \text{I} & 30 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 &-& r_1 &=& 0 \\ \text{II} & 20 \cdot p_2 &+& 25 \cdot p_3 &-& r_1 &=& -2.750 \\ \text{III} & 80 \cdot p_2 &+& 115 \cdot p_3 & & &=& 21.500 \end{array}
\begin{array}{lrcrcrcc}\text{I} …\end{array}
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen der ersten drei Gleichungen kannst du mit dem GTR von CASIO im Gleichungs(EQUA)–Menü berechnen. Rufe das Untermenü
Lineares Gleichungssystem $\to$ 3 Unbekannte $\to$ EXE Lineares Gleichungssystem $\to$ 3 Unbekannte $\to$ EXE
auf und gib die Zahlen des Gleichungssystem mit Vorzeichen ein. Führe die Berechnung aus und notiere dir die Zwischenergebnis.
Aufgabe 5
[Abb. 16]: Ergebnis des LGS
Aufgabe 5
[Abb. 16]: Ergebnis des LGS
Sie lauten $ p_2 = 125, \; p_3 = 100 $ und $ r_1 = 7.750. $ Berechne mit ihrer Hilfe die fehlenden Größen $ p_1 $ und $ r_4 $ sowie $r_5.$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Wende z.B. das Additionsverfahren an, um das Gleichungssystem zu lösen.
\begin{array}{lrcrcrccl} \text{I} & 30 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 &-& r_1 &=& 0 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{IV} = \text{I}+ (-1) \cdot \text{II}\\ \text{II} & 20 \cdot p_2 &+& 25 \cdot p_3 &-& r_1 &=& -2.750 \\ \text{III} & 80 \cdot p_2 &+& 115 \cdot p_3 & & &=& 21.500 \\ \hline \text{IV} & 10 \cdot p_2 &+& 15 \cdot p_3 & & &=& 2.750 & \quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: } \text{V} = (-8) \cdot \text{IV} + \text{III}\\ \text{V} & & & -5 \cdot p_3 & & &=& -500 & \quad \scriptsize\mid\; (-5) \\ \text{V} & & & p_3 & & &=& 100 \\ \end{array}
\begin{array}{lrcrcrccl} \text{I} …\\ \text{II} … \\ \text{III} … \\ \hline \text{IV} … \\ \text{V} … \\ \text{V} … \\ \end{array}
Folglich ist $ p_1 = 2 \cdot p_3 = 2 \cdot 100 = 200. $
Eingesetzt in Gleichung $\text{IV}$ führt dies auf $ 10 \cdot p_2 + 1.500 = 2.750 $ bzw. $ 10 \cdot p_2 = 1.250 $ und $ p_2 = 125. $
Die Lösungen sind $ p_1 = 200, \; p_2 = 125, \; p_3 = 100 \; \text{ME} $ für die Anzahl der Packungen.
$\blacktriangleright$   Berechnung der Mengeneinheiten der Wirkstoffe für den neuen Auftrag
Eingesetzt in die Gleichung $\text{I}$ ergibt sich $ 3750 + 4.000 - r_1 = 0 $ und somit $ r_1 = 7.750 \; \text{ME} $ sowie $ r_2 $=$ r_1 - 2.750 $=$ 7.750 - 2.750 $=$ 5.000 \; \text{ME}. $
Eingesetzt in die Gleichungen \begin{array}{rcrcrcc} 80 \cdot p_2 &+& 100 \cdot p_3 &=& r_4 \\ 40 \cdot p_2 &+& 40 \cdot p_3 &=& r_5 \\ \end{array} ergibt sich $ r_4 $=$ 80 \cdot 125 + 100 \cdot 100 $=$ 10.000 + 10.000 $=$ 20.000 $ $\text{ME} $ und $ r_5 $=$ 40 \cdot 125 + 40 \cdot 100 $=$ 5.000 + 4.000 $=$ 9.000 $ $ \text{ME}. $ Die Lösungen sind $ r_1 = 7.750, \;$ $r_2 = 5.000, \;$ $r_3 = 21.500, \;$ $r_4 = 20.000, \;$ $r_5 = 9.000 \; \text{ME} $ für die Mengen der Wirkstoffe.
Es werden $ 200 \; \text{ME} \; \mathrm{P}_1, \; 125 \; \text{ME} \; \mathrm{P}_2$ und $ 100 \; \text{ME} \; \mathrm{P}_3$ bestellt.
Hierfür werden $ 7.750 \; \text{ME} \; \mathrm{W}_1, \;$ $5.000 \; \text{ME} \; \mathrm{W}_2, \;$ $21.500 \; \text{ME} \; \mathrm{W}_3, \;$ $20.000 \; \text{ME} \; \mathrm{W}_4 $ und $ 9.000 \; \text{ME} \; \mathrm{W}_5 $ benötigt.

Aufgabe 5.4

$\blacktriangleright$   Bezeichnung der Matrizen $ \boldsymbol{A}, \; \boldsymbol{B} $ und $ \boldsymbol{C} $
Die Multiplikation einer $ k \times l $ Matrix $\boldsymbol{A}$ mit einer $ m \times n $ Matrix $\boldsymbol{A}$ ist nur möglich, wenn die Anzahl der Spalten $l$ der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen $m$ der zweiten Matrix übereinstimmt. Das Ergebnis der Multiplikation einer $ k \times m $ Matrix $\boldsymbol{A}$ mit einer $ m \times n $ Matrix $\boldsymbol{A}$ ist eine $ k \times n $ Matrix $\boldsymbol{C}$: \[ \boldsymbol{A}_{(k,m)} \cdot \boldsymbol{B}_{(m,n)} = \boldsymbol{C}_{(k,n)} \] Folglich ist $ \boldsymbol{C}_{(2,2)} $ und $ \boldsymbol{A}_{(2,3)} $ sowie $ \boldsymbol{B}_{(3,2)} $ mit $ 2 \cdot \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}, $ denn $ \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{A} $ würde eine $ 3 \times 3 $ Matrix und somit nicht $\boldsymbol{C}$ ergeben. \begin{array}{rcl} \boldsymbol{A} &=& \begin{pmatrix} 0,5 & 1 & -1,5 \cr 0 & 2 & 0,5 \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} a & -a \cr 2b & c \cr c & b \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} -4 & 2 \cr 11 & 13 \end{pmatrix} \\ \end{array}
$\blacktriangleright$   Berechnung der Werte für $ \boldsymbol{a}, \; \boldsymbol{b} $ und $ \boldsymbol{c} $
Für die Matrix $\boldsymbol{B}$ sollst du die fehlenden Größen $ \boldsymbol{a}, \; \boldsymbol{b} $ und $ \boldsymbol{c} $ ermitteln. Stelle dazu ein Gleichungssystem auf, indem du das Ergebnis der Matrizenmultiplikation $ 2 \cdot \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} $ schriftlich berechnest und dann mit der Matrix gleichsetzt. Löse das Gleichungssystem mit dem GTR oder schriftlich.
Das Ergebnis der Multiplikation der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ ist
\begin{array}{rcl} 2 \cdot \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} &=& (2 \cdot \boldsymbol{A}) \cdot \boldsymbol{B} \\[5pt] &=& \left( 2 \cdot \begin{pmatrix} 0,5 & 1 & -1,5 \cr 0 & 2 & 0,5 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} a & -a \cr 2b & c \cr c & b \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \cr 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & -a \cr 2b & c \cr c & b \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} a + 4b - 3c & -a + 2c - 3b \cr 8b + c & 4c + b \end{pmatrix}. \end{array}
\begin{array}{rcl}2 \cdot \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} &= …\end{array}
Die Gleichung $ 2 \cdot \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C} $ führt also auf das lineare Gleichungssystem \[ \begin{array}{rcrcrcr} a &+& 4b &-& 3c &=& -4 \\ -a &+& 2c &-& 3b &=& 2 \\ & & 8b &+& c &=& 11 \\ & & 4c &+& b &=& 13 \end{array} \] und nach Sortierung auf \[ \begin{array}{rcrcrcr} a &+& 4b &-& 3c &=& -4 \\ -a &-& 3b &+& 2c &=& 2 \\ & & 8b &+& c &=& 11 \\ & & b &+& 4c &=& 13 \end{array} \]
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Du kannst die Lösungen der ersten drei Gleichungen wie in Teilaufgabe 5.3 mit dem GTR von CASIO oder TI berechnen. Prüfe mit den Lösungen abschließend , ob auch die vierte Gleichung eine wahre Aussage ergibt. Wenn dies nicht der Fall ist, gibt es keine Lösung.
Aufgabe 5
[Abb. 18]: Lösung des LGS
Aufgabe 5
[Abb. 18]: Lösung des LGS
Die Lösungen sind $ a = 1, \; b= 1 $ und $ c = 3.$ Das Einsetzen der Werte in die vierte Gleichung führt auf $ b + 4c = 1 + 4 \cdot 3 = 1 + 12 = 13 $ unf folglich auf eine wahre Aussage.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Löse das Gleichungssystem z. B. mit dem Additionsverfahren:
\[ \begin{array}{lrcrcrcrl} \text{I} & a &+& 4b &-& 3c &=& -4 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II} & -a &-& 3b &+& 2c &=& 2 \\ \text{III} & & & 8b &+& 5c &=& 11 \\ \hline \text{V} & & & b &-& c &=& -2 \\ \text{III} & & & 8b &+& 5c &=& 11 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{V}+\text{III}\\ \hline \text{VI} & & & 9b && &=& 9 & \scriptsize \mid\  : 9 \\ \text{VI} & & & b && &=& 1 \end{array} \]
\[ \begin{array}{lrcrcrcrl} \text{I} … \\ \text{II} … \\ \text{III} … \\ \hline \text{V} … \\ \text{III} … \\ \hline \text{VI} …\\ \text{VI} … \end{array} \]
Einsetzen von $b$ z. B. in die Gleichung $\text{V}$ ergibt $ 1 - c = -2 $ oder $ -c = -3 $ und somit $ c = 3. $ Nun kann durch Einsetzen der Werte von $ b $ und $c$ z. B. in Gleichung $\text{I}$ der Wert von $a$ berechnet werden: $ a + 4 \cdot 1 - 3 \cdot 3 = -4 $ oder $ a + 4 - 9 = -4 $ und schließlich $ a = - 4 + 5 = 1.$
Die Werte für $a, \; b $ und $c$ sind $ a = 1, \; b= 1 $ und $ c = 3.$

Aufgabe 5.5

$\blacktriangleright$   Auflösen der Matrizengleichung nach $ \boldsymbol{X} $
Du sollst die Matrizengleichung nach der Matrix $\boldsymbol{X}$ auflösen. Dabei kannst du ähnlich wie bei der Lösung einer linearen Gleichung in der Algebra vorgehen und das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) $\boldsymbol{M}$ + $\boldsymbol{N}$ = $\boldsymbol{N}$ + $\boldsymbol{M}$ für beliebige Matrizen $\boldsymbol{M}$ und $\boldsymbol{N}$ anwenden. Wie in der Algebra gilt auch $\boldsymbol{M}$ - $\boldsymbol{M}$ = $\boldsymbol{O}$ und $\boldsymbol{M}$ + $\boldsymbol{O}$ = $\boldsymbol{M}$ für die Nullmatrix $\boldsymbol{O}$ sowie $\boldsymbol{M}$ = $\boldsymbol{E}$ $\cdot$ $\boldsymbol{M}.$ Beachte beim Ausklammern von $\boldsymbol{X}$ jedoch, dass die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ (vertauschbar) ist.
\[ \begin{array}{rcll} \boldsymbol{AX} + 2\boldsymbol{E} &=& \boldsymbol{A} + \boldsymbol{X} & \scriptsize\mid\; -2\boldsymbol{E} \\[5pt] \boldsymbol{AX} + 2\boldsymbol{E} - 2\boldsymbol{E} &=& \boldsymbol{A} + \boldsymbol{X} -2\boldsymbol{E} & \scriptsize\mid\; \text{Zusammenfassen und Vertauschen} \\[5pt] \boldsymbol{AX} + \boldsymbol{O} &=& \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} + \boldsymbol{X} & \scriptsize\mid\; \text{Vertauschen} \\[5pt] \boldsymbol{AX} &=& \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} + \boldsymbol{X} & \scriptsize\mid\; -\boldsymbol{X} \\[5pt] \boldsymbol{AX} -\boldsymbol{X} &=& \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} + \boldsymbol{X} -\boldsymbol{X} & \scriptsize\mid\; \text{Zusammenfassen} \\[5pt] \boldsymbol{AX} -\boldsymbol{X} &=& \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} + \boldsymbol{O} & \\[5pt] \boldsymbol{AX} -\boldsymbol{X} &=& \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} & \scriptsize\mid\; \text{Ausklammern von $\boldsymbol{X}$} \\[5pt] \left( \boldsymbol{A} -\boldsymbol{E} \right) \boldsymbol{X} &=& \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} & \scriptsize\mid\; \cdot \; (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E})^{-1} \; \text{von links} \\[5pt] \boldsymbol{X} &=& \left( \boldsymbol{A} -\boldsymbol{E} \right)^{-1} \cdot \left( \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} \right) \end{array} \]
\[\begin{array}{rcll}\boldsymbol{AX} + 2\boldsymbol{E} &=& \boldsymbol{A} + \boldsymbol{X} & \scriptsize\mid\; -2\boldsymbol{E} \\[5pt]…\end{array} \]
$\blacktriangleright$   Berechnung der Lösung $ \boldsymbol{X} $
Deine Aufgabe ist es, die Matrix $\boldsymbol{X}$ mithilfe der vorherigen Gleichung zu berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Speichere die Matrix $ \boldsymbol{A} $ und Einheitsmatrix $ \boldsymbol{E} $ wie in Teilaufgabe 5.3 in deinen GTR von CASIO oder TI ab. Du rufst den Befehl für die Berechnung des Ergebnisses wie folgt auf:
Aufgabe 5
[Abb. 20]: Lösung für $\boldsymbol{X}$
Aufgabe 5
[Abb. 20]: Lösung für $\boldsymbol{X}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Berechne zunächst $ \boldsymbol{A} - \boldsymbol{E} $ und $ \boldsymbol{A} - \boldsymbol{2E}. $
\[ \begin{array}{rcl} \boldsymbol{A} - \boldsymbol{E} &=& \begin{pmatrix} -1 & 4 & 1 \cr 3 & 5 & 7 \cr 1 & -3 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -2 & 4 & 1 \cr 3 & 4 & 7 \cr 1 & -3 & -1 \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} &=& \begin{pmatrix} -1 & 4 & 1 \cr 3 & 5 & 7 \cr 1 & -3 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \cr 0 & 2 & 0 \cr 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -3 & 4 & 1 \cr 3 & 3 & 7 \cr 1 & -3 & -2 \end{pmatrix} \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl} \boldsymbol{A} - \boldsymbol{E} &=& \begin{pmatrix} -2 & 4 & 1 \cr 3 & 4 & 7 \cr 1 & -3 & -1 \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} &=& \begin{pmatrix} -3 & 4 & 1 \cr 3 & 3 & 7 \cr 1 & -3 & -2 \end{pmatrix} \end{array} \]
Anschließend bestimmst du die inverse Matrix $ (\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E})^{-1}, $ indem du die Matrix von $ \boldsymbol{A} - \boldsymbol{2E} $ auf Einheitsmatrixgestalt bringst und alle dabei verwendeten Matrixumformungen jeweils auch auf die Einheitsmatrix $ \boldsymbol{E} $ anwendest.
\[ \begin{array}{cc|c|l} \boldsymbol{A} -\boldsymbol{E} & & \boldsymbol{E} & \\ \hline \begin{pmatrix} -2 & 4 & 1 \cr 3 & 4 & 7 \cr 1 & -3 & -1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \scriptsize \text{Zeilentausch: Zeile III wird Zeile I} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \cr 3 & 4 & 7 \cr -2 & 4 & 1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} & \scriptsize 2 \cdot \text{I} + \text{III} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \cr 3 & 4 & 7 \cr 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & 0 \cr 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} & \scriptsize (-3) \cdot \text{I} + \text{II} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \cr 0 & 13 & 10 \cr 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & 1 & -3 \cr 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} & \scriptsize \frac{1}{13} \cdot \text{III} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \cr 0 & 1 & \frac{10}{13} \cr 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \cr 0 & \frac{1}{13} & -\frac{3}{13} \cr 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} & \scriptsize 3 \cdot \text{II} + \text{I} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{17}{13} \cr 0 & 1 & \frac{10}{13} \cr 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{13} & \frac{4}{13} \cr 0 & \frac{1}{13} & -\frac{3}{13} \cr 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} & \scriptsize 2 \cdot \text{II} + \text{III} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{17}{13} \cr 0 & 1 & \frac{10}{13} \cr 0 & 0 & \frac{7}{13} \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{13} & \frac{4}{13} \cr 0 & \frac{1}{13} & -\frac{3}{13} \cr 1 & \frac{2}{13} & \frac{20}{13} \end{pmatrix} & \scriptsize \frac{13}{7} \cdot \text{III} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{17}{13} \cr 0 & 1 & \frac{10}{13} \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{13} & \frac{4}{13} \cr 0 & \frac{1}{13} & -\frac{3}{13} \cr \frac{13}{7} & \frac{2}{7} & \frac{20}{7} \end{pmatrix} & \scriptsize -\frac{10}{13} \cdot \text{III} + \text{II} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{17}{13} \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{13} & \frac{4}{13} \cr -\frac{10}{7} & -\frac{1}{7} & -\frac{17}{7} \cr \frac{13}{7} & \frac{2}{7} & \frac{20}{7} \end{pmatrix} & \scriptsize -\frac{17}{13} \cdot \text{III} + \text{I} \\[15pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & & \begin{pmatrix} -\frac{17}{7} & -\frac{1}{7} & -\frac{24}{7} \cr -\frac{10}{7} & -\frac{1}{7} & -\frac{17}{7} \cr \frac{13}{7} & \frac{2}{7} & \frac{20}{7} \end{pmatrix} & \\[5pt] \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & & \dfrac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} -17 & -1 & -24 \cr -10 & -1 & -17 \cr 13 & 2 & 20\end{pmatrix} & \end{array} \]
\[ \begin{array}{cc|c|l} \boldsymbol{A} -\boldsymbol{E} & & \boldsymbol{E} & \\ \hline \end{array} \]
Ergebnis der inversen Matrix:
\[ \left( \boldsymbol{A} - \boldsymbol{E} \right)^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 4 & 1 \cr 3 & 4 & 7 \cr 1 & -4 & 0 \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} -17 & -1 & -24 \cr -10 & -1 & -17 \cr 13 & 2 & 20 \end{pmatrix} \]
\[ \left( \boldsymbol{A} - \boldsymbol{E} \right)^{-1} = … \]
Berechne dann $\boldsymbol{X}$ wie in der Gleichung der vorherigen Teilaufgabe angegeben.
\[ \begin{array}{rcl} \boldsymbol{X} &=& \left( \boldsymbol{A} -\boldsymbol{E} \right)^{-1} \cdot \left( \boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E} \right) & \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -2 & 4 & 1 \cr 3 & 4 & 7 \cr 1 & -3 & -1 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} -3 & 4 & 1 \cr 3 & 3 & 7 \cr 1 & -3f & -2 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} -17 & -1 & -24 \cr -10 & -1 & -17 \cr 13 & 2 & 20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 & 4 & 1 \cr 3 & 3 & 7 \cr 1 & -3 & -2 \end{pmatrix} \end{array} \]
\[\begin{array}{rcl}\boldsymbol{X} &= …\end{array}\]
$\scriptsize{ \begin{array}{rcl} \boldsymbol{X} &=& \dfrac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} (-17) \cdot (-3) + (-1) \cdot 3 + (-24) \cdot 1 & (-17) \cdot 4 + (-1) \cdot 3 + (-24) \cdot (-3) & (-17) \cdot 1 + (-1) \cdot 7 + (-24) \cdot (-2) \cr (-10) \cdot (-3) + (-1) \cdot 3 + (-17) \cdot 1 & (-10) \cdot 4 + (-1) \cdot 3 + (-17) \cdot (-3) & (-10) \cdot 1 + (-1) \cdot 7 + (-17) \cdot (-2) \cr 13 \cdot (-3) + 2 \cdot 3 + 20 \cdot 1 & 13 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 20 \cdot (-3) & 13 \cdot 1 + 2 \cdot 7 + 20 \cdot (-2) \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} 24 & 1 & 24 \cr 10 & 8 & 17 \cr -13 & -2 & -13 \end{pmatrix}. \end{array} }$
\begin{array}{rcl} \boldsymbol{X} &=& \dfrac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix} 24 & 1 & 24 \cr 10 & 8 & 17 \cr -13 & -2 & -13 \end{pmatrix}. \end{array}
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