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Aufgabe 6

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Aufgabe 6

Hannes und Mattis spielen mit zwei identischen Spielzeughunden aus Plastik. Sie stellen folgendes fest: Wirft man einen Hund wie einen Würfel, so landet er in $6$ von $10$ Fällen auf der Seite, in $3$ von $10$ Fällen auf den Beinen und in $1$ von $10$ Fällen auf dem Rücken. Hannes und Mattis spielen nun ein Spiel. Dazu wird jeder Hund einmal geworfen.
6.1
Zeichne ein geeignetes Baumdiagramm für ein Spiel und gib für jedes mögliche Ergebnis die zugehörige Wahrscheinlichkeit an.
(6P)
6.2
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
  1. Beide Hunde landen auf dem Rücken.
  2. Mindestens ein Hund landet auf dem Rücken.
  3. Beide Hunde haben unterschiedliche Landepositionen.
  4. Kein Hund landet auf der Seite.
  5. Genau ein Hund landet auf den Beinen.
(9P)
6.3
Nun spielen Hannes und Mattis um Geld: Wenn beide Hunde auf der Seite landen, muss Hannes an Mattis $5$ Cent bezahlen. Wenn beide Hunde auf den Beinen landen, muss Hannes an Mattis 15 Cent bezahlen. Wenn beide Hunde auf dem Rücken landen, muss Mattis an Hannes $2$ € bezahlen. In allen anderen Fällen werden keine Zahlungen fällig.
Ist das Spiel fair?
(4P)
6.4
Der Auszahlungsbetrag von Hannes an Mattis für das Ereignis „beide Hunde landen auf der Seite“ soll angepasst werden, dass Mattis im Durchschnitt pro Spiel mindestens $30$ Cent gewinnt. Ansonsten bleibt das Spiel unverändert.
Wie hoch muss dieser Auszahlungsbetrag mindestens sein?
(4P)
6.5
Hannes sagt: „In Deutschland gibt es über $80$ Millionen Menschen. Wenn jeder die beiden Hunde einmal wirft, so werden mindestens $800.000$ Menschen das Ereignis A (Beide Hunde landen auf dem Rücken) würfeln.“
Nimm zu dieser Aussage Stellung.
(3P)
6.6
Beim Spielen bricht einem der Hunde ein Bein ab. Dadurch verändert sich die Wahrscheinlichkeiten folgendermaßen: Er landet in $7$ von $10$ Fällen auf der Seite, in $1$ von $10$ Fällen auf den Beinen und in $2$ von $10$ Fällen auf dem Rücken.
Der andere Hund bleibt unverändert.
Untersuche, ob unter diesen veränderten Bedingungen das in 6.3 beschriebene Spiel für Hannes günstig ist.
(4P)

(30P)
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