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Aufgabe 6

Aufgaben
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Aufgabe 6

Hannes und Mattis spielen mit zwei identischen Spielzeughunden aus Plastik. Sie stellen folgendes fest: Wirft man einen Hund wie einen Würfel, so landet er in $6$ von $10$ Fällen auf der Seite, in $3$ von $10$ Fällen auf den Beinen und in $1$ von $10$ Fällen auf dem Rücken. Hannes und Mattis spielen nun ein Spiel. Dazu wird jeder Hund einmal geworfen.
6.1
Zeichne ein geeignetes Baumdiagramm für ein Spiel und gib für jedes mögliche Ergebnis die zugehörige Wahrscheinlichkeit an.
(6P)
6.2
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
  1. Beide Hunde landen auf dem Rücken.
  2. Mindestens ein Hund landet auf dem Rücken.
  3. Beide Hunde haben unterschiedliche Landepositionen.
  4. Kein Hund landet auf der Seite.
  5. Genau ein Hund landet auf den Beinen.
(9P)
6.3
Nun spielen Hannes und Mattis um Geld: Wenn beide Hunde auf der Seite landen, muss Hannes an Mattis $5$ Cent bezahlen. Wenn beide Hunde auf den Beinen landen, muss Hannes an Mattis 15 Cent bezahlen. Wenn beide Hunde auf dem Rücken landen, muss Mattis an Hannes $2$ € bezahlen. In allen anderen Fällen werden keine Zahlungen fällig.
Ist das Spiel fair?
(4P)
6.4
Der Auszahlungsbetrag von Hannes an Mattis für das Ereignis „beide Hunde landen auf der Seite“ soll angepasst werden, dass Mattis im Durchschnitt pro Spiel mindestens $30$ Cent gewinnt. Ansonsten bleibt das Spiel unverändert.
Wie hoch muss dieser Auszahlungsbetrag mindestens sein?
(4P)
6.5
Hannes sagt: „In Deutschland gibt es über $80$ Millionen Menschen. Wenn jeder die beiden Hunde einmal wirft, so werden mindestens $800.000$ Menschen das Ereignis A (Beide Hunde landen auf dem Rücken) würfeln.“
Nimm zu dieser Aussage Stellung.
(3P)
6.6
Beim Spielen bricht einem der Hunde ein Bein ab. Dadurch verändert sich die Wahrscheinlichkeiten folgendermaßen: Er landet in $7$ von $10$ Fällen auf der Seite, in $1$ von $10$ Fällen auf den Beinen und in $2$ von $10$ Fällen auf dem Rücken.
Der andere Hund bleibt unverändert.
Untersuche, ob unter diesen veränderten Bedingungen das in 6.3 beschriebene Spiel für Hannes günstig ist.
(4P)

(30P)
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Tipps
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Aufgabe 6 entfällt ab 2018.
Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem einfachen wissenschaftlichen Taschenrechner durchgeführt werden. Eine Unterscheidung zwischen den Lösungen mit einem GTR von CASIO bzw. TI entfällt aus diesem Grund.

Aufgabe 6.1

$\blacktriangleright$   Baumdiagramm zeichnen
Um ein Baumdiagramm zeichnen zu können, ist es für dich wichtig zu wissen, wie viele Stufen es hat und wie viele Verzweigungen bei jedem neuen Knoten des Baumes möglich sind.
Das Zufallsexperiment ähnelt einem Würfelspiel. Die Rolle des Würfels nimmt ein Plastikhund ein. Die möglichen Ausgänge des Experimentes – entsprechend den Seiten des Würfels – sind die verschiedenen Lagen, die ein geworfener Plastikhund einnehmen kann: Er kann auf die Seite ($S$), auf die Beine ($B$) oder auf den Rücken ($R$) fallen. Verwende für alle folgenden Teilaufgaben die Abkürzungen $S, B$ und $R.$
Weil es sich um zwei identische Spielzeughunde aus Plastik handelt und jeder Hund einmal geworfen wird, besteht das Baumdiagramm folglich aus zwei Stufen mit jeweils drei Verzweigungen je Knoten des Baumes.
Zeichne dieses Baumdiagramm und ergänze an den Zweigen des Baumes die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten für die Ausgänge S, B oder R. Die im Aufgabentext angegeben relativen Häufigkeiten können als Wahrscheinlichkeiten verstanden werden.
Kontrolliere deine Eintragungen mithilfe der Knotenregel: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Baumes, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich Eins.
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis berechnen
Du sollst für jeden Ausgang (jedes Ergebnis) des zusammgesetzten Zufallsexperimentes die Wahrscheinlichkeit berechnen. Diese bestimmst du mithilfe der 1. Pfadmultiplikationsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste (Pfade) des Baumes multipliziert werden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Mithilfe der Regel kannst du alle Wahrscheinlichkeiten ermitteln und sie im Baumdiagramm ergänzen oder als Tabelle auflisten. Die Wahrscheinlichkeiten können als Bruch– oder Dezimalzahl oder als Prozentsatz angegeben werden.
Kontrolliere deine Ergebnisse aufgrund der 2. Pfadadditionsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse. Entlang der Blätter (Ergebnisse) des Baumes werden die Wahrscheinlichkeiten also addiert. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss Eins ergeben.
$P \left( \left\{ RR \right\} \right)$$P \left( \left\{ RB \right\} \right)$$P \left( \left\{ RS \right\} \right)$$P \left( \left\{ BR \right\} \right)$$P \left( \left\{ BB \right\} \right)$$P \left( \left\{ BS \right\} \right)$$P \left( \left\{ SR \right\} \right)$$P \left( \left\{ SB \right\} \right)$$P \left( \left\{ SS \right\} \right)$
$ 0,01 $
$P \left( \left\{ RR \right\} \right)$$P \left( \left\{ RB \right\} \right)$$P \left( \left\{ RS \right\} \right)$
$ 0,01 $
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich Eins.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Z. B. gilt:
$P \left( \left\{ RR \right\} \right)$ = $P \left( \left\{ R \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ R \right\} \right)$ = $\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}$ = $\frac{1 \cdot 1}{10 \cdot 10}$ = $\frac{1}{100} = 0,01 = 10 \; \% $
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich $ 100 \; \% $ bzw. Eins.

Aufgabe 6.2

$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $ \boldsymbol{A}, \; \boldsymbol{B}, \; \boldsymbol{C}, \; \boldsymbol{D}, \; \boldsymbol{E} $ berechnen
Für jedes der im Aufgabentext formulierten Ereignisse besteht deine Aufgabe darin, die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.
Jedes Ereignis setzt sich aus den Ergebnissen zusammen, bei denen das Ereignis eingetreten ist. Prüfe jedes Ergebnis im Baumdiagramm darauf hin, ob es zum Ereignis gehört oder nicht. So gelangst du zu einer Beschreibung des Ereignisses in aufzählender Form.
Kontrollergebnisse:
$ P(A) = P \left( \left\{ RR \right\} \right) $
$ P(B) = P \left( \left\{ RR; \; RB; \; RS; \; BR; \; SR \right\} \right) $
$ P(C) $= $ P \left( \left\{ RB; \; RS; \; BR; \; BS; \; SR; \; SB \right\} \right) $
$ P(D) = P \left( \left\{ RR; \; RB; \; BR; \; BB \right\} \right) $
$ P(E) = P \left( \left\{ RB; \; BR; \; BS; \; SB \right\} \right) $
Die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses kannst du anschließend mit der 2. Pfadadditionsregel berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Alle Wahrscheinlichkeiten, die in der Auflistung aufgeführt sind, kannst du deiner Tabelle aus Teilaufgabe 6.1 entnehmen und mit dem GTR die Gesamtwahrscheinlichkeit ermitteln. Fülle die Tabelle aus
$ P(A) $$ P(B) $$ P(C) $$ P(D) $$ P(E) $
$ 0,01 $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Die Wahrscheinlichkeiten können in Prozentschreibweise oder als Bruch– bzw. Dezimalzahl angegeben werden:
\[ \begin{array}{rcl} P(A) &=& P \left( \left\{ RR \right\} \right) \\ &=& 1 \; \% \end{array} \]

Aufgabe 6.3

$\blacktriangleright$   Beurteilen, ob das Spiel fair ist
Deine Aufgabe ist es zu beurteilen, ob das Spiel fair ist. Um ein Urteil über das Spiel fällen zu können, kannst du dir z. B. in Form einer Tabelle aufschreiben, welchen Auszahlungsbetrag jeweils Hannes an Mattis zahlen muss, wenn ein bestimmtes Ergebnis eingetreten ist. Alternativ könntest du hinter jedem Ergebnis des Baumdiagramms den Auszahlungsbetrag notieren.
Beachte, dass der Wert der Zufallsgröße positiv ist, wenn Hannes an Mattis zahlt, und negativ, wenn umgekehrt Mattis an Hannes zahlt.
Weil dieser Betrag vom Zufall abhängt, ist es sinnvoll, die Zufallsgröße $\boldsymbol{X}:$ Auszahlungsbetrag von Hannes an Matti (in Euro) einzuführen. Die Bezeichnung der Zufallsgröße ist willkürlich. Du könntest sie auch als $\boldsymbol{X}:$ Gewinn von Mattis festlegen. Fülle die folgende Tabelle aus. Sie wird auch Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$ genannt.
Ergebnis$ SS $$ BB $$ RR $sonst
Auszahlungsbetrag $x_i$ (in Euro)$ -2,00 $$ 0,00 $
$ P(X = x_i) $$ 0,01 $
Ergebnis$ SS $$ BB $
Auszahlungsbetrag $x_i$ (in Euro)
$ P(X = x_i) $
Ein Spiel ist genau dann fair, wenn der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ Null ist. Das bedeutet, dass weder Mattis noch Hannes auf lange Sicht hin einen Vorteil oder Gewinn aus dem Spiel ziehen können.
Den Erwartungswert $ E(X) $ berechnest du mithilfe der Formel
$ E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i). $ $ E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i). $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Du musst also spaltenweise den Auszahlungsbetrag mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multiplizieren und anschließend alle Produkte aufaddieren. Prüfe anhand des Ergebnisses, ob das Spiel fair ist.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Setzte die Werte in die Formel ein und berechne das Ergebnis. Prüfe anhand des Ergebnisses, ob das Spiel fair ist.

Aufgabe 6.4

$\blacktriangleright$   Auszahlungsbetrag für das Ereignis $ \boldsymbol{SS} $ anpassen
Die Aufgabe besteht für dich darin, den Auszahlungsbetrages für das Ereignis $ \boldsymbol{SS} $ so anzupassen, dass Mattis pro Spiel im Durchschnitt mindestens $ 30 $ Cent gewinnt. Nach dem bisherigen Auszahlungsplan ist sein Gewinn nach Teilaufgabe 6.3 durchschnittlich nur $ 0,15 $ Cent je Spiel. Um einen höheren Gewinn zu erreichen, muss folglich der bisherige Auszahlungsbetrag für das Ereignis ,,Beide Hunde landen auf der Seite'' von $ x_1 = 0,05 $ Euro erhöht bzw. neu ermittelt werden.
Deine zu bestimmende Größe ist also $x_1,$ und die zugehörige Bedingung $ E(X) \geq 0,30 $ Euro. Stelle diese Ungleichung auf und löse sie.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
\[ \begin{array}{rcll} E(X) &\geq& 0,30 \\ x_1 \cdot 0,36 - 0,0065 &\geq& 0,30 & \scriptsize \mid \; \text{Löse nach der Variablen auf} \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcll} E(X) &\geq& 0,30 \\ \end{array} \]
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
\[ \begin{array}{rcll} E(X) &\geq& 0,30 \\ x_1 \cdot 0,36 + 0,15 \cdot 0,09 + (-2,00) \cdot 0,01 + 0,00 \cdot 0,54 &\geq& 0,30 & \scriptsize \mid \; \text{Löse nach der Variablen auf} \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcll} E(X) &\geq& 0,30 \\ \end{array} \]

Aufgabe 6.5

$\blacktriangleright$   Zur Aussage von Hannes Stellung nehmen
Damit du zur Aussage von Hannes Stellung nehmen kannst, überlegst du dir am besten, wie viele Menschen du erwarten würdest, die das Ereignis $A$ würfeln. Nach Teilaufgabe 6.2 weisst du, dass $ P(A) = 0,01 $ gilt. Vergleiche dein Ergebnis mit der Aussage von Hannes.
Untersuche anschließend die Voraussetzungen, die Hannes macht und hinterfrage diese.

Aufgabe 6.6

$\blacktriangleright$   Untersuchen, ob das geänderte Spiel für Hannes günstig ist
Aufgrund der geänderten Einrittswahrscheinlchkeiten für $ R, \; B $ und $ S$ ist deine letzte Aufgabe zu untersuchen, ob das Spiel bei denselben Auszahlungsbeträgen wie Aufgabe Teilaufgabe 6.3 nun für Hannes günstig ist.
Um dies zu beurteilen, könntest du ein neues Baumdiagramm mit den geänderten Wahrscheinlichkeiten zeichnen und die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse neu berechnen. Der Aufwand ist jedoch sehr hoch. Einfacher und weniger aufwendig ist es, wenn du die neue Wahrscheinlichkeitsverteilung für die schon aus Teilaufgabe 6.3 bekannte Zufallsgröße $ \boldsymbol{X}:$ Gewinn von Mattis ermittelst.
Berechne dazu zunächst die Wahrscheinlichkeiten von $ P \left( \left\{ RR \right\} \right), \; P \left( \left\{ BB \right\} \right) $ und $ P \left( \left\{ SS \right\} \right). $ Gehe z. B. davon aus, dass sich die Wahrscheinlichkeiten für den zweiten Hund ändern.
Fülle dann die folgende Tabelle aus.
Ergebnis$ SS $$ BB $$ RR $sonst
Auszahlungsbetrag $x_i$ (in Euro)$ 0,05 $$ 0,15 $$ -2,00 $$ 0,00 $
$ P(X = x_i) $$ 0,53 $
Ergebnis$ SS $$ BB $
Auszahlungsbetrag $x_i$ (in Euro)$ 0,05 $$ 0,15 $
$ P(X = x_i) $
Anschließend berechnest du den Erwartungswert $ E(X) $ und kannst eine Aussage treffen. Beachte dabei, dass das geänderte Spiel für Hannes genau dann günstig ist, wenn der durchschnittliche Gewinn von Mattis – sein Erwartungswert – negativ ist.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Der Erwartungswert wird wie in Teilaufgabe 6.3 berechnet. Bestimme sein Vorzeichen, um eine Aussage machen zu können.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Setzte die Werte in die Formel ein und berechne das Ergebnis. Prüfe anhand des Ergebnisses, ob Hannes einen Vorteil besitzt.
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Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem einfachen wissenschaftlichen Taschenrechner durchgeführt werden. Eine Unterscheidung zwischen den Lösungen mit einem GTR von CASIO bzw. TI entfällt aus diesem Grund.

Aufgabe 6.1

$\blacktriangleright$   Baumdiagramm zeichnen
Um ein Baumdiagramm zeichnen zu können, ist es für dich wichtig zu wissen, wie viele Stufen es hat und wie viele Verzweigungen bei jedem neuen Knoten des Baumes möglich sind.
Das Zufallsexperiment ähnelt einem Würfelspiel. Die Rolle des Würfels nimmt ein Plastikhund ein. Die möglichen Ausgänge des Experimentes – entsprechend den Seiten des Würfels – sind die verschiedenen Lagen, die ein geworfener Plastikhund einnehmen kann: Er kann auf die Seite ($S$), auf die Beine ($B$) oder auf den Rücken ($R$) fallen. Verwende für alle folgenden Teilaufgaben die Abkürzungen $S, B$ und $R.$
Weil es sich um zwei identische Spielzeughunde aus Plastik handelt und jeder Hund einmal geworfen wird, besteht das Baumdiagramm folglich aus zwei Stufen mit jeweils drei Verzweigungen je Knoten des Baumes.
Zeichne dieses Baumdiagramm und ergänze an den Zweigen des Baumes die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten für die Ausgänge S, B oder R. Die im Aufgabentext angegeben relativen Häufigkeiten können als Wahrscheinlichkeiten verstanden werden.
Kontrolliere deine Eintragungen mithilfe der Knotenregel: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Baumes, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich Eins.
[Abb. 1]: Baumdiagramm
[Abb. 1]: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis berechnen
Du sollst für jeden Ausgang (jedes Ergebnis) des zusammgesetzten Zufallsexperimentes die Wahrscheinlichkeit berechnen. Diese bestimmst du mithilfe der 1. Pfadmultiplikationsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste (Pfade) des Baumes multipliziert werden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Mithilfe der Regel kannst du alle Wahrscheinlichkeiten ermitteln und sie im Baumdiagramm ergänzen oder als Tabelle auflisten. Die Wahrscheinlichkeiten können als Bruch– oder Dezimalzahl oder als Prozentsatz angegeben werden.
Kontrolliere deine Ergebnisse aufgrund der 2. Pfadadditionsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse. Entlang der Blätter (Ergebnisse) des Baumes werden die Wahrscheinlichkeiten also addiert. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss Eins ergeben.
$P \left( \left\{ RR \right\} \right)$$P \left( \left\{ RB \right\} \right)$$P \left( \left\{ RS \right\} \right)$$P \left( \left\{ BR \right\} \right)$$P \left( \left\{ BB \right\} \right)$$P \left( \left\{ BS \right\} \right)$$P \left( \left\{ SR \right\} \right)$$P \left( \left\{ SB \right\} \right)$$P \left( \left\{ SS \right\} \right)$
$0,01$$0,03$$0,06$$0,03$$0,09$$0,18$$0,06$$0,18$$0,36$
$P \left( \left\{ RR \right\} \right)$$P \left( \left\{ RB \right\} \right)$$P \left( \left\{ RS \right\} \right)$
$0,01$$0,03$$0,06$
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich Eins.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
$P \left( \left\{ RR \right\} \right) = P \left( \left\{ R \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ R \right\} \right) = \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{1}{10} = \dfrac{1 \cdot 1}{10 \cdot 10} = \dfrac{1}{100} = 0,01 = 10 \; \% $
$P \left( \left\{ RB \right\} \right) = P \left( \left\{ R \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ B \right\} \right) = \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{3}{10} = \dfrac{1 \cdot 3}{10 \cdot 10} = \dfrac{3}{100} = 0,03 = 3 \; \% $
$P \left( \left\{ RS \right\} \right) = P \left( \left\{ R \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ S \right\} \right) = \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{6}{10} = \dfrac{1 \cdot 6}{10 \cdot 10} = \dfrac{6}{100} = 0,06 = 6 \; \% $
$P \left( \left\{ BR \right\} \right) = P \left( \left\{ B \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ R \right\} \right) = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{10} = \dfrac{3 \cdot 1}{10 \cdot 10} = \dfrac{3}{100} = 0,03 = 3 \; \% $
$P \left( \left\{ BB \right\} \right) = P \left( \left\{ B \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ B \right\} \right) = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{3}{10} = \dfrac{3 \cdot 3}{10 \cdot 10} = \dfrac{9}{100} = 0,09 = 9 \; \% $
$P \left( \left\{ BS \right\} \right) = P \left( \left\{ B \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ S \right\} \right) = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{6}{10} = \dfrac{3 \cdot 6}{10 \cdot 10} = \dfrac{18}{100} = 0,18 = 18 \; \% $
$P \left( \left\{ SR \right\} \right) = P \left( \left\{ S \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ R \right\} \right) = \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{1}{10} = \dfrac{6 \cdot 1}{10 \cdot 10} = \dfrac{6}{100} = 0,06 = 6 \; \% $
$P \left( \left\{ SB \right\} \right) = P \left( \left\{ S \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ B \right\} \right) = \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{3}{10} = \dfrac{6 \cdot 3}{10 \cdot 10} = \dfrac{18}{100} = 0,18 = 18 \; \% $
$P \left( \left\{ SS \right\} \right) = P \left( \left\{ S \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ S \right\} \right) = \frac{6}{10} \cdot \dfrac{6}{10} = \dfrac{6 \cdot 6}{10 \cdot 10} = \dfrac{36}{100} = 0,36 = 36 \; \% $
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich $ 100 \; \% $ bzw. Eins.

Aufgabe 6.2

$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $ \boldsymbol{A}, \; \boldsymbol{B}, \; \boldsymbol{C}, \; \boldsymbol{D}, \; \boldsymbol{E} $ berechnen
Für jedes der im Aufgabentext formulierten Ereignisse besteht deine Aufgabe darin, die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.
Jedes Ereignis setzt sich aus den Ergebnissen zusammen, bei denen das Ereignis eingetreten ist. Prüfe jedes Ergebnis im Baumdiagramm darauf hin, ob es zum Ereignis gehört oder nicht. So gelangst du zu einer Beschreibung des Ereignisses in aufzählender Form.
Kontrollergebnisse:
$ P(A) = P \left( \left\{ RR \right\} \right) $
$ P(B) = P \left( \left\{ RR; \; RB; \; RS; \; BR; \; SR \right\} \right) $
$ P(C) $= $ P \left( \left\{ RB; \; RS; \; BR; \; BS; \; SR; \; SB \right\} \right) $
$ P(D) = P \left( \left\{ RR; \; RB; \; BR; \; BB \right\} \right) $
$ P(E) = P \left( \left\{ RB; \; BR; \; BS; \; SB \right\} \right) $
Die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses kannst du anschließend mit der 2. Pfadadditionsregel berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Alle Wahrscheinlichkeiten, die in der Auflistung aufgeführt sind, kannst du deiner Tabelle aus Teilaufgabe 6.1 entnehmen und mit dem GTR die Gesamtwahrscheinlichkeit ermitteln. Fülle die Tabelle aus
$ P(A) $$ P(B) $$ P(C) $$ P(D) $$ P(E) $
$ 0,01 $$ 0,19 $$ 0,54 $$ 0,16 $$ 0,42 $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Die Wahrscheinlichkeiten können in Prozentschreibweise oder als Bruch– bzw. Dezimalzahl angegeben werden:
\[ \begin{array}{rcl} P(A) &=& P \left( \left\{ RR \right\} \right) \\ &=& 1 \; \% \\[5pt] P(B) &=& P \left( \left\{ RR; \; RB; \; RS; \; BR; \; SR \right\} \right) \\[5pt] &=& P \left( \left\{ RR \right\} \right) + P \left( \left\{ RB \right\} \right) + P \left( \left\{ RS \right\} \right) + P \left( \left\{ BR \right\} \right) + P \left( \left\{ SR \right\} \right) \\ &=& 1 \; \% + 3 \; \% + 6 \; \% + 3 \; \% + 6 \; \% \\ &=& 19 \; \% \\[5pt] P(C) &=& P \left( \left\{ RB; \; RS; \; BR; \; BS; \; SR; \; SB \right\} \right) \\ &=& P \left( \left\{ RB \right\} \right) + P \left( \left\{ RS \right\} \right) + P \left( \left\{ BR \right\} \right) + P \left( \left\{ BS \right\} \right) + P \left( \left\{ SR \right\} \right) + P \left( \left\{ SB \right\} \right) \\ &=& 3 \; \% + 6 \; \% + 3 \; \% + 18 \; \% + 6 \; \% + 18 \; \% \\ &=& 54 \; \% \\[5pt] P(D) &=& P \left( \left\{ RR; \; RB; \; BR; \; BB \right\} \right) \\ &=& P \left( \left\{ RR \right\} \right) + P \left( \left\{ RB \right\} \right) + P \left( \left\{ BR \right\} \right) + P \left( \left\{ BB \right\} \right) \\ &=& 1 \; \% + 3 \; \% + 3 \; \% + 9 \; \% \\ &=& 16 \; \% \\[5pt] P(E) &=& P \left( \left\{ RB; \; BR; \; BS; \; SB \right\} \right) \\ &=& P \left( \left\{ RB \right\} \right) + P \left( \left\{ BR \right\} \right) + P \left( \left\{ BS \right\} \right) + P \left( \left\{ SB \right\} \right) \\ &=& 3 \; \% + 3 \; \% + 18 \; \% + 18 \; \% \\ &=& 42 \; \% \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl} P(A) &=& P \left( \left\{ RR \right\} \right) \\ &=& 1 \; \% \\[5pt] P(B) &=& 19 \; \% \\[5pt] P(C) &=& 54 \; \% \\[5pt] P(D) &=& 16 \; \% \\[5pt] P(E) &=& 42 \; \% \end{array} \]

Aufgabe 6.3

$\blacktriangleright$   Beurteilen, ob das Spiel fair ist
Deine Aufgabe ist es zu beurteilen, ob das Spiel fair ist. Um ein Urteil über das Spiel fällen zu können, kannst du dir z. B. in Form einer Tabelle aufschreiben, welchen Auszahlungsbetrag jeweils Hannes an Mattis zahlen muss, wenn ein bestimmtes Ergebnis eingetreten ist. Alternativ könntest du hinter jedem Ergebnis des Baumdiagramms den Auszahlungsbetrag notieren.
Beachte, dass der Wert der Zufallsgröße positiv ist, wenn Hannes an Mattis zahlt, und negativ, wenn umgekehrt Mattis an Hannes zahlt.
Weil dieser Betrag vom Zufall abhängt, ist es sinnvoll, die Zufallsgröße $\boldsymbol{X}:$ Auszahlungsbetrag von Hannes an Matti (in Euro) einzuführen. Die Bezeichnung der Zufallsgröße ist willkürlich. Du könntest sie auch als $\boldsymbol{X}:$ Gewinn von Mattis festlegen. Fülle die folgende Tabelle aus. Sie wird auch Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$ genannt.
Ergebnis$ SS $$ BB $$ RR $sonst
Auszahlungsbetrag $x_i$ (in Euro)$ 0,05 $$ 0,15 $$ -2,00 $$ 0,00 $
$ P(X = x_i) $$ 0,36 $$ 0,09 $$ 0,01 $$ 0,54 $
Ergebnis$ SS $$ BB $
Auszahlungsbetrag $x_i$ (in Euro)$ 0,05 $$ 0,15 $
$ P(X = x_i) $$ 0,36 $$ 0,09 $
Ein Spiel ist genau dann fair, wenn der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ Null ist. Das bedeutet, dass weder Mattis noch Hannes auf lange Sicht hin einen Vorteil oder Gewinn aus dem Spiel ziehen können.
Den Erwartungswert $ E(X) $ berechnest du mithilfe der Formel
$ E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i). $ $ E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i). $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Du musst also spaltenweise den Auszahlungsbetrag mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multiplizieren und anschließend alle Produkte aufaddieren. Prüfe anhand des Ergebnisses, ob das Spiel fair ist.
Wegen $ E(X) = 0,0015 \neq 0 $ ist das Spiel nicht fair.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Setzte die Werte in die Formel ein und berechne das Ergebnis. Prüfe anhand des Ergebnisses, ob das Spiel fair ist.
Wegen
\[ \begin{array}{rcl} E(X) &=& 0,05 \cdot 0,36 + 0,15 \cdot 0,09 + (-2,00) \cdot 0,01 + 0,00 \cdot 0,54 \\ &=& 0,018 + 0,0135 - 0,02 + 0 \\ &=& 0,0215 - 0,02 \\ &=& 0,0015 \\ &\neq& 0 \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl}E(X) &=&\neq& 0 \end{array} \]
ist das Spiel nicht fair. Mit anderen Worten: Auf lange Sicht hat Mattis einen durchschnittlichen Gewinn von $ 0,0015 $ Euro je Spiel bzw. Hannes einen entsprechenden Verlust.

Aufgabe 6.4

$\blacktriangleright$   Auszahlungsbetrag für das Ereignis $ \boldsymbol{SS} $ anpassen
Die Aufgabe besteht für dich darin, den Auszahlungsbetrages für das Ereignis $ \boldsymbol{SS} $ so anzupassen, dass Mattis pro Spiel im Durchschnitt mindestens $ 30 $ Cent gewinnt. Nach dem bisherigen Auszahlungsplan ist sein Gewinn nach Teilaufgabe 6.3 durchschnittlich nur $ 0,15 $ Cent je Spiel. Um einen höheren Gewinn zu erreichen, muss folglich der bisherige Auszahlungsbetrag für das Ereignis ,,Beide Hunde landen auf der Seite'' von $ x_1 = 0,05 $ Euro erhöht bzw. neu ermittelt werden.
Deine zu bestimmende Größe ist also $x_1,$ und die zugehörige Bedingung $ E(X) \geq 0,30 $ Euro. Stelle diese Ungleichung auf und löse sie.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
\[ \begin{array}{rcll} E(X) &\geq& 0,30 \\ x_1 \cdot 0,36 - 0,0065 &\geq& 0,30 & \scriptsize \mid \; + 0,0065 \\ x_1 \cdot 0,36 &\geq& 0,3065 & \scriptsize \mid \; : 0,36 \\ x_1 &\geq& 0,8513\overline{8} \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcll} E(X) &\geq& 0,30 \\ x_1 &\geq& 0,8513\overline{8} \end{array} \]
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
\[ \begin{array}{rcll} E(X) &\geq& 0,30 \\ x_1 \cdot 0,36 + 0,15 \cdot 0,09 + (-2,00) \cdot 0,01 + 0,00 \cdot 0,54 &\geq& 0,30 \\ x_1 \cdot 0,36 + 0,0135 - 0,02 + 0 &\geq& 0,30 \\ x_1 \cdot 0,36 - 0,0065 &\geq& 0,30 & \scriptsize \mid \; + 0,0065 \\ x_1 \cdot 0,36 &\geq& 0,3065 & \scriptsize \mid \; \cdot 1.000 \\ x_1 \cdot 3600 &\geq& 3065 & \scriptsize \mid \; : 3600 \\[5pt] x_1 &\geq& \dfrac{3065}{3600} \\ x_1 &\geq& \dfrac{613}{720} \\ x_1 &\geq& 0,851\ldots \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcll} E(X) &\geq& 0,30 \\ x_1 &\geq& 0,851\ldots \end{array} \]
Der Auszahlungsbetrag für das Ereignis $ SS $ muss mindestens auf $ 0,86 $ Euro angepasst werden, damit Mattis durchschnittlich mindestens $ 0,30 $ Euro pro Spiel gewinnt.

Aufgabe 6.5

$\blacktriangleright$   Zur Aussage von Hannes Stellung nehmen
Damit du zur Aussage von Hannes Stellung nehmen kannst, überlegst du dir am besten, wie viele Menschen du erwarten würdest, die das Ereignis $A$ würfeln. Nach Teilaufgabe 6.2 weisst du, dass $ P(A) = 0,01 $ gilt. Vergleiche dein Ergebnis mit der Aussage von Hannes.
Untersuche anschließend die Voraussetzungen, die Hannes macht und hinterfrage diese.
Wegen $ 80.000.000 \cdot 0,01 = 800.000 $ liegt die zu erwartende Anzahl der Würfe, bei denen $A$ eintritt, zwar bei etwa $ 800.000. $ Aber theoretisch können es sehr viel weniger sein oder gar kein Mensch würfelt das Ereignis $A.$ Hannes Aussage ist falsch, weil er nicht berücksichtigt, dass auch für unwahrscheinlich gehaltene Ereignisse eine – wenn auch geringe – Wahrscheinlichkeit besitzen.

Aufgabe 6.6

$\blacktriangleright$   Untersuchen, ob das geänderte Spiel für Hannes günstig ist
Aufgrund der geänderten Einrittswahrscheinlchkeiten für $ R, \; B $ und $ S$ ist deine letzte Aufgabe zu untersuchen, ob das Spiel bei denselben Auszahlungsbeträgen wie Aufgabe Teilaufgabe 6.3 nun für Hannes günstig ist.
Um dies zu beurteilen, könntest du ein neues Baumdiagramm mit den geänderten Wahrscheinlichkeiten zeichnen und die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse neu berechnen. Der Aufwand ist jedoch sehr hoch. Einfacher und weniger aufwendig ist es, wenn du die neue Wahrscheinlichkeitsverteilung für die schon aus Teilaufgabe 6.3 bekannte Zufallsgröße $ \boldsymbol{X}:$ Gewinn von Mattis ermittelst.
Berechne dazu zunächst die Wahrscheinlichkeiten von $ P \left( \left\{ RR \right\} \right), \;$ $P \left( \left\{ BB \right\} \right) $ und $ P \left( \left\{ SS \right\} \right). $ Gehe z. B. davon aus, dass sich die Wahrscheinlichkeiten für den zweiten Hund ändern.
$P \left( \left\{ RR \right\} \right)$ = $P \left( \left\{ R \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ R \right\} \right)$ = $\frac{1}{10} \cdot \frac{2}{10}$ = $\frac{1 \cdot 2}{10 \cdot 10}$ = $\frac{2}{100}$ = $0,02$ = $2 \; \% $
$P \left( \left\{ BB \right\} \right)$ = $P \left( \left\{ B \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ B \right\} \right)$ = $\frac{3}{10} \cdot \frac{1}{10}$ = $\frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 10}$ = $\frac{3}{100}$ = $0,03$ = $3 \; \% $
$P \left( \left\{ SS \right\} \right)$ = $P \left( \left\{ S \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ S \right\} \right)$ = $\frac{6}{10} \cdot \frac{7}{10}$ = $\frac{6 \cdot 7}{10 \cdot 10}$ = $\frac{42}{100}$ = $0,42$ = $42 \; \% $
Fülle dann die folgende Tabelle aus.
Ergebnis$ SS $$ BB $$ RR $sonst
Auszahlungsbetrag $x_i$ (in Euro)$ 0,05 $$ 0,15 $$ -2,00 $$ 0,00 $
$ P(X = x_i) $$ 0,42 $$ 0,03 $$ 0,02 $$ 0,53 $
Ergebnis$ SS $$ BB $
Auszahlungsbetrag $x_i$ (in Euro)$ 0,05 $$ 0,15 $
$ P(X = x_i) $$ 0,42 $$ 0,03 $
Anschließend berechnest du den Erwartungswert $ E(X) $ und kannst eine Aussage treffen. Beachte dabei, dass das geänderte Spiel für Hannes genau dann günstig ist, wenn der durchschnittliche Gewinn von Mattis – sein Erwartungswert – negativ ist.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Der Erwartungswert wird wie in Teilaufgabe 6.3 berechnet. Bestimme sein Vorzeichen, um eine Aussage machen zu können.
Wegen $ E(X) = -0,0145 < 0 $ ist das Spiel für Hannes günstig.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Setzte die Werte in die Formel ein und berechne das Ergebnis. Prüfe anhand des Ergebnisses, ob Hannes einen Vorteil besitzt.
Wegen
\[ \begin{array}{rcl} E(X) &=& 0,05 \cdot 0,42 + 0,15 \cdot 0,03 + (-2,00) \cdot 0,02 + 0,00 \cdot 0,53 \\ &=& 0,021 + 0,0045 - 0,04 + 0 \\ &=& 0,0255 - 0,04 \\ &=& -0,0145 \\ &<& 0 \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl}E(X) &=&<& 0 \end{array} \]
ist das Spiel für Hannes günstig. Mit anderen Worten: Auf lange Sicht hat Hannes einen durchschnittlichen Gewinn von $ 0,0145 $ Euro je Spiel bzw. Mattis einen entsprechenden Verlust.
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