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Aufgabe 7

Aufgaben
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Aufgabe 7

Die Metall $\&$ Mehr KG hat sich auf die Herstellung von Unterlegscheiben für Schraubensysteme spezialisiert. Die Gesamtkosten $K$ der Produktion lassen sich durch eine ganzrationale Funktion $3$. Grades darstellen. Dabei entspricht $x$ der Produktionsmenge in Mengeneinheiten ($\text{ME}$) und $K(x)$ den Gesamtkosten in Geldeinheiten
($\text{GE}$).
7.1
Im Jahr 2014 betrug der konstante Verkaufspreis je $\text{ME}$ $22\,\text{GE}$. Bei diesem Verkaufspreis lag die
Nutzenschwelle bei $5\,\text{ME}$. Der Fixkostenanteil an den Gesamtkosten betrug $10\,\text{GE}$. Die variablen Stückkosten bei $4\,\text{ME}$ betrugen $12\,\text{GE}$. Die Grenzkosten bei $4\,\text{ME}$ betrugen $36\,\text{GE}$ pro $\text{ME}$.
Bestimme die Erlösfunktion $E$ sowie die Gesamtkostenfunktion $K^*$ für das Jahr 2014.
(7P)
Für das Jahr 2015 erwartet der Betrieb nun die Gesamtkostenfunktion $K$ mit
$K(x)=1,5x^3-13x^2+40x+15$ und die Erlösfunktion $E$ mit $E(x)=19,5x$.
Es gilt $0\leq x\leq 8$.
7.2
Zeichne die Schaubilder von $E$ und $K$.
Berechne die Nutzenschwelle und die Nutzengrenze.
(6P)
7.3
Berechne die gewinnmaximale Produktionsmenge und den maximalen Gewinn.
(3P)
7.4
Berechne das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze.
Wie groß ist der Gewinn im Betriebsoptimum?
Erläutere, wie man mit Hilfe der Zeichnung aus 7.2 einen Näherungswert für das Betriebsoptimum ermitteln kann.
(5P)
7.5
Um welchen Betrag müssten die Fixkosten sinken, damit der maximale Gewinn um $10\,\%$ steigt?
(3P)
Bei zwei Qualitätskontrollen im Januar 2015 und Februar 2015 wird der Innendurchmesser der
Unterlegscheiben gemessen.
7.6
Bestimme den mittleren Innendurchmesser und die Standardabweichung für die Messung im Januar, wenn sich folgende Häufigkeitsverteilung ergibt.
Durchmesser $d$ in $\text{mm}$
$3,18$ $3,19$ $3,20$ $3,21$ $3,22$
Anzahl
$30$ $210$ $430$ $290$ $40$
Durchmesser $d$ in $\text{mm}$
$3,18$ $3,19$
Anzahl
$30$ $210$
(2P)
7.7
Die Messung im Februar ergibt für die Unterlegscheiben einen durchschnittlichen Innendurchmesser von $\mu=3,201\,\text{mm}$ und eine Standardabweichung von $\sigma=0,007\,\text{mm}$. Liegt der Innendurchmesser außerhalb des Bereichs $3,19\leq d\leq3,21$, eignet sich eine Unterlegscheibe nicht mehr zum Verkauf.
Wieviel Prozent Ausschuss entsteht, wenn der Innendurchmesser normalverteilt ist?
(4P)

(30P)
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Tipps
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Aufgabe 6 entfällt ab 2018.
Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem GTR von CASIO bzw. TI durchgeführt werden; eine schriftliche Lösung ist überweigend jedoch nicht möglich. Eine Unterscheidung zwischen einer Lösung mit einem GTR und einer schriftlichen Lösung entfällt aus diesem Grund.
Nimm die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Mathematik in der Praxis" zur Hand, um die im Aufgabentext vorkommenden Fachbegriffe der Kostentheorie den mathematischen Fachbegriffen zuordnen zu können.

Aufgabe 7.1

$\blacktriangleright$   Erlösfunktion $ \boldsymbol{E(x)} $ bestimmen
Du sollst die Erlösfunktion bestimmen. Sie ist durch die Formel
$\boldsymbol{E(x) = p \cdot x} $ bei konstantem Stückpreis $ \boldsymbol{p} $ $\boldsymbol{E(x) = p \cdot x} $ bei konstantem Stückpreis $ \boldsymbol{p} $
bzw.
$\boldsymbol{E(x) = p (x) \cdot x} $ bei stückzahlabhängigem Stückpreis $ \boldsymbol{p(x)} $ $\boldsymbol{E(x) = p (x) \cdot x} $ bei stückzahlabhängigem Stückpreis $ \boldsymbol{p(x)} $
gegeben. Untersuche den Text daraufhin, welche Erlösfunktion die richtige ist und gib die Gleichung des Funktionsterms an.
Kontrollergebnis: Die Erlösfunktion ist $ E(x) = 22 \cdot x \; \text{GE} $ (Geldeinheiten).
$\blacktriangleright$   Gesamtkostenfunktion $ \boldsymbol{K^*(x)} $ bestimmen
Zusätzlich besteht deine Aufgabe darin, die Gesamtkostenfunktion $ K^* $ anhand der im Aufgabentext gegebenen Bedingungen zu bestimmen. Verwende stets in den Lösungen die vorgegebenen Bezeichnungen – der Stern $^*$ kann zur Vereinfachung weggelassen werden – für
  1. die Produktionsmenge $x$ in Mengeneinheiten $ \text{(ME)} $
  2. die Gesamtkosten $K(x) \, \left( = K^*(x) \right) $ in Geldeinheiten $ \text{(GE)} $
Du kannst dem Text folgende Aussagen entnehmen:
  1. $ K $ ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades.
  2. Die Nutzenschwelle beim Verkaufspreis $ 22 \; \text{GE/ME} $ liegt bei $ 5 \; \text{ME.}$
  3. Der Fixkostenanteil an den Gesamtkosten beträgt $ 10 \; \text{GE.} $
  4. Die variablen Stückkosten bei $ 4 \; \text{ME} $ betragen $ 12 \; \text{GE.} $
  5. Die Grenzkosten bei $ 4 \; \text{ME} $ betragen $ 36 \; \text{GE/ME.} $
Jede dieser Aussagen solltest du mithilfe der Formelsammlung den kostentheoretischen und mathematischen Begriffen zuzuordnen.
Kontrolle der Zuordnungen:
  1. Der Funktionsterm einer ganzrationale Funktion dritten Grades ist z. B. mit unbekannten reellen Parametern $ a, \; b, \; c $ und $d$ als $ K(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d $ darstellbar.
  2. Für die Nutzenschwelle $x_s = 5 $ gilt für die Gewinnfunktion $ G $ die Gleichung $ G(x_s) = E(x_s) - K(x_s) = 0 $ bzw. eingesetzt $ K(5) = E(5) = 22 \cdot 5 = 110 \;\text{GE}.$
  3. Die Gesamtkosten sind $ K(x) = K_v (x) + K_f, $ wobei $ K_v (x) $ die variablen Kosten und $ K_f $ die fixen Kosten bezeichnen. Es gilt $ K_f = K(0) = 10 \; \text{GE}. $
  4. Die variablen Stückkosten sind $ k_v(x) = \frac{K_v (x)}{x} = a \cdot x^2 + b \cdot x + c $ und es gilt $ k_v(4) = 12 \; \text{GE.} $
  5. Die Grenzkosten sind $ K'(x) = 3 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot b \cdot x + c $ und es gilt $ K'(4) = 36 \; \text{GE/ME.} $
Übertrage diese Zuordnungen in ein Gleichungssystem, das aus vier Gleichungen mit vier Unbekannten besteht, und löse es mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Gleichungs(EQUA)–Menü berechnen. Rufe das Untermenü
Lineares Gleichungssystem $\to$ 4 Unbekannte $\to$ EXE Lineares Gleichungssystem $\to$ 4 Unbekannte $\to$ EXE
auf und gib die Zahlen des Gleichungssystem mit Vorzeichen ein. Führe die Berechnung aus und notiere dir die Ergebnisse.
Aufgabe 7
[Abb. 1]: Eingabe des LGS
Aufgabe 7
[Abb. 1]: Eingabe des LGS
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Die Lösungen kannst du mit dem GTR durch Eingabe des Gleichungssystems als $(4 \times 5)$–Matrix $A$ und Umformung dieser Matrix auf Diagonalgestalt ermitteln. Der zugehörige Tastaturaufruf ist
MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER. MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER.
Aufgabe 7
[Abb. 1]: Eingabe des LGS
Aufgabe 7
[Abb. 1]: Eingabe des LGS
Gib abschließend den Term der Gesamtkostenfunktion $ K^*$ an.

Aufgabe 7.2

$\blacktriangleright$   Schaubilder von $ \boldsymbol{E} $ und $ \boldsymbol{K} $ zeichnen
Wenn du ein Schaubild einer Funktion willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte sie in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebenen Funktion $E$ und $K$ ist eine Darstellung im Bereich $ 0 \leq x \leq 8 $ vorgegeben und deshalb $ 0 \leq y \leq 300 $ sinnvoll, weil das Wesentliche der Schaubilder dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit auf der $x$–Achse entspricht 1 cm und 25 Längeneinheiten auf der $y$–Achse 1 cm.
$\blacktriangleright$   Nutzenschwelle und Nutzengrenze berechnen
Die Nutzenschwelle ist diejenige Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten erstmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$-$'' nach ,,$+$''.
Die Nutzengrenze ist diejenige Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten letztmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$+$'' nach ,,$-$''.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü ISCT auf, um die Schnittstellen der Funktionen $E$ und $K$ zu berechnen. Alternativ kannst du das Untermenü ROOT anwenden, um die Nullstellen der Funktion $G$ zu ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe nach Eingabe der Funktionsterme CALCULATE 5 : intersect auf, um die Schnittstellen der Funktionen $E$ und $K$ zu berechnen. Alternativ kannst du die Gewinnfunktion eingeben und CALCULATE 2 : zero anwenden, um die Nullstellen der Funktion $G$ zu ermitteln.

Aufgabe 7.3

$\blacktriangleright$   Gewinnmaximale Produktionsmenge und maximalen Gewinn berechnen
Deine Aufgabe ist es, den maximalen Gewinn und diejenige Produktionsmenge zu ermitteln, bei welcher der Gewinn maximal wird. Die Gewinnfunktion ist festgelegt durch die Gleichung
$ \boldsymbol{G(x) = E(x) - K(x)} $ $ \boldsymbol{G(x) = E(x) - K(x)} $
und in dieser Aufgabe eine ganzrationale Funktion dritten Grades, weil $K$ eine Funktion drittes Grades und $E$ eine Funktion ersten Grades ist. Die Differenzfunktion besitzt genau einen Hochpunkt. Bestimme diesen Hochpunkt mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü MAX auf, um die Maximalstelle $ x_{max} $ und das Maximum $ G(x_{max}) $ der Funktion $G$ zu berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Die Lösungen kannst du mit dem GTR nach Eingabe der Gewinnfunktion $G$ berechnen, indem du CALCULATE 4 : maximum auf, um die Maximalstelle $ x_{max} $ und das Maximum $ G(x_{max}) $ der Funktion $G$ zu berechnen.

Aufgabe 7.4

$\blacktriangleright$   Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze berechnen
Der Formelsammlung hilft dir dabei, wie du das Betriebsoptimum berechnen kannst. Dazu gilt es, die Stückkostenfunktion aufzustellen. Sie ist bestimmt durch die Gleichung
$ \boldsymbol{k(x) = \dfrac{K(x)}{x}}. $ $ \boldsymbol{k(x) = \dfrac{K(x)}{x}}. $
Stelle den Funktionsterm auf. Das Betriebsoptimum $ x_{opt} $ ist die Minimalstelle der Stückkostenfunktion $k.$ Die langfristige Preisuntergrenze ist als der Funktionswert $ k(x_{opt}) $ festgelegt. Bestimme den Tiefpunkt dieser Funktion mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü MIN auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Die Lösungen kannst du nach Eingabe der Funktion in den GTR berechnen, wenn du CALCULATE 3 : minimum auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.
$\blacktriangleright$   Gewinn im Betriebsoptimum berechnen
Du sollst den Gewinn im Betriebsoptimum bestimmen. Verwende das vorherige Ergebnis $ x_{opt} $ und berechne $ G(x_{opt}) $ mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Das Ergebnis erhälst du mit dem GTR im Graph–Menü oder im Table–Menü. Rufe z. B. im Graph–Menü das Untermenü Y–CALC auf, um den Gewinn $ G(x_{opt}) $ zu ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI Das Ergebnis erhälst du mit dem GTR, wenn du auf die Gewinnfunktion $G$ den Befehl CALCULATE 1: value anwendest. Du gibst den Wert von $ x_{opt} $ ein, um den Gewinn $ G(x_{opt}) $ zu ermitteln.
$\blacktriangleright$   Ermittlung eines Näherungswertes für das Betriebsoptimum mit Hilfe der Zeichnung erläutern
In der vorherigen Teilaufgabe von 7.4 hast du das Betriebsoptimum rechnerisch ermittelt. Du sollst anhand der Zeichnung in Teilaufgabe 7.2 erläutern, wie du es zeichnerisch bestimmen kannst. Die folgende Zeichung wird zwar nicht von dir verlangt, kann dir aber den Sachverhalt anschaulich darstellen und bei der Erläuterung helfen.
Aufgabe 7
[Abb. 10]: Schaubilder der Funktionen $E$ und $K$ mit Tangente im Betriebsoptimum $x _{opt} $
Aufgabe 7
[Abb. 10]: Schaubilder der Funktionen $E$ und $K$ mit Tangente im Betriebsoptimum $x _{opt} $
Gib nun die Erläuterung an.

Aufgabe 7.5

$\blacktriangleright$   Senkung des Betrages der Fixkosten berechnen, wenn der maximale Gewinn um $ \boldsymbol{10 \; \%} $ steigt
Deine Aufgabe ist es, den Betrag in Geldeinheiten zu berechnen, um den die Fixkosten gesenkt werden müssen, wenn der maximale Gewinn um $ 10 \; \% $ steigt.
Berechne zunächst, um wie viel $ \text{GE} $ der maximale Gewinn steigt, den du in Teilaufgabe 7.3 mit $ G(x_{max}) = 20,24 \, \text{GE} $ ermittelt hast.
Überlege dir, ob eine Änderung des maximalen Gewinns sich auf die Lage der gewinnmaximalen Produktionsmenge auswirkt und welche Schlussfolgerung sich für die Fixkosten aufstellen lässt.

Aufgabe 7.6

$\blacktriangleright$   Mittlerer Innendurchmesser und Standardabweichung bestimmen
Aus den Daten der gegebenen Häufigkeitsverteilung sollst du den mittleren Innendurchmesser $ \mu $ und die Standardabweichung $ \sigma $ mithilfe deines GTR ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Die Lösungen kannst du mit dem GTR von CASIO im Statistik(STAT)–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs gibst du die Werte der Häufigkeitsverteilung ein:
  1. In Liste 1 werden die gemessenen Durchmesser (Merkmalsausprägungen) eingetragen.
  2. In Liste 2 gehören die Anzahlen, wie oft jeweils der gemessene Durchmesser aufgetreten ist (absolute Häufigkeit).
Beachte, dass dein GTR die richtigen Einstellungen für die Auswertung der Stichprobe besitzt. Rufe das Untermenü SET auf, um die Einstellungen zu überprüfen bzw. gegebenenfalls zu ändern. Der GTR erwartet für die Auswertung, dass die Merkmale in Liste 1 und die Anzahlen in Liste 2 stehen:
Aufgabe 7
[Abb. 12]: SET–Einstellungen
Aufgabe 7
[Abb. 12]: SET–Einstellungen
Schließlich rufst du die Auswertung mit der Tastaturfolge
CALC $\to$ 1–VAR $\to$ EXE CALC $\to$ 1–VAR $\to$ EXE
auf und notierst die Ergebnisse.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Statistik(STAT)–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs wählst du EDIT und gibst du die Werte der Häufigkeitsverteilung ein:
  1. In Liste 1 werden die gemessenen Durchmesser (Merkmalsausprägungen) eingetragen.
  2. In Liste 2 gehören die Anzahlen, wie oft jeweils der gemessene Durchmesser aufgetreten ist (absolute Häufigkeit).
Beachte, dass dein GTR die richtigen SET–Einstellungen für die Auswertung der Stichprobe besitzt. Die Einstellungen rufst du mit
STAT $\to$ CALC $\to$ 1 : 1–Var Stats $\to$ ENTER STAT $\to$ CALC $\to$ 1 : 1–Var Stats $\to$ ENTER
auf. Der GTR erwartet für die Auswertung, dass die Merkmale in Liste 1 und die Anzahlen in Liste 2 stehen.
Aufgabe 7
[Abb. 14]: SET–Einstellungen
Aufgabe 7
[Abb. 14]: SET–Einstellungen
Die Auswertung steuerst du über die Auswahl von Calculate an und notierst die Ergebnisse.

Aufgabe 7.7

$\blacktriangleright$   Ausschussquote in Prozent berechnen
Deine Aufgabe besteht darin, die Ausschussquote zu ermitteln, wenn der Durchmesser einer Unterlegscheibe außerhalb des Bereichs $ 3,19 \leq d \leq 3,21 $ liegt. Der Ausschuss ist hier festgelegt durch eine normalverteilte Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$, die den Durchmesser einer Unterlegscheibe angibt. Dem Aufgabentext kannst du den Mittelwert $ \mu = 3,201 \, \text{mm} $ und die Standardabweichung $ \sigma = 0,007 \, \text{mm} $ der Normalverteilung entnehmen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit (Ausschussquote) $ P( X \notin [3,19; \; 3,21])$ = $1 - P( X \in [3,19; \; 3,21]). $ Aus den Daten für die Normalverteilung kannst du die Wahrscheinlichkeit $ P( X \in [3,19; \; 3,21]) $ mithilfe deines GTR ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von CASIO
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Run–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs gibst du die Tastaturfolge
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ NORM $\to$ Ncd (Untergrenze,Obergenze,$ \boldsymbol{\sigma, \mu} $) $\to$ EXE OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ NORM $\to$ Ncd (Untergrenze,Obergenze,$ \boldsymbol{\sigma, \mu} $) $\to$ EXE
ein. Mit dem Ergebnis berechnest du schließlich die gesuchte Ausschussquote.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR von TI
Die Lösungen kannst du mit dem GTR durch Aufruf der Tastaturfolge
DISTR $\to$ 1 : normalcdf( $\to$ ENTER DISTR $\to$ 1 : normalcdf( $\to$ ENTER
berechnen. Du änderst die Untergrenze, die Obergrenze, den Mittelwert und die Standardabweichung und steuerst Paste an.
Aufgabe 7
[Abb. 14]: Eingabe der Werte
Aufgabe 7
[Abb. 14]: Eingabe der Werte
Nach zweimaligen ENTER erhälst du das Ergebnis, mit dem du schließlich die gesuchte Ausschussquote ermittelst.
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Aufgabe 6 entfällt ab 2018.
Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem GTR von CASIO bzw. TI durchgeführt werden; eine schriftliche Lösung ist überweigend jedoch nicht möglich. Eine Unterscheidung zwischen einer Lösung mit einem GTR und einer schriftlichen Lösung entfällt aus diesem Grund.
Nimm die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Mathematik in der Praxis" zur Hand, um die im Aufgabentext vorkommenden Fachbegriffe der Kostentheorie den mathematischen Fachbegriffen zuordnen zu können.

Aufgabe 7.1

$\blacktriangleright$   Erlösfunktion $ \boldsymbol{E(x)} $ bestimmen
Du sollst die Erlösfunktion bestimmen. Sie ist durch die Formel
$\boldsymbol{E(x) = p \cdot x} $ bei konstantem Stückpreis $ \boldsymbol{p} $ $\boldsymbol{E(x) = p \cdot x} $ bei konstantem Stückpreis $ \boldsymbol{p} $
bzw.
$\boldsymbol{E(x) = p (x) \cdot x} $ bei stückzahlabhängigem Stückpreis $ \boldsymbol{p(x)} $ $\boldsymbol{E(x) = p (x) \cdot x} $ bei stückzahlabhängigem Stückpreis $ \boldsymbol{p(x)} $
gegeben. Untersuche den Text daraufhin, welche Erlösfunktion die richtige ist und gib die Gleichung des Funktionsterms an.
Die Erlösfunktion ist $ E(x) = 22 \cdot x \; \text{GE} $ (Geldeinheiten).
$\blacktriangleright$   Gesamtkostenfunktion $ \boldsymbol{K^*(x)} $ bestimmen
Zusätzlich besteht deine Aufgabe darin, die Gesamtkostenfunktion $ K^* $ anhand der im Aufgabentext gegebenen Bedingungen zu bestimmen. Verwende stets in den Lösungen die vorgegebenen Bezeichnungen – der Stern $^*$ kann zur Vereinfachung weggelassen werden – für
  1. die Produktionsmenge $x$ in Mengeneinheiten $ \text{(ME)} $
  2. die Gesamtkosten $K(x) \, \left( = K^*(x) \right) $ in Geldeinheiten $ \text{(GE)} $
Du kannst dem Text folgende Aussagen entnehmen:
  1. $ K $ ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades.
  2. Die Nutzenschwelle beim Verkaufspreis $ 22 \; \text{GE/ME} $ liegt bei $ 5 \; \text{ME.}$
  3. Der Fixkostenanteil an den Gesamtkosten beträgt $ 10 \; \text{GE.} $
  4. Die variablen Stückkosten bei $ 4 \; \text{ME} $ betragen $ 12 \; \text{GE.} $
  5. Die Grenzkosten bei $ 4 \; \text{ME} $ betragen $ 36 \; \text{GE/ME.} $
Jede dieser Aussagen solltest du mithilfe der Formelsammlung den kostentheoretischen und mathematischen Begriffen zuzuordnen.
Kontrolle der Zuordnungen:
  1. Der Funktionsterm einer ganzrationale Funktion dritten Grades ist z. B. mit unbekannten reellen Parametern $ a, \; b, \; c $ und $d$ als $ K(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d $ darstellbar.
  2. Für die Nutzenschwelle $x_s = 5 $ gilt für die Gewinnfunktion $ G $ die Gleichung $ G(x_s) = E(x_s) - K(x_s) = 0 $ bzw. eingesetzt $ K(5) = E(5) = 22 \cdot 5 = 110 \;\text{GE}.$
  3. Die Gesamtkosten sind $ K(x) = K_v (x) + K_f, $ wobei $ K_v (x) $ die variablen Kosten und $ K_f $ die fixen Kosten bezeichnen. Es gilt $ K_f = K(0) = 10 \; \text{GE}. $
  4. Die variablen Stückkosten sind $ k_v(x) = \frac{K_v (x)}{x} = a \cdot x^2 + b \cdot x + c $ und es gilt $ k_v(4) = 12 \; \text{GE.} $
  5. Die Grenzkosten sind $ K'(x) = 3 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot b \cdot x + c $ und es gilt $ K'(4) = 36 \; \text{GE/ME.} $
Übertrage diese Zuordnungen in ein Gleichungssystem, das aus vier Gleichungen mit vier Unbekannten besteht, und löse es mit deinem GTR.
Gleichungssystem:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(5) &=& 110 & & a \cdot 5^3 &+& b \cdot 5^2 &+& c \cdot 5 &+& d &=& 110 &\ \scriptsize\mid\;\text{Vereinfache} \\ K(0) &=& 10 & & a \cdot 0^3 &+& b \cdot 0^2 &+& c \cdot 0 &+& d &=& 10 &\ \scriptsize\mid\;\text{Vereinfache} \\ k_v(4) &=& 12 & & a \cdot 4^2 &+& b \cdot 4 &+& c & & &=& 12 &\ \scriptsize\mid\;\text{Vereinfache} \\ K'(4) &=& 36 & & 3 \cdot a \cdot 4^2 &+& 2 \cdot b \cdot 4 &+& c & & &=& 36 &\ \scriptsize\mid\;\text{Fasse zusammen} \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(5) &= …\\ K(0) &= … \\ k_v(4) &= …\\ K'(4) &= …\\ \hline \end{array} \]
Die vereinfachte Form des linearen Gleichungssystems lässt sich nun mit dem GTR lösen:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(5) &=& 110 & & 125 \cdot a &+& 25 \cdot b &+& 5 \cdot c &+& 1 \cdot d &=& 110 \\ K(0) &=& 10 & & 0 \cdot a &+& 0 \cdot b &+& 0 \cdot c &+& 1 \cdot d &=& 10 \\ k_v(4) &=& 12 & & 16 \cdot a &+& 4 \cdot b &+& 1 \cdot c &+& 0 \cdot d &=& 12 \\ K'(4) &=& 36 & & 48 \cdot a &+& 8 \cdot b &+& 1 \cdot c &+& 0 \cdot d &=& 36 \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(5) &= …\\ K(0) &= … \\ k_v(4) &= …\\ K'(4) &= …\\ \hline \end{array} \]
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR durch Eingabe des Gleichungssystems als $(4 \times 5)$–Matrix $A$ und Umformung dieser Matrix auf Diagonalgestalt ermitteln. Der zugehörige Tastaturaufruf ist
MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER. MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER.
Aufgabe 7
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
Aufgabe 7
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
Die Lösung des Gleichungssystems ist $ a = 2, \; b = -10, \; c= 20 $ und $ d = 10.$
Die Gesamtkostenfunktion $ K^*$ ist $ K^*(x) = 2 \cdot x^3 - 10 \cdot x^2 + 20 \cdot x + 10 $ in Geldeinheiten $ \text{(GE)}. $

Aufgabe 7.2

$\blacktriangleright$   Schaubilder von $ \boldsymbol{E} $ und $ \boldsymbol{K} $ zeichnen
Wenn du ein Schaubild einer Funktion willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte sie in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebenen Funktion $E$ und $K$ ist eine Darstellung im Bereich $ 0 \leq x \leq 8 $ und deshalb $ 0 \leq y \leq 180 $ sinnvoll, weil das Wesentliche der Schaubilder dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit auf der $x$–Achse entspricht 1 cm und 25 Längeneinheiten auf der $y$–Achse 1 cm.
Aufgabe 7
[Abb. 3]: Schaubilder der Funktionen $E$ und $K$
Aufgabe 7
[Abb. 3]: Schaubilder der Funktionen $E$ und $K$
$\blacktriangleright$   Nutzenschwelle und Nutzengrenze berechnen
Die Nutzenschwelle ist diejenige Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten erstmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$-$'' nach ,,$+$''.
Die Nutzengrenze ist diejenige Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten letztmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$+$'' nach ,,$-$''.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe nach Eingabe der Funktionsterme CALCULATE 5 : intersect auf, um die Schnittstellen der Funktionen $E$ und $K$ zu berechnen. Alternativ kannst du die Gewinnfunktion eingeben und CALCULATE 2 : zero anwenden, um die Nullstellen der Funktion $G$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 5]: Ergebnis für die Nutzengrenze
Aufgabe 7
[Abb. 5]: Ergebnis für die Nutzengrenze
Die Nutzenschwelle ist $ x_{NS} = 3 \; \text{ME} $ und die Nutzengrenze liegt bei etwa $ x_{NG} \approx 6,20 \; \text{ME}. $

Aufgabe 7.3

$\blacktriangleright$   Gewinnmaximale Produktionsmenge und maximalen Gewinn berechnen
Deine Aufgabe ist es, den maximalen Gewinn und diejenige Produktionsmenge zu ermitteln, bei welcher der Gewinn maximal wird. Die Gewinnfunktion ist festgelegt durch die Gleichung
$ \boldsymbol{G(x) = E(x) - K(x)} $ $ \boldsymbol{G(x) = E(x) - K(x)} $
und in dieser Aufgabe eine ganzrationale Funktion dritten Grades, weil $K$ eine Funktion drittes Grades und $E$ eine Funktion ersten Grades ist. Die Differenzfunktion besitzt genau einen Hochpunkt. Bestimme diesen Hochpunkt mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR nach Eingabe der Gewinnfunktion $G$ berechnen, indem du CALCULATE 4 : maximum auf, um die Maximalstelle $ x_{max} $ und das Maximum $ G(x_{max}) $ der Funktion $G$ zu berechnen.
Aufgabe 7
[Abb. 6]: Hochpunkt der Funktion $G$
Aufgabe 7
[Abb. 6]: Hochpunkt der Funktion $G$
Die gewinnmaximale Produktionsmenge ist etwa $ x_{max} \approx 4,84 \; \text{ME} $ und der maximale Gewinn liegt bei etwa $ G(x_{max}) \approx 20,24 \; \text{GE}. $

Aufgabe 7.4

$\blacktriangleright$   Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze berechnen
Der Formelsammlung hilft dir dabei, wie du das Betriebsoptimum berechnen kannst. Dazu gilt es, die Stückkostenfunktion aufzustellen. Sie ist bestimmt durch die Gleichung
$ \boldsymbol{k(x) = \dfrac{K(x)}{x}}. $ $ \boldsymbol{k(x) = \dfrac{K(x)}{x}}. $
Stelle den Funktionsterm auf.
\[ \begin{array}[t]{rcll} k(x) &=& \dfrac{K(x)}{x} & \\[5pt] &=& \dfrac{1,5 \cdot x^3 - 13 \cdot x^2 + 40 \cdot x + 15}{x} \\[5pt] &=& \dfrac{1,5 \cdot x^3}{x} - \dfrac{13 \cdot x^2}{x} + \dfrac{40 \cdot x}{x} + \dfrac{15}{x} \\[5pt] &=& 1,5 \cdot x^2 - 13 \cdot x + 40 + \dfrac{15}{x} \\[5pt] \end{array} \]
\[\begin{array}[t]{rcll}k(x) &=& \dfrac{K(x)}{x} & \\[5pt] \end{array} \]
Das Betriebsoptimum $ x_{opt} $ ist die Minimalstelle der Stückkostenfunktion $k.$ Die langfristige Preisuntergrenze ist als der Funktionswert $ k(x_{opt}) $ festgelegt. Bestimme den Tiefpunkt dieser Funktion mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du nach Eingabe der Funktion in den GTR berechnen, wenn du CALCULATE 3 : minimum auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 7]: Tiefpunkt der Funktion $k$
Aufgabe 7
[Abb. 7]: Tiefpunkt der Funktion $k$
Das Betriebsoptimum ist etwa $ x_{opt} \approx 4,57 \; \text{ME} $ und die langfristige Preisuntergrenze liegt bei etwa $ k(x_{opt}) \approx 15,2 \; \text{GE}. $
$\blacktriangleright$   Gewinn im Betriebsoptimum berechnen
Du sollst den Gewinn im Betriebsoptimum bestimmen. Verwende das vorherige Ergebnis $ x_{opt} $ und berechne $ G(x_{opt}) $ mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Das Ergebnis erhälst du mit dem GTR, wenn du auf die Gewinnfunktion $G$ den Befehl CALCULATE 1: value anwendest. Du gibst den Wert von $ x_{opt} $ ein, um den Gewinn $ G(x_{opt}) $ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 9]: Ergebnis des Gewinnoptimums
Aufgabe 7
[Abb. 9]: Ergebnis des Gewinnoptimums
Der Gewinn im Betriebsoptimum ist etwa $ G(x_{opt}) \approx 19,65 \; \text{GE}. $
$\blacktriangleright$   Ermittlung eines Näherungswertes für das Betriebsoptimum mit Hilfe der Zeichnung erläutern
In der vorherigen Teilaufgabe von 7.4 hast du das Betriebsoptimum rechnerisch ermittelt. Du sollst anhand der Zeichnung in Teilaufgabe 7.2 erläutern, wie du es zeichnerisch bestimmen kannst. Die folgende Zeichung wird zwar nicht von dir verlangt, kann dir aber den Sachverhalt anschaulich darstellen und bei der Erläuterung helfen.
Aufgabe 7
[Abb. 10]: Schaubilder der Funktionen $E$ und $K$ mit Tangente im Betriebsoptimum $x _{opt} $
Aufgabe 7
[Abb. 10]: Schaubilder der Funktionen $E$ und $K$ mit Tangente im Betriebsoptimum $x _{opt} $
Erläuterung: Um einen Näherungswert für das Betriebsoptimum zeichnerisch zu ermitteln, zeichnet man eine Gerade durch den Ursprung des Koordinatensystems (Ursprungsgerade), die das Schaubild von $K$ berührt. Die Berührstelle dieser Ursprungstangente an $K$ führt zum Näherungswert für das Betriebsoptimum.

Aufgabe 7.5

$\blacktriangleright$   Senkung des Betrages der Fixkosten berechnen, wenn der maximale Gewinn um $ \boldsymbol{10 \; \%} $ steigt
Deine Aufgabe ist es, den Betrag in Geldeinheiten zu berechnen, um den die Fixkosten gesenkt werden müssen, wenn der maximale Gewinn um $ 10 \; \% $ steigt.
Berechne zunächst, um wie viel $ \text{GE} $ der maximale Gewinn steigt, den du in Teilaufgabe 7.3 mit $ G(x_{max}) = 20,24 \, \text{GE} $ ermittelt hast.
$ 10 \; \% $ von $ 20,24 \, \text{GE} $ sind $ 0,1 \cdot 20,24 = 2,024 \approx 2,02 \, \text{GE}. $
Der maximale Gewinn steigt um etwa $ 2,02 \, \text{GE}. $
Überlege dir, ob eine Änderung des maximalen Gewinns sich auf die Lage der gewinnmaximalen Produktionsmenge auswirkt und welche Schlussfolgerung sich für die Fixkosten aufstellen lässt.
Die gewinnmaximale Produktionsmenge bleibt unverändert: $ x_{max}^* = x_{max}. $ Dann bleiben auch die Erlöse $ E(x_{max}) $ und die variablen Kosten $ K_v(x_{max}) $ unverändert. Folglich müssen die fixen Kosten um denselben Betrag sinken, um den der Gewinn gestiegen ist.
Die fixen Kosten müssen um $ 2,02 \, \text{GE} $ sinken, wenn der maximale Gewinn sich um $ 10 \; \% $ erhöht.

Aufgabe 7.6

$\blacktriangleright$   Mittlerer Innendurchmesser und Standardabweichung bestimmen
Aus den Daten der gegebenen Häufigkeitsverteilung sollst du den mittleren Innendurchmesser $ \mu $ und die Standardabweichung $ \sigma $ mithilfe deines GTR ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Statistik(STAT)–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs wählst du EDIT und gibst du die Werte der Häufigkeitsverteilung ein:
  1. In Liste 1 werden die gemessenen Durchmesser (Merkmalsausprägungen) eingetragen.
  2. In Liste 2 gehören die Anzahlen, wie oft jeweils der gemessene Durchmesser aufgetreten ist (absolute Häufigkeit).
Beachte, dass dein GTR die richtigen SET–Einstellungen für die Auswertung der Stichprobe besitzt. Die Einstellungen rufst du mit
STAT $\to$ CALC $\to$ 1 : 1–Var Stats $\to$ ENTER STAT $\to$ CALC $\to$ 1 : 1–Var Stats $\to$ ENTER
auf. Der GTR erwartet für die Auswertung, dass die Merkmale in Liste 1 und die Anzahlen in Liste 2 stehen.
Aufgabe 7
[Abb. 12]: SET–Einstellungen
Aufgabe 7
[Abb. 12]: SET–Einstellungen
Die Auswertung steuerst du über die Auswahl von Calculate an und notierst die Ergebnisse.
Aufgabe 7
[Abb. 13]: Ergebnisse für $ \mu $ und $ \sigma $
Aufgabe 7
[Abb. 13]: Ergebnisse für $ \mu $ und $ \sigma $
Ergebnisse der Stichprobe: Der mittlere Innendurchmesser beträgt $ \mu = 3,201 \; \text{mm} $ und die Standardabweichung ist etwa $ \sigma \approx 0,0087749 \; \text{mm}. $

Aufgabe 7.7

$\blacktriangleright$   Ausschussquote in Prozent berechnen
Deine Aufgabe besteht darin, die Ausschussquote zu ermitteln, wenn der Durchmesser einer Unterlegscheibe außerhalb des Bereichs $ 3,19 \leq d \leq 3,21 $ liegt. Der Ausschuss ist hier festgelegt durch eine normalverteilte Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$, die den Durchmesser einer Unterlegscheibe angibt. Dem Aufgabentext kannst du den Mittelwert $ \mu = 3,201 \, \text{mm} $ und die Standardabweichung $ \sigma = 0,007 \, \text{mm} $ der Normalverteilung entnehmen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit (Ausschussquote) $ P( X \notin [3,19; \; 3,21])$ = $1 - P( X \in [3,19; \; 3,21]). $ Aus den Daten für die Normalverteilung kannst du die Wahrscheinlichkeit $ P( X \in [3,19; \; 3,21]) $ mithilfe deines GTR ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR durch Aufruf der Tastaturfolge
DISTR $\to$ 1 : normalcdf( $\to$ ENTER DISTR $\to$ 1 : normalcdf( $\to$ ENTER
berechnen. Du änderst die Untergrenze, die Obergrenze, den Mittelwert und die Standardabweichung und steuerst Paste an.
Aufgabe 7
[Abb. 14]: Eingabe der Werte
Aufgabe 7
[Abb. 14]: Eingabe der Werte
Nach zweimaligen ENTER erhälst du das Ergebnis, mit dem du schließlich die gesuchte Ausschussquote ermittelst.
Aufgabe 7
[Abb. 15]: Ergebnis $ P( X \in [3,19; \; 3,21]) $
Aufgabe 7
[Abb. 15]: Ergebnis $ P( X \in [3,19; \; 3,21]) $
Die Ausschussquote beträgt näherungsweise $ P( X \notin [3,19; \; 3,21])$ = $1 - P( X \in [3,19; \; 3,21]$ = $1 - 0,8426869646 \approx 0,157$ = $15,7 \, \%. $
Es entsteht ein Ausschuss für die Unterlegscheiben von etwa $ 15,7 \, \%. $
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Aufgabe 6 entfällt ab 2018.
Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem GTR von CASIO durchgeführt werden; eine schriftliche Lösung ist überweigend jedoch nicht möglich. Eine Unterscheidung zwischen einer Lösung mit einem GTR und einer schriftlichen Lösung entfällt aus diesem Grund.
Nimm die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Mathematik in der Praxis" zur Hand, um die im Aufgabentext vorkommenden Fachbegriffe der Kostentheorie den mathematischen Fachbegriffen zuordnen zu können.

Aufgabe 7.1

$\blacktriangleright$   Erlösfunktion $ \boldsymbol{E(x)} $ bestimmen
Du sollst die Erlösfunktion bestimmen. Sie ist durch die Formel
$\boldsymbol{E(x) = p \cdot x} $ bei konstantem Stückpreis $ \boldsymbol{p} $ $\boldsymbol{E(x) = p \cdot x} $ bei konstantem Stückpreis $ \boldsymbol{p} $
bzw.
$\boldsymbol{E(x) = p (x) \cdot x} $ bei stückzahlabhängigem Stückpreis $ \boldsymbol{p(x)} $ $\boldsymbol{E(x) = p (x) \cdot x} $ bei stückzahlabhängigem Stückpreis $ \boldsymbol{p(x)} $
gegeben. Untersuche den Text daraufhin, welche Erlösfunktion die richtige ist und gib die Gleichung des Funktionsterms an.
Die Erlösfunktion ist $ E(x) = 22 \cdot x \; \text{GE} $ (Geldeinheiten).
$\blacktriangleright$   Gesamtkostenfunktion $ \boldsymbol{K^*(x)} $ bestimmen
Zusätzlich besteht deine Aufgabe darin, die Gesamtkostenfunktion $ K^* $ anhand der im Aufgabentext gegebenen Bedingungen zu bestimmen. Verwende stets in den Lösungen die vorgegebenen Bezeichnungen – der Stern $^*$ kann zur Vereinfachung weggelassen werden – für
  1. die Produktionsmenge $x$ in Mengeneinheiten $ \text{(ME)} $
  2. die Gesamtkosten $K(x) \, \left( = K^*(x) \right) $ in Geldeinheiten $ \text{(GE)} $
Du kannst dem Text folgende Aussagen entnehmen:
  1. $ K $ ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades.
  2. Die Nutzenschwelle beim Verkaufspreis $ 22 \; \text{GE/ME} $ liegt bei $ 5 \; \text{ME.}$
  3. Der Fixkostenanteil an den Gesamtkosten beträgt $ 10 \; \text{GE.} $
  4. Die variablen Stückkosten bei $ 4 \; \text{ME} $ betragen $ 12 \; \text{GE.} $
  5. Die Grenzkosten bei $ 4 \; \text{ME} $ betragen $ 36 \; \text{GE/ME.} $
Jede dieser Aussagen solltest du mithilfe der Formelsammlung den kostentheoretischen und mathematischen Begriffen zuzuordnen.
Kontrolle der Zuordnungen:
  1. Der Funktionsterm einer ganzrationale Funktion dritten Grades ist z. B. mit unbekannten reellen Parametern $ a, \; b, \; c $ und $d$ als $ K(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d $ darstellbar.
  2. Für die Nutzenschwelle $x_s = 5 $ gilt für die Gewinnfunktion $ G $ die Gleichung $ G(x_s) = E(x_s) - K(x_s) = 0 $ bzw. eingesetzt $ K(5) = E(5) = 22 \cdot 5 = 110 \;\text{GE}.$
  3. Die Gesamtkosten sind $ K(x) = K_v (x) + K_f, $ wobei $ K_v (x) $ die variablen Kosten und $ K_f $ die fixen Kosten bezeichnen. Es gilt $ K_f = K(0) = 10 \; \text{GE}. $
  4. Die variablen Stückkosten sind $ k_v(x) = \frac{K_v (x)}{x} = a \cdot x^2 + b \cdot x + c $ und es gilt $ k_v(4) = 12 \; \text{GE.} $
  5. Die Grenzkosten sind $ K'(x) = 3 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot b \cdot x + c $ und es gilt $ K'(4) = 36 \; \text{GE/ME.} $
Übertrage diese Zuordnungen in ein Gleichungssystem, das aus vier Gleichungen mit vier Unbekannten besteht, und löse es mit deinem GTR.
Gleichungssystem:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(5) &=& 110 & & a \cdot 5^3 &+& b \cdot 5^2 &+& c \cdot 5 &+& d &=& 110 &\ \scriptsize\mid\;\text{Vereinfache} \\ K(0) &=& 10 & & a \cdot 0^3 &+& b \cdot 0^2 &+& c \cdot 0 &+& d &=& 10 &\ \scriptsize\mid\;\text{Vereinfache} \\ k_v(4) &=& 12 & & a \cdot 4^2 &+& b \cdot 4 &+& c & & &=& 12 &\ \scriptsize\mid\;\text{Vereinfache} \\ K'(4) &=& 36 & & 3 \cdot a \cdot 4^2 &+& 2 \cdot b \cdot 4 &+& c & & &=& 36 &\ \scriptsize\mid\;\text{Fasse zusammen} \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(5) &=& 110 & & … \\ K(0) &=& 10 & & …\\ k_v(4) &=& 12 & & … \\ K'(4) &=& 36 & & … \\ \hline \end{array} \]
Die vereinfachte Form des linearen Gleichungssystems lässt sich nun mit dem GTR lösen:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(5) &=& 110 & & 125 \cdot a &+& 25 \cdot b &+& 5 \cdot c &+& 1 \cdot d &=& 110 \\ K(0) &=& 10 & & 0 \cdot a &+& 0 \cdot b &+& 0 \cdot c &+& 1 \cdot d &=& 10 \\ k_v(4) &=& 12 & & 16 \cdot a &+& 4 \cdot b &+& 1 \cdot c &+& 0 \cdot d &=& 12 \\ K'(4) &=& 36 & & 48 \cdot a &+& 8 \cdot b &+& 1 \cdot c &+& 0 \cdot d &=& 36 \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(5) &=& 110 & & … \\ K(0) &=& 10 & & … \\ k_v(4) &=& 12 & & … \\ K'(4) &=& 36 & & … \\ \hline \end{array} \]
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Aufgabe 7
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
Aufgabe 7
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
Die Lösung des Gleichungssystems ist $ a = 2, \; b = -10, \; c= 20 $ und $ d = 10.$
Die Gesamtkostenfunktion $ K^*$ ist $ K^*(x) = 2 \cdot x^3 - 10 \cdot x^2 + 20 \cdot x + 10 $ in Geldeinheiten $ \text{(GE)}. $

Aufgabe 7.2

$\blacktriangleright$   Schaubilder von $ \boldsymbol{E} $ und $ \boldsymbol{K} $ zeichnen
Wenn du ein Schaubild einer Funktion willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte sie in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebenen Funktion $E$ und $K$ ist eine Darstellung im Bereich $ 0 \leq x \leq 10 $ vorgegeben und deshalb $ 0 \leq y \leq 180 $ sinnvoll, weil das Wesentliche der Schaubilder dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit auf der $x$–Achse entspricht 1 cm und 25 Längeneinheiten auf der $y$–Achse 1 cm.
Aufgabe 7
[Abb. 3]: Schaubilder der Funktionen $E$ und $K$
Aufgabe 7
[Abb. 3]: Schaubilder der Funktionen $E$ und $K$
$\blacktriangleright$   Nutzenschwelle und Nutzengrenze berechnen
Die Nutzenschwelle ist diejenige Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten erstmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$-$'' nach ,,$+$''.
Die Nutzengrenze ist diejenige Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten letztmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$+$'' nach ,,$-$''.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü ISCT auf, um die Schnittstellen der Funktionen $E$ und $K$ zu berechnen. Alternativ kannst du das Untermenü ROOT anwenden, um die Nullstellen der Funktion $G$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 5]: Ergebnis für die Nutzengrenze
Aufgabe 7
[Abb. 5]: Ergebnis für die Nutzengrenze
Die Nutzenschwelle ist $ x_{NS} = 3 \; \text{ME} $ und die Nutzengrenze liegt bei etwa $ x_{NG} \approx 6,20 \; \text{ME}. $

Aufgabe 7.3

$\blacktriangleright$   Gewinnmaximale Produktionsmenge und maximalen Gewinn berechnen
Deine Aufgabe ist es, den maximalen Gewinn und diejenige Produktionsmenge zu ermitteln, bei welcher der Gewinn maximal wird. Die Gewinnfunktion ist festgelegt durch die Gleichung
$ \boldsymbol{G(x) = E(x) - K(x)} $ $ \boldsymbol{G(x) = E(x) - K(x)} $
und in dieser Aufgabe eine ganzrationale Funktion dritten Grades, weil $K$ eine Funktion drittes Grades und $E$ eine Funktion ersten Grades ist. Die Differenzfunktion besitzt genau einen Hochpunkt. Bestimme diesen Hochpunkt mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü MAX auf, um die Maximalstelle $ x_{max} $ und das Maximum $ G(x_{max}) $ der Funktion $G$ zu berechnen.
Aufgabe 7
[Abb. 6]: Hochpunkt der Funktion $G$
Aufgabe 7
[Abb. 6]: Hochpunkt der Funktion $G$
Die gewinnmaximale Produktionsmenge ist etwa $ x_{max} \approx 4,84 \; \text{ME} $ und der maximale Gewinn liegt bei etwa $ G(x_{max}) \approx 20,24 \; \text{GE}. $

Aufgabe 7.4

$\blacktriangleright$   Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze berechnen
Der Formelsammlung hilft dir dabei, wie du das Betriebsoptimum berechnen kannst. Dazu gilt es, die Stückkostenfunktion aufzustellen. Sie ist bestimmt durch die Gleichung
$ \boldsymbol{k(x) = \dfrac{K(x)}{x}}. $ $ \boldsymbol{k(x) = \dfrac{K(x)}{x}}. $
Stelle den Funktionsterm auf.
\[ \begin{array}[t]{rcll} k(x) &=& \dfrac{K(x)}{x} & \\[5pt] &=& \dfrac{1,5 \cdot x^3 - 13 \cdot x^2 + 40 \cdot x + 15}{x} \\[5pt] &=& \dfrac{1,5 \cdot x^3}{x} - \dfrac{13 \cdot x^2}{x} + \dfrac{40 \cdot x}{x} + \dfrac{15}{x} \\[5pt] &=& 1,5 \cdot x^2 - 13 \cdot x + 40 + \dfrac{15}{x} \\[5pt] \end{array} \]
\[ \begin{array}[t]{rcll} k(x) &=& \dfrac{K(x)}{x} & \\[5pt] \end{array} \]
Das Betriebsoptimum $ x_{opt} $ ist die Minimalstelle der Stückkostenfunktion $k.$ Die langfristige Preisuntergrenze ist als der Funktionswert $ k(x_{opt}) $ festgelegt. Bestimme den Tiefpunkt dieser Funktion mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü MIN auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 7]: Tiefpunkt der Funktion $k$
Aufgabe 7
[Abb. 7]: Tiefpunkt der Funktion $k$
Das Betriebsoptimum ist etwa $ x_{opt} \approx 4,57 \; \text{ME} $ und die langfristige Preisuntergrenze liegt bei etwa $ k(x_{opt}) \approx 15,2 \; \text{GE}. $
$\blacktriangleright$   Gewinn im Betriebsoptimum berechnen
Du sollst den Gewinn im Betriebsoptimum bestimmen. Verwende das vorherige Ergebnis $ x_{opt} $ und berechne $ G(x_{opt}) $ mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Das Ergebnis erhälst du mit dem GTR im Graph–Menü oder im Table–Menü. Rufe z. B. im Graph–Menü das Untermenü Y–CALC auf, um den Gewinn $ G(x_{opt}) $ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 9]: Ergebnis des Gewinnoptimums
Aufgabe 7
[Abb. 9]: Ergebnis des Gewinnoptimums
Der Gewinn im Betriebsoptimum ist etwa $ G(x_{opt}) \approx 19,65 \; \text{GE}. $
$\blacktriangleright$   Ermittlung eines Näherungswertes für das Betriebsoptimum mit Hilfe der Zeichnung erläutern
In der vorherigen Teilaufgabe von 7.4 hast du das Betriebsoptimum rechnerisch ermittelt. Du sollst anhand der Zeichnung in Teilaufgabe 7.2 erläutern, wie du es zeichnerisch bestimmen kannst. Die folgende Zeichung wird zwar nicht von dir verlangt, kann dir aber den Sachverhalt anschaulich darstellen und bei der Erläuterung helfen.
Aufgabe 7
[Abb. 10]: Schaubilder der Funktionen $E$ und $K$ mit Tangente im Betriebsoptimum $x _{opt} $
Aufgabe 7
[Abb. 10]: Schaubilder der Funktionen $E$ und $K$ mit Tangente im Betriebsoptimum $x _{opt} $
Erläuterung: Um einen Näherungswert für das Betriebsoptimum zeichnerisch zu ermitteln, zeichnet man eine Gerade durch den Ursprung des Koordinatensystems (Ursprungsgerade), die das Schaubild von $K$ berührt. Die Berührstelle dieser Ursprungstangente an $K$ führt zum Näherungswert für das Betriebsoptimum.

Aufgabe 7.5

$\blacktriangleright$   Senkung des Betrages der Fixkosten berechnen, wenn der maximale Gewinn um $ \boldsymbol{10 \; \%} $ steigt
Deine Aufgabe ist es, den Betrag in Geldeinheiten zu berechnen, um den die Fixkosten gesenkt werden müssen, wenn der maximale Gewinn um $ 10 \; \% $ steigt.
Berechne zunächst, um wie viel $ \text{GE} $ der maximale Gewinn steigt, den du in Teilaufgabe 7.3 mit $ G(x_{max}) = 20,24 \, \text{GE} $ ermittelt hast.
$ 10 \; \% $ von $ 20,24 \, \text{GE} $ sind $ 0,1 \cdot 20,24 = 2,024 \approx 2,02 \, \text{GE}. $
Der maximale Gewinn steigt um etwa $ 2,02 \, \text{GE}. $
Überlege dir, ob eine Änderung des maximalen Gewinns sich auf die Lage der gewinnmaximalen Produktionsmenge auswirkt und welche Schlussfolgerung sich für die Fixkosten aufstellen lässt.
Die gewinnmaximale Produktionsmenge bleibt unverändert: $ x_{max}^* = x_{max}. $ Dann bleiben auch die Erlöse $ E(x_{max}) $ und die variablen Kosten $ K_v(x_{max}) $ unverändert. Folglich müssen die fixen Kosten um denselben Betrag sinken, um den der Gewinn gestiegen ist.
Die fixen Kosten müssen um $ 2,02 \, \text{GE} $ sinken, wenn der maximale Gewinn sich um $ 10 \; \% $ erhöht.

Aufgabe 7.6

$\blacktriangleright$   Mittlerer Innendurchmesser und Standardabweichung bestimmen
Aus den Daten der gegebenen Häufigkeitsverteilung sollst du den mittleren Innendurchmesser $ \mu $ und die Standardabweichung $ \sigma $ mithilfe deines GTR ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR von CASIO im Statistik(STAT)–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs gibst du die Werte der Häufigkeitsverteilung ein:
  1. In Liste 1 werden die gemessenen Durchmesser (Merkmalsausprägungen) eingetragen.
  2. In Liste 2 gehören die Anzahlen, wie oft jeweils der gemessene Durchmesser aufgetreten ist (absolute Häufigkeit).
Beachte, dass dein GTR die richtigen Einstellungen für die Auswertung der Stichprobe besitzt. Rufe das Untermenü SET auf, um die Einstellungen zu überprüfen bzw. gegebenenfalls zu ändern. Der GTR erwartet für die Auswertung, dass die Merkmale in Liste 1 und die Anzahlen in Liste 2 stehen:
Aufgabe 7
[Abb. 12]: SET–Einstellungen
Aufgabe 7
[Abb. 12]: SET–Einstellungen
Schließlich rufst du die Auswertung mit der Tastaturfolge
CALC $\to$ 1–VAR $\to$ EXE CALC $\to$ 1–VAR $\to$ EXE
auf und notierst die Ergebnisse.
Aufgabe 7
[Abb. 13]: Ergebnisse für $ \mu $ und $ \sigma $
Aufgabe 7
[Abb. 13]: Ergebnisse für $ \mu $ und $ \sigma $
Ergebnisse der Stichprobe: Der mittlere Innendurchmesser beträgt $ \mu = 3,201 \; \text{mm} $ und die Standardabweichung ist etwa $ \sigma \approx 0,0087749 \; \text{mm}. $

Aufgabe 7.7

$\blacktriangleright$   Ausschussquote in Prozent berechnen
Deine Aufgabe besteht darin, die Ausschussquote zu ermitteln, wenn der Durchmesser einer Unterlegscheibe außerhalb des Bereichs $ 3,19 \leq d \leq 3,21 $ liegt. Der Ausschuss ist hier festgelegt durch eine normalverteilte Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$, die den Durchmesser einer Unterlegscheibe angibt. Dem Aufgabentext kannst du den Mittelwert $ \mu = 3,201 \, \text{mm} $ und die Standardabweichung $ \sigma = 0,007 \, \text{mm} $ der Normalverteilung entnehmen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit (Ausschussquote) $ P( X \notin [3,19; \; 3,21])$ = $1 - P( X \in [3,19; \; 3,21]). $ Aus den Daten für die Normalverteilung kannst du die Wahrscheinlichkeit $ P( X \in [3,19; \; 3,21]) $ mithilfe deines GTR ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Run–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs gibst du die Tastaturfolge
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ NORM $\to$ Ncd (Untergrenze,Obergenze,$ \boldsymbol{\sigma, \mu} $) $\to$ EXE OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ NORM $\to$ Ncd (Untergrenze,Obergenze,$ \boldsymbol{\sigma, \mu} $) $\to$ EXE
ein. Mit dem Ergebnis berechnest du schließlich die gesuchte Ausschussquote.
Aufgabe 7
[Abb. 14]: Ergebnis $ P( X \in [3,19; \; 3,21]) $
Aufgabe 7
[Abb. 14]: Ergebnis $ P( X \in [3,19; \; 3,21]) $
Die Ausschussquote beträgt näherungsweise $ P( X \notin [3,19; \; 3,21])$ = $1 - P( X \in [3,19; \; 3,21]$ = $1 - 0,8426870363 \approx 0,157$ = $15,7 \, \%. $
Es entsteht ein Ausschuss für die Unterlegscheiben von etwa $ 15,7 \, \%. $
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