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Aufgabe 7

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Aufgabe 7

Die Metall $\&$ Mehr KG hat sich auf die Herstellung von Unterlegscheiben für Schraubensysteme spezialisiert. Die Gesamtkosten $K$ der Produktion lassen sich durch eine ganzrationale Funktion $3$. Grades darstellen. Dabei entspricht $x$ der Produktionsmenge in Mengeneinheiten ($\text{ME}$) und $K(x)$ den Gesamtkosten in Geldeinheiten
($\text{GE}$).
7.1
Im Jahr 2014 betrug der konstante Verkaufspreis je $\text{ME}$ $22\,\text{GE}$. Bei diesem Verkaufspreis lag die
Nutzenschwelle bei $5\,\text{ME}$. Der Fixkostenanteil an den Gesamtkosten betrug $10\,\text{GE}$. Die variablen Stückkosten bei $4\,\text{ME}$ betrugen $12\,\text{GE}$. Die Grenzkosten bei $4\,\text{ME}$ betrugen $36\,\text{GE}$ pro $\text{ME}$.
Bestimme die Erlösfunktion $E$ sowie die Gesamtkostenfunktion $K^*$ für das Jahr 2014.
(7P)
Für das Jahr 2015 erwartet der Betrieb nun die Gesamtkostenfunktion $K$ mit
$K(x)=1,5x^3-13x^2+40x+15$ und die Erlösfunktion $E$ mit $E(x)=19,5x$.
Es gilt $0\leq x\leq 8$.
7.2
Zeichne die Schaubilder von $E$ und $K$.
Berechne die Nutzenschwelle und die Nutzengrenze.
(6P)
7.3
Berechne die gewinnmaximale Produktionsmenge und den maximalen Gewinn.
(3P)
7.4
Berechne das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze.
Wie groß ist der Gewinn im Betriebsoptimum?
Erläutere, wie man mit Hilfe der Zeichnung aus 7.2 einen Näherungswert für das Betriebsoptimum ermitteln kann.
(5P)
7.5
Um welchen Betrag müssten die Fixkosten sinken, damit der maximale Gewinn um $10\,\%$ steigt?
(3P)
Bei zwei Qualitätskontrollen im Januar 2015 und Februar 2015 wird der Innendurchmesser der
Unterlegscheiben gemessen.
7.6
Bestimme den mittleren Innendurchmesser und die Standardabweichung für die Messung im Januar, wenn sich folgende Häufigkeitsverteilung ergibt.
Durchmesser $d$ in $\text{mm}$
$3,18$ $3,19$ $3,20$ $3,21$ $3,22$
Anzahl
$30$ $210$ $430$ $290$ $40$
Durchmesser $d$ in $\text{mm}$
$3,18$ $3,19$
Anzahl
$30$ $210$
(2P)
7.7
Die Messung im Februar ergibt für die Unterlegscheiben einen durchschnittlichen Innendurchmesser von $\mu=3,201\,\text{mm}$ und eine Standardabweichung von $\sigma=0,007\,\text{mm}$. Liegt der Innendurchmesser außerhalb des Bereichs $3,19\leq d\leq3,21$, eignet sich eine Unterlegscheibe nicht mehr zum Verkauf.
Wieviel Prozent Ausschuss entsteht, wenn der Innendurchmesser normalverteilt ist?
(4P)

(30P)
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