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Aufgabe 2

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Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=e^{0,5x}-2x-1, x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_f$.
2.1
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von $K_f$ mit der $x$-Achse.
Gib die Gleichung der Asymptote von $K_f$ an.
(3P)
2.2
Berechne die exakten Koordinaten des Extrempunktes von $K_f$.
Zeichne $K_f$.
(7P)
2.3
$K_f$, die $x$-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=2$ schließen eine Fläche ein, die den Punkt $(1 \mid -1)$ enthält.
Berechne den exakten Inhalt dieser Fläche.
(4P)
2.4
Die Gerade mit der Gleichung $x=u$ mit $1\leq u \leq 4,5$ schneidet $K_f$ im Punkt $P$ und die $x$-Achse im Punkt $Q$.
Die Punkte $P$, $Q$ und $R(1 \mid 0)$ sind die Eckpunkte eines Dreiecks.
Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von $u$.
Berechne, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt maximal wird.
Gebe den maximalen Flächeninhalt an.
(5P)
Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x)=\frac{1}{2}sin(2x)-\frac{1}{3}x, x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_g$.
2.5
Gib die Koordinaten der Schnittpunkte von $K_f$ und $K_g$ an.
Zeige, dass sich $K_f$ und $K_g$ in einem ihrer Schnittpunkte senkrecht schneiden.
(5P)
2.6
Das Schaubild einer trigonometrischen Funktion $h$ hat einen Hochpunkt in $H(0 \mid \frac{2}{3})$. Der benachbarte Tiefpunkt hat die Koordinaten $T(\frac{\pi}{2} \mid -\frac{4}{3})$.
Ermittle einen möglichen Funktionsterm $h$.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Funktionen $g$ und $h$?
Begründe mit Hilfe dieses Zusammenhangs, dass $g$ an der Stelle $x=\frac{\pi}{2}$ eine Wendestelle hat.
(6P)
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