Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Berufskolleg - FH
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Oberstufe
Oberstufe
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (GTR)
Abitur (GTR)
Abitur (GTR)
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Aufgabe 2

Aufgaben
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=e^{0,5x}-2x-1, x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_f$.
2.1
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von $K_f$ mit der $x$-Achse.
Gib die Gleichung der Asymptote von $K_f$ an.
(3P)
2.2
Berechne die exakten Koordinaten des Extrempunktes von $K_f$.
Zeichne $K_f$.
(7P)
2.3
$K_f$, die $x$-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=2$ schließen eine Fläche ein, die den Punkt $(1 \mid -1)$ enthält.
Berechne den exakten Inhalt dieser Fläche.
(4P)
2.4
Die Gerade mit der Gleichung $x=u$ mit $1\leq u \leq 4,5$ schneidet $K_f$ im Punkt $P$ und die $x$-Achse im Punkt $Q$.
Die Punkte $P$, $Q$ und $R(1 \mid 0)$ sind die Eckpunkte eines Dreiecks.
Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von $u$.
Berechne, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt maximal wird.
Gebe den maximalen Flächeninhalt an.
(5P)
Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x)=\frac{1}{2}sin(2x)-\frac{1}{3}x, x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_g$.
2.5
Gib die Koordinaten der Schnittpunkte von $K_f$ und $K_g$ an.
Zeige, dass sich $K_f$ und $K_g$ in einem ihrer Schnittpunkte senkrecht schneiden.
(5P)
2.6
Das Schaubild einer trigonometrischen Funktion $h$ hat einen Hochpunkt in $H(0 \mid \frac{2}{3})$. Der benachbarte Tiefpunkt hat die Koordinaten $T(\frac{\pi}{2} \mid -\frac{4}{3})$.
Ermittle einen möglichen Funktionsterm $h$.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Funktionen $g$ und $h$?
Begründe mit Hilfe dieses Zusammenhangs, dass $g$ an der Stelle $x=\frac{\pi}{2}$ eine Wendestelle hat.
(6P)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$   Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit der $\boldsymbol{x}$–Achse berechnen
Diese Teilaufgabe verlangt von dir, die Schnittpunkte mit der $x$–Achse berechnen. In diesem Fall ist die Verwendung des GTR notwendig, weil du die Methoden für eine schriftliche Berechnung im Unterricht nicht kennengelernt hast.
Weil der erste Schnittpunkt von $K_f$ mit $x$–Achse identisch ist mit dem Schnittpunkt mit der $y$–Achse, kannst du ihn in diesem Fall aber auch schriftlich berechnen. \[ f(0) = e^{0,5 \cdot 0} - 2 \cdot 0 - 1 = e^{0} - 0 - 1 = 1 - 1 = 0. \]
Gib im GRAPH–Menü deines GTR von CASIO den Funktionsterm ein: Y1: $ e^{0,5x} - 2x - 1 $ und rufst das Untermenü mit
G–SOLV–ROOT G–SOLV–ROOT
auf.
Im GTR von TI rufst du nach Eingabe des Funktionsterms das Untermenü mit
CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER
auf. Du wirst aufgefordert, z. B. die rechte Nullstelle einzugrenzen. Weil sie zwischen $4$ und $5$ liegt, kannst du diese Werte für die Begrenzung eingeben.
$\blacktriangleright$   Gleichung der Asymptote angeben
Von dir wird nur die Angabe der Gleichung der Asymptote verlangt, also ohne Begründung.
Beachte, dass $ e^{0,5 \cdot x} \rightarrow 0 $ für $ x \rightarrow - \infty, $ d. h. für negative $x$–Werte weit von der Null entfernt ist $ f(x) \approx -2x - 1. $ Die Gleichung erkennst du auch sofort, wenn du den Exponentialterm im Funktionsterm $ f(x) $ weglässt.

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Extrempunktes von $\boldsymbol{K_f}$ exakt berechnen
Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass es nur einen Extrempunkt gibt und du ihn schriftlich bestimmen sollst. Eine Lösung mit dem GTR ist also nicht zulässig.
An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Hochstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) < 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{array}{rcl} f(x) &=& \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 \cdot x - 1 \\[5pt] f'(x) &=& \\[5pt] f''(x) &=& \end{array}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Hochstelle (Extremstelle) muss die erste Bedingung $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$ erfüllt sein. \begin{array}{rclcl} f'(x) &=& 0 \\[5pt] x &=& \end{array}
Die Stelle $\boldsymbol{x_1 = 2 \cdot \ln(4)}$ ist eine mögliche Extremstelle. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich eine Extremstelle ist, kannst du die zweite Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Hochstelle tatsächlich Hochstelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f''(x_0) < 0}$ prüfen. Du setzt also die ermittelte Stellen $x_1=2 \cdot \ln(4)$ in den Term der zweiten Ableitung ein, berechnest den Funktionswert und wertest das Vorzeichen aus.
Das Einsetzen in den Funktionsterm von $f$ liefert die vollständigen Koordinaten des Extrempunktes.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -3 \leq x \leq 6 $ und $ -3 \leq y \leq 5 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.

Aufgabe 2.3

$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche exakt berechnen, die von $\boldsymbol{K_f},$ der $\boldsymbol{x}$–Achse und der Geraden $\boldsymbol{x = 2}$ eingeschlossen wird und den Punkt $\boldsymbol{(1 \mid -1)}$ enthält
Wenn du ein Schaubild zeichnest, berücksichtige dabei, dass die Gerade $ x = 2 $ parallel zur $y$–Achse verläuft und das Flächenstück unterhalb der $x$–Achse liegt.
Aufgabe 2
[Abb. 4]: Schaubild der Funktion $f$ mit Fläche
Aufgabe 2
[Abb. 4]: Schaubild der Funktion $f$ mit Fläche
Deine Aufgabe ist es, exakt und somit mithilfe einer Stammfunktion den Flächeninhalt der Fläche zu berechnen, die von $K_f$ und der $x$–Achse und der Geraden $ x = 2 $ eingeschlossen wird. Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte
$ A = -\displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \left| \, \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \, \right| $ $ A = -\displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \left| \, \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \, \right| $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind. Beachte das Minuszeichen vor dem Integral, denn die Fläche liegt unterhalb der $x$–Achse, so dass das Integral einen negativen Wert ergeben wird. Alternativ kannst du den Betrag des Integralwertes berechnen.
Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass $ a = 0 $ ist und $ b = 2 $ die Grenzen sind. Der Flächeninhalt lässt sich zur Kontrolle mit dem GTR und, wie gefordert, schriftlich exakt berechnen.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Um den Flächeninhalt zu berechnen, gib die Tastenfolge
G–SOLV $\to$ F6 $\to \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe 0 $\to$ Eingabe 2 $\to$ EXE G–SOLV $\to$ F6 $\to \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe 0 $\to$ Eingabe 2 $\to$ EXE
ein.
Gib beim GTR von TI die Tastenfolge
CALC $\to 7: \displaystyle \int $ f(x) dx $\to$ ENTER $\to$ Eingabe 0 $\to$ ENTER $\to$ Eingabe 2 $\to$ ENTER CALC $\to 7: \displaystyle \int $ f(x) dx $\to$ ENTER $\to$ Eingabe 0 $\to$ ENTER $\to$ Eingabe 2 $\to$ ENTER
ein.
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Du sollst den Flächeninhalts $A = -\mathop {\int}\limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, \mathrm{d}x$ mithilfe einer Stammfunktion berechnen. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $ $ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $
und diejenige Formel für die Stammfunktion $H$ einer Funktion $h$ mit $h(x) = \mathrm{e}^{a \cdot x} \, (a \neq0) $
$ H(x) = \dfrac{1}{a} \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}. $ $ H(x) = \dfrac{1}{a} \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}. $
Stelle nun den Term der Stammfunktion $F$ von $f$ auf und setze $2$ und $0$ in $F(x)$ ein. Verwende dazu nicht den GTR, weil ein exaktes Ergebnis von dir erwartet wird.

Aufgabe 2.4

$\blacktriangleright$   Flächeninhalt eines Dreiecks in Abhängigkeit von $\boldsymbol{u}$ bestimmen
Deine Aufgabe ist es, den Flächeninhalt eines Dreiecks in Abhängigkeit von $ u \in \mathbb{R} $ mit $ 1 \leq u \leq 4,5 $ zu bestimmen. Der Eckpunkt $ R(1 \mid 0) $ ist fest, die weiteren Eckpunkte $ P $ und $ Q $ sind die Schnittpunkte der Geraden $ x = u $ mit $ K_f $ und der $x$–Achse.
1. Schritt:
Um eine Vorstellung von solch einem Dreieck zu erhalten, fertige dir zunächst eine Skizze des Schaubildes $K_f$ an und wähle als festen Wert für $u$ z. B. $u=3,5.$ Zeichne die Punkte $R, \, P(3,5 \mid f(3,5))$ und $Q(3,5 \mid 0)$ ein und vervollständige das Dreieck. Schreibe dir die Koordinaten der Eckpunkte auf.
Aufgabe 2
[Abb. 6]: Skizze mit Dreiecksfläche
Aufgabe 2
[Abb. 6]: Skizze mit Dreiecksfläche
Um den Flächeninhalt des speziellen Dreiecks zu berechnen, benötigst du eine Formel aus der Merkhilfe. Weil es rechtwinklig ist, kannst du die Formel
$ A = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{RQ} \cdot \overline{PQ} $ $ A = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{RQ} \cdot \overline{PQ} $
verwenden. Wegen $ f(3,5) \approx -2,25 $ sind die Koordinaten der Eckpunkte $P \left( 3,5 \mid -2,25 \right)$ und $Q(3,5 \mid 0)$ und sein Flächeninhalt ist \begin{align*} A &= \dfrac{1}{2} \cdot \overline{RQ} \cdot \overline{QP} \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot (x_Q - x_R) \cdot (y_Q - y_R) \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot (3,5 - 1) \cdot (0 - (-2,25)) \\[5pt] &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 2,5 \cdot 2,25 \\[5pt] &= 2,8125 \end{align*}
2. Schritt:
Bestimme die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ in Abhängigkeit von $u$ und bestimme anschließend den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $u.$ Verwende dabei die folgenden Formeln:
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $x$–Achse verläuft mit $x_G < x_H$ ($G$ liegt links von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $ Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $y$–Achse verläuft mit $y_G < y_H$ ($G$ liegt unterhalb von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $ Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $
Die Koordinaten der Punkte des Dreiecks $PQR$ sind $ P(u \mid f(u)), \, Q(u \mid 0) $ und $ R(1 \mid 0). $ Für die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ gilt:
$ \overline{RQ(u)} = x_Q - x_R = $
$ \overline{PQ(u)} = y_Q - y_P = $
Der Flächeninhalt $ A(u) $ in Abhängigkeit von $u$ ist folglich
\begin{align*} A(u) &= \end{align*}
$\blacktriangleright$   Flächeninhalt des Dreiecks maximieren
Um das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt zu bestimmen, gibt es nur die Möglichkeit des GTR:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Verwende beim GTR von CASIO die Maximierungs–Funktion: Sie wird durch die Tastenfolge
OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax(Funktionsterm,Untergrenze, Obergrenze) OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax(Funktionsterm,Untergrenze, Obergrenze)
aufrufen kannst. Sie verlangt die Eingabe des zu maxmierenden Funktionsterms $A(x)$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze $1$ sowie die obere Grenze $4,5$. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern für $u=1$ und $u=4,5$.
Verwende beim GTR von TI die entsprechende Maximierungs–Funktion:
MATH 7: fmax(Funktionsterm,Variable,Untergrenze, Obergrenze) MATH 7: fmax(Funktionsterm,Variable,Untergrenze, Obergrenze)
$\blacktriangleright$   Maximalen Flächeninhalt angeben
Du hast den maximalen Flächeninhalt schon in der letzten Teilaufgabe bestimmt. Gib ihn an.

Aufgabe 2.5

$\blacktriangleright$   Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit $\boldsymbol{K_g}$ angeben
Wenn du den Koordinaten der Schnittpunkte von $K_f$ mit $K_g$ angeben sollst, so ist ihre Bestimmung nur mit dem GTR möglich. Ein Gleichsetzen der beiden Funktionsterme $ f(x) = g(x) $ fürht zu einer Gleichung, die du mit den gelernten Methoden nicht lösen kannst.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Im Graph-Menü lässt sich die Schaubilder beider Funktionen. Du findest eine Lösung, wenn die beiden Graphen sich schneiden. Achte darauf, das Berachtungsfenster geeignet einzustellen.
Einen Schnittpunkt findest du im Graph-Menü des GTR von CASIO durch den Befehl
G–SOLV $\to$ ISCT G–SOLV $\to$ ISCT
Einen Schnittpunkt findest du im CALC-Menü des GTR von TI durch den Befehl
CALC $\to$ 5: intersect CALC $\to$ 5: intersect
$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass sich $\boldsymbol{K_f}$ mit $\boldsymbol{K_g}$ in einem Schnittpunkt senkrecht schneiden
Du hast schon die beiden Schnittpunkte von $K_f$ und $K_g$ bestimmt. Du sollst du zeigen, dass sie sich in einem Schnittpunkt senkrecht schneiden, im anderen Schnittpunkt jedoch nicht.
Die Bedingung für senkrechtes schneiden zweier Schaubilder an der Stelle $ x_0 $ ist
$ f'(x_0) \cdot g'(x_0) = -1 $ $ f'(x_0) \cdot g'(x_0) = -1 $
Zeichnerisch sieht das senkrechte Schneiden der beiden Schaubilder an der Stelle Null so aus:
Aufgabe 2
[Abb. 12]: Senkrechtes Schneiden zwei Schaubilder
Aufgabe 2
[Abb. 12]: Senkrechtes Schneiden zwei Schaubilder
Berechne also die Ableitungen von $f$ und $g,$ setze die Stellen $ x_0 = 0 $ bzw. $ x_1 = 4,28 $ in $f'$ und $g'$ ein und prüfe diese Bedingung. Das Ergebnis der Ableitung von $f$ ist in der Lösung von Teilaufgabe 2.2 enthalten.
Kontrollergebnis: \begin{array}{rcl} f'(x) &=& 0,5 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 & \\[5pt] g'(x) &=& \cos(2 \cdot x) - \dfrac{1}{3} \end{array} Prüfen der Bedingung: \begin{array}{rcl} f'(0) \cdot g'(0) &=& \\[5pt] f'(4,28) \cdot g'(4,28) &\approx& \end{array}

Aufgabe 2.6

$\blacktriangleright$   Funktionsterm einer trigonometrischen Funktion $\boldsymbol{h}$ bestimmen
Du kennst die Koordinaten des Hochpunktes $ H \left( 0 \mid \dfrac{2}{3} \right) $ und des rechts davon liegenden benachbarten $ T \left( \dfrac{\pi}{2} \mid -\dfrac{4}{3} \right) $ und sollst den Funktionsterm einer trigonometrischen Funktion $h$ bestimmen. Der Hochpunkt liegt auf der $y$–Achse. Überlge dir, welche trigonometrische Funktion dazu passen würde.
Kontrollergebnis: $ h(x) = a \cdot \cos(b \cdot x) + c $ mit reellen Zahlen $ a, \, b, \, c \in \mathbb{R} . $
Überlege dir anhand der beiden Extrempunkte Funktionsterms von $f,$ welche Koordinaten der Hochpunkt rechts vom Tiefpunkt haben muss und welche Periodenlänge $P$ das Schaubild folglich hat. Wende die Formel für den Zusammenhang zwischen Periodenlänge und Vorzahl $b$ vor dem $x$ an und berechne $b:$
$ b \cdot P = 2 \cdot \pi. $ $ b \cdot P = 2 \cdot \pi. $
Die Gleichung der Mittellinie $ y = d, $ um die sich das Schaubild wellenartig bewegt, ist durch den Mittelwert von Hoch&ndash und Tiefwert berechenbar.
$ d = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H + y_T). $ $ d = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H + y_T). $
Die Amplitude $a$ der halbe Abstand zwischen Hochwert und Tiefwert:
$ a = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H - y_T). $ $ a = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H - y_T). $
Gib nun die Gleichung des Funktionsterms an.
$\blacktriangleright$   Zusammenhang zwischen den Funktionen $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ angeben
In Teilaufgabe 2.5 hast du die Ableitungsfunktion $ g'(x) $ gebildet. Formuliere nun durch Vergleich den Zusammenhang zwischen den Funktionen $g$ und $h.$
$\blacktriangleright$   Mit Hilfe des Zusammenhangs begründen, dass $\boldsymbol{g}$ in $\boldsymbol{x = \frac{\pi}{2}}$ eine Wendestelle besitzt
Es ist deine Aufgabe, mithilfe von $ h = g' $ zu begründen, warum $x = \dfrac{\pi}{2}$ eine Wendestelle von $g$ ist.
Jede Wendestelle einer Funktion ist eine Extremstelle der Ableitungsfunktion und umgekehrt. Formuliere jetzt die Begründung.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$   Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit der $\boldsymbol{x}$–Achse berechnen
Diese Teilaufgabe verlangt von dir, die Schnittpunkte mit der $x$–Achse berechnen. In diesem Fall ist die Verwendung des GTR notwendig, weil du die Methoden für eine schriftliche Berechnung im Unterricht nicht kennengelernt hast.
Weil der erste Schnittpunkt von $K_f$ mit $x$–Achse identisch ist mit dem Schnittpunkt mit der $y$–Achse, kannst du ihn in diesem Fall aber auch schriftlich berechnen. \[ f(0) = e^{0,5 \cdot 0} - 2 \cdot 0 - 1 = e^{0} - 0 - 1 = 1 - 1 = 0. \]
Im GTR rufst du nach Eingabe des Funktionsterms das Untermenü mit
CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER
auf. Du wirst aufgefordert, z. B. die rechte Nullstelle einzugrenzen. Weil sie zwischen $4$ und $5$ liegt, kannst du diese Werte für die Begrenzung eingeben.
Aufgabe 2
[Abb. 1]: 1. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 1]: 1. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 2]: 2. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 2]: 2. Nullstelle der Funktion
$ x_1 = 0 $ und $ x_2 \approx 4,67 $ sind die Nullstellen.
Die Koordinaten der Schnittpunkte $K_f$ mit der $x$–Achse sind $ S_1(0 \mid 0) $ und $ S_2(4,67 \mid 0).$
$\blacktriangleright$   Gleichung der Asymptote angeben
Von dir wird nur die Angabe der Gleichung der Asymptote verlangt, also ohne Begründung.
Beachte, dass $ e^{0,5 \cdot x} \rightarrow 0 $ für $ x \rightarrow - \infty, $ d. h. für negative $x$–Werte weit von der Null entfernt ist $ f(x) \approx -2x - 1. $ Die Gleichung erkennst du auch sofort, wenn du den Exponentialterm im Funktionsterm $ f(x) $ weglässt.
Die Gleichung der Asymptote ist $ y = -2x - 1 $ für $ x \rightarrow - \infty. $

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Extrempunktes von $\boldsymbol{K_f}$ exakt berechnen
Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass es nur einen Extrempunkt gibt und du ihn schriftlich bestimmen sollst. Eine Lösung mit dem GTR ist also nicht zulässig.
An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Hochstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) < 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{array}{rcl} f(x) &=& \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 \cdot x - 1 \\[5pt] f'(x) &=& 0,5 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 \cdot 1 - 0 \\[5pt] &=& 0,5 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 \\[5pt] f''(x) &=& 0,5 \cdot 0,5 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 0 \\[5pt] &=& 0,25 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} \end{array}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Hochstelle (Extremstelle) muss die erste Bedingung $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$ erfüllt sein. \begin{array}{rclcl} f'(x) &=& 0 \\ 0,5 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 &=& 0 & & \scriptsize \mid \; +2\\[5pt] 0,5 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} &=& 2 & & \scriptsize \mid \; : 0,5\\[5pt] e^{0,5 \cdot x} &=& 4 & & \scriptsize \mid \; \ln( ) \\[5pt] 0,5 \cdot x &=& \ln(4) & & \scriptsize \mid \; : 0,5 \\[5pt] x &=& 2 \cdot \ln(4) \end{array}
Die Stelle $\boldsymbol{x_1 = 2 \cdot \ln(4)}$ ist eine mögliche Extremstelle. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich eine Extremstelle ist, kannst du die zweite Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Hochstelle tatsächlich Hochstelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f''(x_0) < 0}$ prüfen. Du setzt also die ermittelte Stellen $x_1=2 \cdot \ln(4)$ in den Term der zweiten Ableitung ein, berechnest den Funktionswert und wertest das Vorzeichen aus.
Wenn ein Hochpunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
Wegen \[ f''(0) = 0,25 \cdot e^{0,5 \cdot 2 \cdot \ln(4)} = 0,25 \cdot e^{\ln(4)} = 0,25 \cdot 4 = 1 > 0 \] liegt in $x_1=2 \cdot \ln(4)$ eine Tiefstelle vor. Das Einsetzen in den Funktionsterm von $f$ liefert die vollständigen Koordinaten des Hochpunktes: \begin{array}{rcl} f(2 \cdot \ln(4)) &=& \mathrm{e}^{0,5 \cdot 2 \cdot \ln(4) )} - 2 \cdot \ln(4) - 1 \\[5pt] &=& \mathrm{e}^{\ln(4)} - 2 \cdot \ln(4) - 1 \\[5pt] &=& 4 - 2 \cdot \ln(4) - 1 \\ &=& 3 - 2 \cdot \ln(2) \end{array} Die Koordinaten des Tiefpunktes sind $ TP(2 \cdot \ln(4) \mid 3 - 2 \cdot \ln(4)). $
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -3 \leq x \leq 6 $ und $ -3 \leq y \leq 5 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
Aufgabe 2
[Abb. 3]: Schaubild der Funktion $f$
Aufgabe 2
[Abb. 3]: Schaubild der Funktion $f$

Aufgabe 2.3

$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche exakt berechnen, die von $\boldsymbol{K_f},$ der $\boldsymbol{x}$–Achse und der Geraden $\boldsymbol{x = 2}$ eingeschlossen wird und den Punkt $\boldsymbol{(1 \mid -1)}$ enthält
Wenn du ein Schaubild zeichnest, berücksichtige dabei, dass die Gerade $ x = 2 $ parallel zur $y$–Achse verläuft und das Flächenstück unterhalb der $x$–Achse liegt.
Aufgabe 2
[Abb. 4]: Schaubild der Funktion $f$ mit Fläche
Aufgabe 2
[Abb. 4]: Schaubild der Funktion $f$ mit Fläche
Deine Aufgabe ist es, exakt und somit mithilfe einer Stammfunktion den Flächeninhalt der Fläche zu berechnen, die von $K_f$ und der $x$–Achse und der Geraden $ x = 2 $ eingeschlossen wird. Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte
$ A = -\displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \left| \, \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \, \right| $ $ A = -\displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \left| \, \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \, \right| $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind. Beachte das Minuszeichen vor dem Integral, denn die Fläche liegt unterhalb der $x$–Achse, so dass das Integral einen negativen Wert ergeben wird. Alternativ kannst du den Betrag des Integralwertes berechnen.
Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass $ a = 0 $ ist und $ b = 2 $ die Grenzen sind. Der Flächeninhalt lässt sich zur Kontrolle mit dem GTR und, wie gefordert, schriftlich exakt berechnen.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Um den Flächeninhalt zu berechnen, gib die Tastenfolge
CALC $\to 7: \displaystyle \int $ f(x) dx $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $0$ $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $2$ $\to$ ENTER CALC $\to 7: \displaystyle \int $ f(x) dx $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $0$ $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $2$ $\to$ ENTER
ein.
Aufgabe 2
[Abb. 5]: Berechnung des Flächeninhalts
Aufgabe 2
[Abb. 5]: Berechnung des Flächeninhalts
Ergebnis: $ A = -\mathop {\int}\limits_{0}^{2} f(x) \, \mathrm{d}x \approx -(-2,563436) = 2,563436. $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Du sollst den Flächeninhalts $A = -\mathop {\int}\limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, \mathrm{d}x$ mithilfe einer Stammfunktion berechnen. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $ $ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $
und diejenige Formel für die Stammfunktion $H$ einer Funktion $h$ mit $h(x) = \mathrm{e}^{a \cdot x} \, (a \neq0) $
$ H(x) = \dfrac{1}{a} \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}. $ $ H(x) = \dfrac{1}{a} \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}. $
und diejenige For Stelle nun den Term der Stammfunktion $F$ von $f$ auf und setze $2$ und $0$ in $F(x)$ ein. Verwende dazu nicht den GTR, weil ein exaktes Ergebnis von dir erwartet wird. \begin{align*} f(x) & = \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 \cdot x - 1 \\[5pt] &= \dfrac{1}{0,5} \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^2 - 1 \cdot x \\[5pt] &= 2 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - x^2 - x \\[5pt] F(2) &= 2 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot 2} - 2^2 - 2 \\[5pt] &= 2 \cdot \mathrm{e}^{1} - 4 - 2 \\[5pt] &= 2\mathrm{e} - 6 \\[5pt] F(0) &= 2 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot 0} - 0^2 - 0 \\[5pt] &= 2 \cdot \mathrm{e}^{0} - 0 - 0 \\[5pt] &= 2 \cdot 1 - 0 - 0 \\[5pt] &= 2 \\[5pt] F(2) - F(0) &= 2\mathrm{e} - 6 - 2 \\[5pt] &= 2\mathrm{e} - 8 \\[5pt] \end{align*} Somit ergibt sich für den Flächeninhalt: \[ A = -\mathop {\int}\limits_{0}^{2} f(x) \, \mathrm{d}x = -(F(2) - F(0)) = -(2\mathrm{e} - 8) = 8 - 2\mathrm{e} \approx 2,56343634363 \] Der Inhalt $A$ der größten Fläche, die von $K_f$ und der $x$–Achse eingeschlossen wird, beträgt $ A = 8 - 2\mathrm{e} $ Flächeneinheiten.

Aufgabe 2.4

$\blacktriangleright$   Flächeninhalt eines Dreiecks in Abhängigkeit von $\boldsymbol{u}$ bestimmen
Deine Aufgabe ist es, den Flächeninhalt eines Dreiecks in Abhängigkeit von $ u \in \mathbb{R} $ mit $ 1 \leq u \leq 4,5 $ zu bestimmen. Der Eckpunkt $ R(1 \mid 0) $ ist fest, die weiteren Eckpunkte $ P $ und $ Q $ sind die Schnittpunkte der Geraden $ x = u $ mit $ K_f $ und der $x$–Achse.
1. Schritt:
Um eine Vorstellung von solch einem Dreieck zu erhalten, fertige dir zunächst eine Skizze des Schaubildes $K_f$ an und wähle als festen Wert für $u$ z. B. $u=3,5.$ Zeichne die Punkte $R, \, P(3,5 \mid f(3,5))$ und $Q(3,5 \mid 0)$ ein und vervollständige das Dreieck. Schreibe dir die Koordinaten der Eckpunkte auf.
Aufgabe 2
[Abb. 6]: Skizze mit Dreiecksfläche
Aufgabe 2
[Abb. 6]: Skizze mit Dreiecksfläche
Um den Flächeninhalt des speziellen Dreiecks zu berechnen, benötigst du eine Formel aus der Merkhilfe. Weil es rechtwinklig ist, kannst du die Formel
$ A = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{RQ} \cdot \overline{PQ} $ $ A = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{RQ} \cdot \overline{PQ} $
verwenden. Wegen $ f(3,5) \approx -2,25 $ sind die Koordinaten der Eckpunkte $P \left( 3,5 \mid -2,25 \right)$ und $Q(3,5 \mid 0)$ und sein Flächeninhalt ist \begin{align*} A &= \dfrac{1}{2} \cdot \overline{RQ} \cdot \overline{QP} \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot (x_Q - x_R) \cdot (y_Q - y_R) \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot (3,5 - 1) \cdot (0 - (-2,25)) \\[5pt] &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 2,5 \cdot 2,25 \\[5pt] &= 2,8125 \end{align*}
2. Schritt:
Bestimme die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ in Abhängigkeit von $u$ und bestimme anschließend den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $u.$ Verwende dabei die folgenden Formeln:
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $x$–Achse verläuft mit $x_G < x_H$ ($G$ liegt links von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $ Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $y$–Achse verläuft mit $y_G < y_H$ ($G$ liegt unterhalb von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $ Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $
Die Koordinaten der Punkte des Dreiecks $PQR$ sind $ P(u \mid f(u)), \, Q(u \mid 0) $ und $ R(1 \mid 0). $ Für die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ gilt:
$ \overline{RQ(u)} = x_Q - x_R = u - 1 $
$ \overline{PQ(u)} = y_Q - y_P = 0 - f(u) = -f(u)$
Der Flächeninhalt $ A(u) $ in Abhängigkeit von $u$ ist folglich
\begin{align*} A(u) &= \dfrac{1}{2} \cdot \overline{RQ(u)} \cdot \overline{PQ(u)} \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot (u - 1) \cdot (-f(u)) \\[5pt] &= -\dfrac{1}{2} \cdot (u - 1) \cdot f(u) \\[5pt] &= -\dfrac{1}{2} \cdot (u - 1) \cdot \left( \mathrm{e}^{0,5 \cdot u} - 2u - 1 \right) \end{align*}
Das Dreieck besitzt den Flächeninhalt $ A(u) = -\dfrac{1}{2} \cdot (u - 1) \cdot \left( \mathrm{e}^{0,5 \cdot u} - 2u - 1 \right) $ in Abhängigkeit von $ u $ mit $ 1 \leq u \leq 4,5. $
$\blacktriangleright$   Flächeninhalt des Dreiecks maximieren
Um das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt zu bestimmen, gibt es nur die Möglichkeit des GTR:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Verwende die Maximierungs–Funktion: Sie wird durch die Tastenfolge
MATH 7: fmax(Funktionsterm,Variable,Untergrenze, Obergrenze) MATH 7: fmax(Funktionsterm,Variable,Untergrenze, Obergrenze)
aufgerufen. Sie verlangt die Eingabe des zu maxmierenden Funktionsterms $A(x)$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze $1$ sowie die obere Grenze $4,5$. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern für $u=1$ und $u=4,5$.
Aufruf der Funktion und Eingaben im Run–Menü:
Aufgabe 2
[Abb. 7]: Aufruf der Maximum–Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 7]: Aufruf der Maximum–Funktion
Auswertung der Funktion:
Aufgabe 2
[Abb. 8]: Auswertung
Aufgabe 2
[Abb. 8]: Auswertung
Der erste Wert entspricht $ u_{max} \approx 3,51. $ Der zweite Wert gibt den gesuchten maximalen Flächeninhalt an.
Der Flächeninhalt des Dreicks wird für $ u_{max} \approx 3,51 $ maximal.
$\blacktriangleright$   Maximalen Flächeninhalt angeben
Du hast den maximalen Flächeninhalt schon in der letzten Teilaufgabe bestimmt. Gib ihn an.
Der maximale Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $ 2,81 $ Flächeneinheiten.

Aufgabe 2.5

$\blacktriangleright$   Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit $\boldsymbol{K_g}$ angeben
Wenn du den Koordinaten der Schnittpunkte von $K_f$ mit $K_g$ angeben sollst, so ist ihre Bestimmung nur mit dem GTR möglich. Ein Gleichsetzen der beiden Funktionsterme $ f(x) = g(x) $ führt zu einer Gleichung, die du mit den gelernten Methoden nicht lösen kannst.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Im Graph-Menü lassen sich die Schaubilder beider Funktionen anzeigen. Du findest eine Lösung, wenn die beiden Graphen sich schneiden. Achte darauf, das Berachtungsfenster geeignet einzustellen.
Einen Schnittpunkt findest du im Graph–Menü durch den Befehl
CALC $\to$ 5: intersect CALC $\to$ 5: intersect
Eingabe der Funktionsterme:
Aufgabe 2
[Abb. 9]: Eingabe der Funktionsterme
Aufgabe 2
[Abb. 9]: Eingabe der Funktionsterme
Zeichnen der Graphen mit Berechnung der Schnittpunkte:
Aufgabe 2
[Abb. 10]: Ausgabe des ersten Schnittpunktes
Aufgabe 2
[Abb. 10]: Ausgabe des ersten Schnittpunktes
Aufgabe 2
[Abb. 11]: Ausgabe des zweiten Schnittpunktes
Die Koordinaten der beiden Schnittpunkte sind $ S_1(0 \mid 0) $ und $ S_2(4,28 \mid -1,05). $
$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass sich $\boldsymbol{K_f}$ mit $\boldsymbol{K_g}$ in einem Schnittpunkt senkrecht schneiden
Du hast schon die beiden Schnittpunkte von $K_f$ und $K_g$ bestimmt. Du sollst du zeigen, dass sie sich in einem Schnittpunkt senkrecht schneiden, im anderen Schnittpunkt jedoch nicht.
Die Bedingung für senkrechtes Schneiden zweier Schaubilder an der Stelle $ x_0 $ ist
$ f'(x_0) \cdot g'(x_0) = -1 $ $ f'(x_0) \cdot g'(x_0) = -1 $
Zeichnerisch sieht das senkrechte Schneiden der beiden Schaubilder an der Stelle Null so aus:
Aufgabe 2
[Abb. 12]: Senkrechtes Schneiden zwei Schaubilder
Aufgabe 2
[Abb. 12]: Senkrechtes Schneiden zwei Schaubilder
Berechne also die Ableitungen von $f$ und $g,$ setze die Stellen $ x_0 = 0 $ bzw. $ x_1 = 4,28 $ in $f'$ und $g'$ ein und prüfe diese Bedingung. Das Ergebnis der Ableitung von $f$ ist in der Lösung von Teilaufgabe 2.2 enthalten.
Kontrollergebnis: \begin{array}{rcl} f'(x) &=& 0,5 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 & \\[5pt] g'(x) &=& \cos(2 \cdot x) - \dfrac{1}{3} \end{array} Prüfen der Bedingung: \begin{array}{rcl} f'(0) \cdot g'(0) &=& (0,5 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot 0} - 2) \cdot (\cos(2 \cdot 0) - \dfrac{1}{3}) \\[5pt] &=& (0,5 \cdot \mathrm{e}^{0} - 2) \cdot (\cos(0) - \dfrac{1}{3}) \\[5pt] &=& (0,5 \cdot 1 - 2) \cdot (1 - \dfrac{1}{3}) \\[5pt] &=& (0,5 - 2) \cdot (\dfrac{3}{3} - \dfrac{1}{3}) \\[5pt] &=& (-1,5) \cdot \dfrac{3-1}{3} \\[5pt] &=& (-\dfrac{3}{2}) \cdot \dfrac{2}{3} \\[5pt] &=& -\dfrac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} \\[5pt] &=& -1 \\[5pt] f'(4,28) \cdot g'(4,28) &\approx& 2,25 \cdot (-0,98) \\[5pt] &=& -2,205 \\[5pt] &\ne& -1 \\[5pt] \end{array} Im Schnittpunkt $ S_1(0 \mid 0) $ schneiden sich die Schaubilder $K_f$ und $K_g$ senkrecht. Im Schnittpunkt $ S_2(4,28 \mid -1,05) $ tun sie es nicht.

Aufgabe 2.6

$\blacktriangleright$   Funktionsterm einer trigonometrischen Funktion $\boldsymbol{h}$ bestimmen
Du kennst die Koordinaten des Hochpunktes $ H \left( 0 \mid \dfrac{2}{3} \right) $ und des rechts davon liegenden benachbarten $ T \left( \dfrac{\pi}{2} \mid -\dfrac{4}{3} \right) $ und sollst den Funktionsterm einer trigonometrischen Funktion $h$ bestimmen. Der Hochpunkt liegt auf der $y$–Achse. Überlge dir, welche trigonometrische Funktion dazu passen würde.
Kontrollergebnis: $ h(x) = a \cdot \cos(b \cdot x) + c $ mit reellen Zahlen $ a, \, b, \, c \in \mathbb{R} . $
Überlege dir anhand der beiden Extrempunkte Funktionsterms von $f,$ welche Koordinaten der Hochpunkt rechts vom Tiefpunkt haben muss und welche Periodenlänge $P$ das Schaubild folglich hat. Wende die Formel für den Zusammenhang zwischen Periodenlänge und Vorzahl $b$ vor dem $x$ an und berechne $b:$
$ b \cdot P = 2 \cdot \pi. $ $ b \cdot P = 2 \cdot \pi. $
Der Hochpunkt rechts vom Tiefpunkt hat die Koordinaten $ \left( \pi \mid \dfrac{2}{3} \right), $ die Periodenlänge ist also $ P = \pi $ und somit $ b = \frac{2 \cdot\pi}{2} = 2. $
Die Gleichung der Mittellinie $ y = d, $ um die sich das Schaubild wellenartig bewegt, ist durch den Mittelwert von Hoch&ndash und Tiefwert berechenbar.
$ d = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H + y_T). $ $ d = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H + y_T). $
Ergbenis: \[ d = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H + y_T) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{2}{3} + (-\dfrac{4}{3}) \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2 - 4}{3} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{-2}{3} = -\dfrac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = -\dfrac{1}{3} \]
Die Amplitude $a$ der halbe Abstand zwischen Hochwert und Tiefwert:
$ a = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H - y_T). $ $ a = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H - y_T). $
Ergebnis: \[ a = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H - y_T) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{2}{3} - (-\dfrac{4}{3}) \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2 + 4}{3} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{3} = \dfrac{1}{2} \cdot 2 = \dfrac{2}{2} = 1 \] Gib nun die Gleichung des Funktionsterms an.
Der Funktionsterm von $h$ ist \[ h(x) = 1 \cdot \cos \left( 2 \cdot x \right) - \dfrac{1}{3} = \cos \left( 2 \cdot x \right) - \dfrac{1}{3}. \]
$\blacktriangleright$   Zusammenhang zwischen den Funktionen $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ angeben
In Teilaufgabe 2.5 hast du die Ableitungsfunktion $ g'(x) $ gebildet. Formuliere nun den Zusammenhang zwischen den Funktionen $g$ und $h.$
Die Funktion $h$ ist die Ableitungsfunktion von $g: h = g'.$
$\blacktriangleright$   Mit Hilfe des Zusammenhangs begründen, dass $\boldsymbol{g}$ in $\boldsymbol{x = \frac{\pi}{2}}$ eine Wendestelle besitzt
Es ist deine Aufgabe, mithilfe von $ h = g' $ zu begründen, warum $x = \dfrac{\pi}{2}$ eine Wendestelle von $g$ ist.
Jede Wendestelle einer Funktion ist eine Extremstelle der Ableitungsfunktion und umgekehrt. Weil das Schaubild $K_h$ den Tiefpunkt $ T \left( \dfrac{\pi}{2} \mid -\dfrac{4}{3} \right) $ besitzt und $h = g'$ gilt, ist $ x = \dfrac{\pi}{2} $ eine Wendestelle von $g.$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$   Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit der $\boldsymbol{x}$–Achse berechnen
Diese Teilaufgabe verlangt von dir, die Schnittpunkte mit der $x$–Achse berechnen. In diesem Fall ist die Verwendung des GTR notwendig, weil du die Methoden für eine schriftliche Berechnung im Unterricht nicht kennengelernt hast.
Weil der erste Schnittpunkt von $K_f$ mit $x$–Achse identisch ist mit dem Schnittpunkt mit der $y$–Achse, kannst du ihn in diesem Fall aber auch schriftlich berechnen. \[ f(0) = e^{0,5 \cdot 0} - 2 \cdot 0 - 1 = e^{0} - 0 - 1 = 1 - 1 = 0. \]
Gib im GRAPH–Menü deines GTR von CASIO den Funktionsterm ein: Y1: $ e^{0,5x} - 2x - 1 $ und rufst das Untermenü mit
G–SOLV–ROOT G–SOLV–ROOT
auf.
Aufgabe 2
[Abb. 1]: 1. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 1]: 1. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 2]: 2. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 2]: 2. Nullstelle der Funktion
$ x_1 = 0 $ und $ x_2 \approx 4,67 $ sind die Nullstellen.
Die Koordinaten der Schnittpunkte $K_f$ mit der $x$–Achse sind $ S_1(0 \mid 0) $ und $ S_2(4,67 \mid 0).$
$\blacktriangleright$   Gleichung der Asymptote angeben
Von dir wird nur die Angabe der Gleichung der Asymptote verlangt, also ohne Begründung.
Beachte, dass $ e^{0,5 \cdot x} \rightarrow 0 $ für $ x \rightarrow - \infty, $ d. h. für negative $x$–Werte weit von der Null entfernt ist $ f(x) \approx -2x - 1. $ Die Gleichung erkennst du auch sofort, wenn du den Exponentialterm im Funktionsterm $ f(x) $ weglässt.
Die Gleichung der Asymptote ist $ y = -2x - 1 $ für $ x \rightarrow - \infty. $

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Extrempunktes von $\boldsymbol{K_f}$ exakt berechnen
Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass es nur einen Extrempunkt gibt und du ihn schriftlich bestimmen sollst. Eine Lösung mit dem GTR ist also nicht zulässig.
An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Hochstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) < 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{array}{rcl} f(x) &=& \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 \cdot x - 1 \\[5pt] f'(x) &=& 0,5 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 \cdot 1 - 0 \\[5pt] &=& 0,5 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 \\[5pt] f''(x) &=& 0,5 \cdot 0,5 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 0 \\[5pt] &=& 0,25 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} \end{array}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Hochstelle (Extremstelle) muss die erste Bedingung $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$ erfüllt sein. \begin{array}{rclcl} f'(x) &=& 0 \\ 0,5 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 &=& 0 & & \scriptsize \mid \; +2\\[5pt] 0,5 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} &=& 2 & & \scriptsize \mid \; : 0,5\\[5pt] e^{0,5 \cdot x} &=& 4 & & \scriptsize \mid \; \ln( ) \\[5pt] 0,5 \cdot x &=& \ln(4) & & \scriptsize \mid \; : 0,5 \\[5pt] x &=& 2 \cdot \ln(4) \end{array}
Die Stelle $\boldsymbol{x_1 = 2 \cdot \ln(4)}$ ist eine mögliche Extremstelle. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich eine Extremstelle ist, kannst du die zweite Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Hochstelle tatsächlich Hochstelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f''(x_0) < 0}$ prüfen. Du setzt also die ermittelte Stellen $x_1=2 \cdot \ln(4)$ in den Term der zweiten Ableitung ein, berechnest den Funktionswert und wertest das Vorzeichen aus.
Wenn ein Hochpunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
Wegen \[ f''(0) = 0,25 \cdot e^{0,5 \cdot 2 \cdot \ln(4)} = 0,25 \cdot e^{\ln(4)} = 0,25 \cdot 4 = 1 > 0 \] liegt in $x_1=2 \cdot \ln(4)$ eine Tiefstelle vor. Das Einsetzen in den Funktionsterm von $f$ liefert die vollständigen Koordinaten des Hochpunktes: \begin{array}{rcl} f(2 \cdot \ln(4)) &=& \mathrm{e}^{0,5 \cdot 2 \cdot \ln(4) )} - 2 \cdot \ln(4) - 1 \\[5pt] &=& \mathrm{e}^{\ln(4)} - 2 \cdot \ln(4) - 1 \\[5pt] &=& 4 - 2 \cdot \ln(4) - 1 \\ &=& 3 - 2 \cdot \ln(2) \end{array} Die Koordinaten des Tiefpunktes sind $ TP(2 \cdot \ln(4) \mid 3 - 2 \cdot \ln(4)). $
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -3 \leq x \leq 6 $ und $ -3 \leq y \leq 5 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
Aufgabe 2
[Abb. 3]: Schaubild der Funktion $f$
Aufgabe 2
[Abb. 3]: Schaubild der Funktion $f$

Aufgabe 2.3

$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche exakt berechnen, die von $\boldsymbol{K_f},$ der $\boldsymbol{x}$–Achse und der Geraden $\boldsymbol{x = 2}$ eingeschlossen wird und den Punkt $\boldsymbol{(1 \mid -1)}$ enthält
Wenn du ein Schaubild zeichnest, berücksichtige dabei, dass die Gerade $ x = 2 $ parallel zur $y$–Achse verläuft und das Flächenstück unterhalb der $x$–Achse liegt.
Aufgabe 2
[Abb. 4]: Schaubild der Funktion $f$ mit Fläche
Aufgabe 2
[Abb. 4]: Schaubild der Funktion $f$ mit Fläche
Deine Aufgabe ist es, exakt und somit mithilfe einer Stammfunktion den Flächeninhalt der Fläche zu berechnen, die von $K_f$ und der $x$–Achse und der Geraden $ x = 2 $ eingeschlossen wird. Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte
$ A = -\displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \left| \, \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \, \right| $ $ A = -\displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \left| \, \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \, \right| $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind. Beachte das Minuszeichen vor dem Integral, denn die Fläche liegt unterhalb der $x$–Achse, so dass das Integral einen negativen Wert ergeben wird. Alternativ kannst du den Betrag des Integralwertes berechnen.
Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass $ a = 0 $ ist und $ b = 2 $ die Grenzen sind. Der Flächeninhalt lässt sich zur Kontrolle mit dem GTR und, wie gefordert, schriftlich exakt berechnen.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Um den Flächeninhalt zu berechnen, gib die Tastenfolge
G–SOLV $\to$ F6 $\to \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe 0 $\to$ Eingabe 2 $\to$ EXE G–SOLV $\to$ F6 $\to \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe 0 $\to$ Eingabe 2 $\to$ EXE
Aufgabe 2
[Abb. 5]: Berechnung des Flächeninhalts
Aufgabe 2
[Abb. 5]: Berechnung des Flächeninhalts
ein.
Ergebnis: $ A = -\mathop {\int}\limits_{0}^{2} f(x) \, \mathrm{d}x \approx -(-2,563436343) = 2,56343634363. $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Du sollst den Flächeninhalts $A = -\mathop {\int}\limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, \mathrm{d}x$ mithilfe einer Stammfunktion berechnen. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $ $ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $
und diejenige Formel für die Stammfunktion $H$ einer Funktion $h$ mit $h(x) = \mathrm{e}^{a \cdot x} \, (a \neq0) $
$ H(x) = \dfrac{1}{a} \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}. $ $ H(x) = \dfrac{1}{a} \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}. $
und diejenige For Stelle nun den Term der Stammfunktion $F$ von $f$ auf und setze $2$ und $0$ in $F(x)$ ein. Verwende dazu nicht den GTR, weil ein exaktes Ergebnis von dir erwartet wird. \begin{align*} f(x) & = \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 \cdot x - 1 \\[5pt] &= \dfrac{1}{0,5} \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^2 - 1 \cdot x \\[5pt] &= 2 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - x^2 - x \\[5pt] F(2) &= 2 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot 2} - 2^2 - 2 \\[5pt] &= 2 \cdot \mathrm{e}^{1} - 4 - 2 \\[5pt] &= 2\mathrm{e} - 6 \\[5pt] F(0) &= 2 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot 0} - 0^2 - 0 \\[5pt] &= 2 \cdot \mathrm{e}^{0} - 0 - 0 \\[5pt] &= 2 \cdot 1 - 0 - 0 \\[5pt] &= 2 \\[5pt] F(2) - F(0) &= 2\mathrm{e} - 6 - 2 \\[5pt] &= 2\mathrm{e} - 8 \\[5pt] \end{align*} Somit ergibt sich für den Flächeninhalt: \[ A = -\mathop {\int}\limits_{0}^{2} f(x) \, \mathrm{d}x = -(F(2) - F(0)) = -(2\mathrm{e} - 8) = 8 - 2\mathrm{e} \approx 2,56343634363 \] Der Inhalt $A$ der größten Fläche, die von $K_f$ und der $x$–Achse eingeschlossen wird, beträgt $ A = 8 - 2\mathrm{e} $ Flächeneinheiten.

Aufgabe 2.4

$\blacktriangleright$   Flächeninhalt eines Dreiecks in Abhängigkeit von $\boldsymbol{u}$ bestimmen
Deine Aufgabe ist es, den Flächeninhalt eines Dreiecks in Abhängigkeit von $ u \in \mathbb{R} $ mit $ 1 \leq u \leq 4,5 $ zu bestimmen. Der Eckpunkt $ R(1 \mid 0) $ ist fest, die weiteren Eckpunkte $ P $ und $ Q $ sind die Schnittpunkte der Geraden $ x = u $ mit $ K_f $ und der $x$–Achse.
1. Schritt:
Um eine Vorstellung von solch einem Dreieck zu erhalten, fertige dir zunächst eine Skizze des Schaubildes $K_f$ an und wähle als festen Wert für $u$ z. B. $u=3,5.$ Zeichne die Punkte $R, \, P(3,5 \mid f(3,5))$ und $Q(3,5 \mid 0)$ ein und vervollständige das Dreieck. Schreibe dir die Koordinaten der Eckpunkte auf.
Aufgabe 2
[Abb. 6]: Skizze mit Dreiecksfläche
Aufgabe 2
[Abb. 6]: Skizze mit Dreiecksfläche
Um den Flächeninhalt des speziellen Dreiecks zu berechnen, benötigst du eine Formel aus der Merkhilfe. Weil es rechtwinklig ist, kannst du die Formel
$ A = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{RQ} \cdot \overline{PQ} $ $ A = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{RQ} \cdot \overline{PQ} $
verwenden. Wegen $ f(3,5) \approx -2,25 $ sind die Koordinaten der Eckpunkte $P \left( 3,5 \mid -2,25 \right)$ und $Q(3,5 \mid 0)$ und sein Flächeninhalt ist \begin{align*} A &= \dfrac{1}{2} \cdot \overline{RQ} \cdot \overline{QP} \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot (x_Q - x_R) \cdot (y_Q - y_R) \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot (3,5 - 1) \cdot (0 - (-2,25)) \\[5pt] &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 2,5 \cdot 2,25 \\[5pt] &= 2,8125 \end{align*}
2. Schritt:
Bestimme die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ in Abhängigkeit von $u$ und bestimme anschließend den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $u.$ Verwende dabei die folgenden Formeln:
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $x$–Achse verläuft mit $x_G < x_H$ ($G$ liegt links von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $ Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $y$–Achse verläuft mit $y_G < y_H$ ($G$ liegt unterhalb von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $ Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $
Die Koordinaten der Punkte des Dreiecks $PQR$ sind $ P(u \mid f(u)), \, Q(u \mid 0) $ und $ R(1 \mid 0). $ Für die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ gilt:
$ \overline{RQ(u)} = x_Q - x_R = u - 1 $
$ \overline{PQ(u)} = y_Q - y_P = 0 - f(u) = -f(u)$
Der Flächeninhalt $ A(u) $ in Abhängigkeit von $u$ ist folglich
\begin{align*} A(u) &= \dfrac{1}{2} \cdot \overline{RQ(u)} \cdot \overline{PQ(u)} \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot (u - 1) \cdot (-f(u)) \\[5pt] &= -\dfrac{1}{2} \cdot (u - 1) \cdot f(u) \\[5pt] &= -\dfrac{1}{2} \cdot (u - 1) \cdot \left( \mathrm{e}^{0,5 \cdot u} - 2u - 1 \right) \end{align*}
Das Dreieck besitzt den Flächeninhalt $ A(u) = -\dfrac{1}{2} \cdot (u - 1) \cdot \left( \mathrm{e}^{0,5 \cdot u} - 2u - 1 \right) $ in Abhängigkeit von $ u $ mit $ 1 \leq u \leq 4,5. $
$\blacktriangleright$   Flächeninhalt des Dreiecks maximieren
Um das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt zu bestimmen, gibt es nur die Möglichkeit des GTR:
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Verwende die Maximierungs–Funktion: Sie wird durch die Tastenfolge
OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax(Funktionsterm,Untergrenze, Obergrenze) OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax(Funktionsterm,Untergrenze, Obergrenze)
aufrufen kannst. Sie verlangt die Eingabe des zu maxmierenden Funktionsterms $A(x)$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze $1$ sowie die obere Grenze $4,5$. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern für $u=1$ und $u=4,5$.
Aufruf der Funktion und Eingaben im Run–Menü:
Aufgabe 2
[Abb. 7]: Aufruf der Maximum–Funktion
Aufgabe 2
[Abb. 7]: Aufruf der Maximum–Funktion
Auswertung der Funktion:
Aufgabe 2
[Abb. 8]: Auswertung
Aufgabe 2
[Abb. 8]: Auswertung
Der erste Wert entspricht $ u_{max} \approx 3,51. $ Der zweite Wert gibt den gesuchten maximalen Flächeninhalt an.
Der Flächeninhalt des Dreicks wird für $ u_{max} \approx 3,51 $ maximal.
$\blacktriangleright$   Maximalen Flächeninhalt angeben
Du hast den maximalen Flächeninhalt schon in der letzten Teilaufgabe bestimmt. Gib ihn an.
Der maximale Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $ 2,81 $ Flächeneinheiten.

Aufgabe 2.5

$\blacktriangleright$   Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit $\boldsymbol{K_g}$ angeben
Wenn du den Koordinaten der Schnittpunkte von $K_f$ mit $K_g$ angeben sollst, so ist ihre Bestimmung nur mit dem GTR möglich. Ein Gleichsetzen der beiden Funktionsterme $ f(x) = g(x) $ führt zu einer Gleichung, die du mit den gelernten Methoden nicht lösen kannst.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Im Graph-Menü lassen sich die Schaubilder beider Funktionen anzeigen. Du findest eine Lösung, wenn die beiden Graphen sich schneiden. Achte darauf, das Berachtungsfenster geeignet einzustellen.
Einen Schnittpunkt findest du im Graph-Menü durch den Befehl
G–SOLV $\to$ ISCT G–SOLV $\to$ ISCT
Eingabe der Funktionsterme im Graph-Menü:
Aufgabe 2
[Abb. 9]: Eingabe der Funktionsterme
Aufgabe 2
[Abb. 9]: Eingabe der Funktionsterme
Zeichnen der Graphen mit Berechnung der Schnittpunkte:
Aufgabe 2
[Abb. 10]: Ausgabe des 1. Schnittpunktes
Aufgabe 2
[Abb. 10]: Ausgabe des 1. Schnittpunktes
Aufgabe 2
[Abb. 11]: Ausgabe des 2. Schnittpunktes
Aufgabe 2
[Abb. 11]: Ausgabe des 2. Schnittpunktes
Die Koordinaten der beiden Schnittpunkte sind $ S_1(0 \mid 0) $ und $ S_2(4,28 \mid -1,05). $
$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass sich $\boldsymbol{K_f}$ mit $\boldsymbol{K_g}$ in einem Schnittpunkt senkrecht schneiden
Du hast schon die beiden Schnittpunkte von $K_f$ und $K_g$ bestimmt. Du sollst du zeigen, dass sie sich in einem Schnittpunkt senkrecht schneiden, im anderen Schnittpunkt jedoch nicht.
Die Bedingung für senkrechtes Schneiden zweier Schaubilder an der Stelle $ x_0 $ ist
$ f'(x_0) \cdot g'(x_0) = -1 $ $ f'(x_0) \cdot g'(x_0) = -1 $
Zeichnerisch sieht das senkrechte Schneiden der beiden Schaubilder an der Stelle Null so aus:
Aufgabe 2
[Abb. 12]: Senkrechtes Schneiden zwei Schaubilder
Aufgabe 2
[Abb. 12]: Senkrechtes Schneiden zwei Schaubilder
Berechne also die Ableitungen von $f$ und $g,$ setze die Stellen $ x_0 = 0 $ bzw. $ x_1 = 4,28 $ in $f'$ und $g'$ ein und prüfe diese Bedingung. Das Ergebnis der Ableitung von $f$ ist in der Lösung von Teilaufgabe 2.2 enthalten.
Kontrollergebnis: \begin{array}{rcl} f'(x) &=& 0,5 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot x} - 2 & \\[5pt] g'(x) &=& \cos(2 \cdot x) - \dfrac{1}{3} \end{array} Prüfen der Bedingung: \begin{array}{rcl} f'(0) \cdot g'(0) &=& (0,5 \cdot \mathrm{e}^{0,5 \cdot 0} - 2) \cdot (\cos(2 \cdot 0) - \dfrac{1}{3}) \\[5pt] &=& (0,5 \cdot \mathrm{e}^{0} - 2) \cdot (\cos(0) - \dfrac{1}{3}) \\[5pt] &=& (0,5 \cdot 1 - 2) \cdot (1 - \dfrac{1}{3}) \\[5pt] &=& (0,5 - 2) \cdot (\dfrac{3}{3} - \dfrac{1}{3}) \\[5pt] &=& (-1,5) \cdot \dfrac{3-1}{3} \\[5pt] &=& (-\dfrac{3}{2}) \cdot \dfrac{2}{3} \\[5pt] &=& -\dfrac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} \\[5pt] &=& -1 \\[5pt] f'(4,28) \cdot g'(4,28) &\approx& 2,25 \cdot (-0,98) \\[5pt] &=& -2,205 \\[5pt] &\ne& -1 \\[5pt] \end{array} Im Schnittpunkt $ S_1(0 \mid 0) $ schneiden sich die Schaubilder $K_f$ und $K_g$ senkrecht. Im Schnittpunkt $ S_2(4,28 \mid -1,05) $ tun sie es nicht.

Aufgabe 2.6

$\blacktriangleright$   Funktionsterm einer trigonometrischen Funktion $\boldsymbol{h}$ bestimmen
Du kennst die Koordinaten des Hochpunktes $ H \left( 0 \mid \dfrac{2}{3} \right) $ und des rechts davon liegenden benachbarten $ T \left( \dfrac{\pi}{2} \mid -\dfrac{4}{3} \right) $ und sollst den Funktionsterm einer trigonometrischen Funktion $h$ bestimmen. Der Hochpunkt liegt auf der $y$–Achse. Überlge dir, welche trigonometrische Funktion dazu passen würde.
Kontrollergebnis: $ h(x) = a \cdot \cos(b \cdot x) + c $ mit reellen Zahlen $ a, \, b, \, c \in \mathbb{R} . $
Überlege dir anhand der beiden Extrempunkte Funktionsterms von $f,$ welche Koordinaten der Hochpunkt rechts vom Tiefpunkt haben muss und welche Periodenlänge $P$ das Schaubild folglich hat. Wende die Formel für den Zusammenhang zwischen Periodenlänge und Vorzahl $b$ vor dem $x$ an und berechne $b:$
$ b \cdot P = 2 \cdot \pi. $ $ b \cdot P = 2 \cdot \pi. $
Der Hochpunkt rechts vom Tiefpunkt hat die Koordinaten $ \left( \pi \mid \dfrac{2}{3} \right), $ die Periodenlänge ist also $ P = \pi $ und somit $ b = \frac{2 \cdot\pi}{2} = 2. $
Die Gleichung der Mittellinie $ y = d, $ um die sich das Schaubild wellenartig bewegt, ist durch den Mittelwert von Hoch&ndash und Tiefwert berechenbar.
$ d = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H + y_T). $ $ d = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H + y_T). $
Ergbenis: \[ d = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H + y_T) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{2}{3} + (-\dfrac{4}{3}) \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2 - 4}{3} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{-2}{3} = -\dfrac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = -\dfrac{1}{3} \]
Die Amplitude $a$ der halbe Abstand zwischen Hochwert und Tiefwert:
$ a = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H - y_T). $ $ a = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H - y_T). $
Ergebnis: \[ a = \dfrac{1}{2} \cdot (y_H - y_T) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{2}{3} - (-\dfrac{4}{3}) \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2 + 4}{3} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{3} = \dfrac{1}{2} \cdot 2 = \dfrac{2}{2} = 1 \] Gib nun die Gleichung des Funktionsterms an.
Der Funktionsterm von $h$ ist \[ h(x) = 1 \cdot \cos \left( 2 \cdot x \right) - \dfrac{1}{3} = \cos \left( 2 \cdot x \right) - \dfrac{1}{3}. \]
$\blacktriangleright$   Zusammenhang zwischen den Funktionen $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ angeben
In Teilaufgabe 2.5 hast du die Ableitungsfunktion $ g'(x) $ gebildet. Formuliere nun den Zusammenhang zwischen den Funktionen $g$ und $h.$
Die Funktion $h$ ist die Ableitungsfunktion von $g: h = g'.$
$\blacktriangleright$   Mit Hilfe des Zusammenhangs begründen, dass $\boldsymbol{g}$ in $\boldsymbol{x = \frac{\pi}{2}}$ eine Wendestelle besitzt
Es ist deine Aufgabe, mithilfe von $ h = g' $ zu begründen, warum $x = \dfrac{\pi}{2}$ eine Wendestelle von $g$ ist.
Jede Wendestelle einer Funktion ist eine Extremstelle der Ableitungsfunktion und umgekehrt. Weil das Schaubild $K_h$ den Tiefpunkt $ T \left( \dfrac{\pi}{2} \mid -\dfrac{4}{3} \right) $ besitzt und $h = g'$ gilt, ist $ x = \dfrac{\pi}{2} $ eine Wendestelle von $g.$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App