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Aufgabe 3

Aufgaben
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Aufgabe 3

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit
$f(x)=-\frac{1}{3}x^3 + 3x$ und $g(x)=4,5\cdot \cos(\frac{1}{2}x)-1,5 , \; x\in\mathbb{R}$.
Ihre Schaubilder sind $K_f$ und $K_g$.
3.1
Gib die Koordinaten der Schnittpunkte von $K_f$ mit der $x$-Achse an.
Untersuche $K_f$ auf Symmetrie.
Zeichne $K_f$.
(5P)
3.2
Zeige, dass die Gerade mit der Gleichung $y=x-\frac{4}{3}$ die Normale von $K_f$ im Punkt $P(-2 \mid f(-2))$ ist.
(4P)
3.3
Bestimme die ersten beiden Ableitungen von $g$.
Gib den Wertebereich der ersten Ableitungsfunktion von $g$ an.
(3P)
3.4
Untersuche $K_g$ im Intervall $]43\pi;45\pi[$ auf Krümmung.
Bestimme ein Intervall, in welchem beide Schaubilder $K_f$ und $K_g$ rechtsgekrümmt sind.
(5P)
3.5
$K_f$ und $K_g$ begrenzen zwei Flächenstücke.
Berechne die Differenz der Inhalte der beiden Flächenstücke.
(5P)
3.6
Gegeben ist das Schaubild einer Funktion $h$.
Die folgenden Aussagen beziehen sich auf den gezeichneten Abschnitt. Begründe, ob sie wahr oder falsch sind.
Aufgabe 3
Aufgabe 3
(8P)
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Aufgabe 3.1

$\blacktriangleright$   Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit der $\boldsymbol{x}$–Achse angeben
Diese Teilaufgabe verlangt von dir, die Schnittpunkte mit der $x$–Achse zu berechnen. In diesem Fall ist die Verwendung des GTR möglich aber nicht unbedingt notwendig, weil du die Methoden für eine schriftliche Berechnung im Unterricht mithilfe des Satzes vom Nullprodukt kennengelernt hast.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Gib im GRAPH–Menü deines GTR von CASIO den Funktionsterm ein: Y1: $ \frac{1}{3}x^3 + 3x. $ Rufe das Untermenü für die Ausgabe der Nullstellen mit
G–SOLV–ROOT G–SOLV–ROOT
auf.
Im GTR von TI rufst du nach Eingabe des Funktionsterms das Untermenü mit
CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER
auf.
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Löse die Gleichung $ f(x) = 0 $ mithilfe des Satzes vom Nullprodukt.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ auf Symmetrie untersuchen
Die Aufgabe verlangt von dir, das Schaubild daraufhin zu untersuchen, ob es achsensymmetrisch zur $y$–Achse, punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist oder keine dieser beiden Symmetriearten aufweist. Untersuche die Symmetrie des Schaubildes anhand des GRAPH–Menüs deines GTR. Du kannst folgendermaßen argumentieren:
1. Möglichkeit:
Die in dem Funktionsterm $f(x)$ ausschließlich vorkommenden Exponenten (Hochzahlen) geben Auskunft über die Symmetrieart. Stelle eine Aussage über den Funktionsterm auf: Wenn ausschließlich gerade/ungerade Exponenten auftreten, ist das Schaubild achsensymmetrisch zur $y$–Achse/punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Andernfalls liegt keine dieser Symmetriearten vor.
2. Möglichkeit:
$K_f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn
$ f(-x) = f(x) $ $ f(-x) = f(x) $
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ gilt.
$K_f$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn
$ f(-x) = -f(x) $ $ f(-x) = -f(x) $
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ gilt.
Vereinfache nun den Term $ f(-x).$
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -4 \leq x \leq 4 $ und $ -4 \leq y \leq 4 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.

Aufgabe 3.2

$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass $\boldsymbol{y = x - \frac{4}{3}}$ die Normale von $\boldsymbol{K_f}$ im Punkt $\boldsymbol{P(-2 \mid f(-2))}$ ist
Du kannst die Normale im Punkt $P(-2 \mid f(-2))$ des Schaubildes mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermitteln. Für den Nachweis ist eine schriftliche Berechnung unbedingt notwendig, d.h. der GTR kann nur als Kontrollmittel benutzt werden:
1. Möglichkeit: Kontrolle mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Prüfe bei deinem GTR von CASIO zunächst, ob die Funktion DERIVATE in den Systemeinstellungen aktiviert ist (Schalter auf ON). Die Systemeinstellungen rufst du mit SHIFT–MENU auf.
Aufgabe 3
[Abb. 5]: Automatische Ableitung aktivieren
Aufgabe 3
[Abb. 5]: Automatische Ableitung aktivieren
Eine solche Prüfung ist im GTR von TI nicht erforderlich.
Im Graph–Menü hast du schon den Funktionsterm von $f$ eingeben. Lass dir das Schaubild und die Normale anzeigen und die Normalengleichung ausgeben. Gib dazu beim GTR von CASIO die Tastenfolge
Sketch $\to$ Norm $\to$ Eingabe $-2$ $\to$ EXE $\to$ EXE Sketch $\to$ Norm $\to$ Eingabe $-2$ $\to$ EXE $\to$ EXE
ein.
Beim GTR von TI gibt es keine entsprechende Tastenfolge.
Kontrollergebnis: $ n: y = x - \frac{4}{3} $ ist die Gleichung der Normale im Punkt $ P \left(-2 \mid - \frac{4}{3} \right).$
2. Möglichkeit: Nachweis durch schriftliche Rechnung
Du sollst die Gleichung der Normale im Punkt $P(-2 \mid f(-2)) $ des Schaubildes $K_f$ berechnen. Hierfür benötigst du die Formel für die Gleichung der Normale in einem Punkt $(x_0 \mid f(x_0)) $ des Schaubildes einer Funktion $f:$
$ n(x) = - \dfrac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0). $ $ n(x) = - \dfrac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0). $
Es ist aufgrund der Formel notwendig, dass du die Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ berechnen musst. Verwende dazu für eine Potenzfunktion der Form $ g(x) = c \cdot x^r $ mit konstanten Zahlen $ c, r \in \mathbb{R} $ die Faktor– und Potenzregel
$ g'(x) = c \cdot r \cdot x^{r - 1}. $ $ g'(x) = c \cdot r \cdot x^{r - 1}. $
In dieser Aufgabe ist $x_0 = -2,$ d. h. du musst noch die Werte $ f(-2)$ und $f'(-2)$ berechnen und sie anschließend in die Formel einsetzen. Löse abschließend die Klammern auf, um die Normalengleichung in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten.

Aufgabe 3.3

$\blacktriangleright$   Die ersten beiden Ableitungen von $\boldsymbol{g}$ bestimmen
Wenn du die ersten beiden Ableitungen der Funktion $ g(x) = 4,5 \cdot \cos ( \frac{1}{2} \cdot x) - 1,5 $ berechnen sollst, benötgist du die Faktor– und Summenregel sowie die Ableitungsregeln für die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus:
Für konstante Zahlen $ a, b, c \in \mathbb{R} $ und $ h(x) = a \cdot \cos(b \cdot x) + c $ ist die Ableitungsfunktion von $h$
$ h'(x) = a \cdot b \cdot (- \sin(b \cdot x)) $ $ h'(x) = a \cdot b \cdot (- \sin(b \cdot x)) $
und die Ableitungsfunktion von $ k(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + c $ ist
$ k'(x) = a \cdot b \cdot \cos(b \cdot x). $ $ k'(x) = a \cdot b \cdot \cos(b \cdot x). $
Berechne nun $ g'(x) $ und $ g''(x). $
$\blacktriangleright$   Wertebereich der ersten Ableitungsfunktion von $\boldsymbol{g}$ angeben
Um den Wertebereich der ersten Ableitungsfunktion von $g$ angeben zu können, schaust du dir den Funktionsterm $ g'(x) = -\frac{9}{4} \sin ( \frac{1}{2} \cdot x) $ an und berücksichtigst dabei, dass die Sinusfunktion nur Werte zwischen $\boldsymbol{-1}$ und $\boldsymbol{1}$ annehmen kann. Die Werte $-1$ und $1$ sind eingeschlossen.

Aufgabe 3.4

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_g}$ im Intervall $\boldsymbol{[43\pi; \, 45\pi]}$ auf Krümmung untersuchen
Wenn du ein Schabuild auf Krümmung untersuchen sollst, heisst das für dich, das Vorzeichen der zweiten Ableitung von $g$ zu bestimmen.
$K_g$ ist rechtsgekrümmt, wenn $ \boldsymbol{g''(x) < 0} $ ist, und linksgekrümmt, wenn $ \boldsymbol{g''(x) > 0} $ gilt.
Bestimme also in ganz $ \mathbb{R} $ die Nullstellen von $ g''(x). $ Weil sie einfache Nullstellen sind, findet dort stets ein Vorzeichenwechsel und somit ein Krümmungswechsel des Schaubildes statt.
Ermittle dann das Vorzeichen im Intervall $ [43\pi; \, 45\pi] $ und mache eine Aussage über die Krümmung des Schaubildes.
$\blacktriangleright$   ein Intervall bestimmen, in welchem beide Schaubilder $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_g}$ rechtsgekrümmt sind
Um ein Intervall zu bestimmen, in welchem beide Schaubilder $K_f$ und $\boldsymbol{K_g}$ rechtsgekrümmt sind, ist es deine Aufgabe nun, das Krümmungsverhalten des Schaubildes $K_f$ in ganz $\mathbb{R}$ mithilfe der zweiten Ableitung zu bestimmen, um Gemeinsamkeiten beider Schaubilder hinsichtlich Krümmung feststellen zu können.

Aufgabe 3.5

$\blacktriangleright$   Differenz der Inhalte der Flächenstücke berechnen, die von $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_g}$ begrenzt werden
Deine Aufgabe ist es, die Flächeninhalte der folgenden markierten Flächen zu berechnen:
Aufgabe 3
[Abb. 7]: Schaubild der Funktionen $f$ und $g$
Aufgabe 3
[Abb. 7]: Schaubild der Funktion $f$ und $g$
Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte zwischen zwei Schaubildern
$ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion – untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $ $ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion – untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind und welche Funktion die obere und welche die untere ist.
Weil die Schnittstellen der Schaubilder jeweils die Untergrenze und Obergrenze bestimmen, wird von dir also zunächst verlangt, die Schnittpunkte der Schaubilder zu berechnen. In diesem Fall ist die Verwendung des GTR unbedingt erforderlich, weil du die Methoden für eine schriftliche Berechnung im Unterricht nicht kennengelernt hast.
Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Gib im GRAPH–Menü deines GTR von CASIO zusätzlich den Funktionsterm Y2: $ 4,5 \cdot \cos(\frac{1}{2}x) - 1,5 $ ein. Rufe das Untermenü für die Berechnung der Schnittstellen mit
G–SOLV–ISCT G–SOLV–ISCT
auf. Einen Schnittpunkt findest du beim GTR von TI im Graph-Menü durch den Befehl
CALC $\to$ 5: intersect. CALC $\to$ 5: intersect.
Weil die Schnittstellen der Schaubilder jeweils die Untergrenze und Obergrenze bestimmen und näherungsweise vorher berechnet wurden, macht es keinen Sinn eine schriftliche Berechnung über Stammfunktionen durchzuführen. Berechne nun mit dem GTR
$ A_1 = \displaystyle \int_{-2,85}^{0,93} (g(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x $ und $ A_2 = \displaystyle \int_{0,93}^{3,26} (f(x) - g(x)) \, \mathrm{d}x. $
Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Im Graph–Menü hast du bereits bei Y1 den Funktionsterm von $f$ und bei Y2 denjenigen von $g$ eingegeben. Beide Schaubilder werden ausgeblendet, sollen also nicht gezeichnet werden (Select). Durch Eingabe bei Y3: Y2–Y1 wird die Differenz der beiden Funktion $g$ und $f$ ausgedrückt. Zeichne das Schaubild und ermittle den Flächeninhalt zwischen dem Schaubild und der $x$–Achse in den Grenzen $-2,85$ und $0,93.$
Gib beim GTR von CASIO die folgende Tastenfolge ein:
G–SOLV $\to$ F6 $\to \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe $-2,85$ $\to$ Eingabe $0,93$ $\to$ EXE
Gib GTR von TI die Tastenfolge
CALC $\to 7: \displaystyle \int $ f(x) dx $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $-2,85$ $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $0,93$ $\to$ ENTER CALC $\to 7: \displaystyle \int $ f(x) dx $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $-2,85$ $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $0,93$ $\to$ ENTER
Kontrollergebnis: $ A_1 = \mathop {\int}\limits_{-2,85}^{0,93} (g(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x \approx 12,72 $
Berechne entsprechend $A_2$ und anschließend die Differenz $ A_1 - A_2.$

Aufgabe 3.6

$\blacktriangleright$   Begründen, ob die Aussagen wahr bzw. falsch sind
Anhand der Schaubildes der Funktion $h$
Aufgabe 3
[Abb. 13]: Schaubild der Funktion $h$
Aufgabe 3
[Abb. 7]: Schaubild der Funktion $h$
sollst du begründen, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:
a) $h(-1)-h(1)>0$
Du kannst aus dem Schaubild Näherungswerte für $h(-1)$ und $h(1)$ ablesen. Bestimme ihre Differenz und beurteile die Aussage.
b) Das Schaubild der Ableitungsfunktion besitzt drei Extrempunkte.
Jeder Wendepunkt eines Schaubildes einer Funktion bedingt einen Extrempunkt der Ableitungsfunktion und umgekehrt. Untersuche also den gezeigten Ausschnitt des Schaubildes von $h$ auf Wendepunkte. Beurteile dann die Aussage.
c) $\displaystyle\int_{-2}^{2}\;\mathrm h(x)dx<0$
Das Integral ist eine Flächeninhaltsbilanz, d. h. Flächenstücke unterhalb der x–Achse werden negativ bewertet, Flächenstücke oberhalb der x–Achse werden positiv bewertet. Anschließend wird Bilanz gezogen. Vergleiche also im Bereich von $-2$ bis $2$ die Größe der Flächenstücke zwischen dem Schaubild $h$ und der x–Achse, die unterhalb bzw. oberhalb der x–Achse liegen. Ziehe Bilanz und beurteile die Aussage.
d) Das Schaubild einer Stammfunktion von $h$ besitzt genau zwei Punkte mit waagrechter Tangente.
Jeder Punkt eines Schaubildes einer Stammfunktion $H$ von $h$ mit waagerechter Tangente bedeutet, dass an dieser Stelle die Steigung $H'(x)=0$ ist. Wegen $ h(x) = H'(x) = 0 $ kannst du anhand der Anzahl der Nullstellen von $h$ die Aussage beurteilen.
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Aufgabe 3.1

$\blacktriangleright$   Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit der $\boldsymbol{x}$–Achse angeben
Diese Teilaufgabe verlangt von dir, die Schnittpunkte mit der $x$–Achse zu berechnen. In diesem Fall ist die Verwendung des GTR möglich aber nicht unbedingt notwendig, weil du die Methoden für eine schriftliche Berechnung im Unterricht mithilfe des Satzes vom Nullprodukt kennengelernt hast.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Gib im GRAPH–Menü deines GTR den Funktionsterm ein: Y1: $ -\frac{1}{3}x^3 + 3x. $ Rufe das Untermenü für die Ausgabe der Nullstellen mit
CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER
auf. Du wirst aufgefordert, z. B. die linke Nullstelle einzugrenzen. Weil sie zwischen $-4$ und $-2$ liegt, kannst du diese Werte für die Begrenzung eingeben.
Aufgabe 3
[Abb. 1]: 1. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 1]: 1. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 2]: 2. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 2]: 2. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 3]: 3. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 3]: 3. Nullstelle der Funktion
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
\begin{array}{rcll} f(x) &=& 0 \\ -\dfrac{1}{3}x^3 + 3x &=& 0 & \mid \; \cdot \, (-3) \\ x^3 - 9x &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Ausklammern} \\[5pt] x \cdot (x^2 - 9) &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] x^2 - 9 &=& 0 & \mid \; \scriptsize + 9 \\[5pt] x^2 &=& 9 & \mid \; \scriptsize \sqrt{\;} \\[5pt] x &=& \pm 3 \end{array}
$ x_1 = -3, \, x_2 = 0 $ und $ x_3 = 3 $ sind die Nullstellen.
Die Koordinaten der Schnittpunkte $K_f$ mit der $x$–Achse sind $ S_1(-3 \mid 0), \, S_2(0 \mid 0) $ und $ S_3(3 \mid 0).$
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ auf Symmetrie untersuchen
Die Aufgabe verlangt von dir, das Schaubild daraufhin zu untersuchen, ob es achsensymmetrisch zur $y$–Achse, punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist oder keine dieser beiden Symmetriearten aufweist. Untersuche die Symmetrie des Schaubildes anhand des GRAPH–Menüs deines GTR. Du kannst folgendermaßen argumentieren:
1. Möglichkeit:
Die in dem Funktionsterm $f(x)$ ausschließlich vorkommenden Exponenten (Hochzahlen) geben Auskunft über die Symmetrieart. Stelle eine Aussage über den Funktionsterm auf: Wenn ausschließlich gerade/ungerade Exponenten auftreten, ist das Schaubild achsensymmetrisch zur $y$–Achse/punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Andernfalls liegt keine dieser Symmetriearten vor.
Der Funktionsterm $f(x)$ enthält ausschließlich ungerade Exponenten (Hochzahlen), so dass $K_f$ punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.
2. Möglichkeit:
$K_f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn
$ f(-x) = f(x) $ $ f(-x) = f(x) $
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ gilt.
$K_f$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn
$ f(-x) = -f(x) $ $ f(-x) = -f(x) $
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ gilt.
Vereinfache nun den Term $ f(-x).$
\[ f(-x) = -\dfrac{1}{3} \cdot (-x)^3 + 3 \cdot (-x) = -\dfrac{1}{3} \cdot (-x^3) - 3 \cdot x = \dfrac{1}{3} \cdot x^3 - 3 \cdot x = - \left( -\dfrac{1}{3} \cdot x^3 + 3 \cdot x \right) = -f(x) \]
Das Schaubild $K_f$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -4 \leq x \leq 4 $ und $ -4 \leq y \leq 4 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
Aufgabe 3
[Abb. 4]: Schaubild der Funktion $f$
Aufgabe 3
[Abb. 4]: Schaubild der Funktion $f$

Aufgabe 3.2

$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass $\boldsymbol{y = x - \frac{4}{3}}$ die Normale von $\boldsymbol{K_f}$ im Punkt $\boldsymbol{P(-2 \mid f(-2))}$ ist
Du kannst die Normale im Punkt $P(-2 \mid f(-2))$ des Schaubildes nur durch schriftliche Rechnung ermitteln. Für den Nachweis ist eine schriftliche Berechnung unbedingt notwendig.
Nachweis durch schriftliche Rechnung
Du sollst die Gleichung der Normale im Punkt $P(-2 \mid f(-2)) $ des Schaubildes $K_f$ berechnen. Hierfür benötigst du die Formel für die Gleichung der Normale in einem Punkt $(x_0 \mid f(x_0)) $ des Schaubildes einer Funktion $f:$
$ n(x) = - \dfrac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0). $ $ n(x) = - \dfrac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0). $
Es ist aufgrund der Formel notwendig, dass du die Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ berechnen musst. Verwende dazu für eine Potenzfunktion der Form $ g(x) = c \cdot x^r $ mit konstanten Zahlen $ c, r \in \mathbb{R} $ die Faktor– und Potenzregel
$ g'(x) = c \cdot r \cdot x^{r - 1}. $ $ g'(x) = c \cdot r \cdot x^{r - 1}. $
\begin{array}{rcll} f(x) &=& -\dfrac{1}{3} \cdot x^3 + 3 \cdot x \\[5pt] f'(x) &=& -\dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^2 + 3 \cdot 1 \\[5pt] &=& -x^2 + 3 \end{array} In dieser Aufgabe ist $x_0 = -2,$ d. h. du musst noch die Werte $ f(-2)$ und $f'(-2)$ berechnen und sie anschließend in die Formel einsetzen. Löse abschließend die Klammern auf, um die Normalengleichung in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten. \begin{align*} f(-2) &= -\dfrac{1}{3} \cdot (-2)^3 + 3 \cdot (-2) \\[5pt] &= -\dfrac{1}{3} \cdot (-8) - 6 \\[5pt] &= \dfrac{8}{3} - \dfrac{18}{3} \\[5pt] &= \dfrac{8 - 18}{3} \\[5pt] &= -\dfrac{10}{3} \\[5pt] f'(-2) &= -(-2)^2 + 3 \\[5pt] &= -4 + 3 \\[5pt] &= -1 \end{align*} Einsetzen in die Gleichung: \begin{align*} n(x) &= - \dfrac{1}{f'(-2)} \cdot (x - (-2)) + f(-2) \\[5pt] &= - \dfrac{1}{-1} \cdot (x + 2) + (-\dfrac{10}{3}) \\[5pt] &= x + 2 -\dfrac{10}{3} \\[5pt] &= x + \dfrac{6 - 10}{3} \\[5pt] &= x - \frac{4}{3}. \end{align*} Die Gleichung der Normale $n$ an $K_f$ im Punkt $P \left( -2 \mid -\frac{10}{3} \right) $ ist tatsächlich $ n: y = x - \frac{4}{3}.$

Aufgabe 3.3

$\blacktriangleright$   Die ersten beiden Ableitungen von $\boldsymbol{g}$ bestimmen
Wenn du die ersten beiden Ableitungen der Funktion $ g(x) = 4,5 \cdot \cos ( \frac{1}{2} \cdot x) - 1,5 $ berechnen sollst, benötgist du die Faktor– und Summenregel sowie die Ableitungsregeln für die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus:
Für konstante Zahlen $ a, b, c \in \mathbb{R} $ und $ h(x) = a \cdot \cos(b \cdot x) + c $ ist die Ableitungsfunktion von $h$
$ h'(x) = a \cdot b \cdot (- \sin(b \cdot x)) $ $ h'(x) = a \cdot b \cdot (- \sin(b \cdot x)) $
und die Ableitungsfunktion von $ k(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + c $ ist
$ k'(x) = a \cdot b \cdot \cos(b \cdot x). $ $ k'(x) = a \cdot b \cdot \cos(b \cdot x). $
Berechne nun $ g'(x) $ und $ g''(x). $ \begin{array}{rcll} g(x) &=& 4,5 \cdot \cos ( \dfrac{1}{2} \cdot x) - 1,5 \\[5pt] &=& \dfrac{9}{2} \cdot \cos ( \dfrac{1}{2} \cdot x) - 1,5 \\[5pt] g'(x) &=& \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot (- \sin ( \dfrac{1}{2} \cdot x)) - 0 \\[5pt] &=& \dfrac{9 \cdot 1}{2 \cdot 2} \cdot (- \sin ( \dfrac{1}{2} \cdot x)) \\[5pt] &=& -\dfrac{9}{4} \sin ( \dfrac{1}{2} \cdot x) \\[5pt] g''(x) &=& -\dfrac{9}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \cos ( \dfrac{1}{2} \cdot x) \\[5pt] &=& -\dfrac{9 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \cos ( \dfrac{1}{2} \cdot x) \\[5pt] &=& -\dfrac{9}{8} \cdot \cos ( \dfrac{1}{2} \cdot x) \end{array}
$\blacktriangleright$   Wertebereich der ersten Ableitungsfunktion von $\boldsymbol{g}$ angeben
Um den Wertebereich der ersten Ableitungsfunktion von $g$ angeben zu können, schaust du dir den Funktionsterm $ g'(x) = -\frac{9}{4} \sin ( \frac{1}{2} \cdot x) $ an und berücksichtigst dabei, dass die Sinusfunktion nur Werte zwischen $\boldsymbol{-1}$ und $\boldsymbol{1}$ annehmen kann. Die Werte $-1$ und $1$ sind eingeschlossen.
Der Wertebereich der ersten Ableitungsfunktion von $g$ ist das abgeschlossene Intervall $ \left[ -\dfrac{9}{4}; \, \dfrac{9}{4} \right]. $

Aufgabe 3.4

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_g}$ im Intervall $\boldsymbol{[43\pi; \, 45\pi]}$ auf Krümmung untersuchen
Wenn du ein Schabuild auf Krümmung untersuchen sollst, heisst das für dich, das Vorzeichen der zweiten Ableitung von $g$ zu bestimmen.
$K_g$ ist rechtsgekrümmt, wenn $ \boldsymbol{g''(x) < 0} $ ist, und linksgekrümmt, wenn $ \boldsymbol{g''(x) > 0} $ gilt.
Bestimme also in ganz $ \mathbb{R} $ die Nullstellen von $ g''(x). $ Weil sie einfache Nullstellen sind, findet dort stets ein Vorzeichenwechsel und somit ein Krümmungswechsel des Schaubildes statt.
Ermittle dann das Vorzeichen im Intervall $ [43\pi; \, 45\pi] $ und mache eine Aussage über die Krümmung des Schaubildes.
\begin{array}{rcll} g''(x) &=& 0 \\[5pt] -\dfrac{9}{8} \cdot \cos ( \dfrac{1}{2} \cdot x) &=& 0 & \scriptsize \mid \; : \, (-\dfrac{9}{8}) \\[5pt] \cos ( \dfrac{1}{2} \cdot x) &=& 0 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot x &=& \dfrac{1}{2} \cdot \pi + k \cdot \pi & \scriptsize \mid \; k \in \mathbb{Z} \\ \dfrac{1}{2} \cdot x &=& \dfrac{1}{2} \cdot \pi + k \cdot \pi & \scriptsize \mid \; \, : \, \dfrac{1}{2} \\[5pt] x &=& \pi + 2k \cdot \pi \end{array} Für $ k_1 = 21 $ und $ k_2 = 22 $ sind $ x_1 = 43 \cdot \pi $ und $ x_2 = 45 \cdot \pi $ Nullstellen von $g''(x)$ Wendestellen des Schaubildes von $K_g.$ Das sind die Intervallgrenzen von $ [43\pi; \, 45\pi], $ so dass $K_g$ die Krümmung innerhalb des Intervalls nicht ändert.
Wegen z. B. $ g''(44\pi) \approx -1,13 < 0 $ ist das Schaubild im Intervall $ ]43\pi; \, 45\pi[] $ rechtsgekrümmt.
$\blacktriangleright$   ein Intervall bestimmen, in welchem beide Schaubilder $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_g}$ rechtsgekrümmt sind
Um ein Intervall zu bestimmen, in welchem beide Schaubilder $K_f$ und $\boldsymbol{K_g}$ rechtsgekrümmt sind, ist es deine Aufgabe nun, das Krümmungsverhalten des Schaubildes $K_f$ in ganz $\mathbb{R}$ mithilfe der zweiten Ableitung zu bestimmen, um Gemeinsamkeiten beider Schaubilder hinsichtlich Krümmung feststellen zu können. \begin{array}{rcll} f(x) &=& -\dfrac{1}{3} \cdot x^3 + 3 \cdot x \\[5pt] f'(x) &=& -x^2 + 3 \\[5pt] f''(x) &=& -2 \cdot x^1 + 0 \\[5pt] &=& -2 \cdot x \end{array} Für $ x < 0 $ gilt $ f''(x) > 0, $ und für $ x < 0 $ gilt $ f''(x) < 0. $ Das Schaubild $K_g$ ist also für $ x < 0 $ rechstgekrümmt.
Z. B. im Intervall $ ]43\pi; \, 45\pi[ $ sind beide Schaubilder $K_f$ und $K_g $ rechtsgekrümmt.

Aufgabe 3.5

$\blacktriangleright$   Differenz der Inhalte der Flächenstücke berechnen, die von $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_g}$ begrenzt werden
Deine Aufgabe ist es, die Flächeninhalte der folgenden markierten Flächen zu berechnen:
Aufgabe 3
[Abb. 5]: Schaubilder der Funktionen $f$ und $g$
Aufgabe 3
[Abb. 5]: Schaubilder der Funktion $f$ und $g$
Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte zwischen zwei Schaubildern
$ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion – untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $ $ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion – untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind und welche Funktion die obere und welche die untere ist.
Weil die Schnittstellen der Schaubilder jeweils die Untergrenze und Obergrenze bestimmen, wird von dir also zunächst verlangt, die Schnittpunkte der Schaubilder zu berechnen. In diesem Fall ist die Verwendung des GTR unbedingt erforderlich, weil du die Methoden für eine schriftliche Berechnung im Unterricht nicht kennengelernt hast.
Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Gib im GRAPH–Menü deines GTR zusätzlich den Funktionsterm Y2: $ 4,5 \cdot \cos(\frac{1}{2}x) - 1,5 $ ein. Rufe das Untermenü für die Berechnung der Schnittstellen mit
CALC $\to$ 5: intersect CALC $\to$ 5: intersect
auf.
Aufgabe 3
[Abb. 6]: 1. Schnittstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 6]: 1. Schnittstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 7]: 2. Schnittstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 7]: 2. Schnittstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 8]: 3. Schnittstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 8]: 3. Schnittstelle der Funktion
Weil die Schnittstellen der Schaubilder jeweils die Untergrenze und Obergrenze bestimmen und näherungsweise vorher berechnet wurden, macht es keinen Sinn eine schriftliche Berechnung über Stammfunktionen durchzuführen. Berechne nun mit dem GTR
$ A_1 = \displaystyle \int_{-2,85}^{0,93} (g(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x $ und $ A_2 = \displaystyle \int_{0,93}^{3,26} (f(x) - g(x)) \, \mathrm{d}x. $
Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Im Graph–Menü hast du bereits bei Y1 den Funktionsterm von $f$ und bei Y2 denjenigen von $g$ eingegeben. Beide Schaubilder werden ausgeblendet, sollen also nicht gezeichnet werden (Select). Durch Eingabe bei Y3: Y2–Y1 wird die Differenz der beiden Funktion $g$ und $f$ ausgedrückt. Zeichne das Schaubild und ermittle den Flächeninhalt zwischen dem Schaubild und der $x$–Achse in den Grenzen $-2,85$ und $0,93.$
Gib die Tastenfolge ein:
CALC $\to 7: \displaystyle \int $ f(x) dx $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $-2,85$ $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $0,93$ $\to$ ENTER CALC $\to 7: \displaystyle \int $ f(x) dx $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $-2,85$ $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $0,93$ $\to$ ENTER
Aufgabe 3
[Abb. 9]: Berechnung des Flächeninhalts $A_1$
Aufgabe 3
[Abb. 9]: Berechnung des Flächeninhalts $A_1$
Ergebnis: $ A_1 = \mathop {\int}\limits_{-2,85}^{0,93} (g(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x \approx 12,72 $
Berechne entsprechend $A_2$ und anschließend die Differenz $ A_1 - A_2.$
Aufgabe 3
[Abb. 10]: Berechnung des Flächeninhalts $A_2$
Aufgabe 3
[Abb. 10]: Berechnung des Flächeninhalts $A_2$
Ergebnis: $ A_2 = \mathop {\int}\limits_{0,93}^{3,26} (f(x) - g(x)) \, \mathrm{d}x \approx 3,84 $
Die Differenz der Inhalte der beiden Flächenstücke ist $ A = A-1 - A_2 \approx 12,72 - 3,84 = 8,88. $

Aufgabe 3.6

$\blacktriangleright$   Begründen, ob die Aussagen wahr bzw. falsch sind
Anhand der Schaubildes der Funktion $h$
Aufgabe 3
[Abb. 11]: Schaubild der Funktion $h$
Aufgabe 3
[Abb. 11]: Schaubild der Funktion $h$
sollst du begründen, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:
a) $h(-1)-h(1)>0$
Du kannst aus dem Schaubild Näherungswerte für $h(-1)$ und $h(1)$ ablesen. Bestimme ihre Differenz und beurteile die Aussage.
Die Aussage ist falsch: Wegen $h(-1) \approx -3,5$ und $h(1)\approx 1,6$ ist $h(-1) - h(1) \approx -3,5 - 1,6 = -5,1 < 0.$
b) Das Schaubild der Ableitungsfunktion besitzt drei Extrempunkte.
Jeder Wendepunkt eines Schaubildes einer Funktion bedingt einen Extrempunkt der Ableitungsfunktion und umgekehrt. Untersuche also den gezeigten Ausschnitt des Schaubildes von $h$ auf Wendepunkte. Beurteile dann die Aussage.
Die Aussage ist wahr: $h$ besitzt die drei Wendestellen $ x_1 \approx -2, \, x_2 \approx 0, \, x_3 \approx 2 $ im gezeigten Ausschnitt des Schaubildes und folglich das Schaubild von $h'$ (mindestens) drei Extrempunkte.
c) $\displaystyle\int_{-2}^{2}\;\mathrm h(x)dx<0$
Das Integral ist eine Flächeninhaltsbilanz, d. h. Flächenstücke unterhalb der x–Achse werden negativ bewertet, Flächenstücke oberhalb der x–Achse werden positiv bewertet. Anschließend wird Bilanz gezogen. Vergleiche also im Bereich von $-2$ bis $2$ die Größe der Flächenstücke zwischen dem Schaubild $h$ und der x–Achse, die unterhalb bzw. oberhalb der x–Achse liegen. Ziehe Bilanz und beurteile die Aussage.
Die Aussage ist wahr: Das Flächenstück von $-2$ bis etwa $0,3$ liegt unterhalb der x–Achse und ist deutlich größer als das Flächenstück von etwa $0,3$ bis $2$ oberhalb der x–Achse.
d) Das Schaubild einer Stammfunktion von $h$ besitzt genau zwei Punkte mit waagrechter Tangente.
Jeder Punkt eines Schaubildes einer Stammfunktion $H$ von $h$ mit waagerechter Tangente bedeutet, dass an dieser Stelle die Steigung $H'(x)=0$ ist. Wegen $ h(x) = H'(x) = 0 $ kannst du anhand der Anzahl der Nullstellen von $h$ die Aussage beurteilen.
Die Aussage ist falsch: $h$ besitzt drei Nullstellen im gezeigten Ausschnitt des Schaubildes und folglich $H$ (mindestens) drei Punkte mit waagerechter Tangente.
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Aufgabe 3.1

$\blacktriangleright$   Koordinaten der Schnittpunkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit der $\boldsymbol{x}$–Achse angeben
Diese Teilaufgabe verlangt von dir, die Schnittpunkte mit der $x$–Achse zu berechnen. In diesem Fall ist die Verwendung des GTR möglich aber nicht unbedingt notwendig, weil du die Methoden für eine schriftliche Berechnung im Unterricht mithilfe des Satzes vom Nullprodukt kennengelernt hast.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Gib im GRAPH–Menü deines GTR von CASIO den Funktionsterm ein: Y1: $ -\frac{1}{3}x^3 + 3x. $ Rufe das Untermenü für die Ausgabe der Nullstellen mit
G–SOLV–ROOT G–SOLV–ROOT
auf.
Aufgabe 3
[Abb. 1]: 1. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 1]: 1. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 2]: 2. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 2]: 2. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 3]: 3. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 3]: 3. Nullstelle der Funktion
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
\begin{array}{rcll} f(x) &=& 0 \\ -\dfrac{1}{3}x^3 + 3x &=& 0 & \mid \; \cdot \, (-3) \\ x^3 - 9x &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Ausklammern} \\[5pt] x \cdot (x^2 - 9) &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] x^2 - 9 &=& 0 & \mid \; \scriptsize + 9 \\[5pt] x^2 &=& 9 & \mid \; \scriptsize \sqrt{\;} \\[5pt] x &=& \pm 3 \end{array}
$ x_1 = -3, \, x_2 = 0 $ und $ x_3 = 3 $ sind die Nullstellen.
Die Koordinaten der Schnittpunkte $K_f$ mit der $x$–Achse sind $ S_1(-3 \mid 0), \, S_2(0 \mid 0) $ und $ S_3(3 \mid 0).$
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ auf Symmetrie untersuchen
Die Aufgabe verlangt von dir, das Schaubild daraufhin zu untersuchen, ob es achsensymmetrisch zur $y$–Achse, punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist oder keine dieser beiden Symmetriearten aufweist. Untersuche die Symmetrie des Schaubildes anhand des GRAPH–Menüs deines GTR. Du kannst folgendermaßen argumentieren:
1. Möglichkeit:
Die in dem Funktionsterm $f(x)$ ausschließlich vorkommenden Exponenten (Hochzahlen) geben Auskunft über die Symmetrieart. Stelle eine Aussage über den Funktionsterm auf: Wenn ausschließlich gerade/ungerade Exponenten auftreten, ist das Schaubild achsensymmetrisch zur $y$–Achse/punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Andernfalls liegt keine dieser Symmetriearten vor.
Der Funktionsterm $f(x)$ enthält ausschließlich ungerade Exponenten (Hochzahlen), so dass $K_f$ punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.
2. Möglichkeit:
$K_f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn
$ f(-x) = f(x) $ $ f(-x) = f(x) $
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ gilt.
$K_f$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn
$ f(-x) = -f(x) $ $ f(-x) = -f(x) $
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ gilt.
Vereinfache nun den Term $ f(-x).$
\[ f(-x) = -\dfrac{1}{3} \cdot (-x)^3 + 3 \cdot (-x) = -\dfrac{1}{3} \cdot (-x^3) - 3 \cdot x = \dfrac{1}{3} \cdot x^3 - 3 \cdot x = - \left( -\dfrac{1}{3} \cdot x^3 + 3 \cdot x \right) = -f(x) \]
Das Schaubild $K_f$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -4 \leq x \leq 4 $ und $ -4 \leq y \leq 4 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
Aufgabe 3
[Abb. 4]: Schaubild der Funktion $f$
Aufgabe 3
[Abb. 4]: Schaubild der Funktion $f$

Aufgabe 3.2

$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass $\boldsymbol{y = x - \frac{4}{3}}$ die Normale von $\boldsymbol{K_f}$ im Punkt $\boldsymbol{P(-2 \mid f(-2))}$ ist
Du kannst die Normale im Punkt $P(-2 \mid f(-2))$ des Schaubildes mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermitteln. Für den Nachweis ist eine schriftliche Berechnung unbedingt notwendig, d.h. der GTR kann nur als Kontrollmittel benutzt werden:
1. Möglichkeit: Kontrolle mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Prüfe bei deinem GTR von CASIO zunächst, ob die Funktion DERIVATE in den Systemeinstellungen aktiviert ist (Schalter auf ON). Die Systemeinstellungen rufst du mit SHIFT–MENU auf.
Aufgabe 3
[Abb. 5]: Automatische Ableitung aktivieren
Aufgabe 3
[Abb. 5]: Automatische Ableitung aktivieren
Im Graph–Menü hast du schon den Funktionsterm von $f$ eingeben. Lass dir das Schaubild und die Normale anzeigen und die Normalengleichung ausgeben. Gib dazu die Tastenfolge
Sketch $\to$ Norm $\to$ Eingabe $-2$ $\to$ EXE $\to$ EXE Sketch $\to$ Norm $\to$ Eingabe $-2$ $\to$ EXE $\to$ EXE
ein.
Aufgabe 3
[Abb. 6]: Berechnung der Normalengleichung
Aufgabe 3
[Abb. 6]: Berechnung der Normalengleichung
Kontrollergebnis: $ n: y = x - \frac{4}{3} $ ist die Gleichung der Normale im Punkt $ P \left(-2 \mid - \frac{4}{3} \right).$
2. Möglichkeit: Nachweis durch schriftliche Rechnung
Du sollst die Gleichung der Normale im Punkt $P(-2 \mid f(-2)) $ des Schaubildes $K_f$ berechnen. Hierfür benötigst du die Formel für die Gleichung der Normale in einem Punkt $(x_0 \mid f(x_0)) $ des Schaubildes einer Funktion $f:$
$ n(x) = - \dfrac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0). $ $ n(x) = - \dfrac{1}{f'(x_0)} \cdot (x - x_0) + f(x_0). $
Es ist aufgrund der Formel notwendig, dass du die Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ berechnen musst. Verwende dazu für eine Potenzfunktion der Form $ g(x) = c \cdot x^r $ mit konstanten Zahlen $ c, r \in \mathbb{R} $ die Faktor– und Potenzregel
$ g'(x) = c \cdot r \cdot x^{r - 1}. $ $ g'(x) = c \cdot r \cdot x^{r - 1}. $
\begin{array}{rcll} f(x) &=& -\dfrac{1}{3} \cdot x^3 + 3 \cdot x \\[5pt] f'(x) &=& -\dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^2 + 3 \cdot 1 \\[5pt] &=& -x^2 + 3 \end{array} In dieser Aufgabe ist $x_0 = -2,$ d. h. du musst noch die Werte $ f(-2)$ und $f'(-2)$ berechnen und sie anschließend in die Formel einsetzen. Löse abschließend die Klammern auf, um die Normalengleichung in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten. \begin{align*} f(-2) &= -\dfrac{1}{3} \cdot (-2)^3 + 3 \cdot (-2) \\[5pt] &= -\dfrac{1}{3} \cdot (-8) - 6 \\[5pt] &= \dfrac{8}{3} - \dfrac{18}{3} \\[5pt] &= \dfrac{8 - 18}{3} \\[5pt] &= -\dfrac{10}{3} \\[5pt] f'(-2) &= -(-2)^2 + 3 \\[5pt] &= -4 + 3 \\[5pt] &= -1 \end{align*} Einsetzen in die Gleichung: \begin{align*} n(x) &= - \dfrac{1}{f'(-2)} \cdot (x - (-2)) + f(-2) \\[5pt] &= - \dfrac{1}{-1} \cdot (x + 2) + (-\dfrac{10}{3}) \\[5pt] &= x + 2 -\dfrac{10}{3} \\[5pt] &= x + \dfrac{6 - 10}{3} \\[5pt] &= x - \frac{4}{3}. \end{align*} Die Gleichung der Normale $n$ an $K_f$ im Punkt $P \left( -2 \mid -\frac{10}{3} \right) $ ist tatsächlich $ n: y = x - \frac{4}{3}.$

Aufgabe 3.3

$\blacktriangleright$   Die ersten beiden Ableitungen von $\boldsymbol{g}$ bestimmen
Wenn du die ersten beiden Ableitungen der Funktion $ g(x) = 4,5 \cdot \cos ( \frac{1}{2} \cdot x) - 1,5 $ berechnen sollst, benötgist du die Faktor– und Summenregel sowie die Ableitungsregeln für die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus:
Für konstante Zahlen $ a, b, c \in \mathbb{R} $ und $ h(x) = a \cdot \cos(b \cdot x) + c $ ist die Ableitungsfunktion von $h$
$ h'(x) = a \cdot b \cdot (- \sin(b \cdot x)) $ $ h'(x) = a \cdot b \cdot (- \sin(b \cdot x)) $
und die Ableitungsfunktion von $ k(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + c $ ist
$ k'(x) = a \cdot b \cdot \cos(b \cdot x). $ $ k'(x) = a \cdot b \cdot \cos(b \cdot x). $
Berechne nun $ g'(x) $ und $ g''(x). $ \begin{array}{rcll} g(x) &=& 4,5 \cdot \cos ( \dfrac{1}{2} \cdot x) - 1,5 \\[5pt] &=& \dfrac{9}{2} \cdot \cos ( \dfrac{1}{2} \cdot x) - 1,5 \\[5pt] g'(x) &=& \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot (- \sin ( \dfrac{1}{2} \cdot x)) - 0 \\[5pt] &=& \dfrac{9 \cdot 1}{2 \cdot 2} \cdot (- \sin ( \dfrac{1}{2} \cdot x)) \\[5pt] &=& -\dfrac{9}{4} \sin ( \dfrac{1}{2} \cdot x) \\[5pt] g''(x) &=& -\dfrac{9}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \cos ( \dfrac{1}{2} \cdot x) \\[5pt] &=& -\dfrac{9 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \cos ( \dfrac{1}{2} \cdot x) \\[5pt] &=& -\dfrac{9}{8} \cdot \cos ( \dfrac{1}{2} \cdot x) \end{array}
$\blacktriangleright$   Wertebereich der ersten Ableitungsfunktion von $\boldsymbol{g}$ angeben
Um den Wertebereich der ersten Ableitungsfunktion von $g$ angeben zu können, schaust du dir den Funktionsterm $ g'(x) = -\frac{9}{4} \sin ( \frac{1}{2} \cdot x) $ an und berücksichtigst dabei, dass die Sinusfunktion nur Werte zwischen $\boldsymbol{-1}$ und $\boldsymbol{1}$ annehmen kann. Die Werte $-1$ und $1$ sind eingeschlossen.
Der Wertebereich der ersten Ableitungsfunktion von $g$ ist das abgeschlossene Intervall $ \left[ -\dfrac{9}{4}; \, \dfrac{9}{4} \right]. $

Aufgabe 3.4

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_g}$ im Intervall $\boldsymbol{[43\pi; \, 45\pi]}$ auf Krümmung untersuchen
Wenn du ein Schabuild auf Krümmung untersuchen sollst, heisst das für dich, das Vorzeichen der zweiten Ableitung von $g$ zu bestimmen.
$K_g$ ist rechtsgekrümmt, wenn $ \boldsymbol{g''(x) < 0} $ ist, und linksgekrümmt, wenn $ \boldsymbol{g''(x) > 0} $ gilt.
Bestimme also in ganz $ \mathbb{R} $ die Nullstellen von $ g''(x). $ Weil sie einfache Nullstellen sind, findet dort stets ein Vorzeichenwechsel und somit ein Krümmungswechsel des Schaubildes statt.
Ermittle dann das Vorzeichen im Intervall $ [43\pi; \, 45\pi] $ und mache eine Aussage über die Krümmung des Schaubildes.
\begin{array}{rcll} g''(x) &=& 0 \\[5pt] -\dfrac{9}{8} \cdot \cos ( \dfrac{1}{2} \cdot x) &=& 0 & \scriptsize \mid \; : \, (-\dfrac{9}{8}) \\[5pt] \cos ( \dfrac{1}{2} \cdot x) &=& 0 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot x &=& \dfrac{1}{2} \cdot \pi + k \cdot \pi & \scriptsize \mid \; k \in \mathbb{Z} \\ \dfrac{1}{2} \cdot x &=& \dfrac{1}{2} \cdot \pi + k \cdot \pi & \scriptsize \mid \; \, : \, \dfrac{1}{2} \\[5pt] x &=& \pi + 2k \cdot \pi \end{array} Für $ k_1 = 21 $ und $ k_2 = 22 $ sind $ x_1 = 43 \cdot \pi $ und $ x_2 = 45 \cdot \pi $ Nullstellen von $g''(x)$ Wendestellen des Schaubildes von $K_g.$ Das sind die Intervallgrenzen von $ [43\pi; \, 45\pi], $ so dass $K_g$ die Krümmung innerhalb des Intervalls nicht ändert.
Wegen z. B. $ g''(44\pi) \approx -1,13 < 0 $ ist das Schaubild im Intervall $ ]43\pi; \, 45\pi[] $ rechtsgekrümmt.
$\blacktriangleright$   ein Intervall bestimmen, in welchem beide Schaubilder $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_g}$ rechtsgekrümmt sind
Um ein Intervall zu bestimmen, in welchem beide Schaubilder $K_f$ und $\boldsymbol{K_g}$ rechtsgekrümmt sind, ist es deine Aufgabe nun, das Krümmungsverhalten des Schaubildes $K_f$ in ganz $\mathbb{R}$ mithilfe der zweiten Ableitung zu bestimmen, um Gemeinsamkeiten beider Schaubilder hinsichtlich Krümmung feststellen zu können. \begin{array}{rcll} f(x) &=& -\dfrac{1}{3} \cdot x^3 + 3 \cdot x \\[5pt] f'(x) &=& -x^2 + 3 \\[5pt] f''(x) &=& -2 \cdot x^1 + 0 \\[5pt] &=& -2 \cdot x \end{array} Für $ x < 0 $ gilt $ f''(x) > 0, $ und für $ x < 0 $ gilt $ f''(x) < 0. $ Das Schaubild $K_g$ ist also für $ x < 0 $ rechstgekrümmt.
Z. B. im Intervall $ ]43\pi; \, 45\pi[ $ sind beide Schaubilder $K_f$ und $K_g $ rechtsgekrümmt.

Aufgabe 3.5

$\blacktriangleright$   Differenz der Inhalte der Flächenstücke berechnen, die von $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_g}$ begrenzt werden
Deine Aufgabe ist es, die Flächeninhalte der folgenden markierten Flächen zu berechnen:
Aufgabe 3
[Abb. 7]: Schaubild der Funktionen $f$ und $g$
Aufgabe 3
[Abb. 7]: Schaubild der Funktion $f$ und $g$
Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte zwischen zwei Schaubildern
$ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion – untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $ $ A = \displaystyle \int_a^b (\text{obere Funktion – untere Funktion}) \, \mathrm{d}x $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind und welche Funktion die obere und welche die untere ist.
Weil die Schnittstellen der Schaubilder jeweils die Untergrenze und Obergrenze bestimmen, wird von dir also zunächst verlangt, die Schnittpunkte der Schaubilder zu berechnen. In diesem Fall ist die Verwendung des GTR unbedingt erforderlich, weil du die Methoden für eine schriftliche Berechnung im Unterricht nicht kennengelernt hast.
Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Gib im GRAPH–Menü deines GTR von CASIO zusätzlich den Funktionsterm Y2: $ 4,5 \cdot \cos(\frac{1}{2}x) - 1,5 $ ein. Rufe das Untermenü für die Berechnung der Schnittstellen mit
G–SOLV–ISCT G–SOLV–ISCT
auf.
Aufgabe 3
[Abb. 8]: 1. Schnittstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 8]: 1. Schnittstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 9]: 2. Schnittstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 9]: 2. Schnittstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 10]: 3. Schnittstelle der Funktion
Aufgabe 3
[Abb. 10]: Schnittstelle der Funktion
Weil die Schnittstellen der Schaubilder jeweils die Untergrenze und Obergrenze bestimmen und näherungsweise vorher berechnet wurden, macht es keinen Sinn eine schriftliche Berechnung über Stammfunktionen durchzuführen. Berechne nun mit dem GTR
$ A_1 = \displaystyle \int_{-2,85}^{0,93} (g(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x $ und $ A_2 = \displaystyle \int_{0,93}^{3,26} (f(x) - g(x)) \, \mathrm{d}x. $
Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Im Graph–Menü hast du bereits bei Y1 den Funktionsterm von $f$ und bei Y2 denjenigen von $g$ eingegeben. Beide Schaubilder werden ausgeblendet, sollen also nicht gezeichnet werden (Select). Durch Eingabe bei Y3: Y2–Y1 wird die Differenz der beiden Funktion $g$ und $f$ ausgedrückt. Zeichne das Schaubild und ermittle den Flächeninhalt zwischen dem Schaubild und der $x$–Achse in den Grenzen $-2,85$ und $0,93.$
Gib die folgende Tastenfolge ein:
G–SOLV $\to$ F6 $\to \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe $-2,85$ $\to$ Eingabe $0,93$ $\to$ EXE G–SOLV $\to$ F6 $\to \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe $-2,85$ $\to$ Eingabe $0,93$ $\to$ EXE
Aufgabe 3
[Abb. 11]: Berechnung des Flächeninhalts $A_1$
Aufgabe 3
[Abb. 11]: Berechnung des Flächeninhalts $A_1$
Ergebnis: $ A_1 = \mathop {\int}\limits_{-2,85}^{0,93} (g(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x \approx 12,72 $
Berechne entsprechend $A_2$ und anschließend die Differenz $ A_1 - A_2.$
Aufgabe 3
[Abb. 12]: Berechnung des Flächeninhalts $A_2$
Aufgabe 3
[Abb. 12]: Berechnung des Flächeninhalts $A_2$
Ergebnis: $ A_2 = \mathop {\int}\limits_{0,93}^{3,26} (f(x) - g(x)) \, \mathrm{d}x \approx 3,84 $
Die Differenz der Inhalte der beiden Flächenstücke ist $ A = A-1 - A_2 \approx 12,72 - 3,84 = 8,88. $

Aufgabe 3.6

$\blacktriangleright$   Begründen, ob die Aussagen wahr bzw. falsch sind
Anhand der Schaubildes der Funktion $h$
Aufgabe 3
[Abb. 13]: Schaubild der Funktion $h$
Aufgabe 3
[Abb. 7]: Schaubild der Funktion $h$
sollst du begründen, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:
a) $h(-1)-h(1)>0$
Du kannst aus dem Schaubild Näherungswerte für $h(-1)$ und $h(1)$ ablesen. Bestimme ihre Differenz und beurteile die Aussage.
Die Aussage ist falsch: Wegen $h(-1) \approx -3,5$ und $h(1)\approx 1,6$ ist $h(-1) - h(1) \approx -3,5 - 1,6 = -5,1 < 0.$
b) Das Schaubild der Ableitungsfunktion besitzt drei Extrempunkte.
Jeder Wendepunkt eines Schaubildes einer Funktion bedingt einen Extrempunkt der Ableitungsfunktion und umgekehrt. Untersuche also den gezeigten Ausschnitt des Schaubildes von $h$ auf Wendepunkte. Beurteile dann die Aussage.
Die Aussage ist wahr: $h$ besitzt die drei Wendestellen $ x_1 \approx -2, \, x_2 \approx 0, \, x_3 \approx 2 $ im gezeigten Ausschnitt des Schaubildes und folglich das Schaubild von $h'$ (mindestens) drei Extrempunkte.
c) $\displaystyle\int_{-2}^{2}\;\mathrm h(x)dx<0$
Das Integral ist eine Flächeninhaltsbilanz, d. h. Flächenstücke unterhalb der x–Achse werden negativ bewertet, Flächenstücke oberhalb der x–Achse werden positiv bewertet. Anschließend wird Bilanz gezogen. Vergleiche also im Bereich von $-2$ bis $2$ die Größe der Flächenstücke zwischen dem Schaubild $h$ und der x–Achse, die unterhalb bzw. oberhalb der x–Achse liegen. Ziehe Bilanz und beurteile die Aussage.
Die Aussage ist wahr: Das Flächenstück von $-2$ bis etwa $0,3$ liegt unterhalb der x–Achse und ist deutlich größer als das Flächenstück von etwa $0,3$ bis $2$ oberhalb der x–Achse.
d) Das Schaubild einer Stammfunktion von $h$ besitzt genau zwei Punkte mit waagrechter Tangente.
Jeder Punkt eines Schaubildes einer Stammfunktion $H$ von $h$ mit waagerechter Tangente bedeutet, dass an dieser Stelle die Steigung $H'(x)=0$ ist. Wegen $ h(x) = H'(x) = 0 $ kannst du anhand der Anzahl der Nullstellen von $h$ die Aussage beurteilen.
Die Aussage ist falsch: $h$ besitzt drei Nullstellen im gezeigten Ausschnitt des Schaubildes und folglich $H$ (mindestens) drei Punkte mit waagerechter Tangente.
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