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Aufgabe 4

Aufgaben
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Aufgabe 4

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit $A(2\mid2\mid5)$, $B(7 \mid 2 \mid 5)$ und $C(7\mid 6 \mid5)$.
4.1
Zeige, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist und berechnen Sie seine weiteren Innenwinkel.
Ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.
(8P)
4.2
Das Dreieck soll durch den Punkt $D$ zu einem Rechteck ergänzt werden.
Bestimme die Koordinaten des Punktes $D$.
Zeichne das Rechteck in ein räumliches Koordinatensystem ($x_2$- und $x_3$-Achse: $1$ LE=$1$cm; $x_1$-Achse: mit dem Schrägwinkel $45°$ und $1$ LE=$\frac{1}{2}\sqrt{2}$ cm).
(5P)
4.3
Erläutere, welche besondere Lage das Rechteck $ABCD$ hat.
(2P)
4.4
Das Rechteck $ABCD$ ist die Grundfläche einer senkrechten Pyramide mit der Spitze $S(4,5\mid4\mid-1)$.
Bestimme die Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes des Rechtecks.
Berechne den Inhalt der Mantelfläche der Pyramide.
(7P)
Gegeben ist die Gerade $h:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}+ r \cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\-2\end{pmatrix}$, $r \in \mathbb{R}$.
4.5
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $h$ mit der $x_2$-$x_3$-Ebene.
(2P)
4.6
Bestimme eine Gleichung der Geraden $g$, die durch die Punkte $A$ und $C$ verläuft.
Weise nach, dass sich die Gerade $g$ und die Gerade $h$ nicht schneiden.
(6P)
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Aufgabe 4 entfällt ab 2018.

Aufgabe 4.1

$\blacktriangleright$   Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ rechtwinklig ist
Um nachzuweisen, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist, kannst du einen der drei möglichen Lösungswege einschlagen:
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Skalarprodukt
Ein rechter Winkel liegt vor, wenn zwei der Vektoren $ \overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{BC} $ und $ \overrightarrow{AC} $ aufeinander senkrecht stehen, d. h. das Skalarprodukt zweier Vektoren muss Null ergeben. Du berechnest ein Skalarprodukt $ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} $ mit der Formel
$ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $ $ \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Satz des Pythagoras
Bestimme alle Seitenlängen des Dreiecks mithilfe der Länge der Vektoren und der Formel
$ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}. $
Wenn $ a, \, b $ und $c$ die Seitenlängen des Dreiecks sind, $c$ die längste Seite ist und die Gleichung
$ c^2 = a^2 + b^2 $ $ c^2 = a^2 + b^2 $
erfüllt ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg C: Bestimmen aller Winkel
Diese Berechnung ist am aufwendigsten. Außerdem würdest du der zweiten Teilaufgabe vorweggreifen.
In jedem Fall benötigst du die drei Vektoren $ \overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{BC} $ und $ \overrightarrow{AC}.$ Den Vektor $ \overrightarrow{AB} $ berechnest du nach der ,,Spitze-Minus-Fußregel":
$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $ $ \overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ = $\begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix}$ =$ \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $
Entscheide dich für einen der Lösungswege A oder B.
$\blacktriangleright$   Weitere Innenwinkel des Dreiecks berechnen
Wegen $ \gamma = 90^{\circ} $ kannst du z. B. $ \alpha $ mithilfe der Formel
$ \cos \alpha = \dfrac{\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}}{\mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AC} \mid}. $ $ \cos \alpha $ =$ \dfrac{\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}}{\mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AC} \mid}. $
berechnen. Der dritte Winkel ergibt sich dann aus dem Winkelsummensatz: Er besagt, dass die Summe aller Winkel in einem Dreieck $ 180^{\circ} $ beträgt.
Denke vor der Berechnung des Winkels daran, dass du deinen GTR auf das Winkelmaß Degree umgestellt hast.
Im GTR von CASIO rufst du die Einstellungen mit SHIFT–Menü und änderst gegebenenfalls die Einstellung Angle durch Drücken der Taste Deg.
[Abb. 1]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
[Abb. 1]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Im GTR von TI rufst du die Einstellungen mit MODE und änderst gegebenenfalls die Einstellung auf Degree.
[Abb. 1]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
'U [Abb. 1]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Anschließend berechnest du den Winkel im Berechnungsmenü mit deinem GTR (CASIO oder TI) mit
$ \alpha = \cos^{-1} (0,7808688094) $ $ \alpha $ =$ \cos^{-1} (0,7808688094) $
und Betätigung der Ausführungstaste.
$\blacktriangleright$   Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ berechnen
Es gibt verschiedene Formeln für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks. Eine dieser Formeln verwendet jene zwei Seitenlängen $a$ und $b$ des Dreiecks, die den rechten Winkel einschließen, weil der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks die Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ ist:
$ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b. $ $ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \sphericalangle(a,b). $
Wende diese Formel auf die schon berechneten Größen an.

Aufgabe 4.2

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Punktes $D$ des Rechtecks $\boldsymbol{ABCD}$ berechnen
Du sollst den vierten Eckpunkt des Rechtecks $ D $ bestimmen. Beachte dabei, dass die mathematische Orientierung positiv ist, also die Eckpunkte von $A$ über $B$ und $C$ nach $D$ entgegen Uhrzeigersinn erfolgen muss.
Zeichne zunächst eine Skizze und trage die Vektoren $ \overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{BC}, \, \overrightarrow{DC} $ und $ \overrightarrow{AD} $ ein.
[Abb. 2]: Skizze eines Rechtecks
[Abb. 2]: Skizze eines Rechtecks
Die Pfeile sind paarweise nicht nur gleich lang, sondern zwei Paare von Vektoren sind zueinander parallel und gleich orientiert: Es muss folglich $ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} $ bzw. $ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} $ gelten. Nutze eine dieser Bedingungen durch Berechnung der Vektoren, um die Koordinaten von $D$ zu bestimmen.
$\blacktriangleright$   Rechteck $\boldsymbol{ABCD}$ im Koodinatensystem zeichnen
[Abb. 3]: Rechteck $ABCD$ im Koordinatensystem
[Abb. 3]: Rechteck $ABCD$ im Koordinatensystem

Aufgabe 4.3

$\blacktriangleright$   Lage des Rechtecks $\boldsymbol{ABCD}$ im Koodinatensystem erläutern
Vergleiche die jeweiligen $x_1$ bzw. $x_2$ bzw. $x_3$–Koordinaten der vier Punkte untereinander. Die Gemeinsamkeit, die du feststellen kannst, lässt auf die Lage des Rechtecks im Raum schließen. Auch ein Blick auf die Zeichnung hilft dir dabei.

Aufgabe 4.4

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes des Rechtecks $\boldsymbol{ABCD}$ bestimmen
Deine nächste Aufgabe besteht darin, die Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes $M$ des Rechtecks $ABCD$ zu berechnen. Hierfür benötigst du die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke mit den Endpunkten $ A(a_1 \mid a_2 \mid a_3) $ und $ B(b_1 \mid b_2 \mid b_3) $
$ M(m_1 \mid m_2 \mid m_3) = \left( \dfrac{a_1 + b_1}{2} \mid \dfrac{a_2 + b_2}{2} \mid \dfrac{a_3 + b_3}{2} \right) $ $ M(m_1 \mid m_2 \mid m_3) $= $\left( \dfrac{a_1 + b_1}{2} \mid \dfrac{a_2 + b_2}{2} \mid \dfrac{a_3 + b_3}{2} \right) $
oder in Vektorschreibweise
$ \overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right). $ $ \overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right). $
Wende diese Formel auf die Eckpunkte $A$ und $C$ oder auf $B$ und $D$ an.
$\blacktriangleright$   Inhalt der Mantelfläche der Pyramide $\boldsymbol{ABCDS}$ berechnen
Wenn du den Inhalt der Mantelfläche der Pyramide $ABCDS$ berechnen sollst, ist der Ausgangspunkt für deine Überlegungen die Information, dass das Rechteck $ABCD$ die Grundfläche einer senkrechten Pyramide mit der Spitze $ S(4,5 \mid 4 \mid -1) $ ist. $M$ liegt also senkrecht unterhalb der Pyramidenspitze.
Der Mantel besteht folglich aus den vier Dreiecken $ABS, \, BCS, \, CDS $ und $ADS.$ Die Dreiecke $ABS $ und $CDS$ sind flächeninhaltsgleich, weil sie dieselbe Grundseitenlänge und dieselbe Höhenlänge besitzen. Dasselbe gilt für die Dreiecke $BCS $ und $ADS$. Du brauchst deshalb nur den Flächeninhalt von den Dreiecken $ABS $ und $BCS$ zu berechnen.
Am einfachsten berechnest du den jeweiligen Flächeninhalt eines Dreiecks mithilfe der Länge der Grundseite und der Länge der Höhe auf die Grundseite. Da du die Länge der Grundseiten aufgrund von Teilaufgabe 4.1 kennst, musst du nur noch die Länge der Höhe berechnen.
Die Höhe auf die Grundseite halbiert diese Seite. Berechne folglich den Mittelpunkt der Grundseite und anschließend die Streckenlänge von Mittelpunkt der Grundseite und Spitze der Pyramide.
Der Inhalt der Mantelfläche der Pyramide ergibt sich schließlich als Summe der einzelnen Inhalte der Seitendreiecke.

Aufgabe 4.5

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $\boldsymbol{h}$ mit der $\boldsymbol{x_2x_3}$–Ebene berechnen
Ein Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene ist der gemeinsame Punkt der Geraden mit ihr. Du sollst den Schnittpunkt von $h$ mit der $x_2x_3$–Koordinatenebene berechnen.
Die Bedingung, dass $h$ einen Punkt mit der $x_2x_3$–Ebene gemeinsam hat, ist $ x_1 = 0. $ Du kannst daraus den Skalar $ r $ und mit seiner Hilfe durch Einsetzen in die Geradengleichung den Schnittpunkt berechnen.

Aufgabe 4.6

$\blacktriangleright$   Gleichung der Geraden $\boldsymbol{g}$ bestimmen, die durch die Punkte $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{C}$ verläuft
Zwei Punkte im Raum legen eine Gerade fest. Ihre Gleichung erhälst du, indem du dich für einen Stützvektor entscheidest und dann den zugehörgen Richtungsvektor berechnest. Als Stützvektor kannst du z. B. $ \overrightarrow{OA} $ und als Richtungsvektor $ \overrightarrow{AC} $ wählen. Beide Vektoren kennst du schon aus Teilaufgabe 4.4.
Eine Gleichung der Geraden $g$ ist dann $ g: \overrightarrow{x} $= $\overrightarrow{OA} + r \cdot \overrightarrow{AC}, \; r \in \mathbb{R}. $
$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass sich die Geraden $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ nicht schneiden
Um nachzuweisen, dass beide Geraden keinen Schnittpunkt gemeisam haben, setzt du die Gleichungen der Geraden gleich. Dann erhältst du ein System von drei Gleichungen, aus denen du einen Skalar bestimmen kannst. Setze ihn in die beiden anderen Gleichung ein, und du erhältst einen Widerspruch für den Wert des zweiten Skalars.
Dieser Widerspruch sagt dir, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt und somit $g$ und $h$ keinen gemeinsamen Punkt haben bzw. sich nicht schneiden.
Beachte beim Gleichsetzen, dass die Skalare in den Gleichung unterschiedlich bezeichnet sind.
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Aufgabe 4 entfällt ab 2018.

Aufgabe 4.1

$\blacktriangleright$   Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ rechtwinklig ist
Um nachzuweisen, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist, kannst du einen der drei möglichen Lösungswege einschlagen:
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Skalarprodukt
Ein rechter Winkel liegt vor, wenn zwei der Vektoren $ \overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{BC} $ und $ \overrightarrow{AC} $ aufeinander senkrecht stehen, d. h. das Skalarprodukt zweier Vektoren muss Null ergeben. Du berechnest ein Skalarprodukt $ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} $ mit der Formel
$ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $ $ \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Satz des Pythagoras
Bestimme alle Seitenlängen des Dreiecks mithilfe der Länge der Vektoren und der Formel
$ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}. $ $ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}. $
Wenn $ a, \, b $ und $c$ die Seitenlängen des Dreiecks sind, $c$ die längste Seite ist und die Gleichung
$ c^2 = a^2 + b^2 $ $ c^2 = a^2 + b^2 $
erfüllt ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg C: Bestimmen aller Winkel
Diese Berechnung ist am aufwendigsten. Außerdem würdest du der zweiten Teilaufgabe vorweggreifen.
In jedem Fall benötigst du die drei Vektoren $ \overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{BC} $ und $ \overrightarrow{AC}.$ Den Vektor $ \overrightarrow{AB} $ berechnest du nach der ,,Spitze-Minus-Fußregel":
$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $ $ \overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ = $\begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix}$ =$ \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $
Entscheide dich für einen der Lösungswege A oder B.
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} &=& \begin{pmatrix} 7 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 2 \cr 2 - 2 \cr 5 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{BC} &=& \begin{pmatrix} 7 \cr 6 \cr 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 7 \cr 6 - 2 \cr 5 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 0 \end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{AC} &=& \begin{pmatrix} 7 \cr 6 \cr 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 2 \cr 6 - 2 \cr 5 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cr 4 \cr 0 \end{pmatrix} \\[5pt] \mid \overrightarrow{AB} \mid &=& \sqrt{5^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 0 + 0} = \sqrt{25} = 5 \\[5pt] \mid \overrightarrow{BC} \mid &=& \sqrt{0^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{0 + 16 + 0} = \sqrt{16} = 4 \\[5pt] \mid \overrightarrow{AC} \mid &=& \sqrt{5^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 16 + 0} = \sqrt{41} \end{array} Wegen $ \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC} = 5 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0 $ ist das Dreieck $ABC$ bei $B$ rechtwinklig.
Die Gleichung des Satzes von Pythagoras ist erfüllt, denn es gilt \[ \mid \, \overrightarrow{AC} \mid^2 = \left( \sqrt{41} \right)^2 = 41 = 25 + 16 = 5^2 + 4^2 = \mid \overrightarrow{AB} \mid^2 + \mid \overrightarrow{BC} \mid^2. \]
$\blacktriangleright$   Weitere Innenwinkel des Dreiecks berechnen
Wegen $ \beta = 90^{\circ} $ kannst du z. B. $ \alpha $ mithilfe der Formel
$ \cos \alpha = \dfrac{\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}}{\mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AC} \mid}. $ $ \cos \alpha $ =$ \dfrac{\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}}{\mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AC} \mid}. $
berechnen. Der dritte Winkel ergibt sich dann aus dem Winkelsummensatz: Er besagt, dass die Summe aller Winkel in einem Dreieck $ 180^{\circ} $ beträgt.
\begin{array}{rcl} \cos \alpha &=& \dfrac{\begin{pmatrix} 5 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 \cr 4 \cr 0 \end{pmatrix}}{5 \cdot \sqrt{41}} \\[5pt] &=& \dfrac{5 \cdot 5 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 0}{5 \cdot \sqrt{41}} \\[5pt] &=& \dfrac{25 + 0 + 0}{5 \cdot \sqrt{41}} \\[5pt] &=& \dfrac{5}{\sqrt{41}} \\[5pt] &\approx& 0,7808688094 \end{array}
\begin{array}{rcl}\cos \alpha &\approx& 0,7808688094 \end{array}
Denke vor der Berechnung des Winkels daran, dass du deinen GTR auf das Winkelmaß Degree umgestellt hast.
Im GTR von TI rufst du die Einstellungen mit MODE auf und änderst gegebenenfalls die Einstellung auf Degree.
[Abb. 1]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
[Abb. 1]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Anschließend berechnest du den Winkel im Berechnungsmenü mit deinem GTR (CASIO oder TI) mit
$ \alpha = \cos^{-1} (0,7808688094) $ $ \alpha $ =$ \cos^{-1} (0,7808688094) $
und Betätigung der Ausführungstaste.
Der Winkel $\alpha$ beträgt $ \alpha \approx \cos^{-1} (0,7808688094) \approx 38,66^\circ.$ Aus dem Winkelsummensatz erhälst du $ \gamma = 180^{\circ} - \alpha - \beta = 180^{\circ} - 38,66^\circ - 90^{\circ} = 51,34^{\circ}. $
$\blacktriangleright$   Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ berechnen
Es gibt verschiedene Formeln für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks. Eine dieser Formeln verwendet jene zwei Seitenlängen $a$ und $b$ des Dreiecks, die den rechten Winkel einschließen, weil der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks die Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ ist:
$ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b. $ $ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \sphericalangle(a,b). $
Wende diese Formel auf die schon berechneten Größen an. \begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot \mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{BC} \mid \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 20 \\[5pt] &=& 10 \end{array} Der Flächeninhalt des Dreieck $ABC$ beträgt $ 10 \; \text{FE}.$

Aufgabe 4.2

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Punktes $D$ des Rechtecks $\boldsymbol{ABCD}$ berechnen
Du sollst den vierten Eckpunkt des Rechtecks $ D $ bestimmen. Beachte dabei, dass die mathematische Orientierung positiv ist, also die Eckpunkte von $A$ über $B$ und $C$ nach $D$ entgegen Uhrzeigersinn erfolgen muss.
Zeichne zunächst eine Skizze und trage die Vektoren $ \overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{BC}, \, \overrightarrow{DC} $ und $ \overrightarrow{AD} $ ein.
[Abb. 2]: Skizze eines Rechtecks
[Abb. 2]: Skizze eines Rechtecks
Die Pfeile sind paarweise nicht nur gleich lang, sondern zwei Paare von Vektoren sind zueinander parallel und gleich orientiert: Es muss folglich $ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} $ bzw. $ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} $ gelten. Nutze eine dieser Bedingungen durch Berechnung der Vektoren, um die Koordinaten von $D$ zu bestimmen.
Z. B. ergibt sich aus der zweiten Gleichung
\begin{array}{rcll} \overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{BC} \\[5pt] \overrightarrow{0D} - \overrightarrow{0A} &= \overrightarrow{BC} \\[5pt] \begin{pmatrix} d_1 \cr d_2 \cr d_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 0 \end{pmatrix} & \scriptsize \mid \; + \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix} d_1 \cr d_2 \cr d_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} d_1 \cr d_2 \cr d_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 0 + 2 \cr 4 + 2 \cr 0 + 5 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} d_1 \cr d_2 \cr d_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 2 \cr 6 \cr 5 \end{pmatrix} \end{array}
\begin{array}{rcll}\overrightarrow{PT} &= \overrightarrow{QR} \\[5pt]\end{array}
Der vierte Eckpunkt des Rechtecks $ ABCD $ besitzt die Koordinaten $ D(2 \mid 6 \mid 5). $
$\blacktriangleright$   Rechteck $\boldsymbol{ABCD}$ im Koodinatensystem zeichnen
[Abb. 3]: Rechteck $ABCD$ im Koordinatensystem
[Abb. 3]: Rechteck $ABCD$ im Koordinatensystem

Aufgabe 4.3

$\blacktriangleright$   Lage des Rechtecks $\boldsymbol{ABCD}$ im Koodinatensystem erläutern
Vergleiche die jeweiligen $x_1$ bzw. $x_2$ bzw. $x_3$–Koordinaten der vier Punkte untereinander. Die Gemeinsamkeit, die du feststellen kannst, lässt auf die Lage des Rechtecks im Raum schließen. Auch ein Blick auf die Zeichnung hilft dir dabei.
Für alle Punkte ist die dritte Koordinate $ x_3 = 5. $
Das Rechteck $ABCD$ liegt parallel zur $x_1x_2$–Ebene um $5$ Einheiten nach oben (in positive $x_3$–Richtung) verschoben.

Aufgabe 4.4

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes des Rechtecks $\boldsymbol{ABCD}$ bestimmen
Deine nächste Aufgabe besteht darin, die Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes $M$ des Rechtecks $ABCD$ zu berechnen. Hierfür benötigst du die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke mit den Endpunkten $ A(a_1 \mid a_2 \mid a_3) $ und $ B(b_1 \mid b_2 \mid b_3) $
$ M(m_1 \mid m_2 \mid m_3) = \left( \dfrac{a_1 + b_1}{2} \mid \dfrac{a_2 + b_2}{2} \mid \dfrac{a_3 + b_3}{2} \right) $ $ M(m_1 \mid m_2 \mid m_3) $= $\left( \dfrac{a_1 + b_1}{2} \mid \dfrac{a_2 + b_2}{2} \mid \dfrac{a_3 + b_3}{2} \right) $
oder in Vektorschreibweise
$ \overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right). $ $ \overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right). $
Wende diese Formel auf die Eckpunkte $A$ und $C$ oder auf $B$ und $D$ an. \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OM} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \cr 6 \cr 5 \end{pmatrix} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 + 7 \cr 2 + 6 \cr 5 + 5 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 9 \cr 8 \cr 10 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cr \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cr \dfrac{1}{2} \cdot 10 \end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix} \dfrac{9}{2} \cr 4 \cr 5 \end{pmatrix} \end{array} Der Mittelpunkt des Rechtecks $ABCD$ besitzt die Koordinaten $ M \left( \frac{9}{2} \mid 4 \mid 5 \right) $ bzw. $ M(4,5 \mid 4 \mid 5). $
$\blacktriangleright$   Inhalt der Mantelfläche der Pyramide $\boldsymbol{ABCDS}$ berechnen
Wenn du den Inhalt der Mantelfläche der Pyramide $ABCDS$ berechnen sollst, ist der Ausgangspunkt für deine Überlegungen die Information, dass das Rechteck $ABCD$ die Grundfläche einer senkrechten Pyramide mit der Spitze $ S(4,5 \mid 4 \mid -1) $ ist. $M$ liegt also senkrecht unterhalb der Pyramidenspitze.
Der Mantel besteht folglich aus den vier Dreiecken $ABS, \, BCS, \, CDS $ und $ADS.$ Die Dreiecke $ABS $ und $CDS$ sind flächeninhaltsgleich, weil sie dieselbe Grundseitenlänge und dieselbe Höhenlänge besitzen. Dasselbe gilt für die Dreiecke $BCS $ und $ADS$. Du brauchst deshalb nur den Flächeninhalt von den Dreiecken $ABS $ und $BCS$ zu berechnen.
Am einfachsten berechnest du den jeweiligen Flächeninhalt eines Dreiecks mithilfe der Länge der Grundseite und der Länge der Höhe auf die Grundseite. Da du die Länge der Grundseiten aufgrund von Teilaufgabe 4.1 kennst, musst du nur noch die Länge der Höhe berechnen.
Die Höhe auf die Grundseite halbiert diese Seite. Berechne folglich den Mittelpunkt der Grundseite und anschließend die Streckenlänge von Mittelpunkt der Grundseite und Spitze der Pyramide.
Der Inhalt der Mantelfläche der Pyramide ergibt sich schließlich als Summe der einzelnen Inhalte der Seitendreiecke.
1. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ABS}$ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OM_{AB}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 + 7 \cr 2 + 2 \cr 5 + 5 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 9 \cr 4 \cr 10 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cr \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cr \dfrac{1}{2} \cdot 10 \end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 4,5 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} \end{array} Der Mittelpunkt der Strecke $AB$ besitzt die Koordinaten $ M_{AB} (4,5 \mid 2 \mid 5). $
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{M_{AB}S} &=& \begin{pmatrix} 4,5 \cr 4 \cr -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4,5 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4,5 - 4,5 \cr 4 - 2 \cr -1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cr 2 \cr -6 \end{pmatrix} \\[5pt] \mid \overrightarrow{M_{AB}S} \mid &=& \sqrt{0^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 4 + 36} \\[5pt] &=& \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2 \cdot \sqrt{10} \end{array} Die Länge der Strecke $M_{AB}S$ ist $ 2 \cdot \sqrt{10} $ LE.
\[ A_{ABS} = \dfrac{1}{2} \cdot \mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{M_{AB}S} \mid = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 \cdot \sqrt{10} = 5 \cdot \sqrt{10} \] Die Flächeninhalte der Dreiecke $ABS$ und $CDS$ betragen jeweils $ 5 \cdot \sqrt{10} $ FE.
2. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{BCS}$ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OM_{BC}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 7 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \cr 6 \cr 5 \end{pmatrix} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 7 + 7 \cr 2 + 6 \cr 5 + 5 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 14 \cr 8 \cr 10 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cr \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cr \dfrac{1}{2} \cdot 10 \end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 7 \cr 4 \cr 5 \end{pmatrix} \end{array} Der Mittelpunkt der Strecke $BC$ besitzt die Koordinaten $ M_{BC} (7 \mid 4 \mid 5). $
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{M_{BC}S} &=& \begin{pmatrix} 4,5 \cr 4 \cr -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \cr 4 \cr 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4,5 - 7 \cr 4 - 4 \cr -1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2,5 \cr 0 \cr -6 \end{pmatrix} \\[5pt] \mid \overrightarrow{M_{BC}S} \mid &=& \sqrt{(-2,5)^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{6,25 + 0 + 36} \\[5pt] &=& \sqrt{42,25} = 6,5 \end{array} Die Länge der Strecke $M_{BC}S$ ist $ 6,5 $ LE.
\[ A_{BCS} = \dfrac{1}{2} \cdot \mid \overrightarrow{BC} \mid \cdot \mid \overrightarrow{M_{BC}S} \mid = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6,5 = 4 \cdot 6,5 = 13 \] Die Flächeninhalte der Dreiecke $BCS$ und $ACS$ betragen jeweils $ 13 $ FE.
3. Schritt: Inhalt der Mantelfläche
\[ A = A_{ABS}+ A_{BCS} + A_{CDS} + A_{ADS} = 5 \cdot \sqrt{10} + 13 + 5 \cdot \sqrt{10} + 13 = 26 + 10 \cdot \sqrt{10} \approx 57,62 \] Der Inhalt der Mantelfläche beträgt $ 26 + 10 \cdot \sqrt{10} \approx 57,62 $ FE.

Aufgabe 4.5

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $\boldsymbol{h}$ mit der $\boldsymbol{x_2x_3}$–Ebene berechnen
Ein Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene ist der gemeinsame Punkt der Geraden mit ihr. Du sollst den Schnittpunkt von $h$ mit der $x_2x_3$–Koordinatenebene berechnen.
Die Bedingung, dass $h$ einen Punkt mit der $x_2x_3$–Ebene gemeinsam hat, ist $ x_1 = 0. $ Du kannst daraus den Skalar $ r $ und mit seiner Hilfe durch Einsetzen in die Geradengleichung den Schnittpunkt berechnen.
Die erste Zeile der Geradengleichung führt auf die Gleichung $ 0 = -1 + r \cdot (-2) $ bzw. $ r = -0,5. $ Der Schnittpunktpunkt $ S_{23} $ hat somit die Koordinaten $ (0 \mid 3 + (-0,5) \cdot (-2) \mid 1 + (-0,5) \cdot (-2) $ bzw. $ S_{23}(0 \mid 4 \mid 2). $
Die Koordinaten des Schnittpunktes von $h$ mit der $x_2x_3–$Ebene ist $ S_{23}(0 \mid 4 \mid 2). $

Aufgabe 4.6

$\blacktriangleright$   Gleichung der Geraden $\boldsymbol{g}$ bestimmen, die durch die Punkte $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{C}$ verläuft
Zwei Punkte im Raum legen eine Gerade fest. Ihre Gleichung erhälst du, indem du dich für einen Stützvektor entscheidest und dann den zugehörgen Richtungsvektor berechnest. Als Stützvektor kannst du z. B. $ \overrightarrow{OA} $ und als Richtungsvektor $ \overrightarrow{AC} $ wählen. Beide Vektoren kennst du schon aus Teilaufgabe 4.4.
Eine Gleichung der Geraden $g$ ist dann $ g: \overrightarrow{x} $= $\overrightarrow{OA} + r \cdot \overrightarrow{AC}, \; r \in \mathbb{R}. $
Eine Gleichung der Geraden $g$ durch die Punkte $A$ und $C$ ist $ g: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \cr 4 \cr 0 \end{pmatrix}, \; r \in \mathbb{R}.$
$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass sich die Geraden $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ nicht schneiden
Um nachzuweisen, dass beide Geraden keinen Schnittpunkt gemeisam haben, setzt du die Gleichungen der Geraden gleich. Dann erhältst du ein System von drei Gleichungen, aus denen du einen Skalar bestimmen kannst. Setze ihn in die beiden anderen Gleichung ein, und du erhältst einen Widerspruch für den Wert des zweiten Skalars.
Dieser Widerspruch sagt dir, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt und somit $g$ und $h$ keinen gemeinsamen Punkt haben bzw. sich nicht schneiden.
Beachte beim Gleichsetzen, dass die Skalare in den Gleichung unterschiedlich bezeichnet sind.
\begin{array}{rcl} g &=& h \\[5pt] \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \cr 0 \cr 2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \cr -2 \cr -2 \end{pmatrix} \\[5pt] 2 + r \cdot 5 &=& -1 + s \cdot (-2) \\ 2 + r \cdot 4 &=& 3 + s \cdot (-2) \\ 5 &=& 1 - 2s \\ 4 &=& - 2s \\ -2 &=& s \\[5pt] 2 + 5r &=& -1 + (-2) \cdot (-2) \\ 5r &=& -3 + 4 \\ 5r &=& -1 \\ r &=& -0,2 \\[5pt] 2 + r \cdot 4 &=& 3 + (-2) \cdot (-2) \\ 4r &=& 1 + 4 \\ 4r &=& 5 \\ r &=& 1,25 \end{array} Es ergeben sich unterschiedliche Werte für den Skalar $r.$ Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung, und $g$ und $h$ schneiden sich nicht.
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Aufgabe 4 entfällt ab 2018.

Aufgabe 4.1

$\blacktriangleright$   Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ rechtwinklig ist
Um nachzuweisen, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist, kannst du einen der drei möglichen Lösungswege einschlagen:
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Skalarprodukt
Ein rechter Winkel liegt vor, wenn zwei der Vektoren $ \overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{BC} $ und $ \overrightarrow{AC} $ aufeinander senkrecht stehen, d. h. das Skalarprodukt zweier Vektoren muss Null ergeben. Du berechnest ein Skalarprodukt $ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} $ mit der Formel
$ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $ $ \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Satz des Pythagoras
Bestimme alle Seitenlängen des Dreiecks mithilfe der Länge der Vektoren und der Formel
$ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}. $ $ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}. $
Wenn $ a, \, b $ und $c$ die Seitenlängen des Dreiecks sind, $c$ die längste Seite ist und die Gleichung
$ c^2 = a^2 + b^2 $ $ c^2 = a^2 + b^2 $
erfüllt ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg C: Bestimmen aller Winkel
Diese Berechnung ist am aufwendigsten. Außerdem würdest du der zweiten Teilaufgabe vorweggreifen.
In jedem Fall benötigst du die drei Vektoren $ \overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{BC} $ und $ \overrightarrow{AC}.$ Den Vektor $ \overrightarrow{AB} $ berechnest du nach der ,,Spitze-Minus-Fußregel":
$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $ $ \overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ = $\begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix}$ =$ \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $
Entscheide dich für einen der Lösungswege A oder B.
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} &=& \begin{pmatrix} 7 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 2 \cr 2 - 2 \cr 5 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{BC} &=& \begin{pmatrix} 7 \cr 6 \cr 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 7 \cr 6 - 2 \cr 5 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 0 \end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{AC} &=& \begin{pmatrix} 7 \cr 6 \cr 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 2 \cr 6 - 2 \cr 5 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cr 4 \cr 0 \end{pmatrix} \\[5pt] \mid \overrightarrow{AB} \mid &=& \sqrt{5^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 0 + 0} = \sqrt{25} = 5 \\[5pt] \mid \overrightarrow{BC} \mid &=& \sqrt{0^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{0 + 16 + 0} = \sqrt{16} = 4 \\[5pt] \mid \overrightarrow{AC} \mid &=& \sqrt{5^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 16 + 0} = \sqrt{41} \end{array} Wegen $ \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC} = 5 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0 $ ist das Dreieck $ABC$ bei $B$ rechtwinklig.
Die Gleichung des Satzes von Pythagoras ist erfüllt, denn es gilt \[ \mid \, \overrightarrow{AC} \mid^2 = \left( \sqrt{41} \right)^2 = 41 = 25 + 16 = 5^2 + 4^2 = \mid \overrightarrow{AB} \mid^2 + \mid \overrightarrow{BC} \mid^2. \]
$\blacktriangleright$   Weitere Innenwinkel des Dreiecks berechnen
Wegen $ \beta = 90^{\circ} $ kannst du z. B. $ \alpha $ mithilfe der Formel
$ \cos \alpha = \dfrac{\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}}{\mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AC} \mid}. $ $ \cos \alpha $ =$ \dfrac{\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}}{\mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{AC} \mid}. $
berechnen. Der dritte Winkel ergibt sich dann aus dem Winkelsummensatz: Er besagt, dass die Summe aller Winkel in einem Dreieck $ 180^{\circ} $ beträgt.
\begin{array}{rcl} \cos \alpha &=& \dfrac{\begin{pmatrix} 5 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 \cr 4 \cr 0 \end{pmatrix}}{5 \cdot \sqrt{41}} \\[5pt] &=& \dfrac{5 \cdot 5 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 0}{5 \cdot \sqrt{41}} \\[5pt] &=& \dfrac{25 + 0 + 0}{5 \cdot \sqrt{41}} \\[5pt] &=& \dfrac{5}{\sqrt{41}} \\[5pt] &\approx& 0,7808688094 \end{array}
\begin{array}{rcl}\cos \alpha &\approx& 0,7808688094 \end{array}
Denke vor der Berechnung des Winkels daran, dass du deinen GTR auf das Winkelmaß Degree umgestellt hast.
Im GTR von CASIO rufst du die Einstellungen mit SHIFT–Menü und änderst gegebenenfalls die Einstellung Angle durch Drücken der Taste Deg.
[Abb. 1]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
[Abb. 1]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Anschließend berechnest du den Winkel im Berechnungsmenü mit deinem GTR mit
$ \alpha = \cos^{-1} (0,7808688094) $ $ \alpha $ =$ \cos^{-1} (0,7808688094) $
und Betätigung der Ausführungstaste.
Der Winkel $\alpha$ beträgt $ \alpha \approx \cos^{-1} (0,7808688094) \approx 38,66^\circ.$ Aus dem Winkelsummensatz erhälst du $ \gamma = 180^{\circ} - \alpha - \beta = 180^{\circ} - 38,66^\circ - 90^{\circ} = 51,34^{\circ}. $
$\blacktriangleright$   Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ABC}$ berechnen
Es gibt verschiedene Formeln für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks. Eine dieser Formeln verwendet jene zwei Seitenlängen $a$ und $b$ des Dreiecks, die den rechten Winkel einschließen, weil der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks die Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ ist:
$ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b. $ $ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \sphericalangle(a,b). $
Wende diese Formel auf die schon berechneten Größen an. \begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot \mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{BC} \mid \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 20 \\[5pt] &=& 10 \end{array} Der Flächeninhalt des Dreieck $ABC$ beträgt $ 10 \; \text{FE}.$

Aufgabe 4.2

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Punktes $D$ des Rechtecks $\boldsymbol{ABCD}$ berechnen
Du sollst den vierten Eckpunkt des Rechtecks $ D $ bestimmen. Beachte dabei, dass die mathematische Orientierung positiv ist, also die Eckpunkte von $A$ über $B$ und $C$ nach $D$ entgegen Uhrzeigersinn erfolgen muss.
Zeichne zunächst eine Skizze und trage die Vektoren $ \overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{BC}, \, \overrightarrow{DC} $ und $ \overrightarrow{AD} $ ein.
[Abb. 2]: Skizze eines Rechtecks
[Abb. 2]: Skizze eines Rechtecks
Die Pfeile sind paarweise nicht nur gleich lang, sondern zwei Paare von Vektoren sind zueinander parallel und gleich orientiert: Es muss folglich $ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} $ bzw. $ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} $ gelten. Nutze eine dieser Bedingungen durch Berechnung der Vektoren, um die Koordinaten von $D$ zu bestimmen.
Z. B. ergibt sich aus der zweiten Gleichung
\begin{array}{rcll} \overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{BC} \\[5pt] \overrightarrow{0D} - \overrightarrow{0A} &= \overrightarrow{BC} \\[5pt] \begin{pmatrix} d_1 \cr d_2 \cr d_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 0 \end{pmatrix} & \scriptsize \mid \; + \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix} d_1 \cr d_2 \cr d_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} d_1 \cr d_2 \cr d_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 0 + 2 \cr 4 + 2 \cr 0 + 5 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} d_1 \cr d_2 \cr d_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 2 \cr 6 \cr 5 \end{pmatrix} \end{array}
\begin{array}{rcll}\overrightarrow{PT} &= \overrightarrow{QR} \\[5pt]\end{array}
Der vierte Eckpunkt des Rechtecks $ ABCD $ besitzt die Koordinaten $ D(2 \mid 6 \mid 5). $
$\blacktriangleright$   Rechteck $\boldsymbol{ABCD}$ im Koodinatensystem zeichnen
[Abb. 3]: Rechteck $ABCD$ im Koordinatensystem
[Abb. 3]: Rechteck $ABCD$ im Koordinatensystem

Aufgabe 4.3

$\blacktriangleright$   Lage des Rechtecks $\boldsymbol{ABCD}$ im Koodinatensystem erläutern
Vergleiche die jeweiligen $x_1$ bzw. $x_2$ bzw. $x_3$–Koordinaten der vier Punkte untereinander. Die Gemeinsamkeit, die du feststellen kannst, lässt auf die Lage des Rechtecks im Raum schließen. Auch ein Blick auf die Zeichnung hilft dir dabei.
Für alle Punkte ist die dritte Koordinate $ x_3 = 5. $
Das Rechteck $ABCD$ liegt parallel zur $x_1x_2$–Ebene um $5$ Einheiten nach oben (in positive $x_3$–Richtung) verschoben.

Aufgabe 4.4

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes des Rechtecks $\boldsymbol{ABCD}$ bestimmen
Deine nächste Aufgabe besteht darin, die Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes $M$ des Rechtecks $ABCD$ zu berechnen. Hierfür benötigst du die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke mit den Endpunkten $ A(a_1 \mid a_2 \mid a_3) $ und $ B(b_1 \mid b_2 \mid b_3) $
$ M(m_1 \mid m_2 \mid m_3) = \left( \dfrac{a_1 + b_1}{2} \mid \dfrac{a_2 + b_2}{2} \mid \dfrac{a_3 + b_3}{2} \right) $ $ M(m_1 \mid m_2 \mid m_3) $= $\left( \dfrac{a_1 + b_1}{2} \mid \dfrac{a_2 + b_2}{2} \mid \dfrac{a_3 + b_3}{2} \right) $
oder in Vektorschreibweise
$ \overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right). $ $ \overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right). $
Wende diese Formel auf die Eckpunkte $A$ und $C$ oder auf $B$ und $D$ an. \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OM} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \cr 6 \cr 5 \end{pmatrix} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 + 7 \cr 2 + 6 \cr 5 + 5 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 9 \cr 8 \cr 10 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cr \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cr \dfrac{1}{2} \cdot 10 \end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix} \dfrac{9}{2} \cr 4 \cr 5 \end{pmatrix} \end{array} Der Mittelpunkt des Rechtecks $ABCD$ besitzt die Koordinaten $ M \left( \frac{9}{2} \mid 4 \mid 5 \right) $ bzw. $ M(4,5 \mid 4 \mid 5). $
$\blacktriangleright$   Inhalt der Mantelfläche der Pyramide $\boldsymbol{ABCDS}$ berechnen
Wenn du den Inhalt der Mantelfläche der Pyramide $ABCDS$ berechnen sollst, ist der Ausgangspunkt für deine Überlegungen die Information, dass das Rechteck $ABCD$ die Grundfläche einer senkrechten Pyramide mit der Spitze $ S(4,5 \mid 4 \mid -1) $ ist. $M$ liegt also senkrecht unterhalb der Pyramidenspitze.
Der Mantel besteht folglich aus den vier Dreiecken $ABS, \, BCS, \, CDS $ und $ADS.$ Die Dreiecke $ABS $ und $CDS$ sind flächeninhaltsgleich, weil sie dieselbe Grundseitenlänge und dieselbe Höhenlänge besitzen. Dasselbe gilt für die Dreiecke $BCS $ und $ADS$. Du brauchst deshalb nur den Flächeninhalt von den Dreiecken $ABS $ und $BCS$ zu berechnen.
Am einfachsten berechnest du den jeweiligen Flächeninhalt eines Dreiecks mithilfe der Länge der Grundseite und der Länge der Höhe auf die Grundseite. Da du die Länge der Grundseiten aufgrund von Teilaufgabe 4.1 kennst, musst du nur noch die Länge der Höhe berechnen.
Die Höhe auf die Grundseite halbiert diese Seite. Berechne folglich den Mittelpunkt der Grundseite und anschließend die Streckenlänge von Mittelpunkt der Grundseite und Spitze der Pyramide.
Der Inhalt der Mantelfläche der Pyramide ergibt sich schließlich als Summe der einzelnen Inhalte der Seitendreiecke.
1. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ABS}$ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OM_{AB}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 + 7 \cr 2 + 2 \cr 5 + 5 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 9 \cr 4 \cr 10 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cr \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cr \dfrac{1}{2} \cdot 10 \end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 4,5 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} \end{array} Der Mittelpunkt der Strecke $AB$ besitzt die Koordinaten $ M_{AB} (4,5 \mid 2 \mid 5). $
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{M_{AB}S} &=& \begin{pmatrix} 4,5 \cr 4 \cr -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4,5 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4,5 - 4,5 \cr 4 - 2 \cr -1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cr 2 \cr -6 \end{pmatrix} \\[5pt] \mid \overrightarrow{M_{AB}S} \mid &=& \sqrt{0^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 4 + 36} \\[5pt] &=& \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2 \cdot \sqrt{10} \end{array} Die Länge der Strecke $M_{AB}S$ ist $ 2 \cdot \sqrt{10} $ LE.
\[ A_{ABS} = \dfrac{1}{2} \cdot \mid \overrightarrow{AB} \mid \cdot \mid \overrightarrow{M_{AB}S} \mid = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 \cdot \sqrt{10} = 5 \cdot \sqrt{10} \] Die Flächeninhalte der Dreiecke $ABS$ und $CDS$ betragen jeweils $ 5 \cdot \sqrt{10} $ FE.
2. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{BCS}$ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OM_{BC}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 7 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \cr 6 \cr 5 \end{pmatrix} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 7 + 7 \cr 2 + 6 \cr 5 + 5 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 14 \cr 8 \cr 10 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cr \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cr \dfrac{1}{2} \cdot 10 \end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 7 \cr 4 \cr 5 \end{pmatrix} \end{array} Der Mittelpunkt der Strecke $BC$ besitzt die Koordinaten $ M_{BC} (7 \mid 4 \mid 5). $
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{M_{BC}S} &=& \begin{pmatrix} 4,5 \cr 4 \cr -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \cr 4 \cr 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4,5 - 7 \cr 4 - 4 \cr -1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2,5 \cr 0 \cr -6 \end{pmatrix} \\[5pt] \mid \overrightarrow{M_{BC}S} \mid &=& \sqrt{(-2,5)^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{6,25 + 0 + 36} \\[5pt] &=& \sqrt{42,25} = 6,5 \end{array} Die Länge der Strecke $M_{BC}S$ ist $ 6,5 $ LE.
\[ A_{BCS} = \dfrac{1}{2} \cdot \mid \overrightarrow{BC} \mid \cdot \mid \overrightarrow{M_{BC}S} \mid = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6,5 = 4 \cdot 6,5 = 13 \] Die Flächeninhalte der Dreiecke $BCS$ und $ACS$ betragen jeweils $ 13 $ FE.
3. Schritt: Inhalt der Mantelfläche
\[ A = A_{ABS}+ A_{BCS} + A_{CDS} + A_{ADS} = 5 \cdot \sqrt{10} + 13 + 5 \cdot \sqrt{10} + 13 = 26 + 10 \cdot \sqrt{10} \approx 57,62 \] Der Inhalt der Mantelfläche beträgt $ 26 + 10 \cdot \sqrt{10} \approx 57,62 $ FE.

Aufgabe 4.5

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $\boldsymbol{h}$ mit der $\boldsymbol{x_2x_3}$–Ebene berechnen
Ein Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene ist der gemeinsame Punkt der Geraden mit ihr. Du sollst den Schnittpunkt von $h$ mit der $x_2x_3$–Koordinatenebene berechnen.
Die Bedingung, dass $h$ einen Punkt mit der $x_2x_3$–Ebene gemeinsam hat, ist $ x_1 = 0. $ Du kannst daraus den Skalar $ r $ und mit seiner Hilfe durch Einsetzen in die Geradengleichung den Schnittpunkt berechnen.
Die erste Zeile der Geradengleichung führt auf die Gleichung $ 0 = -1 + r \cdot (-2) $ bzw. $ r = -0,5. $ Der Schnittpunktpunkt $ S_{23} $ hat somit die Koordinaten $ (0 \mid 3 + (-0,5) \cdot (-2) \mid 1 + (-0,5) \cdot (-2) $ bzw. $ S_{23}(0 \mid 4 \mid 2). $
Die Koordinaten des Schnittpunktes von $h$ mit der $x_2x_3–$Ebene ist $ S_{23}(0 \mid 4 \mid 2). $

Aufgabe 4.6

$\blacktriangleright$   Gleichung der Geraden $\boldsymbol{g}$ bestimmen, die durch die Punkte $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{C}$ verläuft
Zwei Punkte im Raum legen eine Gerade fest. Ihre Gleichung erhälst du, indem du dich für einen Stützvektor entscheidest und dann den zugehörgen Richtungsvektor berechnest. Als Stützvektor kannst du z. B. $ \overrightarrow{OA} $ und als Richtungsvektor $ \overrightarrow{AC} $ wählen. Beide Vektoren kennst du schon aus Teilaufgabe 4.4.
Eine Gleichung der Geraden $g$ ist dann $ g: \overrightarrow{x} $= $\overrightarrow{OA} + r \cdot \overrightarrow{AC}, \; r \in \mathbb{R}. $
Eine Gleichung der Geraden $g$ durch die Punkte $A$ und $C$ ist $ g: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \cr 4 \cr 0 \end{pmatrix}, \; r \in \mathbb{R}.$
$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass sich die Geraden $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ nicht schneiden
Um nachzuweisen, dass beide Geraden keinen Schnittpunkt gemeisam haben, setzt du die Gleichungen der Geraden gleich. Dann erhältst du ein System von drei Gleichungen, aus denen du einen Skalar bestimmen kannst. Setze ihn in die beiden anderen Gleichung ein, und du erhältst einen Widerspruch für den Wert des zweiten Skalars.
Dieser Widerspruch sagt dir, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt und somit $g$ und $h$ keinen gemeinsamen Punkt haben bzw. sich nicht schneiden.
Beachte beim Gleichsetzen, dass die Skalare in den Gleichung unterschiedlich bezeichnet sind.
\begin{array}{rcl} g &=& h \\[5pt] \begin{pmatrix} 2 \cr 2 \cr 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \cr 0 \cr 2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -1 \cr 3 \cr 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \cr -2 \cr -2 \end{pmatrix} \\[5pt] 2 + r \cdot 5 &=& -1 + s \cdot (-2) \\ 2 + r \cdot 4 &=& 3 + s \cdot (-2) \\ 5 &=& 1 - 2s \\ 4 &=& - 2s \\ -2 &=& s \\[5pt] 2 + 5r &=& -1 + (-2) \cdot (-2) \\ 5r &=& -3 + 4 \\ 5r &=& -1 \\ r &=& -0,2 \\[5pt] 2 + r \cdot 4 &=& 3 + (-2) \cdot (-2) \\ 4r &=& 1 + 4 \\ 4r &=& 5 \\ r &=& 1,25 \end{array} Es ergeben sich unterschiedliche Werte für den Skalar $r.$ Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung, und $g$ und $h$ schneiden sich nicht.
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