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Aufgabe 6

Aufgaben
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Aufgabe 6

Aufgabe 6
Aufgabe 6
6.1
Erstelle für dieses Spiel ein geeignetes Baumdiagramm und bestimme für alle Spielausgänge die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
(8P)
6.2
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ergebnisse:
A: Es wird zweimal weiß getroffen.
B: Es wird zweimal die gleiche Farbe getroffen.
C: Es wird mindestens einmal schwarz getroffen.
D: Es wird genau einmal schwarz getroffen.
Formuliere das Gegenergebnis zu C.
(8P)
Das Team Orange einer Gemeinschaftsschule möchte am Schulfest dieses Spiel anbieten. Es hat folgende Regeln aufgestellt: Der Spieleinsatz beträgt $1$ Euro. Für jeden Treffer in einem schwarzen Feld erhält der Spieler $1$ Euro, für jeden Treffer in einem weißen Feld erhält er $0,25$ Euro und für einen Treffer in einem grauen Feld erhält der Spieler nichts.
6.3
Mit welchem Gewinn kann Team Orange bei diesem Angebot rechnen, wenn $500$ Personen am Spiel teilnehmen?
(6P)
Das Team Blau der Gemeinschaftsschule bietet das Spiel unter veränderten Bedingungen beim Stadtfest an:
Es wird nur einmal geworfen, aber jetzt soll das Vorbeifliegen des Pfeiles am Brett mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,25$ berücksichtigt werden. Fliegt der Pfeil am Brett vorbei, wird der Wurf nicht wiederholt. Der Spieler bekommt für einen Treffer in einem weißen Feld $x$ Euro und für einen Treffer in einem schwarzen Feld ebenfalls $x$ Euro. Für einen Treffer im grauen Feld erhält der Spieler nichts. Fliegt der Pfeil am Brett vorbei, erhält der Spieler auch nichts.
6.4
Berechne die neuen Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse weiß, grau und schwarz, für den Wurf des Pfeils.
(3P)
6.5
Wie hoch muss der Auszahlungsbetrag $x$ für das Treffen eines schwarzen bzw. eines weißen Feldes sein, wenn der Einsatz $0,50$ Euro beträgt und Team Blau das Spiel fair gestalten möchte?
(5P)
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Aufgabe 6 entfällt ab 2018.
Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem einfachen wissenschaftlichen Taschenrechner durchgeführt werden. Eine Unterscheidung zwischen den Lösungen mit einem GTR von CASIO bzw. TI entfällt aus diesem Grund.

Aufgabe 6.1

$\blacktriangleright$   Baumdiagramm zeichnen
Um ein Baumdiagramm zeichnen zu können, ist es für dich wichtig zu wissen, wie viele Stufen es hat und wie viele Verzweigungen bei jedem neuen Knoten des Baumes möglich sind.
Das Zufallsexperiment ähnelt einem Würfelspiel. Die Rolle des Würfels nimmt ein Pfeil ein, der auf ein Brett geworfen wird. Die möglichen Ausgänge des Experimentes – entsprechend den Seiten des Würfels – sind die verschiedenen Flächenstücke, auf die ein geworfener Pfeil treffen kann: Er kann auf eine schwarze Fläche ($s$), auf eine graue Fläche ($g$) oder auf eine weiße Fläche ($w$) treffen. Verwende für alle folgenden Teilaufgaben die Abkürzungen $s, g$ und $w.$
Weil mit demselben Pfeil zweimal hintereinander geworfen wird, besteht das Baumdiagramm folglich aus zwei Stufen mit jeweils drei Verzweigungen je Knoten des Baumes.
Zeichne dieses Baumdiagramm und ergänze an den Zweigen des Baumes die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten für die Treffflächen $s, g$ und $w.$ Die relativen Häufigkeiten können als Wahrscheinlichkeiten verstanden werden.
Um die relativen Häufigkeiten zu bestimmen, zählst du die Gesamtzahl der rechtwinklig–gleichschenkligen Dreiecke auf dem Brett, wobei ein Quadrat aus zwei rechtwinklig–gleichschenkligen Dreiecken besteht. Für jede Farbe zählst du anschließend, wie oft sie vorkommt (absolute Häufigkeit), und setzt sie ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Dreiecke. Kürze den Bruch so weit wie möglich.
Alternativ kannst du die Gesamtzahl der Quadrate zählen, wobei sich vier Quadrate aus zwei rechtwinklig–gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzen. Für jede Farbe zählst du anschließend die Anzahl der Quadrate (absolute Häufigkeit) und setzt sie ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Quadrate.
Kontrolliere deine Eintragungen mithilfe der Knotenregel: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Baumes, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich Eins.
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis berechnen
Du sollst für jeden Ausgang (jedes Ergebnis) des zusammgesetzten Zufallsexperimentes die Wahrscheinlichkeit berechnen. Diese bestimmst du mithilfe der 1. Pfadmultiplikationsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste (Pfade) des Baumes multipliziert werden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Mithilfe der Regel kannst du alle Wahrscheinlichkeiten ermitteln und sie im Baumdiagramm ergänzen oder als Tabelle auflisten. Die Wahrscheinlichkeiten können als Bruch– oder Dezimalzahl oder als Prozentsatz angegeben werden.
Kontrolliere deine Ergebnisse aufgrund der 2. Pfadadditionsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse. Entlang der Blätter (Ergebnisse) des Baumes werden die Wahrscheinlichkeiten also addiert. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss Eins ergeben.
$P \left( \left\{ ss \right\} \right)$$P \left( \left\{ sg \right\} \right)$$P \left( \left\{ sw \right\} \right)$$P \left( \left\{ gs \right\} \right)$$P \left( \left\{ gg \right\} \right)$$P \left( \left\{ gw \right\} \right)$$P \left( \left\{ ws \right\} \right)$$P \left( \left\{ wg \right\} \right)$$P \left( \left\{ ww \right\} \right)$
$ \dfrac{4}{81} $
$P \left( \left\{ ss \right\} \right)$$P \left( \left\{ sg \right\} \right)$$P \left( \left\{ sw \right\} \right)$
$ \dfrac{4}{81} $
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich Eins.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
$P \left( \left\{ ss \right\} \right) = P \left( \left\{ s \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ s \right\} \right) = $
$P \left( \left\{ sg \right\} \right) = P \left( \left\{ s \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ g \right\} \right) = $
$P \left( \left\{ sw \right\} \right) = P \left( \left\{ s \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ w \right\} \right) = $
$P \left( \left\{ gs \right\} \right) = P \left( \left\{ g \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ s \right\} \right) = $
$P \left( \left\{ gg\right\} \right) = P \left( \left\{ g \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ g \right\} \right) = $
$P \left( \left\{ gw \right\} \right) = P \left( \left\{ g \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ w \right\} \right) = $
$P \left( \left\{ ws \right\} \right) = P \left( \left\{ w \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ s \right\} \right) = $
$P \left( \left\{ wg \right\} \right) = P \left( \left\{ w \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ g \right\} \right) = $
$P \left( \left\{ ww \right\} \right) = P \left( \left\{ w \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ w \right\} \right) = $
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich $ \frac{81}{81} $ bzw. Eins.

Aufgabe 6.2

$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $ \boldsymbol{A}, \; \boldsymbol{B}, \; \boldsymbol{C}, \; \boldsymbol{D} $ berechnen
Für jedes der im Aufgabentext formulierten Ereignisse besteht deine Aufgabe darin, die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.
Jedes Ereignis setzt sich aus den Ergebnissen zusammen, bei denen das Ereignis eingetreten ist. Prüfe jedes Ergebnis im Baumdiagramm darauf hin, ob es zum Ereignis gehört oder nicht. So gelangst du zu einer Beschreibung des Ereignisses in aufzählender Form.
Kontrollergebnisse:
$ P(A) = P \left( \left\{ ww \right\} \right) $
$ P(B) = P \left( \left\{ ss; \; gg; \; ww \right\} \right) $
$ P(C) = P \left( \left\{ ss; \; sg; \; sw; \; gs; \; ws \right\} \right) $
$ P(D) = P \left( \left\{ sg; \; sw; \; gs; \; ws \right\} \right) $
Die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses kannst du anschließend mit der 2. Pfadadditionsregel berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Alle Wahrscheinlichkeiten, die in der Auflistung aufgeführt sind, kannst du deiner Tabelle aus Teilaufgabe 6.1 entnehmen und mit dem GTR die Gesamtwahrscheinlichkeit ermitteln. Fülle die Tabelle aus
$ P(A) $$ P(B) $$ P(C) $$ P(D) $
$ \dfrac{9}{81} $
Die Wahrscheinlichkeiten können in Prozentschreibweise oder als (gekürzter) Bruch– bzw. Dezimalzahl angegeben werden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Die Wahrscheinlichkeiten werden als gekürzte Bruchzahlen angegeben:
\begin{array}{rcl} P(A) &=& P \left( \left\{ ww \right\} \right) \\ P(B) &=& P \left( \left\{ ss; \; gg; \; ww \right\} \right) \\[5pt] &=& P \left( \left\{ ss \right\} \right) + P \left( \left\{ gg \right\} \right) + P \left( \left\{ ww \right\} \right) \\ P(C) &=& P \left( \left\{ ss; \; sg; \; sw; \; gs; \; ws \right\} \right) \\ &=& P \left( \left\{ ss \right\} \right) + P \left( \left\{ sg \right\} \right) + P \left( \left\{ sw \right\} \right) + P \left( \left\{ gs \right\} \right) + P \left( \left\{ ws \right\} \right) \\ P(D) &=& P \left( \left\{ sg; \; sw; \; gs; \; ws \right\} \right) \\ &=& P \left( \left\{ sg \right\} \right) + P \left( \left\{ sw \right\} \right) + P \left( \left\{ gs \right\} \right) + P \left( \left\{ ws \right\} \right) \\ \end{array} Alternative Berechnung:
\[ P(D) = P(C) - P \left( \left\{ ss \right\} \right) \]
$\blacktriangleright$   Gegenereignis zu $ \boldsymbol{C} $ formulieren
Deine Aufgabe ist es, mit Worten das Gegenereignis von $C$ zu formulieren. Eine sprachliche Formulierung ist nicht immer eindeutig, so dass mehrere Antworten richtig sein können. Schaue im Baumdiagramm nach, welche Ergebnisse für das Gegenereignis von $C$ in Frage kommen.

Aufgabe 6.3

$\blacktriangleright$   Gewinn für $ \boldsymbol{500} $ Spielteilnehmer berechnen
Deine Aufgabe ist es zu ermittteln, wie hoch der Gewinn durchschnittlich sein wird, wenn 500 Personen an dem Spiel teilnehmen. Du kannst dir z. B. in Form einer Tabelle aufschreiben, welchen Auszahlungsbetrag ein Teilnehmer erhält, wenn ein bestimmtes Ergebnis eingetreten ist. Alternativ könntest du hinter jedem Ergebnis des Baumdiagramms den Auszahlungsbetrag notieren.
Weil dieser Betrag vom Zufall abhängt, ist es sinnvoll, die Zufallsgröße $\boldsymbol{X}:$ Auszahlungsbetrag von Team Orange an Teilnehmer (in Euro) einzuführen. Die Bezeichnung der Zufallsgröße ist willkürlich. Fülle die folgende Tabelle aus. Berücksichtige dabei, dass der Spieleinsatz von 1 Euro noch nicht mit eingerechnet wird. Die Tabelle zeigt also den Auszahlungsplan je nach Ergebnis der beiden Würfe. Sie wird auch Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$ genannt.
Ergebnis$ gg $$ gw, wg $$ ww $$ gs, sg $$ ws, sw $$ ss $
Auszahlungsbetrag $x_i$ (in Euro)$ 0,00 $$ 0,25 $$ 0,50 $$ 1,00 $$ 1,25 $$ 2,00 $
$ P(X = x_i) $
Ergebnis$ gg $$ gw, wg $
Auszahlungsbetrag $x_i$ (in Euro)$ 0,00 $$ 0,25 $
$ P(X = x_i) $
Der durchschnittliche Auszahlungsbetrag ist der Erwartungswert der Zufallsgröße $X.$ Das bedeutet, dass sich der Gewinn von Team Orange auf lange Sicht für ein Spiel aus der Differenz von Spieleinsatz und Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ berechnet.
Den Erwartungswert $ E(X) $ berechnest du mithilfe der Formel
$ E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i). $ $ E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i). $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Du musst also spaltenweise den Auszahlungsbetrag mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multiplizieren und anschließend alle Produkte aufaddieren.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Setzte die Werte in die Formel ein und berechne das Ergebnis. Ermittle dann den Gewinn.
Wegen $ E(X) = \frac{11}{18} $ Euro und einem Spieleinsatz von $1$ Euro beträgt der Gewinn 1,00 Euro - $ \frac{11}{18} $ Euro = $ \frac{7}{18} $ Euro pro Spiel. Wegen $ 500 \cdot \frac{7}{18} = \frac{500 \cdot 7}{18} = \frac{1775}{9} = 194 \frac{4}{9} $ ist der Gewinn bei 500 Teilnehmern ca. $ 194,44 $ Euro.
Bei 500 Spielen kann das Team Orange mit einem Gewinn von ca. $ 194,44 $ Euro rechnen.

Aufgabe 6.4

$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $ \boldsymbol{weiss, \, grau} $ und $ \boldsymbol{schwarz} $ für das neue Spiel berechnen
Die Aufgabe besteht für dich darin, die Wahrscheinlichkeiten bei einem Pfeilwurf für einen Treffer auf den Flächen grau, weiss und schwarz zu ermitteln. Auch wenn jetzt nur einmal der Pfeil geworfen wird, handelt es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment: Trifft der Werfer das Brett oder nicht (erste Stufe)? Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er dann ein graues, weisses oder schwarzes Feld (zweite Stufe)? In der zweiten Stufe kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus der ersten Stufe des Baumdiagramms aus Teilaufgabe 6.1 übernehmen.
$T$ bezeichne das Ereignis, dass der Pfeil das Brett trifft. Die Bezeichnungen für die Flächen bleiben gleich. Zeichne ein neues Baumdiagramm, um alle Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Kontrolliere, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt. $P \left( \left\{ T \right\} \right) = $
$P \left( \left\{ \overline{T} \right\} \right) = 1 - P(T) $
$P \left( \left\{ Tg \right\} \right) = P \left( \left\{ T \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ g \right\} \right) $
$P \left( \left\{ Tw \right\} \right) = P \left( \left\{ T \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ w \right\} \right) $
$P \left( \left\{ Ts \right\} \right) = P \left( \left\{ T \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ s \right\} \right) $
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich $ \dfrac{12}{12} $ bzw. Eins.

Aufgabe 6.6

$\blacktriangleright$   Auszahlungsbetrag der Ereignisse $ \boldsymbol{weiss} $ und $ \boldsymbol{schwarz} $ für ein faires Spiel mit Spieleinsatz $ \boldsymbol{0,50} $ Euro berechnen
Du sollst den Auszahlungsbetrag $y$ für die Ereignisse $ \left\{ \boldsymbol{Ts} \right\} $ und $ \left\{ \boldsymbol{Ts} \right\} $ so bestimmen, dass das Spiel von Team Blau bei einem Spieleinsatz von $ 0,50 $ Euro fair ist.
Die Zufallsgröße $Y:$ Auszahlungsbetrag von Team Blau an Teilnehmer (in Euro) beschreibt, wie viel der Teilnehmer entsprechend seinem Wurf in der geänderten Spielvariante erhält. Die Zufallsgröße muss einen anderen Namen als $X$ erhalten, weil $X$ schon in Teilaufgabe 6.3 verwendet wurde. Der Erwartungswert von $Y$ gibt den durchschnittlichen Auszahlungsbetrag pro Spiel in Euro an.
Ein Spiel ist fair, wenn der Gewinn von Team Blau Null ist. Da Gewinn aus Sicht des Teams Spieleinsatz minus Erwartungswert ist, müssen Erwartungswert und Spieleinsatz gleich sein: $ E(Y) = 0,50 $ Euro.
Stelle eine Tabelle für die Wahrscheinlichkeits–Verteilung der Zufallsgröße $Y$ auf, wobei du die Ergebnisse aus Teilaufgabe 6.5 verwenden kannst, und ermittle den Erwartungswert von $Y.$ Dieser hängt von dem Auszahlungsbetrag $y$ ab, so dass du eine lineare Gleichung in $y$ erhälst, die du lösen sollst.
Ergebnis$ \overline{T}, Tg $$ Tw, Tw $
Auszahlungsbetrag $y_i$ (in Euro)$ 0,00 $$ y $
$ P(Y = y_i) $
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Aufgabe 6 entfällt ab 2018.
Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem einfachen wissenschaftlichen Taschenrechner durchgeführt werden. Eine Unterscheidung zwischen den Lösungen mit einem GTR von CASIO bzw. TI entfällt aus diesem Grund.

Aufgabe 6.1

$\blacktriangleright$   Baumdiagramm zeichnen
Um ein Baumdiagramm zeichnen zu können, ist es für dich wichtig zu wissen, wie viele Stufen es hat und wie viele Verzweigungen bei jedem neuen Knoten des Baumes möglich sind.
Das Zufallsexperiment ähnelt einem Würfelspiel. Die Rolle des Würfels nimmt ein Pfeil ein, der auf ein Brett geworfen wird. Die möglichen Ausgänge des Experimentes – entsprechend den Seiten des Würfels – sind die verschiedenen Flächenstücke, auf die ein geworfener Pfeil treffen kann: Er kann auf eine schwarze Fläche ($s$), auf eine graue Fläche ($g$) oder auf eine weiße Fläche ($w$) treffen. Verwende für alle folgenden Teilaufgaben die Abkürzungen $s, g$ und $w.$
Weil mit demselben Pfeil zweimal hintereinander geworfen wird, besteht das Baumdiagramm folglich aus zwei Stufen mit jeweils drei Verzweigungen je Knoten des Baumes.
Zeichne dieses Baumdiagramm und ergänze an den Zweigen des Baumes die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten für die Treffflächen $s, g$ und $w.$ Die relativen Häufigkeiten können als Wahrscheinlichkeiten verstanden werden.
Um die relativen Häufigkeiten zu bestimmen, zählst du die Gesamtzahl der rechtwinklig–gleichschenkligen Dreiecke auf dem Brett, wobei ein Quadrat aus zwei rechtwinklig–gleichschenkligen Dreiecken besteht. Für jede Farbe zählst du anschließend, wie oft sie vorkommt (absolute Häufigkeit), und setzt sie ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Dreiecke. Kürze den Bruch so weit wie möglich.
Alternativ kannst du die Gesamtzahl der Quadrate zählen, wobei sich vier Quadrate aus zwei rechtwinklig–gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzen. Für jede Farbe zählst du anschließend die Anzahl der Quadrate (absolute Häufigkeit) und setzt sie ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Quadrate.
Kontrolliere deine Eintragungen mithilfe der Knotenregel: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Baumes, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich Eins.
Aufgabe 6
[Abb. 1]: Baumdiagramm
Aufgabe 6
[Abb. 1]: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis berechnen
Du sollst für jeden Ausgang (jedes Ergebnis) des zusammgesetzten Zufallsexperimentes die Wahrscheinlichkeit berechnen. Diese bestimmst du mithilfe der 1. Pfadmultiplikationsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste (Pfade) des Baumes multipliziert werden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Mithilfe der Regel kannst du alle Wahrscheinlichkeiten ermitteln und sie im Baumdiagramm ergänzen oder als Tabelle auflisten. Die Wahrscheinlichkeiten können als Bruch– oder Dezimalzahl oder als Prozentsatz angegeben werden.
Kontrolliere deine Ergebnisse aufgrund der 2. Pfadadditionsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse. Entlang der Blätter (Ergebnisse) des Baumes werden die Wahrscheinlichkeiten also addiert. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss Eins ergeben.
$P \left( \left\{ ss \right\} \right)$$P \left( \left\{ sg \right\} \right)$$P \left( \left\{ sw \right\} \right)$$P \left( \left\{ gs \right\} \right)$$P \left( \left\{ gg \right\} \right)$$P \left( \left\{ gw \right\} \right)$$P \left( \left\{ ws \right\} \right)$$P \left( \left\{ wg \right\} \right)$$P \left( \left\{ ww \right\} \right)$
$\dfrac{4}{81}$$\dfrac{8}{81}$$\dfrac{6}{81}$$\dfrac{8}{81}$$\dfrac{16}{81}$$\dfrac{12}{81}$$\dfrac{6}{81}$$\dfrac{12}{81}$$\dfrac{9}{81}$
$P \left( \left\{ ss \right\} \right)$$P \left( \left\{ sg \right\} \right)$$P \left( \left\{ sw \right\} \right)$
$\dfrac{4}{81}$$\dfrac{8}{81}$$\dfrac{6}{81}$
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich Eins.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
$P \left( \left\{ ss \right\} \right) = P \left( \left\{ s \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ s \right\} \right) = \dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{2 \cdot 2}{9 \cdot 9} = \dfrac{4}{81}$
$P \left( \left\{ sg \right\} \right) = P \left( \left\{ s \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ g \right\} \right) = \dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{4}{9}$ = $\dfrac{2 \cdot 4}{9 \cdot 9} = \dfrac{8}{81}$
$P \left( \left\{ sw \right\} \right) = P \left( \left\{ s \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ w \right\} \right) = \dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{3}{9}$ = $\dfrac{2 \cdot 3}{9 \cdot 9} = \dfrac{6}{81}$
$P \left( \left\{ gs \right\} \right) = P \left( \left\{ g \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ s \right\} \right) = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{2}{9}$ = $\dfrac{4 \cdot 2}{9 \cdot 9} = \dfrac{8}{81}$
$P \left( \left\{ gg\right\} \right) = P \left( \left\{ g \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ g \right\} \right) = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{4}{9}$ = $\dfrac{4 \cdot 4}{9 \cdot 9} = \dfrac{16}{81}$
$P \left( \left\{ gw \right\} \right) = P \left( \left\{ g \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ w \right\} \right) = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{9}$ = $\dfrac{4 \cdot 3}{9 \cdot 9} = \dfrac{12}{81}$
$P \left( \left\{ ws \right\} \right) = P \left( \left\{ w \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ s \right\} \right) = \dfrac{3}{9} \cdot \dfrac{2}{9}$ = $\dfrac{3 \cdot 2}{9 \cdot 9} = \dfrac{6}{81}$
$P \left( \left\{ wg \right\} \right) = P \left( \left\{ w \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ g \right\} \right) = \dfrac{3}{9} \cdot \dfrac{4}{9}$ = $\dfrac{3 \cdot 4}{9 \cdot 9} = \dfrac{12}{81}$
$P \left( \left\{ ww \right\} \right) = P \left( \left\{ w \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ w \right\} \right) = \dfrac{3}{9} \cdot \dfrac{3}{9}$ = $\dfrac{3 \cdot 3}{9 \cdot 9} = \dfrac{9}{81}$
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich $ \frac{81}{81} $ bzw. Eins.

Aufgabe 6.2

$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $ \boldsymbol{A}, \; \boldsymbol{B}, \; \boldsymbol{C}, \; \boldsymbol{D} $ berechnen
Für jedes der im Aufgabentext formulierten Ereignisse besteht deine Aufgabe darin, die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.
Jedes Ereignis setzt sich aus den Ergebnissen zusammen, bei denen das Ereignis eingetreten ist. Prüfe jedes Ergebnis im Baumdiagramm darauf hin, ob es zum Ereignis gehört oder nicht. So gelangst du zu einer Beschreibung des Ereignisses in aufzählender Form.
Kontrollergebnisse:
$ P(A) = P \left( \left\{ ww \right\} \right) $
$ P(B) = P \left( \left\{ ss; \; gg; \; ww \right\} \right) $
$ P(C) = P \left( \left\{ ss; \; sg; \; sw; \; gs; \; ws \right\} \right) $
$ P(D) = P \left( \left\{ sg; \; sw; \; gs; \; ws \right\} \right) $
Die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses kannst du anschließend mit der 2. Pfadadditionsregel berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Alle Wahrscheinlichkeiten, die in der Auflistung aufgeführt sind, kannst du deiner Tabelle aus Teilaufgabe 6.1 entnehmen und mit dem GTR die Gesamtwahrscheinlichkeit ermitteln. Fülle die Tabelle aus
$ P(A) $$ P(B) $$ P(C) $$ P(D) $
$ \dfrac{9}{81} $$ \dfrac{29}{81} $$ \dfrac{32}{81} $$ \dfrac{28}{81} $
Die Wahrscheinlichkeiten können in Prozentschreibweise oder als (gekürzter) Bruch– bzw. Dezimalzahl angegeben werden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Die Wahrscheinlichkeiten werden als gekürzte Bruchzahlen angegeben:
\[ \begin{array}{rcl} P(A) &=& P \left( \left\{ ww \right\} \right) \\ &=& \dfrac{9}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{9} \\[5pt] P(B) &=& P \left( \left\{ ss; \; gg; \; ww \right\} \right) \\[5pt] &=& P \left( \left\{ ss \right\} \right) + P \left( \left\{ gg \right\} \right) + P \left( \left\{ ww \right\} \right) \\ &=& \dfrac{4}{81} + \dfrac{16}{81} + \dfrac{9}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{4 + 16 + 9}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{29}{81} \\[5pt] P(C) &=& P \left( \left\{ ss; \; sg; \; sw; \; gs; \; ws \right\} \right) \\ &=& P \left( \left\{ ss \right\} \right) + P \left( \left\{ sg \right\} \right) + P \left( \left\{ sw \right\} \right) + P \left( \left\{ gs \right\} \right) + P \left( \left\{ ws \right\} \right) \\ &=& \dfrac{4}{81} + \dfrac{8}{81} + \dfrac{6}{81} + \dfrac{8}{81} + \dfrac{6}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{4 + 8 + 6 + 8 + 6}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{32}{81} \\[5pt] P(D) &=& P \left( \left\{ sg; \; sw; \; gs; \; ws \right\} \right) \\ &=& P \left( \left\{ sg \right\} \right) + P \left( \left\{ sw \right\} \right) + P \left( \left\{ gs \right\} \right) + P \left( \left\{ ws \right\} \right) \\ &=& \dfrac{8}{81} + \dfrac{6}{81} + \dfrac{8}{81} + \dfrac{6}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{8 + 6 + 8 + 6}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{28}{81} \\ \end{array} \]
Alternative Berechnung:
\[ P(D) = P(C) - P \left( \left\{ ss \right\} \right)= \frac{32}{81} - \frac{4}{81} = \frac{28}{81} \]
\[ \begin{array}{rcl} P(A) &=& P \left( \left\{ RR \right\} \right) \\ &=& \dfrac{9}{81} \\[5pt] P(B) &=& \dfrac{29}{81} \\[5pt] P(C) &=& \dfrac{32}{81} \\[5pt] P(D) &=& \dfrac{28}{81} \end{array} \]
$\blacktriangleright$   Gegenereignis zu $ \boldsymbol{C} $ formulieren
Deine Aufgabe ist es, mit Worten das Gegenereignis von $C$ zu formulieren. Eine sprachliche Formulierung ist nicht immer eindeutig, so dass mehrere Antworten richtig sein können. Schaue im Baumdiagramm nach, welche Ergebnisse für das Gegenereignis von $C$ in Frage kommen.
$\overline{C}:$ ,,Bei beiden Würfen mit dem Pfeil wird schwarz nicht getroffen."
Alternative Formulierungen:
,,Bei beiden Würfen mit dem Pfeil wird weniger als einmal schwarz getroffen" oder ,,Bei beiden Würfen mit dem Pfeil wird keinmal schwarz getroffen" oder ,,Bei beiden Würfen mit dem Pfeil wird schwarz überhaupt nicht getroffen."

Aufgabe 6.3

$\blacktriangleright$   Gewinn für $ \boldsymbol{500} $ Spielteilnehmer berechnen
Deine Aufgabe ist es zu ermittteln, wie hoch der Gewinn durchschnittlich sein wird, wenn 500 Personen an dem Spiel teilnehmen. Du kannst dir z. B. in Form einer Tabelle aufschreiben, welchen Auszahlungsbetrag ein Teilnehmer erhält, wenn ein bestimmtes Ergebnis eingetreten ist. Alternativ könntest du hinter jedem Ergebnis des Baumdiagramms den Auszahlungsbetrag notieren.
Weil dieser Betrag vom Zufall abhängt, ist es sinnvoll, die Zufallsgröße $\boldsymbol{X}:$ Auszahlungsbetrag von Team Orange an Teilnehmer (in Euro) einzuführen. Die Bezeichnung der Zufallsgröße ist willkürlich. Fülle die folgende Tabelle aus. Berücksichtige dabei, dass der Spieleinsatz von 1 Euro noch nicht mit eingerechnet wird. Die Tabelle zeigt also den Auszahlungsplan je nach Ergebnis der beiden Würfe. Sie wird auch Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$ genannt.
Ergebnis$ gg $$ gw, wg $$ ww $$ gs, sg $$ ws, sw $$ ss $
Auszahlungsbetrag $x_i$ (in Euro)$ 0,00 $$ 0,25 $$ 0,50 $$ 1,00 $$ 1,25 $$ 2,00 $
$ P(X = x_i) $$ \dfrac{16}{81} $$ \dfrac{24}{81} $$ \dfrac{9}{81} $$ \dfrac{16}{81} $$ \dfrac{12}{81} $$ \dfrac{4}{81} $
Ergebnis$ gg $$ gw, wg $
Auszahlungsbetrag $x_i$ (in Euro)$ 0,00 $$ 0,25 $
$ P(X = x_i) $$ \dfrac{16}{81} $$ \dfrac{16}{81} $
Der durchschnittliche Auszahlungsbetrag ist der Erwartungswert der Zufallsgröße $X.$ Das bedeutet, dass sich der Gewinn von Team Orange auf lange Sicht für ein Spiel aus der Differenz von Spieleinsatz und Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ berechnet.
Den Erwartungswert $ E(X) $ berechnest du mithilfe der Formel
$ E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i). $ $ E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i). $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Du musst also spaltenweise den Auszahlungsbetrag mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multiplizieren und anschließend alle Produkte aufaddieren.
Wegen $ E(X) \approx 0,61 $ Euro und einem Spieleinsatz von $1$ Euro beträgt der Gewinn 1,00 Euro - 0,61 Euro = 0,39 Euro pro Spiel. Wegen $ 500 \cdot 0,39 = 195,00 $ ist der Gewinn bei 500 Teilnehmern ca. $ 195,00 $ Euro.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Setzte die Werte in die Formel ein und berechne das Ergebnis. Ermittle dann den Gewinn.
\[ \begin{array}{rcl} E(X) &=& \dfrac{16}{81} \cdot 0,00 + \dfrac{24}{81} \cdot 0,25 + \dfrac{9}{81} \cdot 0,50 + \dfrac{16}{81} \cdot 1,00 + \dfrac{12}{81} \cdot 1,25 + \dfrac{4}{81} \cdot 2,00 \\[5pt] &=& 0 + \dfrac{24}{81} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{81} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{16}{81} + \dfrac{12}{81} \cdot \dfrac{5}{4} + \dfrac{8}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{24 \cdot 1}{81 \cdot 4} + \dfrac{9 \cdot 1}{81 \cdot 2} + \dfrac{16}{81} + \dfrac{12 \cdot 5}{81 \cdot 4} + \dfrac{8}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{6}{81} + \dfrac{9}{162} + \dfrac{16}{81} + \dfrac{15}{81} + \dfrac{8}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{12 + 9 + 32 + 30 + 16}{162} \\[5pt] &=& \dfrac{99}{162} \\[5pt] &=& \dfrac{11}{18} \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl}E(X) &=& \dfrac{11}{18} \end{array} \]
Wegen $ E(X) = \frac{11}{18} $ Euro und einem Spieleinsatz von $1$ Euro beträgt der Gewinn 1,00 Euro - $ \frac{11}{18} $ Euro = $ \frac{7}{18} $ Euro pro Spiel. Wegen $ 500 \cdot \frac{7}{18} = \frac{500 \cdot 7}{18} = \frac{1775}{9} = 194 \frac{4}{9} $ ist der Gewinn bei 500 Teilnehmern ca. $ 194,44 $ Euro.
Bei 500 Spielen kann das Team Orange mit einem Gewinn von ca. $ 194,44 $ Euro rechnen.

Aufgabe 6.4

$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $ \boldsymbol{weiss, \, grau} $ und $ \boldsymbol{schwarz} $ für das neue Spiel berechnen
Die Aufgabe besteht für dich darin, die Wahrscheinlichkeiten bei einem Pfeilwurf für einen Treffer auf den Flächen grau, weiss und schwarz zu ermitteln. Auch wenn jetzt nur einmal der Pfeil geworfen wird, handelt es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment: Trifft der Werfer das Brett oder nicht (erste Stufe)? Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er dann ein graues, weisses oder schwarzes Feld (zweite Stufe)? In der zweiten Stufe kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus der ersten Stufe des Baumdiagramms aus Teilaufgabe 6.1 übernehmen.
$T$ bezeichne das Ereignis, dass der Pfeil das Brett trifft. Die Bezeichnungen für die Flächen bleiben gleich. Zeichne ein neues Baumdiagramm, um alle Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Kontrolliere, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt.
Aufgabe 6
[Abb. 2]: Baumdiagramm des geänderten Spieles
Aufgabe 6
[Abb. 2]: Baumdiagramm des geänderten Spieles
$P \left( \left\{ T \right\} \right) = 0,75 = \dfrac{3}{4} $
$P \left( \left\{ \overline{T} \right\} \right) = 1 - P(T) = 1 - 0,75 = 0,25 = \dfrac{1}{4} $
$P \left( \left\{ Tg \right\} \right) = P \left( \left\{ T \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ g \right\} \right) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{3 \cdot 4}{4 \cdot 9} = \dfrac{1}{3} $
$P \left( \left\{ Tw \right\} \right) = P \left( \left\{ T \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ w \right\} \right) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 9} = \dfrac{1}{4}$
$P \left( \left\{ Ts \right\} \right) = P \left( \left\{ T \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ s \right\} \right) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9} = \dfrac{1}{6}$
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich $ \dfrac{12}{12} $ bzw. Eins.

Aufgabe 6.6

$\blacktriangleright$   Auszahlungsbetrag der Ereignisse $ \boldsymbol{weiss} $ und $ \boldsymbol{schwarz} $ für ein faires Spiel mit Spieleinsatz $ \boldsymbol{0,50} $ Euro berechnen
Du sollst den Auszahlungsbetrag $y$ für die Ereignisse $ \left\{ \boldsymbol{Ts} \right\} $ und $ \left\{ \boldsymbol{Ts} \right\} $ so bestimmen, dass das Spiel von Team Blau bei einem Spieleinsatz von $ 0,50 $ Euro fair ist.
Die Zufallsgröße $Y:$ Auszahlungsbetrag von Team Blau an Teilnehmer (in Euro) beschreibt, wie viel der Teilnehmer entsprechend seinem Wurf in der geänderten Spielvariante erhält. Die Zufallsgröße muss einen anderen Namen als $X$ erhalten, weil $X$ schon in Teilaufgabe 6.3 verwendet wurde. Der Erwartungswert von $Y$ gibt den durchschnittlichen Auszahlungsbetrag pro Spiel in Euro an.
Ein Spiel ist fair, wenn der Gewinn von Team Blau Null ist. Da Gewinn aus Sicht des Teams Spieleinsatz minus Erwartungswert ist, müssen Erwartungswert und Spieleinsatz gleich sein: $ E(Y) = 0,50 $ Euro.
Stelle eine Tabelle für die Wahrscheinlichkeits–Verteilung der Zufallsgröße $Y$ auf, wobei du die Ergebnisse aus Teilaufgabe 6.5 verwenden kannst, und ermittle den Erwartungswert von $Y.$ Dieser hängt von dem Auszahlungsbetrag $y$ ab, so dass du eine lineare Gleichung in $y$ erhälst, die du lösen sollst.
Ergebnis$ \overline{T}, Tg $$ Tw, Tw $
Auszahlungsbetrag $y_i$ (in Euro)$ 0,00 $$ y $
$ P(Y = y_i) $$ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} $$ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} $
Wegen \[ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 + 4}{12} = \dfrac{7}{12} \quad \text{und} \quad + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3 + 2}{12} = \dfrac{5}{12} \] ist die Summe beider Wahrscheinlichkeiten 1 und somit die Wahrscheinlichkeits–Verteilung der Zufallsgröße $Y$ gegeben. \begin{array}{rcl} E(y) &=& 0,00 \cdot \dfrac{7}{12} + y \cdot \dfrac{5}{12} \\[5pt] &=& 0 + y \cdot \dfrac{7}{12} \\[5pt] &=& y \cdot \dfrac{7}{12} \end{array} Aus der Gleichung $ E(Y) = 0,50 $ eribt sich dann $ y \cdot \dfrac{5}{12} = \dfrac{1}{2} $ bzw. $ y = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{6}{5} = 1,2.$
Team Blau muss seinen Auszahlungsbetrag von $ 1,20 $ Euro festlegen, damit das Spiel fair ist.
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Lösungen Casio
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Aufgabe 6 entfällt ab 2018.
Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem einfachen wissenschaftlichen Taschenrechner durchgeführt werden. Eine Unterscheidung zwischen den Lösungen mit einem GTR von CASIO bzw. TI entfällt aus diesem Grund.

Aufgabe 6.1

$\blacktriangleright$   Baumdiagramm zeichnen
Um ein Baumdiagramm zeichnen zu können, ist es für dich wichtig zu wissen, wie viele Stufen es hat und wie viele Verzweigungen bei jedem neuen Knoten des Baumes möglich sind.
Das Zufallsexperiment ähnelt einem Würfelspiel. Die Rolle des Würfels nimmt ein Pfeil ein, der auf ein Brett geworfen wird. Die möglichen Ausgänge des Experimentes – entsprechend den Seiten des Würfels – sind die verschiedenen Flächenstücke, auf die ein geworfener Pfeil treffen kann: Er kann auf eine schwarze Fläche ($s$), auf eine graue Fläche ($g$) oder auf eine weiße Fläche ($w$) treffen. Verwende für alle folgenden Teilaufgaben die Abkürzungen $s, g$ und $w.$
Weil mit demselben Pfeil zweimal hintereinander geworfen wird, besteht das Baumdiagramm folglich aus zwei Stufen mit jeweils drei Verzweigungen je Knoten des Baumes.
Zeichne dieses Baumdiagramm und ergänze an den Zweigen des Baumes die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten für die Treffflächen $s, g$ und $w.$ Die relativen Häufigkeiten können als Wahrscheinlichkeiten verstanden werden.
Um die relativen Häufigkeiten zu bestimmen, zählst du die Gesamtzahl der rechtwinklig–gleichschenkligen Dreiecke auf dem Brett, wobei ein Quadrat aus zwei rechtwinklig–gleichschenkligen Dreiecken besteht. Für jede Farbe zählst du anschließend, wie oft sie vorkommt (absolute Häufigkeit), und setzt sie ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Dreiecke. Kürze den Bruch so weit wie möglich.
Alternativ kannst du die Gesamtzahl der Quadrate zählen, wobei sich vier Quadrate aus zwei rechtwinklig–gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzen. Für jede Farbe zählst du anschließend die Anzahl der Quadrate (absolute Häufigkeit) und setzt sie ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Quadrate.
Kontrolliere deine Eintragungen mithilfe der Knotenregel: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Baumes, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich Eins.
Aufgabe 6
[Abb. 1]: Baumdiagramm
Aufgabe 6
[Abb. 1]: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis berechnen
Du sollst für jeden Ausgang (jedes Ergebnis) des zusammgesetzten Zufallsexperimentes die Wahrscheinlichkeit berechnen. Diese bestimmst du mithilfe der 1. Pfadmultiplikationsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste (Pfade) des Baumes multipliziert werden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Mithilfe der Regel kannst du alle Wahrscheinlichkeiten ermitteln und sie im Baumdiagramm ergänzen oder als Tabelle auflisten. Die Wahrscheinlichkeiten können als Bruch– oder Dezimalzahl oder als Prozentsatz angegeben werden.
Kontrolliere deine Ergebnisse aufgrund der 2. Pfadadditionsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse. Entlang der Blätter (Ergebnisse) des Baumes werden die Wahrscheinlichkeiten also addiert. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss Eins ergeben.
$P \left( \left\{ ss \right\} \right)$$P \left( \left\{ sg \right\} \right)$$P \left( \left\{ sw \right\} \right)$$P \left( \left\{ gs \right\} \right)$$P \left( \left\{ gg \right\} \right)$$P \left( \left\{ gw \right\} \right)$$P \left( \left\{ ws \right\} \right)$$P \left( \left\{ wg \right\} \right)$$P \left( \left\{ ww \right\} \right)$
$\dfrac{4}{81}$$\dfrac{8}{81}$$\dfrac{6}{81}$$\dfrac{8}{81}$$\dfrac{16}{81}$$\dfrac{12}{81}$$\dfrac{6}{81}$$\dfrac{12}{81}$$\dfrac{9}{81}$
$P \left( \left\{ ss \right\} \right)$$P \left( \left\{ sg \right\} \right)$$P \left( \left\{ sw \right\} \right)$
$\dfrac{4}{81}$$\dfrac{8}{81}$$\dfrac{6}{81}$
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich Eins.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
$P \left( \left\{ ss \right\} \right) = P \left( \left\{ s \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ s \right\} \right) = \dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{2 \cdot 2}{9 \cdot 9} = \dfrac{4}{81}$
$P \left( \left\{ sg \right\} \right) = P \left( \left\{ s \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ g \right\} \right) = \dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{4}{9}$ = $\dfrac{2 \cdot 4}{9 \cdot 9} = \dfrac{8}{81}$
$P \left( \left\{ sw \right\} \right) = P \left( \left\{ s \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ w \right\} \right) = \dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{3}{9}$ = $\dfrac{2 \cdot 3}{9 \cdot 9} = \dfrac{6}{81}$
$P \left( \left\{ gs \right\} \right) = P \left( \left\{ g \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ s \right\} \right) = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{2}{9}$ = $\dfrac{4 \cdot 2}{9 \cdot 9} = \dfrac{8}{81}$
$P \left( \left\{ gg\right\} \right) = P \left( \left\{ g \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ g \right\} \right) = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{4}{9}$ = $\dfrac{4 \cdot 4}{9 \cdot 9} = \dfrac{16}{81}$
$P \left( \left\{ gw \right\} \right) = P \left( \left\{ g \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ w \right\} \right) = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{9}$ = $\dfrac{4 \cdot 3}{9 \cdot 9} = \dfrac{12}{81}$
$P \left( \left\{ ws \right\} \right) = P \left( \left\{ w \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ s \right\} \right) = \dfrac{3}{9} \cdot \dfrac{2}{9}$ = $\dfrac{3 \cdot 2}{9 \cdot 9} = \dfrac{6}{81}$
$P \left( \left\{ wg \right\} \right) = P \left( \left\{ w \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ g \right\} \right) = \dfrac{3}{9} \cdot \dfrac{4}{9}$ = $\dfrac{3 \cdot 4}{9 \cdot 9} = \dfrac{12}{81}$
$P \left( \left\{ ww \right\} \right) = P \left( \left\{ w \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ w \right\} \right) = \dfrac{3}{9} \cdot \dfrac{3}{9}$ = $\dfrac{3 \cdot 3}{9 \cdot 9} = \dfrac{9}{81}$
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich $ \frac{81}{81} $ bzw. Eins.

Aufgabe 6.2

$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $ \boldsymbol{A}, \; \boldsymbol{B}, \; \boldsymbol{C}, \; \boldsymbol{D} $ berechnen
Für jedes der im Aufgabentext formulierten Ereignisse besteht deine Aufgabe darin, die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.
Jedes Ereignis setzt sich aus den Ergebnissen zusammen, bei denen das Ereignis eingetreten ist. Prüfe jedes Ergebnis im Baumdiagramm darauf hin, ob es zum Ereignis gehört oder nicht. So gelangst du zu einer Beschreibung des Ereignisses in aufzählender Form.
Kontrollergebnisse:
$ P(A) = P \left( \left\{ ww \right\} \right) $
$ P(B) = P \left( \left\{ ss; \; gg; \; ww \right\} \right) $
$ P(C) = P \left( \left\{ ss; \; sg; \; sw; \; gs; \; ws \right\} \right) $
$ P(D) = P \left( \left\{ sg; \; sw; \; gs; \; ws \right\} \right) $
Die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses kannst du anschließend mit der 2. Pfadadditionsregel berechnen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Alle Wahrscheinlichkeiten, die in der Auflistung aufgeführt sind, kannst du deiner Tabelle aus Teilaufgabe 6.1 entnehmen und mit dem GTR die Gesamtwahrscheinlichkeit ermitteln. Fülle die Tabelle aus
$ P(A) $$ P(B) $$ P(C) $$ P(D) $
$ \dfrac{9}{81} $$ \dfrac{29}{81} $$ \dfrac{32}{81} $$ \dfrac{28}{81} $
Die Wahrscheinlichkeiten können in Prozentschreibweise oder als (gekürzter) Bruch– bzw. Dezimalzahl angegeben werden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Die Wahrscheinlichkeiten werden als gekürzte Bruchzahlen angegeben:
\[ \begin{array}{rcl} P(A) &=& P \left( \left\{ ww \right\} \right) \\ &=& \dfrac{9}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{9} \\[5pt] P(B) &=& P \left( \left\{ ss; \; gg; \; ww \right\} \right) \\[5pt] &=& P \left( \left\{ ss \right\} \right) + P \left( \left\{ gg \right\} \right) + P \left( \left\{ ww \right\} \right) \\ &=& \dfrac{4}{81} + \dfrac{16}{81} + \dfrac{9}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{4 + 16 + 9}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{29}{81} \\[5pt] P(C) &=& P \left( \left\{ ss; \; sg; \; sw; \; gs; \; ws \right\} \right) \\ &=& P \left( \left\{ ss \right\} \right) + P \left( \left\{ sg \right\} \right) + P \left( \left\{ sw \right\} \right) + P \left( \left\{ gs \right\} \right) + P \left( \left\{ ws \right\} \right) \\ &=& \dfrac{4}{81} + \dfrac{8}{81} + \dfrac{6}{81} + \dfrac{8}{81} + \dfrac{6}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{4 + 8 + 6 + 8 + 6}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{32}{81} \\[5pt] P(D) &=& P \left( \left\{ sg; \; sw; \; gs; \; ws \right\} \right) \\ &=& P \left( \left\{ sg \right\} \right) + P \left( \left\{ sw \right\} \right) + P \left( \left\{ gs \right\} \right) + P \left( \left\{ ws \right\} \right) \\ &=& \dfrac{8}{81} + \dfrac{6}{81} + \dfrac{8}{81} + \dfrac{6}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{8 + 6 + 8 + 6}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{28}{81} \\ \end{array} \]
Alternative Berechnung:
\[ P(D) = P(C) - P \left( \left\{ ss \right\} \right)= \frac{32}{81} - \frac{4}{81} = \frac{28}{81} \]
\[ \begin{array}{rcl} P(A) &=& P \left( \left\{ RR \right\} \right) \\ &=& \dfrac{9}{81} \\[5pt] P(B) &=& \dfrac{29}{81} \\[5pt] P(C) &=& \dfrac{32}{81} \\[5pt] P(D) &=& \dfrac{28}{81} \end{array} \]
$\blacktriangleright$   Gegenereignis zu $ \boldsymbol{C} $ formulieren
Deine Aufgabe ist es, mit Worten das Gegenereignis von $C$ zu formulieren. Eine sprachliche Formulierung ist nicht immer eindeutig, so dass mehrere Antworten richtig sein können. Schaue im Baumdiagramm nach, welche Ergebnisse für das Gegenereignis von $C$ in Frage kommen.
$\overline{C}:$ ,,Bei beiden Würfen mit dem Pfeil wird schwarz nicht getroffen."
Alternative Formulierungen:
,,Bei beiden Würfen mit dem Pfeil wird weniger als einmal schwarz getroffen" oder ,,Bei beiden Würfen mit dem Pfeil wird keinmal schwarz getroffen" oder ,,Bei beiden Würfen mit dem Pfeil wird schwarz überhaupt nicht getroffen."

Aufgabe 6.3

$\blacktriangleright$   Gewinn für $ \boldsymbol{500} $ Spielteilnehmer berechnen
Deine Aufgabe ist es zu ermittteln, wie hoch der Gewinn durchschnittlich sein wird, wenn 500 Personen an dem Spiel teilnehmen. Du kannst dir z. B. in Form einer Tabelle aufschreiben, welchen Auszahlungsbetrag ein Teilnehmer erhält, wenn ein bestimmtes Ergebnis eingetreten ist. Alternativ könntest du hinter jedem Ergebnis des Baumdiagramms den Auszahlungsbetrag notieren.
Weil dieser Betrag vom Zufall abhängt, ist es sinnvoll, die Zufallsgröße $\boldsymbol{X}:$ Auszahlungsbetrag von Team Orange an Teilnehmer (in Euro) einzuführen. Die Bezeichnung der Zufallsgröße ist willkürlich. Fülle die folgende Tabelle aus. Berücksichtige dabei, dass der Spieleinsatz von 1 Euro noch nicht mit eingerechnet wird. Die Tabelle zeigt also den Auszahlungsplan je nach Ergebnis der beiden Würfe. Sie wird auch Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$ genannt.
Ergebnis$ gg $$ gw, wg $$ ww $$ gs, sg $$ ws, sw $$ ss $
Auszahlungsbetrag $x_i$ (in Euro)$ 0,00 $$ 0,25 $$ 0,50 $$ 1,00 $$ 1,25 $$ 2,00 $
$ P(X = x_i) $$ \dfrac{16}{81} $$ \dfrac{24}{81} $$ \dfrac{9}{81} $$ \dfrac{16}{81} $$ \dfrac{12}{81} $$ \dfrac{4}{81} $
Ergebnis$ gg $$ gw, wg $
Auszahlungsbetrag $x_i$ (in Euro)$ 0,00 $$ 0,25 $
$ P(X = x_i) $$ \dfrac{16}{81} $$ \dfrac{16}{81} $
Der durchschnittliche Auszahlungsbetrag ist der Erwartungswert der Zufallsgröße $X.$ Das bedeutet, dass sich der Gewinn von Team Orange auf lange Sicht für ein Spiel aus der Differenz von Spieleinsatz und Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ berechnet.
Den Erwartungswert $ E(X) $ berechnest du mithilfe der Formel
$ E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i). $ $ E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i). $
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Du musst also spaltenweise den Auszahlungsbetrag mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multiplizieren und anschließend alle Produkte aufaddieren.
Wegen $ E(X) \approx 0,61 $ Euro und einem Spieleinsatz von $1$ Euro beträgt der Gewinn 1,00 Euro - 0,61 Euro = 0,39 Euro pro Spiel. Wegen $ 500 \cdot 0,39 = 195,00 $ ist der Gewinn bei 500 Teilnehmern ca. $ 195,00 $ Euro.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Setzte die Werte in die Formel ein und berechne das Ergebnis. Ermittle dann den Gewinn.
\[ \begin{array}{rcl} E(X) &=& \dfrac{16}{81} \cdot 0,00 + \dfrac{24}{81} \cdot 0,25 + \dfrac{9}{81} \cdot 0,50 + \dfrac{16}{81} \cdot 1,00 + \dfrac{12}{81} \cdot 1,25 + \dfrac{4}{81} \cdot 2,00 \\[5pt] &=& 0 + \dfrac{24}{81} \cdot \dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{81} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{16}{81} + \dfrac{12}{81} \cdot \dfrac{5}{4} + \dfrac{8}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{24 \cdot 1}{81 \cdot 4} + \dfrac{9 \cdot 1}{81 \cdot 2} + \dfrac{16}{81} + \dfrac{12 \cdot 5}{81 \cdot 4} + \dfrac{8}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{6}{81} + \dfrac{9}{162} + \dfrac{16}{81} + \dfrac{15}{81} + \dfrac{8}{81} \\[5pt] &=& \dfrac{12 + 9 + 32 + 30 + 16}{162} \\[5pt] &=& \dfrac{99}{162} \\[5pt] &=& \dfrac{11}{18} \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl}E(X) &=& \dfrac{11}{18} \end{array} \]
Wegen $ E(X) = \frac{11}{18} $ Euro und einem Spieleinsatz von $1$ Euro beträgt der Gewinn 1,00 Euro - $ \frac{11}{18} $ Euro = $ \frac{7}{18} $ Euro pro Spiel. Wegen $ 500 \cdot \frac{7}{18} = \frac{500 \cdot 7}{18} = \frac{1775}{9} = 194 \frac{4}{9} $ ist der Gewinn bei 500 Teilnehmern ca. $ 194,44 $ Euro.
Bei 500 Spielen kann das Team Orange mit einem Gewinn von ca. $ 194,44 $ Euro rechnen.

Aufgabe 6.4

$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $ \boldsymbol{weiss, \, grau} $ und $ \boldsymbol{schwarz} $ für das neue Spiel berechnen
Die Aufgabe besteht für dich darin, die Wahrscheinlichkeiten bei einem Pfeilwurf für einen Treffer auf den Flächen grau, weiss und schwarz zu ermitteln. Auch wenn jetzt nur einmal der Pfeil geworfen wird, handelt es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment: Trifft der Werfer das Brett oder nicht (erste Stufe)? Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er dann ein graues, weisses oder schwarzes Feld (zweite Stufe)? In der zweiten Stufe kannst du die Wahrscheinlichkeiten aus der ersten Stufe des Baumdiagramms aus Teilaufgabe 6.1 übernehmen.
$T$ bezeichne das Ereignis, dass der Pfeil das Brett trifft. Die Bezeichnungen für die Flächen bleiben gleich. Zeichne ein neues Baumdiagramm, um alle Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Kontrolliere, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt.
Aufgabe 6
[Abb. 2]: Baumdiagramm des geänderten Spieles
Aufgabe 6
[Abb. 2]: Baumdiagramm des geänderten Spieles
$P \left( \left\{ T \right\} \right) = 0,75 = \dfrac{3}{4} $
$P \left( \left\{ \overline{T} \right\} \right) = 1 - P(T) = 1 - 0,75 = 0,25 = \dfrac{1}{4} $
$P \left( \left\{ Tg \right\} \right) = P \left( \left\{ T \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ g \right\} \right) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{3 \cdot 4}{4 \cdot 9} = \dfrac{1}{3} $
$P \left( \left\{ Tw \right\} \right) = P \left( \left\{ T \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ w \right\} \right) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 9} = \dfrac{1}{4}$
$P \left( \left\{ Ts \right\} \right) = P \left( \left\{ T \right\} \right) \cdot P \left( \left\{ s \right\} \right) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9} = \dfrac{1}{6}$
Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich $ \dfrac{12}{12} $ bzw. Eins.

Aufgabe 6.6

$\blacktriangleright$   Auszahlungsbetrag der Ereignisse $ \boldsymbol{weiss} $ und $ \boldsymbol{schwarz} $ für ein faires Spiel mit Spieleinsatz $ \boldsymbol{0,50} $ Euro berechnen
Du sollst den Auszahlungsbetrag $y$ für die Ereignisse $ \left\{ \boldsymbol{Ts} \right\} $ und $ \left\{ \boldsymbol{Ts} \right\} $ so bestimmen, dass das Spiel von Team Blau bei einem Spieleinsatz von $ 0,50 $ Euro fair ist.
Die Zufallsgröße $Y:$ Auszahlungsbetrag von Team Blau an Teilnehmer (in Euro) beschreibt, wie viel der Teilnehmer entsprechend seinem Wurf in der geänderten Spielvariante erhält. Die Zufallsgröße muss einen anderen Namen als $X$ erhalten, weil $X$ schon in Teilaufgabe 6.3 verwendet wurde. Der Erwartungswert von $Y$ gibt den durchschnittlichen Auszahlungsbetrag pro Spiel in Euro an.
Ein Spiel ist fair, wenn der Gewinn von Team Blau Null ist. Da Gewinn aus Sicht des Teams Spieleinsatz minus Erwartungswert ist, müssen Erwartungswert und Spieleinsatz gleich sein: $ E(Y) = 0,50 $ Euro.
Stelle eine Tabelle für die Wahrscheinlichkeits–Verteilung der Zufallsgröße $Y$ auf, wobei du die Ergebnisse aus Teilaufgabe 6.5 verwenden kannst, und ermittle den Erwartungswert von $Y.$ Dieser hängt von dem Auszahlungsbetrag $y$ ab, so dass du eine lineare Gleichung in $y$ erhälst, die du lösen sollst.
Ergebnis$ \overline{T}, Tg $$ Tw, Tw $
Auszahlungsbetrag $y_i$ (in Euro)$ 0,00 $$ y $
$ P(Y = y_i) $$ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} $$ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} $
Wegen \[ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 + 4}{12} = \dfrac{7}{12} \quad \text{und} \quad + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3 + 2}{12} = \dfrac{5}{12} \] ist die Summe beider Wahrscheinlichkeiten 1 und somit die Wahrscheinlichkeits–Verteilung der Zufallsgröße $Y$ gegeben. \begin{array}{rcl} E(y) &=& 0,00 \cdot \dfrac{7}{12} + y \cdot \dfrac{5}{12} \\[5pt] &=& 0 + y \cdot \dfrac{7}{12} \\[5pt] &=& y \cdot \dfrac{7}{12} \end{array} Aus der Gleichung $ E(Y) = 0,50 $ eribt sich dann $ y \cdot \dfrac{5}{12} = \dfrac{1}{2} $ bzw. $ y = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{6}{5} = 1,2.$
Team Blau muss seinen Auszahlungsbetrag von $ 1,20 $ Euro festlegen, damit das Spiel fair ist.
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