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Vorschlag A

Aufgaben
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Aufgabe 1 - Vorschlag A

1.1
Gib Lage und Art der Nullstellen der Funktion $f$ mit
$f(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2\left(x+\frac{4}{3}\right)$; $x\in \mathbb{R}$ an.
(3P)
1.2
Bestimme die Gleichung der Tangente in $P(2\mid f(2))$ an das Schaubild der Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)+x$; $x\in \mathbb{R}$.
(4P)
1.3
Berechne die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{3}x^4-6x^2+13$; $x\in \mathbb{R}$.
(4P)
1.4
Gegeben sind die Abbildungen $A$, $B$ und $C$. Sie zeigen die Schaubilder einer Funktion $h$, der Ableitungsfunktion $h´$ von $h$ und einer weiteren Funktion $k$.
Begründe, welche Abbildung zum Schaubild von $h$ , $h´$ und $k$ gehört.
(3P)
1.5
Das Schaubild einer Polynomfunktion 4. Grades hat den Hochpunkt $H(0\mid 4)$, den Tiefpunkt $T(1\mid 2)$ und an der Stelle $-1$ die Steigung $12$.
Bestimme ein lineares Gleichungssystem, mit dessen Hilfe sich der Term dieser Funktion bestimmen lässt.
(Das Berechnen der Lösungen des LGS ist nicht erforderlich.)
(5P)
1.6
Bestimme $u> 0$ so, dass $\displaystyle\int_{0}^{u} \frac{1}{2}x^4 \;\mathrm dx=3,2$.
(4P)
1.7
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=3\mathrm e^{-2x}-\frac{5}{2}$; $x\in \mathbb{R}$, ihr Schaubild ist $K_f$.
Bestimme die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von $K_f$.
Skizziere $K_f$.
(5P)
1.8
Das Schaubild der Funktion $f$ mit $f(x)=\sin(x)$; $x\in \mathbb{R}$ wird um den Faktor $5$ in $y$-Richtung gestreckt und um $3$ nach rechts verschoben.
Gib den zugehörigen Funktionsterm an.
(2P)
Bildnachweise [nach oben]
[A]
© 2016 – SchulLV.
[B]
© 2016 – SchulLV.
[C]
© 2016 – SchulLV.
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Tipps
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$   Lage und Art von Nullstellen berechnen
Deine Aufgabe ist es, die Lage und Art der Nullstellen der Funktion $f$ anzugeben.
Die Lage einer Nullstelle beschreibt den Wert der Stelle auf der $x$–Achse, für den $ f(x) = 0 $ ist.
Wenn eine Nullstelle mehrfach vorkommt, so gibt die Häufigkeit ihres Vorkommens die Vielfachheit (einfach, zweifach, dreifach) der Nullstelle an. Das ist mit dem Begriff Art der Nullstelle gemeint. Bei einer einfachen, dreifachen, fünffachen $\ldots$ Nullstelle wechselt die Funktion das Vorzeichen, und das Schaubild $K_f$ durchschneidet die $x$–Achse. Für eine zweifache, vierfache, sechsfache $\ldots $ Nullstelle liegt keine Vorteichenwechsel von $f$ vor, und das Schaubild $K_f$ berührt die $x$–Achse. Die Nullstelle wird auch Berührstelle genannt.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$   Tangentengleichung in einem Punkt des Schaubildes auftstellen
Wenn du die Gleichung einer Tangente an einem Punkt $ P(2 \mid f(2)) $ des Schaubildes einer Funktion $f$ bestimmen sollst, benötigst du die vollständigen Koordinaten des Punktes $P$ und außerdem die Tangentengleichung $t$ aus der Merkhilfe auf Seite 5, wobei $ u = 2 $ die Stelle ist, wo die Tangente zu berechnen ist. Sie entnimmst du stets dem $x$–Wert des angegebenen Punktes $P:$
$ t(x) = f'(u) \cdot (x - u) + f(u). $ $ t(x) = f'(u) \cdot (x - u) + f(u). $
Du musst noch die Werte $ f(2)$ und $f'(2)$ berechnen und sie anschließend in die Formel einsetzen. Löse abschließend die Klammern auf, um die Tangentengleichung in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten. Der Wert der Steigung $ f'(2) $ gibt die Steigung des Schaubildes $K_f$ an und ist identisch mit der Steigung $m$ der Tangente ist. Benutze die Merkhilfe zum Thema ,,Ableitungsregeln'' und ,,Spezielle Ableitungen'' auf Seite 4, um die Ableitung $f'$ zu berechnen.
Nach Einsetzen der Werte in die Tangentengleichung ergibt sich im Punkt $P$ des Schaubildes die gesuchte Gleichung.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$   Wendepunkt berechnen
Das Schaubild soll auf Wendepunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f'$ auf Extremstellen untersuchen. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen (Merkhilfe auf Seite 5):
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt.
Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
1. Schritt: 3. Ableitung der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Die Merkhilfe zeigt dir, wie du die Ableitungsfunktion $k'$ einer Potenzfunktion $k$ mit $k(x) = x^r \, r \in \mathbb{R}, $ bestimmen kannst:
$ k'(x) = r \cdot x^{r-1}. $ $ k'(x) = r \cdot x^{r-1}. $
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Wendestelle tatsächlich Wendestelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1$ und $x_2$ in den Term der dritten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Wendepunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$   Schaubilder einer Funktion und ihrer Ableitung zuordnen
Du sollst begründet angeben, welches Schaubild zu den Funktionen $h, \, h' $ und $k$ gehört. Um sie zuordnen zu können, ist es wichtig, bestimmte Zusammenhänge zwischen dem Schaubild einer Funktion und dem Schaubild ihrer Ableitungsfunktion zu kennen.
(3P)
Markiere dir in jedem Schaubild die markanten Punkte (Hoch–, Tief–, Wende– und Sattelpunkte) und wende die Zusammenhänge an, um die Schaubilder von $h$ und $h'$ zuordnen zu können. Benenne auch ein Argument, warum das Schaubild zu C nicht das Schaubild von $h$ bzw. $h'$ ist.
  • Im Extrempunkt des Schaubildes von $f$ liegt eine waagerechte Tangente vor, d. h. ihre Steigung $m$ in diesem Punkt ist Null und somit $ m = f'(x) = 0 $ (notwendige Bedingung). Das Schaubild von $f'$ muss dort die $x$–Achse schneiden bzw. $f$ dort eine Nullstelle besitzen.
  • Im Wendepunkt des Schaubildes von $f$ liegt ein Extrempunkt des Schaubildes von $f'$ vor. Wenn die Steigung des Schaubildes von $f$ vor dem Wendepunkt abnimmt und anschließend zunimmt, liegt bei dem Schaubild von $f'$ ein Tiefpunkt vor. Wenn die Steigung des Schaubildes von $f$ vor dem Wendepunkt zunimmt und anschließend abimmt, liegt bei dem Schaubild von $f'$ ein Hochpunkt vor.
  • Wenn beides beim Schaubild von $f$ zutrifft, also ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente vorliegt, liegt ein Sattelpunkt vor. Das Schaubild von $f'$ muss dort also die $x$–Achse schneiden ($f$ besitzt dort eine doppelte Nullstelle) und einen Extrempunkt vorweisen.

Aufgabe 1.5

$\blacktriangleright$   LGS für die Bestimmung eines Funktionsterms 4. Grades aufstellen
Deine Aufgabe besteht darin, aus den Angaben der Koordinaten zweier Extrempunkte und dem Wert der Steigung an der Stelle $ x = -1 $ ein lineares Gleichungssystem (LGS) aufzustellen, mithilfe dessen sich der Term einer Polynomfunktion 4. Grades bestimmen lässt.
Die Lösung des LGS wird von dir nicht verlangt, so dass du den Funktionsterm nicht berechnen musst.
Eine Polynomfunktion 4. Grades besitzt den Funktionsterm \begin{align*} f(x) &= ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \\ f'(x) &= 4ax^3 +3bx^2 +2cx + d \end{align*} Das Einsetzen der Koordinaten der Extrempunkte liefert dir zwei Gleichungen, eine weitere erhälst du durch das Einsetzen der Stelle $ x = -1 $ in den Term der Ableitungsfunktion. Der Termwert ist 12.
Im Extrempunkt des Schaubildes von $f$ liegt eine waagerechte Tangente vor, d. h. ihre Steigung $m$ in diesem Punkt ist Null und somit $ m = f'(x) = 0 $ (notwendige Bedingung). $f$ besitzt dort eine Nullstelle. Nutze dieses Wissen aus, um die beiden fehlenden Gleichungen aufzustellen.
Nach dem Aufstellen der Funkionsgleichungen wird von dir erwartet, dass nach dem Einsetzen aller gegebenen $x$–Werte du ein LGS mit fünf Gleichungen in den Unbekannten $ a, \, b, \, c, \, d $ und $e$ formulieren kannst.
Der $ H(0 \mid 4) $ liefert durch die Punktprobe $ f(0) = 4 $ und aufgrund der Eigenschaft als Extrempunkt $ f'(0) = 0.$
Der $ T(1 \mid 2) $ liefert durch die Punktprobe $ f(1) = 2 $ und aufgrund der Eigenschaft als Extrempunkt $ f'(1) = 0.$
Die Steigunsbedingung ergibt $ f'(-1) = 12.$
Eingesetzt in den Funktionsterm $f(x)$ bzw. $f'(x)$ ergibt sich das LSG.

Aufgabe 1.6

$\blacktriangleright$   Obergrenze eines Integrals mit bekanntem Wert bestimmen
Du sollst die Obergrenze $ u > 0 $ des Integrals $ \mathop {\int}\limits_{0}^u \frac{1}{2} \cdot x^{4} \, \mathrm{d}x $ so bestimmen, das es den Wert $ 3,2 $ hat. Die Merkhilfe zum Thema Stammfunktionen'' auf Seite 4 zeigt dir, wie du ein Integral berechnen kannst: Du bestimmst zunächst eine Stammfunktion von $ \dfrac{1}{2} \cdot x^{4} $ mithilfe der Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $ $ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $
Diese musst du noch anpassen, so dass du eine Stammfunktion von $ H(x) $ von $ \frac{1}{2} \cdot x^{4} $ erhälst.
Die Merkhilfe zum Thema ,,Berechnung eines bestimmten Integrals'' auf Seite 6 stellt dir den Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung zur Verfügung:
\[ \mathop {\int}\limits_{0}^u \dfrac{1}{2} \cdot x^{4} \, \mathrm{d}x = H(u) - H(0). \] Jetzt kannst du $ u > 0 $ durch Lösung der Gleichung $ H(u) - H(0) = 3,2 $ bestimmen.

Aufgabe 1.7

$\blacktriangleright$   Koordinaten der Schnittpunkte von $K_f$ mit der $x$–Achse bestimmen
Um die Schittpunkte des Schaubildes der Funktion $f$ zu berechnen, besteht deine Aufgabe darin, zwei Gleichungen zu betrachten.
Ausgangspunkt ist die Gleichung $ y = f(x), $ aus der sich das Schaubild ergibt.
Im Schnittpunkt mit der $y$–Achse ist $ x = 0, $ durch die Berechnung von $ f(0) $ ergibt sich sein $y$–Wert.
Im Schnittpunkt mit der $x$–Achse ist $ y = 0. $ Durch Lösen der Gleichung $ f(x) = 0 $ ermittelst du seine Lage und seine Art (vergleiche Aufgabe 1.1). Für die Angabe der Koorodinaten der Schnittpunkte sind $x$– und $y$–Wert zu benennen.
$\blacktriangleright$   Skizze des Schaubilds $K_f$
Du sollst eine Skizze von $K_f$ anfertigen. Eine Skizze ist keine Zeichnung und die grobe Darstellung des Verlaufs.
Zeichne ein Koordinatensystem und trage die Achsenschnittpunkte ein. Überlege dir, wie der Verlauf des Schaubildes von $e^x$ ist bzw. welche Bedeutung $ - \frac{5}{2} $ im Funktionsterm für das Schaubild hat:
Es ist in negative $y$–Richtung verschoben. Wie ändert sich dann die Gleichung der Asymptote? Trage auch diese ein und vervollständige die Skizze.

Aufgabe 1.8

$\blacktriangleright$   Funktionsterm einer in $y$–Richtung gestreckten und nach rechts verschobenen Schaubilds bestimmen
Die Aufgabe besteht für dich darin, aus dem Funktionsterm $f(x)$ einen neuen Funktionsterm herzuleiten, der zu dem gestreckten und verschobenen Schaubild gehört. Schaue in der Merkhilfe zum Thema ,,Spiegelung / Verschiebung / Streckung von Schaubildern'' auf Seite 4 nach und setze die gegebenen Werte ein.
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Aufgabe 1 ist ab 2018 ohne den Einsatz eines Taschenrechners zu lösen.

Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$   Lage und Art von Nullstellen berechnen
Deine Aufgabe ist es, die Lage und Art der Nullstellen der Funktion $f$ mit $ f(x) = \frac{1}{2} \cdot (x - 3)^2 \cdot (x + \frac{4}{3}) $ anzugeben.
Die Lage einer Nullstelle beschreibt den Wert der Stelle auf der $x$–Achse, für den $ f(x) = 0 $ ist.
Wenn eine Nullstelle mehrfach vorkommt, so gibt die Häufigkeit ihres Vorkommens die Vielfachheit (einfach, zweifach, dreifach) der Nullstelle an. Das ist mit dem Begriff Art der Nullstelle gemeint. Bei einer einfachen, dreifachen, fünffachen $\ldots$ Nullstelle wechselt die Funktion das Vorzeichen, und das Schaubild $K_f$ durchschneidet die $x$–Achse. Für eine zweifache, vierfache, sechsfache $\ldots $ Nullstelle liegt kein Vorzeichenwechsel von $f$ vor, und das Schaubild $K_f$ berührt die $x$–Achse. Die Nullstelle wird auch Berührstelle genannt. \begin{align*} f(x) &= 0 \\ \dfrac{1}{2} \cdot (x - 3)^2 \cdot (x + \dfrac{4}{3}) &= 0 \quad \mid \, : \dfrac{1}{2} \\ (x - 3)^2 \cdot (x + \dfrac{4}{3}) &= 0 \quad \text{(Satz vom Nullprodukt)} \\ (x - 3)^2 &= 0 \quad \mid \, \sqrt{} \quad \text{oder} \quad x + \dfrac{4}{3} = 0 \quad \mid \, -\dfrac{4}{3} \\ x_{1,2} &= 3 \quad \text{oder} \quad x_3 = -\dfrac{4}{3} \end{align*} Die Funktion $f$ besitzt die zweifache Nullstelle (Berührstelle) $ x = 3 $ und die einfache Nullstelle (Berührstelle) $ x = -\frac{4}{3}. $

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$   Tangentengleichung in einem Punkt des Schaubildes auftstellen
Wenn du die Gleichung einer Tangente an einem Punkt $ P(2 \mid f(2)) $ des Schaubildes einer Funktion $f$ bestimmen sollst, benötigst du die vollständigen Koordinaten des Punktes $P$ und außerdem die Tangentengleichung $t$ aus der Merkhilfe auf Seite 5, wobei $ u = 2 $ die Stelle ist, wo die Tangente zu berechnen ist. Sie entnimmst du stets dem $x$–Wert des angegebenen Punktes $P:$
$ t(x) = f'(u) \cdot (x - u) + f(u). $ $ t(x) = f'(u) \cdot (x - u) + f(u). $
Du musst noch die Werte $ f(2)$ und $f'(2)$ berechnen und sie anschließend in die Formel einsetzen. Löse abschließend die Klammern auf, um die Tangentengleichung in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten.
Der Wert der Steigung $ f'(2) $ gibt die Steigung des Schaubildes $K_f$ an und ist identisch mit der Steigung $m$ der Tangente ist. Benutze die Merkhilfe zum Thema ,,Ableitungsregeln'' und ,,Spezielle Ableitungen'' auf Seite 4, um die Ableitung $f'$ zu berechnen.
Die Formel für die Ableitungsfunktion $k'$ einer Funktion $k$ mit $k(x) = \sin (a \cdot x), \, a \in \mathbb{R}, $ ist
$ k'(x) = a \cdot \cos (a \cdot x). $ $ k'(x) = a \cdot \cos (a \cdot x). $
\begin{align*} f(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \sin(\dfrac{\pi}{4} x) + x \\[5pt] f'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4} \cdot \cos(\dfrac{\pi}{4} x) + 1 \\[5pt] &= \dfrac{\pi}{8} \cdot \cos(\dfrac{\pi}{4} x) + 1 \\[5pt] f(2) &= \dfrac{1}{2} \cdot \sin(\dfrac{\pi}{4} \cdot 2) + 2 \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot \sin(\dfrac{\pi}{2}) + 2 \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot 1 + 2 \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} + 2 \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{2} \\[5pt] &= \dfrac{5}{2} \\[5pt] f'(2) &= \dfrac{\pi}{8} \cdot \cos(\dfrac{\pi}{4} \cdot 2) + 1 \\[5pt] &= \dfrac{\pi}{8} \cdot \cos(\dfrac{\pi}{2}) + 1 \\[5pt] &= \dfrac{\pi}{8} \cdot 0 + 1 \\[5pt] &= 0 + 1 \\[5pt] &= 1 \end{align*} Nach Einsetzen der Werte in die Tangentengleichung ergibt sich im Punkt $P$ des Schaubildes: \[ t: t(x) = f'(2) \cdot (x - 2) + f(2) = 1 \cdot (x - 2) + \dfrac{5}{2} = x - 2 + \dfrac{5}{2} = x - \dfrac{4}{2} + \dfrac{5}{2} = x + \dfrac{1}{2}. \] Die Gleichung der Tangente in $P\left( 2 \mid \frac{5}{2} \right) $ an das Schaubild der Funktion $f$ lautet $ t(x) = x + \frac{1}{2}. $

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$   Wendepunkt berechnen
Das Schaubild soll auf Wendepunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f'$ auf Extremstellen untersuchen. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen (Merkhilfe auf Seite 5):
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt.
Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
1. Schritt: 3. Ableitung der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Die Merkhilfe auf Seite 4 zeigt dir, wie du die Ableitungsfunktion $k'$ einer Potenzfunktion $k$ mit $k(x) = x^r \, r \in \mathbb{R}, $ bestimmen kannst:
$ k'(x) = r \cdot x^{r-1}. $ $ k'(x) = r \cdot x^{r-1}. $
\begin{align*} f(x) &= \dfrac{1}{3} \cdot x^4 - 6 \cdot x^2 + 13 \\[5pt] f'(x) &= \dfrac{1}{3} \cdot 4 \cdot x^3 - 6 \cdot 2 \cdot x + 0 \\[5pt] &= \dfrac{4}{3} \cdot x^3 - 12 \cdot x \\[5pt] f''(x) &= \dfrac{4}{3} \cdot 3 \cdot x^2 - 12 \cdot 1 \\[5pt] &= 4 \cdot x^2 - 12 \\[5pt] f'''(x) &= 4 \cdot 2 \cdot x - 0 \\[5pt] f'''(x) &= 8 \cdot x \end{align*}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Wendestelle muss die notwendige Bedingung $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$ erfüllt sein.
\begin{array}{rcll} f''(x) &=& 0 \\ 4x^2 - 12 &=& 0 & \mid \; \scriptsize + 12 \\[5pt] 4x^2 &=& 12 & \mid \; \scriptsize : 4 \\[5pt] x^2 &=& 3 & \mid \; \scriptsize \sqrt{\;} \\[5pt] x &=& \pm \sqrt{3} \end{array}
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=-\sqrt{\frac{4}{3}}}$ und $\boldsymbol{x_2=\sqrt{\frac{4}{3}}}$ sind mögliche Wendestellen. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Wendestellen sind, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Wendestelle tatsächlich Wendestelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1=-\sqrt{\frac{4}{3}}$ und $x_2=\sqrt{\frac{4}{3}}$ in den Term der dritten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Wendepunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
\begin{align*} f'''\left( \pm \sqrt{3} \right) &= 8 \cdot \left( \pm \sqrt{3} \right) \neq 0 \\[5pt] f\left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right) &= \dfrac{1}{3} \cdot \left( \sqrt{3} \right)^4 - 6 \cdot \left( \sqrt{3} \right)^2 + 13 \\[5pt] &= \dfrac{1}{3} \cdot \left( \sqrt{3} \right)^2 \cdot \left( \sqrt{3} \right)^2 - 6 \cdot \left( \sqrt{3} \right)^2 + 13 \\[5pt] &= \dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 - 6 \cdot 3 + 13 \\[5pt] &= 1 \cdot 3 - 18 + 13 \\[5pt] &= 3 - 5 \\[5pt] &= -2 \end{align*} Die Koordinaten der Wendepunkte von $K_f$ sind $ W_1 \left( -\sqrt{3} \mid -2 \right) $ und $ W_2 \left( \sqrt{3} \mid -2 \right). $

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$   Schaubilder einer Funktion und ihrer Ableitung zuordnen
Du sollst begründet angeben, welches Schaubild zu den Funktionen $h, \, h' $ und $k$ gehört. Um sie zuordnen zu können, ist es wichtig, bestimmte Zusammenhänge zwischen dem Schaubild einer Funktion und dem Schaubild ihrer Ableitungsfunktion zu kennen.
Markiere dir in jedem Schaubild die markanten Punkte (Hoch–, Tief–, Wende– und Sattelpunkte) und wende die Zusammenhänge an, um die Schaubilder von $h$ und $h'$ zuordnen zu können. Benenne auch ein Argument, warum das Schaubild zu C nicht das Schaubild von $h$ bzw. $h'$ ist.
  • Im Extrempunkt des Schaubildes von $f$ liegt eine waagerechte Tangente vor, d. h. ihre Steigung $m$ in diesem Punkt ist Null und somit $ m = f'(x) = 0 $ (notwendige Bedingung). Das Schaubild von $f'$ muss dort die $x$–Achse schneiden bzw. $f'$ dort eine Nullstelle besitzen.
  • Im Wendepunkt des Schaubildes von $f$ liegt ein Extrempunkt des Schaubildes von $f'$ vor. Wenn die Steigung des Schaubildes von $f$ vor dem Wendepunkt abnimmt und anschließend zunimmt, liegt bei dem Schaubild von $f'$ ein Tiefpunkt vor. Wenn die Steigung des Schaubildes von $f$ vor dem Wendepunkt zunimmt und anschließend abimmt, liegt bei dem Schaubild von $f'$ ein Hochpunkt vor.
  • Wenn beides beim Schaubild von $f$ zutrifft, also ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente vorliegt, liegt ein Sattelpunkt vor. Das Schaubild von $f'$ muss dort also die $x$–Achse schneiden ($f$ besitzt dort eine doppelte Nullstelle) und einen Extrempunkt vorweisen.
Das Schaubild in B besitzt bei $ x = 1 $ einen Sattelpunkt und bei $ x = 2 $ einen Tiefpunkt. Somit hat das Schaubild ihrer Ableitungsfunktion bei $ x = 1 $ eine doppelte Nullstelle und bei $ x = 2 $ eine einfache Nullstelle. Dies trifft für die Schaubilder A und C zu, so dass beide als Ableitungsfunktion $h'$ infrage kommen.
Weil aber das Schaubild in B für $ x < 2 $ fällt und folglich in diesem Bereich $ h'(x) < 0 $ gelten muss (d.h. das Schaubild von $h'$ verläuft unterhalb der $x$–Achse), kann nur A das Schaubild der Ableitungsfunktion $h'$ der Funktion $h$ darstellen, das in B gezeigt wird.
In C ist das Schaubild von $ -h'(x) $ dargestellt.
B zeigt das Schaubild von $h, $ A das Schaubild von $h'$ und C das von $k.$

Aufgabe 1.5

$\blacktriangleright$   LGS für die Bestimmung eines Funktionsterms 4. Grades aufstellen
Deine Aufgabe besteht darin, aus den Angaben der Koordinaten zweier Extrempunkte und dem Wert der Steigung an der Stelle $ x = -1 $ ein lineares Gleichungssystem (LGS) aufzustellen, mithilfe dessen sich der Term einer Polynomfunktion 4. Grades bestimmen lässt.
Die Lösung des LGS wird von dir nicht verlangt, so dass du den Funktionsterm nicht berechnen musst.
Eine Polynomfunktion 4. Grades besitzt den Funktionsterm \begin{align*} f(x) &= ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \\ f'(x) &= 4ax^3 +3bx^2 +2cx + d \end{align*} Das Einsetzen der Koordinaten der Extrempunkte liefert dir zwei Gleichungen, eine weitere erhälst du durch das Einsetzen der Stelle $ x = -1 $ in den Term der Ableitungsfunktion. Der Termwert ist 12.
Im Extrempunkt des Schaubildes von $f$ liegt eine waagerechte Tangente vor, d. h. ihre Steigung $m$ in diesem Punkt ist Null und somit $ m = f'(x) = 0 $ (notwendige Bedingung). $f$ besitzt dort eine Nullstelle. Nutze dieses Wissen aus, um die beiden fehlenden Gleichungen aufzustellen.
Nach dem Aufstellen der Funkionsgleichungen wird von dir erwartet, dass nach dem Einsetzen aller gegebenen $x$–Werte du ein LGS mit fünf Gleichungen in den Unbekannten $ a, \, b, \, c, \, d $ und $e$ formulieren kannst.
Der $ H(0 \mid 4) $ liefert durch die Punktprobe $ f(0) = 4 $ und aufgrund der Eigenschaft als Extrempunkt $ f'(0) = 0.$
Der $ T(1 \mid 2) $ liefert durch die Punktprobe $ f(1) = 2 $ und aufgrund der Eigenschaft als Extrempunkt $ f'(1) = 0.$
Die Steigunsbedingung ergibt $ f'(-1) = 12.$
Eingesetzt in den Funktionsterm $f(x)$ bzw. $f'(x)$ folgt:
$\begin{array}{rrr} \text{I} & e &=& 4 \\ \text{II} & d &=& 0 \\ \text{III} & a + b + c + d + e &=& 2 \\ \text{IV} & 4a + 3b + 2c + d &=& 0 \\ \text{V} & -4a + 3b - 2c + d &=& 12 \end{array}$
Vereinfacht lässt sich wegen $ d = 0, \, e = 4 $ und somit $ a + b + c + 4 = 2 $ auch das folgende LGS formulieren: $\begin{array}{rrr} \text{I} & e &=& 4 \\ \text{II} & d &=& 0 \\ \text{III} & a + b + c &=& -2 \\ \text{IV} & 4a + 3b + 2c &=& 0 \\ \text{V} & -4a + 3b - 2c &=& 12 \end{array}$
Eine Lösung könnte durch das Additionsverfahren erzielt werden. Die Addition der beiden letzten Gleichungen ergibt $ 6b = 12 $ oder $ b = 2. $
Einsetzen von $ b = 2 $ und Umformen führt auf das LGS
$\begin{array}{rrr} \text{VI} & a + c &=& -4 \\ \text{VII} & 4a + 2c &=& -6 \end{array}$
oder
$\begin{array}{rrr} \text{VIII} & -2a - 2c &=& 8 \\ \text{VII} & 4a + 2c &=& 0 \end{array}$
und somit durch Addition der letzten beiden Gleichungen $ 2a = 8 $ oder $ a = 4. $
Nach Einsetzen von $ a = 4 $ folgt $ c = -8.$
Der Funktionsterm ist $ f(x) = 4x^4 + 2x^3 - 8x^2 + 4. $

Aufgabe 1.6

$\blacktriangleright$   Obergrenze eines Integrals mit bekanntem Wert bestimmen
Du sollst die Obergrenze $ u > 0 $ des Integrals $ \mathop {\int}\limits_{0}^u \frac{1}{2} \cdot x^{4} \, \mathrm{d}x $ so bestimmen, das es den Wert $ 3,2 $ hat. Die Merkhilfe zum Thema ,,Stammfunktionen'' auf Seite 4 zeigt dir, wie du ein Integral berechnen kannst: Du bestimmst zunächst eine Stammfunktion von $ \frac{1}{2} \cdot x^{4} $ mithilfe der Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $ $ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $
Diese musst du noch anpassen, so dass du eine Stammfunktion von $ H(x) $ von $ \frac{1}{2} \cdot x^{4} $ erhälst.
Die Merkhilfe zum Thema ,,Berechnung bestimmter Integrale'' auf Seite 6 stellt dir den Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung zur Verfügung:
\[ \mathop {\int}\limits_{0}^u \dfrac{1}{2} \cdot x^{4} \, \mathrm{d}x = H(u) - H(0). \] Jetzt kannst du $ u > 0 $ durch Lösung der Gleichung $ H(u) - H(0) = 3,2 $ bestimmen. \begin{align*} 3,2 &= \mathop {\int}\limits_{0}^u \dfrac{1}{2} \cdot x^{4} \, \mathrm{d}x \\ &= \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot x^{5} \right]_0^u \\ &= \left[ \dfrac{1}{10} x^{5} \right]_0^u \\ &= \dfrac{1}{10} u^{5} - \dfrac{1}{10} 0^{5} \\ &= \dfrac{1}{10} u^{5} - 0 \\ &= \dfrac{1}{10} u^{5} \end{align*} Lösung der Gleichung: \begin{align*} 3,2 &= \dfrac{1}{10} u^{5} \mid \; \cdot \, 10 \\ 32 &= u^5 \quad \, \mid \sqrt[5]{\,} \\ 2 &= u \end{align*} Für $ u = 2 $ hat das Integral den vorgegebenen Wert $ 3,2.$

Aufgabe 1.7

$\blacktriangleright$   Koordinaten der Schnittpunkte von $K_f$ mit der $x$–Achse bestimmen
Um die Schittpunkte des Schaubildes der Funktion $f$ zu berechnen, besteht deine Aufgabe darin, zwei Gleichungen zu betrachten.
Ausgangspunkt ist die Gleichung $ y = f(x), $ aus der sich das Schaubild ergibt.
Im Schnittpunkt mit der $y$–Achse ist $ x = 0, $ durch die Berechnung von $ f(0) $ ergibt sich sein $y$–Wert.
Im Schnittpunkt mit der $x$–Achse ist $ y = 0. $ Durch Lösen der Gleichung $ f(x) = 0 $ ermittelst du seine Lage und seine Art (vergleiche Aufgabe 1.1). Für die Angabe der Koorodinaten der Schnittpunkte sind $x$– und $y$–Wert zu benennen. \begin{align*} f(0) &= 3 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot 0} - \dfrac{5}{2} \\[5pt] &= 3 \cdot \mathrm{e}^{0} - \dfrac{5}{2} \\[5pt] &= 3 \cdot 1 - \dfrac{5}{2} \\[5pt] &= 3 - \dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{6}{2} - \dfrac{5}{2} \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \end{align*} Nullstellenberechnung: \begin{align*} f(x) &= 0 \\[5pt] 3 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot x} - \dfrac{5}{2} &= 0 & & \mid \, + \dfrac{5}{2} \\[5pt] 3 \cdot \mathrm{e}^{-2 \cdot x} &= \dfrac{5}{2} & & \mid \, \cdot \dfrac{1}{3} \\[5pt] \mathrm{e}^{-2 \cdot x} &= \dfrac{5}{6} & & \mid \, \ln(\,) \\[5pt] \ln \left( \mathrm{e}^{-2 \cdot x} \right) &= \ln \left( \dfrac{5}{6} \right) \\[5pt] -2 \cdot x &= \ln \left( \dfrac{5}{6} \right) \mid \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) \\[5pt] x &= -\dfrac{1}{2} \cdot \ln \left( \dfrac{5}{6} \right) \end{align*} Die Koordinaten der Achsenschnittpunkte des Schaubildes $K_f$ sind $ S_y \left(0 \mid \frac{1}{2}\right) $ und $ S_x \left( -\frac{1}{2} \cdot \ln \left( \frac{5}{6}\right) \mid 0\right). $
$\blacktriangleright$   Skizze des Schaubilds $K_f$
Du sollst eine Skizze von $K_f$ anfertigen. Eine Skizze ist keine Zeichnung und die grobe Darstellung des Verlaufs.
Zeichne ein Koordinatensystem und trage die Achsenschnittpunkte ein. Überlege dir, wie der Verlauf des Schaubildes von $e^x$ ist bzw. welche Bedeutung $ - \frac{5}{2} $ im Funktionsterm für das Schaubild hat:
Es ist in negative $y$–Richtung verschoben. Wie ändert sich dann die Gleichung der Asymptote? Trage auch diese ein und vervollständige die Skizze.
Vorschlag A
[Abb. 1]: Schaubild der Funktion $f$
Vorschlag A
[Abb. 1]: Schaubild der Funktion $f$

Aufgabe 1.8

$\blacktriangleright$   Funktionsterm einer in $y$–Richtung gestreckten und nach rechts verschobenen Schaubilds bestimmen
Die Aufgabe besteht für dich darin, aus dem Funktionsterm $f(x)$ einen neuen Funktionsterm herzuleiten, der zu dem gestreckten und verschobenen Schaubild gehört. Schaue in der Merkhilfe zum Thema ,,Spiegelung / Verschiebung / Streckung von Schaubildern'' auf Seite 4 nach und setze die gegebenen Werte ein.
Der zugehörige Funktionsterm ist $ 5 \cdot f(x - 3) = 5 \cdot \sin (x - 3).$
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