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Vorschlag B

Aufgaben
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Aufgabe 1 - Vorschlag B

1.1
Berechne die Lösungen der Gleichung $x^4-7x^2+12=0$.
(4P)
1.2
Gib die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)=\mathrm e^{4x}$ und $g(x)=3\mathrm e^{2x}$; $x\in \mathbb{R}$.
Zeige, dass sich die Schaubilder der Funktionen $f$ und $g$ genau einmal schneiden.
(3P)
1.3
Das Schaubild einer trigonometrischen Funktion hat die benachbarten Hochpunkte $H_1\left(\frac{\pi}{2}\mid 3\right)$ und $H_2\left(\frac{3\pi}{2}\mid 3\right)$ sowie eine Amplitude von $2$.
Gib die Koordinaten des dazwischen liegenden Tiefpunktes und eines Wendepunktes an.
(4P)
1.4
Bestimme die Stammfunktion von $g(x)=2\mathrm e^{-4x}+4x-3$; $x\in \mathbb{R}$, deren Schaubild die $y$-Achse bei $6$ schneidet.
(4P)
1.5
Berechne den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} 3\sin(2x) \;\mathrm dx$.
(4P)
1.6
(3P)
1.7
Das Schaubild $K_g$ aus 1.6 ist das Schaubild der Ableitungsfunktion der Funktion $h$, es gilt also $h'=g$.
Triff Aussagen über die Lage und Anzahl der Wendestellen von $h$.
(3P)
1.8
Bestimme die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:
$\begin{array}[t]{rll} &x+y-z&=&6 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &3x+2z&=&-3&\quad \scriptsize \; \\[5pt] &-y-z&=&-1&\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
(5P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Tipps
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Aufgabe 1 ist ab 2018 ohne den Einsatz eines Taschenrechners zu lösen.

Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$   Gleichung lösen
Deine Aufgabe ist es, eine Gleichung vierten Grades zu lösen. Prüfe zunächst, ob du die Variable $x$ Ausklammern kannst, um den Satz vom Nullprodukt anwenden zu können. Diese Satz besagt, dass ein Produkt von Termen Null ist, wenn mindestens einer der Terme Null ist.
Falls du $x$ nicht Ausklammern kannst, gibt es für dich nur noch eine Möglichkeit, die Gleichung zu lösen: das Verfahren der Substitution (Ersetzung). Setze für den Term $x^2$ die Variable $ z $ ein und schreibe die ganze Gleichung s0 um, dass nur die Variable $z$ vorkommt. Du erhälst eine quadratische Gleichung, die du mit der Lösungsformel aus der Merkhilfe auf Seite 3 lösen kannst.
Die Substitution $ z = x^2 $ führt auf die Gleichung $ z^2 - 7 \cdot z + 12 = 0. $

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass sich die Schaubilder der Funktionen $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$ genau einmal schneiden
Du sollst die Schnittpunkte zweier Schaubilder untersuchen. Schnittpunkte existieren, wenn die Funktionen $f$ und $g$ zu (mindestens) einem $x$–Wert denselben Funktionswert besitzen. Es gilt also, die Gleichung $ f(x) = g(x) $ zu lösen.
Weil du zeigen sollst, dass sich die Schaubilder nur einmal schneiden, darf diese Gleichung nur eine Lösung haben. Es handelt sich um eine exponentielle Gleichung. Benutze die Merkhilfe, um bei den Potenzregeln Hilfestellungen für die erforderlichen Umformungen zu finden, und verwende schließlich den Logarithmus.
Es wird nicht von dir verlangt, die Koordinaten des einzigen Schnittpunktes, d. h. den zugehörigen $y$–Wert zu berechnen.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$   Angabe der Koordinaten des Tiefpunktes und eines Wendepunktes
Ausgehend von den beiden aufeinanderfolgenden Hochpunkten $ H_1 \left( \frac{\pi}{2} \mid 3 \right) $ und $ H_2 \left( \frac{3\pi}{2} \mid 3 \right) $ des Schaubildes einer trigonometrischen Funktion und einer Amplitude von $2$ sollst du Koordinaten des Tiefpunktes und eines Wendepunktes angeben. Beachte bei der Formulierung der Aufgabenstellung, dass von dir keine Berechnung der jeweiligen Koordinaten verlangt wird sondern nur ihre Angabe.
$\blacktriangleright \blacktriangleright$ Zeichnerische Lösung:
Während die Koordinaten des Tiefpunktes eindeutig sind, weil zwischen zwei Hochpunkten des Schaubildes einer trigonometrischen Funktion genau ein Tiefpunkt liegt, sind bei der Angabe der Koordinaten des Wendepunktes mehrere Lösungen möglich.
Fertige die Skizze eines Koordinatensystems an und trage die Hochpunkte ein. Nutze die gegebene Information, dass die Amplitude $ a = 2$ ist und zeichne dann den Tiefpunkt ein.
Das Einzeichnen der Mittellinie, um die das Schaubild der trigonometrischen Funktion sich wellenförmig bewegt, hilft dir dabei, die möglichen Koordinaten von Wendepunkten zu bestimmen. Ein Wendepunkt liegt z. B. zwischen einem Hochpunkt und dem nachfolgenden Tiefpunkt.
$\blacktriangleright \blacktriangleright$ Rechnerische Lösung:
Eine rechnerische Lösung ist ebenfalls möglich. Verwende dazu die Formel
$ x_T = \dfrac{x_{H_2} + x_{H_1}}{2} $ $ x_T = \dfrac{x_{H_2} + x_{H_1}}{2} $
für die Berechnung de $x$–Wertes des Tiefpunktes und die Formel
$ a = \dfrac{y_{H_1} - y_{T}}{2},$ $ a = \dfrac{y_{H_1} - y_{T}}{2},$
um durch Einsetzen und Auflösen den $y$–Wert des Tiefpunktes zu berechnen.
Die Gleichung für die Mittellinie lautet
$ y = \dfrac{y_{H} + y_{T}}{2} $ $ y = \dfrac{y_{H} + y_{T}}{2} $
Auf ihr liegen sämtliche Wendepunkte, so dass sich der $y_w$–Wert jedes Wendepunktes hieraus ergibt.
Die Fomel für den zugehörigen $x_w$–Wert ist z. B.
$ x_W = \dfrac{x_{T} + x_{H_1}}{2} $ $ x_W = \dfrac{x_{T} + x_{H_1}}{2} $

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$   Bestimmen einer Stammfunktion von $\boldsymbol{g,}$ deren Schaubild die $\boldsymbol{y}$–Achse bei $\boldsymbol{6}$ schneidet
Deine Aufgabe hat zwei Aspekte: Einerseits sollst du durch Aufleiten eine Stammfunktion $g$ bilden. Andererseits gibt es unendlich viele Stammfunktionen $ G_c$ von $g,$ die sich nur durch eine konstante reelle Zahl $ c \in \mathbb{R} $ unterscheiden, so dass du als zweites unter allen Stammfunktion diejenige finden sollst, deren Schaubild die $y$–Achse bei $6$ schneidet.
Bilde also zunächst den Funktionsterm für alle Stammfunktionen und überlege dir, durch welchen Punkt $P $ das Schaubild geht. Bestimme seine Koordinaten und mache die Punktprobe mit $P,$ um die konstante Zahl $c$ zu berechnen. Gib abschließend den Funktionsterm der gesuchten Stammfunktion an.
Um aufzuleiten, informiere dich anhand der Merkhilfe zum Thema ,,Stammfunktionen'' auf Seite 4, wie eine Eponentialfunktion und eine lineare Funktion als Bestandteile von $ g(x) = 2 \cdot e^{-4 \cdot x} + 4 \cdot x - 3 $ aufzuleiten sind.
Die Formel für die Stammfunktion $L$ einer Funktion $l$ mit $l(x) = e^{r \cdot x} \, (r \neq 0) $ ist
$ L(x) = \dfrac{1}{r} \cdot e^{r \cdot x}. $ $ L(x) = \dfrac{1}{r} \cdot e^{r \cdot x}. $
Die Formel für die Stammfunktion $H$ einer Funktion $h$ mit $h(x) = x^r \, (r \neq-1) $ ist
$ H(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $ $ H(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $

Aufgabe 1.5

$\blacktriangleright$   Berechnen des Integralswertes
Um den Wert des Integrals $ \mathop {\int}\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} 3 \cdot \sin (2 \cdot x) \; \mathrm{d}x $ berechnen zu können, benötigst du die Formel für die Stammfunktion von $ g(x) = \sin(a \cdot x), \, a \neq 0, $
$ G(x) = -\dfrac{1}{a} \cdot \cos(a \cdot x) $ $ G(x) = -\dfrac{1}{a} \cdot \cos(a \cdot x) $
zur Bildung Stammfunktion $F$ der Integrandenfunktion $ f(x) = 3 \cdot \sin (2 \cdot x) $ und die Integralformel
$ \mathop {\int}\limits_{a}^{b} \, f(x) \; \mathrm{d}x = F(b) - F(a).$ $ \mathop {\int}\limits_{a}^{b} \, f(x) \; \mathrm{d}x = F(b) - F(a).$
Sie entnimmst du der Merkhilfe zum Thema ,,Stammfunktionen'' auf Seite 4 und ,,Berechnung bestimmter Integrale'' auf Seite 6.

Aufgabe 1.6

$\blacktriangleright$   Angabe einer Zielfunktion für die Bstimmung des maximalen Flächeninhalts eines achsensymmetrischen Rechtecks
Für dich besteht die Aufgabe darin, anhand einer Skizze eine Zielfunktion anzugeben, mit deren Hilfe du den maximalen Flächeninhalt eines einbeschriebenen achsysmmetrischen Rechtecks bestimmen kannst.
Vorschlag B
[Abb. 2]: Schaubild der Funktion $g$
Vorschlag B
[Abb. 2]: Schaubild der Funktion $g$
Ergänze die Skizze um ein achsensymmetrisches Rechteck, wobei die $y$–Achse die Symmetrieachse des Rechtecks ist. Z. B. kannst du so vorgehen:
Die zur $y$–Achse parallele Gerade $x=u$ für $ u > 0 $ schneidet das Schaubild $K_g$ im Punkt $ Q(u \mid g(u)) $ und die Gerade $ x = -u $ im Punkt $ Q'(-u \mid g(-u)) $ bzw. $ Q'(-u \mid g(u)), $ weil $K_g$ achsensymmetrisch zur $y$–Achse ist.
Weil das achsensymmetrische Rechteck der Fläche einbeschrieben wird, sind die Schnittpunkte mit der $y$–Achse $ P(u \mid 0) $ und $ P'(-u \mid 0) $ die weiteren Eckpunkte des Rechtecks $ PQQ'P'. $ Sein Flächeninhalt $ A(u) $ als Produkt von Länge mal Breite hängt von $ u > 0, $ wobei $ u < x_0 $ mit $ x_0 $ als (unbekannte) positive Nullstelle der Funktion $g$ gelten muss.
Die Streckenlängen parallel zur $x$–Achse bzw. parallel zur $y$–Achse werden gemäß der folgenden Formel berechnet:
$ \overline{PP'(u)} = x_P - x_{P'} $
$ \overline{PQ(u)} = y_P - y_Q $
Bestimme jeweils den Term für die Streckenlängen $ \overline{PQ(u)} $ und $ \overline{PP'(u)} $ und stelle dann den Term für die Berechnung des Flächeninhalts in Abhängigkeit von $u$ auf. Dieser ist der Funktionsterm der Zielfunktion.
Gib auch ihren Definitionsbereich an und begründe, warum es einen maximalen Flächeninhalt geben muss. Bestimme dazu die Randwerte $ A(0) $ und $ A(x_0) $ der Zielfunktion und werte das Vorzeichen des Funktionstermes für $ 0 < u < x_0 $ aus.

Aufgabe 1.7

$\blacktriangleright$   Aussagen über die Lage und Anzahl der Wendestellen der Funktion $\boldsymbol{h}$ treffen
Betrachte die Abbildung von Teilaufgabe 1.6. Du kannst davon ausgehen, dass das dortige Schaubild $K_g$ zum Schaubild der Ableitungsfunktion $h'$ einer Funktion $h$ gehört. Du sollst Aussagen über die Lage und Anzahl der Wendestellen von $h$ treffen. Beachte, dass die Aussagen $h$ und nicht $h'$ betreffen.
Du benötigst also Kenntnisse über den Zusammenhang der Schaubilder von $h$ und $h':$ Jede Wendestelle von $h$ ist eine Extremstelle von $h'$ und umgekehrt. Untersuche also die Lage und Anzahl der Extremstellen des Schaubildes von $h' = g.$

Aufgabe 1.8

$\blacktriangleright$   Lösen eines lineares Gleichungssystems
Deine Aufgabe besteht darin, die Lösung dess gegebenen linearen Gleichungsystems zu bestimmen. Du kannst es z. B. mithilfe des Gauß'schen Algorithmus lösen.
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Aufgabe 1 ist ab 2018 ohne den Einsatz eines Taschenrechners zu lösen.

Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$   Gleichung lösen
Deine Aufgabe ist es, eine Gleichung vierten Grades zu lösen. Prüfe zunächst, ob du die Variable $x$ Ausklammern kannst, um den Satz vom Nullprodukt anwenden zu können. Diese Satz besagt, dass ein Produkt von Termen Null ist, wenn mindestens einer der Terme Null ist.
Falls du $x$ nicht Ausklammern kannst, gibt es für dich nur noch eine Möglichkeit, die Gleichung zu lösen: das Verfahren der Substitution (Ersetzung). Setze für den Term $x^2$ die Variable $ z $ ein und schreibe die ganze Gleichung so um, dass nur die Variable $z$ vorkommt. Du erhälst eine quadratische Gleichung, die du mit der Lösungsformel aus der Merkhilfe auf Seite 3 lösen kannst.
Die Substitution $ z = x^2 $ führt auf die Gleichung $ z^2 - 7 \cdot z + 12 = 0. $
Lösung der quadatischen Gleichung für $ a = 1, \, b = -7 $ und $ c = +12 $ mithilfe der Diskriminante $ D: $ \begin{align*} D &= b^2 - 4 \cdot a \cdot c \\ &= (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 \\ &= 49 - 48 \\ &= 1 \end{align*} Lösungen in $z:$ \begin{align*} z_1 &= \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2 \cdot a} \\[5pt] &= \dfrac{-(-7) + 1}{2 \cdot 1} \\[5pt] &= \dfrac{7 + 1}{2} \\[5pt] &= \dfrac{8}{2} \\[5pt] &= 4 \\ z_2 &= \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2 \cdot a} \\[5pt] &= \dfrac{-(-7) - 1}{2 \cdot 1} \\[5pt] &= \dfrac{7 - 1}{2} \\[5pt] &= \dfrac{6}{2} \\[5pt] &= 3 \\ \end{align*} Die quadratische Gleichung in $z$ besitzt zwei Lösungen. Um die Lösungen in $x$ zu bestimmen, ist die Substitution $ z = x^2 $ durch Wurzelziehen rückgängig zu machen: \begin{align*} x^2 &= 4 \\ x_{1,2} &= \pm \sqrt{4} \\ &= \pm 2 \\ \\ x^2 &= 3 \\ x_{3,4} &= \pm \sqrt{3} \end{align*} Die Lösungen der Gleichung $ x^4 - 7 \cdot x^2 + 12 = 0 $ sind $ x_1 = -2, \, x_2 = 2, \, x_3 = -\sqrt{3} $ und $ x_4 = \sqrt{3}. $

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass sich die Schaubilder der Funktionen $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$ genau einmal schneiden
Du sollst die Schnittpunkte zweier Schaubilder untersuchen. Schnittpunkte existieren, wenn die Funktionen $f$ und $g$ zu (mindestens) einem $x$–Wert denselben Funktionswert besitzen. Es gilt also, die Gleichung $ f(x) = g(x) $ zu lösen.
Weil du zeigen sollst, dass sich die Schaubilder nur einmal schneiden, darf diese Gleichung nur eine Lösung haben. Es handelt sich um eine exponentielle Gleichung. Benutze die Merkhilfe, um bei den Potenzregeln Hilfestellungen für die erforderlichen Umformungen zu finden, und verwende schließlich den Logarithmus.
Es wird nicht von dir verlangt, die Koordinaten des einzigen Schnittpunktes, d. h. den zugehörigen $y$–Wert zu berechnen. \begin{align*} f(x) &= g(x) \\[5pt] \mathrm{e}^{4x} &= 3 \cdot \mathrm{e}^{2x} & & \mid \, : e^{2x} \\[5pt] \dfrac{\mathrm{e}^{4x}}{\mathrm{e}^{2x}} &= 3 \\[5pt] \mathrm{e}^{4x - 2x} &= 3 \\[5pt] \mathrm{e}^{2x} &= 3 & & \mid \, : \ln (\,) \\[5pt] \ln \left( \mathrm{e}^{2x} \right) &= \ln (3) \\[5pt] 2 \cdot x &= \ln (3) & & \mid \, : 2 \\[5pt] x &= \dfrac{\ln (3)}{2} \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot \ln (3) \end{align*} Es gibt somit genau einen Schnittpunkt der beiden Schaubilder der Funktionen $f$ und $g$.
Bemerkung: Der Schnittpunkt hat wegen \[ g \left( \frac{1}{2} \cdot \ln (3) \right) = 3 \cdot \mathrm{e}^{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \ln (3)} = 3 \cdot \mathrm{e}^{1 \cdot \ln (3)} = 3 \cdot \mathrm{e}^{\ln (3)} = 3 \cdot 3 = 9. \] die Koordinaten $ S \left( \frac{1}{2} \cdot \ln (3) \mid 9 \right). $

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$   Angabe der Koordinaten des Tiefpunktes und eines Wendepunktes
Ausgehend von den beiden aufeinanderfolgenden Hochpunkten $ H_1 \left( \frac{\pi}{2} \mid 3 \right) $ und $ H_2 \left( \frac{3\pi}{2} \mid 3 \right) $ des Schaubildes einer trigonometrischen Funktion und einer Amplitude von $2$ sollst du Koordinaten des Tiefpunktes und eines Wendepunktes angeben. Beachte bei der Formulierung der Aufgabenstellung, dass von dir keine Berechnung der jeweiligen Koordinaten verlangt wird sondern nur ihre Angabe.
$\blacktriangleright \blacktriangleright$ Zeichnerische Lösung:
Während die Koordinaten des Tiefpunktes eindeutig sind, weil zwischen zwei Hochpunkten des Schaubildes einer trigonometrischen Funktion genau ein Tiefpunkt liegt, sind bei der Angabe der Koordinaten des Wendepunktes mehrere Lösungen möglich.
Fertige die Skizze eines Koordinatensystems an und trage die Hochpunkte ein. Nutze die gegebene Information, dass die Amplitude $ a = 2$ ist und zeichne dann den Tiefpunkt ein.
Das Einzeichnen der Mittellinie, um die das Schaubild der trigonometrischen Funktion sich wellenförmig bewegt, hilft dir dabei, die möglichen Koordinaten von Wendepunkten zu bestimmen. Ein Wendepunkt liegt z. B. zwischen einem Hochpunkt und dem nachfolgenden Tiefpunkt.
Vorschlag B
[Abb. 1]: Schaubild mit Extrempunkten
Vorschlag B
[Abb. 1]: Schaubild mit Extrempunkten
$\blacktriangleright \blacktriangleright$ Rechnerische Lösung:
Eine rechnerische Lösung ist ebenfalls möglich. Verwende dazu die Formel
$ x_T = \dfrac{x_{H_2} + x_{H_1}}{2} $ $ x_T = \dfrac{x_{H_2} + x_{H_1}}{2} $
für die Berechnung des $x$–Wertes des Tiefpunktes und die Formel
$ a = \dfrac{y_{H_1} - y_{T}}{2},$ $ a = \dfrac{y_{H_1} - y_{T}}{2},$
um durch Einsetzen und Auflösen den $y$–Wert des Tiefpunktes zu berechnen.
Die Gleichung für die Mittellinie lautet
$ y = \dfrac{y_{H} + y_{T}}{2} $ $ y = \dfrac{y_{H} + y_{T}}{2} $
Auf ihr liegen sämtliche Wendepunkte, so dass sich der $y_w$–Wert jedes Wendepunktes hieraus ergibt.
Die Fomel für den zugehörigen $x_w$–Wert ist z. B.
$ x_W = \dfrac{x_{T} + x_{H_1}}{2} $ $ x_W = \dfrac{x_{T} + x_{H_1}}{2} $
Rechnerische Lösung: \begin{align*} x_T &= \dfrac{x_{H_2} + x_{H_1}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{\dfrac{3\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{\dfrac{3\pi + \pi}{2}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{\dfrac{4\pi}{2}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{2\pi}{2} \\[5pt] &= \pi \\ & \\ a &= \dfrac{y_{H_1} - y_T}{2} \\[5pt] 2 &= \dfrac{3 - y_T}{2} \\[5pt] 4 &= 3 - y_T \\[5pt] 1 &= -y_T \\[5pt] y_T &= -1 \end{align*} Der Tiefpunkt besitzt die Koordinaten $ T(\pi \mid -1 ). $ \begin{align*} y_W &= \dfrac{y_H + y_T}{2} \\[5pt] &= \dfrac{3 + (-1)}{2} \\[5pt] &= \dfrac{3 - 1}{2} \\[5pt] &= \dfrac{2}{2} \\[5pt] &= 1 \\ & \\ x_W &= \dfrac{x_T + x_{H_1}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{\pi + \dfrac{\pi}{2}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{\dfrac{2\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{\dfrac{2\pi + \pi}{2}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{\dfrac{3\pi}{2}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{3\pi}{4} \end{align*} Ein möglicher Wendepunkt besitzt die Koordinaten $ W_1 \left( \frac{3\pi}{4} \mid 1 \right). $
Bemerkung: Weil sich die Periodenlänge $P$ z. B. aus der Differenz der $x$–Werte zweier aufeinanderfolgender Hochstellen berechnen lässt, ist $ P = \pi. $ Alle weiteren Wendepunkte besitzen somit die Koordinaten $ W_k \left( \frac{3\pi}{4} + k \cdot \frac{\pi}{2} \mid 1 \right) $ für jede ganze Zahl $k.$ Somit ist auch $ W_2 \left( \frac{5\pi}{4} \mid 1 \right) $ eine Wendepunkt, der zwischen dem Tiefpunkt und dem zweiten Hochpunkt des Schaubildes liegt.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$   Bestimmen einer Stammfunktion von $\boldsymbol{g,}$ deren Schaubild die $\boldsymbol{y}$–Achse bei $\boldsymbol{6}$ schneidet
Deine Aufgabe hat zwei Aspekte: Einerseits sollst du durch Aufleiten eine Stammfunktion von $g$ bilden. Andererseits gibt es unendlich viele Stammfunktionen $ G_c$ von $g,$ die sich nur durch eine konstante reelle Zahl $ c \in \mathbb{R} $ unterscheiden, so dass du als zweites unter allen Stammfunktion diejenige finden sollst, deren Schaubild die $y$–Achse bei $6$ schneidet.
Bilde also zunächst den Funktionsterm für alle Stammfunktionen und überlege dir, durch welchen Punkt $P $ das Schaubild geht. Bestimme seine Koordinaten und mache die Punktprobe mit $P,$ um die konstante Zahl $c$ zu berechnen. Gib abschließend den Funktionsterm der gesuchten Stammfunktion an.
Um aufzuleiten, informiere dich anhand der Merkhilfe zum Thema ,,Stammfunktionen'' auf Seite 4, wie eine Eponentialfunktion und eine lineare Funktion als Bestandteile von $ g(x) = 2 \cdot e^{-4 \cdot x} + 4 \cdot x - 3 $ aufzuleiten sind.
Die Formel für die Stammfunktion $L$ einer Funktion $l$ mit $l(x) = \mathrm{e}^{r \cdot x} \, (r \neq 0) $ ist
$ L(x) = \dfrac{1}{r} \cdot \mathrm{e}^{r \cdot x}. $ $ L(x) = \dfrac{1}{r} \cdot \mathrm{e}^{r \cdot x}. $
Die Formel für die Stammfunktion $H$ einer Funktion $h$ mit $h(x) = x^r \, (r \neq-1) $ ist
$ H(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $ $ H(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $
\begin{align*} G_c(x) &= 2 \cdot \dfrac{1}{-4} \cdot \mathrm{e}^{-4 \cdot x} + 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^2 + 3 \cdot x + c \\ &= \dfrac{2}{-4} \cdot \mathrm{e}^{-4 \cdot x} + \dfrac{4}{2} \cdot x^2 + 3 \cdot x + c \\ &= -\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{-4 \cdot x} + 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x + c \\ \end{align*} Punkprobe mit $ P(0 \mid 6) $ als Punkt des Schaubildes der gesuchten Stammmfunktion: \begin{align*} G_c(0) &= 6 \\ -\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{-4 \cdot 0} + 2 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 + c &= 6 \\ -\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{0} + 2 \cdot 0 + 0 + c &= 6 \\ -\dfrac{1}{2} \cdot 1 + 0 + c &= 6 \\ -\dfrac{1}{2} + c &= 6 & & \mid \, + \dfrac{1}{2} \\ c &= 6 + \dfrac{1}{2} \\ c &= \dfrac{12}{2} + \dfrac{1}{2} \\[5pt] c &= \dfrac{12 + 1}{2} \\[5pt] c &= \dfrac{13}{2} = 6,5 \end{align*} Diejenige Stammfunktion von $g,$ deren Schaubild die $y$–Achse bei $6$ schneidet, besitzt den Funktionsterm $ G_{6,5} (x) = -\frac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{-4 \cdot x} + 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x + 6,5 $ bzw. $ G_{\frac{13}{2}} (x) = -\frac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{-4 \cdot x} + 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x + \frac{13}{2}. $

Aufgabe 1.5

$\blacktriangleright$   Berechnen des Integralswertes
Um den Wert des Integrals $ \mathop {\int}\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} 3 \cdot \sin (2 \cdot x) \; \mathrm{d}x $ berechnen zu können, benötigst du die Formel für die Stammfunktion von $ g(x) = \sin(a \cdot x), \, a \neq 0, $
$ G(x) = -\dfrac{1}{a} \cdot \cos(a \cdot x) $ $ G(x) = -\dfrac{1}{a} \cdot \cos(a \cdot x) $
zur Bildung Stammfunktion $F$ der Integrandenfunktion $ f(x) = 3 \cdot \sin (2 \cdot x) $ und die Integralformel
$ \mathop {\int}\limits_{a}^{b} \, f(x) \; \mathrm{d}x = F(b) - F(a).$
$ \mathop {\int}\limits_{a}^{b} \, f(x) \; \mathrm{d}x = F(b) - F(a).$
Sie entnimmst du der Merkhilfe zum Thema ,,Stammfunktionen'' auf Seite 4 und ,,Berechnung bestimmter Integrale'' auf Seite 6. \begin{align*} f(x) &= 3 \cdot \sin (2 \cdot x) \\[5pt] F(x) &= 3 \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \cdot \cos(2 \cdot x) \right) \\[5pt] &= -\dfrac{3}{2} \cdot \cos(2 \cdot x) \\ & \\ F\left( \frac{\pi}{2} \right) &= -\dfrac{3}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) \\[5pt] &= -\dfrac{3}{2} \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{2} \right) \\[5pt] &= -\dfrac{3}{2} \cdot \cos(\pi) \\[5pt] &= -\dfrac{3}{2} \cdot (-1) \\ &= \dfrac{3}{2} \\ & \\ F\left(\frac{\pi}{4} \right) &= -\dfrac{3}{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \\[5pt] &= -\dfrac{3}{2} \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{4} \right) \\[5pt] &= -\dfrac{3}{2} \cdot \cos \left(\frac{\pi}{2} \right) \\[5pt] &= -\dfrac{3}{2} \cdot 0 \\[5pt] &= 0 \end{align*} Berechnung des Integralwerts: \[ \mathop {\int}\limits_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{2}} 3 \cdot \sin (2 \cdot x) \; \mathrm{d}x = F \left( \frac{\pi}{2} \right) - F \left( \frac{\pi}{4} \right) = \dfrac{3}{2} - 0 = \dfrac{3}{2} \] Der Wert des Integrals ist $ \mathop {\int}\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} 3 \cdot \sin (2 \cdot x) \; \mathrm{d}x = \frac{3}{2}. $

Aufgabe 1.6

$\blacktriangleright$   Angabe einer Zielfunktion für die Bestimmung des maximalen Flächeninhalts eines achsensymmetrischen Rechtecks
Für dich besteht die Aufgabe darin, anhand einer Skizze eine Zielfunktion anzugeben, mit deren Hilfe du den maximalen Flächeninhalt eines einbeschriebenen achsysmmetrischen Rechtecks bestimmen kannst.
Vorschlag B
[Abb. 2]: Schaubild der Funktion $g$
Vorschlag B
[Abb. 2]: Schaubild der Funktion $g$
Ergänze die Skizze um ein achsensymmetrisches Rechteck, wobei die $y$–Achse die Symmetrieachse des Rechtecks ist. Z. B. kannst du so vorgehen:
Vorschlag B
[Abb. 3]: achsensymmetrisches Rechteck
Vorschlag B
[Abb. 3]: achsensymmetrisches Rechteck
Die zur $y$–Achse parallele Gerade $x=u$ für $ u > 0 $ schneidet das Schaubild $K_g$ im Punkt $ Q(u \mid g(u)) $ und die Gerade $ x = -u $ im Punkt $ Q'(-u \mid g(-u)) $ bzw. $ Q'(-u \mid g(u)), $ weil $K_g$ achsensymmetrisch zur $y$–Achse ist.
Weil das achsensymmetrische Rechteck der Fläche einbeschrieben wird, sind die Schnittpunkte mit der $y$–Achse $ P(u \mid 0) $ und $ P'(-u \mid 0) $ die weiteren Eckpunkte des Rechtecks $ PQQ'P'. $ Sein Flächeninhalt $ A(u) $ als Produkt von Länge mal Breite hängt von $ u > 0, $ wobei $ u < x_0 $ mit $ x_0 $ als (unbekannte) positive Nullstelle der Funktion $g$ gelten muss.
Die Streckenlängen parallel zur $x$–Achse bzw. parallel zur $y$–Achse werden gemäß der folgenden Formel berechnet:
$ \overline{PP'(u)} = x_P - x_{P'} $
$ \overline{PQ(u)} = y_P - y_Q $
Bestimme jeweils den Term für die Streckenlängen $ \overline{PQ(u)} $ und $ \overline{PP'(u)} $ und stelle dann den Term für die Berechnung des Flächeninhalts in Abhängigkeit von $u$ auf. Dieser ist der Funktionsterm der Zielfunktion.
Gib auch ihren Definitionsbereich an und begründe, warum es einen maximalen Flächeninhalt geben muss. Bestimme dazu die Randwerte $ A(0) $ und $ A(x_0) $ der Zielfunktion und werte das Vorzeichen des Funktionstermes für $ 0 < u < x_0 $ aus.
Die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ und der Funktion $g$ sind
$ \overline{PQ(u)} = y_P - y_Q = 0 - g(u) = -g(u), $ weil $P$ oberhalb von $Q$ liegt,
$ \overline{PP'(u)} = x_P - x_{P'} = u - (-u) = u + u = 2u, $ weil $P$ rechts von $P'$ liegt.
Der Flächeninhalt ist $ A(u) = \overline{PP'(u)} \cdot \overline{PQ(u)} = 2 \cdot u \cdot (-g(u) = -2 \cdot u \cdot g(u) $ für $ 0 < u < x_0. $
Wegen $ A(0) = -2 \cdot 0 \cdot g(0) = 0 $ und $ A(x_0) = -2 \cdot x_0 \cdot g(x_0) = -2 \cdot x_0 \cdot 0 = 0 $ sind die Randwerte der Zielfunktion Null, während im Definitionsbereich $ 0 < u < x_0 $ die Funktionswerte $ A(u) = \underbrace{-2}_{<0} \cdot \underbrace{u}_{>0} \cdot \underbrace{g(u)}_{<0} $ positiv sind. Somit besitzt die Zielfunktion im Definitionsbereich ein absolutes Maximum.
Die Zielfunktion lautet $ A(u) = -2 \cdot u \cdot g(u) $ für $ 0 < u < x_0. $

Aufgabe 1.7

$\blacktriangleright$   Aussagen über die Lage und Anzahl der Wendestellen der Funktion $\boldsymbol{h}$ treffen
Betrachte die Abbildung von Teilaufgabe 1.6. Du kannst davon ausgehen, dass das dortige Schaubild $K_g$ zum Schaubild der Ableitungsfunktion $h'$ einer Funktion $h$ gehört. Du sollst Aussagen über die Lage und Anzahl der Wendestellen von $h$ treffen. Beachte, dass die Aussagen $h$ und nicht $h'$ betreffen.
Du benötigst also Kenntnisse über den Zusammenhang der Schaubilder von $h$ und $h':$ Jede Wendestelle von $h$ ist eine Extremstelle von $h'$ und umgekehrt. Untersuche also die Lage und Anzahl der Extremstellen des Schaubildes von $h' = g.$
Das Schaubild $ h'=g $ zeigt im dargestellten Bereich die Extremstellen $ -x_0, \, 0 $ und $ x_0. $ Das Schaubild von $h$ besitzt folglich mindestens drei Wendestellen. Die Stellen sind $ -x_0, \, 0 $ und $ x_0. $
Bemerkung: Der Wendepunkt $ W(0 \mid h(0) $ des Schaubildes von $ h $ liegt auf der $y$–Achse.

Aufgabe 1.8

$\blacktriangleright$   Lösen eines lineares Gleichungssystems
Deine Aufgabe besteht darin, die Lösung des gegebenen linearen Gleichungsystems zu bestimmen. Du kannst es z. B. mithilfe des Gauß'schen Algorithmus lösen. \[ \begin{array}{lrcrcrcrcr} I & x &+& y &-& z &=& 6 & \mid & IV = (-3) \cdot I + II \\ II & 3x & & &+& 2z &=& -3 \\ III & &-& y &-& z &=& -1 \\ & \\ IV & &-& 3y &+& 5z &=& -21 & \mid & V = IV + 5 \cdot III \\ III & &-& y &-& z &=& -1 \\ & \\ V & &-& 8y & & &=& -26 \end{array} \] Aus der Gleichung $V$ ergibt sich $ y = \frac{-26}{-8} = \frac{13}{4}. $
Einsetzen von $y = \frac{13}{4}$ in die Gleichung führt auf die Gleichung $ -\frac{13}{4} - z = - 1 $ bzw. \[ -z = \frac{13}{4} - 1 = \frac{13}{4} - \frac{4}{4} = \frac{13 - 4}{4} = \frac{9}{4} \] und somit $ z = -\frac{9}{4}. $
Wenn $z = -\frac{9}{4} $ in die Gleichung $II$ eingesetzt wird, führt dies auf die Gleichung $ 3x + 2 \cdot (-\frac{9}{4}) = -3 $ oder \[ 3x = - 3 + 2 \cdot \frac{9}{4} = -3 + \frac{2 \cdot 9}{4} = -3 + \frac{9}{2} = -\frac{6}{2} + \frac{9}{2} = \frac{-6 + 9}{2} = \frac{3}{2} \] oder \[ x = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{1}{2}. \] Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist $ x = \frac{1}{2}, \, y = \frac{13}{4} $ und $ z = -\frac{9}{4}. $
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