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Aufgabe 2

Aufgaben
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Aufgabe 2

2.1
Das Schaubild einer Funktion $3$. Grades berührt die $x$-Achse bei $x=-3$ und verläuft durch den Ursprung.
Weiterhin liegt der Punkt $A\left(1\mid \frac{16}{3}\right)$ auf dem Schaubild der Funktion.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion.
(5P)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-\frac{1}{3}x^3-2x^2-3x$; $x\in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
2.2
Bestimme die Koordinaten des Hoch- und des Tiefpunktes von $K_f$.
Zeichne $K_f$ in ein geeignetes Koordinatensystem.
(8P)
2.3
Berechne $\displaystyle\int_{-3}^{1}f(x)\;\mathrm dx$ und interpretiere das Ergebnis geometrisch.
(5P)
Gegeben sind die Funktionen $g$ mit $g(x)=-x^2-3$ und $h(x)=\mathrm{e}^{2x}$; $x\in \mathbb{R}$.
Die Schaubilder heißen $K_g$ und $K_h$.
2.4
Skizziere die Schaubilder $K_g$ und $K_h$.
(3P)
2.5
$K_h$ soll in $y$-Richtung so verschoben werden, dass $K_g$ den verschobenen Graphen auf der $y$-Achse schneidet.
Bestimme den neuen Funktionsterm.
(2P)
2.6
Die Kurve $K_g$ und die Gerade mit der Gleichung $y=-7$ begrenzen eine Fläche. In diese Fläche soll ein zur $y$-Achse symmetrisches Dreieck mit den Eckpunkten $S(0\mid -7)$ und $P(u\mid g(u))$ mit $0\leq u\leq2$ einbeschrieben werden.
Skizziere diesen Sachverhalt für $u=1$.
Zeige, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks für $u=\sqrt{\frac{4}{3}}$ maximal wird.
(7P)
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Tipps
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Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$   Funktionsterm aus Eigenschaften des Schaubildes bestimmen
Deine Aufgabe besteht darin, aus verschiedenen Angaben im Text den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion dritten Grades zu bestimmen. Die allgemeine Form des Term einer solchen Funktion $f$ ist z. B.
$ f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$ $ f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ und unbekannten reellen Parametern $ a, \; b, \; c $ und $d.$ Du benötigst also vier Bedingungen, die du den Angaben aus dem Text entnehmen sollst, um die vier unbekannten Größen zu ermitteln.
Du weisst Folgendes über das Schaubild der Funktion:
  1. Es berührt die $x$–Achse bei $ x = -3.$
  2. Es verläuft durch den Ursprung.
  3. Der Punkt $ A \left( 1 \mid \frac{16}{3} \right) $ liegt auf ihm.
Versuche, jede Information in eine Gleichung zu übersetzen, und schaue in der Formelsammlung nach, was es bedeutet, wenn ein Schaubild die $x$–Achse an einer Stelle berührt.
Berühren bedeutet mehr als nur Schneiden: Das Schaubild besitzt an der Stelle eine waagerechte Tangente, d. h. die Steigung ist dort Null. Schreibe nun die vier Gleichungen mithilfe von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{f'}$ auf.
Kontrollergebnis:
  1. $ \, \boldsymbol{f(-3) = 0} $ und $ \boldsymbol{f'(-3) = 0.}$
  2. $ \, \boldsymbol{f(0) = 0.}$
  3. $ \, \boldsymbol{f(1) = \frac{16}{3}.}$
Um weitermachen zu können, musst du also die Ableitungsfunktion von $f$ berechnen.
Kontrollergebnis: $ f'(x) = 3 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot b \cdot x + c$
Übertrage diese Zuordnungen in ein Gleichungssystem, das aus vier Gleichungen mit vier Unbekannten besteht, und vereinfache es.

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$   Koordinaten des Hoch– und Tiefpunktes bestimmen
Das Schaubild $K_f$ soll auf Hoch- und Tiefpunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f$ auf Extremstellen untersuchen. Die Extrempunkte eines Schaubildes können müssen durch schriftliche Rechnung ermittelt werden.
Auf Seite 5 der Merkhilfe zum Thema ,,Untersuchung von Funktionen und Schaubildern'' erhält du Informationen über die Bedingungen, die für das Vorliegen eines Hoch– und Tiefpunktes erfüllt sein müssen:
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung durch schriftliche Rechnung
An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Verwende für die Nullstellenberechnung den Satz vom Nullprodukt: Er besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt, gilt $\boldsymbol{f''(x_0) > 0}$, so liegt ein Tiefpunkt vor.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Extremstelle muss die erste Bedingung $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$ erfüllt sein.
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=-3}$ und $\boldsymbol{x_2=-1}$ sind mögliche Extremstellen. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Extremstellen sind und von welcher Art diese sind, kannst du die zweite Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Extremstelle tatsächlich Extremstelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1=-3$ und $x_2=-1$ in den Term der zweiten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Extrempunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -5 \leq x \leq 2 $ und $ -5 \leq y \leq 5 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.

Aufgabe 2.3

$\blacktriangleright$   Integral $\boldsymbol{\mathop {\int}\limits_{-3}^1 f(x) \, \mathrm{d}x}$ berechnen
Deine Aufgabe ist es, ein Integral zu berechnen. Die Merkhilfe zum Thema ,,Berechnung bestimmter Integrale'' auf Seite 6 hilft dir dabei. Dazu musst du die Integralformel
$ \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$ $ \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$
anwenden und die Stammfunktion $F$ anhand der Merkhilfe zum Thema ,,Stammfunktionen'' auf Seite 4 erstellen. Die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $ ist
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $ $ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $
$\blacktriangleright$   Wert des Integrals geometrisch interpretieren
Damit du den Wert des Integrals deuten kann, ist es sinnvoll, sich die betroffenen Flächen bzw. Flächeninhalte anzuschauen:
Aufgabe 2
[Abb. 2]: Geometrische Interpretation
Aufgabe 2
[Abb. 2]: Geometrische Interpretation
Berücksichtige den Unterschied zwischen Integralwert und Flächeninhalt. Mache eine Aussage darüber, in welchem Verhältnis die beiden Flächeninhalte stehen.

Aufgabe 2.4

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_g}$ und $\boldsymbol{K_h}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte die Funktion $g$ mit $y=g(x)$ bzw. die Funktion $h$ mit $y=h(x)$ in Abhängigkeit von $x$ annehmen. Für die gegebenen Funktionen $g$ und $h$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -5 \leq x \leq 2 $ und $ -5 \leq y \leq 5 $ sinnvoll, weil das Wesentliche der Schaubilder dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.

Aufgabe 2.5

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_h}$ so verschieben, dass sich $\boldsymbol{K_g}$ und $\boldsymbol{K_h}$ auf der $\boldsymbol{y}$–Achse schneiden
Die Schaubilder von $K_g$ und des in $y$–Richtung verschobenen Schaubildes von $K_h$ sollen sich auf der $y$–Achse schneiden. Du sollst bestimmen, um wie viele Einheiten das Schaubild $K_h$ verschoben werden muss und den zugehörigen Funktionsterm bestimmen.
Überlege dir, welchen Wert $x$ haben muss, wenn sich die beiden Schaubilder auf der $y$–Achse schneiden sollen. Wenn $h^*$ die gesuchte Funktion ist, gilt $ h^*(x) = h(x) + c $ mit einer konstanten Zahl $ c \in \mathbb{R}, $ welche das Maß für die Verschiebung angibt. Im Schnittpunkt müssen die Funktionswerte von $g$ und $h^*$ gleich sein. Nutze diese Gleichheit aus, um $c$ zu berechnen.

Aufgabe 2.6

$\blacktriangleright$   Sachverhalt (achsensymmetrisches Dreieck) skizzieren für $ \boldsymbol{u = 1} $
Das Schaubild $K_g$ und die Gerade mit der Gleichung $ y = - 7 $ begrenzen eine Fläche. Skizziere diese Schaubilder zuerst. Weil das Dreieck symmetrisch zur $y$–Achse liegt, ist $ P'(-1 \mid g(-1)) $ der dritte Eckpunkt des Dreiecks. Berechne also $ g(-1) = g(1) $ und zeichne dann die Punkte $Q$ und $ S(0 \mid -7) $ sowie $ P(1 \mid g(1)) $ mit den Koordinaten ein.
$\blacktriangleright$   Inhalt des Dreiecks mit dem größten Flächeninhalt berechnen
Deine Aufgabe besteht darin, das Dreieck so zu bestimmen, dass sein Flächeninhalt maximal wird. Um eine Formel $A(u)$ für den Flächeninhalt eines solchen beliebigen Dreiecks mit $ 0 \leq u \leq 2 $ zu bestimmen, ist es möglicherweise als Übung sinnvoll, den Flächeninhalt des skizzierten Dreiecks zu berechnen. Suche eine Formel in der Merkhilfe und bestimme $A(1).$
Kontrollergebnis: $ A(1) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3 $ Flächeneinheiten.
Du hast vermutlich den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Formel
$ A_{PP'S} = \frac{1}{2} \cdot $ Länge der Grundseite $ \cdot $ Länge der Höhe auf die Grundseite $ A_{PP'S} = \frac{1}{2} \cdot $ Länge der Grundseite $ \cdot $ Länge der Höhe auf die Grundseite
berechnet. Diese kannst du jetzt auf das allgemeine Dreieck übetragen. Die Koordinaten der Punkte des Dreiecks $PP'S$ sind $ P(u \mid g(u)), \, P'(-u \mid g(-u)) $ und $ S(0 \mid -7). $ Als Grundseite wählst du wie im obigen Beispiel $ \overline{PP'}. $ Die Höhe auf die Grundseite ist $ \overline{MS}, $ wenn $ M(0 \mid g(u)) $ der Mittelpunkt der Strecke $ \overline{PP'} $ ist.
Aufgabe 2
[Abb. 6]: Skizze des Dreiecks für $ 0 \leq u \leq 2 $
Aufgabe 2
[Abb. 6]: Skizze des Dreiecks für $ 0 \leq u \leq 2 $
Für die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ gilt:
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $x$–Achse verläuft mit $x_G < x_H$ ($G$ liegt links von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $ Streckenlänge parallel zur $x$–Achse: $ \overline{GH} = x_H - x_G $
Für eine Strecke $ \overline{GH}, $ die parallel zur $y$–Achse verläuft mit $y_G < y_H$ ($G$ liegt unterhalb von $H$), ist die Streckenlänge gegeben durch
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $ Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{GH} = y_H - y_G $
Stelle nun die Länge der Grundseite und die Länge der Höhe auf die Grundseite als Term in Abhängigkeit von $u$ auf und anschließend den Term für $A(u).$ Fasse den Term $A(u)$ als Funktionsterm auf und berechne das Maximum der Funktion $A$ durch schriftliche Rechnung.
Um das Dreieck mit dem maximalen Flächeninhalt zu bestimmen, musst du den absoluten Extremwert von der Funktion $A$ im Intervall im Intervall $ [0;2] $ ermitteln. Schaue in der Merkhilfe zum Thema auf Seite 5 nach, wie du Extremwerte bstimmen kannst. Berücksichtige auch die Randwerte $ A(0) $ und $ A(2). $
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