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Aufgabe 3

Aufgaben
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Aufgabe 3

3.1
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=a\cdot \sin (k\cdot x)+b$ für $x\in [-1;8]$.
Ihr Schaubild $K_f$ ist im folgenden Koordinatensystem dargestellt.
Ermittle passende Werte für $a$, $k$ und $b$ anhand der Abbildung.
(4P)
3.2
Zusätzlich ist die Funktion $g$ mit $g(x)=-3\cdot \cos\left(\frac{1}{2}x\right)+2$ für $x\in [0;4\pi]$ gegeben. Ihr Schaubild sei $K_g$.
Gib die Koordinaten der Extrempunkte und der Wendepunkte von $K_g$ an.
(4P)
3.3
Bestimme für die nachfolgenden Problemstellungen jeweils einen passenden Funktionsterm:
3.3.1
Der Temperaturverlauf an einem Sommertag soll durch eine trigonometrische Funktion beschrieben werden.
Um 14 Uhr erreicht die Temperatur den höchsten Wert von $28^{\circ}\text{C}$.
Die tiefste Temperatur des Tages betrug $8^{\circ}\text{C}$ um 2 Uhr.
(3P)
3.3.2
Eine Saunakabine kühlt exponentiell ausgehend von einer Temperatur von $60^{\circ}\text{C}$ ab. Nach $10$ Minuten hat die Kabine noch eine Temperatur von $40^{\circ}\text{C}$. Die Umgebungstemperatur beträgt $4^{\circ}\text{C}$.
(5P)
Nachfolgend ist die Funktion $h$ gegeben durch $h(x)=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}-2$ für $x\in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild sei $K_h$.
3.4
Weise nach, dass $K_h$ keine Extrempunkte und keine Wendepunkte hat, und gib die Gleichung der Asymptote von $K_h$ an.
(4P)
3.5
Ermittle die Gleichung der Tangente an $K_h$ im Punkt $P(-2\mid h(-2))$.
(3P)
3.6
$K_h$ und die Koordinatenachsen schließen eine Fläche ein.
Berechne deren Inhalt.
(7P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Tipps
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Aufgabe 3.1

$\blacktriangleright$   Funktionsterm der gezeichneten trigonometrischen Funktion bestimmen
Du erhälst die Aufgabe, aus dem gegebenen Schaubild der trigonometrischen Funktion auf den Funktionsterm der Form $ f(x) = a \cdot \sin (k \cdot x) + b $ zu schließen.
(4P)
$\blacktriangleright$ Zeichnerische Lösung:
Zeichne in Abbildung 1 die Mittelinie ein: Sie verläuft parallel zur $x$–Achse und hat zu jedem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt denselben senkrechten Abstand.
Bestimme die Gleichung dieser Mittellinie. Sie liefert dir den Wert für $b$ und stellt die Verschiebung des Schaubildes in Richtung der $y$–Achse dar.
Der senkrechte Abstand zwischen der Mittellinie und einem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt gibt die Amplitude bzw. Schwingungstiefe an und beschreibt die Streckung des Schaubildes in $y$–Richtung. Beachte, dass der Abstand stets positiv ist, der Wert von $a$ also stets positiv ist: Eine Spiegelung des ursprünglichen Schaubildes $y = \cos (x)$ an der Mittellinie $y = b$ bewirkt ein negatives Vorzeichen. Bestimme nun seinen Wert.
Der horizontale Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten (oder Tiefpunkten oder Wendepunkten) gibt die Periodenlänge $P$ an. Wenn du $P$ aus der Zeichnung abgelesen hast, kannst du den Wert von $k$ aus der Formel
$ k \cdot P = 2 \cdot \pi $ $ k \cdot P = 2 \cdot \pi $
bestimmen.
Jetzt kannst du die vollständige Gleichung angeben.
$\blacktriangleright$ Rechnerische Lösung:
Eine rechnerische Lösung ist ebenfalls möglich, indem du die Periodenlänge und die Koordinaten der Extrempunkte aus der Abbildung abliest. Verwende dann die Formel
$ a = \dfrac{y_{H} - y_{T}}{2},$ $ a = \dfrac{y_{H} - y_{T}}{2},$
für die Berechnung der Amplitude,
$ b = \dfrac{y_{H} + y_{T}}{2},$ $ b = \dfrac{y_{H} + y_{T}}{2},$
für die Gleichung der Mittellinie $ y = b $ und
$ k \cdot P = 2 \cdot \pi $ $ k \cdot P = 2 \cdot \pi $
für die Berechnung von $ k $ (Beschleunigungsfaktor).

Aufgabe 3.2

$\blacktriangleright$   Koordinaten der Extrem– und Wendepunkte bestimmen
Deine Aufgabe ist es, die Extrem– und Wendepunkte des Schaubildes $K_g$ der Funktion $g$ mit $ g(x) = -3 \cdot \cos(\frac{1}{2} \cdot x) +2 $ anzugeben. Es ist also keine aufwendige Rechnung oder eine Fun ktuionsuntersuchung mithilfe von Ableitungsfunktionen notwendig.
Sehr wohl wird aber dein Wissen über den Verlauf der des Schaubildes der Kosinus–Funktion benötigt, um die richtigen Angaben machen zu können. Schaue in der Merkhilfe zum Thema ,,Trigonometrische Funktionen'' auf Seite 3 nach, was du über Amplitude, Periodenlänge und Hoch–, Tief– und Wendepunkte der Grundfunktion $ \cos (x) $ innerhalb des Intervalls $ [0;2\pi] $ wissen musst.
Bestimme dann mithilfe der Formel
$ k \cdot P = 2 \cdot \pi $ $ k \cdot P = 2 \cdot \pi $
die Periodenlänge der Funktion $g,$ wobei $ k $ die Vorzahl vor dem $x$ ist.
Kontrollergebnis: $ P = 4\pi. $
Dier Periodenlänge entspricht genau der Länge des Intervalls. $K_g$ besitzt also wie die Grundfunktion einen Extrempunkt am Intervallanfang, am Intervallende und in der Intervallmitte. Wegen dem Minuszeichen zu Beginn des Funktionsterms liegt eine Spiegelung der Grundfunktion an der Mittellinie, so dass du daraus schließen kannst, wie viele von den drei Extrempunkten Hoch– bzw. Tiefpunkte es sind.
Die beiden Wendepunkte liegen auf der Geraden, die parallel zur $x$–Achse verläuft und um die das Schaubild der Grundfunktion verschoben worden ist (Mittellinie). Die Gleichung dieser Geraden kannst du direkt aus dem Funktionsterm von $g$ ablesen. Zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt einer trigonometrischen Funktion liegt ein Wendepunkt.
Mithilfe der Lage aller Extrem– und Wendestellen kannst du durch Einsetzen in den Funktionsterm z. B. mit dem TR die Funktionswerte berechnen und schließlich die Koordinaten aller gesuchten Punkte angeben.

Aufgabe 3.3

$\blacktriangleright$   Funktionsterm für eine Problemstellung bestimmen (Modellieren)
Die folgende Aufgabe besteht für dich darin, einen Funktionsterm einer Funktionsklasse (Polynomfunktionen, trigonometrische Funktionen, exponentielle Funktionen) so anzupassen, dass sie einen Vorgang in der Realität näherungsweise gut beschreibt.
Die Problemstellung und die Funktionsklasse sind dir bekannt, so dass du die noch fehlenden Parameter aus den Textangaben heraus berechnen musst. Dies nennt man Modellieren.

Aufgabe 3.3.1

$\blacktriangleright$   Trigonometrische Funktionsbeschreibung
Es ist ein Temperaturverlauf an einem Sommertag zu modellieren. Die Funktionsklasse der trigonometrischen Funktionen ist vorgegeben. Informiere dich zu diesem Thema auf Seite 4 der Merkhilfe. Geeignete Funktionsterme sind
$ f(x) = a \cdot \sin (k \cdot x) + b $ oder $ g(x) = a \cdot \cos (k \cdot x) + b, $ $ f(x) = a \cdot \sin (k \cdot x) + b $ oder $ g(x) = a \cdot \cos (k \cdot x) + b, $
für $ x \in \mathbb{R} $ und unbekannten reellen Parametern $ a, \; b $ und $k.$ Du benötigst also drei Bedingungen, die du den Angaben aus dem Text entnehmen kannst, um den vollständigen Funktionsterm angeben zu können.
Den Satz ,,Um $14$ Uhr erreicht die Temperatur den höchsten Wert von $ 28^{\circ} $ C.'' kannst du als Hochpunkt des Schaubildes interpretieren.
Die Information ,,Die tiefste Temperatur des Tages betrug $ 8^{\circ} $ C um $2$ Uhr.'' interpretierst du entsprechend als Tiefpunkt des Schaubildes.
Die Angabe ,,Temperaturverlauf an einem Sommertag'' bedeutet für dich, dass der Verlauf für einen Zeitraum von 24 Stunden dargestellt werden soll. Dies ist die Periodenlänge.
Die $x$–Achse beschreibt die zeitliche Dimension in der Einheit Stunden, die $y$–Achse die Größenordnung der Temperatur in der Einheit Grad Celsius.
Entscheide dich für eine der beiden Funktionstypen und bedenke dabei, dass $ x = 0 $ nicht zwingend der Uhrzeit 0 Uhr entsprechen muss, sondern auch den Zeitpunkt 14 Uhr mit der höchsten Tagenstemperatur entsprechend kann. Das liegt in deinem Ermessen und macht für dich die Bestimmung der Parameter einfacher.
Verwende die Formeln aus Teilaufgabe 3.1, um die Parameter zu bestimmen.

Aufgabe 3.3.2

$\blacktriangleright$   Exponentielle Funktionsbeschreibung
Es ist ein Abkühlungsprozess in einer zu modellieren. Die Funktionsklasse der exponentiellen Funktionen ist vorgegeben. Informiere dich zu diesem Thema auf Seite 4 der Merkhilfe. Der Funktionsttyp ist
$ f(x) = a \cdot \mathrm{e}^{b \cdot x} + d $ $ f(x) = a \cdot \mathrm{e}^{b \cdot x} + d $
für $ x \in \mathbb{R} $ und unbekannten reellen Parametern $ a, \; b $ und $d.$ Die Bedingungen sind wieder dem Text zu entnehmen.
,,Eine Saunakabine kühlt exponentiell ausgehend von einer Temperatur von $ 60^{\circ} $ C ab.'' bedeutet, dass zum Zeitpunkt Null (in Minuten) die Anfangstemperatur $ 60^{\circ} $ C ist: $ f(0) = 60. $
,,Nach $10$ Minuten hat die Kabine noch eine Temperatur $ 40^{\circ} $ C.'' heißt mathematisch formuliert $ f(10) = 40. $
,,Die Umgebungstemperatur beträgt $ 4^{\circ} $ C.'' beinhaltet, dass sich die Saunatemperatur auf lange Sicht und ohne zusätzliche Temperaturerhöhung auf $ 4^{\circ} $ C der Umgebungstemperatur abkühlen wird. Ein solches Verhalten wird im Schaubild durch die Asymptote $ y = 4 $ beschrieben. Die $x$–Achse beschreibt die zeitliche Dimension in der Einheit Minuten, die $y$–Achse die Größenordnung der Temperatur in Grad Celsius. Nutze die Informationen nun, um $ f(x) $ für $ x \geq 0 $ zu bestimmen.

Aufgabe 3.4

$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass $\boldsymbol{K_h}$ keine Extrem– und Wendepunkte besitzt
Wenn von dir ein Nachweis verlangt wird, so ist eine schriftliche Berechnung notwendig.
Informiere in der Merkhilfe zum Thema ,,Untersuchung von Funktionen und ihren Schaubildern'' auf Seite 5, welche Bedingungen es für das Vorliegen eines Extrem– oder Wendepunktes gibt. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$
Für eine Wendestelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Es genügt, wenn du die erste und zweite Ableitungsfunktion von $h$ bildest und sie auf Nullstellen untersuchst. Wenn es keine Nulstellen gibt, ist der Nachweis erbracht.
Die Formel für die Ableitungsfunktion $k'$ einer Funktion $k$ mit $k(x) = e^{a \cdot x}, \, a \in \mathbb{R}, $ ist gemäß Merkhilfe zum Thema ,,Spezielle Ableitungen'' auf Seite 4
$ k'(x) = a \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}. $ $ k'(x) = a \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}. $
$\blacktriangleright$   Asymptote von $\boldsymbol{K_h}$ angeben
Wenn von dir eine Angabe verlangt wird, so ist keine Berechnung notwendig. Vielmehr genügt es, in der Merkhilfe zum Thema ,,Exponentialfunktion'' auf Seite 3 nachzuschauen. Die Gleichung der Asymptote ist dort angeben. Du brauchst sie nur noch aus dem Fun ktionsterm von $h(x)$ abzulesen.

Aufgabe 3.5

$\blacktriangleright$   Tangentengleichung im Punkt $ \boldsymbol{P(-2 \mid f(-2))} $ des Schaubildes aufstellen
Wenn du die Gleichung einer Tangente im Punkt $ P(-2 | f(-2)) $ des Schaubildes einer Funktion $h$ bestimmen sollst, benötigst du die vollständigen Koordinaten des Punktes $P$ und außerdem die Tangentengleichung $t$ aus der Merkhilfe auf Seite 5, wobei $ u = -2 $ die Stelle ist, wo die Tangente zu berechnen ist. Sie entnimmst du stets dem $x$–Wert des angegebenen Punktes $P:$
$ t(x) = h'(u) \cdot (x - u) + h(u). $ $ t(x) = h'(u) \cdot (x - u) + h(u). $
Du musst noch die Werte $ h(-2)$ und $h'(-2)$ berechnen und sie anschließend in die Formel einsetzen. Löse abschließend die Klammern auf, um die Tangentengleichung in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten.
Der Wert der Steigung $ h'(-2) $ gibt die Steigung des Schaubildes $K_h$ an und ist identisch mit der Steigung $m$ der Tangente ist. Benutze die Merkhilfe, um die Ableitung $h'$ zu berechnen.

Aufgabe 3.6

$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche berechnen, die von $\boldsymbol{K_h}$ und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird
Deine Aufgabe besteht darin, einen Flächeninhalt zu berechnen. Weil die Fläche von den Koordinatenachsen eingeschlossen wird, ist es sinnvoll, die Schnittpunkte mit ihnen zu berechnen und eine Skizze des Schaubildes von $K_h$ anzufertigen, um zu erkennen, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der $x$–Achse liegt.
Den Schnittpunkt mit der $y$–Achse bestimmst du durch die Berechnung von $ h(0),$ den Schnittpunkt mit der $x$–Achse durch Lösen der Gleichung $ h(x) = 0. $
Mithilfe der Ergebnisse deiner Berechnungen und durch Einzeichnen der Asymptote oder mithilfe einer Wertetabelle des TR ist es dir möglich, eine Skizze des Schaubildes zu zeichnen.
Anhand der Skizze und der Merkhilfe zum Thema ,,Integral und Flächeninhalt'' auf Seite 6 erkennst du, dass sich der Flächeninhalt durch \[ A = - \mathop {\int}\limits_{-2 \cdot \ln (4)}^0 h(x) \, \mathrm{d}x = 0. \] berechnen lässt, weil das Flächenstück unterhalb der $x$–Achse verläuft.
Deine Aufgabe ist es, ein Integral zu berechnen. Dazu musst du die Integralformel
$ \displaystyle \int_{-2 \cdot \ln (4)}^0 h(x) \, \mathrm{d}x = H(0) - H(-2 \cdot \ln (4))$ $ \displaystyle \int_{-2 \cdot \ln (4)}^0 h(x) \, \mathrm{d}x $ $\hspace{40mm}$ $ = H(0) - H(-2 \cdot \ln (4))$
anwenden und die Stammfunktion $H$ anhand der Merkhilfe zum Thema ,,Stammfunktionen'' auf Seite 4 erstellen. Die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = e^{a \cdot x} $ ist
$ G(x) = \dfrac{1}{a} \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}. $ $ G(x) = \dfrac{1}{a} \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}. $
Stammfunktion einer konstanten Funktion $c$ ist $ c \cdot x.$
Lösung durch schriftliche Rechnung
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Aufgabe 3.1

$\blacktriangleright$   Funktionsterm der gezeichneten trigonometrischen Funktion bestimmen
Du erhälst die Aufgabe, aus dem gegebenen Schaubild der trigonometrischen Funktion auf den Funktionsterm der Form $ f(x) = a \cdot \sin (k \cdot x) + b $ zu schließen.
$\blacktriangleright$ Zeichnerische Lösung:
Zeichne in Abbildung 1 die Mittelinie ein: Sie verläuft parallel zur $x$–Achse und hat zu jedem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt denselben senkrechten Abstand.
Aufgabe 3
[Abb. 1]: Abbildung 1 mit Mittellinie
Aufgabe 3
[Abb. 1]: Abbildung 1 mit Mittellinie
Bestimme die Gleichung dieser Mittellinie. Sie liefert dir den Wert für $b$ und stellt die Verschiebung des Schaubildes in Richtung der $y$–Achse dar.
Die Mittellinie hat die Gleichung $ y = -2 $ und somit ist $ b = -2. $
Der senkrechte Abstand zwischen der Mittellinie und einem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt gibt die Amplitude bzw. Schwingungstiefe an und beschreibt die Streckung des Schaubildes in $y$–Richtung. Beachte, dass der Abstand stets positiv ist, der Wert von $a$ also stets positiv ist: Eine Spiegelung des ursprünglichen Schaubildes $y = \cos (x)$ an der Mittelinie $y = b$ bewirkt ein negatives Vorzeichen. Bestimme nun seinen Wert.
Eine Spiegelung liegt nicht vor. Mithilfe der Mittellinie kann die Amplitude $ a = 3 $ aus der Abbildung abgelesen werden.
Der horizontale Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Hochpunkten (oder Tiefpunkten oder Wendepunkten) gibt die Periodenlänge $P$ an. Wenn du $P$ aus der Zeichnung abgelesen hast, kannst du den Wert von $k$ aus der Formel
$ k \cdot P = 2 \cdot \pi $ $ k \cdot P = 2 \cdot \pi $
bestimmen.
Der Schnittpunkt des Schaubildes mit der $y$–Achse ist $ S(0 \mid -2). $ Fünf Einheiten weiter ist ein vollständiger Durchlauf der Sinuskurve erfolgt. Die Periodenlänge beträgt also $ P = 5. $ Folglich ist $ k = \frac{2}{5}\pi. $
Jetzt kannst du die vollständige Gleichung angeben.
Aufgabe 3
[Abb. 2]: Abbildung 1 mit Mittellinie, Amplitude und Periodenlänge
Aufgabe 3
[Abb. 2]: Abbildung 1 mit Mittellinie, Amplitude und Periodenlänge
$\blacktriangleright$ Rechnerische Lösung:
Eine rechnerische Lösung ist ebenfalls möglich, indem du die Periodenlänge und die Koordinaten der Extrempunkte aus der Abbildung abliest. Verwende dann die Formel
$ a = \dfrac{y_{H} - y_{T}}{2},$ $ a = \dfrac{y_{H} - y_{T}}{2},$
für die Berechnung der Amplitude,
$ b = \dfrac{y_{H} + y_{T}}{2},$ $ b = \dfrac{y_{H} + y_{T}}{2},$
für die Gleichung der Mittellinie $ y = b $ und
$ k \cdot P = 2 \cdot \pi $ $ k \cdot P = 2 \cdot \pi $
für die Berechnung von $ k $ (Beschleunigungsfaktor). \begin{align*} a &= \dfrac{y_{H} - y_T}{2} \\[5pt] &= \dfrac{1 - (-5)}{2} \\[5pt] &= \dfrac{1 + 5}{2} \\[5pt] &= \dfrac{6}{2} \\[5pt] &= 3 \\[5pt] \\ b &= \dfrac{y_{H_1} + y_{T}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{1 + (-5)}{2} \\[5pt] &= \dfrac{-4}{2} \\[5pt] &= -2 \\[5pt] \\ k \cdot 5 &= 2 \cdot \pi & & \mid \, : 5 \\[5pt] k &= \dfrac{2}{5} \cdot \pi \end{align*}
Die gesuchte Funktion ist $ g(x) = 3 \cdot \sin \left( \frac{2}{5}\pi \cdot x \right) - 2. $

Aufgabe 3.2

$\blacktriangleright$   Koordinaten der Extrem– und Wendepunkte bestimmen
Deine Aufgabe ist es, die Extrem– und Wendepunkte des Schaubildes $K_g$ der Funktion $g$ mit $ g(x) = -3 \cdot \cos(\frac{1}{2} \cdot x) +2 $ anzugeben. Es ist also keine aufwendige Rechnung oder eine Funktionsuntersuchung mithilfe von Ableitungsfunktionen notwendig.
Sehr wohl wird aber dein Wissen über den Verlauf der des Schaubildes der Kosinus–Funktion benötigt, um die richtigen Angaben machen zu können. Schaue in der Merkhilfe zum Thema ,,Trigonometrische Funktionen'' auf Seite 3 nach, was du über Amplitude, Periodenlänge und Hoch–, Tief– und Wendepunkte der Grundfunktion $ \cos (x) $ innerhalb des Intervalls $ [0;2\pi] $ wissen musst.
Bestimme dann mithilfe der Formel
$ k \cdot P = 2 \cdot \pi $ $ k \cdot P = 2 \cdot \pi $
die Periodenlänge der Funktion $g,$ wobei $ k $ die Vorzahl vor dem $x$ ist.
Kontrollergebnis: $ P = 4\pi. $
Dier Periodenlänge entspricht genau der Länge des Intervalls. $K_g$ besitzt also wie die Grundfunktion einen Extrempunkt am Intervallanfang, am Intervallende und in der Intervallmitte. Wegen dem Minuszeichen zu Beginn des Funktionsterms liegt eine Spiegelung der Grundfunktion an der Mittellinie vor, so dass du daraus schließen kannst, wie viele von den drei Extrempunkten Hoch– bzw. Tiefpunkte es sind.
Die beiden Wendepunkte liegen auf der Geraden, die parallel zur $x$–Achse verläuft und um die das Schaubild der Grundfunktion verschoben worden ist (Mittellinie). Die Gleichung dieser Geraden kannst du direkt aus dem Funktionsterm von $g$ ablesen. Zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt einer trigonometrischen Funktion liegt ein Wendepunkt.
Mithilfe der Lage aller Extrem– und Wendestellen kannst du durch Einsetzen in den Funktionsterm z. B. mit dem TR die Funktionswerte berechnen und schließlich die Koordinaten aller gesuchten Punkte angeben.
Die Extremstellen sind $x_0 = 0, \, x_1 = 2\pi $ und $ x_3 = 4\pi. $ Die Funktionswerte sind \[ g(4\pi) = g(0) = -3 \cdot \cos(\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 = -3 \cdot \cos(0) + 2 = -3 \cdot 1 + 2 = -3 + 2 = -1 \] und \[ g(2\pi) = -3 \cdot \cos(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi) + 2 = -3 \cdot \cos(\pi) + 2 = -3 \cdot (-1) + 2 = 3 + 2 = 5. \]
Die Tiefpunkte haben die Koordinaten $ T_1(0 \mid -1) $ und $ T_2(4\pi \mid -1), $ der Hochpunkt die Koordinaten $ H(2\pi \mid 5). $
Die Gleichung der Mittellinie mit der Gleichung $ y = 2. $ Wegen der Lage der Extremstellen sind $ x_4 = \pi $ und $ x_5 = 3\pi $ die Wendestellen. Die Gleichung der Mittellinie mit der Gleichung $ y = 2. $
Die Wendepunkte haben die Koordinaten $ W_1(\pi \mid 2) $ und $ W_2(3\pi \mid 2). $

Aufgabe 3.3

$\blacktriangleright$   Funktionsterm für eine Problemstellung bestimmen (Modellieren)
Die folgende Aufgabe besteht für dich darin, einen Funktionsterm einer Funktionsklasse (Polynomfunktionen, trigonometrische Funktionen, exponentielle Funktionen) so anzupassen, dass sie einen Vorgang in der Realität näherungsweise gut beschreibt.
Die Problemstellung und die Funktionsklasse sind dir bekannt, so dass du die noch fehlenden Parameter aus den Textangaben heraus berechnen musst. Dies nennt man Modellieren.

Aufgabe 3.3.1

$\blacktriangleright$   Trigonometrische Funktionsbeschreibung
Es ist ein Temperaturverlauf an einem Sommertag zu modellieren. Die Funktionsklasse der trigonometrischen Funktionen ist vorgegeben. Informiere dich zu diesem Thema auf Seite 4 der Merkhilfe. Geeignete Funktionsterme sind
$ f(x) = a \cdot \sin (k \cdot x) + b $ oder $ g(x) = a \cdot \cos (k \cdot x) + b, $ $ f(x) = a \cdot \sin (k \cdot x) + b $ oder $ g(x) = a \cdot \cos (k \cdot x) + b, $
für $ x \in \mathbb{R} $ und unbekannten reellen Parametern $ a, \; b $ und $k.$ Du benötigst also drei Bedingungen, die du den Angaben aus dem Text entnehmen kannst, um den vollständigen Funktionsterm angeben zu können.
Den Satz ,,Um $14$ Uhr erreicht die Temperatur den höchsten Wert von $ 28^{\circ} $ C.'' kannst du als Hochpunkt des Schaubildes interpretieren.
Die Information ,,Die tiefste Temperatur des Tages betrug $ 8^{\circ} $ C um $2$ Uhr.'' interpretierst du entsprechend als Tiefpunkt des Schaubildes.
Die Angabe ,,Temperaturverlauf an einem Sommertag'' bedeutet für dich, dass der Verlauf für einen Zeitraum von 24 Stunden dargestellt werden soll. Dies ist die Periodenlänge.
Die $x$–Achse beschreibt die zeitliche Dimension in der Einheit Stunden, die $y$–Achse die Größenordnung der Temperatur in der Einheit Grad Celsius.
Entscheide dich für eine der beiden Funktionstypen und bedenke dabei, dass $ x = 0 $ nicht zwingend der Uhrzeit 0 Uhr entsprechen muss, sondern auch den Zeitpunkt 14 Uhr mit der höchsten Tagenstemperatur entsprechend kann. Das liegt in deinem Ermessen und macht für dich die Bestimmung der Parameter einfacher.
Verwende die Formeln aus Teilaufgabe 3.1, um die Parameter zu bestimmen.
Die Periodenlänge ist 24, so dass wegen $ k \cdot 24 = 2 \cdot \pi $ der Parameter $k$ den Wert $ k = \frac{1}{12}\pi $
Weil das Schaubild der Kosinus–Funktion mit einem Hochpunkt beginnt, ist die Funktion $g$ geeignet mit $ g(0) = 28 $ und $ g(8) = 2. $
\begin{align*} a &= \dfrac{y_{H} - y_T}{2} \\[5pt] &= \dfrac{28 - 8}{2} \\[5pt] &= \dfrac{20}{2} \\[5pt] &= 10 \\[5pt] \\ b &= \dfrac{y_{H_1} + y_{T}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{28 + 8}{2} \\[5pt] &= \dfrac{36}{2} \\[5pt] &= 18 \\[5pt] \\ k \cdot 24 &= 2 \cdot \pi & & \mid \, : 24 \\[5pt] k &= \dfrac{1}{12} \cdot \pi \end{align*} Die gesuchte Funktion ist $ g(x) = 10 \cdot \sin \left( \frac{1}{12}\pi \cdot x \right) + 18 $ für $ x \in \, [-14;10]. $

Aufgabe 3.3.2

$\blacktriangleright$   Exponentielle Funktionsbeschreibung
Es ist ein Abkühlungsprozess in einer Sauna zu modellieren. Die Funktionsklasse der exponentiellen Funktionen ist vorgegeben. Informiere dich zu diesem Thema auf Seite 4 der Merkhilfe. Der Funktionsttyp ist
$ f(x) = a \cdot \mathrm{e}^{b \cdot x} + d $ $ f(x) = a \cdot \mathrm{e}^{b \cdot x} + d $
für $ x \in \mathbb{R} $ und unbekannten reellen Parametern $ a, \; b $ und $d.$ Die Bedingungen sind wieder dem Text zu entnehmen.
,,Eine Saunakabine kühlt exponentiell ausgehend von einer Temperatur von $ 60^{\circ} $ C ab.'' bedeutet, dass zum Zeitpunkt Null (in Minuten) die Anfangstemperatur $ 60^{\circ} $ C ist: $ f(0) = 60. $
,,Nach $10$ Minuten hat die Kabine noch eine Temperatur $ 40^{\circ} $ C.'' heißt mathematisch formuliert $ f(10) = 40. $
,,Die Umgebungstemperatur beträgt $ 4^{\circ} $ C.'' beinhaltet, dass sich die Saunatemperatur auf lange Sicht und ohne zusätzliche Temperaturerhöhung auf $ 4^{\circ} $ C der Umgebungstemperatur abkühlen wird. Ein solches Verhalten wird im Schaubild durch die Asymptote $ y = 4 $ beschrieben.
Die $x$–Achse beschreibt die zeitliche Dimension in der Einheit Minuten, die $y$–Achse die Größenordnung der Temperatur in Grad Celsius. Nutze die Informationen nun, um $ f(x) $ für $ x \geq 0 $ zu bestimmen.
Wegen der Asymptoteneigenschaft ist $ d = 4. $
$ f(0) = 60 $ ist gleichbedeutend mit \[ 60 = a \cdot \mathrm{e}^{b \cdot 0} + 4 = a \cdot \mathrm{e}^{0} + 4 = a \cdot 1 + 4 = a + 4 \] und folglich a = 60 - 4 = 56.
Berechnung von $k:$ \begin{align*} f(10) &= 40 \\[5pt] 56 \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 10} + 4 &= 40 & & \mid \, -4 \\[5pt] 56 \cdot \mathrm{e}^{k \cdot 10} &= 36 & & \mid \, : 56 \\[5pt] \mathrm{e}^{k \cdot 10} &= \dfrac{36}{56} \\[5pt] \mathrm{e}^{k \cdot 10} &= \dfrac{9}{14} & & \mid \, \ln(\,) \\[5pt] \ln \left( \mathrm{e}^{k \cdot 10} \right) &= \ln \left( \dfrac{9}{14} \right) \\[5pt] k \cdot 10 &= \ln \left( \dfrac{9}{14} \right) & & \mid \, : 10 \\[5pt] k &= \dfrac{1}{10} \cdot \ln \left( \dfrac{9}{14} \right) \\[5pt] k &\approx -0,044 \end{align*}
Die gesuchte Funktion ist $ f(x) = 56 \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{10} \cdot \ln \left( \frac{9}{14} \right) \cdot x} + 4 $ oder $ f(x) = 56 \cdot \mathrm{e}^{-0,044 \cdot x} + 4 $ für $ x \geq 0. $

Aufgabe 3.4

$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass $\boldsymbol{K_h}$ keine Extrem– und Wendepunkte besitzt
Wenn von dir ein Nachweis verlangt wird, so ist eine schriftliche Berechnung notwendig.
Informiere dich in der Merkhilfe zum Thema ,,Untersuchung von Funktionen und ihren Schaubildern'' auf Seite 5, welche Bedingungen es für das Vorliegen eines Extrem– oder Wendepunktes gibt. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$
Für eine Wendestelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Es genügt, wenn du die erste und zweite Ableitungsfunktion von $h$ bildest und sie auf Nullstellen untersuchst. Wenn es keine Nulstellen gibt, ist der Nachweis erbracht.
Die Formel für die Ableitungsfunktion $k'$ einer Funktion $k$ mit $k(x) = e^{a \cdot x}, \, a \in \mathbb{R}, $ ist gemäß Merkhilfe zum Thema ,,Spezielle Ableitungen'' auf Seite 4
$ k'(x) = a \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}. $ $ k'(x) = a \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}. $
\begin{align*} h(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \; x} - 2 \\[5pt] h'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \;x} - 0 \\[5pt] &= -\dfrac{1}{4} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \;x} \\[5pt] h''(x) &= -\dfrac{1}{4} \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \;x} \\[5pt] &= \dfrac{1}{8} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \;x} \end{align*} Weil $ \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \;x} > 0 $ für alle $ x \in \mathbb{R} $ ist, folgt $ h'(x) < 0 $ und $ h''(x) > 0 $ für alle $ x \in \mathbb{R}. $ Somit kann es keine Nullstellen der ersten bzw. zweiten Ableitungsfunktion geben
Folglich besitzt $K_h$ keine Extrempunkte und keine Wendepunkte.
$\blacktriangleright$   Asymptote von $\boldsymbol{K_h}$ angeben
Wenn von dir eine Angabe verlangt wird, so ist keine Berechnung notwendig. Vielmehr genügt es, in der Merkhilfe zum Thema ,,Exponentialfunktion'' auf Seite 3 nachzuschauen. Die Gleichung der Asymptote ist dort angeben. Du brauchst sie nur noch aus dem Funktionsterm von $h(x)$ abzulesen.
Die Gleichung der Asymptote ist $ y = -2.$

Aufgabe 3.5

$\blacktriangleright$   Tangentengleichung im Punkt $ \boldsymbol{P(-2 \mid f(-2))} $ des Schaubildes aufstellen
Wenn du die Gleichung einer Tangente im Punkt $ P(-2 \mid f(-2)) $ des Schaubildes einer Funktion $h$ bestimmen sollst, benötigst du die vollständigen Koordinaten des Punktes $P$ und außerdem die Tangentengleichung $t$ aus der Merkhilfe auf Seite 5, wobei $ u = -2 $ die Stelle ist, wo die Tangente zu berechnen ist. Sie entnimmst du stets dem $x$–Wert des angegebenen Punktes $P:$
$ t(x) = h'(u) \cdot (x - u) + h(u). $ $ t(x) = h'(u) \cdot (x - u) + h(u). $
Du musst noch die Werte $ h(-2)$ und $h'(-2)$ berechnen und sie anschließend in die Formel einsetzen. Löse abschließend die Klammern auf, um die Tangentengleichung in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten.
Der Wert der Steigung $ h'(-2) $ gibt die Steigung des Schaubildes $K_h$ an und ist identisch mit der Steigung $m$ der Tangente ist. Benutze die Merkhilfe, um die Ableitung $h'$ zu berechnen.
\begin{align*} h(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \; x} - 2 \\[5pt] h'(x) &= -\dfrac{1}{4} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \;x} \\[5pt] h(-2) &= \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \; (-2)} - 2 \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{1} - 2 \\[5pt] &= \dfrac{1}{2}\mathrm{e} - 2 \\[5pt] h'(-2) &= -\dfrac{1}{4} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \; (-2)} \\ &= -\dfrac{1}{4} \cdot \mathrm{e}^{1} \\ &= -\dfrac{1}{4}\mathrm{e} \end{align*} Nach Einsetzen der Werte in die Tangentengleichung ergibt sich im Punkt $P$ des Schaubildes: \begin{align*} t: t(x) &= h'(-2) \cdot (x - (-2)) + h(-2) \\[5pt] &= -\frac{1}{4}\mathrm{e} \cdot (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \mathrm{e} - 2 \\[5pt] &= -\frac{1}{4}\mathrm{e} \cdot x -\frac{1}{4}\mathrm{e} \cdot 2 + \frac{1}{2}\mathrm{e} - 2 \\[5pt] &= -\frac{1}{4}\mathrm{e} \cdot x - \frac{1}{2}\mathrm{e} + \frac{1}{2}\mathrm{e} - 2 \\[5pt] &= -\frac{1}{4}\mathrm{e} \cdot x - 2 \end{align*} Die Gleichung der Tangente im Punkt $P \left( 2 \mid \frac{1}{2} \mathrm{e} - 2 \right) $ des Schaubildes der Funktion $h$ lautet $ t(x) = -\frac{1}{4}\mathrm{e} \cdot x - 2. $

Aufgabe 3.6

$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche berechnen, die von $\boldsymbol{K_h}$ und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird
Deine Aufgabe besteht darin, einen Flächeninhalt zu berechnen. Weil die Fläche von den Koordinatenachsen eingeschlossen wird, ist es sinnvoll, die Schnittpunkte mit ihnen zu berechnen und eine Skizze des Schaubildes von $K_h$ anzufertigen, um zu erkennen, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der $x$–Achse liegt.
Den Schnittpunkt mit der $y$–Achse bestimmst du durch die Berechnung von $ h(0),$ den Schnittpunkt mit der $x$–Achse durch Lösen der Gleichung $ h(x) = 0. $
\begin{align*} h(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot \; x} - 2 \\[5pt] h(0) &= \dfrac{1}{2} \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot \; 0} - 2 \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot e^{0} - 2 \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} \cdot 1 - 2 \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} - 2 \\[5pt] &= \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{2} \\[5pt] &= -\dfrac{3}{2} \end{align*} Der Schnittpunkt mit der $y$–Achse ist $ S_y \left( 0 \mid -\frac{3}{2} \right). $ \begin{align*} h(x) &= 0 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \; x} - 2 &= 0 & & \mid \, + 2 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \; x} &= 4 & & \mid \, \cdot 2 \\[5pt] \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \; x} &= 2 & & \mid \, \ln (\,) \\[5pt] \ln \left( \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \; x} \right) &= \ln (4) & & \\[5pt] -\frac{1}{2} \cdot \; x &= \ln (4) & & \mid \, \cdot (-2) \\[5pt] x &= -2 \cdot \ln (4) \\[5pt] &\approx -2,77 \end{align*} Der Schnittpunkt mit der $x$–Achse ist $ S_x ( -2 \cdot \ln (4) \mid 0 ). $
Mithilfe der Ergebnisse deiner Berechnungen und durch Einzeichnen der Asymptote oder mithilfe einer Wertetabelle des TR ist es dir möglich, eine Skizze des Schaubildes zu zeichnen.
Aufgabe 3
[Abb. 3]: Skizze des Schaubildes $K_h$
Aufgabe 3
[Abb. 3]: Skizze des Schaubildes $K_h$
Anhand der Skizze und der Merkhilfe zum Thema ,,Integral und Flächeninhalt'' auf Seite 6 erkennst du, dass sich der Flächeninhalt durch \[ A = - \mathop {\int}\limits_{-2 \cdot \ln (4)}^0 h(x) \, \mathrm{d}x = 0. \] berechnen lässt, weil das Flächenstück unterhalb der $x$–Achse verläuft.
Deine Aufgabe ist es, ein Integral zu berechnen. Dazu musst du die Integralformel
$ \displaystyle \int_{-2 \cdot \ln (4)}^0 h(x) \, \mathrm{d}x = H(0) - H(-2 \cdot \ln (4))$ $ \displaystyle \int_{-2 \cdot \ln (4)}^0 h(x) \, \mathrm{d}x $ $\hspace{40mm}$ $ = H(0) - H(-2 \cdot \ln (4))$
anwenden und die Stammfunktion $H$ anhand der Merkhilfe zum Thema ,,Stammfunktionen'' auf Seite 4 erstellen. Die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = e^{a \cdot x} $ ist
$ G(x) = \dfrac{1}{a} \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}. $ $ G(x) = \dfrac{1}{a} \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}. $
Stammfunktion einer konstanten Funktion $c$ ist $ c \cdot x.$
Lösung durch schriftliche Rechnung
\begin{align*} h(x) & = \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \; x} - 2 \\[5pt] H(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{-\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \; x} - 2 \cdot x \\[5pt] &= -\mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \; x} - 2 \cdot x \\[5pt] H(0) &= -\mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \; 0} - 2 \cdot 0 \\[5pt] &= -\mathrm{e}^{0} - 0 \\[5pt] &= -1 \\[5pt] H(-2 \cdot \ln (4)) &= -\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \; (-2 \cdot \ln (4))} - 2 \cdot (-2 \cdot \ln (4)) \\[5pt] &= -\mathrm{e}^{\ln (4)} + 4 \cdot \ln (4) \\[5pt] &= -4 + 4 \cdot \ln (4) \end{align*} Berechnung des Flächeninhalts: \begin{align*} A &= - \mathop {\int}\limits_{-2 \cdot \ln (4)}^0 h(x) \, \mathrm{d}x \\[5pt] &= -[ H(0) - H(-2 \cdot \ln (4))] \\[5pt] &= -H(0) + H(-2 \cdot \ln (4)) \\[5pt] &= -(-1) - 4 + 4 \cdot \ln (4) \\[5pt] &= 1 - 4 + 4 \cdot \ln (4) \\[5pt] &= -3 + 4 \cdot \ln (4) \\[5pt] &\approx 2,55 \end{align*} Der Inhalt der Fläche, die von $K_h$ und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird, ist $ A = -3 + 4 \cdot \ln (4) \approx 2,55 $ FE.
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