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Aufgabe 4

Aufgaben
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Aufgabe 4

4.1
Gegeben ist das Schaubild $K_f$ einer Funktion $f$ und das Schaubild $K_h$ einer Funktion $h$.
Der Term von $f$ lautet $f(x)=6\sin(\pi\cdot x)$; $x\in [0;k]$.
Ergänze die $x$- und die $y$-Achse so, dass die vorgegebene Kurve $K_f$ das Schaubild von $f$ darstellt.
(2P)
4.2
Ermittle die Periode, die Amplitude, die Nullstellen von $f$ und den Wert von $k$.
Skaliere dann obiges Koordinatensystem.
(4P)
4.3
Beschreibe, wie $K_f$ aus dem Schaubild der Funktion $g$ mit $g(x)=\sin(x)$ hervorgeht.
(3P)
4.4
In welchen Kurvenpunkten von $K_f$ beträgt die Steigung $-6\pi$?
(3P)
Der Term von $h$ lautet $h(x)=-4x^4+24x^3-44x^2+24x$; $x\in \mathbb{R}$.
4.5
Berechne die Gleichung der Tangente an $K_h$ an der Stelle $x=2$.
Anton behauptet: „Es gibt keine Tangenten an $K_h$ mit einer größeren Steigung als die Tangente an der Stelle $x=2$“.
Nimm zu dieser Behauptung Stellung.
(5P)
4.6
Die Schaubilder von $f$ und $h$ schneiden sich an den Stellen $x=0$ und $x=1$ und schließen eine Fläche ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.
(5P)
Welche der folgenden Aussagen sind falsch, welche richtig und welche sind nur bedingt richtig?
Gib für die falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an.
Gib für die bedingt richtigen Aussagen eine Bedingung an, unter welcher sie richtig sind.
4.7
a)
Leitet man die Funktion $f$ mit $f(x)=2\cos(b\cdot x)$ mehrmals ab, wird die Amplitude der Schaubilder der Ableitungsfunktionen immer größer.
b)
Die Funktionen $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^{k\cdot x}$; $x\in \mathbb{R}$ ist streng monoton wachsend.
c)
Eine Polynomfunktion ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstelle.
d)
Eine Polynomfunktion 4. Grades, deren Schaubild symmetrisch zur $y$-Achse ist, hat auf der $y$-Achse eine Wendestelle.
(8P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Tipps
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Aufgabe 4.1

$\blacktriangleright$   Koordinatenachsen der gegebenen und gezeichneten trigonometrischen Funktion $\boldsymbol{f}$ ergänzen
Wenn es deine Aufgabe ist, die Koordinatenachsen in die gegebene Zeichnung einzuzeichnen, musst du wissen, wo der Koordinatenursprung $ (0 \mid 0) $ einzutragen ist.
[Abb. 1]: Schaubild der Funktion $f$ ohne Koordinatensystem
[Abb. 1]: Schaubild der Funktion $f$ ohne Koordinatensystem
Das Schaubild ist im Intervall $ [0; k] $ gezeichnet. Du kannst davon ausgehen, dass $ k > 0 $ ist. Der linke Punkt hat somit die $x$–Koordinate Null. Berechne $ f(0), $ dann kennst du die $y$–Koordinate, oder nutze dein Wissen, dass das Schaubild einer nicht–verschobenen Sinus–Funktion durch den Ursprung des Koordinatensystems geht.
Ergänze nun in der Zeichnung das Koordinatensystem.

Aufgabe 4.2

$\blacktriangleright$   Amplitude, Nullstellen und den Wert $\boldsymbol{k}$ des Intervallendes bestimmen
Wenn du die Amplitude bestimmen sollst, kannst du diese wegen der (noch) fehlenden Skalierung des Koordinatensystems nicht der Zeichnung entnehmen. Betrachte den Funktionsterm $ f(x) = 6 \cdot \sin (\pi \cdot x). $ Die (positive) Vorzahl gibt die Amplitude oder Schwingungstiefe des Sinus–Schaubildes an.
Um die Nullstellen zu berechnen, kannst du die Gleichung $ f(x) = 0 $ durch Substitution $ z = \pi \cdot $ lösen. Nutze dein Wissen, dass jede Nullstelle einer Sinus–Funktion ein Vielfaches der Zahl $ \pi $ ist. Aus der Abbildung kannst du entnehmen, dass es fünf Nullstellen gibt.
Alternative: Bestimme die Periodenlänge $ P $ einer Sinus–Funktion mithilfe der Formel
$ b \cdot P = 2 \cdot \pi, $ $ b \cdot P = 2 \cdot \pi, $
wobei $b$ die Vorzahl (Beschleunigungsfaktor) vor dem $x$ in der Klammer des Funktionsterms $ f(x) $ ist.
$\blacktriangleright$   Skalierung des Koordinatensystems vornehmen
Aufgrund der letzten Teilaufgabe kennst du nun alle Größen, um die Koordinatenachsen einzuteilen (skalieren). Ergänze nun in der Zeichnung die Skalierung.

Aufgabe 4.3

$\blacktriangleright$   Beschreiben, wie $\boldsymbol{K_f}$ aus dem Schaubild von $\boldsymbol{g}$ hervorgeht
Deine Aufgabe ist es zu beschreiben, wie das Schaubild $ K_f $ aus dem Schaubild $ K_g $ hervorgegangen ist. Dies kannst du durch den Vergleich der Funktionsterme $ f(x) = \color{#87c800}{6} \cdot \sin (\color{#87c800}{\pi} \cdot x ) $ und $ g(x) = \sin (x) $ ablesen.
Nutze die Merkhilfe zum Thema ,,Spiegelung / Verschiebung / Streckung von Schaubildern'' auf Seite 4 dazu, um aus den zahlenmäßigen Unterschieden der Terme auf die Veränderung des Schaubildes zu schließen.

Aufgabe 4.4

$\blacktriangleright$   Bestimmen, in welchen Punkten $\boldsymbol{K_f}$ die Steigung $\boldsymbol{-6\pi}$ besitzt
Du sollst die Punkte berechnen, an denen die Steigung des Schaubildes $K_f$ die Steigung $-6\pi$ hat. Die Steigung des Schaubildes einer Funktion $f$ an einer Stelle $x$ wird durch ihre Ableitungsfunktion $f'$ an dieser Stelle berechnet.
Benutze die Merkhilfe zumm Thema ,,Ableitungsregeln'' und ,,Spezielle Ableitungen'' auf Seite 4, um die Ableitung $f'$ zu berechnen:
$ g(x) = \sin(a \cdot x) \, \rightarrow g'(x) = a \cdot \cos(a \cdot x) $ $ g(x) = \sin(a \cdot x) \, \rightarrow g'(x) = a \cdot \cos(a \cdot x) $
für beliebiges $ a \in \mathbb{R}. $
Durch Lösen der Gleichung $ f'(x) = -6\pi $ ermittelst du die $x$–Werte der gesuchten Punkte. Setze diese Stellen noch in $f(x)$ ein, um auch die $y$–Koordinaten der Punkte zu berechnen.

Aufgabe 4.5

$\blacktriangleright$   Tangentengleichung in einem Punkt des Schaubildes aufstellen
Wenn du die Gleichung einer Tangente an der Stelle $ u = 2 $ bestimmen sollst, benötigst du die vollständigen Koordinaten des Punktes $ P(2 \mid h(2)) $ des Schaubildes und außerdem die Tangentengleichung $t$ aus der Merkhilfe auf Seite 5:
$ t(x) = h'(u) \cdot (x - u) + h(u). $ $ t(x) = h'(u) \cdot (x - u) + h(u). $
Du musst noch die Werte $ h(-2)$ und $h'(2)$ berechnen und sie anschließend in die Formel einsetzen. Löse abschließend die Klammern auf, um die Tangentengleichung in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten.
Der Wert der Steigung $ h'(2) $ gibt die Steigung des Schaubildes $K_h$ an und ist identisch mit der Steigung $m$ der Tangente ist. Benutze die Merkhilfe zu den Themen,,Spezielle Ableitungen'' und ,,Ableitungsregeln'' auf Seite 4, um die Ableitung $h'$ zu berechnen.
Die Ableitungsfunktion $k'$ einer Potenzfunktion $k$ mit $ k(x) = x^r, \, r \in \mathbb{R}, $ ist
$ k'(x) = r \cdot x^{r-1}. $ $ k'(x) = r \cdot x^{r-1}. $
$\blacktriangleright$   Zu Antons Behauptung Stellung nehmen
Du sollst die Behauptung von Anton prüfen. Probiere ein paar Stellen aus, für die du die Steigung leicht berechnen kannst, oder erstelle mit deinem Taschenrechner eine Wertetabelle für die Ableitungsfunktion.
Wenn du eine Stelle mit größer Steigung findest, ist Antons Aussage widerlegt. Andernfalls kannst du die Ableitungsfunktion auf Extrempunkte oder das Steigungsverhalten des Schaubildes untersuchen.

Aufgabe 4.6

$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche berechnen, die von $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_h}$ eingeschlossen wird
In der Abbildung 1 ist die Fläche zu erkennen, die von $K_f$ und $K_h$ zwischen $ x = 0 $ und $ x = 1 $ eingeschlossen wird und deren Inhalt du berechnen sollst. Auerßdem weißt du jetzt, dass in diesem Bereich das Schaubild $K_f$ oberhalb des Schaubildes $K_h$ verläuft.
Der Flächeninhalt $A$ kann also mithilfe der Merkhilfe zum Thema ,,Integral und Flächeninhalt'' auf Seite 4 durch das Integral $ A= \int_0^1 (f(x) - h(x)) \; \mathrm{d}x $ berechnet werden.
Um den Wert des Integrals berechnen zu können, benötigst du die Formeln aus der Merkhilfe zum Thema ,,Stammfunktionen'' auf Seite 4 für $ g(x) = \sin(a \cdot x), \, a \neq 0, $
$ G(x) = -\dfrac{1}{a} \cdot \cos(a \cdot x) $ $ G(x) = -\dfrac{1}{a} \cdot \cos(a \cdot x) $
und für $ l(x) = x^r, \, r \neq -1, $
$ L(x) = -\dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $ $ L(x) = -\dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $
zur Bildung der Stammfunktion von $ k(x) = f(x) - h(x) $ sowie die Integralformel auf Seite 6 der Merkhilfe zum Thema ,,Berechnung bestimmter Integrale''
$ \displaystyle\int_{0}^{1} k(x) \; \mathrm{d}x = K(1) - K(0).$ $ \displaystyle\int_{0}^{1} k(x) \; \mathrm{d}x = K(1) - K(0).$

Aufgabe 4.7

$\blacktriangleright$ Aussagen als falsch, richtig oder bedingt richtig einstufen
Damit du die Aussagen richtig einstufen kannst, ist es sinnvoll, mehrere unterschiedliche einfache Beispiele zu untersuchen.
a) Leite die Funktion $f$ zweimal ab und setze anschließende drei verschiedene Werte für $ b > 0 $ ein, z. B. $ b = 0,5, \, 1 \, 2. $ Vergleiche, wie sich die verschiedenen Amplituden von $f$ und $f'$ sowie $f''$ untereinander verändern. Vergleiche dann die Veränderungen bei den unterschiedlichen Werten von $b.$ Beachte, dass die Amplitude einer trigonometrischen Funktion stets positiv ist.
b) Leite die Funktion $f$ einmal ab und setze anschließende drei verschiedene Werte für $ k $ ein, z. B. $ k = -1, \, 0 \, 1. $ Untersuche das Vorzeichen $f',$ um Aussagen über das Monotonieverhalten von $f$ zu erhalten. Verwende dein Wissen, dass $ e^x > 0 $ für alle $ x \in \mathbb{R} $ gilt.
c) Fertige je eine Skizze z. B. der Polynomfunktionen $ x^3 $ und $ -x^5 $ an und beschreibe deren Verlauf. Untersuche die Schaubilder auf die Anzahl der Schnittpunkte mit der $x$–Achse (Nullstellen). Überlege dir, ob sich an dem Verlauf der Schaubilder dieser Funktionen etwas ändert, wenn weitere Potenzen von $ x $ mit niedrigerem Exponent oder konstante Vorzahlen der Potenzen hinzugefügt werden, z. B. $ x^3 - 2x^2 + x - 4$ und $ -2x^5 + x^3 -6x. $
d) Fertige Skizzen verschiedener Polynomfunktion 4. Grades an und untersuche deren Verlauf. Wegen der Symmetrie des Schaubildes zur $y$–Achse ist der Funktionsterm einer solchen Funktion $ f(x) = ax^4 + bx^2 + c.$ Wähle für $a, \, b, \ c $ einfache Zahlen. Auch die Merkhilfe kann dir Bedingungen aufzeigen, die für die Existenz von Wendepunkten wichtig sind.
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Aufgabe 4.1

$\blacktriangleright$   Koordinatenachsen der gegebenen und gezeichneten trigonometrischen Funktion $\boldsymbol{f}$ ergänzen
Wenn es deine Aufgabe ist, die Koordinatenachsen in die gegebene Zeichnung einzuzeichnen, musst du wissen, wo der Koordinatenursprung $ (0 \mid 0) $ einzutragen ist.
[Abb. 1]: Schaubild der Funktion $f$ ohne Koordinatensystem
[Abb. 1]: Schaubild der Funktion $f$ ohne Koordinatensystem
Das Schaubild ist im Intervall $ [0; k] $ gezeichnet. Du kannst davon ausgehen, dass $ k > 0 $ ist. Der linke Punkt hat somit die $x$–Koordinate Null. Berechne $ f(0), $ dann kennst du die $y$–Koordinate, oder nutze dein Wissen, dass das Schaubild einer nicht–verschobenen Sinus–Funktion durch den Ursprung des Koordinatensystems geht.
Ergänze nun in der Zeichnung das Koordinatensystem.
[Abb. 2]: Schaubild der Funktion $f$ mit Koordinatensystem
[Abb. 2]: Schaubild der Funktion $f$ mit Koordinatensystem

Aufgabe 4.2

$\blacktriangleright$   Amplitude, Nullstellen und den Wert $\boldsymbol{k}$ des Intervallendes bestimmen
Wenn du die Amplitude bestimmen sollst, kannst du diese wegen der (noch) fehlenden Skalierung des Koordinatensystems nicht der Zeichnung entnehmen. Betrachte den Funktionsterm $ f(x) = 6 \cdot \sin (\pi \cdot x). $ Die (positive) Vorzahl gibt die Amplitude oder Schwingungstiefe des Sinus–Schaubildes an.
Um die Nullstellen zu berechnen, kannst du die Gleichung $ f(x) = 0 $ durch Substitution $ z = \pi \cdot $ lösen. Nutze dein Wissen, dass jede Nullstelle einer Sinus–Funktion ein Vielfaches der Zahl $ \pi $ ist. Aus der Abbildung kannst du entnehmen, dass es fünf Nullstellen gibt.
\begin{align*} f(x) &= 0 \\ 6 \cdot \sin (\pi \cdot x) &= 0 & & \mid \; : 6 \\ \sin (\pi \cdot x) &= 0 & & \mid \; z = \pi \cdot x \\ \sin (z) &= 0 & & \\ z &= r \cdot \pi & & \mid \; r \in \mathbb{R} \\ \pi \cdot x &= r \cdot \pi & & \mid \; : \pi \\ x &= 0, \, 1 \, 2 \, 3, \, 4 \end{align*} Alternative: Bestimme die Periodenlänge $ P $ einer Sinus–Funktion mithilfe der Formel
$ b \cdot P = 2 \cdot \pi, $ $ b \cdot P = 2 \cdot \pi, $
wobei $b$ die Vorzahl (Beschleunigungsfaktor) vor dem $x$ in der Klammer des Funktionsterms $ f(x) $ ist.
Mit $ b = \pi $ ist wegen $ \pi \cdot P = 2 \cdot \pi $ die Periodenlänge $ P = 2. $
Innerhalb einer Periodenlänge besitzt die Sinus–Funktion drei Nullstellen im Abstand von $1.$ Die Abbildung zeigt, dass das Schaubild im Bereich von zwei Periodenlängen gezeichnet ist. Somit kannst du alle Nullstellen angeben.
Um das Intervallende $k$ anzugeben, kannst du die Periodenlänge oder die Lage der Nullstellen von $f$ verwenden.
Die Amplitude ist $ a = 6. $ Die Nullstellen sind $ x_1 = 0, \, x_2 = 1, \, x_3 = 2, \, x_4 = 3, \, $ und $ x_5 = 4. $ Der Wert von $ k $ ist $ 2 \cdot P = 4.$
$\blacktriangleright$   Skalierung des Koordinatensystems vornehmen
Aufgrund der letzten Teilaufgabe kennst du nun alle Größen, um die Koordinatenachsen einzuteilen (skalieren). Ergänze nun in der Zeichnung die Skalierung.
[Abb. 3]: Schaubild der Funktion $f$ mit Skalierung des Koordinatensystems
[Abb. 3]: Schaubild der Funktion $f$ mit Skalierung des Koordinatensystems

Aufgabe 4.3

$\blacktriangleright$   Beschreiben, wie $\boldsymbol{K_f}$ aus dem Schaubild von $\boldsymbol{g}$ hervorgeht
Deine Aufgabe ist es zu beschreiben, wie das Schaubild $ K_f $ aus dem Schaubild $ K_g $ hervorgegangen ist. Dies kannst du durch den Vergleich der Funktionsterme $ f(x) = \color{#87c800}{6} \cdot \sin (\color{#87c800}{\pi} \cdot x ) $ und $ g(x) = \sin (x) $ ablesen.
Nutze die Merkhilfe zum Thema ,,Spiegelung / Verschiebung / Streckung von Schaubildern'' auf Seite 4 dazu, um aus den zahlenmäßigen Unterschieden der Terme auf die Veränderung des Schaubildes zu schließen.
Das Schaubild $ K_f $ geht aus dem Schaubild $ K_g $ durch Streckung in $y$–Richtung mit dem Faktor $ \color{#87c800}{6} $ und durch Streckung in $x$–Richtung und mit dem Faktor $ \frac{1}{\color{#87c800}{\pi}} $ hervor.
Alternative Formulierung: Wenn das Schaubild von $g$ mit dem Faktor $6$ in $y$–Richtung und mit dem Faktor $ \dfrac{1}{\pi} $ in $x$–Richtung gestreckt wird, erhält man das Schaubild von $f$.
Hinweis: Auf die Reihenfolge der Durchführung der Streckungen kommt es in diesem Fall nicht an. Das gilt jedoch nicht, wenn das Schaubild zusätzlich zwischen zwei Streckungen auch noch verschoben wird.

Aufgabe 4.4

$\blacktriangleright$   Bestimmen, in welchen Punkten $\boldsymbol{K_f}$ die Steigung $\boldsymbol{-6\pi}$ besitzt
Du sollst die Punkte berechnen, an denen die Steigung des Schaubildes $K_f$ die Steigung $-6\pi$ hat. Die Steigung des Schaubildes einer Funktion $f$ an einer Stelle $x$ wird durch ihre Ableitungsfunktion $f'$ an dieser Stelle berechnet.
Benutze die Merkhilfe zumm Thema ,,Ableitungsregeln'' und ,,Spezielle Ableitungen'' auf Seite 4, um die Ableitung $f'$ zu berechnen:
$ g(x) = \sin(a \cdot x) \, \rightarrow g'(x) = a \cdot \cos(a \cdot x) $ $ g(x) = \sin(a \cdot x) \, \rightarrow g'(x) = a \cdot \cos(a \cdot x) $
für beliebiges $ a \in \mathbb{R}. $
Durch Lösen der Gleichung $ f'(x) = -6\pi $ ermittelst du die $x$–Werte der gesuchten Punkte. Setze diese Stellen noch in $f(x)$ ein, um auch die $y$–Koordinaten der Punkte zu berechnen. \begin{align*} f(x) &= 6 \cdot \sin(\pi \cdot x) \\ f'(x) &= 6 \cdot \pi \cdot \cos(\pi \cdot x) \\ &= 6\pi \cdot \cos(\pi \cdot x) \end{align*} Die Gleichung $ f'(x) = -6\pi $ bzw. $ 6\pi \cdot \cos(\pi \cdot x) = -6\pi $ führt nach Kürzen mit $6\pi $ auf die Gleichung $ \cos(\pi \cdot x) = -1. $
Weil auch diese Kosinus–Funktion die Periode $ P = 2 $ besitzt, werden die Tiefpunkte innerhalb des Intervalls $ [0;4] $ jeweils in der Intervallmitte von $ [0;2] $ bzw. $ [2;4] $ angenommen, also bei $ x = 1 $ und $ x = 3. $
Daraus ergibt sich $ f(1) = \sin(\pi \cdot 1) = \sin(\pi) = 0 $ und $ f(3) = f(3 - P) = f(3 - 2) = f(1) = 0 $ oder mithilfe des TR $ f(3) = \sin(\pi \cdot 3) = \sin(3\pi) = 0. $
Die Punkte des Schaubildes $K_f,$ welche die Steigung $-6\pi$ besitzen, sind $ P(1 \mid 0) $ und $ Q(3 \mid 0). $

Aufgabe 4.5

$\blacktriangleright$   Tangentengleichung in einem Punkt des Schaubildes aufstellen
Wenn du die Gleichung einer Tangente an der Stelle $ u = 2 $ bestimmen sollst, benötigst du die vollständigen Koordinaten des Punktes $ P(2 \mid h(2)) $ des Schaubildes und außerdem die Tangentengleichung $t$ aus der Merkhilfe auf Seite 5:
$ t(x) = h'(u) \cdot (x - u) + h(u). $ $ t(x) = h'(u) \cdot (x - u) + h(u). $
Du musst noch die Werte $ h(-2)$ und $h'(2)$ berechnen und sie anschließend in die Formel einsetzen. Löse abschließend die Klammern auf, um die Tangentengleichung in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten.
Der Wert der Steigung $ h'(2) $ gibt die Steigung des Schaubildes $K_h$ an und ist identisch mit der Steigung $m$ der Tangente ist. Benutze die Merkhilfe zu den Themen,,Spezielle Ableitungen'' und ,,Ableitungsregeln'' auf Seite 4, um die Ableitung $h'$ zu berechnen.
Die Ableitungsfunktion $k'$ einer Potenzfunktion $k$ mit $ k(x) = x^r, \, r \in \mathbb{R}, $ ist
$ k'(x) = r \cdot x^{r-1}. $ $ k'(x) = r \cdot x^{r-1}. $
\begin{align*} h(x) &= -4 \cdot x^4 + 24 \cdot x^3 - 44 \cdot x^2 + 24 \cdot x \\ h'(x) &= -4 \cdot 4 \cdot x^3 + 24 \cdot 3 \cdot x^2 - 44 \cdot 2 \cdot x^1 + 24 \cdot 1 \\ &= -16 \cdot x^3 + 72 \cdot x^2 - 88 \cdot x^1 + 24 \\ h'(2) &= -16 \cdot 2^3 + 72 \cdot 2^2 - 88 \cdot 2^1 + 24 \\ &= -16 \cdot 8 + 72 \cdot 4 - 88 \cdot 2 + 24 \\ &= -128 + 288 - 176 + 24 \\ &= -128 - 176 + 288 + 24 \\ &= -304 + 312 \\ &= 8 \\ h(2) &= -4 \cdot 2^4 + 24 \cdot 2^3 - 44 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 \\ &= -4 \cdot 16 + 24 \cdot 8 - 44 \cdot 4 + 24 \cdot 2 \\ &= -64 + 192 - 176 + 48 \\ &= -64 - 176 + 192 + 48 \\ &= -240 + 240 \\ &= 0 \\ \end{align*} Nach Einsetzen der Werte in die Tangentengleichung ergibt sich im Punkt $P$ des Schaubildes: \[ t: t(x) = h'(2) \cdot (x - 2) + h(2) = 8 \cdot (x - 2) + 0 = 8 \cdot x - 16 \] Die Tangente an der Stelle $ x = 2 $ des Schaubildes der Funktion $h$ lautet $ t(x) = 8 \cdot x - 16. $
$\blacktriangleright$   Zu Antons Behauptung Stellung nehmen
Du sollst die Behauptung von Anton prüfen. Probiere ein paar Stellen aus, für die du die Steigung leicht berechnen kannst, oder erstelle mit deinem Taschenrechner eine Wertetabelle für die Ableitungsfunktion.
Wenn du eine Stelle mit größer Steigung findest, ist Antons Aussage widerlegt. Andernfalls kannst du die Ableitungsfunktion auf Extrempunkte oder das Steigungsverhalten des Schaubildes untersuchen.
Antons Behauptung ist falsch, denn z. B. beträgt die Steigung an der Stelle Null den Wert $ h'(0) = 24 > 8. $

Aufgabe 4.6

$\blacktriangleright$   Inhalt der Fläche berechnen, die von $\boldsymbol{K_f}$ und $\boldsymbol{K_h}$ eingeschlossen wird
In der Abbildung 1 ist die Fläche zu erkennen, die von $K_f$ und $K_h$ zwischen $ x = 0 $ und $ x = 1 $ eingeschlossen wird und deren Inhalt du berechnen sollst. Außerdem weißt du jetzt, dass in diesem Bereich das Schaubild $K_f$ oberhalb des Schaubildes $K_h$ verläuft.
Der Flächeninhalt $A$ kann also mithilfe der Merkhilfe zum Thema ,,Integral und Flächeninhalt'' auf Seite 4 durch das Integral $ A= \int_0^1 (f(x) - h(x)) \; \mathrm{d}x $ berechnet werden.
Um den Wert des Integrals berechnen zu können, benötigst du die Formeln aus der Merkhilfe zum Thema ,,Stammfunktionen'' auf Seite 4 für $ g(x) = \sin(a \cdot x), \, a \neq 0, $
$ G(x) = -\dfrac{1}{a} \cdot \cos(a \cdot x) $ $ G(x) = -\dfrac{1}{a} \cdot \cos(a \cdot x) $
und für $ l(x) = x^r, \, r \neq -1, $
$ L(x) = -\dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $ $ L(x) = -\dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $
zur Bildung der Stammfunktion von $ k(x) = f(x) - h(x) $ sowie die Integralformel auf Seite 6 der Merkhilfe zum Thema ,,Berechnung bestimmter Integrale''
$ \displaystyle\int_{0}^{1} k(x) \; \mathrm{d}x = K(1) - K(0).$ $ \displaystyle\int_{0}^{1} k(x) \; \mathrm{d}x = K(1) - K(0).$
\begin{align*} k(x) &= f(x) - h(x) \\ &= 6 \cdot \sin (\pi \cdot x) - \left( 4 \cdot x^4 - 24 \cdot x^3 + 44 \cdot x^2 - 24 \cdot x \right) \\[5pt] &= 6 \cdot \sin (\pi \cdot x) - 4 \cdot x^4 + 24 \cdot x^3 - 44 \cdot x^2 + 24 \cdot x \\[5pt] K(x) &= 6 \cdot \left( -\dfrac{1}{\pi} \cdot \cos(\pi \cdot x) \right) - 4 \cdot \dfrac{1}{5} \cdot x^5 + 24 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot x^4 - 44 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot x^3 + 24 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^2 \\[5pt] &= -\dfrac{6}{\pi} \cdot \cos(\pi \cdot x) - \dfrac{4}{5} \cdot x^5 + \dfrac{24}{4} \cdot x^4 - \dfrac{44}{3} \cdot x^3 + \dfrac{24}{2} \cdot x^2 \\[5pt] &= -\dfrac{6}{\pi} \cdot \cos(\pi \cdot x) - \dfrac{4}{5} \cdot x^5 + 6 \cdot x^4 - \dfrac{44}{3} \cdot x^3 + 12 \cdot x^2 \\[5pt] K(1) &= -\dfrac{6}{\pi} \cdot \cos(\pi \cdot 1) - \dfrac{4}{5} \cdot 1^5 + 6 \cdot 1^4 - \dfrac{44}{3} \cdot 1^3 + 12 \cdot 1^2 \\[5pt] &= -\dfrac{6}{\pi} \cdot \cos(\pi) - \dfrac{4}{5} + 6 - \dfrac{44}{3} + 12 \\[5pt] &= -\dfrac{6}{\pi} \cdot (-1) - \dfrac{4}{5} - \dfrac{44}{3} + 6 + 12 \\[5pt] &= \dfrac{6}{\pi} - \dfrac{12}{15} - \dfrac{220}{15} + 18 \\[5pt] &= \dfrac{6}{\pi} - \dfrac{232}{15} + \dfrac{270}{15} \\[5pt] &= \dfrac{6}{\pi} + \dfrac{38}{15} \\[5pt] K(0) &= -\dfrac{6}{\pi} \cdot \cos(\pi \cdot 0) - \dfrac{4}{5} \cdot 0^5 + 6 \cdot 0^4 - \dfrac{44}{3} \cdot 0^3 + 12 \cdot 0^2 \\[5pt] &= -\dfrac{6}{\pi} \cdot \cos(0) - \dfrac{4}{5} \cdot 0 + 6 \cdot 0 - \dfrac{44}{3} \cdot 0 + 12 \cdot 0 \\[5pt] &= -\dfrac{6}{\pi} \cdot 1 - 0 + 0 - 0 + 0 \\[5pt] &= -\dfrac{6}{\pi} \end{align*} \[ \int_0^1 k(x) \; \mathrm{d}x = K(1) - K(0) = \dfrac{6}{\pi} + \dfrac{38}{15} - \left( -\dfrac{6}{\pi} \right) = \dfrac{6}{\pi} + \dfrac{38}{15} + \dfrac{6}{\pi} = \dfrac{12}{\pi} + \dfrac{38}{15} \approx 1,29 \] Der Inhalt der eingeschlossen Fläche zwischen den Schaubildern von $K_f$ und $K_h$ zwischen $ x = 0 $ und $ x = 1 $ beträgt $ A = \dfrac{12}{\pi} + \dfrac{38}{15} \approx 1,29 $ FE.

Aufgabe 4.7

$\blacktriangleright$ Aussagen als falsch, richtig oder bedingt richtig einstufen
Damit du die Aussagen richtig einstufen kannst, ist es sinnvoll, mehrere unterschiedliche einfache Beispiele zu untersuchen.
a) Leite die Funktion $f$ zweimal ab und setze anschließend drei verschiedene Werte für $ b > 0 $ ein, z. B. $ b = 0,5, \, 1 \, 2. $ Vergleiche, wie sich die verschiedenen Amplituden von $f$ und $f'$ sowie $f''$ untereinander verändern. Vergleiche dann die Veränderungen bei den unterschiedlichen Werten von $b.$ Beachte, dass die Amplitude einer trigonometrischen Funktion stets positiv ist.
Die Aussage ist bedingt richtig. Die Bedingung lautet: $ b > 1. $ \begin{align*} f(x) &= 2 \cdot \cos (b \cdot x) \\ f'(x) &= 2 \cdot b \cdot (-\sin (b \cdot x)) \\ f''(x) &= 2 \cdot b^2 \cdot (-\cos (b \cdot x)) \\ f'''(x) &= 2 \cdot b^3 \cdot \sin (b \cdot x) \\ f''''(x) &= 2 \cdot b^4 \cdot \cos (b \cdot x) \end{align*} Die Amplituden der Ableitungsfunktionen sind $ 2b, \, 2b^2, \, 2b^3, \, 2b^4, \ldots $ Für $ b > 1 $ werden sie immer größer.
b) Leite die Funktion $f$ einmal ab und setze anschließende drei verschiedene Werte für $ k $ ein, z. B. $ k = -1, \, 0, \, 1. $ Untersuche das Vorzeichen $f',$ um Aussagen über das Monotonieverhalten von $f$ zu erhalten. Verwende dein Wissen, dass $ e^x > 0 $ für alle $ x \in \mathbb{R} $ gilt.
Die Aussage ist bedingt richtig. Die Bedingung lautet: $ k > 0. $
\begin{align*} f(x) &= e^{k \cdot x} \\ f'(x) &= k \cdot e^{k \cdot x} > 0 & & \text{Bedingung:} \quad k > 0 \end{align*}
c) Fertige je eine Skizze z. B. der Polynomfunktionen $ x^3 $ und $ -x^5 $ an und beschreibe deren Verlauf. Untersuche die Schaubilder auf die Anzahl der Schnittpunkte mit der $x$–Achse (Nullstellen). Überlege dir, ob sich an dem Verlauf der Schaubilder dieser Funktionen etwas ändert, wenn weitere Potenzen von $ x $ mit niedrigerem Exponent oder konstante Vorzahlen der Potenzen hinzugefügt werden, z. B. $ x^3 - 2x^2 + x - 4$ und $ -2x^5 + x^3 -6x. $
Die Aussage ist richtig.
Für eine Polynomfunktion ist die Potenz mit dem größten Exponenten und das Vorzeichen der Vorzahl (Leitkoeffizient) für den Verlauf des Schaubildes entscheidend: Bei ungeradem Grad und positivem Vorzeichen des Leitkoeffizienten verläuft das Schaubild von unten links nach oben rechts; bei ungeradem Grad und negativem Vorzeichen des Leitkoeffizienten verläuft das Schaubild von oben links nach unten rechts. In jedem Fall gibt es mindestens einen Schnittpunkt mit der $x$–Achse und somit mindestens eine Nullstelle.
d) Fertige Skizzen verschiedener Polynomfunktion 4. Grades an und untersuche deren Verlauf. Wegen der Symmetrie des Schaubildes zur $y$–Achse ist der Funktionsterm einer solchen Funktion $ f(x) = ax^4 + bx^2 + c.$ Wähle für $a, \, b, \ c $ einfache Zahlen. Auch die Merkhilfe kann dir Bedingungen aufzeigen, die für die Existenz von Wendepunkten wichtig sind.
Die Aussage ist falsch.
Ein mögliches Gegenbeispiel ist die Funktion $ f(x) = x^4, $ deren Schaubild gar keinen Wendepunkt besitzt.
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