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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Ableitung bilden
Du sollst die erste Ableitungsfunktion von $f(x)=(3+ \cos(x))^4$ bestimmen. Hierbei handelt es sich um eine Verkettung mehrerer Funktionen. Hierfür benötigst du also die Kettenregel. Mit der Kettenregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& (3+ \cos(x))^4 \\[5pt] f'(x)&=& 4 \cdot (3+ \cos(x))^3 \cdot (-\sin(x)) \\[5pt] &=& -4 \cdot (3+ \cos(x))^3 \cdot \sin(x) \\[5pt] \end{array}$
$f'(x)=\dotsc $
#kettenregel

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
In dieser Aufgabe sollst du die Lösung der Gleichung $\mathrm{e}^{4x}-5=4\mathrm{e}^{2x}$ bestimmen. Du musst somit die Gleichung nach $x$ umformen. Hierzu bietet es sich an die Gleichung durch Substitution eines geeigneten Terms zu lösen.
Führe beispielsweise die Substitution $u=\mathrm{e}^{2x}$ durch und bestimme die Lösungen für $u$. Anschließend kannst du durch Resubstitution die Lösungen für $x$ bestimmen. Damit folgt für die gegebene Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \left(\mathrm{e}^{2x}\right)^2-5&=& 4\mathrm{e}^{2x} \\[5pt] \mathrm{e}^{4x}-5&=& 4\mathrm{e}^{2x} \\[5pt] u^2-5&=& 4 \cdot u &\quad \scriptsize \mid\; -4u \\[5pt] u^2-4u-5&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{pq-Formel} \\[5pt] u_{1,2}&=& 2 \pm \sqrt{4+5} \\[5pt] &=& 2 \pm 3 \\[5pt] u_1&=& 5 \\[5pt] u_2&=& -1 \\[5pt] \end{array}$
$u_{1,2}= \dotsc$
Anschließend kannst du die Lösungen für $x$ durch Resubstitution bestimmen. Dadurch folgt:
$\begin{array}[t]{rll} u&=&\mathrm{e}^{2x} &\quad \scriptsize \mid\; \ln(\,) \\[5pt] \ln (u)&=& 2 \cdot x &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot \ln (u)&=& x \\[5pt] x_1&=& \dfrac{1}{2} \cdot \ln (5) \\[5pt] x_2&=& \dfrac{1}{2} \cdot \ln (-1) \\[5pt] \end{array}$
$x_{1,2}=\dotsc$
Da der natürliche Logarithmus in den reellen Zahlen nur für Werte größer Null definiert ist. Ist die Lösung $x_2$ nicht möglich und somit besitzt die Gleichung nur eine Lösung mit $x_1= \dfrac{1}{2} \ln (5)$.
#substitution

Aufgabe 3

Flächeninhalt bestimmen
Du hast die Funktion f mit f(x)=2x2 mit x>0 gegeben und sollst den Inhalt der markierten Fläche berechnen.
Abb. 1: Skizze der markierten Fläche
Abb. 1: Skizze der markierten Fläche
Gehe somit wie folgt vor:
  1. Bestimme die x-Koordinate des Schnittpunktes xS
  2. Bestimme den Flächeninhalt unterhalb der Kurve im Intervall [xS;2]
  3. Gesamten Flächeninhalt bestimmen
1. Schritt: Koordinate des Schnittpunktes bestimmen
Du sollst zuerst die x-Koordinate des Schnittpunktes zwischen dem Graphen der Funktion f und der Geraden y=2 berechnen. Setze dazu die Funktionsterme gleich und löse nach x auf. Hiermit folgt:
2=2x2x22x2=2:2x2=1x1=1x2=1
x1,2=
Da x laut der Aufgabenstellung größer als Null sein muss, gilt für die x-Koordinate des Schnittpunktes xS=1.
2. Schritt: Flächeninhalt unterhalb der Kurve bestimmen
Du sollst den Flächeninhalt im Intervall [xS;2] unterhalb der Kurve bestimmen. Für den Flächeninhalt A1 unterhalb des Graphen von f gilt hierbei mit den gegebenen Grenzen:
A1=xS2f(x)dx
A1=xS2f(x)dx
Damit folgt für den Flächeninhalt A1 mit xS=1 und f(x)=2x2:
A1=xS2f(x)dx=122x2dx=[2x]12=22(21)=1
A1=1
Somit gilt A1=1 FE.
3. Schritt: Gesamten Flächeninhalt unterhalb der Kurve bestimmen
Der Flächeninhalt der markierten Fläche unterhalb des Graphen von f setzt sich aus dem zuvor bestimmten Flächeninhalt A1 zusammen und dem Flächeninhalt des Rechtecks im Intervall [0;xS], wobei xS=1 mit der Höhe h=2 gilt. Somit folgt für den gesamten Flächeninhalt A:
A=xSh+A1=12+1=3
Somit gilt für den Flächeninahlt der markierten Fläche A=3 FE.
#integral

Aufgabe 4

(1)
Aussage bewerten
Die erste Aussage lautet, dass jede Funktion, deren Ableitung eine Nullstelle hat auch eine Extremstelle besitzt. Hierzu kannst du dir mögliche Beispiele überlegen und betrachten, ob die gegebene Aussage zutrifft.
Die Aussage ist falsch, da du ein Gegenbeispiel angeben kannst. Beispielsweise die Funktion f(x)=x3 besitzt die Ableitungsfunktionen f(x)=3x2 und f(x)=6x.
Dabei kannst du erkennen, dass die Ableitung bei x=0 eine Nullstelle besitzt, aber keinen Extrempunkt, da f(x=0)=0 ist und somit die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle nicht erfüllt ist.
(2)
Aussage bewerten
Die zweite Aussage lautet, dass jede ganzrationale Funktion vierten Grades eine Extremstelle besitzt.
Die Notwendige Bedingung für eine Extremstelle xE lautet, dass f(xE)=0 gilt. Somit muss die Ableitungsfunktion an der Extremstelle eine Nullstelle besitzen.
Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle lautet, dass an der Nullstelle der Ableitungsfunktion ein Vorzeichenwechsel stattfinden muss.
Überlege dir hierfür welche Funktionsgleichung die Ableitung besitzt.
Diese Aussage ist wahr, da die Ableitung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist und eine ganzrationale Funktion dritten Grades immer mindestens eine Nullstelle besitzt und an mindestens einer Nullstelle ein Vorzeichenwechsel stattfinden muss.
Hierzu kannst du die Grenzwerte einer ganzrationalen Funktion dritten Grades betrachten.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades lautet: f(x)=ax3+bx2+cx+d. Ist der Parameter a positiv so folgt für die Grenzwertbetrachtung:
limxf(x)=+ und limxf(x)=.
Ist der Parameter a negativ so gilt das umgekehrte. Daraus folgt, dass eine ganzrationale Funktion dritten Grades mindestens eine Nullstelle besitzen muss und an mindestens einer Nullstelle ein Vorzeichenwechsel stattfinden muss. Somit ist das notwendige und das hinreichende Kriterium für eine Extremstelle erfüllt und damit besitzt jede ganzrationale Funktion vierten Grades eine Extremstelle.
#grenzwert

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Ebene darstellen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Ebene $E: x_1+3x_2=6$ in einem Koordinatensystem darstellen. Anhand der Ebenengleichung kannst du erkennen, dass die Ebene $E$ unabhängig von der $x_3$-Koordinate ist. Überlege dir nun wie die $x_1$ und die $x_2$ Koordinate voneinander abhängen. Für die Ebene $E$ folgt folgende Darstellung:
Abb. 2: Ebene E
Abb. 2: Ebene E
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Schnittgeraden bestimmen
Du sollst die Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen $E: x_1+3x_2=6$ und $F: \left[\overrightarrow{x} - \pmatrix{2\\5\\3} \right] \cdot \pmatrix{2\\0\\-1}=0$ bestimmen.
Forme dazu zunächst die Ebenengleichung der Ebene $F$ in Koordinatenform um und löse das Gleichungssystem mit den beiden Ebenengleichungen und bestimme daraus die Geradengleichung der Schnittgeraden.
Für die Ebenengleichung der Ebene $F$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \left[\overrightarrow{x} - \pmatrix{2\\5\\3} \right] \cdot \pmatrix{2\\0\\-1}&=& 0\\[5pt] \pmatrix{x_1-2\\x_2-5\\x_3-3} \cdot \pmatrix{2\\0\\-1}&=& 0 \\[5pt] 2x_1-4-x_3+3 &=& 0 \\[5pt] 2x_1-x_3-1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 2x_1-x_3 &=& +1 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] \end{array}$
$2x_1-x_3 &=& 1$
Somit gilt für die Ebenengleichung der Ebene $F: 2x_1-x_3=1$. Daraus ergibt sich aus den Ebenengleichungen das folgende Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x_1+3x_2&=& 6 \\ \text{II}\quad& 2x_1 -x_3&=& 1 \\ \end{array}$
$\text{I}: x_1 + \dotsc $
Somit hast du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen aber drei Unbekannten. Daraus folgt, dass die Lösung des Gleichungsystems eine Gerade sein muss, da du die Gleichungen nur in Abhängigkeit eines unbekannten Parameters angeben kannst. Gebe somit zwei Koordinaten in Abhängigkeit der dritten Koordinate an. Setze hierbei beispielsweise $x_2=t$, wobei $t$ ein unbekannter Parameter ist. Damit folgt für das quadratische Gleichungsystem in Abhängigkeit des Parameters $t$:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x_1+3t&=& 6 &\quad \scriptsize\mid\;-3t\\ \text{II}\quad& 2x_1 -x_3&=& 1 &\quad \\ \hline \text{I}\quad& x_1&=& 6 -3t \\ \text{II}\quad& 2x_1 -x_3&=& 1 &\quad \\ \end{array}$
$\text{I}: x_1 + \dotsc $
Somit hast du die Gleichung für die Koordinate $x_1$ in Abhängigkeit des Parameters $t$ mit $x_1=6 -3t$ gegeben. Die Gleichung $\text{I}$ kannst du nun in die Gleichung $\text{II}$ für $x_1$ einsetzen und damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 2 x_1 -x_3&=& 1 \\[5pt] 2\cdot (6 -3t) -x_3&=& 1 \\[5pt] 12 -6t -x_3&=& 1 &\quad \scriptsize\mid\;+x_3\\[5pt] 12 -6t &=& 1 +x_3 &\quad \scriptsize\mid\;-1\\[5pt] 11 -6t &=& x_3 \\[5pt] \end{array}$
$ x_3=11 -6t$
Somit gelten für die Koordinaten in Abhängigkeit des Parameters $t$ die Gleichungen $x_1=6 -3t$, $x_2=t$ und $x_3=11 -6t$. Damit folgt für die Geradengleichung der Schnittgeraden in Parameterform:
$\overrightarrow{x}=\pmatrix{6\\0\\11} + t \cdot \pmatrix{-3\\1\\-6}$
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du die Gleichung einer Geraden ermitteln, welche in der Ebene $E$ enthalten ist und mit $F$ keinen gemeinsamen Punkt hat. Überlege dir somit wie du den Stützvektor und den Richtungsvektor einer Geradengleichung wählen musst, sodass die Gerade die gegebenen Bedingungen erfüllt.
Hierbei ist gefordert, dass die Gerade in der Ebene $E$ enthalten ist und mit $F$ keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzt. Somit muss die Gerade einen Stützvektor besitzen, der den Ortsvektor eines Punktes der Ebene $E$ angibt, welcher nicht in der Ebene $F$ liegt.
In der Teilaufgabe zuvor hast du bereits die Schnittgerade der beiden Ebenen angegeben. Die Idee ist es nun eine Parallele der Schnittgeraden anzugeben, welche nur in der Ebene $E$ liegt. Da auf der Schnittgeraden alle Punkte liegen, welche in der Ebene $E$ und gleichzeitig auch in der Ebene $F$ liegen, gilt für die Parallele der Schnittgeraden, welche einen Stützvektor in der Ebene $E$ besitzt, dass die Parallele keinen gemeinsamen Punkt mit der Ebene $F$ besitzen kann.
Die Ebenengleichung der Ebene $E$ ist mit $E: x_1+3x_2=6$ und die der Ebene $F$ mit $F:2x_1 -x_3=1$ gegeben. Wähle somit beispielsweise den Punkt $P(6 \mid 0 \mid 0)$ und dadurch den Stützvektor der Gerade mit $\overrightarrow{OP}=\pmatrix{6\\0\\0}$. Durch eine Punktprobe kannst du überprüfen, ob der gewählte Punkt in der Ebene $E$, aber nicht in der Ebene $F$ liegt. Setze für die Punktprobe die Koordinaten des Punktes in die jeweilige Ebenengleichung ein und überprüfe, ob dies zu einer wahren Aussage führt.
Es folgt für die Ebene $E$:
$\begin{array}[t]{rll} x_1+3x_2&=&6 \\[5pt] 6+ 3 \cdot 0 &=& 6 \\[5pt] 6 &=& 6 \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt, dass der Punkt $P$ in der Ebene $E$ liegt. Für die Ebene $F$ folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} 2x_1-x_3&=& 1 \\[5pt] 2 \cdot 6 - 0 &=& 1 \\[5pt] 12 &=& 1 \\[5pt] \end{array}$
Dies entspricht einer falschen Aussage und damit liegt der Punkt $P$ nicht in der Ebene $F$.
Somit ist die Wahl des Punktes $P$ und damit die Wahl des Stützvektors $\overrightarrow{OP}$ der Geradengleichung geeignet.
Anschließend musst du noch den Richtungsvektor der Geradengleichung bestimmen. Hierbei hast du dir überlegt, dass du eine Gerade wählst, welche eine Parallele zur Schnittgeraden der Ebene darstellt. Paralle Geraden besitzen den gleichen Richtungsvektor. Für den Richtungsvektor der Schnittgeraden gilt aus der vorherigen Teilaufgabe $\pmatrix{-3\\1\\-6}$. Somit gilt für die Geradengleichung mit dem Parameter $s$:
$\overrightarrow{x}=\pmatrix{6\\0\\0}+s \cdot \pmatrix{-3\\1\\-6}$
#punktprobe#koordinatenform

Aufgabe 6

  Verfahren beschreiben
In dieser Aufgabe sollst du ein Verfahren beschreiben, mit dem du die Koordinaten des Punktes Q bestimmen kannst. Hierfür hast du die Ebene E, einen Punkt P in E sowie einen weiteren Punkt S, der nicht E liegt, gegeben. Der Punkt S ist die Spitze eines geraden Kegels, dessen Grundkreis in E liegt und durch P verläuft. Die Strecke PQ bildet einen Durchmesser des Grundkreises.
Gehe hierbei wie folgt vor:
  1. Bestimme die Normalengleichung zur Ebene E durch den Punkt S.
  2. Bestimme den Mittelpunkt M des Kreises, als Schnittpunkt der Normalengleichung mit der Ebene E.
  3. Bestimme den Verschiebungsvektor PM.
  4. Berechne die Koordinaten des Punktes Q mit der Verschiebung OQ=OM+PM¯.
1. Schritt: Normalengleichung bestimmen
Bestimme die Normalengleichung der Ebene E, welche durch den Punkt S verläuft. Wähle somit den Normalenvektor der Ebenen E als Richtungsvektor der Normalen und den Ortsvektor zum Punkt S als Stützvektor.
2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
Bestimme die Koordinaten des Mittelpunktes des Kreises als Schnittpunkt der Normalengleichung und der Ebene E. Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes der Normalen mit der Ebene durch Gleichsetzen der Normalengleichung und der Ebenengleichung.
3. Schritt: Verschiebungsvektor bestimmen
Bestimme den Verschiebungsvektor PM mit dem gegebenem Ortsvektor OP und dem zuvor bestimmten Ortsvektor OM durch die Gleichung:
PM=OMOP
4. Schritt: Koordinaten bestimmen
Bestimme die Koordinaten des Punktes Q durch die Gleichung:
OQ=OM+PM
#verschiebung#schnittpunkt#normalengleichung