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Pflichtteil

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Aufgabe 1

Ableitung bilden
Du sollst die erste Ableitungsfunktion von f(x)=(3+cos?(x))4 bestimmen. Hierbei handelt es sich um eine Verkettung mehrerer Funktionen. Hierfür benötigst du also die Kettenregel.

Aufgabe 2

Gleichung lösen
In dieser Aufgabe sollst du die Lösung der Gleichung e4x5=4e2x bestimmen. Du musst somit die Gleichung nach x umformen. Hierzu bietet es sich an die Gleichung durch Substitution eines geeigneten Terms zu lösen.
Führe beispielsweise die Substitution u=e2x durch und bestimme die Lösungen für u. Anschließend kannst du durch Resubstitution die Lösungen für x bestimmen.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen
Du hast die Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{2}{x^2}$ mit $x > 0$ gegeben und sollst den Inhalt der markierten Fläche berechnen.
Abb. 1: Skizze der markierten Fläche
Abb. 1: Skizze der markierten Fläche
Gehe somit wie folgt vor:
  1. Bestimme die $x$-Koordinate des Schnittpunktes $x_S$
  2. Bestimme den Flächeninhalt unterhalb der Kurve im Intervall $[x_S;2]$
  3. Gesamten Flächeninhalt bestimmen

Aufgabe 4

(1)
Aussage bewerten
Die erste Aussage lautet, dass jede Funktion, deren Ableitung eine Nullstelle hat auch eine Extremstelle besitzt. Hierzu kannst du dir mögliche Beispiele überlegen und betrachten, ob die gegebene Aussage zutrifft.
(2)
Aussage bewerten
Die zweite Aussage lautet, dass jede ganzrationale Funktion vierten Grades eine Extremstelle besitzt.
Die Notwendige Bedingung für eine Extremstelle xE lautet, dass f(xE)=0 gilt. Somit muss die Ableitungsfunktion an der Extremstelle eine Nullstelle besitzen.
Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle lautet, dass an der Nullstelle der Ableitungsfunktion ein Vorzeichenwechsel stattfinden muss. Überlege dir hierfür welche Funktionsgleichung die Ableitung besitzt.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Ebene darstellen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Ebene $E: x_1+3x_2=6$ in einem Koordinatensystem darstellen. Anhand der Ebenengleichung kannst du erkennen, dass die Ebene $E$ unabhängig von der $x_3$-Koordinate ist. Überlege dir nun wie die $x_1$ und die $x_2$ Koordinate voneinander abhängen.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung der Schnittgeraden bestimmen
Du sollst die Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen $E: x_1+3x_2=6$ und $F: \left[\overrightarrow{x} - \pmatrix{2\\5\\3} \right] \cdot \pmatrix{2\\0\\-1}=0$ bestimmen.
Forme dazu zunächst die Ebenengleichung der Ebene $F$ in Koordinatenform um und löse das Gleichungssystem mit den beiden Ebenengleichungen und bestimme daraus die Geradengleichung der Schnittgeraden.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung ermitteln
In dieser Teilaufgabe sollst du die Gleichung einer Geraden ermitteln, welche in der Ebene $E$ enthalten ist und mit $F$ keinen gemeinsamen Punkt hat. Überlege dir somit wie du den Stützvektor und den Richtungsvektor einer Geradengleichung wählen musst, sodass die Gerade die gegebenen Bedingungen erfüllt.
Hierbei ist gefordert, dass die Gerade in der Ebene $E$ enthalten ist und mit $F$ keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzt. Somit muss die Gerade einen Stützvektor besitzen, der den Ortsvektor eines Punktes der Ebene $E$ angibt, welcher nicht in der Ebene $F$ liegt.
In der Teilaufgabe zuvor hast du bereits die Schnittgerade der beiden Ebenen angegeben. Die Idee ist es nun eine Parallele der Schnittgeraden anzugeben, welche nur in der Ebene $E$ liegt. Da auf der Schnittgeraden alle Punkte liegen, welche in der Ebene $E$ und gleichzeitig auch in der Ebene $F$ liegen, gilt für die Parallele der Schnittgeraden, welche einen Stützvektor in der Ebene $E$ besitzt, dass die Parallele keinen gemeinsamen Punkt mit der Ebene $F$ besitzen kann.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$  Verfahren beschreiben
In dieser Aufgabe sollst du ein Verfahren beschreiben, mit dem du die Koordinaten des Punktes $Q$ bestimmen kannst. Hierfür hast du die Ebene $E$, einen Punkt $P$ in $E$ sowie einen weiteren Punkt $S$, der nicht $E$ liegt, gegeben. Der Punkt $S$ ist die Spitze eines geraden Kegels, dessen Grundkreis in $E$ liegt und durch $P$ verläuft. Die Strecke $PQ$ bildet einen Durchmesser des Grundkreises.
Gehe hierbei wie folgt vor:
  1. Bestimme die Normalengleichung zur Ebene $E$ durch den Punkt $S$.
  2. Bestimme den Mittelpunkt $M$ des Kreises, als Schnittpunkt der Normalengleichung mit der Ebene $E$.
  3. Bestimme den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{PM}$.
  4. Berechne die Koordinaten des Punktes $Q$ mit der Verschiebung $\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OM} + \overline{PM}$.

Aufgabe 7

  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass höchstens drei Kugeln gezogen werden. Hierfür hast du gegeben, dass in einer Urne drei rote, zwei grüne und eine blaue Kugel liegen. Hierbei wird so lange nacheinander gezogen und zur Seite gelegt, bis eine rote Kugel gezogen wird.
Bezeichne beispielsweise die Anzahl der gezogenen Kugeln durch die Zufallsvariable X. Somit ist die Wahrscheinlichkeit P(X3) gesucht.
Die Wahrscheinlichkeit kannst du folgendermaßen umschreiben:
P(X3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)