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Aufgabe 1

Mit der Produkt- und der Kettenregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \sin \left(x^2 \right) + \sqrt{x}\cdot \cos(x^2)\cdot 2x \\[5pt] \end{array}$
$ f'(x)= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot … $
#kettenregel#produktregel

Aufgabe 2

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{3}^{\mathrm e +2}\dfrac{1}{x-2}\;\mathrm dx&=& \left[\ln \left(x-2\right) \right]_3^{\mathrm e+2} \\[5pt] &=&\ln \left(\mathrm e+2-2\right)-\ln \left(3-2\right) \\[5pt] &=& \ln \left(\mathrm e\right)-\ln \left(1\right) \\[5pt] &=& 1-0 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$ … = 1 $
Der Wert des Integrals ist also ganzzahlig.

Aufgabe 3

Die Graphen von $F$ und $f$ besitzen an den Stellen parallele Tangenten, an denen ihre Steigungen identisch sind. Diese wird jeweils durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben. Also sind die Stellen $x$ gesucht mit $f(x)=f'(x).$
$f'(x) = 8x-4.$
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& f'(x) \\[5pt] 4x^2-4x+5&=& 8x-4 &\quad \scriptsize \mid\;+4; -8x \\[5pt] 4x^2-12x+9&=& 0 \\[5pt] (2x-3)^2&=& 0\\[5pt] 2x-3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] 2x&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x&=&1,5 \end{array}$
$ x = 1,5 $
An der Stelle $x=1,5$ haben die Graphen von $f$ und $F$ parallele Tangenten.

Aufgabe 4

(1)
$f$ besitzt an den Stellen Extremstellen, an denen $f'$ Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat. Da $f'$ nur in zwei der drei Nullstellen im angegebenen Bereich das Vorzeichen wechselt, besitzt $f$ nur zwei Extremstellen im angegebenen Bereich.
Die Aussage ist also falsch.
(2)
Zeichnet man die Gerade mit der Gleichung $y = -\frac{1}{2}x$ in die Abbildunng ein, so erhält man genau zwei Schnittpunkt mit dem Graphen von $f'.$
Die Aussage ist also wahr.
(3)
Der Graph von $f'$ besitzt an der Stelle $x=-3$ einen Hochpunkt. An dieser Stelle wechselt also die Steigung von positiv zu negativ. Da die Steigung des Graphen von $f'$ durch $f''$ beschrieben wird, muss also $f''$ in dieser Stelle das Vorzeichen von positiv zu negativ wechseln.
Die Aussage ist also wahr.
#extrempunkt

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Damit $g$ in $E$ liegt, muss der Aufpunkt von $g$ in $E$ liegen und der Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor von $E$ stehen.
Einsetzen der Koordinaten des Aufpunkts in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot 1 +2\cdot b +1\cdot 1 &=& 5 \\[5pt] 3+2b&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] 2b&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] b&=& 1 \end{array}$
$ b = 1 $
Das Skalarprodukt von Normalenvektor und Richtungsvektor muss Null betragen:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{2\\2\\1}\circ \pmatrix{1\\0\\a}&=& 0 \\[5pt] 2\cdot 1 +2\cdot 0 + 1\cdot a&=& 0 \\[5pt] 2+a &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] a&=& -2 \end{array}$
$ a = -2 $
b)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung angeben
Als Aufpunkt für $h$ kann der von $g$ verwendet werden. Der Richtungsvektor $\pmatrix{x\\y\\z}$ muss sowohl zum Richtungsvektor von $g$ als auch zum Normalenvektor von $E$ senkrecht stehen.
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& \pmatrix{x\\y\\z}\circ \pmatrix{1\\0\\-2} \\[5pt] &0&=& x-2z \\[5pt] &2z&=& x \\[10pt] \text{II}\quad&0&=& \pmatrix{x\\y\\z}\circ \pmatrix{2\\2\\1} \\[5pt] &0&=& 2x+2y+z \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& x-2z \\[5pt] &2z&=& x \\[10pt] \text{II}\quad&0&=& 2x+2y+z \\[5pt] \end{array}$
Die erste Gleichung kann man nun in $\text{II}$ einsetzen und dann eine der beiden Variablen festsetzen, beispielsweise $y=1:$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&2x+2y+z &\quad \scriptsize \mid\; y=1 \\[5pt] 0&=&2x+2+z &\quad \scriptsize \mid\; x=2z \\[5pt] 0&=&2\cdot 2z + 2 + z \\[5pt] 0&=&5z +2 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] -2&=&5z &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] -\frac{2}{5}&=& z \end{array}$
$ z= -\frac{2}{5} $
Daraus folgt wiederum $x = -\frac{4}{5}.$ Eine mögliche Geradengleichung ist also beispielsweise:
$h: \quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\1\\1}+ t\cdot \pmatrix{-\frac{4}{5} \\ 1\\ - \frac{2}{5}}.$
$ h: \quad \overrightarrow{x} = … $
#skalarprodukt

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Gleichschenkliges Dreieck begründen
$\begin{array}[t]{rll} x_1+2\cdot 0 -0&=& 4 \\[5pt] x_1 &=& 4 \\[5pt] \end{array}$
$ x_1=4 $
Der erste Spurpunkt ist also $S_1(4\mid 0\mid 0).$
$\begin{array}[t]{rll} 0+2\cdot x_2 -0&=& 4 \\[5pt] 2\cdot x_2 &=& 4 \\[5pt] x_2 &=& 2 \\[5pt] \end{array}$
$ x_2=2 $
Der zweite Spurpunkt ist $S_2(0\mid 2\mid 0).$
$\begin{array}[t]{rll} 0+2\cdot 0 -x_3&=& 4 \\[5pt] -x_3 &=& 4 \\[5pt] x_3 &=& -4 \\[5pt] \end{array}$
$ x_3 = -4 $
Der dritte Spurpunkt ist $S_3(0 \mid 0 \mid -4).$
Den Koordinaten der drei Punkte kann man direkt entnehmen, dass $S_1$ und $S_3$ den gleichen Abstand zum Punkt $S_2$ haben. Die drei Punkte bilden also ein gleichschenkliges Dreieck.
b)
$\blacktriangleright$  Schnittgerade bestimmen
Für die Punkte in der Ebene $F$ gilt: $\overrightarrow{OF} = \pmatrix{-2+2r+s\\ -2+3r+2s\\ 8r}.$ Einsetzen in die Ebenengleichung von $E$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} x_1 +2x_2 -x_3 &=& 4 \\[5pt] -2+2r+s +2\cdot (-2+3r+2s) - 8r&=& 4 \\[5pt] -6+ 5s &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; +6 \\[5pt] 5s&=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] s&=& 2 \end{array}$
$ s = 2 $
Einsetzen in die Ebenengleichung von $F$ liefert eine Gleichung der Schnittgerade:
$\begin{array}[t]{rll} s: \quad \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{-2\\-2\\0} + r\cdot \pmatrix{2\\3\\8} + 2\cdot \pmatrix{1\\2\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\2\\0} + r\cdot \pmatrix{2\\3\\8} \\[5pt] \end{array}$
$ s: \quad \overrightarrow{x} = … $

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„Zwei verschiedene Augenzahlen“})&=& 1- P(\text{„Zwei gleiche Augenzahlen“}) \\[5pt] &=& 1- 6\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{5}{6} \end{array}$
$ …=\frac{5}{6} $
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Zeigt der erste Würfel eine der beiden Zahlen an, muss der zweite die andere anzeigen. Also ergibt sich mit der Pfadmultiplikationsregel:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„1 und 2“})&=& \frac{2}{6}\cdot \frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{1}{18} \\[5pt] \end{array}$
$ … = \frac{1}{18} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{18}$ erhält man eine „1“ und eine „2“.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Es gibt $5$ Paare aufeinanderfolgender Zahlen. Diese haben jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit wie das Ereignis aus b). Mit der Pfadadditionsregel folgt also:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„Aufeinanderfolgende Zahlen“})&=& 5\cdot \frac{1}{18} \\[5pt] &=& \frac{5}{18} \\[5pt] \end{array}$
$ …=\frac{5}{18} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{5}{18}$ fallen zwei aufeinanderfolgende Zahlen.
#pfadregeln
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