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Pflichtteil

Aufgaben
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Aufgabe 1

Bilde die Ableitung der Funktion $f$ mit $f(x)=\sqrt{x}\cdot \sin\left(x^2 \right).$
(2 BE)
#ableitung

Aufgabe 2

Untersuche, ob der Wert des Integrals $\displaystyle\int_{3}^{\mathrm e+2}\dfrac{1}{x-2}\;\mathrm dx$ ganzzahlig ist.
(2,5 BE)
#integral

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=4x^2-4x+5.$ $F$ ist eine Stammfunktion von $f.$
Bestimme die Stelle, an der die Graphen von $F$ und $f$ parallele Tangenten besitzen.
(2,5 BE)
#tangente

Aufgabe 4

(3 BE)
#extrempunkt#ableitung

Aufgabe 5

Gegeben sind die Ebene $E:\quad 2x_1+2x_2+x_3 = 5$ und die Gerade $g:\quad \overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\b\\1} + s\cdot \pmatrix{1\\0\\a}.$
Die Gerade $g$ liegt in $E.$
a)
Bestimme die Werte für $a$ und $b.$
b)
Gib eine Gleichung einer Geraden $h$ an, die ebenfalls in $E$ liegt, und senkrecht zur Geraden $g$ verläuft.
(3,5 BE)

Aufgabe 6

Gegeben ist die Ebene $E: \quad x_1+2x_2-x_3 = 4.$
a)
Begründe, dass die Spurpunkte von $E$ die Ecken eines gleichschenkligen Dreiecks bilden.
b)
Die Ebene
$F:\quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{-2\\-2\\0} + r\cdot \pmatrix{2\\3\\8} + s\cdot \pmatrix{1\\2\\0}$
$F:\quad \overrightarrow{x}$ $= \pmatrix{-2\\-2\\0} + r\cdot \pmatrix{2\\3\\8} + s\cdot \pmatrix{1\\2\\0}$
schneidet die Ebene $E.$ Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden.
(3,5 BE)
#schnittgerade#gleichschenkligesdreieck

Aufgabe 7

Zwei ideale Würfel werden gleichzeitig geworfen.
a)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei verschiedene Augenzahlen fallen.
b)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man eine „1“ und eine „2“?
c)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigen die Würfel zwei aufeinanderfolgende Zahlen?
(3 BE)
#wahrscheinlichkeit
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Lösungen
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Aufgabe 1 Pflichtteil

Mit der Produkt- und der Kettenregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \sin \left(x^2 \right) + \sqrt{x}\cdot \cos(x^2)\cdot 2x \\[5pt] \end{array}$
$ f'(x)= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot … $
#kettenregel#produktregel

Aufgabe 2

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{3}^{\mathrm e +2}\dfrac{1}{x-2}\;\mathrm dx&=& \left[\ln \left(x-2\right) \right]_3^{\mathrm e+2} \\[5pt] &=&\ln \left(\mathrm e+2-2\right)-\ln \left(3-2\right) \\[5pt] &=& \ln \left(\mathrm e\right)-\ln \left(1\right) \\[5pt] &=& 1-0 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$ … = 1 $
Der Wert des Integrals ist also ganzzahlig.

Aufgabe 3

Die Graphen von $F$ und $f$ besitzen an den Stellen parallele Tangenten, an denen ihre Steigungen identisch sind. Diese wird jeweils durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben. Also sind die Stellen $x$ gesucht mit $f(x)=f'(x).$
$f'(x) = 8x-4.$
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& f'(x) \\[5pt] 4x^2-4x+5&=& 8x-4 &\quad \scriptsize \mid\;+4; -8x \\[5pt] 4x^2-12x+9&=& 0 \\[5pt] (2x-3)^2&=& 0\\[5pt] 2x-3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] 2x&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x&=&1,5 \end{array}$
$ x = 1,5 $
An der Stelle $x=1,5$ haben die Graphen von $f$ und $F$ parallele Tangenten.

Aufgabe 4

(1)
$f$ besitzt an den Stellen Extremstellen, an denen $f'$ Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat. Da $f'$ nur in zwei der drei Nullstellen im angegebenen Bereich das Vorzeichen wechselt, besitzt $f$ nur zwei Extremstellen im angegebenen Bereich.
Die Aussage ist also falsch.
(2)
Zeichnet man die Gerade mit der Gleichung $y = -\frac{1}{2}x$ in die Abbildunng ein, so erhält man genau zwei Schnittpunkt mit dem Graphen von $f'.$
Die Aussage ist also wahr.
(3)
Der Graph von $f'$ besitzt an der Stelle $x=-3$ einen Hochpunkt. An dieser Stelle wechselt also die Steigung von positiv zu negativ. Da die Steigung des Graphen von $f'$ durch $f''$ beschrieben wird, muss also $f''$ in dieser Stelle das Vorzeichen von positiv zu negativ wechseln.
Die Aussage ist also wahr.
#extrempunkt

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Damit $g$ in $E$ liegt, muss der Aufpunkt von $g$ in $E$ liegen und der Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor von $E$ stehen.
Einsetzen der Koordinaten des Aufpunkts in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot 1 +2\cdot b +1\cdot 1 &=& 5 \\[5pt] 3+2b&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] 2b&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] b&=& 1 \end{array}$
$ b = 1 $
Das Skalarprodukt von Normalenvektor und Richtungsvektor muss Null betragen:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{2\\2\\1}\circ \pmatrix{1\\0\\a}&=& 0 \\[5pt] 2\cdot 1 +2\cdot 0 + 1\cdot a&=& 0 \\[5pt] 2+a &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] a&=& -2 \end{array}$
$ a = -2 $
b)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung angeben
Als Aufpunkt für $h$ kann der von $g$ verwendet werden. Der Richtungsvektor $\pmatrix{x\\y\\z}$ muss sowohl zum Richtungsvektor von $g$ als auch zum Normalenvektor von $E$ senkrecht stehen.
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& \pmatrix{x\\y\\z}\circ \pmatrix{1\\0\\-2} \\[5pt] &0&=& x-2z \\[5pt] &2z&=& x \\[10pt] \text{II}\quad&0&=& \pmatrix{x\\y\\z}\circ \pmatrix{2\\2\\1} \\[5pt] &0&=& 2x+2y+z \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& x-2z \\[5pt] &2z&=& x \\[10pt] \text{II}\quad&0&=& 2x+2y+z \\[5pt] \end{array}$
Die erste Gleichung kann man nun in $\text{II}$ einsetzen und dann eine der beiden Variablen festsetzen, beispielsweise $y=1:$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&2x+2y+z &\quad \scriptsize \mid\; y=1 \\[5pt] 0&=&2x+2+z &\quad \scriptsize \mid\; x=2z \\[5pt] 0&=&2\cdot 2z + 2 + z \\[5pt] 0&=&5z +2 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] -2&=&5z &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] -\frac{2}{5}&=& z \end{array}$
$ z= -\frac{2}{5} $
Daraus folgt wiederum $x = -\frac{4}{5}.$ Eine mögliche Geradengleichung ist also beispielsweise:
$h: \quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\1\\1}+ t\cdot \pmatrix{-\frac{4}{5} \\ 1\\ - \frac{2}{5}}.$
$ h: \quad \overrightarrow{x} = … $
#skalarprodukt

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Gleichschenkliges Dreieck begründen
$\begin{array}[t]{rll} x_1+2\cdot 0 -0&=& 4 \\[5pt] x_1 &=& 4 \\[5pt] \end{array}$
$ x_1=4 $
Der erste Spurpunkt ist also $S_1(4\mid 0\mid 0).$
$\begin{array}[t]{rll} 0+2\cdot x_2 -0&=& 4 \\[5pt] 2\cdot x_2 &=& 4 \\[5pt] x_2 &=& 2 \\[5pt] \end{array}$
$ x_2=2 $
Der zweite Spurpunkt ist $S_2(0\mid 2\mid 0).$
$\begin{array}[t]{rll} 0+2\cdot 0 -x_3&=& 4 \\[5pt] -x_3 &=& 4 \\[5pt] x_3 &=& -4 \\[5pt] \end{array}$
$ x_3 = -4 $
Der dritte Spurpunkt ist $S_3(0 \mid 0 \mid -4).$
Den Koordinaten der drei Punkte kann man direkt entnehmen, dass $S_1$ und $S_3$ den gleichen Abstand zum Punkt $S_2$ haben. Die drei Punkte bilden also ein gleichschenkliges Dreieck.
b)
$\blacktriangleright$  Schnittgerade bestimmen
Für die Punkte in der Ebene $F$ gilt: $\overrightarrow{OF} = \pmatrix{-2+2r+s\\ -2+3r+2s\\ 8r}.$ Einsetzen in die Ebenengleichung von $E$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} x_1 +2x_2 -x_3 &=& 4 \\[5pt] -2+2r+s +2\cdot (-2+3r+2s) - 8r&=& 4 \\[5pt] -6+ 5s &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; +6 \\[5pt] 5s&=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] s&=& 2 \end{array}$
$ s = 2 $
Einsetzen in die Ebenengleichung von $F$ liefert eine Gleichung der Schnittgerade:
$\begin{array}[t]{rll} s: \quad \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{-2\\-2\\0} + r\cdot \pmatrix{2\\3\\8} + 2\cdot \pmatrix{1\\2\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\2\\0} + r\cdot \pmatrix{2\\3\\8} \\[5pt] \end{array}$
$ s: \quad \overrightarrow{x} = … $

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„Zwei verschiedene Augenzahlen“})&=& 1- P(\text{„Zwei gleiche Augenzahlen“}) \\[5pt] &=& 1- 6\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{5}{6} \end{array}$
$ …=\frac{5}{6} $
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Zeigt der erste Würfel eine der beiden Zahlen an, muss der zweite die andere anzeigen. Also ergibt sich mit der Pfadmultiplikationsregel:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„1 und 2“})&=& \frac{2}{6}\cdot \frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{1}{18} \\[5pt] \end{array}$
$ … = \frac{1}{18} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{18}$ erhält man eine „1“ und eine „2“.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Es gibt $5$ Paare aufeinanderfolgender Zahlen. Diese haben jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit wie das Ereignis aus b). Mit der Pfadadditionsregel folgt also:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„Aufeinanderfolgende Zahlen“})&=& 5\cdot \frac{1}{18} \\[5pt] &=& \frac{5}{18} \\[5pt] \end{array}$
$ …=\frac{5}{18} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{5}{18}$ fallen zwei aufeinanderfolgende Zahlen.
#pfadregeln
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