Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Abitur (CAS)
Prüfung
wechseln
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (CAS)
Abi 2018
Pflichtteil
Wahlteil A
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Wahlteil C
Wahlteil C1
Wahlteil C2
Abi 2017
Pflichtteil
Wahlteil A
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Wahlteil C
Wahlteil C1
Wahlteil C2
Abi 2016
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Abi 2015
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Abi 2014
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Abi 2013
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Abi 2012
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2011
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2010
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2009
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2008
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2007
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2006
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2005
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2004
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
LV-Abi 1
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2
LV-Abi 2
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2

Wahlteil A2

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord

Aufgabe A 2.1

Die Anzahl ankommender Fahrzeuge vor einem Grenzübergang soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Ankunftsrate beschrieben durch die Funktion $f$ mit
$f(t)=\dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}$$\,\,$$0\leq t\leq30$
($t$ in Stunden nach Beobachtungsbeginn; $f(t)$ in Fahrzeuge pro Stunde).
Anfangs befinden sich keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang.
a) Skizzieren Sie den Graphen von $f$.
Wann ist die momentane Ankunftsrate maximal?
Bestimmen Sie die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden ankommen.
(4P)
b) Am Grenzübergang werden die Fahrzeuge möglichst schnell abgefertigt, jedoch ist die momentane Abfertigungsrate durch 110 Fahrzeuge pro Stunde begrenzt.
Wann beginnen sich die Fahrzeuge vor dem Grenzübergang zu stauen?
Wie viele Fahrzeuge stauen sich maximal vor dem Grenzübergang?
Welches Ergebnis erhielte man, wenn die momentane Abfertigungsrate 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn auf konstant 220 Fahrzeuge pro Stunde erhöht würde?
(6P)

Aufgabe A 2.2

Für jedes $a>0$ ist eine Funktion $f_a$ gegeben durch
$f_{a}(x)=a\cdot\cos(x)-a^{2}$$\,  \,$ $-\pi < x < \pi $.
Der Graph von $f_a$ ist $G_a$.
a) Untersuchen Sie $G_a$ auf Extrempunkte.
(2P)
b) Durch welche Punkte der $y$-Achse verläuft kein Graph $G_a$?
(3P)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 2.1

a) $\blacktriangleright$ Graphen von $f$ skizzieren
Die Funktion $f$ beschreibt die momentane Ankunftsrate ankommender Fahrzeuge an einem Grenzübergang. Ihr Funktionsterm ist gegeben durch:
$f(t)=\dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}$
Dabei sind $t$ die Stunden nach Beobachtungsbeginn und $f(t)$ die Fahrzeuge pro Stunde. Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang.
Deine Aufgabe ist es, den Graphen der Funktion $f$ im Intervall $\left[ 0;30 \right]$ zu skizzieren. Dabei kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Betrachte das Schaubild in deinem CAS, indem du den Graph-Modus auswählst.
  • Lasse dir die zugehörige Wertetabelle der Funktion einblenden.
$\blacktriangleright$ Maximale momentane Ankunftsrate bestimmen
Die Funktion $f$ beschreibt die momentane Ankunftsrate von Fahrzeugen pro Stunde. Um die maximale momentane Ankunftsrate zu ermitteln, kannst du zunächst den Hochpunkt der Funktion $f$ bestimmen.
Um die Koordinaten des Hochpunktes angeben zu können, musst du die notwendige und hinreichende Bedingung für Maximalstellen überprüfen.
Für eine Maximalstelle $t_M$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f'(t_M)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(t_M) < 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Maximalstelle der Funktion $f$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Maximalstelle. Dieser Funktionswert entspricht gerade der gesuchten maximalen Ankunftsrate.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge bestimmen, die in den ersten 6 Stunden ankommen
Beschreibt die Funktion $f$ die momentane Ankunftsrate, so entspricht ihre Stammfunktion $F$ der Anzahl der ankommenden Fahrzeuge. Bestimme die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden am Grenzübergang ankommen. Diese Anzahl erhältst du über folgenden Zusammenhang:
$\int_{0}^{6} f(t) \mathrm{d}t=\displaystyle\int_{0}^{6} \dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}\mathrm{d}t$
Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang. Daher ist die Konstante, die sich bei der Integration ergibt, gleich Null.
Das Integral über das Intervall $\left[0;6\right]$ kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen.
b) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen, an dem sich erstmals Fahrzeuge stauen
Pro Stunde können am Grenzübergang $110$ Fahrzeuge abgefertigt werden. Aus dem Aufgabenteil zuvor weißt du jedoch, dass die maximale momentane Ankunftsrate 325 Fahrzeuge pro Stunde beträgt. Das heißt, dass zu einem gewissen Zeitpunkt mehr Fahrzeuge am Grenzübergang ankommen als abgefertigt werden können.
Deine Aufgabe ist es, diesen Zeitpunkt $t_0$ zu bestimmen. Dabei kannst du wie folgt vorgehen:
  • Der Zeitpunkt entspricht der Stelle von $f(t)$, an der $f(t)$ erstmals den Funktionswert 110 erreicht. Setze also den Term der Funktion $f$ mit 110 gleich.
  • Löse nach $t$ auf, um den gesuchten Zeitpunkt zu erhalten.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge ermitteln, die sich vor dem Übergang stauen
In der Abbildung unten siehst du den skizzierten Graphen der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$. Zuvor hast du ermittelt, dass sich erstmalig zum Zeitpunkt $t_0=2,54$ Fahrzeuge vor dem Übergang stauen. Die Anzahl $A$ der Fahrzeuge, die sich maximal vor dem Übergang anstauen, entspricht der rot markierten Fläche:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:
$\int_{t_0}^{t_1} f(t)-110\; \mathrm{d}t$
Dabei sind $t_0$ und $t_1$ die Schnittstellen der Funktion $f$ und der Gerdaden $y=110$, die du zuvor bestimmt hast mit:
  • $t_0=2,54$
  • $t_1=21,86$
Für die maximale Anzahl an anstauenden Fahrzeugen wird das Integral $\left[t_0;t_1\right]$ gewählt, da ab dem Zeitpunkt $t_1$ wieder weniger Fahrzeuge ankommen, als abgefertigt werden können. Das heißt, die Anzahl $A$ nimmt ab.
Berechne also die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge, indem du oben angeführtes Integral berechnest.
Das Integral über das Intervall $\left[t_0;t_1\right]$ kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen.
$\blacktriangleright$ Anzahl bei einer Abfertigungsrate von 220 Fahrzeugen pro Stunde
12 Stunden nach Beobachtungsbeginn soll die momentane Abfertigungsate auf $\boldsymbol{220}$ Fahrzeuge pro Stunde erhöht werden. In den Stunden davor soll die momentane Abfertigungsrate weiterhin 110 Fahrzeuge pro Stunde betragen.
Berechne unter diesen Voraussetzungen die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge. Die gesuchte Anzahl $A$ entspricht hier der rot markierten Fläche.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Diese Fläche entspricht den folgenden Integralen:
$\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$
In diesem Fall muss die Berechnung der Fläche auf zwei Integrale aufgeteilt werden, da zum Zeitpunkt $t=12$ die Abfertigungsrate von 110 Fahrzeuge auf 220 Fahrzeuge erhöht wird.
Dabei ist $t_0$ die Schnittstelle der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$, die du zuvor bestimmt hast mit: $t_0=2,54$.
Dahingegen ist $t_2$ die Schnittstelle der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$. Um die gesuchte Anzahl zu ermitteln, kannst du also wie folgt vorgehen:
  • Bestimme die Schnittstelle $t_2$ der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$.
  • Berechne das Integral $\displaystyle\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t $

Aufgabe 2.2

a) $\blacktriangleright$ Koordinaten des Extrempunktes angeben
Die Funktionenschar $f_a$ mit $0 < a$ und dem Definitionsbereich $ \mathbb{D}=\{ x \in \mathbb{R} : -\pi < x < \pi \}$ ist durch folgenden Term definiert:
$f_{a}(x)=a \cdot \cos(x) - a^{2}$
In der Aufgabenstellung wird angegeben, dass der Graph der Funktionenschar $G_a$ einen Extrempunkt besitzt. Deine Aufgabe ist es, dessen Koordinaten anzugeben. Beachte, dass diese Koordinaten vom Parameter $a$ abhängig sein können, da es sich hierbei um eine Funktionenschar handelt.
Um die Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen.
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f_a$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f_a'(x_E)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_a''(x_E) \neq 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Extremstelle der Funktionenschar $f_a$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f_a$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Extremstelle.
b) $\blacktriangleright$ Punkte auf der $\boldsymbol{y}$-Achse angeben angeben
Im Schaubild kannst du erkennen, dass die Graphen der Funktionen $f_1$, $f_2$ und $f_{0,5}$ der Funktionenschar $f_a$ jeweils einen Punkt auf der $y$-Achse schneiden. Gib die Punkte an, durch welche kein Graph der Funktionenschar $f_a$ verläuft.
Dabei kannst du folgende Eigenschaften verwenden:
  • Laut Aufgabentext muss $0 < a$ gelten.
  • Der Extrempunkt besitzt die Koordinaten $E(0 \mid a - a^{2} )$ und stellt damit den Schnittpunkt mit der $y$-Achse dar.
Betrachte die Hilfsfunktion $h$ mit dem Term $h(a)=a-a^2$ und der Bedingung $\boldsymbol{0 < a}$.
Diese Hilfsfunktion gibt die $y$-Koordinate des Schnittpunktes $E(0 \mid a - a^{2} )$ mit der $y$-Achse in Abhängigkeit von $a$ an.
Welche Werte kann die Hilfsfunktion $h$ maximal annehmen und was kannst du dadurch über die Schnittpunkte mit der y-Achse aussagen?
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 2.1

a) $\blacktriangleright$ Graphen von $f$ skizzieren
Die Funktion $f$ beschreibt die momentane Ankunftsrate ankommender Fahrzeuge an einem Grenzübergang. Ihr Funktionsterm ist gegeben durch:
$f(t)=\dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}$
Dabei sind $t$ die Stunden nach Beobachtungsbeginn und $f(t)$ die Fahrzeuge pro Stunde. Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang.
Deine Aufgabe ist es, den Graphen der Funktion $f$ im Intervall $\left[ 0;30 \right]$ zu skizzieren. Dabei kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Betrachte das Schaubild in deinem CAS, indem du den Graph-Modus auswählst.
  • Lasse dir die zugehörige Wertetabelle der Funktion einblenden.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Das Schaubild $K$ sollte dann folgendermaßen aussehen:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
$\blacktriangleright$ Maximale momentane Ankunftsrate bestimmen
Die Funktion $f$ beschreibt die momentane Ankunftsrate von Fahrzeugen pro Stunde. Um die maximale momentane Ankunftsrate zu ermitteln, kannst du zunächst den Hochpunkt der Funktion $f$ bestimmen.
Um die Koordinaten des Hochpunktes angeben zu können, musst du die notwendige und hinreichende Bedingung für Maximalstellen überprüfen.
Für eine Maximalstelle $t_M$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f'(t_M)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(t_M) < 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Maximalstelle der Funktion $f$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Maximalstelle. Dieser Funktionswert entspricht gerade der gesuchten maximalen Ankunftsrate.
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung einer Maximalstelle der Funktion $f$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f$.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Diese kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen. Wähle dazu:
menu $ \to $ 3: Analysis $ \to $ 1: Ableiten
Das CAS liefert dir, dass der Term der Ableitung $f'$ durch
$f'(t)=\dfrac{-3.900.000 \cdot(t^4-10.000)}{(t^4+30.000)^2}$
gegeben ist.
Zum Überprüfen der notwendigen Bedingung $f'(x_M)=0$ kannst du den solve-Befehl verwenden. Diesen findest du unter:
menu $ \to $ 4: Algebra $ \to $ 1: Löse
Damit hast du zwei potentielle Maximalstellen an $t_{1,2}=\pm 10$ ermittelt und kannst für diese Stellen nun das hinreichende Kriterium überprüfen.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Damit eine Maximalstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung
$f''(t_{1,2}=\pm 10) < 0$ erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion $f$. Diese erhältst du, indem du den Term von $f'$ erneut ableitest:
$f''(t)= \dfrac{15.600.000\cdot t^3 \cdot (t^4-50.000)}{(t^4 +30.000)^3}$
Überprüfen, ob $f''(t_{1}= 10)< 0$ bzw. ob
$f''(t_{2}= -10) < 0$ ebenfalls erfüllt wird, liefert folgendes Resultat:
  • $ f''(t_{1}= 10)=-9,75< 0$
  • $ f''(t_{2}= -10)=9,75> 0$
Damit ist die hinreichende Bedingung nur für $t_{1}= 10$ erfüllt und es liegt nur an der Stelle $t_{1}= 10$ eine Maximalstelle vor.
3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes angeben
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle $t_{1}= 10$ ein Hochpunkt befindet. Damit hast du die $x$-Koordinate des Hochpunktes ermittelt.
Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $t_{1}= 10$ in den Funktionsterm von $f$ einsetzt.
Das CAS gibt aus, dass $f(t_1=10)=325$ gilt. Die Koordinaten des Hochpunktes $H$ lauten demnach $H(10 \mid 325 )$.
Die maximale momentane Ankunftsrate beträgt folglich 325 Fahrzeuge pro Stunde.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge bestimmen, die in den ersten 6 Stunden ankommen
Beschreibt die Funktion $f$ die momentane Ankunftsrate, so entspricht ihre Stammfunktion $F$ der Anzahl der ankommenden Fahrzeuge. Bestimme die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden am Grenzübergang ankommen. Diese Anzahl erhältst du über folgenden Zusammenhang:
$\int_{0}^{6} f(t) \mathrm{d}t=\displaystyle\int_{0}^{6} \dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}\mathrm{d}t$
Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang. Daher ist die Konstante, die sich bei der Integration ergibt, gleich Null.
Das Integral über das Intervall $\left[0;6\right]$ kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Den entsprechenden Befehl findest du unter
menu $ \to$ 4: Analysis $ \to$ 3: Integral
Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an.
Gib an, dass die Funktion $f(x)$ über dem Intervall $\left[0;6\right]$ nach $x$ integriert werden soll und Bestätige mit Enter.
Der CAS liefert dir, dass ungefähr 769 Fahrzeuge in den ersten 6 Stunde am Grenzübergang ankommen.
b) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen, an dem sich erstmals Fahrzeuge stauen
Pro Stunde können am Grenzübergang $110$ Fahrzeuge abgefertigt werden. Aus dem Aufgabenteil zuvor weißt du jedoch, dass die maximale momentane Ankunftsrate 325 Fahrzeuge pro Stunde beträgt. Das heißt, dass zu einem gewissen Zeitpunkt mehr Fahrzeuge am Grenzübergang ankommen als abgefertigt werden können.
Deine Aufgabe ist es, diesen Zeitpunkt $t_0$ zu bestimmen. Dabei kannst du wie folgt vorgehen:
  • Der Zeitpunkt entspricht der Stelle von $f(t)$, an der $f(t)$ erstmals den Funktionswert 110 erreicht. Setze also den Term der Funktion $f$ mit 110 gleich.
  • Löse nach $t$ auf, um den gesuchten Zeitpunkt zu erhalten.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Um den Zeitpunkt zu bestimmen, an dem die Funktion $f$ erstmal den Funktionswert 110 erreicht, kannst du den solve-Befehls verwenden. Diesen findest du unter:
menu $ \to$ 3: Algebra $ \to$ 1: Löse
Bestätigen mit Enter liefert dir zwei verschiedene Resultate:
  • $t_0=2,54$
  • $t_1=21,86$
Da $t_0=2,54 < t_1=21,86$ gilt, kannst du festhalten, dass an $t_0=2,54$ erstmalig die Anzahl von 110 pro Stunde ankommenden Fahrzeugen überschritten wird. Das liefert dir, dass der gesuchte Zeitpunkt $t_0=2,54$ ist.
Nach 2,54 Stunden beginnen sich Fahrzeuge vor dem Grenzübergang zu stauen.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge ermitteln, die sich vor dem Übergang stauen
In der Abbildung unten siehst du den skizzierten Graphen der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$. Zuvor hast du ermittelt, dass sich erstmalig zum Zeitpunkt $t_0=2,54$ Fahrzeuge vor dem Übergang stauen. Die Anzahl $A$ der Fahrzeuge, die sich maximal vor dem Übergang anstauen, entspricht der rot markierten Fläche:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:
$\int_{t_0}^{t_1} f(t)-110\; \mathrm{d}t$
Dabei sind $t_0$ und $t_1$ die Schnittstellen der Funktion $f$ und der Gerdaden $y=110$, die du zuvor bestimmt hast mit:
  • $t_0=2,54$
  • $t_1=21,86$
Für die maximale Anzahl an anstauenden Fahrzeugen wird das Integral $\left[t_0;t_1\right]$ gewählt, da ab dem Zeitpunkt $t_1$ wieder weniger Fahrzeuge ankommen, als abgefertigt werden können. Das heißt, die Anzahl $A$ nimmt ab.
Berechne also die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge, indem du oben angeführtes Integral berechnest.
Das Integral über das Intervall $\left[t_0;t_1\right]$ kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Den entsprechenden Befehl findest du unter
menu $ \to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an.
Gib an, dass die Funktion $f(x)-110$ über dem Intervall $\left[2,54\;  \;21,86\right]$ nach $x$ integriert werden soll und Bestätige mit Enter.
Das CAS liefert dir, dass sich maximal 2.325 Fahrzeuge am Grenzübergang anstauen.
$\blacktriangleright$ Anzahl bei einer Abfertigungsrate von 220 Fahrzeugen pro Stunde
12 Stunden nach Beobachtungsbeginn soll die momentane Abfertigungsate auf $\boldsymbol{220}$ Fahrzeuge pro Stunde erhöht werden. In den Stunden davor soll die momentane Abfertigungsrate weiterhin 110 Fahrzeuge pro Stunde betragen.
Berechne unter diesen Voraussetzungen die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge. Die gesuchte Anzahl $A$ entspricht hier der rot markierten Fläche.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:
$\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$
In diesem Fall muss die Berechnung der Fläche auf zwei Integrale aufgeteilt werden, da zum Zeitpunkt $t=12$ die Abfertigungsrate von 110 Fahrzeuge auf 220 Fahrzeuge erhöht wird.
Dabei ist $t_0$ die Schnittstelle der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$, die du zuvor bestimmt hast mit: $t_0=2,54$.
Dahingegen ist $t_2$ die Schnittstelle der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$. Um die gesuchte Anzahl zu ermitteln, kannst du also wie folgt vorgehen:
  • Bestimme die Schnittstelle $t_2$ der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$.
  • Berechne das Integral $\displaystyle\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t $
1. Schritt: Schnittstelle $t_2$ bestimmen
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Um die Schnittstelle $t_2$ zu bestimmen, kannst du den solve-Befehl auswählen.
Bestätigen mit Enter liefert dir zwei verschiedene Resultate:
  • $t_2=15,9$
  • $t_3=5,2$
An $t_3=5,2$ wird erstmalig die Anzahl von 220 pro Stunde ankommenden Fahrzeugen überschritten. Da aber erst nach 12 Stunden auf 220 erhöht werden soll, kannst du dieses Resultat vernachlässigen. Das liefert dir, dass der gesuchte Zeitpunkt $t_2=15,9$ ist.
2. Schritt: Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge berechnen
Berechne also die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge, indem du oben angeführtes Integral berechnest. Das Integral
$\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$
kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Den entsprechenden Befehl findest du unter
menu $ \to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an.
Das CAS liefert dir, dass sich durch die Erhöhung ab der 12. Stunde auf 220 Fahrzeuge pro Stunde maximal $1.422,56+179,79 \approx 1.602$ Fahrzeuge am Grenzübergang anstauen.

Aufgabe 2.2

a) $\blacktriangleright$ Koordinaten des Extrempunktes angeben
Die Funktionenschar $f_a$ mit $0 < a$ und dem Definitionsbereich $ \mathbb{D}=\{ x \in \mathbb{R} : -\pi < x < \pi \}$ ist durch folgenden Term definiert:
$f_{a}(x)=a \cdot \cos(x) - a^{2}$
In der Aufgabenstellung wird angegeben, dass der Graph der Funktionenschar $G_a$ einen Extrempunkt besitzt. Deine Aufgabe ist es, dessen Koordinaten anzugeben. Beachte, dass diese Koordinaten vom Parameter $a$ abhängig sein können, da es sich hierbei um eine Funktionenschar handelt.
Um die Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen.
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f_a$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f_a'(x_E)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_a''(x_E) \neq 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Extremstelle der Funktionenschar $f_a$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f_a$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Extremstelle.
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung einer Extremstelle der Funktion $f_a$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_a$.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
$\begin{array}{rll} f_a(x)&=&a \cdot \cos(x) - a^{2}&\scriptsize \\ f_a'(x)&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize \\ \end{array}$
Für die notwendige Bedingung einer Extremstelle muss $f_a'(x_E)=0$ gelten. Setze den Funktionsterm der ersten Ableitung $f_a'$ gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird:
Das CAS liefert dir folgende Resultate:
  • $x = n3 \cdot \pi$
  • $a = 0$
Da $ a > 0 $ Voraussetzung ist, kannst du $a = 0$ vernachlässigen.
Weiterhin weißt du, dass die Sinusfunktion für $x_E \in \{…-2 \cdot \pi;0;2 \cdot \pi; 4 \cdot \pi, …\}$ den Wert Null annimmt. Da die Funktionenschar $f_a$ aber nur im Bereich $\boldsymbol{-\pi < x < \pi}$ definiert ist, kommt nur $x_E=0$ als Nullstelle in Frage.
Damit hast du eine potentielle Extremstelle an $x_E=0$ ermittelt und kannst für diese Stelle nun das hinreichende Kriterium überprüfen.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Damit eine Extremstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung $f_a''(x_E=0)\neq 0$ erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion $f_a$. Diese erhältst du, indem du den Term von $f_a'$ erneut ableitest:
$\begin{array}{rll} f_a'(x)&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize \\ f_a''(x)&=&- a \cdot \cos(x)&\scriptsize \\ \end{array}$
Überprüfe nun, ob $f_a''(x_E=0)\neq 0$ erfüllt wird.
Das CAS liefert dir, dass wegen $f_a''(x_E=0)=-a \neq 0$ ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist, da $0 < a$ gilt. Das heißt, an $x_E=0$ liegt eine Extremstelle vor. Wegen $f_a''(x_E=0)<0$ kannst du festhalten, dass es sich hierbei um einen Hochpunkt handelt.
3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes angeben
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle $x_E=0$ ein Hochpunkt befindet. Damit hast du die $x$-Koordinate des Hochpunktes ermittelt. Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $x_E=0$ in den Funktionsterm von $f_a$ einsetzt und berechnest:
$\begin{array}{rll} f(x_E=0)&=&a \cdot \cos(0) - a^{2}&\scriptsize \\ &=& a \cdot 1 - a^{2}&\scriptsize \\ &=& a - a^{2} &\scriptsize \\ \end{array}$
Die Koordinaten des Extrempunktes $E$ lauten $E(0 \mid a - a^{2} )$.
b) $\blacktriangleright$ Punkte auf der $\boldsymbol{y}$-Achse angeben angeben
Im Schaubild kannst du erkennen, dass die Graphen der Funktionen $f_1$, $f_2$ und $f_{0,5}$ der Funktionenschar $f_a$ jeweils einen Punkt auf der $y$-Achse schneiden. Gib die Punkte an, durch welche kein Graph der Funktionenschar $f_a$ verläuft.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Dabei kannst du folgende Eigenschaften verwenden:
  • Laut Aufgabentext muss $0 < a$ gelten.
  • Der Extrempunkt besitzt die Koordinaten $E(0 \mid a - a^{2} )$ und stellt damit den Schnittpunkt mit der $y$-Achse dar.
Betrachte die Hilfsfunktion $h$ mit dem Term $h(a)=a-a^2$ und der Bedingung $\boldsymbol{0 < a}$.
Diese Hilfsfunktion gibt die $y$-Koordinate des Schnittpunktes $E(0 \mid a - a^{2} )$ mit der $y$-Achse in Abhängigkeit von $a$ an.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Lässt du die Hilfsfunktion in deinem CAS zeichnen, so kannst du erkennen, dass die Funktion $h$ nach unten nicht beschränkt ist.
Ihr Maximum kannst du ermitteln, indem du
6: Graph analysieren $ \to$ 3: Maximum
auswählst.
Das CAS liefert dir, dass sich das Maximum an $a=0,5$ mit $h(a)=0,25$ befindet. Das heißt, der Extrempunkt bzw. Schnittpunkt mit der $y$-Achse kann maximal die $y$-Koordinate $0,25$ besitzen.
Du kannst also festhalten, dass der Graph der Funktionenschar $f_a$ die Punkte $P(0 \mid y)$ auf der $y$-Achse nicht berührt, für die $0,25 < y$ gilt.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 2.1

a) $\blacktriangleright$ Graphen von $f$ skizzieren
Die Funktion $f$ beschreibt die momentane Ankunftsrate ankommender Fahrzeuge an einem Grenzübergang. Ihr Funktionsterm ist gegeben durch:
$f(t)=\dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}$
Dabei sind $t$ die Stunden nach Beobachtungsbeginn und $f(t)$ die Fahrzeuge pro Stunde. Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang.
Deine Aufgabe ist es, den Graphen der Funktion $f$ im Intervall $\left[ 0;30 \right]$ zu skizzieren. Dabei kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Betrachte das Schaubild in deinem CAS, indem du den Graph-Modus auswählst.
  • Lasse dir die zugehörige Wertetabelle der Funktion einblenden.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Das Schaubild $K$ sollte dann folgendermaßen aussehen:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
$\blacktriangleright$ Maximale momentane Ankunftsrate bestimmen
Die Funktion $f$ beschreibt die momentane Ankunftsrate von Fahrzeugen pro Stunde. Um die maximale momentane Ankunftsrate zu ermitteln, kannst du zunächst den Hochpunkt der Funktion $f$ bestimmen.
Um die Koordinaten des Hochpunktes angeben zu können, musst du die notwendige und hinreichende Bedingung für Maximalstellen überprüfen.
Für eine Maximalstelle $t_M$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f'(t_M)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(t_M) < 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Maximalstelle der Funktion $f$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Maximalstelle. Dieser Funktionswert entspricht gerade der gesuchten maximalen Ankunftsrate.
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung einer Maximalstelle der Funktion $f$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f$.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Diese kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen. Wähle dazu:
Interactive $ \to $ Calculation $ \to $ diff
Das CAS liefert dir, dass der Term der Ableitung $f'$ durch
$f'(t)=\dfrac{-3.900.000 \cdot(t^4-10.000)}{(t^4+30.000)^2}$
gegeben ist.
Zum Überprüfen der notwendigen Bedingung $f'(x_M)=0$ kannst du den solve-Befehl verwenden. Diesen findest du unter:
Interactive $ \to $ Advanced $ \to $ solve
Damit hast du zwei potentielle Maximalstellen an $t_{1,2}=\pm 10$ ermittelt und kannst für diese Stellen nun das hinreichende Kriterium überprüfen.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Damit eine Maximalstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung
$f''(t_{1,2}=\pm 10) < 0$ erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion $f$. Diese erhältst du, indem du den Term von $f'$ erneut ableitest:
$f''(t)= \dfrac{15.600.000\cdot t^3 \cdot (t^4-50.000)}{(t^4 +30.000)^3}$
Überprüfen, ob $f''(t_{1}= 10)< 0$ bzw. ob
$f''(t_{2}= -10) < 0$ ebenfalls erfüllt wird, liefert folgendes Resultat:
  • $ f''(t_{1}= 10)=-9,75< 0$
  • $ f''(t_{2}= -10)=9,75> 0$
Damit ist die hinreichende Bedingung nur für $t_{1}= 10$ erfüllt und es liegt nur an der Stelle $t_{1}= 10$ eine Maximalstelle vor.
3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes angeben
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle $t_{1}= 10$ ein Hochpunkt befindet. Damit hast du die $x$-Koordinate des Hochpunktes ermittelt.
Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $t_{1}= 10$ in den Funktionsterm von $f$ einsetzt.
Das CAS gibt aus, dass $f(t_1=10)=325$ gilt. Die Koordinaten des Hochpunktes $H$ lauten demnach $H(10 \mid 325 )$.
Die maximale momentane Ankunftsrate beträgt folglich 325 Fahrzeuge pro Stunde.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge bestimmen, die in den ersten 6 Stunden ankommen
Beschreibt die Funktion $f$ die momentane Ankunftsrate, so entspricht ihre Stammfunktion $F$ der Anzahl der ankommenden Fahrzeuge. Bestimme die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden am Grenzübergang ankommen. Diese Anzahl erhältst du über folgenden Zusammenhang:
$\int_{0}^{6} f(t) \mathrm{d}t=\displaystyle\int_{0}^{6} \dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}\mathrm{d}t$
Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang. Daher ist die Konstante, die sich bei der Integration ergibt, gleich Null.
Das Integral über das Intervall $\left[0;6\right]$ kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Den entsprechenden Befehl findest du unter
Interactive $ \to$ Calculation $ \to$ $\int_{}^{}$
Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an.
Gib an, dass die Funktion $f(x)$ über dem Intervall $\left[0;6\right]$ nach $x$ integriert werden soll und Bestätige mit EXE.
Der CAS liefert dir, dass ungefähr 769 Fahrzeuge in den ersten 6 Stunde am Grenzübergang ankommen.
b) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen, an dem sich erstmals Fahrzeuge stauen
Pro Stunde können am Grenzübergang $110$ Fahrzeuge abgefertigt werden. Aus dem Aufgabenteil zuvor weißt du jedoch, dass die maximale momentane Ankunftsrate 325 Fahrzeuge pro Stunde beträgt. Das heißt, dass zu einem gewissen Zeitpunkt mehr Fahrzeuge am Grenzübergang ankommen als abgefertigt werden können.
Deine Aufgabe ist es, diesen Zeitpunkt $t_0$ zu bestimmen. Dabei kannst du wie folgt vorgehen:
  • Der Zeitpunkt entspricht der Stelle von $f(t)$, an der $f(t)$ erstmals den Funktionswert 110 erreicht. Setze also den Term der Funktion $f$ mit 110 gleich.
  • Löse nach $t$ auf, um den gesuchten Zeitpunkt zu erhalten.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Um den Zeitpunkt zu bestimmen, an dem die Funktion $f$ erstmal den Funktionswert 110 erreicht, kannst du den solve-Befehls verwenden. Diesen findest du unter:
Interactive $ \to$ Advanced $ \to$ solve
Bestätigen mit EXE liefert dir zwei verschiedene Resultate:
  • $t_0=2,54$
  • $t_1=21,86$
Da $t_0=2,54 < t_1=21,86$ gilt, kannst du festhalten, dass an $t_0=2,54$ erstmalig die Anzahl von 110 pro Stunde ankommenden Fahrzeugen überschritten wird. Das liefert dir, dass der gesuchte Zeitpunkt $t_0=2,54$ ist.
Nach 2,54 Stunden beginnen sich Fahrzeuge vor dem Grenzübergang zu stauen.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge ermitteln, die sich vor dem Übergang stauen
In der Abbildung unten siehst du den skizzierten Graphen der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$. Zuvor hast du ermittelt, dass sich erstmalig zum Zeitpunkt $t_0=2,54$ Fahrzeuge vor dem Übergang stauen. Die Anzahl $A$ der Fahrzeuge, die sich maximal vor dem Übergang anstauen, entspricht der rot markierten Fläche:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:
$\int_{t_0}^{t_1} f(t)-110\; \mathrm{d}t$
Dabei sind $t_0$ und $t_1$ die Schnittstellen der Funktion $f$ und der Gerdaden $y=110$, die du zuvor bestimmt hast mit:
  • $t_0=2,54$
  • $t_1=21,86$
Für die maximale Anzahl an anstauenden Fahrzeugen wird das Integral $\left[t_0;t_1\right]$ gewählt, da ab dem Zeitpunkt $t_1$ wieder weniger Fahrzeuge ankommen, als abgefertigt werden können. Das heißt, die Anzahl $A$ nimmt ab.
Berechne also die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge, indem du oben angeführtes Integral berechnest.
Das Integral über das Intervall $\left[t_0;t_1\right]$ kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Den entsprechenden Befehl findest du unter
Interactive $ \to$ Advanced $\to$ $\int_{}^{}$
Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an.
Gib an, dass die Funktion $f(x)-110$ über dem Intervall $\left[2,54\;  \;21,86\right]$ nach $x$ integriert werden soll und Bestätige mit EXE.
Das CAS liefert dir, dass sich maximal 2.325 Fahrzeuge am Grenzübergang anstauen.
$\blacktriangleright$ Anzahl bei einer Abfertigungsrate von 220 Fahrzeugen pro Stunde
12 Stunden nach Beobachtungsbeginn soll die momentane Abfertigungsate auf $\boldsymbol{220}$ Fahrzeuge pro Stunde erhöht werden. In den Stunden davor soll die momentane Abfertigungsrate weiterhin 110 Fahrzeuge pro Stunde betragen.
Berechne unter diesen Voraussetzungen die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge. Die gesuchte Anzahl $A$ entspricht hier der rot markierten Fläche.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:
$\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$
In diesem Fall muss die Berechnung der Fläche auf zwei Integrale aufgeteilt werden, da zum Zeitpunkt $t=12$ die Abfertigungsrate von 110 Fahrzeuge auf 220 Fahrzeuge erhöht wird.
Dabei ist $t_0$ die Schnittstelle der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$, die du zuvor bestimmt hast mit: $t_0=2,54$.
Dahingegen ist $t_2$ die Schnittstelle der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$. Um die gesuchte Anzahl zu ermitteln, kannst du also wie folgt vorgehen:
  • Bestimme die Schnittstelle $t_2$ der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$.
  • Berechne das Integral $\displaystyle\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t $
1. Schritt: Schnittstelle $t_2$ bestimmen
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Um die Schnittstelle $t_2$ zu bestimmen, kannst du den solve-Befehl auswählen.
Bestätigen mit EXE liefert dir zwei verschiedene Resultate:
  • $t_2=15,9$
  • $t_3=5,2$
An $t_3=5,2$ wird erstmalig die Anzahl von 220 pro Stunde ankommenden Fahrzeugen überschritten. Da aber erst nach 12 Stunden auf 220 erhöht werden soll, kannst du dieses Resultat vernachlässigen. Das liefert dir, dass der gesuchte Zeitpunkt $t_2=15,9$ ist.
2. Schritt: Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge berechnen
Berechne also die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge, indem du oben angeführtes Integral berechnest. Das Integral
$\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$
kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Den entsprechenden Befehl findest du unter
Interactive $ \to$ Advanced $\to$ $\int_{}^{}$
Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an.
Das CAS liefert dir, dass sich durch die Erhöhung ab der 12. Stunde auf 220 Fahrzeuge pro Stunde maximal $1.422,56+179,79 \approx 1.602$ Fahrzeuge am Grenzübergang anstauen.

Aufgabe 2.2

a) $\blacktriangleright$ Koordinaten des Extrempunktes angeben
Die Funktionenschar $f_a$ mit $0 < a$ und dem Definitionsbereich $ \mathbb{D}=\{ x \in \mathbb{R} : -\pi < x < \pi \}$ ist durch folgenden Term definiert:
$f_{a}(x)=a \cdot \cos(x) - a^{2}$
In der Aufgabenstellung wird angegeben, dass der Graph der Funktionenschar $G_a$ einen Extrempunkt besitzt. Deine Aufgabe ist es, dessen Koordinaten anzugeben. Beachte, dass diese Koordinaten vom Parameter $a$ abhängig sein können, da es sich hierbei um eine Funktionenschar handelt.
Um die Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen.
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f_a$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f_a'(x_E)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_a''(x_E) \neq 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Extremstelle der Funktionenschar $f_a$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f_a$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Extremstelle.
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung einer Extremstelle der Funktion $f_a$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_a$.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
$\begin{array}{rll} f_a(x)&=&a \cdot \cos(x) - a^{2}&\scriptsize \\ f_a'(x)&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize \\ \end{array}$
Für die notwendige Bedingung einer Extremstelle muss $f_a'(x_E)=0$ gelten. Setze den Funktionsterm der ersten Ableitung $f_a'$ gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird:
Das CAS liefert dir folgende Resultate:
  • $x = n3 \cdot \pi$
  • $a = 0$
Da $ a > 0 $ Voraussetzung ist, kannst du $a = 0$ vernachlässigen.
Weiterhin weißt du, dass die Sinusfunktion für $x_E \in \{…-2 \cdot \pi;0;2 \cdot \pi; 4 \cdot \pi, …\}$ den Wert Null annimmt. Da die Funktionenschar $f_a$ aber nur im Bereich $\boldsymbol{-\pi < x < \pi}$ definiert ist, kommt nur $x_E=0$ als Nullstelle in Frage.
Damit hast du eine potentielle Extremstelle an $x_E=0$ ermittelt und kannst für diese Stelle nun das hinreichende Kriterium überprüfen.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Damit eine Extremstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung $f_a''(x_E=0)\neq 0$ erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion $f_a$. Diese erhältst du, indem du den Term von $f_a'$ erneut ableitest:
$\begin{array}{rll} f_a'(x)&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize \\ f_a''(x)&=&- a \cdot \cos(x)&\scriptsize \\ \end{array}$
Überprüfe nun, ob $f_a''(x_E=0)\neq 0$ erfüllt wird.
Das CAS liefert dir, dass wegen $f_a''(x_E=0)=-a \neq 0$ ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist, da $0 < a$ gilt. Das heißt, an $x_E=0$ liegt eine Extremstelle vor. Wegen $f_a''(x_E=0)<0$ kannst du festhalten, dass es sich hierbei um einen Hochpunkt handelt.
3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes angeben
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle $x_E=0$ ein Hochpunkt befindet. Damit hast du die $x$-Koordinate des Hochpunktes ermittelt. Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $x_E=0$ in den Funktionsterm von $f_a$ einsetzt und berechnest:
$\begin{array}{rll} f(x_E=0)&=&a \cdot \cos(0) - a^{2}&\scriptsize \\ &=& a \cdot 1 - a^{2}&\scriptsize \\ &=& a - a^{2} &\scriptsize \\ \end{array}$
Die Koordinaten des Extrempunktes $E$ lauten $E(0 \mid a - a^{2} )$.
b) $\blacktriangleright$ Punkte auf der $\boldsymbol{y}$-Achse angeben angeben
Im Schaubild kannst du erkennen, dass die Graphen der Funktionen $f_1$, $f_2$ und $f_{0,5}$ der Funktionenschar $f_a$ jeweils einen Punkt auf der $y$-Achse schneiden. Gib die Punkte an, durch welche kein Graph der Funktionenschar $f_a$ verläuft.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Dabei kannst du folgende Eigenschaften verwenden:
  • Laut Aufgabentext muss $0 < a$ gelten.
  • Der Extrempunkt besitzt die Koordinaten $E(0 \mid a - a^{2} )$ und stellt damit den Schnittpunkt mit der $y$-Achse dar.
Betrachte die Hilfsfunktion $h$ mit dem Term $h(a)=a-a^2$ und der Bedingung $\boldsymbol{0 < a}$.
Diese Hilfsfunktion gibt die $y$-Koordinate des Schnittpunktes $E(0 \mid a - a^{2} )$ mit der $y$-Achse in Abhängigkeit von $a$ an.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Lässt du die Hilfsfunktion in deinem CAS zeichnen, so kannst du erkennen, dass die Funktion $h$ nach unten nicht beschränkt ist.
Ihr Maximum kannst du ermitteln, indem du im Graph-Modus den passenden Befehl auswählst.
Das CAS liefert dir, dass sich das Maximum an $a=0,5$ mit $h(a)=0,25$ befindet.
Das heißt, der Extrempunkt bzw. Schnittpunkt mit der $y$-Achse kann maximal die $y$-Koordinate $0,25$ besitzen.
Du kannst also festhalten, dass der Graph der Funktionenschar $f_a$ die Punkte $P(0 \mid y)$ auf der $y$-Achse nicht berührt, für die $0,25 < y$ gilt.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App