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Wahlteil A2

Aufgaben
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Aufgabe 2.1

Die Entwicklung einer Population in den Jahren 1960 bis 2020 lässt sichdurch zwei Funktionen modellhaft beschreiben.
Die Funktion $g$ mit $g(t)=400+20\cdot (t+1)^2\cdot\mathrm{e}^{-0,1t}$ beschreibt die Geburtenrate und dieFunktion $s$ mit $s(t)=600+10\cdot(t-6)^2\cdot$ $\mathrm{e}^{-0,09t}$ beschreibt die Sterberate der Population ($t$ in Jahren seitBeginn des Jahres 1960, $g(t)$ und $s(t)$ in Individuen pro Jahr).
a)
Bestimme die geringste Sterberate.
In welchem Jahr war die Differenz aus Geburten- und Sterberate am größten?
Bestimme den Zeitraum, in dem die Population zugenommen hat.
(4P)
b)
Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus 20.000 Individuen.
Berechne den Bestand der Population zu Beginn des Jahres 2017.
In welchem Jahr erreichte die Population erstmals wieder den Bestand von 1960?
(3P)
Betrachtet wird nun das Größenwachstum eines einzelnen Individuums der Population. Dies kann im Beobachtungszeitraumdurch das Gesetz des beschränkten Wachstums modelliert werden. Man geht davon aus, dass dieses Individuum inausgewachsenem Zustand 0,8m groß ist. Zu Beobachtungsbeginn betragen seine Größe 0,5m und seine momentane Wachstumsgeschwindigkeit0,15m pro Jahr.
c)
Bestimme eine Gleichung einer Funktion, die die Körpergröße des Individuums in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um 50% zugenommen?
(4P)

Aufgabe 2.2

Gegeben sind ein Kreis mit Mittelpunkt $O(0\mid 0)$ und die Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{4}{x^2+1}$.
Bestimme die Anzahl der gemeinsamen Punkte des Kreises mit dem Graphen von $f$ inAbhängigkeit vom Kreisradius.
(4P)
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Aufgabe 2.1

a)
$\blacktriangleright$  Bestimmen der geringsten Sterberate
Die Sterberate der Population wird durch $s$ mit
$s(t)=600+10\cdot (t-6)^2 \cdot \mathrm e^{-0,09\cdot t}$
beschrieben. Du sollst die geringste Sterberate bestimmen.
Da $s$ die Sterberate der Population in Abhängigkeit vom Zeitpunkt $t$ beschreibt, liegt die geringste Sterberate beim Minimum von $s$ vor. Bestimme also das Minimum von $s$. Verwende dazu dein CAS.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der größten Differenz zwischen Geburten- und Sterberate
Die Geburtenrate wird durch die Funktion $g$ mit:
$g(t)=400+20\cdot (t+1)^2 \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$
beschrieben. Willst du bestimmen, in welchem Jahr die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate am größten war, so bestimmst du die Stelle, an welcher die Funktionswerte von $g$ und $s$ sich maximal unterscheiden.
Bilde dazu eine Differenzfunktion und bestimme mit deinem CAS die Maximalstelle dieser Funktion.
$\blacktriangleright$  Bestimmen des Zeitraums in dem die Population zugenommen hat
Die Population nimmt dann zu, wenn die Differenz zwischen Geburten und Sterberate positiv ist. Definiere also eine Funktion $d_2$, die diesen Sachverhalt beschreibt:
$d_2(t)=g(t)-s(t)$
Der Zeitraum indem die Population zugenommen hat kannst du bestimmen, indem du den Bereich bestimmst, indem der Graph von $d_2$ oberhalb der $x$-Achse verläuft. Betrachte dazu den Graphen von $d_2$ mit deinem CAS und bestimme die Nullstellen.
b)
$\blacktriangleright$  Berechnen des Bestands der Population zu Beginn des Jahres 2017
Sowohl Funktion $g$ also auch Funktion $s$ beschreiben Änderungsraten. Der Bestand berechnet folglich über ein Integral.
Beachte hier, dass die Anzahl an Individuen wie oben durch die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate definiert wird. Integriere also über $d_2$ und denke an den Anfangsbestand von 20.000.
Verwende beim Berechnen dein CAS.
$\blacktriangleright$  Bestimmen des gesuchten Jahres
Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus 20.000 Individuen. Willst du bestimmen, in welchem Jahr die Population erstmal wieder den Bestand von 1960 erreichte, so gehe wie oben vor.
Oben haben wir mit dem Anfangsbestand und einem Integral über $d_2$ die Population im Jahr 2017 berechnet. Hier sollst du nun zum Bestand von 20.000 das entsprechende Jahr berechnen.
Für das Integral bedeutet dies, dass die obere Integrationsgrenze unbekannt ist:
$20.000 = 20.000 + \displaystyle\int_{0}^{x}\;\mathrm d_2(t)\,dt$
Diese Gleichung gilt es nun zu lösen. Mit $x$ hast du dann das gesuchte Jahr ermittelt. Verwende zum Lösen dein CAS.
c)
$\blacktriangleright$  Bestimmen der gesuchten Gleichung
Deine Aufgabe ist es nun, das Größenwachstum eines einzelnen Individuum mit einer Formel zu beschreiben.
Folgende Angaben kannst du dazu der Aufgabenstellung entnehmen:
  • Es liegt ein beschränktes Wachstum vor
  • Ausgewachsen ist das Individuum 0,8$\,$m groß
  • Zum Zeitpunkt $t=0$ ist das Individuum 0,5$\,$m groß
  • Seine Wachstumsgeschwindigkeit beträgt 0,15$\,$m pro Jahr
Da beschränktes Wachstum vorliegt, verwendest du hier die zugehörige Differenzialgleichung:
$f'(t)=k\cdot(S-f(t))$
$f'(t)=k\cdot(S-f(t))$
$\blacktriangleright$  Berechnen der Anzahl der Jahre
Die anfängliche Körpergröße des betrachteten Individuums beträgt 0,5$\,$m. Nimmt diese um 50$\,$% zu, so wächst das Individuum um $0,5\,\text{m} \cdot 0,5 = 0,25\,\text{m}$.
Du musst folglich den Zeitpunkt $t$ berechnen, an welchem das Individuum eine Körpergröße von $0,5\,\text{m} + 0,25\,\text{m} = 0,75\,\text{m}$ besitzt. Setze dazu $f(t)$ mit 0,75 gleich und löse nach $t$. Verwende wie oben dein CAS.

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$  Bestimmen der Anzahl der gemeinsamen Schnittpunkte
Beim Lösen dieser Aufgabe empfiehlt es sich, eine Skizze zum Sachverhalt zu erstellen:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
In der Skizze oben siehst du, dass hier insgesamt 4 Fälle zu unterscheiden sind, wenn du die Anzahl der gemeinsamen Punkte in Abhängigkeit des Radius bestimmen möchtest:
  • Der Kreis und der Graph von $f$ haben keinen Schnittpunkt (siehe $r_1$)
  • Der Kreis und der Graph von $f$ haben zwei Schnittpunkte (siehe $r_2$)
  • Der Kreis und der Graph von $f$ haben drei Schnittpunkte (siehe $r_4$)
  • Der Kreis und der Graph von $f$ haben vier Schnittpunkte (siehe $r_3$)
Betrachte nun die Fälle im Einzelnen und bestimme, was für den Radius $r$ gelten muss, damit diese eintreten. Beachte dabei die jeweiligen Abstände des Graphen von $f$ zum Mittelpunkt $O$. Verwende dazu folgende Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten $A$ und $B$:
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Aufgabe 2.1

a)
$\blacktriangleright$  Bestimmen der geringsten Sterberate
Die Sterberate der Population wird durch $s$ mit
$s(t)=600+10\cdot (t-6)^2 \cdot \mathrm e^{-0,09\cdot t}$
beschrieben. Du sollst die geringste Sterberate bestimmen.
Da $s$ die Sterberate der Population in Abhängigkeit vom Zeitpunkt $t$ beschreibt, liegt die geringste Sterberate beim Minimum von $s$ vor. Bestimme also das Minimum von $s$. Verwende dazu dein CAS.
Übertrage zunächst den Funktionsterm von $s$ in den Graph-Menü und lasse dir den Graphen in einem angemessenen Intervall anzeigen. Berechne dann wie unten das Minimum von $f$:
menu $\to$ 6:Graph analysieren $\to$ 2:Minimum
menu $\to$ 6:Graph analysieren $\to$ 2:Minimum
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Die geringste Sterberate beträgt 600 Individuen pro Jahr.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der größten Differenz zwischen Geburten- und Sterberate
Die Geburtenrate wird durch die Funktion $g$ mit:
$g(t)=400+20\cdot (t+1)^2 \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$
beschrieben. Willst du bestimmen, in welchem Jahr die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate am größten war, so bestimmst du die Stelle, an welcher die Funktionswerte von $g$ und $s$ sich maximal unterscheiden.
Bilde dazu eine Differenzfunktion und bestimme mit deinem CAS die Maximalstelle dieser Funktion.
Da die gegenseitge Lage der Graphen von $g$ und $s$ nicht bekannt ist, lautet die Differenzfunktion $d$:
$d(t)=\left|s(t)-g(t)\right|$
Übertrage den Funktionsterm in deinen CAS und berechne im Graph-Menü die gesuchte Stelle. Überprüfe zuvor die Randstelle bei $t = 0$.
menu $\to$ 6:Graph analysieren $\to$ 3:Maximum
menu $\to$ 6:Graph analysieren $\to$ 3:Maximum
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Es ergibt sich: $t = 15,12$.
Im Jahr 1975 war die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate am größten.
$\blacktriangleright$  Bestimmen des Zeitraums in dem die Population zugenommen hat
Die Population nimmt dann zu, wenn die Differenz zwischen Geburten und Sterberate positiv ist. Definiere also eine Funktion $d_2$, die diesen Sachverhalt beschreibt:
$d_2(t)=g(t)-s(t)$
Der Zeitraum indem die Population zugenommen hat kannst du bestimmen, indem du den Bereich bestimmst, indem der Graph von $d_2$ oberhalb der $x$-Achse verläuft. Betrachte dazu den Graphen von $d_2$ mit deinem CAS und bestimme die Nullstellen.
Übertrage den Funktionsterm wie oben in dein CAS und berechne den gesuchten Zeitraum wie folgt:
menu $\to$ 6:Graph analysieren $\to$ 1:Nullstelle
menu $\to$ 6:Graph analysieren $\to$ 1:Nullstelle
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Es ergibt sich also: $t_1 \approx 3,22 $ und $t_2 \approx 45,32$
Die Bevölkerung hat im Zeitraum zwischen 1963 und 2005 zugenommen.
b)
$\blacktriangleright$  Berechnen des Bestands der Population zu Beginn des Jahres 2017
Sowohl Funktion $g$ also auch Funktion $s$ beschreiben Änderungsraten. Der Bestand berechnet folglich über ein Integral.
Beachte hier, dass die Anzahl an Individuen wie oben durch die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate definiert wird. Integriere also über $d_2$ und denke an den Anfangsbestand von 20.000.
Verwende beim Berechnen dein CAS.
Integriere über $d_2$ im Bereich $t_1 = 0$ und $t_2 = 57$, da 1960 den Zeitpunkt $t_1 = 0$ beschreibt. Verwende dazu wie im folgenden Schaubild den Calculator-Modus deines CAS:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Es ergibt sich $I \approx 15.636$. Mit einem Anfangsbestand von 20.000 Individuen ergibt sich der der Bestand der Population im Jahre 2017 zu:
Population 2017 $= 15.636 + 20.000 = 35.636$ Individuen.
$\blacktriangleright$  Bestimmen des gesuchten Jahres
Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus 20.000 Individuen. Willst du bestimmen, in welchem Jahr die Population erstmal wieder den Bestand von 1960 erreichte, so gehe wie oben vor.
Oben haben wir mit dem Anfangsbestand und einem Integral über $d_2$ die Population im Jahr 2017 berechnet. Hier sollst du nun zum Bestand von 20.000 das entsprechende Jahr berechnen.
Für das Integral bedeutet dies, dass die obere Integrationsgrenze unbekannt ist:
$20.000 = 20.000 + \displaystyle\int_{0}^{x}\;\mathrm d_2(t)\,dt$
Diese Gleichung gilt es nun zu lösen. Mit $x$ hast du dann das gesuchte Jahr ermittelt. Verwende zum Lösen dein CAS.
Willst du die Gleichung mit deinem CAS lösen, so übertrage diese in den Calculator-Modus und löse mit dem solve-Befehl:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Das CAS liefert: $x_1 = -19,66$, $x_2 =6,87$ und $x_3 = 137,92$. Da die Jahre vor 1960 nicht betrachtet werden, erreicht die Population erstmals im Jahr 1966 wieder einen Bestand von 20.000.
c)
$\blacktriangleright$  Bestimmen der gesuchten Gleichung
Deine Aufgabe ist es nun, das Größenwachstum eines einzelnen Individuum mit einer Formel zu beschreiben.
Folgende Angaben kannst du dazu der Aufgabenstellung entnehmen:
  • Es liegt ein beschränktes Wachstum vor
  • Ausgewachsen ist das Individuum 0,8$\,$m groß
  • Zum Zeitpunkt $t=0$ ist das Individuum 0,5$\,$m groß
  • Seine Wachstumsgeschwindigkeit beträgt 0,15$\,$m pro Jahr
Da beschränktes Wachstum vorliegt, verwendest du hier die zugehörige Differenzialgleichung:
$f'(t)=k\cdot(S-f(t))$
$S$ beschreibt die maximale Größe des Individuums. Es gilt also $S = 0,8$.
Mit der Anfangsgröße $f(0) = 0,5$ sowie der Wachstumsgeschwindigkeit $f'(0) = 0,15$ zum Zeitpunkt $t = 0$ ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} f'(0)&=&k \cdot (0,8 - f(0))\\[5pt] 0,15&=&k \cdot (0,8 -0,5)\\[5pt] 0,15&=&k \cdot 0,3\;\Leftrightarrow\; k = 0,5\\[5pt] \end{array}$
Eingesetzt in
$f(t)=S - (S - f(0))\cdot \mathrm e^{-k \cdot t}$
ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&0,8 - (0,8 - 0,5) \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t} = 0,8 - 0,3 \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t} \end{array}$
$ f(t)=0,8 - (0,8 - 0,5) \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t} $
Der hier gesuchte Funktionsterm ist: $f(t) = 0,8 - 0,3 \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t}$.
$\blacktriangleright$  Berechnen der Anzahl der Jahre
Die anfängliche Körpergröße des betrachteten Individuums beträgt 0,5$\,$m. Nimmt diese um 50$\,$% zu, so wächst das Individuum um $0,5\,\text{m} \cdot 0,5 = 0,25\,\text{m}$.
Du musst folglich den Zeitpunkt $t$ berechnen, an welchem das Individuum eine Körpergröße von $0,5\,\text{m} + 0,25\,\text{m} = 0,75\,\text{m}$ besitzt. Setze dazu $f(t)$ mit 0,75 gleich und löse nach $t$. Verwende wie oben dein CAS.
Es ergibt sich hier:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Nach ca. 3,6 Jahren nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um 50$\,$% zugenommen.

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$  Bestimmen der Anzahl der gemeinsamen Schnittpunkte
Beim Lösen dieser Aufgabe empfiehlt es sich, eine Skizze zum Sachverhalt zu erstellen:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
In der Skizze oben siehst du, dass hier insgesamt 4 Fälle zu unterscheiden sind, wenn du die Anzahl der gemeinsamen Punkte in Abhängigkeit des Radius bestimmen möchtest:
  • Der Kreis und der Graph von $f$ haben keinen Schnittpunkt (siehe $r_1$)
  • Der Kreis und der Graph von $f$ haben zwei Schnittpunkte (siehe $r_2$)
  • Der Kreis und der Graph von $f$ haben drei Schnittpunkte (siehe $r_4$)
  • Der Kreis und der Graph von $f$ haben vier Schnittpunkte (siehe $r_3$)
Betrachte nun die Fälle im Einzelnen und bestimme, was für den Radius $r$ gelten muss, damit diese eintreten. Beachte dabei die jeweiligen Abstände des Graphen von $f$ zum Mittelpunkt $O$. Verwende dazu folgende Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten $A$ und $B$:
$d = \sqrt{\left(x_A - x_B\right)^2 + \left(y_A - y_B\right)^2}$
$d = \sqrt{\left(x_A - x_B\right)^2 + \left(y_A - y_B\right)^2}$
1. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben zwei Schnittpunkte
Da der Graph von $f$ offensichtlich achsensymmetrisch ist, schneiden sich der Graph von $f$ und der Kreis um $O$ in zwei Punkten da, wo der Abstand zwischen dem Graphen von $f$ und dem Punkt $O$ minimal ist.
Definiere den Abstand $d$ zwischen dem Graphen von $f$ und $O$ als Funktion in Abhängigkeit von $u$ und bestimme mit deinem CAS, den gesuchten minimalen Abstand $d_{min}$:
$d(u) = \sqrt{\left(u-0\right)^2 + \left(f(u)-0\right)^2}$$ = \sqrt{u^2 + (f(u))^2}$
menu $\to$ 6:Graph analysieren $\to$ 2:Minimum
menu $\to$ 6:Graph analysieren $\to$ 2:Minimum
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Der minimale Abstand zwischen dem Graphen von $f$ und dem Mittelpunkt $O$ beträgt also $1,94\,\text{LE}$. Das heißt für $r = 1,94$ schneidet der Kreis um $O$ den Graphen von $f$ in genau zwei Punkten.
Der Skizze oben kannst du entnehmen, dass der Kreis auch für Radien, die größer sind als der Abstand zwischen $O$ und dem Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse, den Graphen von $f$ in zwei Punkten schneidet. D.h. für Radien, die größer sind als
$f(0) = \dfrac{4}{0^2 + 1} = 4$
schneidet der Kreis um $O$ den Graphen von $f$ ebenfalls in zwei Punkten.
2. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben keinen Schnittpunkt
Keinen Schnittpunkt besitzen der Graph von $f$ und der Kreis um $O$, wenn der Radius kleiner als der minimale Abstand zwischen $O$ und dem Graphen von $f$ ist. Es muss in diesem Fall $r < 1,94$ gelten.
3. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben vier Schnittpunkte
Vier Schnittpunkte besitzt der Graph von $f$ und der Kreis um $O$, wenn der Radius des Kreises größer als der minimale Abstand und kleiner als der Abstand zwischen $O$ und dem Schnittpunkt von $f$ mit der $y$-Achse ist.
Für den Radius muss in diesem Fall gelten: $1,94 < r < 4$.
4. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben drei Schnittpunkte
Drei Schnittpunkte besitzen beide nur dann, wenn der Radius $r$ genau dem Abstand zwischen $O$ und dem Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse entspricht.
Hier gilt dann: $r = 4$
Zusammengefasst bedeutet das:
Anz. SchnittpunkteRadius
0$r < 1,94$
2$r = 1,94$ und $r > 4$
3$ r = 4$
4$1,94 < r < 4$
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Aufgabe 2.1

a)
$\blacktriangleright$  Bestimmen der geringsten Sterberate
Die Sterberate der Population wird durch $s$ mit
$s(t)=600+10\cdot (t-6)^2 \cdot \mathrm e^{-0,09\cdot t}$
beschrieben. Du sollst die geringste Sterberate bestimmen.
Da $s$ die Sterberate der Population in Abhängigkeit vom Zeitpunkt $t$ beschreibt, liegt die geringste Sterberate beim Minimum von $s$ vor. Bestimme also das Minimum von $s$. Verwende dazu dein CAS.
Übertrage zunächst den Funktionsterm von $s$ in den Graph-Menü und lasse dir den Graphen in einem angemessenen Intervall anzeigen. Berechne dann wie unten das Minimum von $f$:
Analysis $\to$ G-Solv $\to$ MIN
Analysis $\to$ G-Solv $\to$ MIN
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Die geringste Sterberate beträgt 600 Individuen pro Jahr.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der größten Differenz zwischen Geburten- und Sterberate
Die Geburtenrate wird durch die Funktion $g$ mit:
$g(t)=400+20\cdot (t+1)^2 \cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t}$
beschrieben. Willst du bestimmen, in welchem Jahr die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate am größten war, so bestimmst du die Stelle, an welcher die Funktionswerte von $g$ und $s$ sich maximal unterscheiden.
Bilde dazu eine Differenzfunktion und bestimme mit deinem CAS die Maximalstelle dieser Funktion.
Da die gegenseitge Lage der Graphen von $g$ und $s$ nicht bekannt ist, lautet die Differenzfunktion $d$:
$d(t)=\left|s(t)-g(t)\right|$
Übertrage den Funktionsterm in deinen CAS und berechne im Graph-Menü die gesuchte Stelle. Überprüfe zuvor die Randstelle bei $t = 0$.
Analysis $\to$ G-Solv $\to$ MAX
Analysis $\to$ G-Solv $\to$ MAX
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Es ergibt sich: $t = 15,12$.
Im Jahr 1975 war die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate am größten.
$\blacktriangleright$  Bestimmen des Zeitraums in dem die Population zugenommen hat
Die Population nimmt dann zu, wenn die Differenz zwischen Geburten und Sterberate positiv ist. Definiere also eine Funktion $d_2$, die diesen Sachverhalt beschreibt:
$d_2(t)=g(t)-s(t)$
Der Zeitraum indem die Population zugenommen hat kannst du bestimmen, indem du den Bereich bestimmst, indem der Graph von $d_2$ oberhalb der $x$-Achse verläuft. Betrachte dazu den Graphen von $d_2$ mit deinem CAS und bestimme die Nullstellen.
Übertrage den Funktionsterm wie oben in dein CAS und berechne den gesuchten Zeitraum wie folgt:
Analysis $\to$ G-Solv $\to$ ROOT
Analysis $\to$ G-Solv $\to$ ROOT
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Es ergibt sich also: $t_1 \approx 3,22 $ und $t_2 \approx 45,32$
Die Bevölkerung hat im Zeitraum zwischen 1963 und 2005 zugenommen.
b)
$\blacktriangleright$  Berechnen des Bestands der Population zu Beginn des Jahres 2017
Sowohl Funktion $g$ also auch Funktion $s$ beschreiben Änderungsraten. Der Bestand berechnet folglich über ein Integral.
Beachte hier, dass die Anzahl an Individuen wie oben durch die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate definiert wird. Integriere also über $d_2$ und denke an den Anfangsbestand von 20.000.
Verwende beim Berechnen dein CAS.
Integriere über $d_2$ im Bereich $t_1 = 0$ und $t_2 = 57$, da 1960 den Zeitpunkt $t_1 = 0$ beschreibt. Verwende dazu wie im folgenden Schaubild den Main-Modus deines CAS:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Es ergibt sich $I \approx 15.636$. Mit einem Anfangsbestand von 20.000 Individuen ergibt sich der der Bestand der Population im Jahre 2017 zu:
Population 2017 $= 15.636 + 20.000 = 35.636$ Individuen.
$\blacktriangleright$  Bestimmen des gesuchten Jahres
Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus 20.000 Individuen. Willst du bestimmen, in welchem Jahr die Population erstmal wieder den Bestand von 1960 erreichte, so gehe wie oben vor.
Oben haben wir mit dem Anfangsbestand und einem Integral über $d_2$ die Population im Jahr 2017 berechnet. Hier sollst du nun zum Bestand von 20.000 das entsprechende Jahr berechnen.
Für das Integral bedeutet dies, dass die obere Integrationsgrenze unbekannt ist:
$20.000 = 20.000 + \displaystyle\int_{0}^{x}\;\mathrm d_2(t)\,dt$
Diese Gleichung gilt es nun zu lösen. Mit $x$ hast du dann das gesuchte Jahr ermittelt. Verwende zum Lösen dein CAS.
Willst du die Gleichung mit deinem CAS lösen, so übertrage diese in den Main-Modus und löse mit dem solve-Befehl:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Das CAS liefert: $x_1 = -19,66$, $x_2 =6,87$ und $x_3 = 137,92$. Da die Jahre vor 1960 nicht betrachtet werden, erreicht die Population erstmals im Jahr 1966 wieder einen Bestand von 20.000.
c)
$\blacktriangleright$  Bestimmen der gesuchten Gleichung
Deine Aufgabe ist es nun, das Größenwachstum eines einzelnen Individuum mit einer Formel zu beschreiben.
Folgende Angaben kannst du dazu der Aufgabenstellung entnehmen:
  • Es liegt ein beschränktes Wachstum vor
  • Ausgewachsen ist das Individuum 0,8$\,$m groß
  • Zum Zeitpunkt $t=0$ ist das Individuum 0,5$\,$m groß
  • Seine Wachstumsgeschwindigkeit beträgt 0,15$\,$m pro Jahr
Da beschränktes Wachstum vorliegt, verwendest du hier die zugehörige Differenzialgleichung:
$f'(t)=k\cdot(S-f(t))$
$S$ beschreibt die maximale Größe des Individuums. Es gilt also $S = 0,8$.
Mit der Anfangsgröße $f(0) = 0,5$ sowie der Wachstumsgeschwindigkeit $f'(0) = 0,15$ zum Zeitpunkt $t = 0$ ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} f'(0)&=&k \cdot (0,8 - f(0))\\[5pt] 0,15&=&k \cdot (0,8 -0,5)\\[5pt] 0,15&=&k \cdot 0,3\;\Leftrightarrow\; k = 0,5\\[5pt] \end{array}$
Eingesetzt in
$f(t)=S - (S - f(0))\cdot \mathrm e^{-k \cdot t}$
ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&0,8 - (0,8 - 0,5) \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t} = 0,8 - 0,3 \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t} \end{array}$
$ f(t)=0,8 - (0,8 - 0,5) \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t} $
Der hier gesuchte Funktionsterm ist: $f(t) = 0,8 - 0,3 \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot t}$.
$\blacktriangleright$  Berechnen der Anzahl der Jahre
Die anfängliche Körpergröße des betrachteten Individuums beträgt 0,5$\,$m. Nimmt diese um 50$\,$% zu, so wächst das Individuum um $0,5\,\text{m} \cdot 0,5 = 0,25\,\text{m}$.
Du musst folglich den Zeitpunkt $t$ berechnen, an welchem das Individuum eine Körpergröße von $0,5\,\text{m} + 0,25\,\text{m} = 0,75\,\text{m}$ besitzt. Setze dazu $f(t)$ mit 0,75 gleich und löse nach $t$. Verwende wie oben dein CAS.
Es ergibt sich hier:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Nach ca. 3,6 Jahren nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um 50$\,$% zugenommen.

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$  Bestimmen der Anzahl der gemeinsamen Schnittpunkte
Beim Lösen dieser Aufgabe empfiehlt es sich, eine Skizze zum Sachverhalt zu erstellen:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
In der Skizze oben siehst du, dass hier insgesamt 4 Fälle zu unterscheiden sind, wenn du die Anzahl der gemeinsamen Punkte in Abhängigkeit des Radius bestimmen möchtest:
  • Der Kreis und der Graph von $f$ haben keinen Schnittpunkt (siehe $r_1$)
  • Der Kreis und der Graph von $f$ haben zwei Schnittpunkte (siehe $r_2$)
  • Der Kreis und der Graph von $f$ haben drei Schnittpunkte (siehe $r_4$)
  • Der Kreis und der Graph von $f$ haben vier Schnittpunkte (siehe $r_3$)
Betrachte nun die Fälle im Einzelnen und bestimme, was für den Radius $r$ gelten muss, damit diese eintreten. Beachte dabei die jeweiligen Abstände des Graphen von $f$ zum Mittelpunkt $O$. Verwende dazu folgende Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten $A$ und $B$:
$d = \sqrt{\left(x_A - x_B\right)^2 + \left(y_A - y_B\right)^2}$
$d = \sqrt{\left(x_A - x_B\right)^2 + \left(y_A - y_B\right)^2}$
1. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben zwei Schnittpunkte
Da der Graph von $f$ offensichtlich achsensymmetrisch ist, schneiden sich der Graph von $f$ und der Kreis um $O$ in zwei Punkten da, wo der Abstand zwischen dem Graphen von $f$ und dem Punkt $O$ minimal ist.
Definiere den Abstand $d$ zwischen dem Graphen von $f$ und $O$ als Funktion in Abhängigkeit von $u$ und bestimme mit deinem CAS, den gesuchten minimalen Abstand $d_{min}$:
$d(u) = \sqrt{\left(u-0\right)^2 + \left(f(u)-0\right)^2}$$ = \sqrt{u^2 + (f(u))^2}$
Analysis $\to$ G-Solv $\to$ MIN
Analysis $\to$ G-Solv $\to$ MIN
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Der minimale Abstand zwischen dem Graphen von $f$ und dem Mittelpunkt $O$ beträgt also $1,94\,\text{LE}$. Das heißt für $r = 1,94$ schneidet der Kreis um $O$ den Graphen von $f$ in genau zwei Punkten.
Der Skizze oben kannst du entnehmen, dass der Kreis auch für Radien, die größer sind als der Abstand zwischen $O$ und dem Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse, den Graphen von $f$ in zwei Punkten schneidet. D.h. für Radien, die größer sind als
$f(0) = \dfrac{4}{0^2 + 1} = 4$
schneidet der Kreis um $O$ den Graphen von $f$ ebenfalls in zwei Punkten.
2. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben keinen Schnittpunkt
Keinen Schnittpunkt besitzen der Graph von $f$ und der Kreis um $O$, wenn der Radius kleiner als der minimale Abstand zwischen $O$ und dem Graphen von $f$ ist. Es muss in diesem Fall $r < 1,94$ gelten.
3. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben vier Schnittpunkte
Vier Schnittpunkte besitzt der Graph von $f$ und der Kreis um $O$, wenn der Radius des Kreises größer als der minimale Abstand und kleiner als der Abstand zwischen $O$ und dem Schnittpunkt von $f$ mit der $y$-Achse ist.
Für den Radius muss in diesem Fall gelten: $1,94 < r < 4$.
4. Fall: Der Kreis und der Graph von $f$ haben drei Schnittpunkte
Drei Schnittpunkte besitzen beide nur dann, wenn der Radius $r$ genau dem Abstand zwischen $O$ und dem Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse entspricht.
Hier gilt dann: $r = 4$
Zusammengefasst bedeutet das:
Anz. SchnittpunkteRadius
0$r < 1,94$
2$r = 1,94$ und $r > 4$
3$ r = 4$
4$1,94 < r < 4$
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