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Wahlteil A1

Aufgaben
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Aufgabe A 1.1

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = -0,1x^3 + 0,5 x^2 + 3,6$ beschreibt modellhaft für $ -1 \leq x \leq 5$ das Profil eines Geländequerschnitts.
Die positive $x$-Achse weist nach Osten, $f(x)$ gibt die Höhe über dem Meeresspiegel an
($1$ Längeneinheit entspricht $100\,\text{m}$).
a)
Auf welcher Höhe liegt der höchste Punkt des Profils?
In dem Tal westlich dieses Punktes befindet sich ein See, der im Geländequerschnitt an seiner tiefsten Stelle $10\,\text{m}$ tief ist.
Bestimme die Breite des Sees im Geländequerschnitt.
Ab einer Hangneigung von $30°$ besteht die Gefahr, dass sich Lawinen lösen.
Besteht an der steilsten Stelle des Profils zwischen See und höchstem Punkt Lawinengefahr?
(5P)
b)
Wahlteil A1
Abb. 1
(3P)
c)
Der weitere Verlauf des Profils nach Osten hin kann durch eine Parabel zweiter Ordnung modelliert werden, die sich ohne Knick an den Graphen von $f$ anschließt. Ihr Scheitel liegt bei $x = 6$ und beschreibt den tiefsten Punkt eines benachbarten Tals.
Auf welcher Höhe befindet sich dieser Punkt?
(4P)
#parabel

Aufgabe A 1.2

Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x) = \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{4}$ deren Graph symmetrisch zur $y$-Achse ist. Es gibt einen Kreis, der den Graphen von $h$ in dessen Schnittpunkten mit der $x$-Achse berührt.
Berechne die Koordinaten des Mittelpunkts dieses Kreises.
(3P)
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Aufgabe A 1.1

a)
$\blacktriangleright$  Höchsten Punkt bestimmen
Gegeben ist eine Funktion, deren Graph modellhaft das Profil eines Geländeabschnitts beschreibt. Gesucht ist nun die Höhe des höchsten Punkts innerhalb des vorgegebenen Bereichs. Du sollst hier also das globale Maximum des Intervalls bestimmen. Untersuche den Graphen dazu zunächst auf einen Hochpunkt. Da hier aber ein festes Intervall vorgegeben ist, musst du anschließend noch die Funktionswerte an den Randstellen bestimmen, um ein mögliches Randextremum zu überprüfen.
Für die Bestimmung einer Maximalstelle $x_M$ benötigst du die folgenden beiden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\,f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\,f''(x_M)< 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Maximalstellen und an den Randstellen des Intervalls.
  5. Berechne die gesuchte Höhe mit Hilfe des Maßstabs.
$\blacktriangleright$  Breite des Sees bestimmen
Der See liegt in dem Tal westlich des höchsten Punktes und besitzt an seiner tiefsten Stelle eine Tiefe von $10$ Metern. Erstelle dir zunächst eine Skizze, um dir den Sachverhalt klarzumachen.
Wahlteil A1
Abb. 1: Skizze des Sees
Wahlteil A1
Abb. 1: Skizze des Sees
Die Breite des Sees ergibt sich als Abstand der Stellen, an denen die Wasseroberfläche auf das Gelände trifft. Die Wasseroberfläche kannst du durch eine Gerade modellieren. Die Stellen, an denen die Wasseroberfläche auf das Land trifft, entsprechen im Modell den Schnittpunkten der Geraden mit dem Graphen von $f$. Die Breite des Sees kannst du dann über den Abstand dieser Schnittpunkte zueinander bestimmen.
Mit Hilfe der angegebenen Tiefe des Sees kannst du eine Gleichung für die Gerade $g$ bestimmen und die Schnittpunkte mit dem Graphen von $f$ anschließend mit deinem CAS berechnen. Beachte auch hier den Maßstab.
$\blacktriangleright$  Lawinengefahr untersuchen
Du sollst überprüfen, ob an der steilsten Stelle des Profils zwischen See und höchstem Punkt Lawinengefahr besteht. Dazu musst du zunächst berechnen, welche die steilste Stelle ist. Da der Graph zwischen See und höchstem Punkt ansteigt, ist dies die Stelle mit dem steilsten Anstieg, also der größten Steigung.
Da die erste Ableitung $f'$ einer Funktion $f$ immer die Steigung des zu $f$ gehörenden Graphen beschreibt, ist hier also eine Maximalstelle von $f'$ und der zugehörige Steigungswinkel des Graphen von $f$ gesucht. Bilde also die erste Ableitungsfunktion von $f$ und bestimme wie oben das Maximum.
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Um den Flächeninhalt $A$ des sichtbaren Wandteils zu berechnen, ist es hilfreich zunächst die Skizze auf dem Aufgabenblatt mit den bereits bekannten Werten zu beschriften:
Wahlteil A1
Abb. 2: Skizze zur Hauswand
Wahlteil A1
Abb. 2: Skizze zur Hauswand
Die obere Kante der Wand kannst du als Gerade $h$ modellieren. Die gesuchte Fläche wird dann durch die Fläche zwischen $h$ und dem Graphen von $f$ in einem bestimmten Bereich dargestellt. Dieser Flächeninhalt lässt sich dann als Integral über $h-f$ berechnen. Du musst vorher allerdings noch die Integrationsgrenzen bestimmen. Diese ergeben sich aus den $x$-Koordinaten der beiden Eckpunkte $E$ und $F$. In jedem Schritt musst du den Maßstab beachten.
c)
$\blacktriangleright$  Höhe des tiefsten Punkts berechnen
Du sollst die Höhe des tiefsten Punkts des östlichen Tals berechnen. Das Profil dieses Tals kann im Modell durch die Parabel einer quadratischen Funktion $p$ beschrieben werden. Der tiefste Punkt des Tals wird durch den Scheitelpunkt der Parabel dargestellt, der damit gleichzeitig auch ein Tiefpunkt ist. Um diesen zu bestimmen, kannst du zunächst die Funktionsgleichung von $p$ aufstellen.
Da $p$ eine quadratische Funktion ist, hat die Funktionsgleichung allgemein folgende Form:
$p(x) = ax^2+bx+c$
$p(x) = ax^2+bx+c$
Du benötigst also drei Bedingungen, die du dem Aufgabentext entnehmen kannst:
  • Nahtloser Übergang vom Graphen von $f$ zur Parabel:
    • Gleicher Funktionswert an der Übergangsstelle $x =5$
    • Gleiche Steigung bei $x=5$
  • Scheitelpunkt/Tiefpunkt an der Stelle $x=6$
Diese Bedingungen kannst du nun für die Funktionsgleichung von $p$ formulieren. Beachte das notwendige Kriterium für einen Tiefpunkt $p'(x) = 0 $. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem (LGS), das du lösen kannst.

Aufgabe A 1.2

$\blacktriangleright$  Mittelpunkt des Kreises berechnen
Um dir den Sachverhalt besser vorzustellen, betrachte zunächst den Graphen von $h$ in deinem CAS:
Wahlteil A1
Abb. 3: Schaubild des Graphen
Wahlteil A1
Abb. 3: Schaubild des Graphen
Wahlteil A1
Abb. 4: Kreisskizze
Wahlteil A1
Abb. 4: Kreisskizze
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Aufgabe A 1.1

a)
$\blacktriangleright$  Höchsten Punkt bestimmen
Gegeben ist eine Funktion, deren Graph modellhaft das Profil eines Geländeabschnitts beschreibt. Gesucht ist nun die Höhe des höchsten Punkts innerhalb des vorgegebenen Bereichs. Du sollst hier also das globale Maximum des Intervalls bestimmen. Untersuche den Graphen dazu zunächst auf einen Hochpunkt. Da hier aber ein festes Intervall vorgegeben ist, musst du anschließend noch die Funktionswerte an den Randstellen bestimmen, um ein mögliches Randextremum zu überprüfen.
Für die Bestimmung einer Maximalstelle $x_M$ benötigst du die folgenden beiden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\,f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\,f''(x_M)< 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Maximalstellen und an den Randstellen des Intervalls.
  5. Berechne die gesuchte Höhe mit Hilfe des Maßstabs.
Wahlteil A1
Abb. 1: Ableitungsfunktionen
Wahlteil A1
Abb. 1: Ableitungsfunktionen
Wahlteil A1
Abb. 2: Notwendiges Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 2: Notwendiges Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 3: Hinreichendes Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 3: Hinreichendes Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 4: Funktionswerte
Wahlteil A1
Abb. 4: Funktionswerte
5. Schritt: Höhe berechnen
Mit Hilfe des Maßstabs kannst du nun die Höhe des höchsten Punkts des Geländeprofils berechnen. Eine Längeneinheit im Modell entspricht $100$ Metern in der Realität. Demnach entsprechen $5,45$ Längeneinheiten $545$ Metern. Der höchste Punkt des Geländeprofils liegt auf einer Höhe von ca. $545$ Metern.
$\blacktriangleright$  Breite des Sees bestimmen
Der See liegt in dem Tal westlich des höchsten Punktes und besitzt an seiner tiefsten Stelle eine Tiefe von $10$ Metern. Erstelle dir zunächst eine Skizze, um dir den Sachverhalt klarzumachen.
Wahlteil A1
Abb. 5: Skizze des Sees
Wahlteil A1
Abb. 5: Skizze des Sees
Die Breite des Sees ergibt sich als Abstand der Stellen, an denen die Wasseroberfläche auf das Gelände trifft. Die Wasseroberfläche kannst du durch eine Gerade modellieren. Die Stellen, an denen die Wasseroberfläche auf das Land trifft, entsprechen im Modell den Schnittpunkten der Geraden mit dem Graphen von $f$. Die Breite des Sees kannst du dann über den Abstand dieser Schnittpunkte zueinander bestimmen.
Mit Hilfe der angegebenen Tiefe des Sees kannst du eine Gleichung für die Gerade $g$ bestimmen und die Schnittpunkte mit dem Graphen von $f$ anschließend mit deinem CAS berechnen. Beachte auch hier den Maßstab.
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
An der tiefsten Stelle liegt die Wasseroberfläche $10$ Meter über dem Boden des Sees. Im Modell wird diese Stelle durch den lokalen Tiefpunkt $T(x_T\mid y_T)$ des Graphen von $f$ beschrieben. Die gesuchte Gerade liegt also $0,1$ Längeneinheiten über dem Tiefpunkt des Graphen.
Du kannst nun erst die Koordinaten des Tiefpunkts mit Hilfe deines CAS bestimmen. Das notwendige Kriterium entspricht dem eines Hochpunkts, während das hinreichende Kriterium wie folgt lautet:
$f'(x_M) > 0$
$f'(x_M) > 0$
Oben hast du bereits mögliche Extremstellen bestimmt und damit herausgefunden, dass $x_1 = 0$ eine Minimalstelle ist. Setzt du dies in $f(x)$ ein, erhältst du mit deinem CAS $f(0)= 3,6$. Also lauten die Koordinaten des Tiefpunkts $T(0\mid 3,6)$.
Die Gerade muss parallel zur $x$-Achse verlaufen, also eine Gleichung der Form $y =b$ haben. $b$ setzt sich dabei aus der $y$- Koordinate des Tiefpunkts ($3,6$) und der Tiefe des Sees ($10\,\text{m } \hat{=}\, 0,1$ LE) zusammen.
Also gilt:
$g: \quad y = 3,6+ 0,1 = 3,7$
2. Schritt: Schnittpunkte bestimmen
Die Schnittpunkte der Geraden zu $g$ mit dem Graphen von $f$ stellen im Modell die Stellen dar, in denen die Wasseroberfläche auf das Geländeprofil trifft. Du kannst die Schnittstellen berechnen, indem du beide Funktionsterme gleichsetzt und diese Gleichung mit dem solve-Befehl deines CAS löst. Damit erhältst du folgende ungefähre Koordinaten $S(-0,43\mid 3,7)$ und $P(0,47\mid 3,7)$, wenn du beachtest, dass der See westlich des höchsten Punkts liegen soll.
3. Schritt: Abstand berechnen
Der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten ergibt sich aus den Beträgen der $x$-Koordinaten, da beide dieselbe $y$-Koordinate besitzen:
$d(S,P)\approx 0,47+ 0,43 = 0,9$
Nun musst du noch den Maßstab beachten: $0,9$ LE entsprechen $90\,\text{m}$. Der See ist also ca. $90\,\text{m}$ breit.
$\blacktriangleright$  Lawinengefahr untersuchen
Du sollst überprüfen, ob an der steilsten Stelle des Profils zwischen See und höchstem Punkt Lawinengefahr besteht. Dazu musst du zunächst berechnen, welche die steilste Stelle ist. Da der Graph zwischen See und höchstem Punkt ansteigt, ist dies die Stelle mit dem steilsten Anstieg, also der größten Steigung.
Da die erste Ableitung $f'$ einer Funktion $f$ immer die Steigung des zu $f$ gehörenden Graphen beschreibt, ist hier also eine Maximalstelle von $f'$ und der zugehörige Steigungswinkel des Graphen von $f$ gesucht. Bestimme wie oben das Maximum von $f'$ mit deinem CAS.
Wahlteil A1
Abb. 6: Maximale Steigung
Wahlteil A1
Abb. 6: Maximale Steigung
An der steilsten Stelle zwischen See und höchstem Punkt steigt das Profil in einem Winkel von ca. $39,69\,^{\circ}$ an. Dort besteht also Lawinengefahr.
#extrempunkt#geradengleichung#trigonometrie
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Um den Flächeninhalt $A$ des sichtbaren Wandteils zu berechnen, ist es hilfreich zunächst die Skizze auf dem Aufgabenblatt mit den bereits bekannten Werten zu beschriften:
Wahlteil A1
Abb. 7: Skizze zur Hauswand
Wahlteil A1
Abb. 7: Skizze zur Hauswand
Die obere Kante der Wand kannst du als Gerade $h$ modellieren. Die gesuchte Fläche wird dann durch die Fläche zwischen $h$ und dem Graphen von $f$ in einem bestimmten Bereich dargestellt. Dieser Flächeninhalt lässt sich dann als Integral über $h-f$ berechnen. Du musst vorher allerdings noch die Integrationsgrenzen bestimmen. Diese ergeben sich aus den $x$-Koordinaten der beiden Eckpunkte $E$ und $F$. In jedem Schritt musst du den Maßstab beachten.
1. Schritt: Grenzen bestimmen
Die Oberkante befindet sich $540\,\text{m}$ über dem Meeresspiegel und verläuft waagerecht, also kann sie durch die Gerade mit der folgenden Funktionsgleichung modelliert werden:
$h:\quad y = 5,4 $
Der östliche Endpunkt des sichtbaren Teils der Wand wird dann durch einen Schnittpunkt $F$ der Geraden $h$ mit dem Graphen von $f$ dargestellt.
Wahlteil A1
Abb. 8: Schnittstelle
Wahlteil A1
Abb. 8: Schnittstelle
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Gesucht ist jetzt das Integral über $h-f$ von $x_E = 2,72$ bis $x_F = 3$: $\quad \displaystyle\int_{2,72}^{3}\left(5,4- f(x)\right)\;\mathrm dx$
Wahlteil A1
Abb. 9: Integral
Wahlteil A1
Abb. 9: Integral
Um die Fläche der Hauswand zu berechnen, musst du nun noch den Maßstab mit einbeziehen. Beachte, dass es sich diesmal um Flächeneinheiten und Quadratmeter handelt. Da eine Längeneinheit $100$ Metern entspricht, entspricht eine Flächeneinheit $100 \cdot 100\, \text{m}^2 = 10.000 \, \text{m}^2$. Der sichtbare Teil der Wand besitzt also in etwa folgenden Flächeninhalt:
$A \approx 0,01453 \cdot 10.000 \,\text{m}^2= 145,3\,\text{m}^2$
Damit ist der sichtbare Teil der Wand größer als $130\,\text{m}^2$.
#integral
c)
$\blacktriangleright$  Höhe des tiefsten Punkts berechnen
Du sollst die Höhe des tiefsten Punkts des östlichen Tals berechnen. Das Profil dieses Tals kann im Modell durch die Parabel einer quadratischen Funktion $p$ beschrieben werden. Der tiefste Punkt des Tals wird durch den Scheitelpunkt der Parabel dargestellt, der damit gleichzeitig auch ein Tiefpunkt ist. Um diesen zu bestimmen, kannst du zunächst die Funktionsgleichung von $p$ aufstellen.
Da $p$ eine quadratische Funktion ist, hat die Funktionsgleichung allgemein folgende Form:
$p(x) = ax^2+bx+c$
$p(x) = ax^2+bx+c$
Du benötigst also drei Bedingungen, die du dem Aufgabentext entnehmen kannst:
  • Nahtloser Übergang vom Graphen von $f$ zur Parabel:
    • Gleicher Funktionswert an der Übergangsstelle $x =5$
    • Gleiche Steigung bei $x=5$
  • Scheitelpunkt/Tiefpunkt an der Stelle $x=6$
Diese Bedingungen kannst du nun für die Funktionsgleichung von $p$ formulieren. Beachte das notwendige Kriterium für einen Tiefpunkt $p'(x) = 0 $:
Wahlteil A1
Abb. 10: Gleichungssystem lösen
Wahlteil A1
Abb. 10: Gleichungssystem lösen
Die Koordinaten des Tiefpunkts der Parabel kannst du nun bestimmen, indem du den Funktionswert an der Stelle $x =6$ bestimmst, da du bereits weißt, dass dort der Tiefpunkt liegen soll:
$T(6\mid 2,35)$
Um die Höhe des Punktes im Gelände zu berechnen, beachte wieder den Maßstab:
$2,35\cdot 100 \,\text{m} = 235\,\text{m}$
Der tiefste Punkt des östlich liegenden Tals liegt in einer Höhe von $235\,\text{m}$.
#gleichungssystem#parabel

Aufgabe A 1.2

$\blacktriangleright$  Mittelpunkt des Kreises berechnen
Um dir den Sachverhalt besser vorzustellen, betrachte zunächst den Graphen von $h$ in deinem CAS:
Wahlteil A1
Abb. 11: Schaubild des Graphen
Wahlteil A1
Abb. 11: Schaubild des Graphen
Wahlteil A1
Abb. 12: Kreisskizze
Wahlteil A1
Abb. 12: Kreisskizze
1. Schritt: Schnittpunkte bestimmen
Die Schnittstellen mit der $x$-Achse kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS berechnen und erhältst so folgende Schnittpunkte:
$S_1(-2\mid 0)\quad $ und $\quad S_2(2\mid 0)$
2. Schritt: Normalengleichung aufstellen
Eine Normale des Graphen einer Funktion $f$ im Punkt $P(x_P\mid y_P)$ ist eine Gerade $n: \quad y = mx +b $, die ebenfalls durch den Punkt $P$ verläuft und für deren Steigung $m$ folgende Formel gilt:
Wahlteil A1
Abb. 13: Steigungsberechnung
Wahlteil A1
Abb. 13: Steigungsberechnung
Damit die Normale ebenfalls durch den Punkt $S_1$ läuft, musst du nun noch die Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen, um $b$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&m\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; m = -4 \\[5pt] y&=& -4x+b&\quad \scriptsize \mid\; S_1(-2\mid 0)\\[5pt] 0&=&-4\cdot (-2) +b &\quad \scriptsize \mid\; -8 \\[5pt] -8&=&b &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit hat die Normale im Punkt $S_1(-2\mid 0)$ die Funktionsgleichung $n:\quad y= -4x -8$. An einer Geradengleichung kannst du die $y$-Koordinate des Schnittpunkts mit der $y$-Achse direkt ablesen. Die Normale schneidet die $y$-Achse im Punkt $M(0\mid-8)$. Dies ist gleichzeitig der Mittelpunkt des Kreises.
#kreis#normalengleichung
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Aufgabe A 1.1

a)
$\blacktriangleright$  Höchsten Punkt bestimmen
Gegeben ist eine Funktion, deren Graph modellhaft das Profil eines Geländeabschnitts beschreibt. Gesucht ist nun die Höhe des höchsten Punkts innerhalb des vorgegebenen Bereichs. Du sollst hier also das globale Maximum des Intervalls bestimmen. Untersuche den Graphen dazu zunächst auf einen Hochpunkt. Da hier aber ein festes Intervall vorgegeben ist, musst du anschließend noch die Funktionswerte an den Randstellen bestimmen, um ein mögliches Randextremum zu überprüfen.
Für die Bestimmung einer Maximalstelle $x_M$ benötigst du die folgenden beiden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\,f'(x_M)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $\,f''(x_M)< 0$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Maximalstellen und an den Randstellen des Intervalls.
  5. Berechne die gesuchte Höhe mit Hilfe des Maßstabs.
Wahlteil A1
Abb. 1: Ableitungsfunktionen
Wahlteil A1
Abb. 1: Ableitungsfunktionen
Wahlteil A1
Abb. 2: Notwendiges Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 2: Notwendiges Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 3: Hinreichendes Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 3: Hinreichendes Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 4: Funktionswerte
Wahlteil A1
Abb. 4: Funktionswerte
5. Schritt: Höhe berechnen
Mit Hilfe des Maßstabs kannst du nun die Höhe des höchsten Punkts des Geländeprofils berechnen. Eine Längeneinheit im Modell entspricht $100$ Metern in der Realität. Demnach entsprechen $5,45$ Längeneinheiten $545$ Metern. Der höchste Punkt des Geländeprofils liegt auf einer Höhe von ca. $545$ Metern.
$\blacktriangleright$  Breite des Sees bestimmen
Der See liegt in dem Tal westlich des höchsten Punktes und besitzt an seiner tiefsten Stelle eine Tiefe von $10$ Metern. Erstelle dir zunächst eine Skizze, um dir den Sachverhalt klarzumachen.
Wahlteil A1
Abb. 5: Skizze des Sees
Wahlteil A1
Abb. 5: Skizze des Sees
Die Breite des Sees ergibt sich als Abstand der Stellen, an denen die Wasseroberfläche auf das Gelände trifft. Die Wasseroberfläche kannst du durch eine Gerade modellieren. Die Stellen, an denen die Wasseroberfläche auf das Land trifft, entsprechen im Modell den Schnittpunkten der Geraden mit dem Graphen von $f$. Die Breite des Sees kannst du dann über den Abstand dieser Schnittpunkte zueinander bestimmen.
Mit Hilfe der angegebenen Tiefe des Sees kannst du eine Gleichung für die Gerade $g$ bestimmen und die Schnittpunkte mit dem Graphen von $f$ anschließend mit deinem CAS berechnen. Beachte auch hier den Maßstab.
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
An der tiefsten Stelle liegt die Wasseroberfläche $10$ Meter über dem Boden des Sees. Im Modell wird diese Stelle durch den lokalen Tiefpunkt $T(x_T\mid y_T)$ des Graphen von $f$ beschrieben. Die gesuchte Gerade liegt also $0,1$ Längeneinheiten über dem Tiefpunkt des Graphen.
Du kannst nun erst die Koordinaten des Tiefpunkts mit Hilfe deines CAS bestimmen. Das notwendige Kriterium entspricht dem eines Hochpunkts, während das hinreichende Kriterium wie folgt lautet:
$f'(x_M) > 0$
$f'(x_M) > 0$
Oben hast du bereits mögliche Extremstellen bestimmt und damit herausgefunden, dass $x_1 = 0$ eine Minimalstelle ist. Setzt du dies in $f(x)$ ein, erhältst du mit deinem CAS $f(0)= 3,6$. Also lauten die Koordinaten des Tiefpunkts $T(0\mid 3,6)$.
Die Gerade muss parallel zur $x$-Achse verlaufen, also eine Gleichung der Form $y =b$ haben. $b$ setzt sich dabei aus der $y$- Koordinate des Tiefpunkts ($3,6$) und der Tiefe des Sees ($10\,\text{m } \hat{=}\, 0,1$ LE) zusammen.
Also gilt:
$g: \quad y = 3,6+ 0,1 = 3,7$
2. Schritt: Schnittpunkte bestimmen
Die Schnittpunkte der Geraden zu $g$ mit dem Graphen von $f$ stellen im Modell die Stellen dar, in denen die Wasseroberfläche auf das Geländeprofil trifft. Du kannst die Schnittstellen berechnen, indem du beide Funktionsterme gleichsetzt und diese Gleichung mit dem solve-Befehl deines CAS löst. Damit erhältst du folgende ungefähre Koordinaten $S(-0,43\mid 3,7)$ und $P(0,47\mid 3,7)$, wenn du beachtest, dass der See westlich des höchsten Punkts liegen soll.
3. Schritt: Abstand berechnen
Der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten ergibt sich aus den Beträgen der $x$-Koordinaten, da beide dieselbe $y$-Koordinate besitzen:
$d(S,P)\approx 0,47+ 0,43 = 0,9$
Nun musst du noch den Maßstab beachten: $0,9$ LE entsprechen $90\,\text{m}$. Der See ist also ca. $90\,\text{m}$ breit.
$\blacktriangleright$  Lawinengefahr untersuchen
Du sollst überprüfen, ob an der steilsten Stelle des Profils zwischen See und höchstem Punkt Lawinengefahr besteht. Dazu musst du zunächst berechnen, welche die steilste Stelle ist. Da der Graph zwischen See und höchstem Punkt ansteigt, ist dies die Stelle mit dem steilsten Anstieg, also der größten Steigung.
Da die erste Ableitung $f'$ einer Funktion $f$ immer die Steigung des zu $f$ gehörenden Graphen beschreibt, ist hier also eine Maximalstelle von $f'$ und der zugehörige Steigungswinkel des Grpahen von $f$ gesucht. Bestimme wie oben das Maximum von $f'$ mit deinem CAS.
Wahlteil A1
Abb. 6: Maximale Steigung
Wahlteil A1
Abb. 6: Maximale Steigung
An der steilsten Stelle zwischen See und höchstem Punkt steigt das Profil in einem Winkel von ca. $39,69\,^{\circ}$ an. Dort besteht also Lawinengefahr.
#geradengleichung#extrempunkt#trigonometrie
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Um den Flächeninhalt $A$ des sichtbaren Wandteils zu berechnen, ist es hilfreich zunächst die Skizze auf dem Aufgabenblatt mit den bereits bekannten Werten zu beschriften:
Wahlteil A1
Abb. 7: Skizze zur Hauswand
Wahlteil A1
Abb. 7: Skizze zur Hauswand
Die obere Kante der Wand kannst du als Gerade $h$ modellieren. Die gesuchte Fläche wird dann durch die Fläche zwischen $h$ und dem Graphen von $f$ in einem bestimmten Bereich dargestellt. Dieser Flächeninhalt lässt sich dann als Integral über $h-f$ berechnen. Du musst vorher allerdings noch die Integrationsgrenzen bestimmen. Diese ergeben sich aus den $x$-Koordinaten der beiden Eckpunkte $E$ und $F$. In jedem Schritt musst du den Maßstab beachten.
1. Schritt: Grenzen bestimmen
Die Oberkante befindet sich $540\,\text{m}$ über dem Meeresspiegel und verläuft waagerecht, also kann sie durch die Gerade mit der folgenden Funktionsgleichung modelliert werden:
$h:\quad y = 5,4 $
Der östliche Endpunkt des sichtbaren Teils der Wand wird dann durch einen Schnittpunkt $F$ der Geraden $h$ mit dem Graphen von $f$ dargestellt.
Wahlteil A1
Abb. 8: Schnittstelle
Wahlteil A1
Abb. 8: Schnittstelle
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Gesucht ist jetzt das Integral über $h-f$ von $x_E = 2,72$ bis $x_F = 3$: $\quad \displaystyle\int_{2,72}^{3}\left(5,4- f(x)\right)\;\mathrm dx$
Wahlteil A1
Abb. 9: Integral
Wahlteil A1
Abb. 9: Integral
Um die Fläche der Hauswand zu berechnen, musst du nun noch den Maßstab mit einbeziehen. Beachte, dass es sich diesmal um Flächeneinheiten und Quadratmeter handelt. Da eine Längeneinheit $100$ Metern entspricht, entspricht eine Flächeneinheit $100 \cdot 100\, \text{m}^2 = 10.000 \, \text{m}^2$. Der sichtbare Teil der Wand besitzt also in etwa folgenden Flächeninhalt:
$A \approx 0,01453 \cdot 10.000 \,\text{m}^2= 145,3\,\text{m}^2$
Damit ist der sichtbare Teil der Wand größer als $130\,\text{m}^2$.
#integral
c)
$\blacktriangleright$  Höhe des tiefsten Punkts berechnen
Du sollst die Höhe des tiefsten Punkts des östlichen Tals berechnen. Das Profil dieses Tals kann im Modell durch die Parabel einer quadratischen Funktion $p$ beschrieben werden. Der tiefste Punkt des Tals wird durch den Scheitelpunkt der Parabel dargestellt, der damit gleichzeitig auch ein Tiefpunkt ist. Um diesen zu bestimmen, kannst du zunächst die Funktionsgleichung von $p$ aufstellen.
Da $p$ eine quadratische Funktion ist, hat die Funktionsgleichung allgemein folgende Form:
$p(x) = ax^2+bx+c$
$p(x) = ax^2+bx+c$
Du benötigst also drei Bedingungen, die du dem Aufgabentext entnehmen kannst:
  • Nahtloser Übergang vom Graphen von $f$ zur Parabel:
    • Gleicher Funktionswert an der Übergangsstelle $x =5$
    • Gleiche Steigung bei $x=5$
  • Scheitelpunkt/Tiefpunkt an der Stelle $x=6$
Diese Bedingungen kannst du nun für die Funktionsgleichung von $p$ formulieren. Beachte das notwendige Kriterium für einen Tiefpunkt $p'(x) = 0 $:
Wahlteil A1
Abb. 10: Gleichungssystem lösen
Wahlteil A1
Abb. 10: Gleichungssystem lösen
Die Koordinaten des Tiefpunkts der Parabel kannst du nun bestimmen, indem du den Funktionswert an der Stelle $x =6$ bestimmst, da du bereits weißt, dass dort der Tiefpunkt liegen soll:
$T(6\mid 2,35)$
Um die Höhe des Punktes im Gelände zu berechnen, beachte wieder den Maßstab:
$2,35\cdot 100 \,\text{m} = 235\,\text{m}$
Der tiefste Punkt des östlich liegenden Tals liegt in einer Höhe von $235\,\text{m}$.
#gleichungssystem#parabel

Aufgabe A 1.2

$\blacktriangleright$  Mittelpunkt des Kreises berechnen
Um dir den Sachverhalt besser vorzustellen, betrachte zunächst den Graphen von $h$ in deinem CAS:
Wahlteil A1
Abb. 11: Schaubild des Graphen
Wahlteil A1
Abb. 11: Schaubild des Graphen
Wahlteil A1
Abb. 12: Kreisskizze
Wahlteil A1
Abb. 12: Kreisskizze
1. Schritt: Schnittpunkte bestimmen
Die Schnittstellen mit der $x$-Achse kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS berechnen und erhältst so folgende Schnittpunkte:
$S_1(-2\mid 0)\quad $ und $\quad S_2(2\mid 0)$
2. Schritt: Normalengleichung aufstellen
Eine Normale des Graphen einer Funktion $f$ im Punkt $P(x_P\mid y_P)$ ist eine Gerade $n: \quad y = mx +b $, die ebenfalls durch den Punkt $P$ verläuft und für deren Steigung $m$ folgende Formel gilt:
Wahlteil A1
Abb. 13: Steigungsberechnung
Wahlteil A1
Abb. 13: Steigungsberechnung
Damit die Normale ebenfalls durch den Punkt $S_1$ läuft, musst du nun noch die Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen, um $b$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&m\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; m = -4 \\[5pt] y&=& -4x+b&\quad \scriptsize \mid\; S_1(-2\mid 0)\\[5pt] 0&=&-4\cdot (-2) +b &\quad \scriptsize \mid\; -8 \\[5pt] -8&=&b &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit hat die Normale im Punkt $S_1(-2\mid 0)$ die Funktionsgleichung $n:\quad y= -4x -8$. An einer Geradengleichung kannst du die $y$-Koordinate des Schnittpunkts mit der $y$-Achse direkt ablesen. Die Normale schneidet die $y$-Achse im Punkt $M(0\mid-8)$. Dies ist gleichzeitig der Mittelpunkt des Kreises.
#normalengleichung#kreis
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